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APLICACIONES EN CLCULO DIFERENCIAL

Se pens en realizar este folleto con el fin de apoyar el aprendizaje por medio de aplicaciones. Las aplicaciones en clculo infinitesimal abarcan un amplio rango de disciplinas cientficas, ejemplo de ello son: Administracin y Economa, Ciencias Biolgicas y Ciencias Fsicas por citar algunas. Este folleto se compone bsicamente de dos partes: La primera es Problemas Ejemplo y la segunda es Problemas Ejercicio. En la primera parte, se desarrollan las soluciones de un nmero determinado de problemas ejemplo, tratando de manera clara, llegar al resultado. La segunda parte, es la que el alumno tiene que resolver, adems que ambos tipos de problemas son anlogos en esencia. Las soluciones de los problemas ejercicio no se incluyen en este folleto, ya que stas, deben consultarse con el docente durante los periodos de clase que se les indique.

1 de 12 Preparado por: Francisco Cuevas M.

PRIMERA PARTE: PROBLEMAS EJEMPLO

Ejemplo 1. Administracin y Economa. Suponer que la utilidad p diaria (en dlares) al fabricar x artculos se modela por

p ( x ) = 0.01x2 + 5x 400, donde 0 x 300.

determine el nmero x de artculos que da lugar a la utilidad mxima.

SOLUCIN: La produccin de artculos se encuentra acotada por los limites naturales, donde el nmero de artculos no puede encontrarse fuera de ellos. Y para encontrar su nmero, que da la mxima utilidad, (aunque no sea necesario utilizar calculo) calculemos la derivada , donde 502.0)( += xxp 3000 x y el lugar donde ocurre un extremo relativo es cuando y = 0, es decir, cuando 0.02x + 5 = 0 donde x tomar el valor de 250, pero, debemos verificar el intervalo cerrado, esto es cuando x = 0 y cuando x = 300, para encontrar un mximo o mnimo, vea la siguiente figura p ( 0 ) = 0 p ( 250 ) = 225 p ( 300 ) = 200 y nos damos cuenta que cuando x es 250, el extremo es un mximo, por tanto, la respuesta de el nmero de artculos que da lugar a la mxima utilidad es cuando x = 250.


Ejemplo 2. Administracin y Economa. Considere que el costo c (en dlares) de fabricar x artculos se modela por

c( x ) = 400 + 10x + 0.01x2.

entonces el costo por artculo, llamado costo unitario, se da por

xxcxcu )()( = , donde x > 10.

hallar el nmero de artculos que mximizar este costo unitario cu( x ).

Ejemplo 3. Administracin y Economa. La gerente de un restaurante observa que cuando al servicio de ensaladas se le pone un precio de $2.50 (dlares), se atienden a 200 clientes en el mismo durante el almuerzo. No obstante, por cada dlar de aumento en el precio, se pierden 100 clientes. De manera anloga, por cada dlar de disminucin en el precio, se ganan 100 clientes. Obtenga el aumento en el precio que maximizar el ingreso que se obtenga del servicio de ensaladas. Ejemplo 4. Administracin y Economa. El dueo de una tienda de comestibles planea su inventario de cereales secos y los pedidos los hace a cierto mayorista. Cada pedido consiste en varias cajas (cada una con 50 paquetes de cereal) a un costo de $40.00 dlares cada una ms un cargo por manejo de $50.00 dlares por pedido. La tienda vende 500 cajas de cereal al ao. Un costo de almacenamiento de $5.00 dlares por caja por ao cubre el seguro y el espacio ocupado por el cereal no vendido. Si el dueo de la tienda hace un pedido muy grande, pagar un cargo bajo por manejo, pero un costo grande de almacenamiento. Empero, varios embarques ms pequeos reducirn los costos de almacenamiento, pero incrementarn los costos de pedido. El objetivo es hallar un tamao ptimo de embarque, en alguna parte entre estos valores crticos, de modo que se minimicen los costos totales. SOLUCIN: Sea x el nmero de cajas en cada pedido (la cantidad por embarque), y el

