8 CONTROLADORES AVANZADOS - Universidad de...

8 CONTROLADORES AVANZADOS

n el presente Capítulo se describen dos técnicas avanzadas de control que se han estudiado en el marco de la realización del Máster en Automática, Robótica y Telemática, y que se han aplicado en simulación a diversos modelos realizados para un ciclo de refrigeración de una sola etapa de compresión y un recinto

a refrigerar. Estos modelos fueron obtenidos a partir de la bibliografía y aún no se ha podido identificar la planta experimental de refrigeración para adecuar estos modelos al sistema real. En cualquier caso, se pretende en los próximos meses realizar la identificación y la aplicación de estos controladores a la estación experimental.

8.1 Algoritmos genéticos

Esta sección detalla el procedimiento de diseño de un controlador para un ciclo de refrigeración de una etapa mediante algoritmos genéticos. Se presenta el modelo dinámico de la planta de refrigeración que se ha utilizado como banco de pruebas de controladores, así como las estrategias de control prediseñadas. Posteriormente se analiza el algoritmo genético aplicado para la optimización de los parámetros del controlador, presentando los diferentes criterios de diseño aplicados. Finalmente, se muestran los resultados del algoritmo genético, así como la respuesta dinámica del ciclo de refrigeración ante las acciones de control diseñadas.

8.1.1 Modelo dinámico utilizado

El modelado dinámico del ciclo de refrigeración mostrado en la Figura 1.1 se basa en el desarrollo de submodelos para cada uno de los componentes del ciclo, los cuales pueden ser dinámicos (flujo de refrigerante a lo largo de los intercambiadores de calor) o estáticos (compresor, válvula de expansión y fluidos secundarios en evaporador y condensador). En esta sección el modelo dinámico utilizado para el ciclo es el descrito en detalle en [17].

E

El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. Además de su extrema importancia en los sistemas de vehículos espaciales, de guiado de misiles, robóticos y similares;

el control automático se ha vuelto una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de

manufactura.

- Katsuhiko Ogata -

113

Controladores avanzados

114

8.1.2 Estructuras de control prediseñadas

Como ya se ha comentado, existen dos variables manipulables en el ciclo: la velocidad de giro del compresor 𝑁𝑁 y la apertura de la válvula de expansión 𝐴𝐴𝑣𝑣. En cuanto a objetivos de control, el primero de ellos y principal es el seguimiento de una determinada referencia de potencia frigorífica demandada por el recinto a refrigerar (�̇�𝑄𝑠𝑠). Posteriormente, y de forma en principio menos prioritaria, se querría satisfacer la demanda de potencia frigorífica con el mayor 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 posible, para lo que se necesitaría que el controlador fuese capaz de mantener un valor del sobrecalentamiento a la salida del evaporador lo menor posible. En condiciones normales, para garantizar el correcto funcionamiento del compresor y evitar la aparición de gotas de líquido en la succión del mismo, se impone una referencia con un valor pequeño para 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻.

Para simplificar el diseño del controlador de la planta, se proponen en primer lugar dos controladores PI desacoplados para el control de las dos variables mencionadas: el controlador PI de la potencia frigorífica proporcionará el valor que debe tomar la apertura de la válvula de expansión, mientras que el controlador PI del sobrecalentamiento a la salida del evaporador proporcionará el valor que debe tomar la velocidad de giro del compresor, según se indica en la Ecuación 8.1.

𝑁𝑁 = 𝐶𝐶𝐼𝐼11�𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓 ,𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻�

𝐴𝐴𝑣𝑣 = 𝐶𝐶𝐼𝐼22(�̇�𝑄𝑠𝑠,𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓 , �̇�𝑄𝑠𝑠)

Ecuación 8.1. Estrategia de control multivariable desacoplado

Posteriormente, se propone una nueva estructura de control multivariable en la cual el valor de las variables manipulables procederá de la combinación de cuatro controladores PI acoplados, tal como se muestra en la Ecuación 8.2.

𝑁𝑁 = 𝐶𝐶𝐼𝐼11�𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓 ,𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻�+ 𝐶𝐶𝐼𝐼12(�̇�𝑄𝑠𝑠,𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓 , �̇�𝑄𝑠𝑠)

𝐴𝐴𝑣𝑣 = 𝐶𝐶𝐼𝐼21�𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓 ,𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻�+ 𝐶𝐶𝐼𝐼22(�̇�𝑄𝑠𝑠,𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓 , �̇�𝑄𝑠𝑠)

Ecuación 8.2. Estrategia de control multivariable acoplado

Los parámetros de los controladores PI se diseñan mediante algoritmos genéticos a partir de la simulación dinámica del sistema en bucle cerrado.

8.1.3 Algoritmo genético implementado

Para la implementación del algoritmo genético para la optimización de parámetros se ha utilizado el software de cálculo MATLAB® y en concreto el toolbox de optimización y la función ga. A continuación se indican las características de la optimización genética implementada.

115 Automatización y control de una planta experimental de refrigeración por compresión de vapor

8.1.3.1 Fitness function Para evaluar el desempeño de cada controlador diseñado se ha determinado un criterio cuadrático en función de las variables a controlar y las manipuladas. Una vez se ha definido un controlador para la planta, ya sea desacoplado o acoplado, se realiza una simulación sobre el modelo de la planta, con una primera fase de la simulación en lazo abierto, es decir, con las variables manipulables fijadas de manera arbitraria. En la segunda fase de simulación, se conmuta al control en lazo cerrado con unos valores constantes de referencia para las variables a controlar.

Una vez finalizada la simulación, se analiza el desempeño del controlador en la segunda fase, ya que esta es la única en la que se ha llevado a cabo control en bucle cerrado. Se analizan los errores relativos de seguimiento de las variables a controlar y las variaciones relativas de las variables manipulables respecto al valor en lazo abierto. Finalmente, se establece el valor de una cierta función de coste cuadrática, tal como se indica en la Ecuación 8.3.

