ÁREA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

SEMINARIO DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA

APLICACIÓN DE GEOMETRIA FRACTAL A INGENIERIA

ANTENAS FRACTALES

INTRODUCCIÓN 5

ANTENAS FRACTALES 7 Propiedades de las Antenas Fractales 8

INFLUENCIA DE LA DIMENSIÓN FRACTAL Y TOPOLOGÍA EN LA EFICIENCIA DE RADIACIÓN Y FACTOR DE CALIDAD DE AUTO-RESONANTES MONOPOLOS DE ALAMBRE PRE-FRACTALES. 12 Influencia de la dimensión fractal 12 Influencia de la topología 13 Estudio de pre-fractales en 3D 15 En la frecuencia de resonancia de pre-fractales antenas en miniatura. 16 Puntos de referencia para rendimiento de la antena prefractal 17 Antena miniatura: La espiral de dos brazos. 18 Resultados de tareas y pautas de diseño 19 Directrices para el diseño de monopolos en miniatura 20

CURVA TRÍADICA DE KOCH 21 Curva de Koch dablada para presentar un bucle. 22

ANTENA FRACTAL BASADA EN LA ISLA DE KOCH 24 Dimensión 25 Longitud 26 Diseño de la Antena 27 Ancho de la Microcinta 29

MONOPOLOS 31

ANTENAS EN ÁRBOL 34 Generación del Fractal 34 Análisis de la Antena 34 Antenas en Árbol Tridimensionales 36 Generación del Fractal 36 Análisis de la Antena 37

ANTENAS FRACTALES: ANTENAS COMPUESTAS 38 Composición lineal 38

DISTRIBUCIÓN PLANA REGULAR, ALEATORIA Y FRACTAL 39Comparación del lóbulo lateral 41

ANTENAS FRACTALES EN BUCLE 42 Bucles pequeños 42 Análisis de la Antena 42 Resultados 43

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ANTENAS FRACTALES: BUCLES RESONANTES 44 Análisis de la antena 45 Resultados 46

TECNOLOGÍA Y APLICACIONES 46

APLICACIÓN DE LOS FRACTALES EN LA ELECTRÓNICA: ANTENAS DE SISTEMAS MÓVILES ¿Por que diseñar antenas de forma fractal? 47 Antenas Sierpinsky 48 Principio de Escalabilidad 50

CONCLUSIONES 51

BIBLIOGRAFÍA 53

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INTRODUCCIÓN

El auge y crecimiento de las telecomunicaciones abren cada vez más las puertas de la exploración de nuevas alternativas en diseño que cubran las exigencias en ancho de banda, eficiencia, rapidez, economía, del nuevo milenio. En la última década, una nueva y revolucionaria teoría: los fractales, se ha abierto paso, proponiendo modelos para el diseño de antenas permitiendo la implementación de nuevos y mejores servicios en los sistemas móviles, circuitos RFID, dispositivos de microonda y otros.

La geometría tradicional, Euclidiana, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descritos por la geometría tradicional. La geometría fractal provee una representación y un modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Esta geometría esta revolucionando diferentes áreas de la ciencia, desde la física, medicina, el procesamiento digital de señales hasta el diseño de antenas para las telecomunicaciones. Es así como durante la última década, investigadores han empezado a aplicar Fractales para diseños de antenas. Estas podrían parecer simples juegos geométricos, pero la teoría detrás de ellas, basadas en las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo y la geometría fractal, es compleja y se encuentra aún en desarrollo.

La geometría fractal ha tenido un rápido crecimiento, tocando áreas insospechadas, desde que Benoit Mandelbrot , creador del término fractal y padre de dicha geometría empezó a aglutinar los trabajos aislados de grandes matemáticos, convencido de su utilidad. Según Mandelbrot un fractal se puede definir como: “Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen“. El término fractal, se refiere a una categoría. Es un adjetivo que implica la evidencia de ciertas propiedades que posee el objeto categorizado. Sin embargo, es usada frecuentemente para designar al objeto en cuestión. Alguna de éstas propiedades son: autosimilidad, dimensión fraccionaria y no derivabilidad. La autosimilaridad, nos dice que el objeto estudiado tiene copias reducidas de sí mismo a diferentes escalas, por lo tanto, cada parte del conjunto u objeto contiene la misma información que todo el conjunto. La dimensión fraccionaria, propiedad importante y de la que se desprenden las demás, nos adentra en terrenos matemáticos más abstractos: la topología, que se apartan de los alcances de este articulo . Sin embargo podemos decir que las figuras, curvas y conjuntos fractales desafían la geometría Euclidea, ya que se sumergen en espacios de dimensiones que pueden ser fraccionarios. Una fórmula que ilustra esto, proveniente del concepto de dimensión de Hausdorff-Besicovitch es:

D=log(N )log (1/δ )

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Ec. 1

Donde N es el número de particiones o segmentos del objeto y δ es el tamaño de dichos segmentos. La rugosidad del fractal tiene una relación directa con su dimensión: mientras más rugoso es el fractal más próxima está su dimensión fraccionaria a la dimensión entera inmediatamente superior.

Debido a su naturaleza fraccionada y discontinua, las figuras u objetos fractales, no poseen derivada en ningún punto contrastando con la naturaleza suave y continua de las funciones del cálculo.

Existen numerosos y muy variados conjuntos fractales documentados hasta ahora y muchas formas de clasificarlos, por ejemplo: los polvos de Cantor, curvas de Kock, Peano, Hilbert, triángulos y alfombras de Sierpinski, fractales de Newton y Mandelbrot entre otros. Podemos hacer una clasificación de ellos en dos grandes grupos: determinísticos y no determinísticos o estadísticos. También podemos clasificarlos como fractales matemáticos (por iteración de números complejos y otras operaciones) y geométricos, aunque todos tengan inevitablemente su representación gráfica. Esta clasificación se refiere al origen del algoritmo de recurrencia.

Se expone una de muchas aplicaciones de la Geometría Fractal, específicamente en la construcción de Antenas Multibanda que integra algunas de las propiedades básicas de la Geometría Fractal, siendo las más importantes aquí la: autosimilaridad, y la dimensión Fractal. Estas aplicadas en el diseño “topológico” u arquitectónico logrando así antenas que operan en distintas frecuencias simultáneamente y con patrones de radiación iguales o mejores que los actuales.

Actualmente existen empresas como Fractal Antenna System Inc. o FRACTUS S.A que desarrollan antenas de estación base y de microteléfonos para sistemas móviles 2G y 3G, redes LAN, Bluetooth, dispositivos miniatura microonda, productos de identificación de radiofrecuencia (RFID), la industria del semiconductor y el mercado automotor.

Se están obteniendo buenos resultados con las antenas para las bandas GSM (900 MHz) y DCS(1.800 MHz) que permiten cubrir ambas bandas y esto evita la necesidad de duplicar, en cada celda o territorio, la red de antenas móviles urbanas reduciendo el gasto y el impacto visual de las estaciones.En los Sistemas Móviles de Comunicaciones (Celulares, Radio Teléfonos, etc) es de vital importancia el uso racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial del sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una solución inesperada para este problema fue construir Antenas Fractales, las cuales son más compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales.

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ANTENAS FRACTALES

Simulación (realizada en el software Feko) del diagrama de radioación para 3600 GHz de Antena fractal en forma del triangulo de Sierpinski para 900, 1800 y 3600 GHz.

En la actualidad, los sistemas de comunicaciones necesitan antenas con gran ancho de banda y reducido tamaño con respecto a las antenas conocidas típicamente. Por lo cual, se ha buscado opciones que satisfagan dichas necesidades. Una alternativa son las antenas fractales, las cuales por su estructura permiten logran estos objetivos.

Existe un sin número de fractales, pero dentro del ámbito de la aplicación en antenas, entre los más utilizados podría mencionarse: la isla de Koch, el triangulo de Sierpinski, los fractales de árbol en dos y tres dimensiones, la curva de Koch, la curva de Hilbert, el fractal de Mandelbord, etc. Estos de acuerdo a su forma y propiedades son aplicados a diferentes tipos de antenas como las antenas de bucle, dipolos, antenas multibanda y la formación de arreglos.

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Propiedades de las Antenas Fractales

Antena fractal implementada.

Por mucho tiempo la dependencia del tamaño de la antena con respecto a la longitud de onda ha marcado la tendencia de diseño de las mismas, lo cual en ocasiones se ha convertido en un verdadero problema debido a la preferencia hacia la miniaturización de los diferentes equipos. En este sentido, la utilización de formas fractales y arreglos puede ayudar a sobrepasar estos altercados contribuyendo con una amplia y variada gama de formas geométricas con disposiciones propicias para las necesidades de antenas actuales.

Cabe recalcar que debido al avance de las comunicaciones inalámbricas de tercera y cuarta generación, en las cuales la tendencia es incluir múltiples servicios en espacios reducidos como teléfonos celulares, portátiles, etc. Es primordial para estos contar con antenas que satisfagan dos propiedades importantes, como son: un gran ancho de banda y un tamaño reducido. También, es importante reducir el tamaño de antenas externas como las situadas en estaciones base y dispositivos para los puntos de acceso, ya que esto reduce el impacto visual ambiental de la estructura de la red inalámbrica.

Así pues, las antenas realizadas en base a geometrías euclidianas ya no permiten dar solución a estos inconvenientes, por lo cual ha sido necesario la búsqueda y desarrollo de nuevos diseños que permitan solventar la arremetida de las innovaciones de las comunicaciones inalámbricas del presente.

Como se ha venido describiendo, existen varias razones por lo cual utilizar formas fractales en el diseño de antenas, las más importantes se detallan a continuación:

Los fractales presentan geometrías autosimilares (contienen varias copias de sí misma a diferentes escalas), lo que permite que al aplicar dicha forma a una antena, esta adquiera propiedades multibanda.

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1. La dimensión fractal de algunos fractales (tendencia a longitudes infinitas en áreas finitas), permite la reducción del tamaño de las antenas a realizar respecto a una hecha en base a geometrías euclidianas.