Costo total = (Costos fijos) + (Costos por surtir el pedido) + (Costos de almacenamiento) Costos fijos = (costo por caja) (el nmero de cajas por ao) = (40)(500) = 20,000. Costos por surtir el pedido = (Costo por embarque) (nmero de embarques) Pero el nmero N de embarques est en funcin del tamao x de los mismos por (Nmero de embarques) (Tamao del embarque) = Abastecimiento anual total Nx = 500


O tambin

N

x 500= Entonces, tenemos que

Costos por surtir el pedido =

x

50050

=x

25000

Costos de almacenamiento = (Costo de almacenamiento por caja) (# medio de cajas existentes) Suponiendo que entre uno y otro embarque la existencia decrece paulatinamente de x a 0, el nmero promedio de cajas en almacenamiento es x/2; por lo tanto

Costos de almacenamiento =

2x5

Y combinando los costos tenemos el modelo de costo total

2

52500020000)( xx

x ++=C , donde x > 0 cuya derivada es

2525000)(

2 += xxC y calculando el nmero critico, tenemos que 100=x por tanto, 100 es el nmero de embarques que minimizaran los costos totales, y estos son C ( x ) = 20500


Ejemplo 5. Ciencias Biolgicas. Tanto los bilogos como los psiclogos estudian las respuestas a diversos estmulos s. En ciertos animales, la respuesta al estmulo s se mide por la contraccin del iris despus de exponer el ojo a una luz brillante. Suponer que la respuesta se modela por

>

=2;8

20,)(

2

tdondet

tdondetts ,

ya que t es el tiempo (en segundos) despus de que se concentra la luz sobre el ojo. En qu

instante se presenta la respuesta mxima? SOLUCIN: Veamos la grafica:

Ejemplo 6. Ciencias Biolgicas. Investigadores de la fauna silvestre introducen a una isla cierta especie de faisn a un coto de caza. Se da a la poblacin 3 aos para que se establezca antes de permitir la cacera limitada. Suponer que la poblacin p de faisanes (en cientos) en el tiempo t (en aos) se modela por

,3,2

30,42)(

6

2

>+++=

tdondettdondett

tpt

hallar los valores crticos en esta poblacin.


Ejemplo 7. Se desea construir un canaln de desage, a partir de una lmina rectangular donde la longitud de la lmina no se toma en cuenta. El ancho de la lmina es de 20 cm, y de van a hacer dos dobleces tal como se muestra en la figura siguiente Calcula las dimensiones de la seccin transversal para que el canaln de desage transporte la mxima cantidad de agua.

Ejemplo 8. Un hombre construye una granja, a 500 yardas de una carretera estatal. La tubera del alcantarillado ms cercana se encuentra a 800 yardas sobre esta carretera. El costo para hacer la conexin a la alcantarilla es de $2.00 dlares por yarda de la casa a cualquier punto p sobre la carretera, y de $1.00 dlar por yarda del punto p a la alcantarilla a lo largo de la misma. Dnde debe localizarse el punto p para minimizar el costo de la construccin de esta tubera?

Ejemplo 9. un derrame de petrleo en el ocano se esparce en un rea, con espesor uniforme de 1 pulgada. Supngase que el petrleo esta fluyendo con un gasto constante de 200 pies cbicos por minuto. Halle la rapidez a la cual crece el radio de la mancha aceitosa en el momento en el que el radio es de 10 pies, y cuando es de 500 pies. SOLUCIN: Es conveniente medir la distancia en pies y el tiempo en minutos. Suponiendo que la mancha de aceite es circular, puede describirse su volumen V en trminos del radio r y el espesor de 1 pulgada. La rapidez del flujo del petrleo se expresa como

200=dtdV (pies cbicos por minuto)

y el volumen del petrleo, viene dado por


SEGUNDA PARTE: PROBLEMAS EJERCICIO Resuelva los siguientes ejercicios.

Ejercicio 1. Administracin y Economa. Una persona estima que su riqueza w (en millones de pesos) en el tiempo t (en aos), durante un perodo de 30 aos, queda establecida por la funcin

w( t ) = t3 5t2 3t + 100, 0 t 30.

Cundo ser mxima y cundo ser mnima esta riqueza?

Ejercicio 2. Administracin y Economa. El precio p (en pesos) de cierto artculo en el tiempo t (en meses) esta dado por

p( t ) = 80 + 180t t3, 0 t 12.

determina cundo est creciendo este precio y cundo est decreciendo. Despus de trazar la grfica de p( t ), puede decidir el lector cundo el precio ser mximo? Y cundo un mnimo?

