a28437 Fin Cuewstionatio-1

ESPOCH FACULTAD DE CIENCIAS

MATEMÁTICA “I”

- 1 -

SEGÚN LAS INSTRUCCIONES QUE SE IMPARTEN PARA CADA GRUPO DE

ÍTEMS DE CARÁCTER OBJETIVO, ESCRIBA LO QUE CORRESPONDA.

A.- En los siguientes enunciados, escriba en el espacio interlineado ubicado a la

izquierda de cada uno, la letra (V) si la contestación es verdadera y la letra (F)

si es falsa. En las falsas escribir el porque en el espacio indicado, bajo cada

ítem.

1. …… 5x132x

………………………………………………………………………………...

2. …… La conectiva predominante de la siguiente proposición compuesta

[ p ( p q ) ] ( p q ) es la condicional.

………………………………………………………………………………...

3. …… Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero y falso.

………………………………………………………………………………...

4. …… Sea A = {x, y}, el conjunto Card(A) = 2

………………………………………………………………………………...

5. …… Si p: “2 + 3 = 8”; V(p) = V

………………………………………………………………………………...

6. …… El valor absoluto de un número es un número negativo.

………………………………………………………………………………...

7. …… Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es

siempre V independientemente de los valores de las proposiciones que lo

componen.…………………………………………………………………

8. …… La inecuación ax , para a > 0 es igual a la doble inecuación – a < x < a.

………………………………………………………………………………...

9. …… La disyunción es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una

de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. ……….…..........

10. …… La inecuación ax , para a > 0 es igual a x < a v x > – a.

………………………………………………………………………………...

11. …… La disyunción de dos proposiciones p, q, se escribe: p v q, y se lee "no p o

q".……………………………………………………..........

12. …… El valor absoluto de un número negativo, es igual al valor absoluto del

mismo con signo contrario xx ……………………………..........

13. …… El cardinal del conjunto A. Se denota por Card(B).

………………………………………………………………………………...

14. …… Dadas las funciones f y g, la función compuesta denotada por f g, se

define como xfgxgf

………………………………………………………………………………...

15. …… Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos,

es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de

contar no se puede acabar.……………………………………………………

16. …… Simplificación o también denominado reducción, consiste en aplicar las

leyes del álgebra de las proposiciones en enunciados extensos, hasta llegar a

una proposición muy simple.…………………………………………..........

17. …… Si f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x, entonces f y g son


MATEMÁTICA “I”

- 2 -

funciones inversas.………………………………………...

18. …… La intersección de A y B se puede definir: A B = { x / x A x B }

………………………………………………………………………………...

19. …… Los conjuntos se describen por extensión, que es la enumeración de cada

uno de los elementos que conforman el conjunto. …….…………………......

20. …… Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B

son intersecantes……………………………………………………………..

21. …… La conjunción es verdadera cuando las dos proposiciones son falsas.

………………………………………………………………………………...

B.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, COMPLETE DE MANERA

CORRECTA LOS ESPACIOS INTERLINEADOS INDICADOS EN CADA

UNO DE ELLOS.

1. F ~ ( r ~ s ) F, corresponde a la ley de proposiciones

denominada..........................

2. Si tenemos dos proposiciones (variables), cuantas posibilidades existen para formar

la tabla de verdad……………………….

3. Proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por una o más

proposiciones simples, ligadas por uno o más……………………………………

4. Conjunción es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son……………….

5. Sea A = { }, se denomina conjunto.......................................

6. La bicondicional es aquella proposición que es verdadera cuando p y q

tienen………...................................................

7. Sea B = {p, q}, el conjunto potencia de B es………………………………………….

8. Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es

siempre…………………...

9. La conjunción de dos proposiciones p, q, se escribe…..…….... y se lee……..………

10. Proposiciones simples son aquellas que……………………………………………..

11. Si tenemos tres proposiciones (variables), cuantas posibilidades existen para formar

la tabla de verdad……………………….

12. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser…………………………

13. La bicondicional de dos proposiciones p, q, se escribe……….…y se

lee…………...................................................

14. Si tenemos una proposición (variable), cuantas posibilidades existen para formar la

tabla de verdad……………………….

