transformada rapida de fourier y transformada discreta de fourier
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definiciรณn: Sea ๐ una funciรณn definida para ๐ก โฅ 0 a la integral
โ{๐(๐ก)} = โซ ๐โ๐ ๐กโ
0
๐(๐ก)๐๐ก = lim๐โถโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก๐
0
Se llama transformada de Laplace de ๐, siempre y cuando la integral converja.
โ es una transformaciรณn lineal, siempre que las integrales converjan se tendrรก
โ{๐ผ๐(๐ก) + ๐ฝ๐(๐ก)} = ๐ผโ{๐(๐ก)} + ๐ฝโ{๐(๐ก)} = ๐ผ๐น(๐ ) + ๐ฝ๐บ(๐ )
EJ 59
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para ๐(๐ก) = ๐, ๐ constante real.
Segรบn la definiciรณn se tiene
โ{๐} = โซ ๐โ๐ ๐กโ
0
๐๐๐ก = lim๐โถโ
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐ก๐
0
= lim๐โถโ
โ๐๐โ๐ ๐ก
๐ |๐0
=๐
๐
Entonces,
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โ{๐} =๐
๐
Observe que si 0 > ๐ , la integral no existe, por lo que diremos que โ{๐(๐ก)} =๐
๐ , ๐ ๐, ๐ > 0.
EJ 60
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para ๐(๐ก) = ๐ก.
De acuerdo a la definiciรณn
โ{๐ก} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐ก๐๐กโ
0
Integrando por partes, haciendo ๐ข = ๐ก , ๐๐ฃ = ๐โ๐ ๐ก๐๐ก, obtenemos:
โ{๐ก} =โ๐ก๐โ๐ ๐ก
๐ |โ0
+1
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐ก
โ
0
=1
๐ โ{1} =
1
๐ (
1
๐ ) =
1
๐ 2
Que al igual que en el ejemplo anterior, la integral existe, si y sรณlo si ๐ > 0.
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EJ 61
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para ๐(๐ก) = ๐๐๐ก, donde ๐ โ โ.
Como ๐(๐ก) = ๐๐๐ก, entonces calculamos
โ{๐๐๐ก} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐๐กโ
0
๐๐ก = โซ ๐(โ๐ +๐)๐กโ
0
๐๐ก =โ๐โ(๐ โ๐)๐ก
๐ โ ๐|โ0
=1
๐ โ ๐
Esta integral existe, siempre y cuando ๐ โ ๐ > 0, es decir cuando ๐ > ๐.
EJ 62
Evalรบe โ{๐ ๐๐ 2๐ก}.
De acuerdo con la definiciรณn e integrando por partes.
โ{๐ ๐๐ 2๐ก} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐ 2๐ก๐๐ก =โ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐ 2๐ก
๐ |โ0
+2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก๐๐ก
โ
0
โ
0
=2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก๐๐ก, ๐ > 0
โ
0
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=2
๐ [โ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก
๐ |โ0
โ2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐ 2๐ก๐๐ก
โ
0
]
Lim๐กโโ
๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก = 0, ๐ > 0 Transformada de Laplace de ๐ ๐๐ 2๐ก
=2
๐ [โ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก
๐ |โ0
โ2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐2๐ก๐๐ก
โ
0
] =2
๐ 2โ
4
๐ 2โ{๐ ๐๐ 2๐ก}
โ{๐ ๐๐ 2๐ก} =2
๐ 2 + 4, ๐ > 0
CCCI
Ya familiarizados con la definiciรณn de transformada de Laplace, es muy รบtil contar con una
tabla donde estรกn las transformadas de algunas funciones bรกsicas.
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Funciรณn Transformada de Laplace
Condiciรณn
๐(๐ก) = 1 โ{1} =
1
๐
๐ > 0
๐(๐ก) = ๐ โ{๐} =
๐
๐
๐ > 0
๐(๐ก) = ๐ก๐ โ{๐ก๐} =
๐!