2. Muchos de los fractales cuentan con formas irregulares, bordes afilados, discontinuidades y esquinas, los cuales mejoran notablemente la radiación electromagnética, por lo que estas geometrías se constituyen elementos radiantes eficientes.

3. Las antenas realizadas en base a geometrías fractales, suelen tener incrementos notables respecto a la impedancia de entrada, lo cual permite facilitar el acople entre la antena y la línea de transmisión.

4. Se pueden conseguir factores de calidad (Q) bajos reconociendo que existen límites fundamentales referidos a cuan pequeñas pueden ser las antenas, y que explican que una antena es pequeña cuando puede ser enderrada en una esfera radian, es decir, una esferea con radio a=?/2? si la estructura llena bien la esfera circunscrita se logran factores de calidad bajos y por lo tanto el ancho de banda puede ser mejorado.

5. Debido a que combinan la robustez de la colocación aleatoria con la eficiencia de una ordenación coherente, los arreglos de antenas consiguen un mejor desempeño.

Es importante a su vez aclarar que no todas las ventajas descritas previamente se evidencian simultaneamente en todas las estructuras fractales. Por lo general se presentan estructuras fractales. Por lo general se presentan estructuras fractales para dipolos como la curva de Koch, los fractales de árbol en 2D y 3D, etc., en donde el objetivo a lograr es la reducción de la altura de la antena y el aumento de la impendacia. De igual manera sucede con las antenas de bucle al utilizar fractales como la isla de Koch, la curva de Minkowski, etc., en donde se busca minimizar el tamaño de la antena e incrementar la impedancia de entrada. Por separado se presenta el estudio de estructuras como el tríangulo de Sierpinski cuya estructura permite lograr antenas multibandas. Así pues, de acuerdo a las diferentes estructuras fractales utilizadas podemos lograr ciertas ventajas concretas.

Las propiedades de los fractales, antes expuestas, se aprovechan en la construcción de antenas que pueden obtener anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia central superiores a las antenas clásicas (de 10% a 20% de fc,), patrones de radiación estables y gran número de bandas determinado por el número de iteraciones del fractal.

Las primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados, organizando los elementos en un patrón Fractal para reducir el número de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeño en múltiples bandas. Por ejemplo las antenas Logperiódica y Espiral. Actualmente se está trabajando con curvas y objetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales, curvas e islas de Kock, entre otras (Ver Fig. 1, 2 y 3) que minimicen el área de la antena, aprovechando su capacidad natural multibanda.

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Podemos decir que una antena fractal posee estas 3 principales características especiales:

• Un gran ancho de banda y comportamiento multibanda. El rango de frecuencia es especificada por el tamaño más pequeño y más grande presente en la antena.

• En la mayoría de los casos tienen una ganancia considerable, por encima de un antena dipolo normal, y esta ganancia depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencias grande.

• Poseen un patrón de radiación estable para un rango amplio de frecuencias.

Los típicos inconvenientes de baja resistencia de radiación en el diseño de antenas cortas (small antennas) que operan a una longitud de onda mayor que su tamaño, pueden ser resueltos con curvas fractales que aumentan el perímetro de la antena conservando o minimizando su área.

Sin embargo, esta nueva concepción en el diseño de antenas, nos enfrenta ante problemas teóricos difíciles de resolver, ya que no podríamos tomar las expresiones de la teoría electromagnética en este tipo de curvas que desafían el cálculo. Por ejemplo, la expresión del potencial vectorial magnético del cual se parte para encontrar la expresión de la distribución de corriente y del campo radiado es:

A⃗ ( r⃗ , k⃗ )= μ4 π

∫c

→

I (l) e− jkR

Rdl

Obsérvese que la trayectoria de la curva de integración C en la Ec.2 cambia siempre de dirección y no tiene pendiente en ningún punto, ya que es fractal.

Estos y otros inconvenientes, hacen indispensable utilizar complejos métodos numéricos para encontrar los campos, como por ejemplo el método de los momentos (MoM), diferencias finitas (FDTD), DOTIG41, etc. Pero por otro lado, estos métodos iterativos simplifican el cálculo de los campos de radiación de dichas antenas.

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Ec. 2

Aquí se muestra la operación de la antena en 5 bandas. El comportamiento se resume en la Tabla 1:

n(bandan0) f n(GHz) BW (%) Lr(dB) f n+r / f n hn/ λn1 0.52 7.15 10 3.50 0.1532 1.74 9.04 14 2.02 0.2583 3.51 20.5 24 1.98 0.2614 6.95 22 19 2.00 0.2575 13.89 25 20 - 0.255Tabla 1. Parámetros principales medidos en la antena monopolo de Sierpinski.

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Fig. 2. Antena triángulo de Sierpinski con n=5 iteraciones

Fig. 3. Antena Árbol Fig. 4. Pérdidas de retorno, resistencia y reactancia deentrada para Sierpinski de n=5 y h=8.89cm.

Fig. 1. Configuración Monopolo de Kock de 5 iteraciones.

Fig 5. Patrones de radiación del monopolo de Sierpinski para f=2, 4, 8, 16 GHz.

INFLUENCIA DE LA DIMENSIÓN FRACTAL Y TOPOLOGÍA EN LA EFICIENCIA DE RADIACIÓN Y FACTOR DE CALIDAD DE AUTO-RESONANTES MONOPOLOS DE ALAMBRE PRE-FRACTALES.

Estudios preliminares sobre pequeñas antenas pre-fractales mostró que la dimensión fractal podría desempeñar un papel en la eficiencia de radiación y el factor de calidad de las antenas eléctricamente pequeñas. Su influencia en el patrón de radiación de las antenas pequeñas no es tan importante porque todos los monopolos eléctricos pequeños tienen, en esencia, el mismo patrón de radiación. Sin embargo, hasta que el trabajo que aquí se presenta ninguna prueba práctica ha puesto de manifiesto una relación entre la dimensión fractal y parámetros de la antena para antenas auto-resonantes.

La influencia de la dimensión fractal en el comportamiento de las antenas monopolo en términos de eficiencia y factor de calidad se ha investigado. Además, la función de la forma de pre-fractales monopolos con la dimensión fractal mismo se analiza. Esta investigación se ha llevado a cabo en 2D monopolos auto-resonantes alambre pre-fractales y mediante el uso de eficiencia de radiación y los mapas de factor de calidad en función del tamaño eléctrico de las antenas en la resonancia.

Las conclusiones de este trabajo se basan en mediciones y simulaciones. Se ha demostrado que la tecnología de fabricación es capaz de fabricar altamente iterados pre-fractales antenas y las mediciones preliminares de acuerdo con los resultados simulados para la iteración de baja pre-fractales.

Influencia de la dimensión fractal

Influencia de la eficiencia de radiación y el factor de calidad en pre-fractales antenas ha sido analizado a través del diseño de pre-fractales estructuras que convergen en el límite de las curvas fractales de dimensión 1,26 (Koch), 1,58 (Sierpinski Arrowhead) y 2 (Hilbert y Peano) .

Los resultados de simulación muestran que al aumentar el número de pre-fractales iteraciones significa una reducción en la eficiencia de radiación y un aumento en el factor de calidad. El aumento de la dimensión fractal, aunque haciendo un mejor llenado del espacio curvas, construye

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2GHZ 4GHZ 8GHZ 16GHZ

grandes monopolos con menor eficiencia y mayores factores de calidad, incluso para las primeras iteraciones.

Los prototipos de las estructuras simuladas han sido impresos en un substrato de fibra de vidrio con las técnicas estándar que se utilizan para la fabricación de circuitos impresos para tarjetas electrónicas. Todos los monopolos están diseñados como auto-resonantes antenas, por lo que no necesita ninguna carga externa para anular la parte reactiva de la impedancia de entrada. Las conclusiones de las mediciones de las antenas impresas no son diferentes de las simulaciones.

Influencia de la topología

La influencia de la topología en la eficiencia de radiación y el factor de calidad de pequeñas auto-resonantes monopolos alambre pre-fractales con la dimensión fractal misma ha sido investigado. Varios sistemas de funciones iteradas (IFS) podría ser utilizado para diseñar los fractales con la dimensión fractal mismo. Hasta ahora, la consecuencia del cambio de la topología de un fractal sin cambiar la dimensión fractal de la curva no se ha analizado antes FractalComs proyecto.

Varios diseños de antenas de Sierpinski son simuladas, todos ellos con la dimensión fractal 1,58 pero que tienen diferentes iniciadores IFS y, por lo tanto, la topología diferente. Además, varios diseños de auto-resonantes cableadas pre-fractales con dimensión fractal 2 se analizan: el Hilbert y 3 diseños de la curva de Peano se han utilizado.

Resultados para ambas familias de pre-fractales (dimensión fractal 1,58 y 2) revelar el mismo comportamiento cuando la forma de la fractal define un alambre largo (como el monopolo Hilbert, variantes 2 y 3 de la curva de Peano y el monopolo de Sierpinski Arrowhead): el aumento en la iteración significa un aumento en el factor de calidad, una disminución en la eficiencia, y una reducción del tamaño eléctrica de la antena a la resonancia. Cuando la topología se define por bucles (delta y Y-cable monopolo de Sierpinski, y monopolo Peano) el aumento en el número de iteración significa una reducción del factor de calidad, un aumento en la eficiencia de radiación y una tendencia al estancamiento en una estructura euclidiana (un monopolo rómbico en el caso de las curvas de Peano, o una antena triangular en el caso de los monopolos Sierpinski). Convergencia de estos límites es más rápido que el número de bucles de los aumentos monopolo estructura.

Las estructuras mencionadas han sido no sólo simuladas, también fabricadas como monopolos impresos utilizando técnicas convencionales, impresos de circuitos. Los resultados medidos muestran una reducción de η y un aumento en Q cuando el aumento de la iteración y la dimensión fractal de antenas de alambre grandes. Cuando se pre-fractales son estructuras de bucles más grandes eficiencias de radiación y los factores de calidad más pequeñas se encuentran con creciente dimensión fractal y la iteración. Sin embargo, la miniaturización alta no se consigue fácilmente con pre-fractales bucles. Estancamiento rápida de presentaciones y tendencias a ciertas estructuras euclidianas (monopolos triangulares y rómbico) se observan también en las mediciones para estos casos.

