AC cap3 Boole [Modo de compatibilidad] · 27-04-2010 2 Universidad Técnica Federico Santa María...

27-04-2010

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Universidad Técnica Federico Santa María

Arquitecturas de Computadores Prof. MAURICIO SOLAR

3 Algebra de Boole


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Temario

1 Introducción2 Axiomas Básicos3 Definiciones4 Teoremas5 Funciones6 Compuertas Lógicas7 Minimización de Funciones


1 Introducción

� Álgebra de Boole:� Herramienta matemática que permite modelar Sistemas Digitales

� Desarrollada por el matemático inglés George Boole (1815) y propuesta en el libro “Una Investigación sobre las Leyes del Pensamiento”

� Sistema matemático cerrado que consiste en:� Un conjunto P de dos o más elementos� Dos operaciones OR (+) y AND (notación: x ó .) que cumplen los ciertos axiomas básicos (conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de elemento neutro y complemento)


2 Axiomas Básicos

� Ax1 Conmutatividad


.

...Axiomas Básicos

� Ax2 Asociatividad

– Ax3 Distributividad

C


...Axiomas Básicos

� Ax4 Existen elementos neutros 0 y 1

– Ax5 Existencia de Complemento

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Álgebra de Conmutación� Postulado de Hungtinton:

� Considera al conjunto P como

� Define un caso especial del Algebra de Boole llamada Algebra de Conmutación

� De aquí en adelante usaremos esta álgebra para la modelación de los sistemas digitales


.

3 Definiciones

� Variable: � Símbolo que puede representar cualquier valor de P� El valor de una variable puede cambiar en el tiempo� El concepto es igual a variables de lenguajes de programación

A

Start

Alarma


...Definiciones

� Constante: � Símbolo que representa un sólo valor de P para cualquier instante de tiempo

� Concepto igual a constantes en lenguajes de programación

1

Start

Alarma

Constante


...Definiciones

� Expresión de Conmutación: � Combinación de un número finito de variables y constantes relacionadas mediante operaciones OR y AND

� Para simplificar el uso de paréntesis, se aplican reglas de precedencia de operadores al igual que las expresiones del álgebra normal considerando el OR como suma y el AND como producto.

� Ejemplo


.

...Definiciones

� Literal: � Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar, en una expresión de conmutación.

� Ejemplo

� Existen 4 variables: A, B,C y D� Existen 6 literales:


...Definiciones

� Expresión Dual: � Es la expresión que se obtiene intercambiando las operaciones AND por OR, OR por AND y las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en una expresión de conmutación.

� Ejemplo

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4 Teoremas

� Conjunto de teoremas, se demuestran:� Aplicando axiomas anteriores� Por inducción

� Se verán un conjunto de teoremas que sirven para trabajar con las expresiones de conmutación dándoles un sentido práctico


...Teoremas

� Teorema 1: Operaciones básicas1+0=1 1•1=10+0=0 0•1=0

Se demuestra aplicando el Axioma 4A+0=A A •1=A

Corolario: 0 = 11 = 0


...Teoremas

� Teorema 2: Operaciones básicasA+1=1 A •0=0Se demuestra aplicando Axiomas

A + 1 = (A + 1) · 1 Axioma 4

= (A + 1) · (A + A) Axioma 5

= A + (1 · A) Axioma 3

= A + A Axioma 4

= 1 Axioma 5


Operaciones AND, OR y NOT

Luego 0+1=1 y 1+1=1AND OR

0•0=0 0+0=00•1=0 0+1=11•0=0 1+0=11•1=1 1+1=1

NOT 0 =1 y NOT 1=0


17

...Teoremas

� Teorema 3: Los operadores son� idempotentes:

∀A Є P :

A + A = A

A · A = A

A + A = (A + A) · 1 Axioma 4

= (A + A) · (A + A) Axioma 5

= A + (A · A) Axioma 3

= A + 0 Axioma 5

= A Axioma 4

Dem:


18

...Teoremas

A + AB = A · 1 + AB Axioma 4= A · (1 + B) Axioma 3= A · (B + 1) Axioma 1= A · 1 Teorema 2= A Axioma 4

Dem:

A + A · B = A

A · (A + B) = A

� Teorema 4: Absorción

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...Teoremas

� Teorema 5: Simplificación

Dem:

A +Ā B = A + B

A(Ā + B) = AB

A + ĀB = (A + Ā)(A + B) Axioma 3

= 1 · (A + B) Axioma 5

= A + B Axioma 4


20

...Teoremas

Teorema 6: El Complemento de A es únicoSupongamos que existen dos complementos paraA: A1 y A2


21

...Teoremas

� Teorema 7: Involución

Dem:¿Cuál es el complemento de A ?