15. El conjunto A se llama Dominio de la función y el conjunto B……………………….

16. La representación gráfica de un conjunto mediante figuras geométricas cerradas, se

denominan………………………………………………………….

17. La unión de conjuntos se define como: A B = {x / x….…………………}

18. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x / x A y……....}

19. Si aA, el elemento de B que le corresponde a a se llama imagen de a, se denota por

f(a) y se lee…………………….


MATEMÁTICA “I”

- 3 -

20. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes.

P …. ( P …. Q )

V

V

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

21. Los elementos de un conjunto se designan por letras……..…………………..


( P …. Q ) …. ( P …. Q )

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

23. El conjunto que no contiene elementos o carece de elementos se

denomina……………..

24. En una función, x e y se les llama variables, a la x: variable independiente y a la

y:…………………………………………………..

25. Sea , el símbolo utilizado en la Teoría de Conjuntos, éste, se denomina

conjunto…………………....


P …. ( Q …. P )

V

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

C.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, SUBRAYE EL LITERAL

CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION CORRECTA.

Sean los conjuntos M = { 1, 2, 3 } y N = { 2 , 4, 6 }; la operación M N =

a) 2 b) { 2 } c) { 2, 3 }

Si dos conjuntos A, B no tiene elementos comunes, entonces estos conjuntos se

denominan:

a) Disjuntos b) Intersecantes c) Subconjuntos

Sea 6y , este enunciado es equivalente a:

a) 6 < y < – 6 b) y < 6 y > – 6 c) – 6 < y < 6


MATEMÁTICA “I”

- 4 -

Si dos conjuntos A, B tienen elementos comunes, entonces estos conjuntos se

denominan:

a) Disjuntos b) Intersecantes c) Subconjuntos

D.- EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, SUBRAYE EL LITERAL

CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION CORRECTA.

1. Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.

04x5x

11x

1x2

2

2. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.

42x

1x


32

1

3x

5x


21x

3x2

F.- DESARROLLAR LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS MEDIANTE TABLAS

DE VERDAD.

1. P [ Q ( ~Q P )]

2. ( P ~ Q ) ~ R

3. [ ( P Q ) ~ P ] Q

4. P ( Q P )

5. ( P ~ Q ) P Indicar si es una tautología o contradicción.

6. ( P Q ) ( Q P ) Indicar si es una tautología o contradicción.

7. ~ ( P Q ) ( P Q ) Indicar si es una tautología o contradicción.

a) ST = [ 2 , ½ ]

b) ST = (– , 3] [4, )

c) ST = [– 2, 0]

d) Ninguna

a) (– ∞, –3 ] [ –7/5 , +∞ )

b) (– ∞, –5/7 ) ( 2 , +∞ )

c) (–3, – 1 )

d) Ninguna

a) (– ∞, ½ ] [ 3/4 , +∞ )

b) (11/9 , 25/3 ) – { 3 }

c) [ 1/3 , +∞ )

d) Ninguna

a) (– ∞, – 2 ] [14/11, +∞ )

b) ( 3 , 6 ) ( 8 , 9 )

c) [ – 2 , 5 ]

d) Ninguna


MATEMÁTICA “I”

- 5 -

G.- MEDIANTE TABLAS DE VERDAD DEMOSTRAR SI ES UNA

EQUIVALENCIA LÓGICA O IMPLICACIÓN LÓGICA; SEGÚN EL CASO

1. { [ ( P Q) (Q P )] ~ ( P Q) } ( Q ~ P)

2. Q~PQPPQQP

3. Q~P~~QPQP~QP~QP

4. ( P Q ) Q P Q

5. ~ ( P Q ) ~ P ~ Q

6. P ( Q P ) ~ ( P Q )

7. ( P Q ) ~ Q ~ P

8. ( P Q ) ~ P ~ Q

9. P ( P Q ) ( P Q )

H.- EN LOS SIGUIENTES ÍTEMS REALIZAR CORRECTAMENTE LO QUE

SE INDICA, APLICANDO LAS LEYES DE LAS PROPOSICIONES.

JUSTIFICANDO SU PROCEDIMIENTO.