Los principales resultados son:

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o Topología tiene una influencia más fuerte que la dimensión fractal en el comportamiento de pequeñas monopolos 2D alambre pre-fractales, en particular en la eficiencia pérdidas.

o Como el número de bucles dentro de la estructura se incrementa, la eficacia y ancho de banda fraccional (inverso del factor de calidad) parecen aumentar con el fin de la pre-fractal (número de iteraciones IFS).

o Cuando no hay ningún bucle, cada iteración IFS aumenta la longitud y la flexión de los cables, y como consecuencia, las pérdidas óhmicas y la cantidad de energía almacenada en los alrededores de los aumentos de antena (esto significa una menor eficiencia de radiación y mayores factores de calidad).

o Se ha observado que los resultados son ligeramente dependientes de la longitud de la clavija de alimentación del monopolo: pre-fractales son buenos cargas capacitivas. Algunas cargas capacitivas pre-fractales se han diseñado y medido en paquete de trabajo 4.

Figura . Monopolos impresos utilizados para la investigación sobre la influencia de la dimensión fractal en la eficiencia de radiación y el factor de calidad. De izquierda a derecha y de arriba a abajo: Koch monopolos, Sierpinski Arrowhead monopolos, los monopolos Hilbert y Peano variante 2 monopolos.

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Figura . Prefractals fabricado con dimensión fractal 1,58 en comparación con el tamaño de 10 céntimos de euro. De izquierda a derecha y de columnas: Delta-Wired Sierpinski monopolos (DWS), Y-Wired Sierpinski monopolos (YWS); Sierpinski Arrowhead monopolos (SA) y Koch-1 Sierpinski monopolos (K1S).

Figura . Prefractals fabrica con 2 dimensión fractal. De izquierda a derecha y de arriba a abajo: monopolos Hilbert (H); Peano monopolos (P); variante Peano monopolos 2 (VP2) y Peano variante 3 monopolos (PV3).

Estudio de pre-fractales en 3D

El 3D monopolo de Hilbert se ha modelado. Su rendimiento en términos de eficiencia, factor de calidad y tamaño eléctrica en la resonancia ha sido simulado y, por último, las tres primeras iteraciones de la pre-fractal se han fabricado con paciencia. La figura siguiente muestra los modelos de alambre analizados por el software de simulación.

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Figura . 3D simulado Hilbert antenas en una configuración monopolar. El primer segmento es la principal contribución a la radiación.

La distribución actual calculada a lo largo del alambre sugiere que el primer segmento, conectado con el alimentador y perpendicular al plano del suelo, es la principal fuente de radiación, mientras que el resto de la antena se comporta como una carga.

Resumiendo los parámetros calculados por estos modelos en 3D, muestra que mientras que las relaciones de la miniaturización son notables, las eficiencias de pérdida y los factores de calidad obtenidos son poco práctico. El valor extremadamente bajo de la resistencia de radiación de acuerdo con la hipótesis de que sólo el segmento de alimentación de los irradia pre-fractal como un monopolo eléctricamente muy pequeña, y el resto de la estructura es una carga capacitiva que reduce la reactancia de entrada, y por lo tanto, la frecuencia de resonancia.

En la frecuencia de resonancia de pre-fractales antenas en miniatura.

El alambre en miniaturización de antenas se basa generalmente en el embalaje de un cable largo dentro de un pequeño volumen. El objetivo es lograr la antena más pequeña que tiene una frecuencia resonante dada o, de manera equivalente, alcanzar la más baja frecuencia de resonancia de una antena que tiene un tamaño fijo. Se ha demostrado ya que la frecuencia de resonancia del monopolo Koch disminuye a medida que el número de iteraciones del fractal (K1, K2, K3 ...) aumenta. Sin embargo, se ha descubierto más tarde que algunas configuraciones no fractales, que encierran un hilo largo en un volumen finito también conducir a una reducción similar o mejor en la frecuencia de resonancia, en comparación con el monopolo lineal que tiene el mismo volumen que encierra.

Un examen detenido de los resultados revela que la frecuencia de resonancia de un monopolo de Koch es mayor que el de un monopolo lineal de la longitud del cable mismo y el factor de reducción en la frecuencia de resonancia de la antena Koch como el número de iteración aumenta monotónicamente tiende a uno. Este trabajo investiga más en la dependencia de la frecuencia de

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resonancia con la geometría monopolo, con el fin de adquirir pautas para el diseño de auto-resonantes antenas pequeñas, en las que un aumento de la longitud del hilo efectivamente conduce a una reducción en la frecuencia de resonancia.

Puntos de referencia para rendimiento de la antena prefractal

Para el desarrollo de precisas herramientas numéricas para antenas pre-fractales y bien definidas no fractales, puntos de referencia deben ser considerados primero. Dos estructuras euclidianas que se ha encontrado que poseen propiedades que fueron consideradas exclusivas de antenas pre-fractales son la línea de meandro impreso y la espiral de dos brazos.

Alta ganancia modos localizados: la línea de meandro.

La antena meandro línea impresa ha sido estudiado cuidadosamente para ver si tiene alta ganancia modos localizados, como la pre-fractal Koch-isla parche, o no. El objetivo aquí es evaluar si los modos localizados son exclusivos de pre-fractales estructuras, o no.

La antena meandro es un parche rectangular impreso con lagunas N de anchura infinitesimal paralelo a dos lados del rectángulo. Las brechas N transformar el parche rectangular en una línea con N meandros.

La antena meandro ha sido comparada con el parche original, sin los huecos:

En las frecuencias bajas, por debajo de la resonancia parche, la corriente sigue a la línea de meandro. La impedancia de entrada del meandro se comporta como la de la línea equivalente. Esto es útil para la miniaturización de la antena, ya que presenta casi la misma frecuencia de resonancia que desenvolvió línea y ocupa mucho menos espacio.

A altas frecuencias (por ejemplo, 4 ª resonancia del parche) los meandros de una pareja con el otro y la antena se comporta más como un parche con huecos. Los puntos calientes o "modos localizados" aparecen al final de las lagunas (Fig. 9). Los que están en la parte superior de la antena están en fase, y las que están en la parte inferior también están en fase, pero en contra-fase con los que está en la parte superior.

Para frecuencias más altas fenómenos complejos de resonancia aparecer debido a la EM de acoplamiento entre las líneas paralelas. Se necesitan más estudios para comprender estos fenómenos complejos.

Desde modos localizados se conocen desde los años 60 y al margen de las estructuras fractales o pre-fractal, podemos concluir que los modos localizados no son exclusivos de antenas pre-fractales.

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La figura: modo de orden superior en la antena meandro línea impresa. La escala de colores muestra la fase y la longitud de la flecha de la magnitud de la parte imaginaria de la corriente eléctrica.

Antena miniatura: La espiral de dos brazos.

Un estudio de una de dos brazos antena espiral cuadrada microstrip respaldado por un plano de tierra se ha hecho, Fig. siguiente:

La figura: magnitud de intensidad en la primera resonancia de vuelta cuatro-dos-brazo antena en espiral.

Una espiral presenta propiedades interesantes desde el punto de vista geométrico, a saber, la auto-similitud y una longitud infinita en una superficie finita, propiedades compartidas por los objetos fractales. Habiendo elegido una espiral poligonal en lugar de una de Arquímedes se debe al hecho de que la espiral poligonal se ajusta mejor en una superficie dada, lograr una utilización más eficiente del área dada, un principio a tener en cuenta cuando la miniaturización de antenas.

Tomando como superficie de trabajo de un cuadrado de lado SL = 1.875cm, diferentes iteraciones de una espiral han sido estudiadas y comparadas con dos configuraciones rectas dipolo: el dipolo de longitud igual a la longitud de la espiral sin envolver y el dipolo ya que cabe en el cuadrado de referencia , que tiene como longitud de la diagonal del cuadrado.

La Tabla II muestra que la antena en espiral tiene una frecuencia de resonancia casi tan bajo como el dipolo de longitud recta mismo cable. De acuerdo con las directrices derivadas de los accesos directos o acoplamientos de estudio en la sección anterior, esto es debido a la débil acoplamiento electromagnético entre los ángulos, entre el alimentador y la tira o entre segmentos de tiras paralelas con corriente opuesta. A diferencia de pre-fractales antenas, las escalas de frecuencia de resonancia casi linealmente con la inversa de la longitud de la tira, manteniendo el alambre rodeado por un pequeño cuadrado.

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Frecuencia de resonancia. [GHz]Espiral 4-vueltas 1,77Espiral sin envolver dipolo recto 1,6Dipolo directo diagonal 11,6

Tabla II: Frecuencia de resonancia de un 4-vueltas dos brazos en espiral, el monopolo rectos y el monopolo de más tiempo ya que cabe en la plaza de referencia.

La antena en espiral constituye un punto de referencia muy bueno para juzgar pre-fractales antenas lo proporciona un duro desafío que ofrece la miniaturización excelente manteniendo un comportamiento en frecuencia razonable.

Resultados de tareas y pautas de diseño

Cuando el número de iteraciones IFS (fin de la pre-fractal) aumenta más allá de un cierto umbral, el cambio en los patrones de radiación y la impedancia de entrada de la antena tiende a cero. En otras palabras, no existe un uso cada vez mayor en el número de iteraciones IFS. La convergencia se logra generalmente entre 4 y 6 iteraciones. Este valor depende en gran medida el tamaño, la anchura de alambre o tira de radio y la topología de la antena.

El aumento de la dimensión fractal, aunque haciendo un mejor llenado del espacio curvas, construye grandes monopolos con menor eficiencia y mayores factores de calidad, incluso para las primeras iteraciones, al menos para estructuras de alambre sin bucles.

Topología tiene una influencia más fuerte que la dimensión fractal en el comportamiento de los monopolos planas de alambre pre-fractales, en particular en la eficiencia pérdidas.