Por Axioma 5, A es un complemento de A

Por Teorema 6, este complemento es único

A = A


22

...Teoremas

� Teorema 8: Leyes de De Morgan(A + B) = A · B(A · B) = A + B

Demostración:(A · B) + (A + B) = (A · B + A) + B Axioma 3

= (B + A) + B Teorema 5= A + (B + B) Axiomas 1 y 2= 1 Axioma 5, Teorema 2


….Teoremas

Además se tiene que:� (A · B) · (A + B) = A · B · A + A · B · B Axioma 3

= 0 + 0 Axioma 5= 0 Teorema 1

� (A + B) Satisface Axiomas 5 como único complemento de A Por Teor. 6, A + B es ´unico complemento de A · B El Teor. 7 completa la demostración


…Teoremas

� El Teorema de De Morgan establece que para obtener el complemento de una expresión se debe complementar cada variable e intercambiar las operaciones OR y AND y las constantes 1 y 0.

� Ejemplo:

A · (B + C)= A + B · C

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5 Funciones

• Una función de conmutación se define comouna relación de Pn en P. Formalmente es:

• Una función de conmutación se puede expresar de tres maneras:

– En forma algebraica– Por una Tabla de Verdad– En Forma Canónica


Tablas de Verdad

� Forma intuitiva de representar una función de conmutación (FC)

� Expresa el valor de salida de una función para cada combinación de entrada.

� Permite modelar un tipo especial de Sistema Digital llamado Sistema Combinacional.


Ejemplo de Tablas de Verdad

Forma algebraica

Tabla de Verdad:


Formas Canónicas

Problema: Dada una Tabla de Verdad, cómo obtener la forma algebraica

� Para obtenerla se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1:

� La variable aparece sin complementar si vale 1� La variable aparece complementada si vale 0


Formas Canónicas

La forma Algebraica queda:


.

Formas Canónicas: Mintérminos

� Se denomina mintérmino a un factor de una expresión booleana que está formado por el AND de todas las variables.

� Una función de conmutación corresponde al OR de mintérminos. La función generada de esta manera se denomina OR canónico de AND

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Formas Canónicas: Mintérminos

m0m1m2m3m4m5m6m7


.

Formas Canónicas: Maxtérminos

Una forma alternativa de expresar la función es examinando las combinaciones en las cuales vale 0

� Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 0:

� La variable aparece sin complementar si vale 0� La variable aparece complementada si vale 1



M0M1M2M3M4M5M6M7


.


� Maxtérmino: expresión booleana formada por el OR de todas las variables.

� Una función de conmutación corresponde al AND de maxtérminos. La función generada de esta manera se denomina AND canónico de OR



M0M1M2M3M4M5M6M7


Obtención de Formas Canónicas

Problema: dada una función en su forma algebraica, obtener la forma canónica:

F (A,B,C,D) = A · C + A · B · C + A · B · C ·D

= A · C · (B + B) · (D + D) + A · B · C · (D + D) + A · B · C ·D

= A · B · C · (D + D) + A · B · C · (D + D) +

A · B · C ·D + A · B · C · D + A · B · C · D

F (A,B,C,D,) = ∑ (6,8,9,10,11,12,13)

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Obtención de Formas Canónicas

Explicación:

mintérmino = A · B · C · D

1 1 0 1 = 23 + 22 + 20 = 13

Maxtérmino = A · B · C · D

0 1 1 0 = 22 + 21 = 6


Conversión entre Formas Canónicas

Problema: dada una función en OR canónico de AND, obtener la forma canónica AND canónico de OR

F (A,B,C) = ∑ (m0, m1, m2, m7) = ∑(0,1,2,7)

F (A,B,C,) = ∑ (3,4,5,6) = A · B · C + A · B · C +

A · B · C + A · B · C

F(A,B,C) = (A + B + C) · (A + B + C) ·

(A + B + C) · (A + B + C)

F(A,B,C) = Π (3,4,5,6) = ∑ (m0, m1, m2, m7)


Funciones Equivalentes

Dos funciones de conmutación son equivalentes cuando sus expansiones en formas canónicas son idénticas, es decir tienen el mismo valor de salida para las mismas combinaciones de entradas.

Una forma similar de expresar lo mismo es que dos funciones de conmutación son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad.

F1(x,y,z) = xz+xz+xy

F2(x,y,z) = xz+xz+yz


Funciones Equivalentes

¿Cuántas funciones de n variables existen?

¿Cuántas Tablas de Verdad existen con n variables?