1

,

,

,

,

( )

( )

( )

( )

T T

i

ref

ref

e ref e

e ref

lazo abierto

lazo abierto

v v lazo abierto

v lazo abierto

J e Qe u Ru

abs TSH TSHTSH

eabs Q Q

Q

abs N NN

uabs A A

A

∞

=

= +

− = −

− = −

∑

Ecuación 8.3. Función de coste cuadrática implementada como fitness function

Las matrices de ponderación 𝑄𝑄 y 𝑅𝑅 permiten fijar la agresividad del controlador en el seguimiento de las referencias. Tanto para el caso del controlador multivariable desacoplado como en el caso del controlador multivariable acoplado, se analizan 4 combinaciones diferentes para las matrices 𝑄𝑄 y 𝑅𝑅, que se recogen en la Tabla 8.1.


116

Tabla 8.1. Matrices de ponderación en cada uno de los diseños realizados

Criterios de diseño Matriz 𝑄𝑄 Matriz 𝑅𝑅

Criterio I 1 0

0 1Q =

1 0

0 1R =

Criterio II 1 0

0 10Q =

1 0

0 1R =

Criterio III 1 0

0 1Q =

10 0

0 10R =

Criterio IV 1 0

0 10Q =

10 0

0 10R =

En cuanto a la matriz 𝑄𝑄, en los Criterios II y IV se ponderan más los errores de seguimiento de la referencia de la potencia frigorífica demandada, ya que es en principio la principal variable a controlar, o al menos la que podría tener unos requerimientos de dinámica en bucle cerrado más restrictivos. En los Criterios I y III, la ponderación del error de seguimiento de la potencia frigorífica y del sobrecalentamiento a la salida del evaporador es igual, de forma que no se da prioridad al seguimiento de ninguna de las dos referencias.

En cuanto a la matriz 𝑅𝑅, en los Criterios III y IV se ponderan más las acciones de control necesarias para el seguimiento de referencias en las variables controladas, de forma que resultarán controladores menos agresivos.

8.1.3.2 Población Se selecciona un tamaño de población de 20 individuos. La población inicial se calcula mediante el procedimiento uniform, el cual crea una población aleatoria inicial con una distribución uniforme de probabilidad.

8.1.3.3 Selección Para la selección de individuos que actúen como progenitores de la siguiente generación, se utiliza el método de la ruleta.

8.1.3.4 Reproducción Se selecciona una probabilidad de cruce del 80%, y el método de cruce heuristic, el cual devuelve un hijo en la línea que contiene los dos padres, a una pequeña distancia del padre con mejor fitness y en la dirección que se aleja del padre con peor fitness. Se puede especificar el alejamiento del hijo respecto del padre con mejor fitness mediante el parámetro ratio. Este parámetro se ha fijado a 1.2. También se considera elitismo, mediante la conservación del individuo con mejor fitness entre una generación y la siguiente.


8.1.3.5 Mutación El método seleccionado para la mutación es el método adaptive feasible, el cual genera de forma aleatoria una dirección que es adaptativa respecto a la última generación. La mutación elige una dirección y una longitud de paso de manera que se cumplan las restricciones del problema.

8.1.3.6 Restricciones lineales En este caso se imponen restricciones lineales sobre los parámetros a optimizar. Los tiempos integrales de los controladores PI deben ser positivos, de forma que se indica al algoritmo la presencia de límites inferiores nulos para estos parámetros en concreto.

8.1.4 Resultados de simulación

8.1.4.1 Controlador multivariable desacoplado

En este apartado se muestran los resultados del algoritmo genético, así como el comportamiento dinámico de la planta de refrigeración ante cambios en las referencias de las variables controladas, utilizando el mejor controlador obtenido en el procedimiento de optimización genético. Se particularizan los resultados para cada uno de los criterios de diseño contemplados y descritos en el apartado 8.1.3.1.

En la Tabla 8.2 se muestran los valores óptimos para los parámetros del controlador multivariable desacoplado determinados por el algoritmo genético utilizando cada uno de los criterios de evaluación.

Tabla 8.2. Valores óptimos para los parámetros del controlador desacoplado

Criterio de diseño 𝒌𝒌𝒑𝒑,𝟏𝟏𝟏𝟏 [rpm/ºC] 𝑻𝑻𝒊𝒊,𝟏𝟏𝟏𝟏 [s] 𝒌𝒌𝒑𝒑,𝟐𝟐𝟐𝟐 [%/kW] 𝑻𝑻𝒊𝒊,𝟐𝟐𝟐𝟐 (s)

Criterio I 129.7 2.66 0.035 0.03

Criterio II 103.2 0.72 0.070 0.06

Criterio III 141.0 0.68 0.548 18.72

Criterio IV 137.2 8.91 0.015 0.02

En todos los casos el algoritmo genético finalizó debido a un cambio medio en el fitness menor que la tolerancia establecida.

En las Figuras 8.1 a 8.4 se muestra la evolución del mejor fitness a lo largo de la optimización llevada a cabo por el algoritmo genético, para cada uno de los criterios de diseño, mientras que las Figuras 8.5 a 8.8 muestran los valores tomados por cada uno de los parámetros a lo largo de la optimización llevada a cabo por el algoritmo genético, para cada uno de los criterios.


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Figura 8.1. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio I)

Figura 8.2. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio II)


Figura 8.3. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio III)

Figura 8.4. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio IV)


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Figura 8.5. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio I)

Figura 8.6. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio II)


Figura 8.7. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio III)

Figura 8.8. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador desacoplado, Criterio IV)

En la Figura 8.9 se muestra la evolución temporal del grado de sobrecalentamiento del refrigerante a la salida del evaporador, junto con su referencia, así como la evolución temporal de la potencia frigorífica intercambiada en el evaporador y su valor de referencia. Se compara el control implementado con los cuatro criterios de diseño. Por su parte, la Figura 8.10 muestra la evolución temporal de las variables manipulables: velocidad de giro del compresor y apertura de la válvula de expansión. Los primeros 5 minutos de la simulación son en lazo abierto, con entradas constantes, mientras que en el minuto 5 de simulación se conmuta al control.


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Figura 8.9. Variables controladas (controlador desacoplado)

Figura 8.10. Variables manipulables (controlador desacoplado)

Se puede comprobar en la Figura 8.9 que la prioridad de control que se le da a la potencia frigorífica intercambiada en el evaporador en los Criterios II y IV se refleja en un controlador más agresivo para esa variable, mientras que se asumen mayores errores de seguimiento en el transitorio para el grado de sobrecalentamiento. Por otra parte, se observa en la Figura 8.10 cómo, para los Criterios III y IV, el control es más suave que para los Criterios I y II, ya que se permite menos alejamiento de las acciones de control respecto a sus valores iniciales en el régimen transitorio.