H.1. Demostrar:

P Q Q P

P ( Q P ) P Q

( P Q ) ( Q ~ P )

( P Q ) Q ~ Q

P → P V

P ↔ [ ( Q P ) ( P Q ) ] ( ~ P Q )

( P Q ) (~ P ↓ ~ Q ) es una tautología

( P Q ) ( P ↔ Q ) es una tautología

P Q ( P ↔ Q ) es una tautología

[ ( P Q ) ( Q P ) ] ( P Q ) P ( Q P )

H.2. Simplificar:

( P Q) ( Q P )

(P ↔ Q ) ~ ( Q P )

( P Q ) Q

[~ ( P ↔ Q ) → ~ Q ] P


MATEMÁTICA “I”

- 6 -

[ P ( P Q )] ( P Q )

P ( ~ Q P )

( P Q ) ( ~ Q P )

Q ( P Q )

~ ( Q P ) ~ ( P Q )

I. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DETERMINAR ANALÍTICAMENTE

LO QUE SE INDICA Y SU RESULTADO REPRESENTARLO EN

DIAGRAMAS DE VENN.

1. Dados A = {4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 5, 7, 9} y C = {4, 7, 5, 10, 11} y

U = {x IN : 2 < x < 13 }. Halle:

a) A B b) (A B) C c) ( A – B) ( B – C)

d) (A – B)’ – B’ e) C – (A B) f) ( A B)’ ( C – B)’

2. Si U = { xZ: –5 < x < 5 }, A = { xZ: x 1 } y B = { xZ : x < 2} Determine:

a) A’ B’ b) A’ – B c) ( A B)’ d) (B’ – A’)’

3. Sean U = { xZ: –6 ≤ x < 9 }, A = { xZ: x ≤ 0 x > 2 } y

B = { x IR : x > 3 x < 5} Determine:

a) A B b) A’ – B’ c) ( A B)’ d) ( A’ B) – A

4. Dados los siguientes conjuntos U = { xZ: –2 ≤ x < 6 },A = { xZ: –1 ≤ x < 2 },

B = { xZ: 1 ≤ x < 3 x = 4 } y C = { xZ : x ≤ –1 x > 2}. Determine:

a) ( A’ – B) (CA) b) A (B – C’)

c) (C’ B) (B – A) d) (B C)(A’ – C)

J. DIBUJE DIAGRAMAS DE VENN EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS

CON CONJUNTOS.

a) (A B) C

b) (A B C’ ) (A C)

c) (B – C) A

d) [ (A B) C]’ A

e) (A B’) (C B)

f) (A B) – C

g) [ ( A – B)’ – B ]’


MATEMÁTICA “I”

- 7 -

h) [ ( A B’ ) (C’ A) ]’

K.- EN LOS SIGUIENTES ÍTEMS REALIZAR CORRECTAMENTE LO QUE

SE INDICA, APLICANDO LAS LEYES DE LOS CONJUNTOS.

1. Demostrar:

A’ B = (A – B)’

(A B) (A B’) = A.

(A B)’ (A B’) = B’

[(A B)c B] [B

c (A B)] = (A – B)

c.

A (D – B) = [Ac (D

c B)]

c.

[(A B) (A C) Bc = (A – B) – C

c

2. Simplificar:

[(A B) Bc] [B

c (A B)]

c

Ac [B (B

c A)]

Cc [D

c (D – C

c)c]

L. RESOLVER CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE

APLICACIÓN SOBRE DE CONJUNTOS

1. 20 estudiantes de la ESPOCH conversan a dónde irán el fin de semana: 5 irán sólo

al cine; 3 al cine y al parque; 8 al zoológico; 3 sólo a cine y al zoológico; 5 al

parque; 1 a los tres lugares; ninguno desea ir sólo al parque y al zoológico. Se

pregunta:

a) ¿Cuántos irán sólo al zoológico?

b) ¿Cuántos irán al cine y al zoológico?

c) ¿Cuantos no irán a ningún lugar?

2. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas A y B; 27 leen la revista B; 3

leen únicamente la revista A. Con esta información determinar:

a) ¿Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas?

b) ¿Cuántos estudiantes leen la revista A?

c) ¿Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B?

d) ¿Cuántos estudiantes leen una sola de estas revistas?

