Demostracin del teorema de Nyquist a travs de la conversin ADC - DAC y filtrado de una seal

senoidalValeria Araya, Alejandro Medina

Ingeniera Civil en ComputacinUniversidad de Talca

vaaraya@alumnos.utalca.clamedina@alumnos.utalca.cl

Abstract Las seales no tienen gran inters en s mismas si no nos es posible transmitirlas y recibirlas. Las seales, por tanto, estn muy ligadas a la comunicacin y su procesamiento es de vital importancia en la llamada era de la informacin. Para llevar a cabo ello es necesario procesar las seales. El primer fundamento sobre esto es el teorema de Nyquist que trata con el muestreo, y que no debe ser confundido o asociado con la cuantificacin, proceso que sigue al de muestreo en la digitalizacin de una seal y que, al contrario del muestreo, no es reversible. Mientras que las conversiones ACD DAC permiten trabajar con las seales sin perder su informacin original.

Keywords Nyquist, muestreo, cuantificacin, ADC (Analog Digital converter), DAC (Digital Analog converter), butterword (filtrado), aliasing.

I. INTRODUCCINEl presente paper contiene una revisin sobre lo que es el

teorema de Nyquist, su demostracin por medio del muestreo y cuantificacin de una seal senoidal, a la que posteriormente se le aplicara conversin analgica digital (ADC) y digital analgica (DAC), para finalmente ser filtrada. El objetivo que se persigue es aprender el manejo de procesamiento de una seal cualquiera, entender el teorema de Nyquist aprendiendo a utilizarlo correctamente y ver como sirve para corregir el problema de aliasing (superposicin peridica sucesiva).

Finalmente, entender como fluye la informacin sin perderse en el traspaso de analgico a digital o viceversa, y comprender que la conversin ADC se emplea para trabajar con una seal ms inmune al ruido y otras interferencias a las que son ms sensibles las seales analgicas y que la conversin DAC es para volver la seal trabajada a su estado original.

II. MUESTREO

Una muestra es un valor numrico en funcin del tiempo. Este valor es parte de una seal continua o de una seal discreta y son extrados de stas para un procesado matemtico mediante elementos electrnicos que nos permita realizar funciones tales como el filtrado de una seal. El muestro con lo que a seales respecta, es el primer paso para el procesamiento de una seal y lo que hace en s es tomar

medidas a intervalos regulares de tiempo, llamadas muestras (samples), se graban temporalmente en un circuito de memoria (hold) y luego se hace con los pulsos resultantes lo que se tenga previsto.

Finalmente, el muestreo permite que una seal analgica se convierta en una secuencia de nmeros que normalmente estn uniformemente espaciados en el tiempo Para que dicho proceso tenga utilidad prctica es necesario elegir la tasa de muestreo adecuadamente de modo que esa secuencia de nmeros identifique de forma nica a la seal analgica original y que al reproducirla a una determinada velocidad la escuchemos como una seal continua.

Esta es la esencia del teorema de muestreo.

III. TEOREMA DE MUESTREO

Dada una seal analgica cualquiera, cmo se debe elegir el periodo de muestreo T? cual es velocidad de muestras Fs? Para contestar esta pregunta es necesaria cierta informacin sobre la caracterstica de la seal que va a ser muestreada. De hecho, el propsito del procesado de seal es normalmente la extraccin de dichas caractersticas. Sin embargo, si se conoce la mxima frecuencia de una determinada clase de seal, se puede especificar la velocidad de muestreo necesaria para convertir las seales analgicas en seales digitales. De hecho, el propsito del procesado de seal es normalmente la extraccin de dichas caractersticas.

Sin embargo, si se conoce la mxima frecuencia de una determinada clase de seal, se puede especificar la velocidad de muestreo necesaria para convertir las seales analgicas en seales digitales.

Si se supone que cualquier seal analgica se puede representar como una suma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decir

(1.1)

donde N indica el nmero de componentes de frecuencia. Todas las seales, como las de voz video se prestan a dicha representacin en cualquier intervalo de tiempo pequeo.