La respuesta está en observar la columna de salida. El número de funciones es:


Funciones de una y dos variables


...Funciones de una y dos variables

Ejercicio: Construir las Tablas de Verdad de estas funciones

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Operadores funcionalmente completos

• Las funciones anteriores se pueden expresar por medio de operadores: AND, OR, NAND, NOR, NOT, OR-EX, AND-EX.

• Se dice que un conjunto de operaciones es funcionalmente completo si cualquier función se puede expresar sólo con los operadores del conjunto.

• El conjunto {AND, OR, NOT} es funcionalmente completo por definición del álgebra, pero {AND,NOT}también es funcionalmente completo


...Operadores funcionalmente completos

• Ejemplo: Demostrar que {AND,NOT} es funcionalmente completo.

• Para la demostración sólo falta construir el OR sólo con AND y NOT. Esto se puede hacer de la siguiente manera:

� Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR}, {NAND}. ¡Demostrarlo!


Compuertas Lógicas

� Compuertas Lógicas:� Forma alternativa de representar funciones� Se construyen físicamente con electrónica integrada en sustratos de

silicio.

� El éxito de los sistemas digitales se debe:� All bajo costo por compuerta que se logra con este proceso� A la alta densidad de integración que en la actualidad son millones

de compuertas en un circuito integrado cuya área es 1 cm2

� Circuito combinacional: red de compuertas lógicas� Partes de una CPU moderna


Compuertas Lógicas

NOT AND

OR NOR

NAND OR-EX


Compuertas Lógicas: Ejemplo

C

A

B

D

F(A,B,C,D)

F (A,B,C,D) = A · C + A· B· C + A · B · C· D


7 Minimización de Funciones

� Minimizar una función de conmutación F(x1,x2,.....xn) es encontrar una función G (x1,x2,.....xn) equivalente a F y que contenga el mínimo número de términos y literales en una expresión OR de AND.

� Ejemplo:

F (A, B, C, D) = A · C · D + A · C · D + A · C · D + A · C ·D + A · B · D = (A + A) · C · D + ( A + A)· C · D + A · B · D = C · D + C · D + A · B · D = (C + C) · D + A · B · D = D + A · B · D

F (A, B, C, D) = D + A · B · D

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� Circuito inicial:



� Circuito Minimizado:


Mapas de Karnaugh

� Los mapas de Karnaugh (MK) son formas modificadas de Tablas de Verdad que permiten minimizar funciones de hasta 5 variables.

� Los MK permiten diseño rápido de circuitos combinacionales de mínimo costo, es decir, con el mínimo número de compuertas.


Mapas de Karnaugh


Mapas de Karnaugh


Construcción de Mapas de Karnaugh

� Para construir MK se siguen los siguientes pasos:

1) Para una función de n variables, el MK tiene 2nceldas

n=2 n=3n=4n=3

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...Construcción de Mapas de Karnaugh

2) En las coordenadas se anotan las combinaciones de variables según código Gray

n=2 n=3

n=4

00 01 11 10 00

00 01 11 10

01

11

10

0

0 1

0

11



3) Se asigna un 1 a una variable sin complementar y un 0 a una variable complementada. De esta forma cada celda queda determinada por una combinación de unos y ceros

De esta forma, cada celda queda determinada por una combinación de unos y ceros

0

0 1

1

A

B0

0 1

1

A

B00 10

01 11



4) A cada combinación de unos y ceros de una celda se le asigna el equivalente decimal de la representación binaria

00

00 01 11 10

01

11

10

1

2

3

0 4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10


Ejemplo

Encontrar el mapa de la función:


Ejemplo


00

00 01 11 10

01

11

10

AB

CD


Ejemplo


00

00 01 11 10

01

11

10

1

0

0

1 0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

AB

CD

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5) Dos celdas son adyacentes si difieren en una variable

00

00 01 11 10

01

11

10


Construcción de Mapas de Karnaugh: Subcubos

6) Un subcubo es un conjunto de 2m celdas con valor 1, que tienen la propiedad que cada celda es adyacente a m celdas del conjunto

00

00 01 11 10

01

11

10

0

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

AB

CD

Subcubotamaño 4

Subcubotamaño 4Subcubo

tamaño 8


Construcción de Mapas de Karnaugh: Minimización

7) Un subcubo se puede expresar por un término algebraico que contiene n-m literales donde n es el número de variables y 2m es el tamaño del subcubo

00

00 01 11 10

01

11

10

0

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

AB

CD



8) Una función se puede expresar como la suma de los subcubos necesarios para cubrir todos los unos del MK.

� Para que una función sea mínima, hay que buscar el mínimo número de subcubos, o sea, cada subcubo debe ser del mayor tamaño posible.

