7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles

5/11/2018 7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles - slidepdf.com

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9. Flujo de Fluidos compresibles.

Cuando un fluido es compresible su densidad cambia a lo largo de la direccióndel flujo, producto del cambio en la presión y la temperatura. En general, paraun sistema determinado se considera que el fluido es compresible, si sudensidad varía más de un 10% entre los puntos de entrada y salida. El flujo degases a presiones atmosféricas o superiores, puede desarrollarse en régimenlaminar o turbulento, con transición para Re = 2000 - 3000.

Flujo isotérmico de un gas ideal a través de una cañería horizontal.

Se cumple:

M

RT cte

p p p==== .

2

2

1

1

ρ ρ ρ

p

p

⋅=1

1 ρ ρ

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1 y p2,

ρ2 respectivamente.

Figura 9.1. Flujo isotérmico de un gas ideal en una cañería horizontal.

02

2

=++⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ f

c

dhdp

g

vd

ρ (9.1)

2

22 2/ 0

22 v

g

g

v

D

dx f

dp

g

vd c

cc

⋅=⋅⋅++⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ (9.2)

0

2

2 2 =⋅+⋅+ D

dx f

dp

v

g

v

dv c

ρ (9.3)

Por continuidad.

G = v⋅ρ = cte.

dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0

ρ

ρ d

v

dv−= ,

dp p

d ⋅=1

1 ρ ρ p

p⋅=

1

1 ρ ρ

p

dpd =

ρ

ρ

p

dp

v

dv−=



ρ

dp

v

g c ⋅2

2,

ρ ⋅= vG 222 ρ ⋅= vG

2

22

ρ

Gv = dp

G

g c ρ

2

2 pdp

pG

gdp

v

g cc

1

2

1

2

22 ρ

ρ =⋅

Reemplazando en balance de energía:

02

21

2

1 =⋅++− D

dx f pdp

pG

g

p

dp c ρ (9.4)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L:

012

2

01

2

1

2

1

2

1

=++− ∫ ∫ ∫ L p

p

c

p

p

dx

D

f pdp

pG

g

p

dp ρ (9.5)

[ ] 0ln22

1

2

2

1

2

1

1

2 =+−+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

D

L f p p

pG

g

p

p c ρ

(9.6)

Se define N = número de alturas de velocidad, D

L f N =

[ ] 0ln22

1

2

221

2 =+−+⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ − N p p

RT G

M g

p

p c (9.7)

[ ]2

2

2

12

2

1

2ln p p RT G

M g

p

p N c −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − (9.8)

Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal isotérmico:

[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

−=

2

1

2

2

2

2

12

ln p p N

p p

RT

M gG c

(9.9)

Ecuación particular si se cumple:

2

1

2ln ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ >>

p

p N



Ecuación de Weymouth:

[ ]2

2

2

1

2 p p

RTN

M gG c −= (9.10)

Según la ecuación general (9.9), en un comienzo si p2 disminuye G2 aumenta. Se

cumple que indistintamente para p2 →p1, G2→0, y para p2→0, G2→0. Loanterior indica la existencia de un valor máximo para G2 asociado con un valorde p2 crítico p2*.

Figura 9.2. Flujo másico superficial en función de la presión de salida p 2.

La región entre 0 < p < p2* es ficticia, ya que una vez que la presión de salida p2

alcanza el valor crítico p2* no se obtiene un flujo mayor.

La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuación general con respecto a p 2 para un p1 fijo según:

02

2

=dp

dG (9.11)

1ln

2

*

2

1

2

2

1 +=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∗

N p

p

p

p (9.12)

Resolviendo para p2*. Gmáx

2 correspondiente obedece a la ecuación:

( ) ( )2*

2

1

12*

2

2 p

p

g p

RT

M gG cc

máx

ρ == (9.13)

2

11

112

ln1máx

c

c

máx

G

pg N

pgG

ρ

ρ

++=

(9.14)



También se puede demostrar que:

*

2

*

2

*

2

*

2v pgG cmáx ρ ρ == (9.15)

La correspondiente velocidad de salida será:

*

2

*

2*

2 ρ

pgv c= (9.16)

La cual se puede interpretar como la velocidad de una hipotética onda desonido isotérmica a las condiciones de salida, dado que se dispone de lassiguientes relaciones para la velocidad del sonido y un gas ideal:

ρ d dpgc c= M

RT p

= ρ

Así, la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica está dada por:

M

RT gc c= (9.17)

En la práctica, sin embargo, las ondas circulan en forma isentrópica, y lavelocidad del sonido es:

M

RT kgc c= (9.18)

Donde,v

p

c

ck =

Flujo adiabático de un gas ideal a través de una cañería horizontal.

