Teora cuntica de Campos.

Esther Quintana Tudela

1. Introduccin:1.1. Campos. El desarrollo de la teora cuntica de campos se llev a cabo simultneamente con el de la propia mecnica cuntica. Entre 1926 y 1928 se desarrollaron los primeros intentos de encontrar una ecuacin de onda relativista, debidos al propio Erwin Schrdinger y a Paul Dirac. Por otro lado, en 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Max Born calcularon el espectro de energas de la radiacin en ausencia de cargas el problema del cuerpo negro, en el primer ejemplo de teora cuntica de campos aplicada al campo electromagntico. Esto condujo a una reformulacin de las mencionadas ecuaciones de onda relativistas, conocida como segunda cuantizacin, de forma que pasaron a describir campos en lugar de funciones de onda. Esta reinterpretacin fue llevada a cabo por Heisenberg, Wolfgang Pauli, Vladimir Fock, Wendell Furry, Robert Oppenheimer y Victor Weisskopf. A pesar de sus xitos iniciales, la teora cuntica de campos tena problemas tericos muy serios. El clculo de muchas cantidades fsicas en apariencia inocuas, como las pequeas correcciones a los niveles energticos del electrn en el tomo de hidrgeno la llamada estructura fina, daba un valor infinito, un resultado sin sentido. Este problema de las divergencias fue resuelto durante las dcadas de 1930 y 1940 por Julian Schwinger, Freeman Dyson, Richard Feynman y Shin'ichiro Tomonaga entre otros, a travs de un proceso conocido como renormalizacin. Esta etapa culmin con el desarrollo de la moderna electrodinmica cuntica QED, por Quantum Electrodynamics. La tcnica de los diagramas de Feynman, un procedimiento grfico de clculo desarrollado por Richard Feynman, se convirti en una de las herramientas bsicas de la teora cuntica de campos. Comenzando la dcada de 1950 con el trabajo de Chen Ning Yang y Robert Mills, QED fue generalizada a una clase ms general de teoras conocidas como teoras gauge. A finales de la dcada de 1960, Sheldon Glashow, Abdus Salam y Steven Weinberg unificaron las interacciones electromagntica y dbil en la teora electrodbil una teora gauge mediante el concepto de ruptura espontnea de simetra, introducido originariamente para explicar la superconductividad. Sin embargo, la intensidad de las interacciones fuertes entre hadrones fue un desafo para los tericos de campos hasta el desarrollo del concepto de libertad asinttica por Frank Wilczek, David Gross y Hugh David Politzer en 1973.Tambin durante la dcada de 1970, la teora cuntica de campos rompi los grilletes de los diagramas de Feynman, al descubrirse que las soluciones no perturbativas de las ecuaciones de los campos clsicos juegan un papel crucial a nivel cuntico. La ecuacin de Schrdinger, una de las ms importantes de la mecnica cuntica, describe la evolucin de un sistema cuntico en el tiempo. La forma convencional de esta ecuacin es:

donde (r) (r1,...,rn) es la funcin de onda de n partculas, m su masa, y V su energa potencial. Sin embargo, en esta forma bsica, la ecuacin de Schrdinger no es capaz de describir algunos aspectos de ciertos sistemas fsicos: Creacin y destruccin: Durante la evolucin de este sistema, el nmero de partculas se mantiene finito e invariable a saber, n. Sin embargo, en experimentos de altas energas es corriente que el nmero de partculas vare por ejemplo en la desintegracin de un neutrn, o la aniquilacin de un electrn y un positrn en fotones, como consecuencia de la famosa relacin masa-energa de la relatividad. Adems, en el contexto de fsica del estado slido, las excitaciones de un colectivo de tomos se reinterpretan como cuasipartculas, como el fonn, cuyo nmero es tambin variable. La ecuacin de Schrdinger no es apropiada para describir estos sistemas en el que el nmero de cuerpos no es fijo. Invariancia relativista: Esta ecuacin no refleja las propiedades de la cinemtica relativista. Su lmite clsico describe el movimiento de una partcula bajo las leyes de la mecnica galileana, en lugar de la mecnica relativista: el primer trmino de la izquierda en se corresponde con la energa cintica no relativista p2/2m, en lugar de la expresin relativista (p2c2+m2c4)1/2. Campo clsico: Las interacciones entre las n partculas del sistema tienen lugar mediante fuerzas a distancia, dadas por el portencial V. Sin embargo, en la fsica clsica existen sistemas ms generales, que no pueden entenderse mediante este esquema. Es por ejemplo el caso de un conjunto de cargas elctricas en movimiento: para describir su evolucin es necesario tener en cuenta de forma independiente a las propias partculas cargadas, as como tambin al campo electromagntico que generan.En general, la ecuacin no es vlida para sistemas de campos continuos. Es posible modificar la ecuacin de Schrdinger para hacerla invariante relativista, dando por resultado la ecuacin de Klein-Gordon o la ecuacin de Dirac. Sin embargo, estas ecuaciones tienen muchas propiedades insatisfactorias: por ejemplo, predicen la existencia de partculas con energa negativa, de modo que el sistema resulta ser inestable. Estos defectos son debidos a que dichas ecuaciones tampoco contemplan la posibilidad de que las partculas puedan crearse o destruirse y, como se menciona en el primer epgrafe, es inconsistente suponer una teora relativista con un nmero constante de partculas en interaccin. 1.2. Principios variacionales. 1.2.1. Clculo de variaciones. El clculo de variaciones es un problema matemtico consistente en buscar mximos y mnimos (o ms generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos

sobre algn espacio funcional. Constituyen una generalizacin del clculo elemental de mximos y mnimos de funciones reales de una variable. Uno de los problemas tpicos en clculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la funcin f(x) alcanza un valor extremo (mximo o mnimo). En el clculo de variaciones el problema es encontrar una funcin f(x) para la cual un funcional I[f] alcance un valor extremo. El funcional I[f] est compuesto por una integral que depende de x, de la funcin f(x) y algunas de sus derivadas.

Donde la funcin f(x) pertenece a algn espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones. Esta frmula integral puede ser ms complicada permitiendo a x ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para f. 1.2.2. Principio de mnima accin. El principio de mnima o menor accin o principio de Hamilton es un presupuesto bsico de la mecnica clsica y la mecnica relativista para describir la evolucin a lo largo del tiempo del estado de movimiento de una partcula como de un campo fsico. Tambin en mecnica cuntica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio. 1.2.2.1. La integral de accin para partculas La formulacin del principio para un sistema lagrangiano es: fijado un sistema de coordenadas generalizadas sobre el espacio de configuracin (o una parte del mismo, llamada carta local), se tiene que de todas las trayectorias posibles que transcurren entre el instante t1 y t2, el sistema escoger aquella que minimice la accin S. La magnitud accin viene dada para cada trayectoria por la integral:

Donde:son las coordenadas paramtricas de una trayectoria posible. es la funcin lagrangiana del sistema.

1.2.2.2. La integral de accin para campos La formulacin anterior es adecuada para partculas puntuales, o incluso sistemas mecnicos con un nmero finito de grados de libertad aunque no sean puntuales como

un slido rgido. Sin embargo para campos fsicos que tienen una variacin espacial o para la mecnica de medios continuos la formulacin anterior no es adecuada y debe generalizarse. La generalizacin ms obvia es definir la accin como la integral de una funcin escalar, denominada densidad lagrangiana integrada sobre el volumen donde existe el campo o medio continuo:

En teora clsica de campos es frecuente escribir la ecuacin anterior de forma totalmente covariante:

1.2.2.3. Principio de mnima accin en mecnica relativista: Partculas: En mecnica relativista la accin de una partcula se obtiene mediante clculo a lo largo de la lnea de universo de una partcula, concretamente una partcula material de masa m se mueve a lo largo de una geodsica. La integral de accin a lo largo de una curva L viene dada en coordenadas curvilneas por:

, Si se introduce en las ecuaciones de Euler-Lagrange el integrando de la anterior integral se obtienen las ecuaciones de las geodsicas:

, Campos: Un campo fsico es cualquier tipo de magnitud que presenta variacin tanto espacial como temporal. El tratamiento de este tipo de entidades fsicas requiere el tratamiento mediante densidades lagrangianas, ya que no son representables como sistemas con un nmero finito de grados de libertad. Adems su tratamiento riguroso generalmente requiere el uso de la mecnica relativista para explicar su propagacin. Los campos con los que usualmente trata la teora clsica de campos:

Campo electromagntico, que es el campo asociado a la interaccin de partculas cargadas, y que en ltima instancia explica las propiedades de la materia

convencional, como las propiedades de slidos, lquidos y gases, fenmenos como el color, la luz, etc. Campo gravitatorio, es un tipo de campo relativamente dbil, comparado con el campo electromagntico, pero al ser acumulativo su efecto, es el nico relevante a escala csmica para explicar la evolucin del universo.

La integral de accin para el campo electromagntico viene dado por un escalar construido a partir del tensor campo electromagntico:

De hecho este lagrangiano puede reescribirse en trminos de los campos eltrico y magntico para dar (en unidades cgs):

Introduciendo este lagrangiano en las ecuaciones de Euler-Lagrange, el resultado son las ecuaciones de Maxwell no homogneas. En relatividad general el campo gravitatorio es visto como una manifestacin de la geometra curva del espacio tiempo, por tanto la formulacin lagrangiana del campo gravitatorio relativistamente tratado debe involucrar a algn escalar relacionado con el tensor mtrico y sus derivadas primeras (equivalentemente los smbolos de Christoffel ) o con el tensor de curvatura. Puede probarse que no es posible hallar ningn escalar que involucre slo las componentes del tensor mtrico y los smbolos de Christoffel, ya que mediante cierta transformacin de coordenadas se pueden anular stos ltimos (lo cual es precisamente el contenido del llamado principio de equivalencia). Es interesante que la curvatura escalar R, nos da una forma de accin adecuada: aunque contiene derivadas segundas del tensor mtrico, la variacin de su integral de accin sobre una regin puede acabar expresndose en trminos de slo derivadas primeras. De hecho la forma comn de la integral de accin para el campo gravitatorio ms comnmente en la teora de la relatividad general es:

Donde: , es la curvatura escalar del espacio-tiempo. , son la constante de la gravitacin y la velocidad de la luz. son las componentes de la mtrica (pseudo)riemanniana efectiva.