3. En un colegio de 100 alumnos al realizar una encuesta se obtuvo los siguientes

datos: 24 alumnos seguían el idioma inglés: 31 francés; 29 alemán; 11 inglés y

francés; 4 inglés y alemán; 5 francés y alemán; 3 inglés, francés y alemán. Se

pregunta:

a) ¿Cuántos alumnos no recibían ningún idioma?

b) ¿Cuántos alumnos recibían inglés como único idioma?

4. En un curso de ajuste básico de la ESPOCH, estudian 100 alumnos de los cuales:

28 alumnos dominan Química; 35 alumnos dominan Trigonometría; 33 alumnos

dominan Álgebra; 15 alumnos dominan Química y Trigonometría; 8 alumnos


MATEMÁTICA “I”

- 8 -

dominan Química y Álgebra; 9 alumnos dominan Trigonometría y Álgebra; 7

alumnos dominan Química, Trigonometría y Álgebra. Se pregunta:

a) ¿Cuántos alumnos no sabían nada?

b) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Trigonometría?

c) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Química?

d) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Álgebra?

5. En un colegio de 500 alumnos se tiene que: 329 juegan fútbol; 186 juegan

básquet; 295 juegan ping – pong; 83 fútbol y ping – pong; 217 fútbol y básquet;

63 básquet y ping – pong; 45 no practican ningún deporte. Pregunta ¿Cuántos

alumnos practican los tres deportes?

6. Una fábrica produce 100 art/hora, de los cuales pasan el control de calidad 60.

las fallas en el resto, fueron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y se repartieron del

modo siguiente: 8 artículos con fallas del tipo A y del tipo B, 12 artículos con sólo

fallas del tipo A, 3 artículos con fallas de los tres tipos, 5 artículos con fallas del

tipo A y C, y 2 artículos con sólo fallas del tipo C y tipo B. El número de

artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo B fue el mismo. ¿Cuántos

artículos tuvieron fallas del tipo B y cuántos artículos tuvieron una sola falla?

7. En una encuesta cultural entre 40 personas, 27 eran hombres y 20 músicos, de

éstos últimos 8 eran cantantes, 6 de las mujeres no eran músicos y 22 de los

hombres no eran cantantes. Determine cuántas mujeres eran músicos pero no

cantantes.

8. Un curso de 40 alumnos tiene que aprobar Ed. Física, y para ello deben escoger

entre tres deportes: Fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4

alumnos eligen volley y básquet. El número de alumnos que eligen sólo básquet

es la mitad de los que eligen fútbol y es el doble de los que eligen fútbol y volley.

No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Se pregunta:

a) ¿Cuántos alumnos eligen volley?

b) ¿Cuántos alumnos eligen fútbol?

c) ¿Cuántos alumnos eligen sólo básquet?

9. Se hace una encuesta en un supermercado a 33 clientes que se encuentran

haciendo compras, 3 de ellos no usan jabones del tipo A, ni B, peor C, 15 usan

jabones sólo del tipo A o sólo del tipo C, las personas que usan jabones A y B son

la mitad de los que usan jabones B y C y estos últimos exceden en 5 a las

personas que usan jabones sólo de tipo B, el número de personas que utilizan

jabones B es 3 veces mayor que el que usan sólo A, no hay personas que usen A,

B y C. determine:

a) ¿Cuál de los jabones es el más usado?

b) ¿Cuántas personas usan los jabones A, B o C?

c) ¿Cuántas usan los tres jabones?

d) ¿Cuántas utilizan A o B pero no C?

e) ¿Cuántas no usan jabones B?

f) ¿Cuántas utilizan jabones A y B pero no C?

g) ¿Cuántas no consumen A o B?


MATEMÁTICA “I”

- 9 -

10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y

determinan que 4 personas no han visto ninguna de las tres, la mitad del número

de personas que han visto sólo B es igual al que han visto C, las que han visto sólo

A y B es una tercera parte de los que han visto sólo B, 7 personas han visto la

película A y 5 han visto sólo A. las personas que ven C no ven ninguna otra

película. Determine:

a) ¿Cuántas personas han visto A y B?

b) ¿Cuántas ha visto B o C?

c) ¿Cuántas han visto sólo A o sólo B o sólo C?

d) ¿Cuántas personas no han visto B?