8.1.4.2 Controlador multivariable acoplado

En este apartado se muestran los resultados del algoritmo genético, así como el comportamiento dinámico de la planta de refrigeración ante cambios en las referencias de las variables controladas, utilizando el mejor controlador multivariable obtenido en el procedimiento de optimización genético. Se particularizan los resultados para cada uno de los criterios de diseño contemplados y descritos en el apartado 8.1.3.1.

En la Tabla 8.3 se muestran los valores óptimos para los parámetros del controlador multivariable acoplado determinados por el algoritmo genético utilizando cada uno de los criterios de evaluación.

Tabla 8.3. Valores óptimos para los parámetros del controlador acoplado

Criterio de diseño 𝒌𝒌𝒑𝒑,𝟏𝟏𝟏𝟏

[rpm/ºC]

𝑻𝑻𝒊𝒊,𝟏𝟏𝟏𝟏

[s]

𝒌𝒌𝒑𝒑,𝟏𝟏𝟐𝟐

[rpm/kW]

𝑻𝑻𝒊𝒊,𝟏𝟏𝟐𝟐

(s)

𝒌𝒌𝒑𝒑,𝟐𝟐𝟏𝟏

[%/ºC]

𝑻𝑻𝒊𝒊,𝟐𝟐𝟏𝟏

[s]

𝒌𝒌𝒑𝒑,𝟐𝟐𝟐𝟐

[%/kW]

𝑻𝑻𝒊𝒊,𝟐𝟐𝟐𝟐

(s)

Criterio I 12.31 0.11 7.00 0.31 -1.01 8.66 0.447 0.19

Criterio II 3.36 0.03 3.49 1.81 -1.07 1.43 0.604 4.03

Criterio III 13.43 0.77 3.70 0.10 -1.01 1.35 0.155 0.18

Criterio IV 14.28 0.46 5.99 0.31 -0.85 1.40 0.125 0.14

En todos los casos el algoritmo genético finalizó debido a un cambio medio en el fitness menor que la tolerancia establecida.

En las Figuras 8.11 a 8.14 se muestra la evolución del mejor fitness a lo largo de la optimización llevada a cabo por el algoritmo genético, para cada uno de los criterios de diseño, mientras que las Figuras 8.15 a 8.18 muestran los valores tomados por cada uno de los parámetros a lo largo de la optimización llevada a cabo por el algoritmo genético, para cada uno de los criterios.


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Figura 8.11. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio I)

Figura 8.12. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio II)


Figura 8.13. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio III)

Figura 8.14. Mejor fitness a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio IV)


126

Figura 8.15. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio I)


Figura 8.16. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio II)


128

Figura 8.17. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio III)


Figura 8.18. Parámetros a lo largo de la optimización (controlador acoplado, Criterio IV)

En la Figura 8.19 se muestra la evolución temporal del grado de sobrecalentamiento del refrigerante a la salida del evaporador, junto con su referencia, así como la evolución temporal de la potencia frigorífica intercambiada en el evaporador y su valor de referencia. Se compara el control implementado con los cuatro criterios de diseño. Por su parte, la Figura 8.20 muestra la evolución temporal de las variables manipulables: velocidad de giro del compresor y apertura de la válvula de expansión. Los primeros 5 minutos de la simulación son en lazo abierto, con entradas constantes. En el minuto 5 de simulación se cierra el lazo de control.


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Figura 8.19. Variables controladas (controlador acoplado)

Figura 8.20. Variables manipulables (controlador acoplado)

Se puede comprobar en la Figura 8.19 que la prioridad de control que se le da a la potencia frigorífica intercambiada en el evaporador en los Criterios II y IV se refleja en un controlador más agresivo para esa variable, mientras que se asumen mayores errores de seguimiento en el transitorio para el grado de sobrecalentamiento. Por otra parte, se observa en la Figura 8.20 cómo, para los Criterios III y IV, el control es bastante más suave que para los Criterios I y II, ya que se permite menos alejamiento de las acciones de control respecto a sus valores iniciales en el régimen transitorio, lo que se refleja también en mayores errores de seguimiento de las variables controladas en el transitorio.

8.1.5 Conclusiones

Mediante algoritmos genéticos se han diseñado los parámetros de un controlador multivariable desacoplado y otro acoplado para el control de la potencia frigorífica y el sobrecalentamiento a la salida del evaporador de un ciclo de refrigeración. Se ha observado la versatilidad del método de optimización, la diversidad de opciones que admite y la simplicidad con la que puede modificarse el criterio de optimización, que en el caso tratado nos lleva a cuatro posibilidades para los parámetros del controlador dependiendo del criterio seleccionado para evaluar el desempeño del controlador.


8.2 Control robusto

Esta sección detalla el procedimiento de diseño de un controlador robusto para un ciclo de refrigeración. Se presenta de forma general el modelo dinámico de un ciclo de refrigeración de una etapa de compresión y un recinto a refrigerar del que se dispone como banco de pruebas de controladores, así como el modelo nominal identificado en un punto de funcionamiento y los modelos identificados en distintos puntos de operación que servirán como medida de incertidumbres. Posteriormente se analiza el algoritmo aplicado para el diseño del controlador robusto, mediante la técnica de resolución del Problema de Sensibilidad Mixta S/KS/T, así como la implementación discreta del controlador. Finalmente, se muestran los resultados de simulación obtenidos al aplicar el controlador robusto diseñado sobre el simulador dinámico de la planta de refrigeración, observando su desempeño en puntos de funcionamiento diferentes al nominal. Así mismo, se observa la capacidad del controlador para rechazar perturbaciones.

8.2.1 Modelo dinámico utilizado

El modelo dinámico empleado se basa en [17], [18], [19], donde se modela de forma independiente cada uno de los componentes del ciclo. Se modela de forma estática el compresor, la válvula de expansión y el comportamiento termodinámico de los fluidos secundarios, mientras que se desarrollan modelos dinámicos para los intercambiadores de calor, debido a que la dinámica del compresor y la válvula suele ser al menos un orden de magnitud más rápida.