Se cumple:

.2

2

1

1 cte p p p

k k k ===

ρ ρ ρ k

k p

p

/ 1

/ 1

1

1 ⋅=ρ

ρ v

p

c

ck =

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1, T1 y

p2, ρ2, T2 respectivamente.

02

2

=++⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ f

c

dhdp

g

vd

ρ

(9.1)



2

22 2/ 0

22 v

g

g

v

D

dx f

dp

g

vd c

cc

⋅=⋅⋅++⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ (9.2)

02

22

=⋅+⋅+ D

dx f

dp

v

g

v

dv c

ρ

(9.3)

Por continuidad.

G = v⋅ρ = cte.

dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0

ρ

ρ d

v

dv−= ,

dp p pk

d k

k

k

−

=1

/ 1

1

11 ρ ρ

k

k p

p

/ 1

/ 1

1

1 ⋅=ρ

ρ p

dp

k

d 1=

ρ

ρ

p

dp

k v

dv 1−=

ρ

dpvg c ⋅2

2 ,

ρ ⋅= vG 222 ρ ⋅= vG

2

22

ρ

Gv = dp

G

g c ρ

2

2 dp p

pG

gdp

v

g k

k

cc / 1

/ 1

1

2

1

2

22 ρ

ρ =⋅

Reemplazando en balance de energía:

022 / 1

/ 1

1

2

1 =⋅++− D

dx f dp p

pG

g

p

dp

k

k

k

c ρ (9.19)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L:

0122

0

/ 1

/ 1

1

2

1

2

1

2

1

=++− ∫ ∫ ∫ L p

p

k

k

c

p

p

dx D

f dp p pG

g

p

dp

k

ρ (9.20)

01

2ln

21

1

1

2 / 1

1

2

1

1

2 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

++

D

L f p p

k

k

pG

g

p

p

k k

k

k

k

k

c ρ (9.21)

Se define N = número de alturas de velocidad, D

L f N = , y se utiliza para la

densidad las condiciones de entrada,1

1

1 RT

Mp= ρ .

01

2ln

21

1

1

2

1

2

1

1

1

2 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

++−

N p pk

k

RT G

Mpg

p

p

k k

k

k

k k

k

c (9.22)

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ −

+=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

++−

k

k

k

k k

k

c

k

p pk

k RT G

Mpg p p N

1

2

1

1

1

2

1

1

/ 2

1

2

12ln (9.23)



Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal adiabáticoequivalente a (9.9):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡−

+=

++

−

k

k

k

k

k

k

k

c

p

p N

p p

k k

RT MpgG

/ 2

1

2

1

2

1

1

1

1

12

ln1

2 (9.24)

Ecuación particular si se cumple:2

1

2ln ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ >>

p

p N

Ecuación de Weymouth, equivalente a (9.10):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++−

k

k

k

k k

k

c p pk

k

NRT

MpgG

1

2

1

1

1

1

12

1

2 (9.25)

Al igual que con flujo isotérmico existe un Gmáx asociado con una presión desalida p2 crítica p2*. La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuacióngeneral con respecto a p2 para un p1 fijo según:

02

2

=dp

dG

(9.11)

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+

∗1

2ln

1

2 / 2

*

2

1

1

2

1

k N

p

p

p

p

k

k k

k

(9.26)

Resolviendo para p2*. Gmáx

2 correspondiente obedece a la ecuación:

( ) ( ) k

k

k

ck

k

k

k

c

máx p

p

k g p p

RT

kM gG

1*

2 / 1

1

11

*

2

1

1

1

2++−

==ρ

(9.27)

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⋅+

=+1

2

2

11

112

ln1

21

2

k

máx

c

c

máx

G

pk g N

k k

pk gG

ρ

ρ

(9.28)

Todas las ecuaciones para flujo adiabático se transforman en las de flujoisotérmico para k = 1.



FLUJO COMPRESIBLE EN TOBERAS.

Otro ejemplo de flujo compresible ocurre con la descarga de un gas desde unrecipiente a alta presión a través de una tobera, consistente de una secciónconvergente que conduce a una “garganta”, seguida posiblemente de unasección divergente o “difusor”.

Figura 9.3. Flujo a través de una toberaconvergente/divergente.

