“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”

El Teorema del límite central nos dice que el tamaño de la muestra es lo

suficientemente grande. El cual implica dos distribuciones diferentes (la

distribución de la población original, y la distribución de las medias muéstrales).

La distribución de las medias muéstrales se puede aproximar por medio de

una distribución normal aun cuando la población original no este distribuida

de forma normal.

Este Teorema nos permite usar estadísticas obtenidas de una muestra para

comenzar a hacer inferencias sobre los parámetros de la población, pero sin saber

sobre la distribución de frecuencias de esa población. También demuestra que la

distribución de las medias muestrales, tiende a tener una distribución normal.

Se aplica a la suma de variables discretas y continuas.

Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con

media µ y desviación estándar σ, entonces, cuando n es grande, la distribución

muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una

media igual a µ y una desviación estándar de

.

La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez

mayor.

Ejemplo:

- La variable es “tirar una moneda al aire”. Si se lanza una moneda al aire 45

veces, la suma de estas 45 variables (cada una diferente de la otra) se

distribuyen según una distribución normal.

Para el desarrollo de este tema, utilizaremos los símbolos: µ y σ para denotar

la media y desviación estándar de la población original, pero ahora

necesitamos nuevas nociones para la media y desviación estándar dela de

distribución de las medidas muéstrales.

= ; =

Sea X una variable aleatoria que e n a distribución con media µₓ y variancia

σₓ². Si de esta distribución se extraen muestras aleatorias de tamaño n y para

cada muestra se encuentra su promedio:

Luego, a medida que el tamaño de muestra n tiende a infinito (n≥30), la

distribución de los promedios muéstrales se aproxima cada vez más a una

distribución normal con media y varianza .

Si X ≈? ( , n ≥ 30

≈ aprox. N ( ,

- )/ ≈ aprox. N (0,1) →

Del mismo modo que lo expresado anteriormente, por la aplicación del proceso

de estandarización se tiene que la variable Y tendrá una distribución

aproximadamente normal estándar con media 0 y varianza 1.

Ejercicio:

En una muestra de 25 observaciones a partir de una distribución normal con

media 98.6 y desviación estándar 17.2:

- 1) ¿Cuánto vale P(92< x > 102)?

- 2) Encuentre la Probabilidad Correspondiente dada la muestra de 36.

Resolución:

1) n=25 µ=98.6 σ= 17.2

σx =

=

= 3.44

P ( 92<x<102)= P(

)

= P ( -192 < z < 0.99)= 0.4726 + 0.3389= 0.8115

2) n= 36 σx=

=

= 2.87

P (92<X<102) = P

= P (-2.30<z<1.18) = 0.4893+0.3810=0.8703

Para un mercado de prueba, encuentre el tamaño de la muestra requerido para estimar la

proporción verdadera de consumidores satisfechos con cierto producto dentro de

± 0.04 en un nivel de confianza del 90%. Suponga que no se tiene una idea buena acerca

de cuál es la proporción.

Solución:

Suponga que p=q=0.5

√

Así:

(

)2 = 420.25 es decir, n≥421.

Un curso de lectura rápida garantiza cierto aumento en la velocidad de lectura en 2 días.

El profesor sabe que algunas personas no podrán lograr este incremento de manera que

antes de establecer el porcentaje garantizado de personas que lograrán el incremento en

la velocidad de lectura, debe tenr una confianza del 98% de que el porcentaje se ha

estimado dentro de ± 5% del valor verdadero. ¿ Cuál es el tamaño de muestra más

conservador necesario en este problema?

Solución:

Suponga que p=q=0.5

√

√

2=542.89 es decir, n≥ 543.

Suponga que una empresa produce bolsas de azúcar con una media de 950 gramos y

una varianza de 1600 gr2. Si se eligen al azar y con reemplazo de 36 bolsas: hallar la

probabilidad de que el promedio muestral sea de 965 gramos.

Solución:

Sea x el peso de las bolsas (gramos). Como