Como ya se ha comentado, existen dos variables manipulables en el ciclo: la velocidad de giro del compresor 𝑁𝑁 y la apertura de la válvula de expansión 𝐴𝐴𝑣𝑣. En cuanto a objetivos de control, el primero de ellos y principal es la regulación de la potencia frigorífica proporcionada por el ciclo, que debe satisfacer la demanda del recinto a refrigerar (�̇�𝑄𝑠𝑠). Esto se puede reflejar, entre otras formas, en una determinada referencia para la temperatura de salida del fluido secundario del evaporador (𝑇𝑇𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠). Cuanto menor sea esta, mayor potencia frigorífica se está generando en el ciclo. Posteriormente, y de forma en principio menos prioritaria, se querría satisfacer la demanda de potencia frigorífica con el mayor 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 posible, para lo que se necesitaría que el controlador fuese capaz de mantener un valor del sobrecalentamiento a la salida del evaporador (𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻) lo menor posible. En condiciones normales, para garantizar el correcto funcionamiento del compresor y evitar la aparición de gotas de líquido en la succión del mismo (lo que a nivel tecnológico sería catastrófico para el compresor), se impone una referencia con un valor pequeño para 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻 y en ningún caso el control debe permitir que el grado de sobrecalentamiento se haga nulo o negativo.

Se han realizado diversas simulaciones sobre el modelo dinámico del ciclo de refrigeración en diferentes puntos en el espacio de entradas manipulables. En las Figuras 8.21 y 8.22 se muestran los valores alcanzados en régimen permanente por el 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 y el 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻 en el espacio de entradas manipulables.


132

Figura 8.21. Mapa estático del 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

Figura 8.22. Mapa estático del 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻

En las Figuras 8.21 y 8.22 se observa la correspondencia entre un valor alto del 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 y un valor pequeño del 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻, por supuesto sin llegar a hacerlo nulo debido a las limitaciones tecnológicas del compresor detalladas anteriormente.

El modelo dinámico anteriormente citado define en el caso del evaporador y el condensador diversos modos de funcionamiento, dependiendo de las condiciones entálpicas del refrigerante a la entrada y salida del intercambiador. Así, los modos de funcionamiento del evaporador se distinguen por la existencia (modo 1) o no (modo 2) de vapor sobrecalentado a la salida del mismo. Los cinco modos de funcionamiento del condensador se diferencian según las condiciones entálpicas del refrigerante a la entrada y a la salida del mismo, siendo el modo 1 aquel en el que el refrigerante está en condiciones de vapor sobrecalentado a la entrada y líquido subenfriado a la salida. En la Figura 8.23 se explican gráficamente los diferentes modos del evaporador y el condensador.


Figura 8.23. Modos del evaporador y el condensador

En las Figuras 8.24 y 8.25 se muestran los modos de funcionamiento, alcanzados en régimen permanente, del evaporador y del condensador, en el espacio de variables manipulables.

Figura 8.24. Mapa estático del modo de funcionamiento del evaporador


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Figura 8.25. Mapa estático del modo de funcionamiento del condensador

Debido a requerimientos tecnológicos, especialmente en el compresor cuyo fluido de entrada no debe ser bifásico en ningún momento, es deseable que tanto el evaporador como el condensador funcionen en su modo 1. En la Figura 8.26 se muestra una vista en el espacio de entradas manipulables de las variables de entrada que conducen en régimen permanente a este modo de funcionamiento combinado.

Figura 8.26. Vista combinada del modo 1 del evaporador y el condensador

En el espacio definido por la Figura 8.26 se han seleccionado una serie de puntos de operación, en los cuales se ha simulado la respuesta de las variables de salida del sistema (𝑇𝑇𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠 y 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻) ante escalones en las variables manipulables. En la Tabla 8.4 se muestran las características de cada punto de operación.


Tabla 8.4. Puntos de operación seleccionados

Punto de

operación 𝑵𝑵 (rpm) 𝑨𝑨𝒗𝒗 (%)

𝐶𝐶𝐶𝐶1 1800 25

𝐶𝐶𝐶𝐶2 2138 30

𝐶𝐶𝐶𝐶3 2475 35

𝐶𝐶𝐶𝐶4 2813 40

𝐶𝐶𝐶𝐶5 3150 50

𝐶𝐶𝐶𝐶6 3488 45

𝐶𝐶𝐶𝐶7 3825 50

𝐶𝐶𝐶𝐶8 4163 60

Figura 8.27. Respuesta en escalón en el punto 𝐶𝐶𝐶𝐶4

La Figura 8.27 muestra una respuesta ante escalón típica, en concreto en el punto 𝐶𝐶𝐶𝐶4. Puesto que la respuesta dinámica de 𝑇𝑇𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠 ante cambios en 𝑁𝑁 muestra sobreoscilación pero no oscilaciones mantenidas, y el resto de respuestas exhiben comportamiento de fase no mínima (aunque el efecto es muy rápido en el caso de la respuesta de TSH ante cambios en 𝑁𝑁 y no se aprecia en la gráfica superior izquierda de la Figura 8.7), el modelo dinámico en cada punto de operación se expresa en forma de matriz de transferencia en continuo y se recoge en la Ecuación 8.4. Los valores numéricos de 𝑘𝑘𝑓𝑓𝑖𝑖, 𝜏𝜏𝑧𝑧,𝑓𝑓𝑖𝑖 , 𝜏𝜏𝑓𝑓,𝑓𝑓𝑖𝑖 y 𝜏𝜏𝑠𝑠,𝑓𝑓𝑖𝑖 se recogen en la Tabla 8.5.