Cuando la geometría de alambre no contiene bucles, cada iteración IFS aumenta la longitud y la flexión de los cables, y como consecuencia, las pérdidas óhmicas y la cantidad de energía almacenada en los alrededores de los aumentos de la antena (esto significa una menor eficiencia de radiación y mayores factores de calidad). Si bien las razones de la miniaturización son notables, las eficiencias logradas y los factores de calidad son poco práctico. Las resistencias bajas de radiación, se deben a la presencia de corrientes anti-paralelas que anulan la radiación de la otra.

Geometrías de cables que contienen bucles no tienen corrientes anti-paralelas. Aunque no lograr un alto grado de miniaturización, como el número de bucles dentro de la estructura se incrementa, la eficacia y ancho de banda fraccional (inverso del factor de calidad) parecen aumentar con el fin de la pre-fractal (número de iteraciones IFS).

Se ha observado que los resultados de resistencia a la radiación depende de la longitud del segmento de alimentación de la monopolo, que parece ser la principal fuente de radiación, mientras que el resto de la estructura se comporta como una carga capacitiva que reduce la frecuencia de resonancia.

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La hipótesis de acoplamiento electromagnético o atajos entre esquinas totalmente explica por qué la frecuencia de resonancia de pre-fractales antenas es mucho mayor que lo que podría esperarse a partir de la longitud del hilo solo, y por qué se estanca como el número de iteraciones IFS aumenta.

Como resultado de la hipótesis de acoplamiento electromagnético, algunas pautas para el diseño de antenas pequeñas se han derivado. Un diseño de antena que sigue a estas directrices, la antena espiral de dos brazos, tiene el tamaño más pequeño posible para una determinada frecuencia de resonancia.

El diseño de antenas de hilo pequeños utilizando pre-fractales geometrías tiene la ventaja de utilizar un algoritmo IFS fácilmente programable para empacar un alambre largo en un volumen dado. Sin embargo, el mero hecho de ser un objeto pre-fractal no implica que el grado de miniaturización y parámetros de antena son óptimas. Como en cualquier otro tipo de antena, que es, de hecho, la geometría de la antena la que determina el comportamiento de radiación. La concepción anterior de que "antena fractal" es equivalente a "miniaturización óptima y ancho de banda" es tal vez una mala interpretación de la declaración Hansen bien conocido: "Para obtener un rendimiento cercano al mínimo Q curva del volumen esférico se debe utilizar con mayor eficacia ".

Algunas antenas pre-fractales tener un tamaño ligeramente más pequeño que sus contrapartes eléctrica convencionales, manteniendo sus parámetros de radiación principales (factor de calidad y eficiencia de pérdida). Esto ha sido evaluado para configuraciones de monopolos planos.

Directrices para el diseño de monopolos en miniatura

Las siguientes pautas pueden establecerse para el diseño de antenas de hilo en miniatura:

1. Con el fin de reducir la señal de acoplamiento o atajos entre los ángulos de cable, la distancia entre los ángulos deben ser lo más grande posible, y los ángulos α el posible más grande.

2. Con el fin de reducir el acoplamiento de señal entre el alimentador y los segmentos de alambre, la longitud del hilo lo más posible debe ser perpendicular al campo eléctrico radiado por el alimentador.

3. Con el fin de reducir el acoplamiento entre los segmentos de alambre paralelos, segmentos de alambre con opuesto (anti-paralelo) corrientes muy cerca uno del otro debe ser evitada.

Un ejemplo de antena de alambre que sigue de cerca estas pautas es una espiral de dos brazos. La frecuencia de resonancia de una espiral cuadrada es inversamente proporcional a la longitud del cable, mientras se mantiene el alambre rodeado por un cuadrado pequeño.

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CURVA TRÍADICA DE KOCH

Veremos dos formas de antena basado en la curva de Koch tríadica. La primera un Mono / forma de dipolo y el segundo una forma de bucle. El objeto de este estudio es observar el comportamiento de resonancia de una estructura de antena que está construido de forma incremental en secciones de cuatro cables. Estos elementos cíclicos (tanto en el sentido de matriz o elementos yagi) tienen una forma única que es un patrón fundamental para toda la estructura. Para la curva de Koch tríadica, estos 4 alambres dan la apariencia de un trote triangular en una línea vertical.

La antena que se muestra se compone de 64 alambres rectos, cada uno de 1,1 metros de largo, la altura total es de 30 metros. Esta antena se encuentra totalmente dentro del plano YZ. La curva de base de la estructura superior se puede encontrar en la forma de los primeros cuatro cables (elemento cíclico se muestra en la pequeña inserción).

Barridos de frecuencia SWR se realizaron en la estructura cada vez que un elemento cíclico se añadió. El número de resonancias se anotaron y después se añadió otro elemento cíclico. Por la estructura que se muestra aquí, hay 16 elementos cíclicos. En el estudio de SWR para el elemento 1, sólo había una resonancia entre 5 y 50 MHz. Cuando el elemento cíclico 2 (cables 4 a 8) se añadió, el número de resonancias entre 5 y 50 MHz aumentó a 3. Con la adición de cada elemento cíclico adicional, resonancias adicionales se han añadido a la estructura.

Resonancias Fractal . Más dobleces significa más resonancias, especialmente para los Koch triádico. A través de las progresiones de la construcción de esta forma final, cada iteración presentado más resonancias a un barrido de frecuencia constante de la estructura.

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Este gráfico SWR es para el conjunto de 14 elementos cíclicos. Se mencionó anteriormente que era para 2 elementos cíclicos hay 3 resonancias. He aquí por 14 elementos cíclicos hay algo así como 18 resonancias. Una observación del conteo de resonancia: Hay una resonancia de cada elemento en la estructura cíclica (sobre un rango de frecuencia de 0 a 2 veces la frecuencia de resonancia del elemento cíclico uno) Hay que tener en cuenta que sólo se observa en forma monopolar accionada.

Los mismos datos desde una perspectiva Hi-Z de 200 Ohms

Curva de Koch dablada para presentar un bucle.

Aquí, la curva de arriba se pliega sobre sí misma y se alimenta en el vértice agudo en la esquina inferior izquierda (la unión alambre 1 y alambre 64). No hay cortocircuitos en la estructura y que podrían ser sugeridas por la proximidad de los puntos ilustrados a continuación. La primera diferencia entre esta forma y la forma estándar se encuentra en el conteo más bajo de resonancias para la longitud del alambre constante.

La simetría de la estructura presta lo mismo a un número de puntos de excitación posibles. La primera ya se ha descrito y mostrado. Otro sitio posible de la fuente se mueve a la esquina inferior derecha, el vértice amplio. También hay una serie de oposiciones estrechamente vinculados pero a la inversa en el diseño que podrían servir como puntos de accionamiento.

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Se encuentran a lo largo de la línea diagonal que se extiende desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha.

Uno de esos sitios que es evaluado en el pellizco que sólo precede a la dilatación de la estructura (cable 8 final 2 al alambre 57 final 1). La intención era ver si el bucle menor desarrollado a la izquierda de la unidad actuaría como talón de derivación al bucle principal a la derecha.

Observar cómo el número de resonancias se ha reducido en casi la mitad. Es decir, se exhibe el número de resonancias como se encuentra en un monopolo elemento 8. Más notables son las siguientes variaciones en el deseo que reducen el número de resonancias más allá.

Esta alimentación parece exhibir una condición de contorno. En otros datos que no se muestran aquí son muestras similares de pares de valores nulos de cerca en frecuencia y ciertamente no relacionadas armónicamente. Los valores cuarto, quinto y posiblemente sexto muestran resonancias estrechamente vinculadas.

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Alambre 1/64 alimentados

15 Cables de alimentacion (ápice amplio con simetría de ancho)

Este es un canal oportunista de la estructura que se encuentra en el pinzamiento del bucle en sus puntos más cercanos. La antena se alimenta como dos bucles en paralelo eléctricamente en serie pero geométricamente (W8E2 a W57E1). Este método de alimentación presenta aproximadamente el mismo número de resonancias como se encuentra en un monopolo fractal de 6 elementos cíclicos.

Esto también muestra la vinculación de resonancias, como los nulos sexta y séptima de esta pantalla.

El objeto de este estudio, para observar shunts sintonizados, se pierde en las resonancias como es. Sería tentador para abrazar la Twining de resonancias a valores nulos 6 y 7, pero estos hermanamientos de lo contrario son demasiado comunes.

ANTENA FRACTAL BASADA EN LA ISLA DE KOCH

Fue inicialmente ideada por Helge Von Koch, con el fin de demostrar sus estudios matemáticos en la obtención de curvas continuas sin tangente en punto alguno. Pero inmediatamente luego de su publicación, Ernesto Césaro demostró que la curva en cuestión es auto-semejante, y junto con otras características como dimensión fraccionaria y formación por iteración, permiten a esta figura el obtener la denominación de fractal.

Se analizan sus propiedades como antena debido a la característica que posee de aumentar considerablemente su longitud de acuerdo a la iteración, sin que esto incida en el espacio ocupado por dicha figura, con el fin de obtener antenas con un comportamiento aceptable a determinada frecuencia y que además su pequeño tamaño da mayores posibilidades de uso.

En la figura siguiente se muestra la isla de koch a distintas iteraciones, las cuales son usadas en las diferentes simulaciones para luego de un análisis seleccionar las más idóneas, y con ellas realizar un estudio más profundo y llegar de esa forma a establecer patrones de diseño de antenas fractales con la isla de koch.

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Derivacíon alimentada.

Fig. Isla de Koch a diferentes iteraciones, (a) Iteración cero, (b) primera iteración, (c) segunda iteración, (d) tercera iteración.

Este tipo de fractal es ampliamente estudiado para ser usado como antena ya que como se puede ver, la longitud de la curva aumenta significativamente con la iteración, pero el área ocupada por ésta se mantiene casi constante.