Normalmente, las amplitudes, fases y frecuencias varan lentamente de un intervalo de tiempo al siguiente. Si se supone que la frecuencia de una determinada seal no excede una frecuencia mxima conocida Fmax. Por ejemplo, si Fmax = 3KHz, para seales de voz y Fmax = 5MHz para seales de video, se puede ver que la mxima frecuencia puede variar ligeramente, y para asegurar que Fmax no sobrepase determinado valor, la seal analgica es pasada a travs de un filtro que atene fuertemente las componentes de frecuencia por encima de Fmax. En la prctica, este filtrado se realiza antes del muestreo.

Se sabe que la frecuencia ms alta de una seal analgica que puede reconstruirse sin ambigedad cuando la seal se muestrea a una velocidad de Fs = 1/T es Fs/2. Cualquier frecuencia por encima de Fs/2 o por debajo de Fs/2 produce muestras que son idnticas a las correspondientes a las frecuencias dentro del intervalo Fs/2 F Fs/2.

Para evitar las ambigedades, que resultan del aliasing, se debe seleccionar una velocidad de muestreo lo suficientemente alta, esto es, se debe escoger a Fs/2 mayor que a Fmax. Por lo tanto para evitar el problema de aliasing, se selecciona a Fs como:

(1.2)

Teorema: Si la frecuencia ms alta contenida en una seal analgica xa(t) es Fmax = B y la seal se muestrea a una velocidad Fs > 2Fmax, entonces xa(t) se puede recuperar totalmente de sus muestras mediante la siguiente funcin de interpolacin:

(1.3)

As, xa(t) se puede expresar como:

(1.4)

donde xa(n/Fs) = xa(nT) = x(n).Cuando el muestreo de xa(t) se realiza a la tasa mnima de

muestreo Fs =2B, la formula de reconstruccin (1.4) se transforma en:

(1.5)

La tasa de muestreo dada por FN = 2B = 2Fmax, se denomina tasa deNyquist. La Figura 1.12 ilustra el proceso de un DAC ideal que usa esta funcin de interpolacin.

Figura 1.6: Conversin analgico a digital ideal

IV. MUESTREO DE UNA SEAL CONTINUA

El muestreo consiste en obtener muestras equiespaciadas temporalmente de la seal analgica. Esto es, almacenamos el valor de la seal de entrada cada Ts segundos, siendo Ts el periodo de muestreo y fs=1/Ts la frecuencia de muestro(el nmero de muestras por segundo que se toman), matemticamente este proceso puede representarse como sigue

Esta seal tomar el valor que tome la seal en los instantes y cero en el resto. Posteriormente se pasar la seal por un conversor continuo/discreto que convierta esas deltas continuas en deltas discretas.

Es evidente que la seal muestreada no ser igual que la analgica de entrada, pues no estar definida en todos los instantes de tiempo. Por lo tanto, surge la pregunta de si ser posible volver a obtener la seal inicial a partir de la muestreada. Para responder a esto hemos de ver 2 parmetros: La frecuencia de muestreo, fs, y la mxima frecuencia de la seal analgica, que se relacionan mediante el Teorema de Nyquist-Shanon.

Antes de describir esto, veamos como vara la seal muestreada (sen(2*pi*5*t) con una fs muy baja(20Hz) (izquierda) y una fs alta (100) (derecha):

Como se ve, en el primer caso la seal muestreada no es capaz de seguir la variacin de la seal de entrada. En ambos casos no tenemos todas las muestras de la seal (pues son infinitas) si no solo un conjunto discreto de ellas luego, por qu en el segundo caso obtenemos una seal igual a la de entrada y el primer caso no? La respuesta la da el Teorema de Nyquist-Shanon: Sea x(t) una seal de banda limitada con X(jw)=0 para |w|> . Entonces x(t) se determina unvocamente mediante sus muestras con n=...-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4...si

Donde y es la mxima frecuencia de la seal analgica. Por lo tanto, la frecuencia de muestreo habr de ser mayor que 2 veces la frecuencia mxima de la seal analgica y adems, cuanto ms alta sea fs, mejor. Sin embargo, a mayor fs tendrmos ms muestras y por tanto un bitrate mayor. Hemos de encontrar una solucin ptima de compromiso entre una fs y un bitrate ptimos.