11. Se realizó una encuesta entre consumidores de colas que dio los siguientes

resultados: 14 personas toman coca-cola y sprite, 11 personas beben sólo sprite, a

9 personas les gusta fanta, a 5 personas les gusta las tres colas; el número de

personas que beben sólo “coca-cola y fanta” es igual al de personas que toman

sólo “fanta y sprite”, se conoce además que el número de personas que toman

sprite es 3 más de los que toman fanta y 3 más de los que toman coca-cola; 40

personas toman otro tipo de colas. Se pregunta:

a) ¿Cuántas personas toman coca-cola y fanta?

b) ¿Cuántas personas toman sólo coca-cola?

c) ¿Cuántas toman cualquiera de estas colas?

d) ¿Cuántas colas hay que dar a las personas del literal c?

12. Para conceder el “Oscar” al mejor actor de 1978, se efectúa una elección entre

John Voight, Robert De Niro y Lawrence Oliver; 44 personas participan en la

elección, las mismas que pueden consignar su voto por uno de ellos, por dos de

ellos o por los tres. Luego de la votación se encontró que: 6 personas votaron por

Voight y De Niro, 10 personas votaron por Oliver y Voight, el número de

personas que votaron sólo por Voight es igual al de personas que votaron por

sólo por Oliver es igual al de personas que votaron por De Niro y es igual al de

personas que vitaron por Oliver y Voight o por Oliver y De Niro, 2 personas

votaron por los tres actores. Se pregunta:

a) ¿Cuántos votos tuvo Voight?

b) ¿Cuántas personas votaron por Voight?

c) ¿Cuál fue el número total de votos?

d) ¿Cuántas personas votaron sólo por “De Niro y por Oliver”

e) ¿Quién ganó el “Oscar”

f) ¿Cuántas personas votaron sólo por De Niro o sólo por Oliver”?

13. 190 estudiantes van a una biblioteca en la que hay 115 libros de Baldor, 80 libros

de Mancill, 80 libros de Ardura, 20 estudiantes solicitan los libros de Baldor y

Mancill, 30 estudiantes piden los libros de Baldor y Ardura, 40 estudiantes

solicitan los libros de Mancill y Ardura, cada estudiante lleva por lo menos un

libro.

a) ¿Cuántos estudiantes piden los tres libros?

b) ¿Cuántos estudiantes piden Mancill pero no Ardura?

c) ¿Cuántos estudiantes piden Baldor o Ardura?

d) ¿Cuántos estudiantes piden Baldor y Ardura o Mancill y Baldor?


MATEMÁTICA “I”

- 10 -

15. 30 alumnos están inscritos en una, al menos, de dos asignaturas: Matemáticas

y Física. El número de inscritos en las dos asignaturas es 7 y Física tiene 12

alumnos. Determinar:

a) ¿Cuántos alumnos están inscritos en Matemáticas?

b) ¿Cuántos alumnos están inscritos solamente en Matemáticas?

c) ¿Cuántos alumnos están inscritos sólo en Física?

16. En un grupo de 41 estudiantes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 23

no trabajan. Se pide:

a) ¿Cuántos sólo estudian?

b) ¿Cuántos trabajan y estudian?

K. A N Á L I S I S D E F U N C I O N E S

I) En el ejercicio 1, se definen las funciones f y g. En cada ejercicio defina las

siguientes funciones y determine el dominio de la función resultante:

1. Dada la función f (x) = 1x22 , encuentre:

a) f(– 2) b) f( 1x22 ) c) 0h;

h

)x(f)hx(f

II) En los ejercicios 2,3 se definen las funciones f y g. en cada ejercicio defina las

siguientes funciones y determine el dominio de la función compuesta

2. 2x)x(g;2x)x(f2

3. x)x(g;x

1)x(f

4. Se tiene f(x) = 2x – 3; defina las siguientes funciones y determine el dominio de la

función resultante. (a) f (x2); (b) [f(x)]

2; (c) (f o f)(x)

5. Sea x

x1)x(gy

1x

1)x(f

Muestre que f y g son funciones inversas.