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�∆𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻(𝑠𝑠)

∆𝑇𝑇𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠(𝑠𝑠)� = 𝐺𝐺(𝑠𝑠) � ∆𝑁𝑁(𝑠𝑠)

∆𝐴𝐴𝑣𝑣(𝑠𝑠)�

𝐺𝐺(𝑠𝑠) =

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝑘𝑘11�𝜏𝜏𝑧𝑧11𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑓𝑓11𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑠𝑠11𝑠𝑠 + 1�

𝑘𝑘12�𝜏𝜏𝑧𝑧12𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑓𝑓12𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑠𝑠12𝑠𝑠 + 1�

𝑘𝑘21�𝜏𝜏𝑧𝑧21𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑓𝑓21𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑠𝑠21𝑠𝑠 + 1�

𝑘𝑘22�𝜏𝜏𝑧𝑧22𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑓𝑓22𝑠𝑠 + 1��𝜏𝜏𝑠𝑠22𝑠𝑠 + 1�⎦

⎥⎥⎥⎤

Ecuación 8.4. Modelo nominal identificado en continuo

Tabla 8.5. Valores numéricos de los parámetros de las matrices de transferencia identificadas

Entre todos ellos se ha seleccionado el punto 𝐶𝐶𝐶𝐶4 como punto de funcionamiento nominal, ya que minimiza la región de incertidumbre; en base a este se diseñará el control robusto considerando el resto de plantas identificadas como incertidumbres del modelo.

8.2.2 Diseño e implementación del controlador robusto

8.2.2.1 Problema de Sensibilidad Mixta S/KS/T

Se propone un controlador robusto centralizado multivariable, teniendo en cuenta que el sistema debe trabajar adecuadamente en distintos puntos de operación. Es difícil descubrir la forma en que las variaciones en cada parámetro del modelo afectan a las salidas, de forma que no es razonable diseñar un controlador basado en incertidumbres paramétricas. Por tanto, se diseña un controlador 𝐻𝐻∞ basado en incertidumbre no estructurada, usando el enfoque del Problema de Sensibilidad Mixta.

El diseño del controlador 𝐻𝐻∞ se puede formular como un problema de optimización, que puede ser representado bajo la configuración general mostrada en la Figura 8.28. En esta figura, 𝐺𝐺𝐶𝐶(𝑠𝑠) representa la planta generalizada, 𝐾𝐾(𝑠𝑠) el controlador, 𝒖𝒖 el vector de señales de control, 𝒗𝒗 el vector de variables medidas, 𝝎𝝎 el vector de señales externas y 𝒛𝒛 el vector de variables de error.


Figura 8.28. Formulación general del problema de control

El problema de control óptimo 𝐻𝐻∞ con esta configuración consiste en calcular un controlador de tal forma que se minimice el ratio entre la energía del vector de error 𝒛𝒛 y la energía de las señales externas 𝝎𝝎. La resolución de este problema óptimo está aún abierta, pero existen soluciones para el caso subóptimo [20], [21]. Por tanto, se minimiza dicho ratio mediante un procedimiento iterativo.

La configuración usada para construir la planta generalizada 𝐺𝐺𝐶𝐶(𝑠𝑠) viene determinada por el Problema de Sensibilidad Mixta S/KS/T [22], que se muestra en la Figura 8.29. En este caso la expresión para la matriz de transferencia en bucle cerrado resultante es la mostrada en la Ecuación 8.5, donde 𝑆𝑆0(𝑠𝑠) es la matriz de transferencia de sensibilidad a la salida, 𝑇𝑇0(𝑠𝑠) es la matriz de transferencia de sensibilidad complementaria a la salida y 𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠) es la matriz de transferencia de sensibilidad al control, cuyas expresiones se recogen en la Ecuación 8.6. 𝑊𝑊𝐾𝐾(𝑠𝑠), 𝑊𝑊𝑇𝑇(𝑠𝑠) y 𝑊𝑊𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑠𝑠) constituyen sus respectivas matrices de ponderación, que permiten especificar el rango de frecuencias relevantes para la matriz de transferencia en bucle cerrado.

Figura 8.29. Problema de Sensibilidad Mixta S/KS/T

𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑠𝑠) = �𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠)

𝑊𝑊𝐾𝐾𝑆𝑆(𝑠𝑠)𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠)

𝑊𝑊𝑇𝑇(𝑠𝑠)𝑇𝑇0(𝑠𝑠)�

Ecuación 8.5. Matriz de transferencia en lazo cerrado

𝑆𝑆0(𝑠𝑠) = �𝐼𝐼 + 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐾𝐾(𝑠𝑠)�−1

𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾(𝑠𝑠)�𝐼𝐼 + 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐾𝐾(𝑠𝑠)�−1

𝑇𝑇0(𝑠𝑠) = 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐾𝐾(𝑠𝑠)�𝐼𝐼 + 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐾𝐾(𝑠𝑠)�−1

Ecuación 8.6. Matrices de sensibilidad

Para problemas de seguimiento de referencias, atenuación de ruidos y estabilidad robusta con respecto a incertidumbres multiplicativas a la salida es necesario moldear adecuadamente 𝑇𝑇0(𝑠𝑠). Por otra parte, un moldeo conveniente de 𝑆𝑆0(𝑠𝑠) mejora el comportamiento dinámico del sistema. Además, la matriz 𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠) permite evitar


138

problemas numéricos en el algoritmo de síntesis del controlador. Por consiguiente, puesto que el controlador se obtiene a partir de la planta generalizada, el problema de síntesis se reduce al diseño de las matrices de ponderación que impondrán las especificaciones de control. Una vez diseñadas, se puede construir la planta generalizada como se muestra en la Figura 8.29 y se puede calcular el controlador mediante el algoritmo de síntesis.

8.2.2.2 Diseño de las matrices de ponderación

La selección de las matrices de ponderación se ha realizado siguiendo las reglas de diseño propuestas en [23], [24]. Para ello, es necesario en primer lugar ajustar el sistema en escala, de acuerdo con la máxima desviación permitida para cada entrada y salida. En la Ecuación 8.7 se muestra el escalado del sistema, donde 𝐺𝐺(𝑠𝑠) es la matriz de transferencia identificada en la subsección 8.2.1 y 𝐺𝐺�(𝑠𝑠) es el sistema escalado. Las matrices de escalado 𝐷𝐷𝑜𝑜 y 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓 se calculan como se indica en la Ecuación 8.8.

𝐺𝐺�(𝑠𝑠) = 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒−1 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐷𝐷𝑜𝑜 Ecuación 8.7. Escalado del sistema

𝐷𝐷𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓 = �∆𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(º𝐶𝐶) 0

0 ∆𝑇𝑇𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(º𝐶𝐶) � = �10 00 0.5�

𝐷𝐷𝑜𝑜 = �∆𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚) 0

0 ∆𝐴𝐴𝑣𝑣,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(%) � = �675 00 20�

Ecuación 8.8. Matrices de normalización

Una vez se dispone del modelo nominal escalado, la incertidumbre multiplicativa a la salida se puede estimar como se muestra en la Ecuación 8.9, donde 𝐺𝐺�(𝑠𝑠) es el modelo nominal escalado y 𝐺𝐺�𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖(𝑠𝑠) es el modelo no nominal identificado en el punto 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑓𝑓 (i = 1, 2,…, 8). El máximo valor singular de las incertidumbres estimadas se representa a lo largo de la frecuencia en la Figura 8.30.