El flujo de alta velocidad descargando a la atmósfera es del tipo adiabático ydado que sólo se desarrolla en una corta distancia se le considera sin fricción.

k k pc p

1

1

ρ ρ ==

k

p p

/ 1

1

1 ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ = ρ ρ

v

p

cck =

Balance de energía entre el recipiente y alguna posición en la tobera donde lavelocidad es v y la presión es p.

022

1

2

1

2

=+− ∫ p

pcc

dp

g

v

g

v

ρ (9.29)

∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

==− p

p

k k

k

k p

pp

p p

k

k

p

dp pdp

11

11

/ )1(

11

1

/ 1

1

/ 1

1

ρ ρ ρ (9.30)

Reemplazando en el balance y considerando v1 = 0.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

− k k

c

p

p p

k

k gv

/ )1(

11

121

1

2

ρ (9.31)



Figura 9.4. Efecto de la variación de la presión de salida en el flujo de la

tobera.

Dado que w = ρ⋅v⋅A en cualquier punto, donde w es el flujo másico de gas quedescarga y A es el área de sección transversal en la tobera.

k k k

c

p

p

p

p p

k

k g

A

wG

/ 2

1

/ )1(

1

11

2

21

1

2⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−

ρ (9.32)

El flujo másico superficial w/A (G) es claramente un máximo en la garganta,donde vale w/AT (o GT). Dado que la presión en la garganta es una variable,existe un valor máximo para w/AT (o GT), que se obtiene de:

0) / (

) / (

) / ( 11

== p pd

Awd

p pd

dG T T (9.33)

Así la razón de presión crítica es:

)1 /(

1 1

2−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=k k

cT

k p

p (9.34)

La velocidad vcT correspondiente es:

M RT kg pkg p

k k gv cT c

cT

cT cc

cT ==⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

+=

ρ ρ 1

12

12 (9.35)



Finalmente el flujo másico crítico wc es:

)1 /()1(

111

2−+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=k k

cT ck

pkg Aw ρ (9.36)

En relación a la figura se tienen varias situaciones según la presión de salida p 2.

p2 Fenómenos.

A

Si la presión de salida es ligeramente inferior a la del recipiente, existe unflujo de descarga pequeño. Se puede evaluar utilizando la ecuación (9.32)sustituyendo A = A2 (área de salida) y p =p2. La ecuación (9.32) entrega lavariación de presión en la tobera. El flujo es siempre subsónico.

B Lo mismo que en A, excepto que la velocidad de flujo es más grande.

C

Si la presión de salida se reduce suficientemente, la velocidad en la

garganta alcanza el valor dado por la ecuación (9.35). En la seccióndivergente, la presión crece y el flujo es subsónico.

D

Para una presión de salida entre C y E, no hay solución continua posible.El flujo, que es crítico, es supersónico por una cierta distancia más allá dela garganta, sin embargo existe un incremento repentino de la presión,conocido como “shock”, y a continuación de esto el flujo es subsónico. El“shock” es un fenómeno irreversible, que resulta en bruscos cambios envelocidad, presión y temperatura sobre una extremadamente cortadistancia de unas pocas moléculas en espesor.

E

Para el mismo flujo másico crítico como en C, la ecuación (9.32) tiene unasegunda raíz, correspondiente a una presión de salida E. En este caso, sinembargo, existe un continuo decrecimiento de la presión en el difusor,donde el flujo es ahora supersónico.

FPara una presión de salida más baja que E, una posterior expansiónirreversible ocurre justo afuera de la tobera.

Si no hay difusor, el flujo es esencialmente aquel que se obtiene a través de unorificio de un estanque a presión. El flujo será subsónico si la presión de salidaexcede pcT. Si la presión de salida es igual a pcT, entonces se obtiene un flujocrítico con velocidad sónica a través del orificio. Y si cae bajo este valor, aun seobtendrá flujo crítico, pero con una posterior expansión irreversible justo afueradel orificio.



SOLUCIÓN GRÁFICA PARA FLUJO COMPRESIBLE

Considere la descarga de un estanque de grandes dimensiones, como lasituación presentada en la figura 9.5:

Figura 9.5. Descarga de un estanque a través de una tubería

Se define el parámetro Gci, como el flujo másico máximo por unidad de áreahipotético que se alcanza con una expansión isotérmica del gas a través delsistema mostrado en la Figura 9.5, cuando N = 0, es decir en el punto 1 o dedescarga.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

s ft

lb

T R

M g p

pgG mC C

ci 2

0

0

00 718,2718,2

ρ (9.37)

Gráficamente a partir de ecuaciones de balances de energía y de continuidadLapple determinó para diferentes tipos de flujo (k = 1.0, 1.4 y 1.8), la relación

que existe entre la razón G/Gci (flujo másico superficial G en la cañería y elparámetro Gci) con la razón de presiones (p2/p0) o (p3/p0), para diversos valoresde N, número de alturas de velocidad, asociados con la resistencia por fricciónen la cañería.