6. Si f(x) = x2 + 2x + 2, encuentre dos funciones g para las cuales

(f o g)(x) = x2 – 4x + 5

III) EN CADA EJERCICIO, DETERMINE EL DOMINIO Y EL DOMINIO DE

IMÁGENES (CODOMINIO, RECORRIDO) DE LA FUNCIÓN Y TRACE

LA GRÁFICA O UNA GRÁFICA APROXIMADA.

1. f(x) = x2 – 2x – 1

2.


MATEMÁTICA “I”

- 11 -

3. f(x) = – 2x2 + 3x

4. 1x

4x)x(f

2

5. f(x) = – x4 + x

3 – x

2 + x – 1 6. f(x) = x24

7. f(x) = 2x9 8. f(x) = 4x3x

2

9. f(x) = 6xx

12x4x3x2

23

10. f(x) =

1x

1x3x

4

32

11. 25xy2

12.

2

5x

2x7y

13. x

1xy

IV) HALLAR LOS VALORES DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES CON

LÍMITES.

1. 3x2x

6x5xlim

2

2

1x

2.

2

2

0x x

x11lim

3. 4x

8xlim

2

3

2x

4.

2

1

x2

1

x

1lim

0x

5. x

x1x1lim

0x

6.

21x x1

2

x1

1lim

7. yx

yxlim

nn

yx

8.

2

32

0x x5x2

x8x3x4lim

9. 5x

3x2xlim

2

3

2x

10.

6x3

x3lim

2

2

3x

11. 2xx4

2xx4lim

2

2

0x

12.

x

4

1x5

6x17

10x5

8lim

23x

13. 5 23

3x16xxx2lim

14. 2

33 2

1x 1x

1x2xlim


MATEMÁTICA “I”

- 12 -

15. 1xx2

1xlim

2

2

0x

16.

1xx2

1xlim

2

2

1x

17. 1xx2

1xlim

2

2

x

18.

x

1x31x21x1lim

0x

19.

52

5

0x xx

x51x1lim

20.

15x8x

6x5xlim

2

2

3x

21.

5x 1x5

5x4x3x2x1xlim

22.

50

3020

x 1x2

2x33x2lim

23. 3x4x

2x3xlim

4

2

1x

24.

3x4x

2x3xlim

5

4

1x

25. 16x8x

8x4x2xlim

24

22

2x

26. 1x2x

1x2xlim

5

3

1x

27.

103

202

2x 16x12x

2xxlim

28.

2x

3x21lim

4x

29. 4x

2xlim

4

16x

30.

2x

5x29lim

38x

31.

x

x1xx21lim

2

0x

32.

2

3 2

0x xx

2xx38lim

33. xx4

xx2xlim

3

23

x

34.

2x

1xlim

3

3

x

35.

xxx

xlimx

36. 1x

4x3x2lim

4

2

x

37. xaxlimx

38. x1xxlim2

x

39. 3 3

xx1xlim

40.

41. x

x2Senlim

0x 42.

)2x(Cos

)2x(Senlim

0x

43. x

x5Senx3Senlim

0x


MATEMÁTICA “I”

- 13 -

CÁLCULO DIFERENCIAL

DERIVADAS

En los ejercicios siguientes, diferencie o derive la función dada mediante la aplicación

de los teoremas de esta sección.

1. f(x) = 7x – 5 2. g(x) = 8 – 3x

3. g(x) = 1 – 2x – x2 4. f(x) = 4x

2 + x + 1

5. f(x) = x3 – 3x

2 + 5x – 2 6. f(x) = 3x

4 – 5x

2 + 1

7. 48xx

8

1)x(f 8. g(x) = x

7 – 2x

5 + 5x

3 – 7x

9. 24t

2

1t

4

1)t(F 10. 2xx

3

1)x(H

3

11. 3r

3

4)r(v 12. G(y) = y

10 + 7y

5 – y

3 + 1

13. 2

2

x

1x3x)x(F 14.