� El método de MK es un método manual. En términos prácticos sirve para minimizar funciones de hasta 6 variables



00

00 01 11 10

01

11

10

0

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

AB

CD



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Construcción de Mapas de Karnaugh: AND de OR

Una función se puede expresar también como el producto (AND) de los subcubos necesarios para cubrir todos los ceros del MK.

Ejemplo: Minimizar:


.

Construcción de Mapas de Karnaugh: AND de OR

Para minimizar se agrupan ceros del mapa:

00

00 01 11 10

01

11

10

1

0

1

0 1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

AB

CD

F(A, B, C, D) = (B + D) · (B + C + D) · (A + C + D)


Construcción de Mapas de Karnaugh de 5 Var’s





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Construcción de Mapas de Karnaugh y Don’t’ care


Construcción de Mapas de Karnaugh y Don’t’ care


Ejercicio de Mapas de Karnaugh

xyzzyxzyxyzxzyxzyxzyxf +++++=),,(

MINIMIZAR LA FUNCIÓN:

f w x y z wxyz wxyz wxyz wxyz wxyz

wxyz wxyz wxyz wxyz

( , , , )= + + + ++ + + +

wxyz zwxyzwxyzywx

zyxwxyzwzyxwzyxwyzxwzyxwf

++++

++++=

),,,(

∏=4

)15,14,9,7,6,1,0(),,,( zyxwf


Métodos Computacionales de Minimización

� El diseño de VLSI requiere de apoyo computacional.� La minimización tiene un impacto directo en el costo de

un procesador.� La lógica de cualquier procesador moderno tiene

cientos de variables, por lo tanto no sirve el método de los MK.

� Examinaremos el Método de minimización propuesto por Quine y McCluskey


Métodos de Quine y McCluskey

� Una función de conmutación F(X1,X2,...Xn), se puede expresar como la suma de términos donde cada término está compuesto de factores.

� Se dice que la función contiene un término cuando la función vale 1 cuando el término vale 1. Por ejemplo, la función F(a,b,c)=ab+c contiene dos términos ab y c.

� Se define un implicante primo como un término que está contenido en la función y la eliminación de cualquier literal genera un nuevo término que no está contenido en la función dada


Métodos de Quine y McCluskey

� En la función F(a,b,c)=ab+c hay dos términos implicantes primos: ab y c.

� Los algoritmos computacionales de minimización se basan en la búsqueda de implicantes primos.

� Una función equivalente a F(a,b,c)=ab+c es F(a,b,c)=ab+c+abc. Se puede observar que el término abc no es implicante primo porque la eliminación del literal c, genera el factor ab que está contenido en la función dada.

� Se puede observar que los implicantes primos son subcubos en un Mapa de Karnaugh

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Métodos Tabular de Quine y McCluskey

� El método de Quine y McCluskey genera el conjunto de implicantes primos de una función.

� Se parte de una función en forma canónica.� Se presentará el método a partir de un ejemplo:Minimizar la función:


...Métodos Tabular de Quine y McCluskey

� Primer paso: representar los mintérminos en su forma binaria:

0000 0 1010 100010 2 1011 11

0011 3 1101 130101 5 1111 15

0111 71000 8



� Segundo paso: agrupar acorde al número de unos

0000 0

0010 2

1000 8

0011 3

0101 5

1010 10

0111 71011 111101 13

1111 15

0 unos

1 unos

2 unos

3 unos

4 unos



� Tercer paso: Se agrupan entre grupos adyacentes buscando diferencias de un solo bit. El uno que se elimina se reemplaza por “-”

00-0 0,2

-000 0,8

001- 2,3

-010 2,10

10-0 8,10

0-11 3,7

-011 3,11

01-1 5,7

-101 5,13

101- 10,11

-111 7,151-11 11,1511-1 13,15



� Cuarto paso: Se aplica el mismo procedimiento anterior. Las adyacencias deben contemplar el signo “-” en la misma posición

-0-0 0,2,8,10

-01- 2,3,10,11

--11 3,7,11,15

-1-1 5,7,13,15

A

B

C

D

Implicantes primos



� Último paso: Se debe cubrir todos los mínterminos de la función con el mínimo número de implicantes primos. Para esto se utiliza una tabla

0 2 3 5 7 8 10 11 13 15

A

B

C

D

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� Finalmente

0 2 3 5 7 8 10 11 13 15

A

B

C

D

-0-0 0,2,8,10



� Minimizar: ∑∑ +=φ

)31,29,7()23,22,18,15,13,6,5,2(),,,,(5

zyxwvf

vwxyz vwxyz vwxyz

00010 2

00101 5

00110 6

10010 18

00111 7

01101 13

10110 22

01111 15

10111 23

11101 29

11111 31


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