• G, Gci, p0, p1, p2 y p3 definidos según esquema de descarga.• Otros flujos según valores de k se pueden obtener por interpolación.

Los gráficos de Lapple también identifican un flujo másico superficial máximoGmáx, obtenido de la razón (G/Gci)c crítica o máxima, de acuerdo a las presiones

que se desarrollen a lo largo de la cañería. El valor aludido, para un Ncualquiera, se obtiene cuando la curva en el gráfico se hace vertical.

Las razones (p2/p0) y (p3/p0) son iguales, para un N cualquiera, si la razónG/Gci es menor que el valor crítico o máximo (G/Gci)c.

Sólo cuando se alcanza la razón (G/Gci)c, para un N cualquiera, (p3/p0) puedeser menor que el valor de (p2/p0). En ese caso el flujo es el máximo eindependiente del valor de (p3/p0). La razón (p2/p0) se conserva fija, ya quecorresponde a la presión p2

* crítica definida antes.



Figura 9.6. Gráfico de Lapple para flujo isotérmico k =1.0

Figura 9.7. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.4



Figura 9.8. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.8

Una situación para el cálculo de flujos compresibles se puede plantearconociendo las condiciones al interior de la cañería. Suponga conocidas lascondiciones de presión y temperatura en 1 y el flujo másico superficial G que

circula por la cañería.

1 2

Para resolver este sistema de modo de conocer la presión y temperatura en unpunto 2 cualquiera. Se puede plantear un arreglo ficticio formado por unestanque a presión y temperatura p0 y T0, para las condiciones hipotéticas de

entrada dadas por el punto 1.

Entonces suponiendo un estanque en condiciones “0” desconocidas:



Se define G’ci:

1

1

'

··

··

T Re

M g pG c

ci = (9.38)

Se puede escribir la razón entre las ecuaciones (9.37) y (9.38):

0

1

1

0

'·

T

T

p

p

G

G

ci

ci =

0

1

0

1

'·

T T

p p

G

G

G

G

CI CI

= (9.40)

0

1

0

2

1

2

p p

p p

p

p= (9.41)

0

1

0

2

1

2

T T

T T

T

T = (9.42)

Método de cálculo:

Se determina G’ci con (9.38) Se supone G/Gci

Se determina para N=0: p1 /p0 y T 1 /T 0 Se calcula G/Gci de (9.40) y se chequea. Si cumple, entonces se determina para N=N : p2 /p0 y T 2 /T 0 Si no cumple se itera con G/Gci



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Gas natural (metano, se asume como gas ideal) circula estacionariamentea 55 ºF por una cañería horizontal de 12” de diámetro nominal de 20millas de longitud, con un factor de fricción f = 0.014. Si la presión deentrada es de 100 [psia], que presión de salida correspondería con lavelocidad de flujo máximo en la cañería? Si la presión de salida real es de10 [psia], cual es la velocidad de flujo del gas en [lbm/h]? Repetir paraflujo adiabático considerando T1 = 55 ºF, (k = 1.31).

ISOTÉRMICODatos generales:

T [ºR] 515 M 16

f 0.014 N 1478.4

L [millas] 20 p1 [psia] 100

L [ft] 105600 p1 [lbf /ft2] 14400

D [ft] 1

Determinación de la presión crítica de salida p2*:

1ln

2

*

2

1

2

2

1 +=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞ ⎜⎜⎝

⎛ ∗ N

p

p

p

p

Tabla para el cálculo numérico de p2*:

p1 p2 (p1 /p2)2 2ln(p1 /p2) diferencia N+1 DELTA

14400 380.00 1436.01 7.3 1428.74 1479.40 50.66

14400 379.00 1443.60 7.3 1436.32 1479.40 43.08

14400 378.00 1451.25 7.3 1443.97 1479.40 35.43

14400 377.00 1458.96 7.3 1451.67 1479.40 27.73

14400 376.00 1466.73 7.3 1459.44 1479.40 19.96

14400 375.00 1474.56 7.3 1467.26 1479.40 12.14

14400 374.00 1482.46 7.3 1475.15 1479.40 4.25

14400 373.90 1483.25 7.3 1475.95 1479.40 3.45

14400 373.80 1484.04 7.3 1476.74 1479.40 2.66

14400 373.70 1484.84 7.3 1477.53 1479.40 1.87

14400 373.60 1485.63 7.3 1478.33 1479.40 1.0714400 373.50 1486.43 7.3 1479.12 1479.40 0.28