3

3

x

3

3

x)x(f

15. 4

4

x4

1x4)x(g 16. 424

x4x5x)x(f

17. 42

x

5

x

3)x(g 18.

5x6

5)x(H

19. 23ss3)s(f 20. 1x45x2)x(g

2

21. x6x51x2)x(f34 22. 22

3x4)x(f

23. 23y37)y(G 24. t3t21t2t)t(F

23

25. 1x22x3xy32 26.

3x

x2)x(f

27. 1x

x)x(g

28.

4x3

1x2y

29.

1x2x

1x2x

dx

d2

2

30.

2x

xx34

dx

d2

31.

2t21

t5

dt

d 32.

4

34

x

1x5x2x

dx

d


MATEMÁTICA “I”

- 14 -

En los ejercicios siguientes, determine la derivada de la función que se indica.

33. xSen3)x(f 34. xCosxSen)x(g

35. xCtgxTg)x(g 36. xCsc2xSec4)x(f

37. tCost2)t(f 38. xCosx4)x(f2

39. xCosxSenx)x(g 40. yCosyySen3)y(g

41. xCosxSen4)x(h 42. xCosx2xSenx)x(f2

43. xCos2xSenx2xCosx)x(f2 44. xTgxSec3)x(f

45. xCos2xSenx2xCosxx)x(h23 46. tTgtSen)t(f

En los ejercicios siguientes, obtenga la derivada de la función que se indica.

47. 31x2)x(f 48. 4

x510)x(f

49. 425x4x)x(F 50. 524

1r8r2)r(g

51. 2341t2t7t2)t(f 52. 323

1z3z)z(H

53. 224x)x(f

54. 2

xSen)x(g

55. x4Sen3x3Cos4)x(f 56. xSec)x(G2

57. t2Sect2Sec3

1)t(h

3 58. 1x3Cos)x(f2

En los siguientes ejercicios, calcule la derivada que se indica.

59. xTgxSecdx

d 22 60. tCostSen2dt

d 23

En los ejercicios siguientes, obtenga la derivada de la función que se indica

61. 2

1

2

1

x5x4)x(f

62. 2x41)x(g

63. 3 21x4)x(g 64.

2x25

1)x(h

65. xSec4)x(f 66. xSen3)x(g

67. xCsc1)x(f2 68. )5x3(log)x(f

2

a

69. 2)3xln()x(f 70. x2

3x)x(f


MATEMÁTICA “I”

- 15 -

71. )xln(e)x(fx

1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?

a) El sabor del color azul es dulce

b) Disparen al ladrón

c) 314159 es un número primo

d) Buenos días

e) Ninguno de los anteriores

2.- ¿Cuál de las siguientes proposiciones es lógicamente equivalente a

qpqp ?

anteriores las de Ninguna )

qp d)

qp )

)

qpp )

e

p

c

qpb

a

3.- Si dc,q,p, Ry ,,, dcbaS el número de elementos de RS es:

a) 8

b) 6

c) 2

d) 4

e) Ninguna de las anteriores

4.- Si 82,3,4,5,6, Ry 5,4,3,2,1 S el número de elementos de RS es:

f) 8

g) 7

h) 2

i) 4

j) Ninguna de las anteriores

5.- Si 3,2A entonces )(AP que significa el conjunto de las partes de un conjunto

es:

3,2,,3,2)

3,2,3,2)

3,2,,3,2)

3,2,,3,2)

d

c

b

a

e) Ninguna de las anteriores


MATEMÁTICA “I”

- 16 -

6.- La siguiente información se refiere a un grupo de 200 estudiantes. Todos los hombres

tienen más de 15 años de edad. Hay 100 mujeres en el grupo. Hay 150 estudiantes de más

de 15 años de edad. Hay 50 mujeres rubias, hay 40 estudiantes rubios de más de 15 años de

edad, hay 30 mujeres rubias con más de 15 años de edad.