Para entender todo esto hablemos de la caracterizacin frecuencial de las seales, haciendo uso para ello de la transformada de Fourier:

donde

Esta X(jw) representa la distribucin en frecuencias de la seal x(t), por ejemplo, si calculamos X(jw) de la funcin sen(2*pi*100*t) esperaremos obtener componentes frecuenciales en 100Hz y -100 Hz:

Ahora que ya sabemos que X(jw) representa el espectro frecuencial de x(t), pasemos a ver las implicaciones que el proceso de muestreo tiene en este espectro:

Recordando

, que multiplicar en el tiempo es convolucionar en frecuencia y que

Se verifica que:

Es decir, el espectro de la seal muestreada es igual al de la de entrada pero escalado por y repetido en mltiplos. Es decir, si el espectro de nuestra seal de entrada es:

El espectro de la seal muestreada ser:

A partir de estas 2 figuaras podemos entender perfectamente el Teorema de Nyquist Shanonn. Si , siendo B la frecuencia mxima de la seal, podremos filtrar pasobajo y quedarnos solo con el espectro pasobajo, obteniendo as la seal original. En cambio, si no se cumple que tendremos solapamiento entre espectros y no podremos obtener la seal original de ninguna manera.

V. CUANTIFICACIN DE UNA SEAL MUESTREADA

Es la conversin de una seal en tiempo discreto con valores continuos a una seal en tiempo discreto con valores discretos (seal digital). El valor de cada muestra de la seal se representa mediante un valor seleccionado de un conjunto

finito de valores posibles. La diferencia entre la muestra sin cuantificar x(n) y la salida cuantificada xq(n) se denomina error de cuantificacin.

Ahora ya tenemos una seal discreta en tiempo: El siguiente paso ser discretizar en amplitud, este paso es conocido como cuantificacion. Este proceso consite en asignar los infinitos valores de amplitud de la seal de entrada en un conjunto finito de amplitudes. La siguiente figura ilustra bien el proceso:

Si la amplitud de entrada se encuentra entre 0 y x1 se le asigna un valor de amplitud de salida de y1; Si est entre x1 y x2, el valor de salida ser de y2 y as sucesivamente. Es decir, se transforma un intervalo de amplitudes por un nico valor de amplitud, que normalmente coincide con el punto medio de ese intervalo. En total tenemos N= 6 niveles de cuantificacin (se necesitaran 3 bits).

La cuantificacin es un proceso necesario, pues un sistema digital no puede procesar una seal con infinitos posibles valores. Sin embargo, conlleva inherentemente 2 problemas:Error de saturacin: Ocurre cuando la seal de entrada tiene una amplitud mayor que el margen dinmico del cuantificador.Error granular: Es un error inevitable, pues estamos aproximando valores continuos de amplitud por valores discretos. Este error tomar valores entre +q/2 y -q/2, siendo q el valor de la altura del escaln de cuantificacin.

En funcin del nmero de bits que utilicemos para codificar cada muestra tendremos ms o menos niveles de cuantificacin.

Sean n = nmero de bit por muestra; L= Nmero de niveles del cuantificador; q=Altura del escaln y Vpp= Voltios pico a pico de la seal de entrada.

se verifica que y que

Adems, un parmetro que mide la calidad del cuantificador es la relacin seal a ruido de cuantificacin (SNRq), que vendr dada por:

Otro parmetro importe del cuantificador es el Margen dinmico, que se define como la diferencia ente el valor mximo y mnimo que admite el cuantificador.