, es el determinante del tensor mtrico. Algunas teoras mtricas de la gravitacin como la teora relativista de la gravitacin usan lagrangiano ligeramente ms complicado que incluye trminos asociados a la masa del gravitn. Si se substituye la integral de accin anterior en las ecuaciones de EulerLagrange se obtienen como resultado las ecuaciones de campo de Einstein. 1.3. Formalismo lagrangiano. 1.3.1. Lagrangiano. En fsica, un lagrangiano es una funcin matemtica a partir de la cual se pueden obtener la evolucin temporal, las leyes de conservacin y otras propiedades importantes de un sistema fsico. De hecho, en fsica moderna el lagrangiano se considera el objeto ms fundamental que describe un sistema fsico. El formalismo lagrangiano permite alcanzar, tanto las leyes de Newton como las ecuaciones de Maxwell, los cuales pueden ser derivados como las ecuaciones de EulerLagrange de un lagrangiano clsico. Igualmente la forma del lagrangiano determina las propiedades bsicas del sistema en teora cuntica de campos. En mecnica clsica la funcin lagrangiana de un sistema conservativo, denotada mediante L, es simplemente la diferencia entre su energa cintica, T, y su energa potencial, V. El dominio apropiado del lagrangiano es un espacio de fases, y debe obedecer las ecuaciones de Euler-Lagrange. El concepto fue utilizado originalmente en una reformulacin de la mecnica clsica conocida como la mecnica lagrangiana. En coordenadas generalizadas este lagrangiano toma usualmente la forma:

, Donde es el tensor mtrico del espacio eucldeo expresado en las coordenadas generalizadas coorrespondientes, que slo depende de las propias coordenadas de las velocidades . En mecnica relativista la accin de una partcula se obtiene mediante clculo a lo largo de la lnea de universo de una partcula, concretamente una partcula material de masa m se mueve a lo largo de una geodsica. La integral de accin a lo largo de una curva L viene dada en coordenadas curvilneas por:

1.3.1.1. Lagrangiano en teora clsica de campos Un campo fsico es cualquier tipo de magnitud que presenta variacin tanto espacial como temporal. El tratamiento de este tipo de entidades fsicas requiere el tratamiento mediante densidades lagrangianas, ya que no son representables como sistemas con un

nmero finito de grados de libertad. Adems su tratamiento riguroso generalmente requiere el uso de la mecnica relativista para explicar su propagacin. Los campos con los que usualmente trata la teora clsica de campos:

Campo electromagntico, que es el campo asociado a la interaccin de partculas cargadas, y que en ltima instancia explica las propiedades de la materia convencional, como las propiedades de slidos, lquidos y gases, fenmenos como el color, la luz, etc. Campo gravitatorio, es un tipo de campo relativamente dbil, comparado con el campo electromagntico, pero al ser acumulativo su efecto, es el nico relevante a escala csmica para explicar la evolucin del universo. Campos cunticos tratados clsicamente, que permiten formular primeras aproximaciones para campos libres que resultan tiles cuando se trata la evolucin de campos cunticos con interaccin. 1.3.1.2. Lagrangiano del campo electromagntico

El lagrangiano del campo electromagntico viene dado por un escalar construido a partir del tensor campo electromagntico:

De hecho este lagrangiano puede reescribirse en trminos de los campos elctrico y magntico para dar (en unidades cgs):

Introduciendo este lagrangiano en las ecuaciones de Euler-Lagrange, el resultado son las ecuaciones de Maxwell y aplicando una transformacin de Legrendre generalizada se obtiene la expresin de la energa electromagntica:

1.3.1.3. Lagrangiano del campo gravitatorio En relatividad general el campo gravitatorio es visto como una manifestacin de la geometra curva del espacio tiempo, por tanto la formulacin lagrangiana del campo gravitatorio relativistamente tratado debe involucrar a algn escalar relacionado con el tensor mtrico y sus derivadas primeras (equivalentemente los smbolos de Christoffel ) o con el tensor de curvatura. Puede probarse que no es posible hallar ningn escalar que involucre slo las componentes del tensor mtrico y los smbolos de

Christoffel, ya que mediante cierta transformacin de coordenadas se pueden anular stos ltimos (lo cual es precisamente el contenido del llamado principio de equivalencia). Es interesante que la curvatura escalar R, nos da una forma de accin adecuada: aunque contiene derivadas segundas del tensor mtrico, la variacin de su integral de accin sobre una regin puede acabar expresndose en trminos de slo derivadas primeras. De hecho la forma comn de la integral de accin para el campo gravitatorio ms comnmente en la teora de la relatividad general es:

Algunas teoras mtricas de la gravitacin como la teora relativista de la gravitacin usan lagrangiano ligeramente ms complicado que incluye trminos asociados a la masa del gravitn:

Donde:, es la curvatura escalar del espacio-tiempo. , son la constante de la gravitacin y la velocidad de la luz. son las componentes de la mtrica (pseudo)riemanniana efectiva y del espacio de Minkowski subyacente. , se calculan a partir de los determinantes de la mtrica efectiva y minkowskiana, calculados en las mismas coordenadas. , es la masa del gravitn.

1.3.1.4. Lagrangiano en teora cuntica de campos En mecnica cuntica el lagrangiano es un funcional definido sobre el espacio de Hilbert del sistema fsico bajo consideracin. En teora cuntica de campos generalmente los campos son distribuciones sobre definidas sobre el espacio-tiempo cuyos valores son operadores. En teora cuntica de campos el lagrangiano de interaccin, determina la forma del exponente de la exponencial del propagador. Como usualmente dicha exponencial se computa como serie de potencias en que cada trmino se asocia a un diagrama de Feynman.

1.3.1.5. Lagrangiano para la ecuacin de Dirac La ecuacin de Dirac describe partculas ferminicas de espn 1/2, de hecho la ecuacin describe a dichas partculas como un campo ferminico. Esa ecuacin del campo ferminico que representa las partculas se puede derivar de una densidad lagrangiana. En concreto para un campo ferminico libre sin interaccin la densidad lagrangiana de la que se puede derivar la ecuacin de Dirac viene dada por:

Donde: es un espinor de Dirac que representa el campo ferminico de partculas. es el adjunto de Dirac del espinor anterior. es la derivada parcial respecto a las coordenadas. 1.3.1.6. Lagrangiano para QED El lagrangiano de la electrodinmica cuntica o QED incluye un campo campo de gauge conmutativo que representa el anlogo cuntico potencial electromagntico en interaccin con partculas cargadas de tipo ferminico (electrones, quarks, ...). El lagrangiano habitual de partida para QED suele tomarse como:

Donde: es el el campo ferminnico que representa las partculas con carga elctrica. es el campo adjunto de Dirac. , son las matrices de Dirac que intervienen en forma covariante de la ecuacin de Dirac para los fermiones. , es la carga elctrica de la partcula. , es el tensor de campo electromagntico. , es la derivada covariante asociada al campo.

1.3.1.7. Lagrangiano de QCD La cromodinmica cuntica o QCD que describe la interaccin entre los quarks y el campo de gluones puede ser descrita mediante la siguiente accin eucldea, con lagrangiano dado por:

Donde: , espinor de Dirac que representa los campos ferminicos que describen los quarks (y su adjunto de Dirac). representa las matrices de Dirac. , es la derivada covariante asociada al campo gauge glunico. , es el tensor de campo glunico, anlogo al tensor campo electromagntico. , son las matrices de Gell-Mann para su(3) que satisfacen la reglas de conmutacin es el espinor del campo "fantasma" de FaddeevPopov. 1.3.2. Las Ecuaciones de Euler-Lagrange. Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecnica clsica en relacin con el principio de mnima accin aunque tambin aparecen en teora clsica de campos (electromagnetismo, Teora general de la relatividad). 1.3.2.1. Caso discreto En mecnica clsica, estas ecuaciones establecen que la integral de accin para un sistema fsico es un mnimo. Los sistemas de partculas o sistemas discretos pueden tienen un nmero finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de accin es del tipo:

Y su correspondiente variacin viene dada por:

Si se impone ahora que

para variaciones "cercanas", esto implica que:

donde L es el lagrangiano para el sistema, y xa son las coordenadas generalizadas del sistema. 1.3.2.2. Caso continuo La formalizacin de ciertos problemas fsicos requiere construir una integral de accin sobre un sistema continuo que no puede ser tratado mediante un nmero finito de variables o grados de libertad. As en teora de campos y mecnica de medios continuos la accin fsica puede expresarse como una integral sobre un volumen:

Donde

es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la accin toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumacin de Einstein, vienen dadas por:

1.3.2.3. Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometra Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fcilmente la ecuacin de las curvas geodsicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x1, ...xn) sobre una regin abierta U de la variedad de Riemann VR donde el tensor mtrico viene dado por la expresin:

Puesto que dados dos puntos cualesquiera de VR las geodsicas son las lneas de mnima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:

La minimizacin de la expresin anterior al ser la raz una funcin montona, es equivalente a la minimizacin de una integral de accin donde el lagrangiano sea:

De ah que la ecuacin diferencial de las geodsicas venga dada por:

La ecuacin anterior de hecho puede, usando la simetra del tensor mtrico, escribirse como:

Que en trminos de los smbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como:

Donde se han definido los smbolos de Christoffel como a partir de las derivadas del tensor mtrico y el tensor inverso del tensor mtrico:

1.4. Grupos, lgebra y representaciones de Lie. 1.4.1. El grupo de Lie.

En matemtica, un grupo de Lie es una variedad diferenciable real o compleja que es tambin un grupo tal que las operaciones de grupo: multiplicacin e inversin son funciones analticas. Los grupos de Lie son importantes en anlisis matemtico, fsica y geometra porque sirven para describir la simetra de estructuras analticas. Fueron introducidos por Sophus Lie en 1870 para estudiar simetras de ecuaciones diferenciales. Los grupos de Lie se clasifican con respecto a sus propiedades algebraicas (simple, semisimple, resoluble, nilpotente, abeliano), su conexidad (conexo o no conexo) y su compacidad. Si G y H son grupos de Lie (reales o complejos ambos), entonces un homomorfismo de grupo-de-Lie- f: G H es un homomorfismo de grupo que es tambin una funcin analtica. (Se puede demostrar que es equivalente a requerir solamente que sea funcin continua.) La composicin de dos tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie (reales o complejos), junto con estos morfismos, forma una categora. Dos grupos de Lie se dicen isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo entre ellos cuyo inverso es tambin un homomorfismo. Los grupos de Lie isomorfos no necesitan, para cualquier propsito prctico, ser distinguidos; se diferencian solamente en la notacin de sus elementos. 1.4.2. lgebra de Lie. En matemtica, un lgebra de Lie es la estructura algebraica que describe un conjunto de transformaciones infinitesimales. Su uso principal reside en el estudio de objetos geomtricos tales como grupos de Lie y variedades diferenciables. A cada grupo de Lie, podemos asociar un lgebra de Lie que captura totalmente la estructura local del grupo. Un lgebra de Lie A es un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo F junto con una operacin binaria [, ] : A A -> A, llamada corchete de Lie, que satisface las propiedades siguientes:

es bilineal, es decir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en F y todo x, y, z en A. satisface la identidad de Jacobi, es decir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en A. [x, x] = 0 para todo x en A.