𝑉𝑉�𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖(𝑠𝑠) = �𝐺𝐺�𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖(𝑠𝑠) − 𝐺𝐺�(𝑠𝑠)�𝐺𝐺�(𝑠𝑠)−1

Ecuación 8.9. Cálculo de la incertidumbre multiplicativa a la salida


Figura 8.30. Valores singulares máximos de cada una de las incertidumbres estimadas

A continuación, la matriz 𝑊𝑊𝑇𝑇(𝑠𝑠) se diseña como una matriz diagonal con todos sus elementos diagonales con la misma función de transferencia, como se indica en la Ecuación 8.10, donde 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠) debe ser estable, de fase mínima, con alta ganancia a alta frecuencia y con magnitud mayor que el máximo valor singular de la incertidumbre, para cada modelo no nominal y frecuencia, como se indica en la Ecuación 8.11. En la Ecuación 8.12 se indica la función de transferencia 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠) calculada en este caso, cuya magnitud se representa superpuesta a la de los valores singulares máximos de cada una de las incertidumbres en la Figura 8.31, observándose el cumplimiento de todos los requisitos impuestos.

𝑊𝑊𝑇𝑇(𝑠𝑠) = 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)𝐼𝐼2𝑚𝑚2

Ecuación 8.10. Matriz de ponderación 𝑊𝑊𝑇𝑇(𝑠𝑠)

�𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑗𝑗𝜔𝜔)� ≫ 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝑉𝑉�𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖(𝑗𝑗𝜔𝜔)� ∀𝜔𝜔,∀𝐶𝐶𝐶𝐶𝑓𝑓

Ecuación 8.11. Criterio de diseño de 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)

𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠) = 31.77𝑠𝑠+ 0.79430.001005𝑠𝑠+ 1

Ecuación 8.12. Expresión para 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)


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Figura 8.31. Valores singulares máximos de las incertidumbres y función de ponderación 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)

La matriz 𝑊𝑊𝐾𝐾(𝑠𝑠) se toma como una matriz cuadrada diagonal de funciones de transferencia, como se indica en la Ecuación 8.13, donde cada elemento diagonal 𝑊𝑊𝐾𝐾𝑖𝑖(𝑠𝑠) se diseña de acuerdo a la Ecuación 8.14.

𝑊𝑊𝐾𝐾(𝑠𝑠) = �𝑊𝑊𝐾𝐾𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑠𝑠) 0

0 𝑊𝑊𝐾𝐾𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠(𝑠𝑠)�

Ecuación 8.13. Matriz de ponderación 𝑊𝑊𝐾𝐾(𝑠𝑠)

𝑊𝑊𝐾𝐾𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑠𝑠+10(𝜅𝜅𝑖𝑖−1)𝑧𝑧𝑇𝑇

𝑠𝑠+𝛽𝛽𝑖𝑖10(𝜅𝜅𝑖𝑖−1)𝑧𝑧𝑇𝑇, 𝑑𝑑 = 𝑇𝑇𝑆𝑆𝐻𝐻,𝑇𝑇𝑓𝑓𝑜𝑜𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠

Ecuación 8.14. Criterio de diseño de 𝑊𝑊𝐾𝐾𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝜔𝜔𝑇𝑇 es la frecuencia de corte de 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠) y su valor es 𝜔𝜔𝑇𝑇 = 0.0192 rad/s. Los parámetros 𝛼𝛼𝑓𝑓 y 𝛽𝛽𝑓𝑓 son las ganancias a alta y baja frecuencia respectivamente. De acuerdo con [24], se elige 𝛼𝛼𝑇𝑇𝐾𝐾𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠 = 0.5 y 𝛽𝛽𝑇𝑇𝐾𝐾𝑇𝑇 = 𝛽𝛽𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠 = 10−4. Finalmente, los parámetros adimensionales 𝜅𝜅𝑓𝑓 determinan el ancho de banda de la función de transferencia correspondiente, y sus valores deben ser mayores conforme aumenta la velocidad de respuesta deseada de la salida correspondiente. En este diseño los valores elegidos son 𝜅𝜅𝑇𝑇𝐾𝐾𝑇𝑇 = 𝜅𝜅𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠,𝑠𝑠 = 1.

El diseño de la matriz de ponderación 𝑊𝑊𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑠𝑠) se escoge como una simple ganancia sin dinámica para evitar problemas numéricos. El valor de la ganancia se elige como 0.2 (para ambas variables de salida) para darle al controlador posibilidad de una mayor potencia de control a bajas frecuencias, dados los valores singulares observados en la Figura 8.31 a baja frecuencia.

Una vez que se han diseñado las matrices de ponderación, se puede construir la planta generalizada mostrada en la Figura 8.29 y calcular numéricamente el controlador.


8.2.2.3 Resultados del diseño

La síntesis del controlador 𝐻𝐻∞ da lugar a un valor de atenuación 𝛾𝛾 de 1.3392. De acuerdo con la Ecuación 8.15, el valor obtenido no garantiza estabilidad robusta, de forma que es necesario comprobar que las funciones de sensibilidad no exceden sus cotas con el controlador diseñado.

‖𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑠𝑠)‖∞ = ��𝑊𝑊𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠)

𝑊𝑊𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝐾𝐾(𝑠𝑠)𝑆𝑆0(𝑠𝑠)𝑊𝑊𝑇𝑇(𝑠𝑠)𝑇𝑇0(𝑠𝑠)

��

∞

< 𝛾𝛾

Ecuación 8.15. Atenuación del ratio entre la energía de las salidas y la de las perturbaciones

En la Figura 8.32 se muestran las funciones de sensibilidad diagonales junto con sus cotas a lo largo de la frecuencia.