Ejercicio 3. Administracin y Economa. Un fabricante ofrece un descuento sobre pedidos del tamao mximo 180. El precio por artculo es de 20 0.1x (en dlares) para un pedido de tamao x ( 0 x 180 ).

a) Obtener la funcin r ( x ) que modela el ingreso proveniente de un pedido de x artculos. b) Hallar el valor de x que maximiza a r ( x ). c) Suponer que el costo de fabricar x artculos es c ( x ) = 10x + 100. Determinar el valor de x

que maximizar la utilidad p ( x ) = r ( x ) c ( x ). Considerar que la utilidad e ingresos mximos (obtenidos en b) se presentan en valores diferentes de x.

Ejercicio 4. Administracin y Economa. En la actualidad, el precio del boleto de entrada a un cine es de $7 (dlares), y tiene un promedio de 150 espectadores por funcin. Cada descuento de 10 en el precio da como resultado 15 espectadores adicionales. De manera anloga, un aumento de 10 en el precio del boleto reduce la asistencia promedio en 15 espectadores.

a) Si x representa el aumento en el precio de entrada, demostrar que 7 x 1 son los lmites naturales para x.

b) Verificar que el ingreso resulte por aumento en el precio de x dlares se modela por la funcin r ( x ) = ( 7 + x ) ( 150 150x ).

c) Hallar el precio del boleto que maximizar el ingreso. d) Si la capacidad mxima del cine es de 250 personas, determinar el precio ptimo del boleto.


Ejercicio 5. Administracin y Economa. Suponer que en un centro cvico se realiza un

concierto semanal de msica clsica. En la actualidad, la venta de boletos a $20 dlares atrae un promedio de 3000 aficionados. Si los precios se elevaran o se redujeran en $1 dlar, la asistencia promedio disminuira o aumentara, respectivamente, en 100.

a) Si x representa el aumento en el precio del boleto, determinar los lmites naturales para x. b) Obtener el ingreso r ( x ) proveniente del aumento de x en el precio. c) Hallar el precio del boleto que maximizar el ingreso. d) Considerar que cada aficionado gasta un promedio de $4 en lo que se expende all.

Determinar el precio ptimo del boleto al agregar esta informacin.

Ejercicio 6. Administracin y Economa. Un motel que cobra alrededor de $15 dlares, llena todas sus 100 habitaciones diariamente. Por cada $1 dlar de aumento en el precio, se rentan 5 habitaciones menos. Cada cuarto ocupado cuesta $3 dlares por da debido a los servicios. Establecer la tarifa que maximizar la utilidad diaria.

Ejercicio 7. Administracin y Economa. Una agencia de viajes ofrece un paquete a $600 dlares por persona, si toman las vacaciones 100 personas o menos. Si van ms de 100, entonces el precio por cada una de ellas se reduce en $5 multiplicado por el nmero de personas mayor de 100. En el viaje pueden participar un mximo de 200 personas. Cunta gente se necesita en el recorrido para que la agencia de viajes obtenga el mximo ingreso?

Ejercicio 8. Administracin y Economa. Una tienda de artculos deportivos vende cada ao 1000 pares de cierto zapato para correr. Al pedirse, el zapato cuesta $20 dlares el par y existe un cargo adicional por manejo de $30 dlares. Un costo de $0.50 dlares por par, por ao, cubre el almacenamiento de los zapatos no vendidos. Hallar el nmero de zapatos por pedido que minimiza los costos totales del inventario. Recuerde que no se puede hacer un pedido de una fraccin de un par de zapatos.

Ejercicio 9. Ciencias Biolgicas. La poblacin de mosquitos p (en millares de ellos) en cierta zona pantanosa, durante el mes de agosto, se expresa por

32

2730100)( xxxxp ++= , 0 x 8.

donde x es el nmero de pulgadas de lluvia en ese mes. Determinar el intervalo de valores de la

precipitacin pluvial para los que esta poblacin es creciente y aqullos para los cuales es decreciente. Trazar la grfica de p( x ) y determinar la lluvia para la cual la poblacin es mxima.