14400 373.49 1486.51 7.3 1479.20 1479.40 0.20

14400 373.48 1486.59 7.3 1479.28 1479.40 0.12

14400 373.47 1486.67 7.3 1479.36 1479.40 0.04

14400 373.46 1486.75 7.3 1479.44 1479.40 -0.04

14400 373.45 1486.83 7.3 1479.52 1479.40 -0.12

Resultado:

p2*

373.47 [lbf /ft2] 2.59 [psia]



Determinación del flujo máximo G2máx:

2

11

112

ln1máx

c

cmáx

G

pg N

pg

ρ

ρ

++=

G

Tabla para el cálculo numérico de G2máx:

Gmáx2

gcρ1p1 N+1 LN(gcρ1p1 /Gmáx2) DELTA Gmáx

90 134265.714 1479.40 7.307766386 -0.31 9.49

90.1 134265.714 1479.40 7.306655891 -0.21 9.49

90.2 134265.714 1479.40 7.305546629 -0.11 9.50

90.3 134265.714 1479.40 7.304438595 -0.01 9.50

90.31 134265.714 1479.40 7.30432786 0.00 9.50

90.32 134265.714 1479.40 7.304217136 0.01 9.50

90.33 134265.714 1479.40 7.304106425 0.02 9.50

90.34 134265.714 1479.40 7.303995726 0.03 9.50

90.35 134265.714 1479.40 7.303885039 0.04 9.51

90.36 134265.714 1479.40 7.303774364 0.05 9.51

90.37 134265.714 1479.40 7.303663702 0.06 9.51

90.38 134265.714 1479.40 7.303553052 0.07 9.51

90.39 134265.714 1479.40 7.303442414 0.08 9.51

90.4 134265.714 1479.40 7.303331789 0.09 9.51

90.41 134265.714 1479.40 7.303221175 0.10 9.51

90.42 134265.714 1479.40 7.303110574 0.11 9.51

90.43 134265.714 1479.40 7.302999985 0.12 9.51

Resultado:

Gmáx 9.50 [lbm /ft2s]

Determinación de la velocidad de flujo del gas en [lbm/h] para una presión desalida p2 de 10 [psia]:

[ ]

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

−=

2

1

2

2

2

2

12

ln p

p N

p p

RT

M g

G c

p1 p2 gcM/RT (p1)2

- (p2)2

2ln(p2 /p1) N G2

G

14400 1440 0.000647501 205286400.0 -4.6 1478.4 89.63 9.47

[lbm /ft2s]

Resultado:

Aflujo 0.785 [ft2]

W 7.44 [lbm /s]

W 26768 [lbm /h]



ADIABÁTICODatos generales:

T1 [ºR] 515 M 16

f 0.014 N 1478.4

L [millas] 20 p1 [psia] 100

L [ft] 105600 p1 [lbf /ft2] 14400

D [ft] 1 k 1.31

Determinación de la presión crítica de salida p2*:

Tabla para el cálculo numérico de p2*:

p1 p2 (2/(k+1))(p1 /p2)(k+1)/k

(2/k)ln(p1 /p2) diferencia N+(2/(k+1)) DELTA

14400 220.00 1379.02 6.38 1372.64 1479.27 106.63

14400 219.00 1390.15 6.39 1383.76 1479.27 95.51

14400 218.00 1401.41 6.40 1395.01 1479.27 84.25

14400 217.00 1412.82 6.40 1406.41 1479.27 72.85

14400 216.00 1424.37 6.41 1417.96 1479.27 61.31

14400 215.00 1436.08 6.42 1429.66 1479.27 49.61

14400 214.00 1447.93 6.43 1441.50 1479.27 37.76

14400 213.00 1459.94 6.43 1453.50 1479.27 25.76

14400 212.00 1472.10 6.44 1465.66 1479.27 13.60

14400 211.00 1484.43 6.45 1477.98 1479.27 1.2914400 210.90 1485.67 6.45 1479.22 1479.27 0.04

14400 210.80 1486.91 6.45 1480.46 1479.27 -1.20

14400 210.70 1488.16 6.45 1481.71 1479.27 -2.44

14400 210.60 1489.40 6.45 1482.95 1479.27 -3.69

14400 210.50 1490.65 6.45 1484.20 1479.27 -4.93

14400 210.40 1491.90 6.45 1485.45 1479.27 -6.18

14400 210.30 1493.15 6.45 1486.70 1479.27 -7.43

14400 210.20 1494.40 6.45 1487.95 1479.27 -8.69

14400 210.10 1495.66 6.45 1489.21 1479.27 -9.94

Resultado:

p2*

210.90 [lbf /ft2] 1.46 [psia]