Figura 8.32. Funciones de sensibilidad diagonales y sus cotas

Se observa en la Figura 8.32 que ambas funciones de sensibilidad se encuentran por debajo de sus cotas en todo el rango de frecuencias estudiado. El ancho de banda de la función de sensibilidad 𝜔𝜔𝐵𝐵 se estima como 0.016 rad/s, lo que nos da un tiempo de subida estimado de en torno a 100 segundos. Para observar la interacción debida a las funciones de sensibilidad cruzadas se representa su ganancia natural respecto a la frecuencia en la Figura 8.33.


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Figura 8.33. Funciones de sensibilidad no diagonales

En la Figura 8.34 se muestran las funciones de sensibilidad complementaria diagonales junto con sus cotas a lo largo de la frecuencia.

Figura 8.34. Funciones de sensibilidad complementaria diagonales y sus cotas

Se observa en la Figura 8.34 que ambas funciones de sensibilidad complementaria se encuentran por debajo de sus cotas en todo el rango de frecuencias estudiado. Igualmente, para observar la interacción debida a las funciones de sensibilidad complementaria cruzadas se representa su ganancia natural respecto a la frecuencia en la Figura 8.35.


Figura 8.35. Funciones de sensibilidad complementaria no diagonales

En la Figura 8.36 se muestra el comportamiento frente a la frecuencia de los valores singulares de la matriz de transferencia 𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑠𝑠).

Figura 8.36. Valores singulares de la matriz de transferencia 𝑇𝑇𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑠𝑠)

En la Figura 8.37 se muestran las funciones de sensibilidad al control diagonales junto con sus cotas a lo largo de la frecuencia.


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Figura 8.37. Funciones de sensibilidad al control diagonales y sus cotas

Se observa en la Figura 8.37 que ambas funciones de sensibilidad al control se encuentran por debajo de sus cotas en todo el rango de frecuencias estudiado. Las cotas son constantes a lo largo de la frecuencia debido a que se eligieron como simples ganancias sin dinámica.

El controlador 𝐾𝐾(𝑠𝑠) obtenido por el método iterativo es de alto orden (en concreto de orden 12), de forma que para su implementación práctica es necesario reducir su orden mediante ciertas simplificaciones. En primer lugar se calculan los valores singulares de Hankel, que informan acerca de la energía de cada estado del controlador. En base a esta información, se reduce el orden del controlador despreciando los estados de baja energía. De esta forma, el controlador reducido conserva las características principales del controlador original. En la Figura 8.38 se muestran los valores singulares de Hankel del controlador obtenido originalmente, una vez ya desnormalizado.

Figura 8.38. Valores singulares de Hankel del controlador original

La reducción se aplica despreciando los estados con energía inferior a 10−5 según la escala aplicada, y se elige un número de estados de 8 para el controlador reducido. En la Figura 8.39 se muestra el diagrama de Bode del controlador original y el reducido.


Figura 8.39. Comparación del diagrama de Bode del controlador original y el reducido

Se observa en la Figura 8.39 que a las frecuencias a las que se va a trabajar, ambos sistemas tienen las mismas características dinámicas, en magnitud y en fase, y que solo a altas frecuencias se aprecian diferencias.

El controlador obtenido originalmente no tiene efecto integral explícito, aunque sí una serie de polos muy cerca del origen. Suele ser útil convertir estos polos en integradores puros, de forma que el control final tenga efecto integral. En este caso se observa que el controlador reducido posee dos polos del orden de 10−6, que se convierten a integradores puros. En la Figura 8.40 se muestra el diagrama de Bode del controlador reducido y del controlador con efecto integral.

Figura 8.40. Comparación del diagrama de Bode del controlador reducido y con efecto integral


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Se observa en la Figura 8.40 que las diferencias solo estriban en las bajas frecuencias, como se desea, en magnitud y fase. Finalmente, para la implementación discreta del controlador, se aplica el método de discretización de Euler I con un tiempo de muestreo de 6 segundos (debido a limitaciones físicas de la válvula de expansión utilizada en el modelo) y se factoriza el controlador de orden 8 en productos de funciones de transferencias discretas propias de orden 1 o como máximo de orden 2, para evitar la fragilidad del controlador en su implementación discreta.

8.2.3 Resultados de simulación

En esta subsección se muestran los resultados de simulación del controlador robusto implementado sobre el simulador dinámico completo del ciclo de refrigeración, para observar el desempeño del controlador en puntos de trabajo diferentes al nominal e incluso a los considerados como incertidumbre en el proceso de diseño del controlador. También se pretende observar la capacidad del controlador para rechazar perturbaciones.

En la Figura 8.41 se muestra la evolución temporal del grado de sobrecalentamiento del refrigerante a la salida del evaporador, junto con su referencia, y la evolución temporal de la temperatura de salida del fluido secundario en el evaporador. En la Figura 8.42 se muestra la evolución temporal de las variables manipulables: velocidad de giro del compresor y apertura de la válvula de expansión, mientras que la Figura 8.43 muestra el perfil de las variables que se consideran perturbaciones externas al sistema.

Los primeros 5 minutos de la simulación son en lazo abierto, con entradas constantes. En el minuto 5 se conmuta al control robusto, mientras que en el minuto 35 se modifica la referencia para el grado de sobrecalentamiento a la salida del evaporador, y en el minuto 65 se modifica la referencia para la temperatura de salida del fluido secundario del evaporador. Finalmente en los minutos 95 y 155 se mantienen las referencias pero se somete al sistema a perturbaciones mantenidas, en primer lugar en la temperatura de entrada del fluido secundario del condensador (corrigiendo la perturbación en el minuto 125), y en segundo lugar en la temperatura de entrada del fluido secundario del evaporador, y se observa la respuesta del control ante las perturbaciones.

Figura 8.41. Variables controladas (I)


Figura 8.42. Variables manipulables (I)

Figura 8.43. Variables de perturbación

Se observa en las Figuras 8.41 y 8.42 que el control robusto diseñado ejecuta correctamente las tareas de control encomendadas, siendo capaz de seguir referencias lejos del punto de funcionamiento nominal, y asimismo siendo capaz de rechazar perturbaciones tales como la variación de la temperatura de entrada de los fluidos secundarios del evaporador y el condensador. El tiempo de subida de las variables controladas ante escalón en la referencia se observa que es de aproximadamente 110 segundos, de forma que el ancho de banda de la función de sensibilidad que se ha diseñado se cumple aproximadamente en la respuesta temporal.

