Academia Madrid Ingeniería Cartagena99 Centro de Formación ... … · 2007. 11. 16. · Ing....
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Ing. Mario R. Modesti
10. 1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL CORDOBADEPARTAMENTO ELECTRONICA
Carrera : Ingeniería ElectrónicaAsignatura : Análisis de Señales y Sistemas
T.P.N 10 : Series y transformada de Fourier, Transformada inversa deFourier, aplicaciones en señales de uso en comunicaciones y control.
Rev 1.2 Enero 2001
Serie trigonométrica de Fourier
f(t) = a0 + + + ++ + + +
a Cos t a Cos t a Cos tb Sen t b Sen t b Sen t
1 2 3
1 2 3
2 32 3
ϖ ϖ ϖϖ ϖ ϖ
.........
a0 = =−∫ ∫
1 1
2
2
0Tf t dt
Tf t dt
T
T T
( ) ( )
a f(t) Cos n f(t) Cos nn = =−∫ ∫
2 2
2
2
0Tt dt
Tt dt
T
T T
ϖ ϖ
bT
t dtT
t dtT
T T
n f(t) Sen n f(t) Sen n= =−∫ ∫
2 2
2
2
0
ϖ ϖ
MATHEMATICA
Serie exponencial de Fourier
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10. 2
f(t) = F0 + + + + + +
+ + + + + +−−
−− −
−−
F e F e F e F e
F e F e F e F e
J t J t J tn
Jn t
J t J t J tn
Jn t
1 22
33
1 22
33
ϖ ϖ ϖ ϖ
ϖ ϖ ϖ ϖ
.... .....
..... .....
f(t)=n=-
F e para t t t TnJn t
∞
∞
∑ < < +ϖ ( )0 0
Ff(t)(e ) dt
e (e ) dt
1T
f(t)e dtn
Jn t *
t0
t T
Jnv t Jn t *
t
t TJn t
t
t T
0
0
0
0
0
= =
+
+−
+∫
∫∫
ω
ϖ
ω
MATHEMATICA
Relación de coeficientes entre la serie trigonométrica y exponencial
( )
( )
aa
0
n
== +
= +
= +
−
−
FF F
b J F F
F a Jb
n n
n n n
n n n
0
12
Espectro de frecuencias de Fourier
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10. 3
F( )ϖ ϖ=−∫ f(t) e dt -Jn t
T2
T2
f(t)=
1T
F e Jn t
n
( )ϖ ϖ
=−∞
∞
∑
Transformada de Fourier
f t F e dJ t( ) ( )=−∞
∞
∫1
2πϖ ϖϖ
F f t e dtJ t( ) ( )ϖ ϖ= −
−∞
∞
∫
La función F( )ϖ es la densidad espectral , y otro modo de expresar lastransformadas es:
[ ]f t f t e dtJ t( ) ( )= −
−∞
∞
∫ ϖ [ ]−
−∞
∞
= ∫1 12
F F e dJ t( ) ( )ϖπ
ϖ ϖϖ
MATHEMATICA
APLICACIONES
10.1) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función , y la seriecorrespondiente.
F(x)0 5 x 03 0 x 5
Periodo 10=− < <
< <
=
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10. 4
( ) ( ) ( ) =
=
+== ∫∫ ∫∫
−
5
0
0
5
5
00 53
51
301022
dttn
CosdttnCosdttnCosfT
aT
tn
πϖϖ
Resolución analítica
( ) ( ) ( ) =
=
+== ∫∫ ∫∫
−
5
0
0
5
5
00 53
51
301022
dttn
SendttnSendttnSenfT
bT
tnπ
ϖϖ
( )[ ]=+−=
=
= ∫ 0
35
35
53
51
5
0
5
0
CosnCosn
tn
Cosn
dttn
Senn
bn ππ
ππ
ππ
( )[ ]ππ
nCosn
bn −= 13
( ) ( )23
053101
3101
301011 5
0
0
5
5
000 =−==
+== ∫ ∫∫
−
tdtdtfT
aT
t
Mathematica
52 ππ
ϖ ==T
tn
dutn
u55ππ
=∴=
[ ] 003
53
55
351
5
0
5
0
=−=
=
= ∫ π
ππ
ππ
πSenSen
nt
nSen
ndtt
nCos
nan
00 ≠= nan
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10. 5
10.2) Desarrollar F x x x( ) = < <2 0 2π en serie de Fourier
a - Si el período es 2πb- Si el período no se especifica
5 10 15 20 25
10
20
30
40
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10. 6
10.3) Se define una función rectangular f(t) a continuación
F ttt
( ) =< <
− < <
1 01 2
ππ π
Aproximar esta función mediante la forma de onda sen t, en el intervalo ( , )0 2π demodo que el error cuadrático medio sea mínimo
f t Sen t( ) =
Considerando la función rectangular, demostrar que puede obtenerse unaaproximación mejor mediante una gran cantidad de funciones mutuamenteortogonales.