Dimensión

Para obtener la dimensión de la Isla de Koch, primeramente se explicará la forma en que se genera dicha figura, la cual está dada por el siguiente algoritmo. Se inicia con un segmento de recta de longitud L, luego a este se lo divide en tres partes iguales, y la parte del centro es reemplazada por dos segmentos de longitud L/3, ubicados de tal forma que un extremo de cada segmento este unido al otro formando un ángulo de 60° y los otros extremos de cada segmento se unan a los segmentos iniciales. Esto se puede observar en la figura siguiente:

Fig. Generación de la curva de Koch: (a) Iteración cero, (b) Iteración uno.

Para las siguientes iteraciones el proceso a seguir consiste en escalar la figura a 1/3 y reemplazar cada segmento por dicha figura, el resultado de la iteración 3 se puede ver en la figura siguiente:

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Fig. Curva de Koch en la 3ra. Iteración.

Prosiguiendo con el ejemplo, a continuación se obtiene la dimensión de la figura fractal que se dibujó. Para ello se utiliza la ecuación 1.2, en este caso el valor de N es 4, debido a que la figura inicial es reemplazada por 4 copias más pequeñas de sí misma, cuyo tamaño es un tercio del original, de ahí que el valor de e es de 1/3. Por lo tanto se tiene que la dimensión de la curva de Koch es:

D=log (4)

log ( 11/3 )D=1.2618595

Como se puede ver su dimensión no es un número entero, sino que es un número fraccionario, que es de donde los fractales obtienen su nombre.

Longitud

Una característica muy importante de este tipo de fractal y que se pudo observar en la sección en post, es la capacidad que tiene de aumentar su longitud una proporción de 4/3 por cada iteración, pero sin que se dé un aumento significativo en el área que éste ocupa, ésta es una de sus propiedades más importantes, y la razón por la que se escoge esta figura, ya que permite diseñar antenas con un tamaño mucho menor de lo habitual, lo cual se podrá comprobar más adelante, ya que se consigue una reducción considerable del tamaño con respecto a la antena diseñada con el triángulo de Sierpinski. La longitud total en cualquier iteración está dada por la ecuación siguiente:

L=l∗( 43 )n

Donde L es la longitud total de la curva, l es la longitud inicial de la curva y n es la iteración a la que se desea determinar la longitud. Por ejemplo si se desea determinar la longitud a la tercera iteración de la curva de Koch, cuyo segmento inicial mide 20 cm, se tiene lo siguiente:

L=20∗( 43 )3

L=47.4074cm

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En este ejemplo se puede ver claramente la ventaja de este modelo, su tamaño seguirá siendo de 20 cm pero su longitud real es de más del doble, lo cual hace idóneo a este fractal para la reducción del tamaño de la antena.

Diseño de la Antena

Una vez que se ha descrito algunas características de la Isla Koch y sus ventajas al usarse como antena, se continúa con el diseño de la misma, para ello primeramente se va a definir algunos parámetros a tomarse en cuenta durante el proceso del diseño. Esta parte es muy importante ya que ayuda a definir los límites dentro de los cuales se debe realizar los modelos, en lo que respecta a parámetros como longitud, iteración, espesor de la cinta, y otros que se describirán conforme avance el proceso. Además a lo largo de éste se pudo descubrir ciertas características propias de esta antena como por ejemplo el hecho de que poseen un ancho de banda bastante amplio y que se describirá mejor más adelante.

Longitud de la antena

Por definición la longitud, es decir el perímetro de la Isla de Koch es infinito, no puede ser determinado puesto que su iteración también es infinita y al aplicar la ecuación 1 para determinar la longitud podremos darnos cuenta de este fenómeno. Por lo tanto es común realizar solamente cierto número de iteraciones a un determinado fractal, dando de esa forma la posibilidad de un uso práctico.

L=l∗( 43 )n

Tomando en cuenta lo expuesto y dado que los modelos se van a diseñar para la banda de 900 MHz, específicamente para el rango de frecuencias de 902 a 928 MHz, se tiene que de acuerdo a la ecuación 2 las longitudes de onda irán de 0.3233 m a 0.3326 m, siendo 0.32795 la longitud de onda central (λc).

L=c / f

Se decidió que la longitud del modelo a la iteración cero sea de λc, para de esa forma al aumentar el número de iteraciones se obtenga una antena con una longitud efectiva mucho mayor a la longitud de onda central, lo cual de acuerdo a simulaciones previas da una mayor ganancia, este resultado se puede comprobar más adelante, en donde se presentan los resultados a distintas iteraciones, teniendo un mejor desempeño el modelo con la iteración más alta.

Por lo tanto, tomando en cuenta que el balun tiene una longitud deλc /4, es decir de 8.2 cm, la

longitud de la Isla de Koch a la iteración cero (l0) debe ser de aproximadamente 25 cm, que es el valor con el que iniciamos nuestro diseño, el modelo y la longitud de cada lado del triángulo se puede ver en la figura siguiente:

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Fig. Iteración cero de la Isla de Koch

Selección de la iteración

Como se mencionó anteriormente, inicialmente se tomaron varias iteraciones de la Isla de Koch, para con ellas realizar un análisis previo y así determinar que iteraciones de dicho fractal nos serían de mayor utilidad al ser usados como antenas. Finalmente se seleccionó la segunda y tercera iteración debido a dos razones muy importantes:

El objetivo al utilizar este modelo de fractal, es el de conseguir una reducción considerable en el tamaño de la antena, es por ello que es razonable que se utilice una mayor iteración ya que de esa forma se consigue una longitud mayor de la antena dentro de un área muy pequeña. De acuerdo a esto lo ideal sería utilizar una iteración bastante grande, pero nuestro modelo llega a su límite en la tercera iteración ya que, como se puede ver en la figura de abajo, no se puede realizar otra iteración más, debido a que el ancho de la línea no nos permite, y al hacerlo las líneas tienden a montarse entre sí con lo que se reduce la longitud de la antena.

Fig. Antena fractal de Koch a la tercera iteración.

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La segunda razón tiene que ver con el comportamiento de la antena. Al realizar las simulaciones se logró determinar que la ganancia de la antena aumentaba proporcionalmente con la iteración, es por ello que se tomó la segunda y tercera iteración de la Isla de Koch para con ellas realizar un análisis más extenso. En figura de abajo se pueden observar los resultados de dichas simulaciones.

Fig Ganancia de los modelos a distintas iteraciones

De acuerdo a lo que se ve en la figura anterior se puede concluir que la ganancia de la antena va a mejorar a iteraciones mayores a la tercera, pero sin embargo la realización de dichos modelos se ve limitada debido al espesor de la microcinta, ya que como se explicó anteriormente al realizar una iteración más a la Isla de Koch se pierde el contorno de la figura ya que empiezan a sobreponerse las cintas, esto produce que los resultados no sea los esperados y debido a ello se descartó el análisis a iteraciones superiores.

Ancho de la Microcinta

De acuerdo a lo que se explicó antes, el ancho de la cinta juega un papel muy importante en la realización de los diseños, ya que de ella depende la máxima iteración que se puede utilizar en un determinado modelo, lo cual repercute directamente en la ganancia que se obtendrá. Por esta razón es muy importante seleccionar adecuadamente este parámetro.

El ancho de la microcinta que se utilizó en este tipo de antena es de 2mm, se escogió este valor debido a dos razones principales:

La primera razón se debe a que estas antenas se diseñaron para un equipo cuya potencia de transmisión es de 10W a un voltaje de 12V, es decir que por dicha cinta debe fluir una

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corriente de 0.833 A. Tomando en cuenta las características eléctricas de la cinta se tiene que el ancho mínimo que se puede utilizar es de 1mm, caso contrario se puede provocar calentamiento de la microcinta, lo cual desencadenaría en pérdidas de potencia y en la introducción de ruido en la señal, por lo tanto las simulaciones debían partir con dicho valor. Es justamente en este momento que también se limita la iteración que se puede utilizar de la Isla de Koch ya que la cuarta iteración es únicamente factible si el ancho de la cinta es de 0.5 mm o menos.

Teniendo como límite inferior del ancho de la cinta un valor de 1mm, se procede a determinar el límite superior, y se llega a la conclusión de que si el ancho de la cinta es mayor a 2mm, ésta ya no es capaz de describir correctamente el contorno de la Isla Koch, como se puede ver en la Fig. a, en donde específicamente es el contorno interno el que, al no poder describir adecuadamente la figura fractal provoca esos espacios señalados en la figura como segmentos de color rojo, esto significa que la corriente ya no va seguir el contorno de la figura sino que va a pasar directamente lo cual hace que esos picos, es decir los segmentos de cinta agregados por la última iteración realizada, no realicen ninguna función en la antena, y por lo tanto se vuelvan innecesarios. Debido a este fenómeno se limita, como ya se dijo, el ancho de la cinta a 2 mm.

Fig. a. Sección de la antena con un ancho de cinta de 2.5 mm.

Una vez determinados los limites dentro de los cuales el ancho de la cinta puede variar, se diseñaron varios modelos con distintos valores para determinar el ancho adecuado que permitiría a la antena dar los mejores resultados. Estos resultados se pueden apreciar en la Fig. b, en donde a pesar de que la variación de la ganancia es muy poca, se puede determinar fácilmente que un ancho de 2 mm de la microcinta es la mejor opción para nuestros diseños.

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Fig. b. Ganancia de los modelos con distinto ancho de cinta, a la 3ra. iter.

MONOPOLOS

Los monopolos clásicos son antenas de hilo situadas verticalmente sobre la tierra y conectadas en su base a un generador, el otro terminal del cual está conectado a tierra. En el caso de los monopolos fractales, dado que de momento no se dispone de modelos con expresiones analíticas cerradas para sus parámetros tanto de impedancia como de radiación, se han utilizado conceptos de monopolos de hilos y propiedades de los fractales para diseñar una antena dual. En la primera fase se ha diseñado y construido una antena basada en el triángulo de Sierpinski en configuración de monopolo (Figura 8).

Modelo de un celular con antena fractal tipo Cantor.

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Figura 8: Triángulo de Sierpinskii en configuración de Monopolo.