Determinación del flujo máximo G2máx:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞+

+

∗1

2ln

1

2 / 2

*

2

1

1

2

1

k N

p

p

p

p

k

k k

k

⎜⎛

⎝

1

2

2

11

112

ln1

2

12

+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

k

máx

c

c

máx

G

pk g N

k

k

k pg

G

ρ

ρ



Tabla para el cálculo numérico de G2máx:

Gmáx2

2gcρ1p1(k/(k+1)) N+(2/(k+1)) (2/(k+1))ln(gckρ1p1 /Gmáx2) DELTA Gmáx

100.00 152284.0566 1479.27 6.469638967 -2.49742484 10.00

101.00 152284.0566 1479.27 6.461023962 -1.49801917 10.05

102.00 152284.0566 1479.27 6.452493835 -0.49860765 10.10102.10 152284.0566 1479.27 6.451645427 -0.39866618 10.10

102.20 152284.0566 1479.27 6.450797849 -0.29872466 10.11

102.30 152284.0566 1479.27 6.4499511 -0.19878307 10.11

102.40 152284.0566 1479.27 6.449105178 -0.09884143 10.12

102.41 152284.0566 1479.27 6.449020631 -0.08884727 10.12

102.42 152284.0566 1479.27 6.448936093 -0.0788531 10.12

102.43 152284.0566 1479.27 6.448851562 -0.06885893 10.12

102.44 152284.0566 1479.27 6.44876704 -0.05886476 10.12

102.45 152284.0566 1479.27 6.448682527 -0.04887059 10.12

102.46 152284.0566 1479.27 6.448598021 -0.03887642 10.12

102.47 152284.0566 1479.27 6.448513524 -0.02888225 10.12

102.48 152284.0566 1479.27 6.448429035 -0.01888808 10.12

102.49 152284.0566 1479.27 6.448344554 -0.00889391 10.12

102.50 152284.0566 1479.27 6.448260082 0.00110026 10.12

102.51 152284.0566 1479.27 6.448175618 0.01109444 10.12

102.52 152284.0566 1479.27 6.448091161 0.02108861 10.13

Resultado:

Gmáx 10.12 [lbm /ft2s]

Determinación de la velocidad de flujo del gas en [lbm/h] para una presión desalida p2 de 10 [psia]:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++

−

k

k

k

k

k

k

k

c

p

p N

p p

k

k

RT

Mpg G / 2

1

2

1

2

1

1

1

1

12

ln1

2

p1 p2 2gcM/RT (k/(k+1)p1(k-1)/k (p1)(k+1)/k - (p2)(k+1)/k (2/k)ln(p2 /p1) N G2 G

14400 1440 0.001295001 5.466373405 21141249.6 -3.5 1478.4 100.99 10.05

[lbm /ft2s]

Resultado:

Aflujo 0.785 [ft2]

W 7.89 [lbm /s]

W 28414 [lbm /h]



2. Etileno debe ser bombeado a lo largo de una cañería de 6” de diámetrointerno por una distancia de 5 millas a una velocidad de flujo másico de2.0 [lbm/s]. La presión de suministro al final de la cañería debe ser de 2.0atmósferas absolutas, y el flujo se puede considerar isotérmico a 60ºF. Siel factor de fricción f = 0.012, calcular la presión de entrada requerida.Asumir comportamiento de gas ideal, y justificar cualquier suposiciónadicional. Repetir para flujo adiabático considerando T1 = 60ºF, (k =1.255)

ISOTÉRMICODatos generales:

T [ºR] 520 M 28 W [lbm /s] 2.0

f 0.012 N 633.6 Aflujo [ft2] 0.196

L [millas] 5 p2 [atm] 2.0 G [lbm /ft2s] 10.19

L [ft] 26400 p2 [psia] 29.4D [ft] 0.5 p2 [lbf /ft

2] 4233.6

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general:

[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=

2

1

2

2

2

2

12

ln p

p N

p p

RT

M g G c

Tabla para el cálculo numérico de p1:

p1 p2 gcM/RT (p1)2

- (p2)2

2ln(p2 /p1) N G2calculado G

2G DELTA

8788.0 4233.6 0.001122231 59305575.0 -1.5 633.6 104.80 103.75 10.19 1.05

8768.0 4233.6 0.001122231 58954455.0 -1.5 633.6 104.18 103.75 10.19 0.43

8758.0 4233.6 0.001122231 58779195.0 -1.5 633.6 103.87 103.75 10.19 0.12

8757.0 4233.6 0.001122231 58761680.0 -1.5 633.6 103.84 103.75 10.19 0.09

8756.0 4233.6 0.001122231 58744167.0 -1.5 633.6 103.81 103.75 10.19 0.06

8755.0 4233.6 0.001122231 58726656.0 -1.5 633.6 103.78 103.75 10.19 0.03

8754.9 4233.6 0.001122231 58724905.1 -1.5 633.6 103.78 103.75 10.19 0.02

8754.8 4233.6 0.001122231 58723154.1 -1.5 633.6 103.77 103.75 10.19 0.02

8754.7 4233.6 0.001122231 58721403.1 -1.5 633.6 103.77 103.75 10.19 0.02

8754.6 4233.6 0.001122231 58719652.2 -1.5 633.6 103.77 103.75 10.19 0.01

8754.5 4233.6 0.001122231 58717901.3 -1.5 633.6 103.76 103.75 10.19 0.01

8754.4 4233.6 0.001122231 58716150.4 -1.5 633.6 103.76 103.75 10.19 0.01

8754.3 4233.6 0.001122231 58714399.5 -1.5 633.6 103.76 103.75 10.19 0.00

8754.2 4233.6 0.001122231 58712648.7 -1.5 633.6 103.75 103.75 10.19 0.00

8754.1 4233.6 0.001122231 58710897.8 -1.5 633.6 103.75 103.75 10.19 0.00

8754.0 4233.6 0.001122231 58709147.0 -1.5 633.6 103.75 103.75 10.19 -0.01

Resultado:

p1 8754.2 [lbf /ft2] 60.79 [psia] 4.14 [atm]



Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación de Weymouth:

[ ]2

2

2

1

2 p p

RTN

M g G c −=

gcM/NRT G2

p22

p12

p1

1.7712E-06 103.75 17923368.96 76501202.3 8746.5

Resultado:

p1 8746.5 [lbf /ft2] 60.74 [psia] 4.13 [atm]

ADIABÁTICODatos generales:

T1 [ºR] 520 M 28 W [lbm /s] 2.0

f 0.012 N 633.6 Aflujo [ft2] 0.196

L [millas] 5 p2 [atm] 2.0 G [lbm /ft2s] 10.19

L [ft] 26400 p2 [psia] 29.4 k 1.255

D [ft] 0.5 p2 [lbf /ft2] 4233.6

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general:

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡ ⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

=

++

−

k

k

k

k

k

k

k

c

p p N

p p

k

k

RT

Mpg

G / 2

1

2

1

2

1

1

1

1

12

ln1

2


p1 p2 2gcM/RT1 (k/(k+1)p1(k-1)/k

(p1)(k+1)/k

- (p2)(k+1)/k

(2/k)ln(p2 /p1) N G2calculado G

2G DELTA

8600.0 4233.6 0.002244461 3.507010805 8452124.6 -1.1 633.6 104.8157244 103.75 10.19 1.06

8590.0 4233.6 0.002244461 3.50618184 8427613.7 -1.1 633.6 104.4873629 103.75 10.19 0.73

8580.0 4233.6 0.002244461 3.505352105 8403125.5 -1.1 633.6 104.1594023 103.75 10.19 0.41

8570.0 4233.6 0.002244461 3.5045216 8378660.0 -1.1 633.6 103.8318427 103.75 10.19 0.08

8569.0 4233.6 0.002244461 3.504438507 8376214.7 -1.1 633.6 103.7991088 103.75 10.19 0.05

8568.0 4233.6 0.002244461 3.504355406 8373769.6 -1.1 633.6 103.7663789 103.75 10.19 0.01

8567.9 4233.6 0.002244461 3.504347095 8373525.1 -1.1 633.6 103.7631061 103.75 10.19 0.01

8567.8 4233.6 0.002244461 3.504338785 8373280.6 -1.1 633.6 103.7598334 103.75 10.19 0.01

8567.7 4233.6 0.002244461 3.504330474 8373036.1 -1.1 633.6 103.7565607 103.75 10.19 0.00

8567.6 4233.6 0.002244461 3.504322163 8372791.6 -1.1 633.6 103.753288 103.75 10.19 0.00

8567.5 4233.6 0.002244461 3.504313852 8372547.1 -1.1 633.6 103.7500154 103.75 10.19 0.00