Observe que la primera propiedad y la tercera juntas implican [x, y] = [y, x] para todo x, y en A ("anti-simetra") si el cuerpo F es de caracterstica diferente de dos. Observe tambin que la multiplicacin representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir, [[x, y], z] no necesariamente es igual a [x, [y, z]]. Un homomorfismo : A -> B entre las lgebra de Lie A y B sobre el mismo cuerpo de base F es una funcin F-lineal tal que [(x),(y)] =([x, y]) para todo x y y en A. La composicin de tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y las lgebras de

Lie sobre el cuerpo F, junto con estos morfismos, forman una categora. Si tal homomorfismo es biyectivo, se llama un isomorfismo, y las dos lgebras de Lie A y B se llaman isomorfas. Para todos los efectos prcticos, las lgebras de Lie isomorfas son idnticas. Una subalgebra del lgebra de Lie A es un subespacio vectorial B de A tal que [x, y] B para todo x, y B. i.e. [B, B] B. La subalgebra es entonces un lgebra de Lie. Un ideal del lgebra de Lie A es un subespacio vectorial I de A tales que [a, y ] I para toda a A y y I. i.e. [A, I] I. Todos los ideales son subalgebras. Si I es un ideal de A, entonces el espacio cociente A/I se convierte en una lgebra de Lie definiendo [x + I, y + I] = [x, y] + I para todo x, y A. Los ideales son precisamente los ncleos de homomorfismos, y el teorema fundamental de homomorfismos es vlido para las lgebras de Lie. Las lgebras de Lie reales y complejas se pueden clasificar hasta un cierto grado, y esta clasificacin es un paso importante hacia la clasificacin de los grupos de Lie. Cada lgebra de Lie real o compleja finito-dimensional se presenta como el lgebra de Lie de un nico grupo de Lie simplemente conexo real o complejo (teorema de Ado), pero puede haber ms de un grupo, an ms de un grupo conexo, dando lugar a la misma lgebra. Por ejemplo, los grupos SO(3) (matrices ortogonales 33 de determinante 1) y SU(2) (matrices unitarias 22 de determinante 1), ambos dan lugar a la misma lgebra de Lie, a saber R con el producto vectorial. Un lgebra de Lie es abeliana si el corchete de Lie se anula, es decir [x, y] = 0 para todo x e y. Ms generalmente, un lgebra de Lie A es nilpotente si la serie central descendente A [A, A] [[A, A]], A] [[[A, A]], A], A] ... acaba hacindose cero. Por el teorema de Engel, un lgebra de Lie es nilpotente si y solo si para cada x en A, la funcin ad(x): A -> A definida por ad(x)(y) = [x, y] es nilpotente. Ms generalmente an, un lgebra de Lie A es soluble si la serie derivada A [A, A] [[A, A]], [A, A]] [[[A, A]], [A, A]],[[A, A]], [A, A]]] ... acaba hacindose cero. Una sublgebra soluble maximal se llama una sublgebra de Borel. Un lgebra de Lie A se llama semisimple si el nico ideal soluble de A es trivial. Equivalente, A es semisimple si y solamente si la forma de Killing K(x, y) = tr(ad(x)ad(y)) es no-degenerada; aqu tr denota el operador de traza. Cuando el cuerpo F es de caracterstica cero, A es semi-simple si y solamente si cada representacin es totalmente reducible, esto es, que para cada subespacio invariante de la representacin hay un complemento invariante (teorema de Weyl). Un lgebra de Lie es simple si no tiene ningn ideal no trivial. En particular, un lgebra de Lie simple es semi-simple, y ms generalmente, las lgebras de Lie semi-simples son suma directa de simples. Las lgebras de Lie complejas semi-simples se clasifican a travs de sus sistemas de raz.

1.5. Grupo de Lorentz. El producto escalar eucldeo se puede expresar en trminos matriciales < x, y > = xtIy, donde los vectores se escriben como matrices columna. Si G = diag(1,.,1,-1,..-1) p con p+q = n, se puede definir un nuevo producto(,) mediante G: Si A es una matriz real no singular nxn, entonces: q

Comparando con la expresin para (x, y), resulta que (Ax, Ay) = (x, y) para todo x, y pertenecientes a si y solo si . Con O(p,q) se denota al grupo pseudo-ortogonal, constituido por los automorfismos de que preservan el producto (,). Por lo anterior: El grupo de Lorentz es isomorfo a al grupo ortonormal generalizado , es decir, el grupo de transformaciones lineales que deja invariante la mtrica del espacio de Minkowski o grupo de isometra del espacio de Minkowski. Matemticamente est formado por cualquier matriz que satisfaga la relacin:

O en forma matricial ms compacta:

El grupo de Lorentz no es el conjunto ms general de transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de la teora general de la relatividad, ya que no incluye las traslaciones espacio-temporales. De hecho, el grupo de Lorentz es el subgrupo maximal del grupo de Poincar tal que no incluye las traslaciones. 1.5.1. Subgrupos.

El grupo de Lorentz est formado por cuatro componentes conexas, algunos de los subgrupos ms importantes que dicho grupo son:

El subgrupo con transformaciones de Lorentz cuyo determinante es igual a 1. El subgrupo de Lorentz de trasformaciones propias, que es un subgrupo del anterior tal que todas las transformaciones dentro de l cumplen que 00 > 0. El subgrupo de rotaciones en isomorfo a , que es un subgrupo del anterior. El subgrupo de transformaciones ortocrono formado por todas aquellas transformaciones tales que 00 > 0. 1.5.2. Transformacin de Lorentz.

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teora de la relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cmo se relacionan las medidas de una magnitud fsica obtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matemtica de la teora de la relatividad especial de Einstein, ya que las transformaciones de Lorentz precisan el tipo de geometra del espacio-tiempo requeridas por la teora de Einstein. Las transformaciones de Lorentz relacionan las medidas de una magnitud fsica realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformacin de Galileo utilizada en fsica hasta aquel entonces. La transformacin de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales. Una de las consecuencias de que a diferencia de lo que sucede en la mecnica clsica en mecnica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre s. Sin embargo, debido a la objetividad de la realidad fsica las medidas de unos y otros observadores son relacionables por reglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas. Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores inerciales: y y se supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes:

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables de algn modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el sistema est en movimiento uniforme a velocidad a lo largo del eje X del sistema y en el instante inicial ( ) el origen de coordenadas de

ambos sistemas coinciden, entonces las coordenadas atribuidas por los dos observadores estn relacionadas por las siguientes expresiones:

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

Donde es la velocidad de la luz en el vaco. Las relaciones anteriores se pueden escribir tambin en forma matricial:

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz:

La transformacin de Lorentz anterior toma esa forma en el supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restriccin la forma concreta de las ecuaciones se complica. Si, adems, se elimina la restriccin de que la velocidad relativa entre los dos sistemas se d segn el eje X y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las expresiones de la transformacin de Lorentz se complican ms an, denominndose la expresin general transformacin de Poincar. Hasta ahora se ha considerado slo sistemas inerciales en movimiento relativo respecto al eje X, pero igualmente se podra haber considerado sistemas de ejes paralelos respecto a los ejes Y y Z y, en ese caso, las matrices de transformacin de coordenadas vendran dadas por matrices similares a las consideradas en los apartados anteriores de la forma:

Las transformaciones anteriores se llaman a veces boosts, rotaciones espacio-temporales o a veces transformaciones de Lorentz propiamente dichas. El producto de cualquier nmero de transformaciones del tipo anterior constituye tambin una transformacin de Lorentz. Todos esos productos conforman un subgrupo del grupo de Lorentz propio. En general el grupo de Lorentz propio est formado por:

Rotaciones espacio-temporales o boosts, que pueden escribirse como el producto de un nmero finito de boosts del tipo [*]. Rotaciones espaciales, consistentes en un giro de ejes. Este tipo de transformacin tambin forma parte del grupo de Galileo.

El grupo de Lorentz propio as definido es un grupo de Lie conexo. Si a estas transformaciones propias se le aaden transformaciones impropias como las inversiones temporales y las reflexiones espaciales resulta el grupo de Lorentz completo, formado por cuatro componentes conexas cada una de ellas homeomorfa al grupo de Lorentz propio. Una vez definido el grupo de Lorentz podemos escribir las transformaciones lineales ms generales posibles entre medidas tomadas por observadores inerciales cuyos ejes de coordenadas coinciden en el instante inicial:

Donde adems del boost que da la transformacin de coordenadas segn la velocidad de separacin relativa se han incluido las dos rotaciones en trminos de los ngulos de Euler:

La matriz R(1,2,3) alinea el primer sistema de coordenadas de tal manera que el eje X transformado pase a ser paralelo a la velocidad de separacin de los dos sistemas. La matriz R(1,2,3) es la rotacin inversa de la que alineara el eje X del segundo observador con la velocidad de separacin.