Las antenas son en esencia aparatos de banda estrecha. Su comportamiento es altamente dependiente del tamaño de la antena y de la longitud de onda operante. Esto significa que para un tamaño de antena fijo, los parámetros principales de la antena (ganancia, impedancia de entrada, patrón de figura, nivel y distribución secundarios del lóbulo) sufrirán fuertes variaciones cuando se cambia la frecuencia operante. Por ejemplo, la Figura 9 muestra la evolución del patrón de radiación de una antena clásica común (un dipolo linear). Cada vez que la frecuencia se duplica, varios glóbulos aparecen, modificando el modo en que la antena esparce la potencia en el espacio.

Figura 9: Patrones de Radiación de un Dipolo.

Análogamente, la dependencia de frecuencia también implica que la antena tiene que mantener un tamaño mínimo relativo a la longitud de onda para operar con eficiencia. Esto es, dada una frecuencia en particular, la antena no puede ser construida arbitrariamente pequeña; usualmente

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f 2f

4f 8f

tiene que mantener un tamaño mínimo, típicamente en el orden de un cuarto de longitud de onda. La dependencia con el tamaño de la longitud de onda es un problema en muchos sistemas donde diseños de antenas anteriores no son convenientes. En ese sentido, el diseño de antenas Fractales y arreglos pueden ayudar a tratar el problema, contribuyendo con una amplio y variado conjunto de figuras geométricas con propiedades sorprendentes. La razón por la cual usar un diseño fractal para hacer antenas es doble. Primero, uno puede esperar una antena con autosimilitud (que contiene varias copias de si mismas a diferentes escalas), que pueda operar en un modo similar en diferentes bandas de frecuencia. Segundo, debido a las propiedades de relleno de espacio de algunas figuras Fractales (la dimensión fractal), pueden permitir el realizar antenas más pequeñas con figuras Fractales (Figuras de la 9 a la 12) para tomar ventaja del espacio circundante.

Figura 10: Antena Fractal en Configuración

de Triangulo de Sierpinski Figura 8: Antena Fractal en Configuración de

Conjunto de Cantor.

Figura 11: Antena Fractal en Configuración de

Copo de Koch. Figura 12: Antenas Fractales con Diferentes

Iteraciones en el Triángulo de Sierpinski.

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ANTENAS EN ÁRBOL

Otro tipo de fractal que puede ser utilizado como dipolo lo constituyen las estructuras arborescentes. Una posible configuración se muestra en la imagen. De nuevo, el objetivo que se pretende es la reducción del tamaño de la antena resonante.

Generación del Fractal

Vamos a aplicar una secuencia iterativa a la estructura inicial. Comenzamos con un monopolo simple. Tomamos un segmento extremo y lo dividimos en dos, formando un ángulo predeterminado (60º, por ejemplo), para generar las dos primeras ramas. A medida que el proceso iterativo continúa, los segmentos extremos de cada rama se van dividiendo en más ramas, como se aprecia en la imagen.

Si definimos la longitud eléctrica total como la mínima distancia que debe recorrer un electrón desde la base del fractal hasta el extremo de cualquiera de sus ramas terminales, se observa que en los árboles fractales esta longitud permanece constante a lo largo del proceso iterativo.

Análisis de la Antena

Estas antenas se montan de forma simétrica, alimentadas en su centro geométrico. Se puede ver cómo la frecuencia de resonancia decrece a medida que aumentan las iteraciones. La relación entre la miniaturización y el número de iteraciones es muy parecido al dipolo de Koch.

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Los patrones de radiación de un dipolo en árbol son muy parecidos a los del dipolo recto en todos los cortes. Uno de estos patrones típicos se muestra en la figura. La antena elegida en este caso es la cuarta iteración de un árbol fractal formando un ángulo de 60º en cada bifurcación. Las ventajas son obvias: igual campo radiado, mayor miniaturización.

Patrón de campo lejano para una típica antena fractal de árbol. Corresponde a un árbol fractal de cuatro iteraciones con una separación de 60º entre ramas. a) Plano de corte de E paralelo a las ramas b) Plano de corte de E perpendicular a las ramas.

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a b

Antenas en Árbol Tridimensionales

Una antena fractal tridimensional en árbol presenta una geometría similar a las del apartado anterior. Sin embargo, el crecimiento, en vez de producirse en un mismo plano, tiene lugar en las tres dimensiones. La antena resultante ofrece beneficios, similares a su homóloga bidimensional, pero en mayor grado. La geometría de estas antenas se muestra en la figura.

Generación del Fractal

Las antenas tridimensionales en árbol se generan de forma muy parecida a sus homólogas en dos dimensiones. El extremo de un monopolo recto se subdivide en cuatro ramas, que se apoyan en dos planos ortogonales, formando un ángulo prefijado. En este ejemplo trabajaremos con ángulos de 60º. En la siguiente iteración, cada una de los extremos de las cuatro ramas se subdivide a su vez en otras cuatro pequeñas ramas, y así sucesivamente. En la tabla pueden observarse las longitudes relativas de cada rama para las primeras cinco iteraciones.

Generación de una árbol fractal tridimensional. En cada iteración las ramas se dividen en cuatro segmentos situados en dos planos ortogonales

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Análisis de la Antena

En la figura nos encontramos con una imagen ya conocida. A saber, la frecuencia de resonancia disminuye al crecer el número de iteraciones. Por contra, también disminuye la resistencia de entrada.

Los patrones de radiación se muestran en la figura, todos ellos calculados en resonancia. Es curioso cómo estos patrones no varían al aumentar el número de iteraciones. Además todos ellos, así como el máximo de directividad, son muy similares al comportamiento esperado de un dipolo recto clásico.

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ANTENAS FRACTALES: ANTENAS COMPUESTAS

Las antenas compuestas se utilizan en transmisión de imágenes y comunicaciones. Un diseño típico consiste en una serie de emisores, situados sobre un llano, distribuidos de forma periódica o aleatoria. Estos dos esquemas de organización ofrecen una variada gama de propiedades en la radiación. Una distribución periódica ofrece niveles muy bajos de radiación en los lóbulos laterales, a costa de implementar un muy elevado número de elementos. Por el contrario, una distribución aleatoria presenta mayores lóbulos laterales, pero no necesita de tantos elementos. Además tienen la ventaja de ser más robusta: si uno de los elementos falla, la antena continúa funcionando prácticamente igual.

Composición lineal

Cuando se diseñan antenas, se analizan las peculiaridades de los distintos patrones de radiación con el fin de optimizar su uso. Veamos como primer ejemplo de antena compuesta una distribución en línea con un total de 10 elementos, que aparecen como puntos amarillos en la figura.

Si asumimos una serie de simplificaciones: igual carga en cada antena y un espaciado uniforme de un cuarto de longitud de onda entre ellas, nos encontramos con un lóbulo principal -producto de la interferencia constructiva- así como una serie de pequeños lóbulos laterales. En la figura aparecen señalados en azul.

Condición para una configuración óptima:

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Una antena óptima no debería presentar lóbulos laterales. La ventaja de poseer un solo haz es vital en lugares como los aeropuertos. Como se ve a la derecha, si usáramos la misma configu-ración de la figura 1, los lóbulos secundarios podrían desorientar al controlador aéreo confundiendo una aeronave de grandes dimensiones orientada según el haz lateral con un pequeño aeroplano en el extremo del haz principal. Otra característica a destacar en una configuración óptima es la necesidad de un haz principal muy estrecho. A la izquierda se aprecia la catástrofe que supondría confundir dos aeronaves pequeñas con una de gran dimensión debido a un lóbulo demasiado ancho.

DISTRIBUCIÓN PLANA REGULAR, ALEATORIA Y FRACTAL

Una distribución bidimensional de antenas permite una mayor flexibilidad y variedad. Existen dos formas estándar de distribuir las antenas: ordenándolas regularmente formando una matriz o esparciéndolas al azar sobre una cierta área. Aunque ambos métodos dan lugar a formación de lóbulos laterales indeseados, presentan ciertas ventajas.

Una configuración plana, en donde las antenas se distribuyen formando una matriz, tiene tendencia a producir haces principales y laterales de la mismas dimensiones. En la figura (derecha) se muestran 324 elementos situados en una matriz de 1.5 x 2 unidades cuadradas. La figura (izquierda) muestra el campo radiado en un mapa de colores: el azul representa el punto donde el campo es menos intenso y el rojo donde más.

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Una distribución plana aleatoria presenta características más deseables. Esparciendo 324 elementos al azar en el mismo rectángulo que antes, observamos en la figura cómo los lóbulos laterales son, en general, menores. Además se produce una simetría rotacional alrededor de un centro.

Generemos una antena fractal. Vamos a hacer uso de un sistema de funciones iteradas para ir rellenando, de forma aleatoria, un triángulo de Sierpinski. Para comparar con los ejemplos anteriores, situamos el mismo número de antenas individuales (324) en la misma área, como muestra la figura.

La siguiente figura muestra el campo radiado por la distribución fractal de la figura anterior. La teoría de composición de antenas explica las líneas que se extienden desde el punto central. Por cada "línea" formada por las antenas, la radiación tendrá mayores lóbulos laterales en la recta perpendicular a dicha línea. Ya vimos esta propiedad con elementos dispuestos en líneas rectas Esta es la razón por la que una distribución al azar es tan efectiva a la hora de disminuir los haces laterales; no existen líneas de antenas individuales.

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Las ventajas de una distribución de antenas óptima se hacen patentes principalmente en la mejora del haz principal y el nivel de los lóbulos laterales. Como se vio en la distribución periódica, el haz principal era bueno en tanto en cuanto no se producían interferencias con lóbulos laterales más pequeños. Esta degradación del lóbulo principal puede verse en la composición aleatoria.

Comparación del lóbulo lateral

Los haces secundarios laterales en distribuciones periódicas son mayores aún debido al elevado número de elementos presentes. Las configuraciones aleatorias aportan lóbulos laterales menores con una notable reducción en el número de elementos. Como en éste último, el fractal presenta menores haces secundarios. Las figuras 1.8 y 1.9 comparan los niveles en los lóbulos laterales de ambas composiciones.

Se aprecia cómo la distribución al azar trabaja mejor que la fractal. Según todo lo visto, se produce un punto de intersección donde el número de elementos hace que una de las composiciones funcione mejor que la otra.