Realice un diagrama de Venn adecuado, tan completo como sea posible, y conteste las

siguientes preguntas:

i) ¿Cuántos estudiantes rubios hay?

a) 60

b) 10

c) 15

d) 7

e) Ninguna de las Anteriores

ii) ¿Cuántas mujeres no rubias tienen más de 15 años de edad?

a) 21

b) 20

c) 16

d) 5


iii) ¿Cuántos estudiantes no rubios tienen menos de 15 años de edad?

a) 25

b) 32

c) 30

d) 18


iv) ¿Cuántos hombres rubios hay?

a) 4

b) 6

c) 10

d) 9


7.- En un curso de 50 alumnos de la ESPOCH tienen que aprobarse Educación Física, y

para ello deben escoger entre 3 deportes: Tenis, Volley y Basket.

8 alumnos prefieren sólo Volley, 6 alumnos prefieren Volley y Basket, el número de

alumnos que eligen sólo Basket es la mitad de los que eligen Tenis y es el doble de los que

eligen Tenis y Volley. No hay alumnos que eligen Tenis y Basket. Se pregunta:


MATEMÁTICA “I”

- 17 -

i) ¿Cuántos alumnos eligen Tenis?

a) 20

b) 25

c) 24

d) 12


ii) ¿Cuántos alumnos eligen Volley?

a) 14

b) 10

c) 8

d) 20


iii) ¿Cuántos alumnos eligen sólo Basket?

a) 5

b) 12

c) 24

d) 15


9.- Demostrar que BBA es igual a:

anterioreslasdeNingunae

ABd

BAc

BAb

BAa

C

)

)

)

)

)

10.- Demostrar que )( CBA es igual a:

anterioreslasdeNingunae

ACBd

CBAc

BAb

BAa

c

)

)()

)()

)

)

RELACIONES Y FUNCIONES


MATEMÁTICA “I”

- 18 -

anteriores las de Ninguna)

(4,6) , (3,8), (2,4))

(4,6) , (3,6), (2,6))

(4,8) , (3,6), (2,4))

(4,6) , (3,6), (2,4)a)

:es "y de mitad la esx " :Rrelación La . 8,6,46,4,3,2 .1

e

d

c

b

BA


w)(d, z),(d,y),(b,x),(a,)

w)(c, z),(c,y),(a,x),(a,)

w)(d, z),(c,y),(b,x),(a,)

w)(c, z),(c,y),(b,x),(a,a)

:es Ben A defunción Una. ,,,,,,, .2

e

d

c

b

vwzyxBdcbaA

3.- El dominio de definición de la función xx

xg

3

2)( es:


03,)()

03,)()

3,)()

03,)()

e

gDomd

gDomc

gDomb

gDoma

.anteriores las de Ninguna)e

ah2)d

a4)c

ah2)b

ah4)a

:es)ha(f)ha(f,x1)x(f .42

anteriores las de Ninguna)e

2x)d

1x)c

1x)b

1x)a

1x3x3xxfg y xg(x) si , )x(fHallar.5

2

3

233


MATEMÁTICA “I”

- 19 -

anteriores las de Ninguna)e

7x)d

7x)c

3x)b

3x)a

26x10xxgf que tal g(x)hallar , 54x-x)x(fSea.622

7.- Si f(x) = 3x-2 , g(x) = 2x+2 , fHallarRx -1g .


2

43)

2

43)

3

42)

3

42)

e

xd

xc

xb

xa

FUNCIONES ELEMENTALES

1.- Hallar el valor de x si se tiene que

1y x 0x1,a0,a log4log

log

1log3

conxa

ax

a

x

x

a


1)

)

)

)

2

3

e

d

ac

ab

aa

2.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica


MATEMÁTICA “I”

- 20 -


8)

4)

8)

5)

32log6log9loglog 2242

e

d

c

b

a

x



1)

100

1)

1000)

1000)

6loglog log

e

d

c

b

a

xx x



2)

2)

1)

1)

612log2log46log32log3 3

e

d

c

b

a

xxxx

5.- Resolver la siguiente ecuación exponencial

32042 13 xx


3)

0)

2)

2)

e

d

c

b

a


81093 12 xx


MATEMÁTICA “I”

- 21 -


3)

1)

2)

1)

e

d

c

b

a


8042 1 xx


3)

0)

2)

2)

e

d

c

b

a


7299 22

xx


3)

0)

1)

2)

e

d

c

b

a

a28437 Fin Cuewstionatio-1

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