En forma ms compacta podemos escribir la ltima transformacin en forma tensorial usando el convenio de sumacin de Einstein como:

1.5.3. Transformaciones de Lorentz para el momento y la energa. El requerimiento de covariancia de la teora de la relatividad requiere que cualquier magnitud vectorial de la mecnica newtoniana venga representada en mecnica relativista por un cuadrivector o cuadritensor en teora de la relatividad. As, el momento lineal requiere ser ampliado a un cuadrivector llamado cuadrivector energamomento o cuadrimomento, que viene dado por cuatro componentes, una componente temporal (energa) y tres componentes espaciales (momentos lineales en cada direccin coordenada):

Cuando se examina los cuadrimomentos medidos por dos observadores inerciales, se encuentra que ambos miden componentes diferentes del momento segn su velocidad relativa a la partcula observada (algo que tambin sucede en mecnica newtoniana). Si se denota al cuadrimomento medido por dos observadores inerciales y con sistemas de coordenadas cartesianas de ejes paralelos y en movimiento relativo segn el eje X, como los que se consideraron en el apartado anterior, los cuadrimomentos medidos por ambos observadores estn relacionados por una transformacin de Lorentz dada por:

Y la transformacin inversa viene dada similarmente por:

O equivalentemente en forma matricial los dos conjuntos anteriores de ecuaciones se representan como:

Donde se ha introducido de nuevo para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz. 1.5.4. Transformaciones de Lorentz en forma tensorial. Supongamos ahora que en lugar de medir magnitudes vectoriales dos observadores se ponen a medir las componentes de alguna otra magnitud tensorial, supongamos que los observadores y miden en sus sistemas de coordenadas la misma magnitud tensorial pero cada uno su propio sistema de coordenadas llegando a:

El postulado de que existe una realidad objetiva independiente de los observadores y que las medidas de estos pueden ser comparadas mediante las transformaciones de covariancia adecuadas conduce a que si estos observadores son inerciales sus medidas estarn relacionadas por las siguientes relaciones:

Donde las matrices se definen, al igual que el apartado anterior mediante el producto de dos rotaciones espaciales y una rotacin temporal (boost) simple. 1.6. Teorema de Noether. El teorema de Noether es un resultado central en fsica terica. Expresa que la existencia de ciertas simetras abstractas en un sistema fsico comporta la existencia de las leyes de conservacin. El teorema se denomina as por la matemtica Emmy Noether, quien lo formul. Adems de permitir aplicaciones fsicas prcticas, este teorema constituye una explicacin de por qu existen leyes de conservacin y magnitudes fsicas que no cambian a lo largo de la evolucin temporal de un sistema fsico. El teorema de Noether relaciona pares de ideas bsicas de la fsica: una es la invariancia de la forma que una ley fsica toma con respecto a cualquier transformacin (generalizada) que preserve el sistema de coordenadas (aspectos espaciales y temporales tomados en consideracin), y la otra es la ley de conservacin de una cantidad fsica. Informalmente, el teorema de Noether se puede establecer como: A cada simetra (continua) le corresponde una ley de conservacin y viceversa. El enunciado formal del teorema deriva una expresin para la cantidad fsica que se conserva (y, por lo tanto, tambin la define) de la condicin de invariancia solamente. Por ejemplo:

la invariancia con respecto a la (direccin del eje de) rotacin da la ley de conservacin del momento angular. la invariancia de sistemas fsicos con respecto a la traslacin (dicho simplemente, las leyes de la fsica no varan con la localizacin en el espacio) da la ley de conservacin del momento lineal. la invariancia con respecto a (la traslacin en) el tiempo da la ley de conservacin de la energa.

Al subir a la teora cuntica de campos, la invariancia con respecto a la transformacin general de gauge da la ley de la conservacin de la carga elctrica, etctera. As, el resultado es una contribucin muy importante a la fsica en general, pues ayuda a proporcionar intuiciones de gran alcance en cualquier teora general en fsica, con slo analizar las diversas transformaciones que haran invariantes la forma de las leyes implicadas. Rotaciones y momento angular

Cuando el lagrangiano de un sistema fsico presenta simetra rotacional, es decir, existe un grupo de transformaciones isomorfo a un subgrupo unidimensional del grupo de rotaciones o grupo especial ortogonal entonces existe una magnitud fsica conservada llamada momento angular que tiene un valor constante a lo largo de la evolucin temporal. Es decir, dicha magnitud no cambia de valor a medida que el sistema evoluciona, razn por la cual dicha magnitud se llama constante del movimiento o magnitud conservada.Traslaciones y momento lineal

Anlogamente si el lagrangiano de un sistema fsico es invariante bajo cierto grupo uniparamtrico de traslaciones entonces existe una componente del momento lineal paralela a dichas traslaciones que no vara con el tiempo, a medida que el sistema evoluciona. Es decir, a pesar de que el estado de movimiento de una partcula o el estado fsico del sistema vare, dicha magnitud fsica siempre mantiene el mismo valor, por complicada que sea la evolucin del sistema. Invariancia temporal y energa De modo similar al caso anterior, la independencia del tiempo del lagrangiano, puede ser vista como una invariancia frente a "traslaciones temporales". En este caso la magnitud conservada es el Hamiltoniano o la integral de Jacobi-Painlev. En un sistema natural si el lagrangiano no depende explcitamente del tiempo se tiene que la energa se conserva. Es decir, en cualquier en la evolucin temporal del sistema la energa no cambia de valor. Invariancia gauge y carga En el contexto de la teora cuntica de campos la existencia de una simetra gauge abstracta del lagrangiano que describe la interaccin electromagntica implica que existe una magnitud conservada que puede identificarse con la carga elctrica, dado que el grupo de simetra gauge del campo electromagntico es el grupo unitario U(1) la magnitud conservada es un escalar. Anlogamente, aunque ligeramente ms complicado, es el caso de la interaccin dbil y la interaccin fuerte, cuyos grupos de simetra gauge son SU(2) y SU(3), que no son conmutativos y llevan a la conservacin de la carga de sabor y la carga de color. 1.6.1. Enunciado y demostracin.

El teorema de Noether implementa un procedimiento natural para encontrar cantidades conservadas de un lagrangiano a partir de las simetras continuas que posee. Aqu vamos a obtener este teorema de forma constructiva. Comenzamos por considerar una transformacin infinitesimal de la forma

Supongamos que esta transformacin es tal que deja invariantes las ecuaciones del movimiento, es decir, deja la accin invariante, S=S. En este contexto, la variacin no tiene porque conmutar con la derivacin parcial, ya es la diferencia de dos trminos con argumentos distintos. Por lo tanto, nos ser til considerar la variacin con argumentos iguales,

Desarrollando

alrededor de x=x,

Donde hemos considerado tan solo variaciones de primer orden, y adems hemos tenido en cuenta que . Por lo tanto, tenemos:

Por otra parte, la variacin de la accin vendr dada en funcin de la variacin de la densidad lagrangiana,

Donde . Para escribir las dos integrales para la misma variable de integracin, debemos utilizar un cambio de variable entre ambas. El jacobiano de la transformacin ser de la forma

El determinante a primer orden es:

Con lo que la expresin para la variacin de la accin queda:

Dado que todos los integrandos son de primer orden en las variaciones, podemos pasar todas las integrales a la variable x (sin prima) sin ningn jacobiano, ya que este nos dara contribucin de segundo orden:

La variacin de la densidad lagrangiana ser:

El primer trmino se anula por las ecuaciones del movimiento, por lo que finalmente tenemos:

Si

, esto significa que existe un vector conservado:

Llamado corriente de Noether tal que . La versin integral de esta conservacin, teniendo en cuenta las componentes espaciales y temporales, nos da

Donde la segunda integral se puede escribir como una integral a la superficie, que se anulara. Por lo tanto, vemos que la integral a todo el volumen de j0 es una constante del movimiento, que conocemos como carga de Noether.

Existe una versin ms sencilla, pero menos potente, del teorema de Noether donde no se tiene en cuenta la variacin del campo debido a la variacin de su argumento. En este caso, no es necesario definir la variacin de tipo , pero a la hora de aplicar el teorema es necesario tener en cuenta cual es la variacin a causa de la variacin de su argumento. En el caso ms general que hemos presentado, tan solo es necesario incluir aquellas variaciones del campo debidas al cambio en su forma funcional. 1.6.2. Ejemplos de amplificacin del teorema de Noether. Para profundizar en el estudio del teorema de Noether, resolvemos algunos ejemplos de inters. EJEMPLO 1 (simetra de translaciones). Estudiamos transformaciones del tipo:

Donde es el vector de translacin. En este caso, el campo no sufre ninguna variacin intrnseca . Dado que el parmetro de la transformacin tiene un ndice, la corriente de Noether tendr un segundo ndice extra:

Y, por lo tanto, tendremos cuatro cargas conservadas para

:

Para i=1, 2, 3. Estas cargas se interpretan fsicamente como la energa y el momento total. Por lo tanto, tal y como ocurre en la mecnica de Newton, la energa se conserva si el sistema es invariante bajo translaciones temporales, y el momento es constante si hay invariancia ante cambios en el origen de coordenadas. EJEMPLO 2 (Simetras internas). En este caso consideraremos un sistema descrito por una serie de campos, , que es invariante ante transformaciones del tipo:

Sin variacin en el sistema de coordenadas, x=x. En este caso la corriente de Noether es:

Y la carga conservada:

EJEMPLO 3 (Simetras de fase global). Consideramos el lagrangiano de un campo escalar complejo de masa m:

Que es obviamente simtrico respecto de la transformacin de fase global:

Donde

es constante. En este caso, la corriente de Noether se obtiene considerando como campos independientes:

EJEMPLO 4 (Transformaciones de Lorentz). Las transformaciones de Lotentz se representan mediante aquellas matrices que dejan invariante la mtrica de Minkowski,

Comencemos por caracterizar una transformacin de Lorentz infinitesimal, ,

Y por tanto tenemos

Consideramos la transformacin infinitesimal de las coordenadas y el campo:

Donde son los generadores infinitesimales de las transformaciones de Lorentz, que satisfacen el algebra de Lie:

Una posible representacin de este algebra es Noether en esta ocasin es:

. La corriente de

Y en este caso, las cargas conservadas tienen dos ndices:

Resultado de inters considerar las componentes espaciales de estas cargas

Donde:

Que estn asociadas con el momento angular orbital y de spin, respectivamente. Las componentes M0i estn relacionadas con la conservacin de las coordenadas del centro de masas y no son de nuestro inters. En el grupo de Poincare, que agrupa las translaciones espacio temporales, con carga de Noether , y las transformaciones de Lorentz, generadas por , define la llamada algebra de Poincare, que cumple las relaciones:

1.6.3. Obtencin de la simetra a partir de las cargas.

Una de las ventajas de la versin del teorema de Noether que hemos presentado es que dada la carga conservada podemos recuperar cual es la simetra que la garantiza. De hecho, se puede demostrar que la variacin a argumentos iguales se puede escribir como el corchete de Poisson del campo con la carga:

Para demostrarlo, tan solo tenemos que calcular el corchete de Poisson segn su definicin:

Que es la expresin para

.