10.4) Desarrollar f t Sen t( ) = , 0 < <t π en serie de Fourier trigonométrica
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10. 7
10.5) Considerar la onda seno rectificada ( onda completa ), correspondiente a
una función del tipo f t Sen t( ) = , 0 < <t π , desarrollar en serie de Fourierexponencial
10.6) Considersr la función periódica ( )tf en 0 < <t π y determinar el espectro
de frecuencias de la función
( )tf Sen t= .
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10. 8
10.7) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo funciónseno.
10.8) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo funcióncoseno.
10.9) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F(x)8 0 x 2
8 2 x 4 Periodo 4=
< <− < <
=
10.10) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F xx 4 x 0
x 0 x 4Periodo 8( ) =
− − ≤ ≤≤ ≤
=
10.11) Desarrollar en serie de Fourier de período 8
F(x)2 x 0 x 4x 6 4 x 8
Periodo 8=− < <− < <
=
10.12) Calcular los coeficientes a a bn n0 , , de la serie trigonométrica querepresenta en período 2 π .
a) F(t) Sen tb) F(t)= Cos t
=
10.13) Desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F(x)x 0 x 48 x 4 x 8
=< <
− < <
10.14) Graficar la función extendida periodicamente con período 2π y hallar sutransformada de Fourier.
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10. 9
<<<<
=πππ
2t0t0tsen
F(t)
10.15) Dada una onda cuadrada periódica f(t)=A 0 < t < T / 20 2 0− < <
T t/
,
determinar
a) El espectro de frecuenciasb) F(w)c) la función f(t)
[ ]
[ ]1enA
J1eJn
A
eJn
Adte
JnA
dte A
dte A dte0 dte f(t))F(
Jn-2T
Jn-
2T
0tJn-
2T
0
2T
0
tJn-tJn-
0
2T
2T
0
tJn-tJn-2
T
2T
tJn-
−=
−−=
=−=−==
=+==
∫ ∫
∫ ∫∫−−
πϖ
ϖϖϖ
ϖϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖ
[ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
n
tJnJnp-
n
tJn e1enA
JT1
)eF(T1
=f(t) ϖϖ
ϖϖ
10.16) Desarrollar la función rectificada media onda en serie de Fourier
trigonométrica f tSen t t
t( ) =
< << <
00 2
ππ π
10.17) Considerar la onda seno rectificada ( media onda), correspondiente a una
función del tipo f tSen t t
t( ) =
< << <
00 2
ππ π , desarrollar en serie de
Fourier exponencial
10.18) Determinar el espectro de frecuencias de la función precedente.
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10. 10
10.19) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral (a= 2)
u(t)ef(t) at−=
J?21
)e(eJ?2
1dtee? ) F( 0
0
tJat
+=−
+−== ∞−
∞−−∫ ϖ
2s1
F(s)+
=
MATLAB
a=[1,2]; % Coeficientes del denominador en orden decrecienteb=[1]; % Coeficientes del numeradorw=-50:.05:50; % Rango de frecuencia en rad/s
H=freqs(b,a,w);mag=abs(H);fase = angle(H);axis([-50,50,0,.5]);
figure (1);plot(w,mag);title(‘ Espectro de frecuencias ( magnitud)');xlabel('frecuencia, rad/s');ylabel('magnitud');grid;
figure(2);
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10. 11
fase =fase*180/pi; % Cambio de fase de radianes a gradosaxis([-50,50,-200,200]);plot(w,fase);title('Respuesta en frecuencia (fase)');xlabel('frecuencia, rad/s');ylabel('fase, degrees');grid;axis;
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
MATHEMATICA
10.20) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral
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10. 12
f t e a t( ) = −
10.21) Evaluar la función pulso rectangular como se define a continuación
>
<=
2T
t0
2T
t1f(t)
10.22) Evaluar la transformada de Fourier de un impulso y de una constante.
10.23) Transformada de la función signum , f(t)=sgn(t).
10.24) Determinar la serie de Fourier trigonométrica , la serie exponencial ydeducir el espectro de frecuencias de la función definida a continuación.
( )f θ θ π θ π= − ≤ ≤para
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10. 13
10.25) Determinar la serie de Fourier de :
− < <= − < ≤ − ≤ <
1 1 t 1
f(t) 2 t 10
1 t 2
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Ing. Mario R. Modesti
10. 14
Referencias :
Señales y sistemaslan V. Oppenheim - Alan S.WillskyPrentice Hall
Mathematica 3.0MatLab 5.0GrapMath 1.30C