Atractores

Atractores

Abstract

Date 01/02/03

ConceptoEl concepto atractor va ligado al de los "sistemas dinmicos". Si desconoces su significado consulta primero el artculo sistemas dinmicos y luego, retoma la lectura de los atractores.

En el ejemplo de los sistemas dinmicos hemos trabajado con las funciones del coseno y la raiz cuadrada. Fijaros que para la iteracin 35 las funciones se han estabilizado y el resultado es siempre el mismo. Decimos entonces que ese resultado atrae a la funcin da igual el valor con el que empecemos, siempre tender a estabilizarse en ese valor. Acta como un imn.

En los sistemas dinmicos ya hemos dicho que puede ser uno o varios valores sobre los que la funcin se estabiliza y evidentemente las funciones que rigen estos sistemas no son tan simples como cos(x).

Estos sistemas pueden comportarse de diferentes formas, pero muchos de ellos tras suficientes iteraciones (repeticin de un clculo simple) de las funciones que los determinan, su funcin tiende a estabilizarse en uno o ms valores. Este conjunto de valores para los cuales la funcin f(x) se estabiliza cuando el nmero de iteraciones tiende a infinito ((), se denomina "atractor".

Como atractores conocidos tenemos el de Lorenz, Hnon, KAM, Pickover y muchos otros.

La representacin visual de un atractor es asunto interesante, sino fjate en el siguiente gif animado:

Ms ejemplosOtro ejemplo bien claro de atractor sera un pndulo de pared. Este pndulo necesita de un empuje inicial mnimo para ponerse en funcionamiento y que su corrector interno pueda controlar. Da igual la intensidad del empujn mientras pase el mnimo, luego el mecanismo interno lo regula, bien frenndolo o acelerando, hasta hacer que su movimiento sea exacto y continuo. Es decir, lo estabiliza, frenndolo cuando lo necesita y acelerndolo cuando se frena; siempre con el nico fin de que marque un ritmo peridico y exacto. Fijmonos que el mecanismo interno del pndulo lo que hace es estabilizarlo, y pasado cierto tiempo desde el primer empujn, se estabilizar recorriendo espacios iguales en tiempos iguales.

Esta es la idea de un atractor. Partiendo de un sistema dinmico cuyo movimiento y actividad resulta azaroso no repitindose 2 valores seguidos iguales, resulta que pasado cierto tiempo se estabiliza en ciertos valores independientemente de su funcionamiento primario

Sistemas dinmicos

Abstract

Date 01/11/01

IntroduccinLos sistemas dinmicos son la base del caos y de los atractores, debemos sumergirnos en ellos para comprender el concepto de "caos" y de "atractor".

Un sistema dinmico es un sistema matemtico que estudia procesos en movimiento y que podemos encontrar por doquier en la Naturaleza y en nuestra sociedad:

CienciaEjemploEconoma

Distribucin de rentas

Demografa

Crecimiento de poblacin

Fsica

Mecnica de fluidos

Astronoma

rbitas estelares

...

...

Estos sistemas dinmicos pueden simularse en el ordenador e incluso con una simple calculadora cientfica, si se conocen las ecuaciones que los rige.

IteracinUsemos Excel u otra hoja de clculo para probar con unas funciones simples, como por ejemplo cos(x) en radianes o bien raiz cuadrada. Como las iteraremos, partiremos de un valor cualquiera y el resultado obtenido ser el argumento de la funcin en la 2 iteracin y as sucesivamente.

Iterar es usar la salida de una funcin como entrada en el siguiente clculo.

Si usamos la calculadora, es tan fcil como escoger el modo 'radianes', introducir el primer valor de la funcin e ir pulsando repetidamente la tecla del coseno y/o la de la raiz cuadrada.

En el ejemplo propuesto obtendramos el siguiente resultado:

nraiz (x) cos(x)1

5424

0.5

2

73.64781056

0.877583

3

8.581830257

0.639012

4

2.929476106

0.802685

5

1.711571239

0.694778

6

1.308270323

0.768196

7

1.143796452

0.719165

8

1.069484199

0.752356

9

1.034158691

0.730081

10

1.016935933

0.74512

11

1.008432414

0.735007

12

1.004207356

0.741826

13

1.00210147

0.737236

14

1.001050183

0.740329

15

1.000524954

0.738247

16

1.000262443

0.739649

17

1.000131213

0.738705

18

1.000065604

0.739341

19

1.000032802

0.738913

20

1.000016401

0.739201

21

1.0000082

0.739007

22

1.0000041

0.739138

23

1.00000205

0.73905

24

1.000001025

0.739109

25

1.000000513

0.739069

26

1.000000256

0.739096

27

1.000000128

0.739078

28

1.000000064

0.73909

29

1.000000032

0.739082

30

1.000000016

0.739087

31

1.000000008

0.739084

32

1.000000004

0.739086

33

1.000000002

0.739085

34

1.000000001

0.739085

35

1.000000001

0.739085

36

1

0.739085

37

1

0.739085

Michel Henon

Abstract

Date 01/01/03

Simple y extraoA este fsico francs nacido en Pars en 1931, se le debe uno de los atractores extraos ms reveladores y simples.

Durante su tesis doctoral en 1960 empez a trabajar con el tema de cmulos globulares y las consecuencias de la llegada de un tercera estrella a un sistema binario, que desencadenaron en lo que Hnon bautiz como "colapso gravotrmico".

Trabajaba en el Instituto de Astrofsica de Pars, cuando 5 aos ms tarde de que Lorenz diera a conocer sus trabajos, Hnon descubra un sistema dinmico capaz de explicar las oscilaciones sufridas por ciertos entes astronmicos que se desviaban ligeramente de la trayectoria elptica predicha por las leyes que rigen la Astronoma.

El sistema ideado por Hnon es de una simplicidad aplastante, y an ahora, los matemticos se maravillan al contemplar su sistema de ecuaciones y ver los sorprendentes resultados que con l se obtienen. Se dira que son necesarias docenas de variables matemticas para obtener un resultado parecido, pero Hnon con slo 2 ecuaciones de 2 variables lo consigui.

ste es el sistema cuadrtico de Hnon:

Donde A y B son parmetros que Hnon fij en A=1.4 y B=0.3.

Este sistema genera valores aprentemente aleatorios y en nuestro pantalla se concretan en unos puntos difusos y amorfos que tras un suficiente nmero de iteraciones se ordenan formando una especie de "boomerang": el atractor de Hnon.

Con la sucesiva ampliacin visual del atractor de Hnon ocurre lo mismo que con el de Lorenz, donde haba una lnea de puntos aparecen 2 que si a su vez se amplan, cada una de ellas se convierten en otras 2, y as hasta el infinito. Ninguna de ellas se corta en el plano en ningn momento.

Como en todo atractor, dependiendo de los valores iniciales a aplicar en la funcin, sta presenta unos resultados diferentes, pero su representacin grfica tras un nmero suficiente de iteraciones es siempre la misma, es decir, el sistema tiende a estabilizarse en unos valores y su comportamiento a largo plazo es el mismo, independientemente de sus valores iniciales.

Es como un botafumeiro dejado a la mano de Dios, su destino final siempre ser el mismo: pararse.

Edward Lorenz

Abstract

Date 01/06/01

La espiral de LorenzEl matemtico Edward Lorenz usaba su ordenador Royal McBee para desentraar la maraa matemtica que l mismo haba creado con sus doce ecuaciones para predecir el tiempo atmosfrico en el Massachusetts Institute of Technology. Era el ao 1960.

Su pasin por el pronstico atmosfrico le vino durante la 2 Guerra Mundial. Tras su graduacin en Matemtica Pura en el Dartmouth College en 1938 particip en la contienda diagnosticando el tiempo para las fuerzas areas.Transcurrida la guerra, opt por dedicar sus esfuerzos matemticos aplicndolos a la metereologa.

La prediccin del tiempo se deba regir por ecuaciones, al igual que las rbitas de los planetas, satlites y galaxias, quiz ms complicadas pero ecuaciones al fin y al cabo. Para ello escogi 12 funciones, unas establecan el vnculo entre velocidad y viento, otras entre presin y temperatura y as unas cuantas variables ms. No le promova un inters meramente fsico sino tambin matemtico.

Su trabajo fue en boca en boca por el MIT, llegando a tal punto que se organizaban apuestas sobre los pronsticos que daran las ecuaciones de Lorenz.

Hojeando los rollos y rollos de papel con datos numricos que escupa su impresora, Lorenz ide un mtodo para que el ordenador sealara cada minuto el paso de un da imprimiendo una hilera de nmeros.