1.7. El campo electromagntico y ondas electromagnticas. Un campo electromagntico es un campo fsico, de tipo tensorial, producido por aquellos elementos cargados elctricamente, que afecta a partculas con carga elctrica. Fijado un sistema de referencia podemos descomponer convencionalmente el campo electromagntico en una parte elctrica y en una parte magntica. Sin embargo, un observador en movimiento relativo respecto a ese sistema de referencia medir efectos elctricos y magnticos diferentes, lo cual ilustra la relatividad de lo que llamamos parte elctrica y parte magntica del campo electromagntico. Como consecuencia de lo anterior tenemos que ni el "vector" campo elctrico ni el "vector" de induccin magntica se comportan genuinamente como magnitudes fsicas de tipo vectorial, sino que juntos constituyen un tensor para el que s existen leyes de transformacin fsicamente esperables.

Campo electromagntico en teora de la relatividad En electrodinmica clsica y sobre todo en teora de la relatividad el campo electromagntico se representa por un tensor 2-covariante y antisimtrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte elctrica y parte magntica del campo:.....

Fuerza de Lorentz

La fuerza de Lorentz puede escribirse de forma mucho ms sencilla gracias al tensor de campo electromagntico que en su escritura vectorial clsica:(expresin vectorial)

(expresin tensorial relativista) Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell tambin toman formas muy sencillas en trminos del tensor de campo electromagntico:

Donde en la ltima expresin se ha usado el convenio de sumacin de Einstein y donde la magnitud J es el cuadrivector de corriente que viene dado por:

Potencial vector

La forma de las ecuaciones de Maxwell permite que sobre un dominio simplemente conexo (estrellado) el campo electromagntico puede expresarse como la derivada exterior de un potencial vector, lo cual facilita enormemente la resolucin de dichas ecuaciones. Usando el convenio de sumacin de Einstein tenemos:

Relacin que escrita ms explcitamente en componentes es:

2. Campos escalares reales y complejos, masivos y son masa, corrrientes conservadas.2.1. Campos escalares reales. Ahora aplicaremos la cuantizacin del oscilador armnico al campo escalar libre. Escribimos y como combinacin lineal de un numero infinito de operadores creacin y aniquilacin, etiquetados por el trimomento

Las relaciones de conmutacin para y son equivalentes a las siguientes relaciones de conmutacin para los operadores escalera

Esto es fcil de comprobar. Asumimos que

Entonces

Ahora calcularemos el Hamiltoniano en trminos de los operadores creacin y aniquilacin

Ahora, usando la

expresin para la frecuencia

, el primer trmino

desaparece, dejndonos

En este punto nos encontramos con una funcin delta, evaluada en cero, donde tiene un pico infinito. Adems la integral sobre

diverge para

grande.

Para enfrentarnos a esto, primero observaremos el estado fundamental, donde este infinito aparece explcitamente. 2.2. Campos escalares complejos. Consideremos ahora un campo escalar complejo con el Lagrangiano

Las ecuaciones de movimiento sern

Donde la segunda ecuacin es el complejo conjugado de la primera. Si desarrollamos el operador de campo complejo como suma de ondas planas

Dado que el campo clsico no es real, el campo cuntico correspondiente no es hermtico. Esta es la razn de que tengamos operadores diferentes y en los trminos de las frecuencias positivas y negativas. El momento clsico del campo es

Que convertimos en un operador cuntico de la forma

Las relaciones de conmutacin entre campos y momentos vienen dadas por

Adems de las relaciones tpicas debidas a la conjugacin compleja. Se puede ver que estas relaciones de conmutacin del campo son equivalentes a las relaciones de conmutacin para los operadores y

y

Resumiendo, cuantizar un campo escalar complejo da lugar a dos operadores de creacin,

y

. Estos operadores tienen la interpretacin de la creacin de dos tipos

de partculas, ambos de masa M y spin cero. Se interpretan como partculas y antipartculas. Al contrario del campo escalar real, donde solo exista un tipo de partcula, para el campo escalar complejo cada partcula tiene su propia antipartcula.

La teora tiene una carga conservada clsica

Que podemos transformar en el operador cuntico

cuenta el nmero de anti-partculas, menos el ] una magnitud conservada, tenemos que [ demasiado importante, porque tanto como adelante veremos que en teoras de interaccin mientras que y individualmente no. 2.3. Campos escalares masivos (Partculas). Es fcil verificar que

nmero de partculas. Dado que Q es . Para nuestra teora libre esto no es se conservan por separado, pero ms sigue siendo una cantidad conservada,

Lo que significa que, como en el oscilador armonico, podemos construir los autoestados de energa actuando sobre el vaco con.

Dado

Este estado tiene energa

Donde

Esta es la relacin de dispersin relativista para una partcula de masa

y trimomento

Interpretamos el estado como el momento del autoestado de una nica partcula de masa m. Para recalcar esto, de ahora en adelante escribiremos en lugar de . Comprobaremos esta interpretacin estudiando otros nmeros cunticos de .

Podemos tomar el momento total clsico , y escribirlo como un operador. Tras normalizarlo nos queda

Actuando sobre nuestro estado con , vemos que es realmente un autoestado

Que nos dice que el estado tiene momento Otra propiedad de que podemos estudiar es su momento angular. Una vez ms, tomaremos la expresin clsica del momento angular total de un campo y la convertiremos en un operador

No es difcil ver que al actuar sobre el estado partcula con momento cero, , lo que se interpreta como que la partcula no posee momento angular interno. En otras palabras, la cuantizacin del campo escalar da lugar a una partcula de spin 0. Podemos crear mltiples estados partcula haciendo actuar muchas veces . Interpretamos el estado en que actan sobre el vaco como un estado n-partcula

. Dado que todos los conmutan entre ellos, el estado es simtrico bajo el intercambio de dos partculas. Por ejemplo

Esto significa que dichas partculas son bosones. El espacio de Hilbert de nuestra teora se abarca por completo actuando sobre el vaco con todas las combinaciones posibles de .

Este espacio se conoce como Espacio de Fock. El espacio de Fock es simplemente la suma de los espacios de Hilbert de n-partculas, para todo . Existe un operador til que cuenta el nmero de partculas de un estado concreto en el espacio de Fock. Se llama operador nmero N.

Y satisface que

] Este operador conmuta con el Hamiltoniano, [ , asegurando que el nmero de partculas se conserva. Esto significa que podemos colocarnos en un sector de nparticular, y seguir ah. Esta es una propiedad de las teoras libres, pero no seguir siendo cierta cuando consideremos interacciones. Las interacciones crean y destruyen particular, movindonos entre diferentes sectores del espacio de Fock. Aunque nos estemos refiriendo a los estados como particular, estos no estn localizados en el espacio, son autoestados del momento. Recordemos que en mecnica cuntica los autoestados de la posicin y el momento no son buenos elementos de un espacio de Hilbert, dado que no son normalizables. De forma similar, en teora cuntica de campos ni los operadores ni son buenos operadores sobre el espacio de Fock, dado que no producen estados normalizables. Son distribuciones evaluadas en operadores, en lugar de funciones. Esto significa que aunque tiene un valor esperado en el vaco bien definido, las fluctuaciones del operador sobre un punto fijado son infinitas.

Podemos construir operadores bien definidos dispersando estas distribuciones sobre el espacio. Por ejemplo, podemos crear un paquete de ondas

Que est parcialmente localizado tanto en el espacio de momentos como en el de posiciones.

3. Campos escalares lineales con fuentes, propagadores, desarrollo en ondas planas de campos escalares en el vaco.3.1. Microcausalidad.

La amplitud de probabilidad de que una partcula se propague de viene dada por

(

)

Esta ltima integral se puede resolver de forma aproximada mediante el mtodo de la mxima pendiente. Para una separacin de tipo espacial, , y para una gran separacin radial, , se obtiene

Que nunca se anula de forma exacta. Por lo tanto, las partculas pueden viajar a velocidades superiores a la de la luz. Sin embargo, esto no viola el principio de causalidad, ya que no implica la posibilidad de transmitir informacin a velocidades hiperluminicas. La condicin que debemos pedir para garantizar la causalidad es que el hacho de efectuar dos acciones en dos puntos del espacio tiempo, x e y, separados por un vector de tipo espacial, no se afecten mutuamente; dicho de otra forma, que conmuten,

(FIGURA: Circuito de integracin para el propagador retardado. El radio se debe hacer tender a infinito) El clculo para comprobar que se cumple la formula anterior es trivial

Dado que la separacin x-y es un cuadrivector de tipo espacio, podemos realizar un cambio de sistema de referencia tal que x0-y0=0, y dado que integramos a todo el espacio de trimomentos, los dos trminos de la ecuacin anterior se cancelan exactamente. Otros resultados interesantes y que nos sern de utilidad posteriormente son los siguientes

3.2. Campos escalares lineales con propagadores. Preparamos una partcula en un punto encontraremos en un punto ? del espaciotiempo. Qu amplitud

La funcin se conoce como propagador. Para separaciones de gnero espacio decae rpidamente como una exponencial, pero no se anula.

El campo cuntico se escapa del cono de luz. Antes hemos visto que las medidas de genero espacio conmutan, y que la teora es causal. Para unir ambas cosas reescribimos el conmutador

Si Cuando se cumple que no existe manera invariante Lorentz de ordenar eventos. Si una particula puede viajar en una direccin de genero espacio de , puede hacerlo tambin de . En cualquier medida, las amplitudes de estos dos eventos se cancelan. ] Con un campo escalar complejo podemos echar un ojo a la ecuacin [ fuera del cono de luz. La interpretacin es que la amplitud de una partcula propagndose de cancela la amplitud de la antipartcula que viaja de . De hecho, esta es tambin la interpretacin en el campo escalar real, dado que cada partcula es su propia antipartcula. Existe otra forma de presentar el propagador. Esto es utilizar una funcin de Green del operador de Klein-Gordon. Mantenindonos lejos de las singularidades, tenemos

Es esta derivacin no hemos hecho uso del contorno, pero para algunos propsitos es til usar los contornos que dan lugar a las funciones de Green.