8567.4 4233.6 0.002244461 3.504305542 8372302.7 -1.1 633.6 103.7467429 103.75 10.19 -0.01

8567.3 4233.6 0.002244461 3.504297231 8372058.2 -1.1 633.6 103.7434703 103.75 10.19 -0.01

8567.2 4233.6 0.002244461 3.50428892 8371813.7 -1.1 633.6 103.7401979 103.75 10.19 -0.01

8567.1 4233.6 0.002244461 3.504280608 8371569.2 -1.1 633.6 103.7369254 103.75 10.19 -0.02

8567.0 4233.6 0.002244461 3.504272297 8371324.8 -1.1 633.6 103.733653 103.75 10.19 -0.02



Resultado:

p1 8567.6 [lbf /ft2] 59.50 [psia] 4.05 [atm]

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación de Weymouth:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++−

k

k

k

k k

k

c p pk

k

NRT

Mpg G1

2

1

1

1

1

12

1

2


p1 G2

2gcM/NRT1 (k/(k+1)p1(k-1)/k

(p1)(k+1)/k

- (p2)(k+1)/k

G2

calculado DELTA

8563.0 103.75 3.54239E-06 3.503939786 8361547.6 103.79 -0.03

8562.9 103.75 3.54239E-06 3.503931472 8361303.3 103.78 -0.03

8562.8 103.75 3.54239E-06 3.503923157 8361058.9 103.78 -0.038562.7 103.75 3.54239E-06 3.503914843 8360814.5 103.78 -0.02

8562.6 103.75 3.54239E-06 3.503906528 8360570.1 103.77 -0.02

8562.5 103.75 3.54239E-06 3.503898213 8360325.8 103.77 -0.02

8562.4 103.75 3.54239E-06 3.503889899 8360081.4 103.77 -0.01

8562.3 103.75 3.54239E-06 3.503881584 8359837.0 103.76 -0.01

8562.2 103.75 3.54239E-06 3.503873269 8359592.7 103.76 -0.01

8562.1 103.75 3.54239E-06 3.503864954 8359348.3 103.76 0.00

8562.0 103.75 3.54239E-06 3.503856639 8359103.9 103.75 0.00

8561.9 103.75 3.54239E-06 3.503848324 8358859.6 103.75 0.00

8561.8 103.75 3.54239E-06 3.503840009 8358615.2 103.75 0.01

Resultado:

p1 8562.0 [lbf /ft2] 59.46 [psia] 4.04 [atm]

3. Calcular la velocidad de descarga de aire a la atmósfera, desde unrecipiente a P0=150 psig y T0 = 70ºF a través de tubería de 33 ft de largo,con diámetro de 2”, Sch 40, acero comercial y 3 codos medio.

Figura. Problema ejemplo, flujo de gases

Para el análisis, se tiene que determinar primero el valor de N.



D

L f N ⋅=

Considerando flujo turbulento para un ε /D de 0.0004, se puede suponer un f =

0.016

Se calcula N:

Resistencia L/D N=f·L/Dentrada 0.50 (se asume)

cañería recta 3.063 codos 1.44

Σ 5.00

Haciendo los cambios de unidades adecuados:

P0 = (150+14.7) = 164.7 psia = 164.7 · 144 = 23700 lb f/pie2

P3 = 14.7 psia = 14.7 · 144 = 2210 lbf/pie2

T0 = 70 ºF = 70 + 460 = 530 ºR

Se calcula según la ecuación (9.37):( )

0

0

718,2 T R

PM gPG C

ci

⋅⋅

⋅=

Rlb-mol

ft ft

lb

R

f

º

1545

32 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=5301545718.2

2932 ⋅17.23700

⋅⋅⋅=ciG

==> Gci = 486 [lbm/ft2·s]

D = 2.067/12 = 0.1722 ft

A = 0.0233 ft2

Caso Isotérmico Adiabático

k 1.0 1.4(P3/P0) 0.0893 0.0893N 5.0 5.0(G/Gci) 0.545 0.565Gci 486 486G (lb/pie·s) 265 275G·A = W 6.18 6.41T2/T0 1 0.833T2 (ºF) 79 -18



Temp.media

70 (70-18)/2 = 26

µ 1.21·10-5 lbm/ft·s 1.14·10-5 lbm/ft·sRe 3.77·106 4.16·106 f = 0,016

Presiones P2 y P1

Isotérmico Adiabático

(P1/P0) 0.91 0.89(P2/P0) 0.32 0.26

cteG

G

ci

=

7162267 Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles

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