En 1961, Lorenz cansado de observar ese vaivn numrico salido de la impresora de su ordenador, intent atajar partiendo de una sucesin anterior pero al traspasar los dgitos slo tecle 3 en vez de los 6 originales, esperando que el comportamiento no cambiara.

Los resultados obtenidos trajeron de cabeza a Lorenz pues no eran los esperados y revis el software y hardware hasta darse cuenta finalmente, que el error lo cometi al truncar el valor inicial de la funcin cambiando el input de 0,506127 a 0,506.

No crey que una variacin tan pequea pudiera comportar un cambio tan radical de la funcin al cabo de unas cuantas iteraciones.

Aqu puedes observar grficamente un ejemplo para 12 iteraciones de la funcin f(x)=x2, en la que se coge el valor de la iteracin anterior y se eleva al cuadrado. He realizado dos series: la primera de ellas parte de un valor inicial x=1,0001 y la segunda de un valor inicial x=1,001. El comportamiento de las dos es parecido en las primeras iteraciones y progresivamente comienza a variar, desapareciendo cualquier parecido a partir de la iteracin nmero 10.

Haba dado con "el efecto mariposa". Este redondeo insignificante era el aleteo de la mariposa; y el comportamiento anmalo, o digamos inesperado, de la funcin el huracn que se producira el prximo mes en Tokio.

Cualquier pronstico climatolgico se deteriora rpidamente por culpa de un viento, de una entrada de aire caliente, por una bajada de presin, por una tormenta inesperada ..., ese error va creciendo geomtricamente y la realidad al da siguiente no es la esperada sino otra totalmente distinta: donde hara sol, llueve; donde llovera, luce el sol; donde se podra ir a la playa, se encierran en el stano hasta que pase el huracn; etc.

A su descubrimiento lo llam Lorenz "Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales" y con ello cre la base de una nueva ciencia: el Caos, ciencia que no resurgira hasta bien pasados los aos, cuando los colegas de Lorenz dejaron de ver su descubrimiento como simple distraccin matemtica y se cercioraron de la grandeza de su trabajo. Fue entonces, cuando el boom del caos se produjo en el status cientfico, y todos pretendan verlo, incluso en lugares donde no existe.

Lorenz animado por su descubrimiento, decidi comenzar a experimentar con sus resultados en el campo de las corrientes de fluidos y sus 12 frmulas se vieron reducidas a 3 simples ecuaciones no lineales.

Las ecuaciones lineales expresan relaciones proporcionales y su representacin grfica siempre una recta, adoptando la forma f(x)= ax+b. Las no lineales no son tan simples e intervienen una serie de factores a veces en mayor y otras en menor medida como pueda ser el rozamiento, cuyo valor depende de la clase de firme, del peso y velocidad del mvil.

Sus 3 ecuaciones respondan al funcionamiento de una noria de agua cuyo suministro de agua dista de ser idneo. El aparentemente sencillo comportamiento de tan simple sistema mecnico se transforma en sorprendentemente complicado cuando el suministro de agua supera al deseado y por los cajones de la noria no se desagua lo suficiente para superar la friccin y seguir con su movimiento y velocidad uniforme.

La velocidad de la noria aumenta y los cajones no se llenan por igual con lo cual llegar un momento que el peso de los cajones que faltan por llenarse vencer la friccin y la rueda comenzar a girar en sentido contrario y seguir repitindose este proceso de cambio de sentido pero sin una pauta determinada ni predecible. Tanto podr cambiar 5 veces en 10 minutos como estar otros 10 minutos sin cambiar o cambiar 5 veces en los 3 minutos siguientes.

Esta aparente azarosidad, depende de:

El aumento de la velocidad de giro de la rueda

El caudal suministrado

Reduccin del tiempo de llenado de los cajones

Los cajones que no se han llenado vencen a la velocidad de giro

Lorenz represent grficamente los resultados obtenidos con sus 3 ecuaciones en una grfica tridimensional, asignando el valor obtenido de cada ecuacin a una de las 3 dimensiones del plano eucldeo.

Al ver el grfico resultante, llamado en adelante "atractor de Lorenz", Lorenz se encontr otra vez con el efecto mariposa, concretamente con sus alas.

La lnea de la grfica no se tocaba jams, el desorden era total pues ningn punto se repeta ya que no haba intersecciones, pero se dislumbr un nuevo tipo de "desorden ordenado": el caos.

Ahora ya tienes suficientes datos para entender la prediccin hecha en el apartado anterior.