Por ejemplo, la funcin de Green atrasada, que viene dada por el contorno de la izquierda, y que tiene la propiedad de

La funcin de Green atrasada es til en teora clsica de campos si conocemos el valor inicial de alguna configuracin y queremos saber cmo evolucione en presencia de

alguna fuente. Queremos conocer la solucin de la ecuacin inhomogenea de KleinGordon para alguna funcin .

De forma similar podemos construir la funcin adelantada que se anula para , lo que es til si queremos conocer el estado inicial de una configuracin a partir de su estado actual. 3.3. Desarrollo en ondas planas de campos escalares en el vaco. Siguiendo el mismo procedimiento que con el oscilador armonica, definiremos el vaco , imponiendo que es aniquilado por cualquier

Con esta definicin, la energa del estado fundamental viene del segundo trmino de la ecuacin para hallada al final del apartado anterior

El objetivo de la teora cuntica de campos es enfrentarse a los infinitos. Cada uno nos dice algo importante, normalmente que estamos haciendo algo mal, o haciendo la pregunta equivocada. Ahora veremos de donde aparece este infinito y qu hacer con l. Realmente hay dos infinitos diferentes en nuestra expresin. El primero aparece debido a que el espacio es infinitamente grande (divergencia infrarroja) . Para extraer este infinito pondremos nuestra teora en una caja de lado , imponemos condiciones de contorno peridicas al campo, y finalmente tomamos el lmite cuando

Donde es el volumen de la caja. Entonces la divergencia de aparece porque estamos calculando la energa total, en lugar de la densidad de energa. Para llegar a la densidad de energa podemos simplemente dividir entre el volumen

Lo que sigue siendo infinito. Vemos que es la suma las energas de los estados fundamentales de cada uno de los osciladores armnicos, pero debido al lmite

de la integral . Este infinito aparece al asumir que la teora es vlida para distancias arbitrariamente cortas, correspondientes a energas arbitrariamente altas (divergencia ultravioleta). Esto es absurdo. Podemos tratar este infinito de una manera prctica. En fsica solo estamos interesados en medir diferencias de energas. No existe un modo de medir directamente, por lo que simplemente redefinimos el Hamiltoniano eliminando ese infinito.

De manera que con esta nueva definicin Normalizacin relativista:

.

Hemos definido el vaco, que se normaliza como entonces satisfacen particula

. Los estados una-

Es esto invariante Lorentz? Supongamos que tenemos una transformacin de Lorentz

Tal que el trivector transforma como . En teora cuntica lo deseable sera que los dos estados estuviesen relacionados mediante una transformacin unitaria.

Esto significara que la normalizacin de y sera la misma siempre que y estuviesen relacionadas mediante una transformacin de Lorentz. Pero eso no es realmente lo que tenemos. En general

Para una funcin desconocida

. Cmo solucionamos esto?

Lo que tenemos que hacer es buscar un objeto que sepamos que es invariante Lorentz. Ese objeto es el operador identidad de los estados una-particula. Tras normalizarlo, sabemos que viene dado por

Este operador es invariante Lorentz, pero est formado por dos trminos, la unidad y el proyector , que de forma individual no son invariantes Lorentz. Para construir una unidad invariante Lorentz, tomaremos , que es un invariante Lorentz. Y la relacin de dispersin relativista para una partcula masiva, que tambin lo es.

Resolviendo para obtenemos dos ramas de soluciones: . Pero la eleccin de rama es otro concepto invariante Lorentz. Unindolo todo, la siguiente combinacin debe ser un invariante Lorentz.

La unidad invariante es entonces

Entonces obtenemos que la funcin

invariante Lorentz para los trivectores es

Que viene de que

Los estados momento relativista normalizados vienen dados por

Que ahora satisfacen

Y por ltimo podemos reescribir la identidad para los estados una-partcula como

3.4. Propagador retardado. Volvamos a considerar el conmutador del operador campo en dos puntos diferentes, ahora considerando una separacin arbitraria, no necesariamente de tipo espacio,

Si consideramos x0>y0, para simplificar esta igualdad podemos hacer uso de la igualdad

Donde la integracin se hace sobre el contorno de la figura anterior. El factor (-1) se debe incluir ya que la integracin se hace en el sentido de las agujas del reloj. En el momento de calcular los polos hemos tenido en cuenta que .

(FIGURA: Prescripcin para el paso de los polos en el propagador de Feynman). En el caso y0>x0, el circuito de integracin debe cerrarse por el semiplano superior, y por lo tanto no contiene ningn polo, por lo que la integracin da cero. Esto nos permite definir el propagador retardado,

Para comprobar que el propagador es, en efecto, una funcin de Green retardada asociada a la ecuacin de Klein-Gordon, debemos comprobar que dicho propagador cumple la ecuacin de Klein-Gordon inhomogenea, donde el termino inhomogeneo es proporcional a la delta de Dirac en todas las variables,

El ultimo trmino de la segunda igualdades nulo. Teniendo en cuenta que la derivada de la funcin paso de Heaviside es la delta de Dirac, esta ecuacin se escribe de la forma

Finalmente obtenemos el resultado deseado

El hecho de que el propagador retardado corresponda a la funcin de Green retardada del sistema nos permite calcularlo empleando toda la potencia del mtodo de las funciones de Green. En particular, el propagador retardado se puede calcular realizando la transformada de Fourier de la ecuacin de Klein-Gordon para el propagador.

4. La ecuacin de Dirac, representaciones espinoriales del Grupo de Lorentz y covariancia relativisra, corrientes conservadas, desarrollo en ondas planas de las soluciones de la ecuacin de Dirac en el vaco.4.1. La ecuacin de Dirac. En esta seccin describiremos la ecuacin de Dirac, cuya cuantizacin da lugar a las partculas fermionicas de spin . De forma general, un campo puede transformar como

Donde las matrices que

[ ] forman una representacin del grupo de Lorentz. Implicando

[ ] [ ] [ ] Y que y que . Cmo buscamos las diferentes representaciones? Tenemos que fijarnos en las transformaciones infinitesimales del grupo de Lorentz y estudiar el lgebra de Lie resultante. Si escribimos

Para

infinitesima, entonces la condicin para una transformacin de Lorentz

Implica que

debe ser antisimetrica

Una matriz antisimetrica tiene componentes independientes, lo que encaja con las seis transformaciones bsicas del grupo de Lorentz. Introduciremos ahora una base para estas matrices. Llamaremos a estas matrices , con , ndices atisimetricos. La antisimetra de estos ndices nos dice que, por ejemplo , con lo que nos etiquetan seis matrices diferentes. Estas matrices tambin son antisimetricas en los ndices . Con esta notacin podemos escribir una base para seis matrices como antisimetricas

Donde los ndices son los de las matrices, mientras que denotan con que elemento de la base estamos trabajando. Para usar estas matrices de manera practica tendremos, casi siempre, que bajar uno de los ndices, con lo que nos quedara

Al haberlo bajado mediante la mtrica de Minkowski, aceptamos varios signos menos que hacen que, al escribirlas de esta forma, las matrices no tengan por qu seguir siendo siempre antisimetricas. Dos ejemplos son

La primera genera los boosts en la direccin . Es real y simtrica. La segunda genera rotaciones en el plano . Es real y antisimetrica. Ahora podemos escribir cualquier como combinacin lineal de las

Donde son simplemente seis nmeros que nos indican que transformacin de Lorentz estamos haciendo. Las seis matrices se llaman generadores de las transformaciones de Lorentz. Los generadores obedecen las relaciones del algebra de Lie del grupo de Lorentz

Una transformacin de Lorentz finita podemos entonces expresarla como exponencial

Ahora tenemos un campo nuevo con el trabajar, el espinor de Dirac , y queremos construir una ecuacin del movimiento que sea invariante Lorentz. Para ello, tenemos que construir una accin que sea invariante Lorentz. Cojamos una representacin del algebra de Clifford, que satisfaga que ( ) . Entonces para tenemos y que

Que, por otro lado, significa que

Y que

Sabiendo esto, definimos el adjunto de Dirac.

A partir del espinor de Dirac y su adjunto ahora podemos construir escalares de Lorentz y vectores de Lorentz , que nos implican que

Y tensores de Lorentz

).

Ahora que tenemos estos tres objetos podemos tratar de construir una accin invariante Lorentz. Realmente solo necesitamos los dos primeros, y con ellos planteamos

Que se conoce como accin de Dirac. Esta teora, tras la cuantizacin, describe partculas y antipartculas de masa y .

La ecuacin de movimiento aparece de la accin anterior al variarla con respecto a de forma independiente. Varindola respecto a tenemos

y

Esta es la ecuacin de Dirac. Y variando respecto a

obtenemos la ecuacin conjugada

La ecuacin de Dirac es una ecuacin de primer orden en las derivadas, y aun as invariante Lorentz. Si hubisemos tratado de escribir ecuaciones de movimiento de primer orden para campos escalares, habran aparecido necesariamente un vector privilegiado de espacio tiempo, lo que no es invariante Lorentz, pero para el campo espinorial, el uso de las matrices nos conserva la invariancia. La ecuacin de Dirac mezcla diferentes componentes de mediante matrices , no obstante cada una de esas componentes individuales es solucin de la ecaucin de Klein Gordon.

Con

Dejndonos

Donde la ltima ecuacin no posee matrices componente , con .

, y por tanto se aplica a cada

Ahora introduciremos algo de notacin. En adelante muchas veces tendremos que escribir cuadrivectores contrados con matrices . Escribiremos

Con esta notacin la ecuacin de Dirac sera

4.2. Representaciones espinoriales del Grupo de Lorentz y covariancia relativista.

Estamos interesados en encontrar otras matrices que satisfagan las relaciones de conmutacin anteriormente expuestas. Lo que vamos a construir se conoce como Representacin Espinorial. Para ello empezamos trabajando con el lgebra de Clifford.