Es evidente que a mayor nmero de bits por muestra mayor nmero de escalones tendremos y mayor se parecer la seal cuantificada a la original. Por desgracia, incrementar el nmero de bits por muestra tambin incrementa, en la misma proporcin, el bitrate de la seal. Luego estamos en un compromiso entre aumento de la calidad de la seal y del bitrate.

VI. CODIFICACIN DE UNA SEAL (DCA)

En el proceso de codificacin, cada valor discreto xq(n) se representa mediante una secuencia binaria de b bits.

Ya tenemos nuestra seal discreta tanto en tiempo como en amplitud, ahora slo falta asignar un cdigo a cada muestra discreta. A cada posible valor cuantificado de amplitud se le asigna un cdigo (una sucesin de 1s y 0s), que tendr un nmero determinado de bits, en funcin del nmero total de niveles a cuantificar que haya. En concreto, si L es el nmero total de niveles de cuantificacin y n es el nmero de bits por

muestra, se tiene que . Aunque podemos tomar el L que deseemos (siempre que Aunque podemos tomar el L que

deseemos (siempre que ) lo ms eficiente es tomar el

L mximo ( )para as no desaprovechar ninguno de los niveles.A modo de ejemplo, si usamos 5 bits y usamos L=23 slo estaremos usando 23 de los 32 posibles niveles, desaprovechando as 9 niveles. Una posible asignacin de cdigos para cada nivel de cuantificacin podra ser:

Donde se ha codificado asignando un nmero en binario

mayor cuanto mayor es la amplitud (a la amplitud le

corresponde la codificacin 001 y a la la amplitud 100, por ejemplo. Al tener 6 niveles son necesarios 3 bits(pues con 2 podramos diferenciar slo 4 niveles distintos). Hay que destacar que esta asignacin es aleatoria, es decir, podemos asignar la codificacin que deseemos a cada valor de amplitud (no tiene por qu ser en binario creciente, como en este caso).

A modo de ejemplo se realiza la codificacin de la seal |x|:

Seal |x| original

Seal |x| cuantificada con L=64 niveles y rango dinmico entre 0 y 2-(1/32)

Ahora bien para realizar conversiones de seales analgicas a digitales tenemos:

DAC de escalera: Esta configuracin permite un rango amplio de valores de las resistencias. En la actualidad, este tipo de circuito es superado por las redes de escalera del tipo R-2R

DAC de escalera R-2R: La propiedad de esta configuracin es que cualquiera que sea el nmero de secciones en la red, la resistencia vista por el operacional es R.

ADC de simple rampa: Este tipo de convertidor utiliza un integrador con un condensador que se carga a pendiente constante hasta alcanzar la tensin a convertir, instante en el que cesa la integracin. El tiempo requerido es proporcional a la tensin de entrada, y puede medirse con un contador digital.

ADC de doble rampa: Este esquema permite independizarse de la precisin de la frecuencia del reloj, la resistencia y el condensador. La conversin se hace en dos etapas, la primera se realiza la integracin de la tensin de entrada durante un tiempo fijo, y en la segunda se produce la descarga con pendiente fija, durante un tiempo que depende de la cantidad de carga acumulada.

Filtro: El filtro de Butterworth ms bsico es el tpico filtro paso bajo de primer orden, el cual puede ser modificado a un filtro pasa alto o aadir en serie otros formando un filtro pasa banda o elimina banda y filtros de mayores rdenes.Filtros de Butterworth de varios rdenes.

Segn lo mencionado antes, la respuesta en frecuencia del filtro es mximamente plana (con las mnimas ondulaciones) en la banda pasante. Visto en un diagrama de Bode con escala logartmica, la respuesta decae linealmente desde la frecuencia de corte hacia menos infinito. Para un filtro de primer orden son -20 dB por dcada (aprox. -6dB por octava).

El filtro de Butterworth es el nico filtro que mantiene su forma para rdenes mayores (slo con una cada de ms pendiente a partir de la frecuencia de corte).

VII. CONCLUSIONSThe version of this template is V2. Most of the formatting

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ACKNOWLEDGMENTThe heading of the Acknowledgment section and the

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