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ANTENAS FRACTALES EN BUCLE

Las antenas en bucle se conocen bien y han sido estudiadas usando gran variedad de geometrías euclídeas. Aun así, presentan distintas limitaciones insalvables. Las antenas en bucle necesitan una cantidad importante de espacio; además, la resistencia de entrada en los bucles pequeños es muy baja, situación molesta si queremos conectar una linea de alimentación. En este sentido, una "isla" fractal puede salvar estos inconvenientes.

Los bucles fractales tienen la ventaja de incrementar el perímetro hasta el "infinito" manteniendo constante el volumen ocupado. Este incremento de longitud disminuye el volumen ocupado por la antena en resonancia. Además, en bucles pequeños aumenta la resistencia de entrada.

Bucles pequeños

Se sabe que las antenas pequeñas en forma de bucle tienen una resistencia de entrada pequeña, por lo que conectar a una línea de alimentación de 50 Ohmios puede crear cierta dificultad. Una isla de Koch encajada en una pequeño bucle circular aumenta de forma notable la resistencia de entrada.

Análisis de la Antena

Para utilizar un fractal como antena parece obvio que debemos trabajar con una aproximación. Un verdadero fractal, con un perímetro infinito, es imposible de fabricar. Esto no debe preocuparnos porque ya con unas pocas iteraciones se aprecian las buenas propiedades de esta geometría.

Para mostrar estas mejoras, comparemos la cuarta iteración de una isla de Koch con una antena circular. El tamaño relativo de ambas antenas se muestra en la figura 2.1 . Obsérvese cómo la antena

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circular circunscribe al fractal. El área ocupada por la antena circular es bastante mayor.

El área encerrada por la cuarta iteración de la curva fractal, parámetro clave en el estudio de pequeñas antenas en bucle, con un radio r, viene dada por:

Áreacurva Koch = (1 * 3/9 * 12/81 * 48/729 * 192/6561) * 3/2 * Ö 3/2 * r2 = 2.05 r2

El área de un círculo es:

ÁreaBucle circular = p r2

Al comparar las dos áreas obtendremos:

Áreacurva Koch / ÁreaBucle circular = 0.65

Cálculos análogos nos llevan a una relación de perímetros:

Perímetrocurva Koch / PerímetroBucle circular = 2.614

Al estudiar las antenas en un rango de frecuencias normalizado con la longitud del perímetro del bucle circular, encontramos que ésta se mueve entre unos valores de 0.05l a 0.26l . El perímetro del fractal queda entre 0.13l y 0.68l .

Resultados

La resistencia de entrada de ambas antenas frente al perímetro de la antena circular –en longitudes de onda- se compara en la figura 2.2. Una antena circular con un perímetro de 0.05l tiene una

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resistencia de entrada de 0.000004 W , incrementándose a sólo 1.17W cuando el perímetro es de 0.26l . Por el contrario, aun cuando la resistencia de entrada es de sólo 0.000015W para el valor más bajo de frecuencia en la antena fractal, éste alcanza el valor de 26.65W en el extremo de las frecuencias altas. Este valor mejora notablemente la conexión a una línea de transmisión de 50W.

A continuación se comparan los patrones de radiación para ambas antenas. A la izquierda se muestran los cortes con los planos xz e yz. A la derecha se muestra el patrón en el plano donde descansan las antenas, el xy.

ANTENAS FRACTALES: BUCLES RESONANTES

Cuanto más se aproxima el perímetro de una antena en bucle a una longitud de onda, más dependen sus características de la forma de la antena. Una forma fractal puede usarse para reducir el tamaño de la antena, incrementando la eficiencia con la que se rellena el volumen con conductores eléctricos.

Vamos a analizar aquí un fractal de Minkowski con un perímetro cercano a una longitud de onda. Se comparan varias iteraciones de esta curva con una antena cuadrada clásica, ilustrando los beneficios que ello aporta.

En el apartado anterior, cada segmento del generador (la curva de Koch) tenía la misma longitud, un tercio de la longitud original. En esta sección, la longitud del segmento es variable. Los dos segmentos extremos, así como el central miden un tercio de la longitud inicial. Los otros dos segmentos son variables, con el fin de ajustar el perímetro total. Esta longitud variable recibe el nombre de "ancho de mella" (indentation width). La variación en el ancho de mella afecta a la dimensión del fractal. Cuanto mayor es este ancho, mayor es la dimensión.

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Análisis de la antena

Vamos a estudiar cómo varían las características de la antena a medida que el número de iteraciones crece. Tomemos seis anchos de mella representativos, por ejemplo: 1/5, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5 y 9/10. Para que todas ellas sean resonantes a la misma frecuencia, cada una debe tener un tamaño concreto, distinto al de las demás. Como se observa en la figura, a medida que crece el ancho de mella, mayor miniaturización se consigue. Matemáticamente se demuestra que un mayor ancho de mella supone mayor dimensión por lo que podemos suponer que a mayor dimensión fractal, mayor miniaturización de las antenas en bucle.

Resultados

En la figura se muestra el tamaño relativo de dos antenas con igual ancho de mella y frecuencia de resonancia. Obsérvese cómo la segunda iteración es mucho más pequeña que el cuadrado original. Es más, aunque la directividad de las antenas decrece a medida que aumenta el número de iteraciones o

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el ancho de mella, la eficiencia en la apertura del campo radiado aumenta espectacularmente. El área física ocupada por un fractal con un alto número de iteraciones y un profundo ancho de mella es mucho más pequeña que en una antena cuadrada. Así, mientras el coeficiente de apertura en el cuadrado es de sólo 2.254, para la segunda iteración del fractal con un ancho de mella de 0.9, resulta ser de 11.59. Una pérdida en la directividad de 1.28 dB se compensa con un decremento del 38% en el área ocupada, lo que se traduce en una antena 7 veces más pequeña.

TECNOLOGÍA Y APLICACIONES

Los diseños y aplicaciones de las antena fractales son muchos, dado que el avance de los sistemas de comunicaciones y el importante incremento de otras aplicaciones de los sistemas inalámbricos, las antenas de banda ancha y de bajo contorno, tienen gran demanda tanto para aplicaciones comerciales como militares. Estas aplicaciones pueden ser: Celulares, trunking, beepers, pequeñas terminales satelitales, vehículos aéreos tipo UAV, encubridores, radares de apertura sintética, indicadores de blancos en movimiento, algunas aplicaciones también requieren antenas embebidas en la estructura exterior de vehículos.

Se pueden resumir las aplicaciones actuales así:

• Sistemas Móviles Celulares: Antenas en estaciones base y antenas en teléfonos receptores

• Dispositivos de Micro ondas: Circuitos microcinta detectores de radio frecuencia (RFID), antenas microcinta

• Otras: Aeronáutica, sector automotor, comunicaciones marítimas y aplicaciones militares

En los Sistemas Móviles de Comunicaciones (Celulares, Radio Teléfonos, etc) es de vital importancia el uso racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial del sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una solución inesperada para este problema fue construir Antenas Fractales, las cuales son más compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales.

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APLICACIÓN DE LOS FRACTALES EN LA ELECTRÓNICA: ANTENAS DE SISTEMAS MÓVILES

Las antenas fractales diseñadas originalmente para sistemas celulares (móviles), se enmarcan dentro de la categoría de antenas multibanda, ya que su diseño y tamaño propios han permitido que trabajen en varias frecuencias. Un ejemplo de ello son antenas duales que logran trabajar con sistemas GSM (890-960 Mhz) y DCS (1710-1880 Mhz), siendo este último el equivalente al conocido sistema PCS.

Las antenas multibanda son una nueva alternativa que busca la convergencia hacia las tecnologías celulares de quinta generación (5G), implementándose en equipos que se adaptan transparentemente a servicios múltiples. Aunque la idea original es llegar a un solo y único servicio con cobertura global.

En el diseño tradicional de antenas, la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (λ). Es decir a una mayor frecuencia es menor la longitud de onda, y con ello el tamaño final de la antena.

Este inconveniente inicial a dado pie a los Investigadores para diseñar y fabricar las mencionadas antenas multibanda que puedan trabajar con varias frecuencias sin importar el parámetro (λ).

“Al utilizar una única antena los operadores pueden reutilizar las instalaciones existentes sin incrementar el número de antenas en las estaciones base. El resultado es una reducción tanto en el coste como en el impacto visual de estas estaciones”.

¿Por que diseñar antenas de forma fractal?

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Las antenas fractales son dispositivos de banda estrecha. Como se mencionó antes, la operación de la antena esta altamente ligada con la longitud de onda de operación. Es decir, que para un tamaño de antena los parámetros principales (ganancia, impedancia de entrada, forma del modelo y nivel del lóbulo secundario y distribución) sufrirán variaciones fuertes cuando se cambie la frecuencia de operación.

Entonces como el diseño de la antena esta íntimamente ligado a las frecuencias de operación se debe considerar un tamaño pequeño relativo a la longitud de onda para operar eficientemente. Para este caso, esto es un cuarto de la longitud de onda.

Estas investigaciones han arrojado excelentes resultados sobre el problema que siempre se ha tenido con los tamaños de las antenas relacionados a la longitud de onda, que gracias al diseño fractal y sus formas y propiedades asociadas se han podido superar.

Desde el surgimiento de la Geometría Fractal y el desarrollo de computadoras potentes, el concepto topológico del “fractal” se clasifica en tres grandes conjuntos: Los fractales autosimilares, que son los empleados para este caso en las antenas y cuya característica principal es tener copias de si mismo a diferente escala. Muy usados en el modelamiento de árboles, arbustos y otras plantas.

Los fractales autoafines cuyas partes se forman con diferentes parámetros de escala Sx, Sy, Sz, y en distintas direcciones de coordenadas. La tierra, el agua, las nubes, y otros objetos complejos se pueden modelar con este tipo de fractales.

Por último los fractales invariantes también llamados autocuadráticos, formados con transformaciones no lineales como por ejemplo el famoso conjunto de Mandelbrot que se forma de múltiples iteraciones de funciones cuadráticas en un espacio complejo.