๐ ๐+1
๐ โ โค+
๐(๐ก) = ๐๐๐ก โ{๐๐๐ก} =
1
๐ โ ๐
๐ < ๐
๐(๐ก) = cos(๐๐ก) โ{cos(๐๐ก)} =๐
๐ 2 + ๐2 ๐ > 0
๐(๐ก) = s ๐๐(๐๐ก) โ{sen(๐๐ก)} = ๐
๐ 2 + ๐2 ๐ > 0
๐(๐ก) = cos โ(๐๐ก) โ{cosh(๐๐ก)} =๐
๐ 2 โ ๐2 ๐ > 0
๐(๐ก) = s ๐๐โ(๐๐ก) โ{senh(๐๐ก)} = ๐
๐ 2 โ ๐2 ๐ > 0
Como observamos en los ejemplos y en la tabla, no podemos garantizar siempre, la
existencia de la transformada de Laplace, debemos colocar en casi todos los casos ciertas
restricciones, que garanticen que bajo esas condiciones, la transformada de Laplace existe.
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Existencia de la Transformada de Laplace: Sea ๐(๐ก) definida y continua a trozos para ๐ก โฅ
0, si
|๐(๐ก)| โค ๐๐๐๐ก , ๐ก > ๐
Para constantes ๐, ๐ > 0, entonces โ(๐(๐ก)) existe para todo ๐ > ๐.
En el desarrollo de esta guรญa consideraremos, en adelante, รบnicamente funciones cuya
transformada de Laplace exista.
Al observar โ(๐(๐ก)), notamos que la transformada de Laplace depende de ๐ , entonces
llamemos
โ(๐(๐ก)) = ๐น(๐ )
Supongamos entonces que conocemos la transformada de dos funciones ๐ y ๐, que serรญan
respectivamente ๐น y ๐บ, veamos quien es โ(๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก)), donde ๐, ๐ โ โ.
โ(๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก)) = lim๐โถโ
โซ (๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก))๐โ๐ ๐ก๐๐ก ๐
0
= lim๐โถโ
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
+ lim๐โถโ
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
Como ๐, ๐ โ โ
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๐ lim๐โถโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
+ ๐ lim๐โถโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
= ๐๐น(๐ ) + ๐๐บ(๐ )
Ejemplo: Calcular, la transformada de Laplace para ๐๐๐ (3๐ก +๐
4).
Primero, observemos que cos (๐
4) = sin (
๐
4) =
โ2
2 entonces ๐๐๐ (3๐ก +
๐
4) =
โ2
2cos(3๐ก) โ
โ2
2sin(3๐ก) consideremos
๐ =โ2
2 , ๐ = โ
โ2
2 , ๐(๐ก) = cos(3๐ก) ๐(๐ก) = sin(3๐ก), por tanto aplicamos la transformada
hacemos uso de la tabla anterior,
โ (๐๐๐ (3๐ก +๐
4)) =
โ2
2[โ(๐๐๐ (3๐ก)) โ โ(sin(3๐ก))] =
โ2
2[
๐
๐ 2 + 9โ
3
๐ 2 + 9] =
โ2
2
๐ โ 3
๐ 2 + 9
L
Ejercicios:
1. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a. ๐(๐ก) = ๐ ๐๐2(๐ก) i. ๐(๐ก) = (๐ก + 2)3
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b. ๐(๐ก) = ๐๐๐ 2(๐ก) j. ๐(๐ก) = (๐๐ก + ๐โ๐ก)2
c. ๐(๐ก) = ๐ก3 k. ๐(๐ก) = ๐โ๐กsin (3๐ก)
d. ๐(๐ก) = ๐3๐ก l. ๐(๐ก) = ๐ก4 โ 5๐ก3 +1
2๐ก + 7
e. ๐(๐ก) = cos(3๐ก) cos (5๐ก) m. ๐(๐ก) = ๐ก3/2
f. ๐(๐ก) = ๐ก2๐3๐ก n. ๐(๐ก) = ๐๐ก+5
g. ๐(๐ก) = ๐ก2cos (3๐ก) o. ๐(๐ก) = ๐๐ก+5