En la Figura 8.44 se muestran las potencias intercambiadas en cada uno de los componentes del ciclo. Se observa cómo la perturbación en la temperatura de entrada del fluido secundario al evaporador provoca que la potencia térmica que debe proporcionar el ciclo en el evaporador para mantener la temperatura de salida en su referencia deba aumentar en gran medida. Por otro lado, en la Figura 8.45 se muestra la evolución del coeficiente de comportamiento a lo largo de la simulación.


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Figura 8.44. Potencias intercambiadas en el ciclo (I)

Figura 8.45. Evolución temporal del 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (I)

Se observa en la Figura 8.45 que, al aumentar la referencia para el grado de sobrecalentamiento a la salida del evaporador en el minuto 35 el coeficiente de comportamiento disminuye, lo que significa que, proporcionando la misma potencia térmica al fluido secundario del evaporador, esta se genera de forma menos eficiente desde el punto de vista energético.

A partir del minuto 95 se aumenta la temperatura de entrada del fluido secundario en el condensador, lo que provoca que el salto de presiones que debe proporcionar el compresor manteniendo las variables reguladas en su referencia es mayor, lo que disminuye drásticamente el coeficiente de comportamiento. Finalmente, cuando a partir del minuto 155 se incrementa la demanda de potencia térmica en el evaporador (aumentando la temperatura de entrada del fluido secundario y pretendiendo mantener la temperatura de salida en la referencia anterior), el coeficiente de comportamiento aumenta ligeramente al hacerlo la potencia térmica intercambiada.

En la simulación comentada anteriormente se ha trabajado con valores de la velocidad de giro del compresor superiores a 3150 rpm, de forma que se ha analizado el desempeño del controlador en puntos de trabajo cercanos a los puntos 𝐶𝐶𝐶𝐶4, 𝐶𝐶𝐶𝐶5, 𝐶𝐶𝐶𝐶6 y 𝐶𝐶𝐶𝐶8. En la simulación que se presenta a continuación se trabaja en puntos de funcionamiento más cercanos a los puntos 𝐶𝐶𝐶𝐶1, 𝐶𝐶𝐶𝐶2, 𝐶𝐶𝐶𝐶3 y 𝐶𝐶𝐶𝐶4.


En la Figura 8.46 se muestra la evolución temporal del grado de sobrecalentamiento del refrigerante a la salida del evaporador, junto con su referencia, y la evolución temporal de la temperatura de salida del fluido secundario en el evaporador. La Figura 8.47 muestra la evolución temporal de las variables manipulables: la velocidad de giro del compresor y la apertura de la válvula de expansión, mientras que el perfil de perturbaciones es el mismo mostrado en la Figura 8.43.

Al igual que en la primera simulación, los primeros 5 minutos de la simulación son en lazo abierto, con entradas constantes. En el minuto 5 se conmuta al control robusto, mientras que en el minuto 35 se modifica la referencia para el grado de sobrecalentamiento a la salida del evaporador, y en el minuto 65 se modifica la referencia para la temperatura de salida del fluido secundario del evaporador. Finalmente en los minutos 95 y 155 se mantienen las referencias pero se somete al sistema a perturbaciones mantenidas, en primer lugar en la temperatura de entrada del fluido secundario del condensador (corrigiendo la perturbación en el minuto 125), y en segundo lugar en la temperatura de entrada del fluido secundario del evaporador, y se observa la respuesta del control ante las perturbaciones.

Figura 8.46. Variables controladas (II)

Figura 8.47. Variables manipuladas (II)


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Se observa en las Figuras 8.46 y 8.47 que el control robusto diseñado de nuevo ejecuta correctamente las tareas de control encomendadas, siendo capaz de seguir referencias lejos del punto de funcionamiento nominal, y asimismo siendo capaz de rechazar perturbaciones tales como la variación de la temperatura de entrada de los fluidos secundarios del evaporador y el condensador. El comportamiento transitorio es distinto en el caso de puntos de trabajo cercanos a los puntos 𝐶𝐶𝐶𝐶1, 𝐶𝐶𝐶𝐶2, 𝐶𝐶𝐶𝐶3 y 𝐶𝐶𝐶𝐶4, pero el tiempo de establecimiento de las variables es muy parecido al obtenido en la simulación anterior.

En la Figura 8.48 se muestran las potencias intercambiadas en cada uno de los componentes del ciclo, mientras que la Figura 8.49 muestra la evolución del coeficiente de comportamiento a lo largo de la simulación.

Figura 8.48. Potencias intercambiadas en el ciclo (II)

Figura 8.49. Evolución temporal del 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (II)


8.2.4 Conclusiones

En esta sección se ha diseñado e implementado un controlador robusto para un ciclo de refrigeración. Partiendo de un modelo no lineal complejo de la planta, se ha identificado un modelo lineal de bajo orden en un punto de operación y una serie de modelos en otros puntos de funcionamiento y en base a estos modelos (considerando el primero como nominal y el resto como incertidumbres) se ha diseñado el controlador robusto, mediante la técnica de resolución del Problema de Sensibilidad Mixta S/KS/T. Se ha detallado asimismo la implementación discreta del controlador. Se han obtenido resultados de simulación que demuestran el buen desempeño del controlador en diferentes puntos de funcionamiento, incluso alejados del nominal o de aquellos considerados como incertidumbres en el diseño del controlador. También se ha observado la capacidad del controlador para rechazar perturbaciones externas.

Para mejorar aún más el desempeño del controlador se puede contemplar la identificación de más puntos de trabajo en la zona deseada de funcionamiento del ciclo e incluir todos ellos en el diseño robusto del controlador, de forma que se minimiza la posibilidad de trabajo en puntos que no se han tenido en cuenta como incertidumbres a la hora del diseño del controlador. Asimismo, mediante un diseño más ajustado se podría hacer el controlador algo más rápido, aunque la característica de cualquier controlador robusto es que, precisamente para garantizar robustez, la respuesta dinámica en bucle cerrado es lenta, en comparación con la obtenida con otros controladores diseñados específicamente para un punto de funcionamiento mediante otras técnicas.


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8 CONTROLADORES AVANZADOS - Universidad de...

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