Después de esta clasificación vemos como con la ayuda de los llamados Fractales Autosimilares y su respectivo calculo de dimensión fractal o dimensión de Hausdorff-Besicovitch se pueden construir las antenas. Siendo los modelos más usado el de Sierpinsky y el de Koch.

Antenas Sierpinsky .Sin duda fue el primer modelo utilizado para la fabricación de antenas multibanda. Construidas sin modificar el procedimiento tradicional de iteración para diseñar el fractal con sus tres primeros subconjuntos iniciales conservando sus propiedades de dimensión fractal D=1.585 y un factor de escala de δ=2.

Según estudios preliminares se ha determinado que con el uso de una carga inducida a la antena se pueden reducir los tamaños (dimensiones) de las mismas y mejorar sus parámetros de radiación; ya que éste es un gran inconveniente cuando se trabaja a frecuencias muy bajas y el lamba aumenta. Esta misma técnica se puede aplicar a las antenas fractales logrando reducir su tamaño físico hasta un 40%, logrando un mayor crecimiento eléctrico y un ajuste en la impedancia de entrada.

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Comercialmente se han diseñado antenas monopolo duales para montaje en pared y techo en interiores o exteriores. Son antenas omnidireccionales, es decir que irradian su energía equitativamente en todas direcciones, estas antenas son la Fractus-MSPK (figura 6d), y la Fractus Panel-01 (figura 7d) de cobertura sectorial.

Figura 6d. Fractus-MSPK Figura 7d. Fractus

Diseñadas originalmente para trabajar en el sistema español DECT en las bandas de 1880 a 1930 y 3400 a 3600 Mhz simultáneamente.

Una diferencia visible en estas dos antenas es el número de conectores, la Fractus-MSPK cuenta con un único conector SMA (coaxial) para las dos bandas, en cambio la Fractus Panel-01 tiene conectores independientes para cada una de las bandas.

Actualmente se están implementando antenas fractales para otros sistemas de telecomunicaciones, redes celulares (móviles) y dispositivos bluetooth como puede verse en la sección de productos de Fractus en http://www.fractus.com/.

Los modelos con forma de árbol (fig. 3) por lo regular son generados con un procedimiento no nombrado antes, los L-Systems (sistemas lineales); los cuales se basan en la iteración de funciones lineales y el cambio de otros parámetros espaciales propios.

Los modelos Koch (fig. 1 y 9) se usan en dispositivos pequeños, y parece ser que sus formas angulares pueden generar capacidades eléctricas y conductividad. Esta misma propiedad angular se comparte por los fractales autocuadráticos, lo que nos indica otra posibilidad en el diseño. Luego, ¿Será posible entonces utilizar otros modelos fractales como los autoafines, o talvez modelos dinámico-caóticos como Atractores y demás para finalidades concretas en telecomunicaciones, y con ellos resolver otro problema que es el de las interferencias?.

El objetivo de usar Antenas Fractales es el de ampliar las bandas de frecuencia en los sistemas móviles. El utilizar una antena para cada banda es poco útil, así se busca tener una sola antena que funcione para varias frecuencias. El tamaño de una antena siempre va relacionado estrechamente con la longitud de onda de la banda a ser transmitida por medio de esta; es por esto que no es posible utilizar una misma antena a diferentes frecuencias. Los Fractales permiten diseñar antenas multibanda, con la geometría fractal se obtienen antenas que contienen en un solo objeto, copias

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de él mismo en diferentes tamaños, y esto permite el mismo comportamiento a diferentes frecuencias.

Una de las propiedades básicas de un objeto fractal es la autosimilitud. Un cuerpo fractal está formado por copias de él mismo reducidas en un cierto factor de escala. Las antenas multibanda recurren al principio de escalabilidad.

Principio de Escalabilidad: Si tenemos una antena que funciona a una cierta frecuencia f, y multiplicamos sus dimensiones por un factor k, la antena resultante se comportará igual que la original pero a una frecuencia f/k.

Si se tiene una antena formada por copias de ella misma pero en diferentes escalas, se obtiene un elemento con el mismo comportamiento electromagnético en tantas bandas de frecuencia como factores de escala contenga la estructura, y esto es un comportamiento multibanda.

CONCLUSIONES

Los objetos fractales se han convertido en uno de los principios unificadores de la ciencia, pero las aplicaciones técnicas de estas formas geométricas no se han apresurado, salvo en el grafismo informático. Los investigadores empezaron a aplicarlos hace diez años a el diseño de antenas.

Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero la teoría subyacente, basada en las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, es casi impenetrable. Por esta razón los diseñadores de antenas se ven obligados a proceder por tanteos, por prueba y error. Incluso los receptores técnicamente más avanzados dependen con frecuencia de un simple hilo colgante, que

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no se diferencia en nada de los utilizados hace un siglo por G. Marconi en sus primeras pruebas de transmisión por radio.

Los fractales mejoran el diseño de antenas básicamente por dos motivos. En primer lugar, pueden aumentar el rendimiento de las antenas compuestas. Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas. Su disposición suele ser o perfectamente regular o, por el contrario, aleatoria. Se ha descubierto que una distribución fractal puede combinar la robustez de los sistemas aleatoriamente dispuestos con el rendimiento de los regulares, todo ello utilizando la cuarta parte de elementos. Los fractales pueden ofrecer desorden a pequeña escala y orden a gran escala.

En segundo término, la forma fractal puede ser beneficiosa incluso para antenas aisladas. Nathan Cohen y un equipo de ingenieros de la Universidad Politécnica de Cataluña, han experimentado, de forma independiente, con hilos doblados siguiendo la forma de las curvas de Koch, o de los triángulos de Sierpinski. Al replegar así la antena se consigue no sólo alojar la misma longitud en un espacio seis veces menor, sino que su forma dentada genera capacitancia e inductancia adicionales, haciendo innecesarios elementos externos para su sintonización o para aumentar la anchura de la banda de frecuencias que pueda recibir.

Entre las particularidades que más resaltan en la geometría fractal, encontramos la autosimilitud. A grandes rasgos, consideramos que un objeto es autosimilar cuando está compuesto por diversas copias de sí mismo en una multitud de escalas diferentes. Por lo tanto, los fractales son objetos en los que el todo y cada una de sus partes tienen la misma forma. Cuando dividimos un fractal en pequeños trozos, cada uno de estos trozos contiene una infinidad de copias del fractal original, pero a tamaños reducidos.

El diseño de antenas multifrecuencia, es decir, de antenas que trabajan a diversas longitudes de onda o a diversas bandas, ha sido siempre problemático. La limitación principal está en que el funcionamiento de una antena depende directamente de la relación entre su tamaño, y el tamaño de la longitud de onda de trabajo. Normalmente la mayoría de antenas se diseñan de manera que su tamaño total sea del orden de media longitud de onda. El problema de trabajar a diversas longitudes de onda a la vez, reside, por lo tanto, en que la antena tendría que ser capaz también de tener diversos tamaños simuItáneamente. Desde el punto de vista de la geometría clásica, no es fácil imaginar un objeto que mantenga la misma forma a diversos tamaños, y es en este sentido en el que los fractales ofrecen una infinidad de posibilidades en el diseño de antenas.

Se ha desmostrado que antenas con una forma fractal autosimiIar ideal, presentan exactamente el mismo comportamiento en un conjunto arbitrariamente grande de longitudes de onda (es decir, el mismo comportamiento en diversas bandas o frecuencias). También en la construcción de antenas fractales reales que mantenga el mismo comportamiento a diversas frecuencias. Este hecho abre toda una serie de perspectivas de nuevas aplicaciones en el ámbito de las telecomunicaciones y las tecnologías de la información. Los diferentes sistemas de telecomunicación (radio, televisión

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terrestre, televisión vía satélite, telefonía móvil , sistemas GPS) suelen operar en diversas bandas frecuenciales para no interferirse mutuamente. Esto hace que utilizando la tecnología de antenas convencional, nos veamos obligados a utilizar una antena diferente para cada servicio a cada frecuencia. Sin ir más lejos, sólo en el ámbito de la telefonía móvil, debido al creciente número de usuarios del sistema GSM, los operadores se han visto obligados a dar servicio dentro de la banda de DCS y UMTS, por lo que nos encontramos actualmente con varias bandas de frecuencia diferentes operando simultáneamente, una para al sistema GSM, otra para DCS y otra para UMTS. Este último sistema comienza a implantarse actualmente y el hecho de que trabaje a una banda diferente que la del sistema antiguo hace que sea necesaria la implantación de una infraestructura de antenas totalmente nueva, a menos que se disponga de antenas multibanda que operen simultáneamente a ambas bandas de frecuencia. El coste de la implantación de una nueva red de antenas es alto, tanto desde el punto de vista económico, como desde el punto de vista urbanístico, paisajista y medioambiental. Es en este sentido en el que las antenas fractales comienzan a aportar las primeras soluciones en este campo, ya que la tecnología fractal permite, en determinados casos, utilizar una única antena en lugar de dos.

Consecuentemente para la elección de una antena multibanda se da mucha importancia altamaño, la velocidad y la capacidad. Existe una gran cantidad de competencia para dicha elección, por lo que es necesario realizar cambios permanentemente tanto en la fabricación como en el diseño.

La teoría de los fractales esta abriendo un universo de posibilidades en la exploración de nuevas alternativas científicas para resolver y optimizar sistemas. Se están expandiendo rápidamente sus aplicaciones a campos insospechados: telecomunicaciones, medicina, electrónica, estadística, música, etc. Sus propiedades especiales como la autosimiliridad, rugosidad, dimensión fraccionaria, etc., se están empleando en el diseño de nuevas y mejores antenas que abrirán las posibilidades de las nuevas generaciones de sistemas de comunicaciones 3G y 4G, permitiendo una integración eficiente de los nuevos servicios. Actualmente los esfuerzos se centran principalmente en el diseño de antenas para los sistemas móviles, dando una solución barata, fácil y rápida. Sin duda, estos nuevos diseños se constituirán en una pieza clave en el avance de los sistemas de telecomunicaciones del futuro.

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