Donde , con , son un conjunto de cuatro matrices, y el 1 en el lado derecho representa la matriz unidad. Esto significa que tenemos que encontrar cuatro matrices tales que para satisfagan que

Y que

No existen representaciones del algebra de Clifford usando matrices o . La representacin ms simple que se puede construir se hace en trminos de matrices . Existen muchos ejemplos de matrices de este ltimo grupo que satisfacen el lgebra de Clifford, por ejemplo una puede ser

Donde

Son las matrices de Pauli, que satisfacen por si mismas que {

}

Se pueden construir muchas representaciones del algebra de Clifford cogiendo para cualquier matriz invertible . Pero resulta que solo existe una representacin irreducible. Las matrices anteriores se conocen como representacin quiral o representacin de Weyl. De aqu en adelante solo consideraremos representaciones del algebra de Clifford que se relaciones con la representacin quiral mediante transformaciones unitarias de . Pero que tiene esto que ver con el grupo de Loretnz? Consideremos el conmutador de dos

Estas matrices tienen la propiedad de que

Las matrices que

forman una representacin del algebra de Lorentz, lo que significa

Espirones: Las son matrices , porque lo son. Hasta ahora no le hemos dado ndices a las filas y columnas de estas matrices. Las llamaremos simplemente . Necesitamos un campo sobre el que las matrices pueden actuar. Introducimos el campo espinorial de Dirac , un objeto con cuatro componentes complejas etiquetadas como . Bajo transformaciones de Lorent tenemos

Donde

Tanto como [ ] son matrices . Cmo podemos estar ahora seguros de que esta representacin espinorial es algo nuevo y no es equivalente a la representacin tpica ? Para ver que son diferentes, compararemos algunas transformaciones especficas. Rotaciones

Si escribimos los parmetros de la rotacin como la rotacin es

, entonces la matriz de

Donde tenemos que recordar que

. , tenemos que

Considerando ahora una rotacin de ngulo alrededor del eje y la matriz espinorial de rotacin es

Entonces, bajo rotaciones de ngulo

Que definitivamente no es lo que le ocurre a un vector. Boosts

Escribiendo los parmetros del boost como

tenemos

Espinores Quirales Cuando hemos necesitado una forma explcita de las matrices representacin quiral , hemos utilizado la

Em esta representacin ya hemos calculado la transformacin de rotacin [ boost [ ], y ambos son diagonales por cajas.

] y el

Esto significa que la representacin espinrial de Dirac del grupo de Lorentz es reducible. Se descompone en dos representaciones irreducibles, actuando solo sobre espinores de dos componentes , que estn definidos como

Los objetos de dos componentes se llaman espinores de Weyls o espinores quirales. Transforman de la misma manera bajo rotaciones.

Y bajo boosts como

La Ecuacin de Weyl Veamos ahora en que se convierte el Lagrangiano de Dirac al descomponerlo en espinores de Weyl

Donde hemos introducido notacin nueva para las matrices de Pauli con

Los fermiones con masa requieren tanto como , dado que se acoplan en el termino de masa. Pero un fermin sin masa puede describirse con solo uno de los dos, con una de las siguientes ecuaciones de movimiento:

Estas son las ecuaciones de Weyl.

Las matrices del grupo de Lorentz [ ] son diagonales por cajas porque elegimos la representacin

De hecho, por esta razn esta representacin se conoce como quiral, porque la descomposicin del espinor de Dirac viene dada por

Pero qu ocurre si elegimos una representacin diferente del algebra de Clifford? Una tal que

Ahora [ ] no sern diagonales por bloques. Hay alguna manera invariante de definir los espinores quirales? Podemos hacerlo introduciendo

Que satisface que

La razn por la que esto se llama

es porque el conjunto de matrices

Con

satisfacen el lgebra de Clifford de cinco dimensiones

Tambien se puede comprobar que

Lo que significa que

es un escalar bajo rotaciones y boosts.

Debido a estas propiedades podemos formar elos operadores de proyeccin invariantes Lorentz

De forma que

y

, y en la representacin quiral

De donde vemos que los operadores proyectan sobre los espinores de Weyk . De todas formas, para una representacin arbitraria del algebra de Clifford, podemos usar para definir los espinores quirales

Que forman las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz. espinor a derechas, mientras que es a izquierdas. Paridad

suele llamarse

Los espinores estn relacionados entre ellos mediante paridad. Ahora nos pararemos un momento a definir este concepto. El grupo de Lorentz se define por unas transformaciones tales que

De momento solo hemos considerado transformaciones conectadas con la identidad de forma continua. Pero hay tambin dos transformaciones de simetra discretas incluidas en el grupo de Lorentz, la inversin de tiempo y paridad .

Paridad juega un papel muy importante en el modelo estndar y, concretamente, en la interaccin dbil. Bajo paridad se los espinores a izquierdas y a derechas se intercambian. Este viene de las transformaciones de los espinores bajo el grupo de Lorentz. En la representacin quiral, las rotaciones y los boosts de los espinores de Weyl tienen la forma

Bajo paridad, las rotaciones se mantienen invariantes, pero los boosts cambian de signo. Esto nos confirma que

Y si paridad

satisface la ecuacin de Dirac, entonces el espinor transformado por tambin la satisface, implicando que

Interacciones Quirales Veamos cmo cambian nuestros trminos de interaccin bajo paridad. Para ello nos fijaremos en los objetos a partir de los que hemos construido nuestra accin.

Que es la transformacin de un escalar. Para el vector componentes espaciales y temporales por separado

, podemos trabajar con las

Que nos dice que signo.

transforma como un vector, con la parte espacial cambiando de

Pero ahora tambin conocemos , y podemos formar otro escalar de Lorentz y otro vector. y . Cmo transforman bajo paridad?

Lo que significa que un vector axial.

transforma como un pseudoescalar y

lo hace como

Con estos nuevos trminos de podemos modificar nuestra Lagrangiano para construir nuevas teoras. En general estos trminos rompern la invariancia bajo paridad, aunque esto no es siempre cierto. En la naturaleza esta violacin de paridad, mediante , aparece en la interaccin dbil. Una teora que trate que diferencie y de la misma manera se llama teora vectorial, mientras que una es una teora quiral.

Fermiones de Majorana Nuestro espinor es un objeto complejo. Debe serlo porque la representacin [ ] normalmente es tambin compleja. Esto significa que si vamos a intentar conseguir un real, por ejemplo imponiendo que , este no seguir siendo real tras realizar una transformacin de Lorentz. Pero hay una manera de imponer una condicin de realidad al espinor de Dirac. Para motivar esta posibilidad nos fijaremos en una de las bases del algebra de Clifford, conocida como la base de Majorana.

Estas matrices satisfacen el lgebra de Clifford. Lo que tienen de especial, es que todas son imaginarias puras . Esto significa que los generadores del grupo de Lorentz y las matrices [ ] son reales. Con esta base del algebra de CLifford podemos trabajar con espinores reales simplemente imponiendo la condicin , que ahora si es preservada bajo transforamciones de Lorentz. Estos espinores se llaman espinores de Majorana. Pero Qu ocurre si utilizamos una base general del algebra de CLifford? Vamos a pedir solo que esta base satisfaga que y que ( ) la carga conjugada del espinor de Dirac como . Entonces definiremos

Donde

es una matriz

que satisface

En primer lugar comprobaremos que Lorentz

transforma bien bajo transformaciones de

No solo transforma como esperbamos, sino que si Dirac, entonces tambin lo es. Este se ve en que

es solucin de la ecuacin de

Por ultimo imponemos la condicin de realidad invariante Lorentz al espinor de Dirac, para producir el espinor de Majorana

La cuantizacin del espinor de Majorana da lugar a un fermin que es su propia antipartcula. Este es exactamente el mismo caso del campo escalar, donde vimos que un campo escalar real daba lugar a un bosn de spin 0 que era su propia antipartcula. Y Qu es la matriz ? En la base de Majorana, donde las matrices gamma son imaginarias, simplemente tenemos que y la condicin de Majorana es simplemente . En la base quiral, solo es imaginaria, y tenemos entonces que . Podemos descomponer un espinor de Majorana en trminos de espinores de Weyls como

4.3. Corrientes conservadas. La ecuacin de Dirac disfruta de un buen nmero de simetras, a continuacin hablaremos de algunas de ellas y de sus corrientes conservadas asociadas. Traslaciones espaciotemporales Bajo traslaciones de espacio tiempo el espinor transforma como

El Lagrangiano depende de energa-impulso

, pero no de

, con lo que obtenemos un tensor de

Dado que una corriente se conserva solo si se obedecen las ecuaciones de movimiento, no perdemos nada por imponer las ecuaciones de movimiento alrededor del tensor de energa impulso. Para el campo espinor, donde las ecuaciones de movimiento son de primer orden, tenemos que , dejndonos

Y una energa total

Transformaciones de Lorentz Bajo una transformacin de Lorentz infinitesimal, el espinor de Dirac transforma como

Donde tenemos que

Y donde

Son los generadores del algebra de Lorentz, que tras sustituirlos en la ecuacin nos dicen que . Dejandonos

La corriente conservada que aparece debido a las transformaciones de Lorentz se encuentra mediante los mismos clculos que hicimos en el primer captulo para el campo escalar, con dos diferencias. La primera es que, como antes, , la segunda es que tenemos un trmino extra debido al segundo trmino de nuestra ecuacin. Al final tenemos

Que tras la cuantizacin, cuando lo convirtamos en un operador, nos dar, debido al trmino extra, estados partcula con momento angular interno. Concretamente a partculas de spin . Simetra interna vectorial El Lagrangiano de Dirac es invarante bajo cambios de fase del espinor, eso nos da la corriente

Donde significa vector, reflejando el hecho de que ambas componentes de transforman de la misma manera bajo esta simetra. Es faicl comprobar que es una corriente conservada bajo las ecuaciones de movimiento

La carga conservada que surge de esta simetra es

Que tiene la interpretacin de carga elctrica, o nmero de partcula, para los fermiones. Simetra Axial Cuando el Lagrangiano de Dirac admite una simetra interna extra, que rota fermiones a izquierdas y a derechas en su direccin opuesta.

Esto nos da una corriente conservada

Donde cuando

significa axial, dado que esto es un vector axial. Esta corriente se conserva . Podemos calcular, con el Lagrangiano de Dirac completo

Que solo se anula para

.

4.4. Desarrollo en ondas planas de las soluciones de la ecuacin de Dirac en el vaco. Pasemos ahora a estudiar las soluciones de la ecuacin de Dirac

Empezaremos por un simple ansatz

Donde es un espinor de cuatro componentes, independiente del espacio tiempo . La ecuacin de Dirac entonces se convierte en

Donde estamos usando las definiciones

Esa ecuacin tiene como solucin

Para cualquier espinor de dos componentes

que se pueda normalizar como

.

Encontramos ms soluciones a la ecuacin de Dirac del ansatz

Las soluciones del primer ansatz, que oscilan en el tiempo como , se conocen como soluciones de frecuencia positiva. Las del segundo, que lo hacen como se conocen como soluciones de frecuencia negativa. Es importante recordar que ambas son soluciones de ecuaciones clsicas de campo y tienen energa positiva. La ecuacin de Dirac requiere que los espinores de cuatro componentes que satisfagan

Cuya solucin es

Para espinores

de 2 componentes que podamos normalizar como

5. Campo de Dirac con fuentes, propagadores.La visin original de Dirac acerca de su ecuacin era la de que se trataba de una versin relativista de la ecuacin de Schrdinger, con interepretada como la funcin de onda para una nica partcula con spin. Para reforzar esta interpretacin, escribi

Como

Donde y un estado una-partcula.

. Aqu, el operador se interpreta como el Hamiltoniano de

Este es un punto de vista radicalmente diferente del actual, donde es un campo clsico que debe ser cuantizado. Desde el punto de vista de Dirac, el Hamiltoniano del sistema es , mientras que para nosotros el Hamiltoniano es el operador del campo. Indaguemos un poco haca donde nos lleva la visin de Dirac. Con la interpretacin de como la funcin de onda de una nica particula, las soluciones de onda plana a la ecuacin de Dirac se interpretan como autoestados de energa con

Que tienen el aspecto de soluciones de energa positiva y negativa. El espectro carece, de nuevo, de lmite inferior. Hay estados con energa arbitrariamente baja. A primera vista esto es un completo desastre, pero Dirac postul una ingeniosa solucin a este problema. Dado que los electrones son fermiones, obedecen el principio de exclusin de Pauli, con lo que podemos simplemente estipular que en el vaco autentico todos los estados de energa negativa estn ya ocupados. Solo los estados de energa positiva son accesibles. Estos estados ocupados de energa negativa se conocen como mar de Dirac. Aunque podra ser preocupante pensar en la carga infinita negativa del vaco, Dirac argument que solo seran observables las diferencias de carga. Tras evitar el desastre creando un mar infinito de estados de energa negativos, Dirac se dio cuenta de que su teora haca una prediccin impactante. Supongamos que un estado de energa negativo es excitado a un estado de energa positivo, dejando tras de s un agujero. El agujero tendra las propiedades de un electrn, salvo por la carga, que sera positiva: el positrn. Ademas, cuando el positrn se encontrase con un electrn, ambos podran aniquilarse. Dirac haba predicho la antimateria. Aunque la intuicin fsica de Dirac le llev a la respuesta correcta, ahora sabemos que su interpretacin no es correcta. 5.1. Propagadores. Pasemos ahora a la imagen de Heisenberg. Definimos los espinores punto del espacio tiempo, tal que satisfacen en cada

Lo resolvemos con el desarrollo

Y definimos el propagador femionico usando anticonmutadores

Que, en adelante, escribiremos como

Metiendo los desarrollos anteriores, tenemos

Podemos entonces escribir

En trminos del propagador para un campo escalar real que, como recordatorio, se escribe

6. Cuantificacin cannica de campos escalares, espacio de Fock, propagador de Feyman.6.1. Cuantificacin cannica de campos escalares. En Mecnica Cuntica, la cuantizacin cannica es una receta que nos lleva desde el formalismo Hamiltoniano de la dinmica clsica a la teora cuntica. Esta receta nos dice que cojamos coordenadas generalizadas y sus momentos generalizados y los convirtamos en operadores. El corchete de Poisson de la mecnica clsica se transforma en la estructura de las relaciones de conmutacin entre operadores. En unidades donde

En teora de campos hacemos lo mismo, ahora para el campo y su momento conjugado . De este modo un campo cuntico es una funcin evaluada en operadores del espacio, que obedece las relaciones de conmutacin

Debe hacerse notar que, al separar el espacio y el tiempo, hemos perdido la invariancia Lorentz. Estamos trabajando en la imagen de Schrdinger, de modo que los operadores y no dependen del tiempo. Toda la dependencia temporal descansa en los estados que evolucionan mediante la ecuacin de Schrdinger

Es recomendable tener cuidado por la notacin de los estados. Pese a lo simple que parece, si fusemos a escribir la funcin de onda en una teora cuntica de campos, dicha funcin de onda sera un funcional. La informacin tpica que querremos conocer de la teora cuntica, es el espectro del Hamiltoniano. Esto es, por lo general, muy difcil. Una de las razones de que esto ocurra es que tenemos un nmero infinito de grados de libertad, al menos uno para cada punto del espacio. Pero para algunas teoras, conocidas como teoras libres, tenemos un modo de escribir la dinmica de modo que cada grado de libertad evolucione independientemente del resto. Las teoras de campo libre suelen tener Lagrangianos con dependencias cuadrticas en los campos, de modo que las ecuaciones de movimiento sean lineales. La teora libre relativista ms sencilla es la ecuacin de Klein-Gordon para un campo escalar real.

Para exponer las coordenadas en que los grados de libertad se desacoplan unos de otros, simplemente tenemos que tomar la transformada de Fourier

Entonces

satisface

De modo que, para cada valor de , armnico vibrando con frecuencia

es solucin dela ecuacin de un oscilador

La solucin general de la ecuacin de Klein-Gordon es una superposicin lineal de osciladores armnicos simples, cada uno vibrando a diferente frecuencia con diferente amplitud. Para cuantizar debemos cuantizar este nmero infinito de osciladores armnicos. 6.2. El oscilador armnico simple. Consideremos el Hamiltoniano de la mecnica cuntica

] Con las relaciones de conmutacin canonicas [ . Para hallar el espectro definimos los operadores de creacin y aniquilacin (operadores escalera)

Que pueden invertirse fcilmente para darnos

Sustituyendo en las expresiones anteriores tenemos que

Mientras que el Hamiltoniano viene dado por

Se puede ver fcilmente que los conmutadores entre el Hamiltoniano y los operadores escalera estn dados por

Estas relaciones entre los operadores escalera nos mueven entre autoestados de energa. , podemos construir el Sea un autoestado con energa , para el que resto de autoestados haciendo actuar los operadores de creacin y aniquilacin.

Encontramos as que el sistema tiene una escalera de estados con energas

Si la energa tiene un mnimo, debe haber un estado fundamental . Este tendr una energa de estado fundamental

que satisfaga que

Los estados excitados que aparecen de aplicar

repetidas veces sern

Con

6.3. Espacio de Fock. El espacio de Fock , en mecnica cuntica es un espacio de Hilbert especial, que se construye como suma directa de productos tensoriales de otro espacio de Hilbert dado . Este espacio se usa para describir el estado cuntico de un sistema formado por un nmero variable o indeterminado de partculas. Recibe su nombre de Vladimir Fock.

Representacin del espacio de Fock, cada cuadro representa un sumando de la suma directa usada para definir el espacio completo. Tcnicamente, el espacio de Fock es el espacio de Hilbert preparado como suma directa de los productos tensoriales de los espacios de Hilbert para una partcula:

donde S es el operador que simetriza (o antisimetriza) el espacio, de forma que el espacio de Fock describa adecuadamente a un conjunto de bosones =+ (o fermiones =-). H es el espacio de Hilbert para una sola partcula. Esta forma de combinacin de H, que resulta en un espacio de Hilbert "mayor" (el espacio de Fock), contiene estados para un nmero arbitrario de partculas. Tngase en cuenta de que aunque el espacio es aparene mayor, el espacio de Fock es un espacio de Hilbert separable y por tanto puede construirse un isomorfismo con el espacio original al ser tambin separable, por lo que la construccin de Fock puede considerarse ms bien una manera de representar el espacio de Fock ms que un ente matemticamente diferente Los estados de Fock son la base natural para este espacio.Espacio de Fock bosnico Esta construccin se realiza usando como proyector uno que simetriza los elementos, por ejemplo, para simetrizar el producto de dos vectores que representan cada el estado de una partcula:

Este ltimo estado simetrizado representa un estado con dos bosones indistinguibles. Para el caso de n vectores el operador de simetrizacin viene dado por:

Donde el sumatorio se extiende a todas las permutaciones posibles del grupo simtrico de orden n. Obviamente la simetrizacin de los espacios de cero y de una partcula son triviales:

Espacio de Fock ferminico Generalizando los resultados de la seccin anterior construimos los operadores de antisimetrizacin. El antisimetrizador de dos partculas viene dado por:

As este estado antisimetrizado representa, por tanto, un estado con dos fermiones indistinguibles. Para el caso de n fermiones un estado vendra dado por:

Donde nuevamente el sumatorio se extiende a todas las permutaciones posibles del grupo simtrico de orden n y donde 1 si es impar). 6.4. Propagador de Feymann. Una de las cantidades ms importantes de la teora de interacciones es el Propagador de Feynman. es el signo de la permutacin (+1 si es par, -

Donde T aparece para marcar el ordenamiento temporal, colocando todos los operadores evaluados en tiempos posteriores a la izquierda.

Existe una manera de escribir el propagador en trmino de una integral de cuadrimomentos

Esta es una integral con singularidades, para cada valor posible de el denominador produce un polo en . Para evitarlo debemos elegir un contorno sobre el que integrar.

Donde el residuo para el polo en es contorno en el semiplano inferior, donde anula, dado que( )

Cuando , cerramos el , asegurando que la integral se

.

.

Aplicando el teorema del residuo al contorno en sentido horario tenemos entonces

Que es el propagador de Feynman para . Por otro lado cuand