Ejercicio 10. Ciencias Biolgicas. Suponer que t meses despus de que empieza cierta epidemia de gripe, la fraccin f de la poblacin que ha contrado el virus se modela por

0;)1(

)( 3 += ttttf .

a) Hallar el tiempo t en el que la epidemia alcanza su mximo.

b) Determinar la porcin mxima de la poblacin que ser infectada por este virus gripal.

Ejercicio 11. Ciencias Biolgicas. La cantidad de leche m (en decenas de litros) que una vaca produce se estima por la funcin

xxxm = 323)( , 0 x 10

y x es el nivel de hormonas inyectadas a la vaca por da. Determinar qu nivel de hormonas dar la cantidad mxima de leche producida. Ejercicio 12. Ciencias Biolgicas. Suponer que un agricultor estima que el nmero de manzanas n que cada uno de sus rboles dar se expresa por

n( x ) = 60x x2, 0 x 60 y x es el nmero de esos rboles plantados en cada acre.

a) Hallar un modelo para la cosecha total y( x ), donde la cosecha total es igual al nmero de

manzanas por rbol por el nmero de rboles.

b) Obtener el nmero x de rboles que maximice la cosecha total.

Ejercicio 13. Ciencias Biolgicas. Un agricultor estima que un rbol promedio produce 300 manzanas si no se plantan ms de 16 rboles en cierta rea. Por cada rbol adicional plantado, la cosecha disminuye en 10 manzanas por rbol. Cuntos rboles debe plantar el agricultor en sta rea para obtener una cosecha mxima?


Ejercicio 14. Ciencias Biolgicas. Suponga que la produccin e diaria de huevos (en millares) en una granja se modela por la funcin

496)(

23 xxxxe += , 0 x 2.5

y x representa el nmero (en millares) de gallinas. Cuntas gallinas se necesitan para maximizar la produccin de huevo?

Ejercicio 15. Ciencias Biolgicas. Los especialistas en el medio ambiente hallan que en el tiempo t (en aos) despus de haberse iniciado una campaa de limpieza, la cantidad a de contaminante en un ro se modela por la funcin

11001)( ++= ttta , 0 t 1.

Cundo alcanz su mnimo la cantidad de contaminante?

Ejercicio 16. Ciencias Fsicas. La eficiencia m respecto al combustible (en millas por galn) de cierto automvil conducido a la velocidad v (en millas por hora) se modela por

250030002)( += v vvm .

determinar el valor de la velocidad v que maximizar la eficiencia de este automvil respecto al combustible. Ejercicio 17. Ciencias Fsicas. Una compaa que fabrica juegos pirotcnicos afirma que sus cohetes vuelan de modo que su distancia s (en pies) por encima del piso, en el tiempo t (en segundos) queda establecido por la funcin

s( t ) = 96t 16t2, 0 t 6.

Hasta qu altura llegarn estos cohetes?


Ejercicio 18. Ciencias Fsicas. Suponer que los astrnomos emplean la funcin

s( t ) = t3 48t + 200, t 0

para modelar la distancia (en miles de millas) de un meteorito que se est acercando a la Tierra en el tiempo t (meses).

a) Determinar el tiempo en el que el meteorito se encuentra ms cercano a la Tierra.

b) Qu tan cerca llega dicho meteorito? Ejercicio 19. Ciencias Fsicas. La distancia s de un proyectil dirigido a su blanco en el instante t (en segundos) se estima por la funcin

s(t) = t3 12t + 18.

Hallar la velocidad y la aceleracin de este proyectil y luego trazar la grfica de s( t ). Cundo estar el proyectil ms cerca de su blanco?

Ejercicio 20. Ciencias Sociales. Una estudiante de preparatoria encuentra que cuando estudia t horas dos das antes para un examen, su calificacin c se modela por

c( t ) = 8.1t2 0.9t3. Determinar el tiempo de estudio que maximizar su calificacin y cul ser sta.

Ejercicio 21. El campamento de un vaquero est a 2 millas de un ro recto. Dicho vaquero est a 4 millas del ro, y a 10, ro abajo de su campamento. Si el citado vaquero tiene que dar de beber a su caballo antes de regresar al campamento, cules caminos rectos debe tomar el vaquero para recorrer una distancia mmina?

Ejercicio 22. Una fotgrafa tiene un trozo de madera de 24 pulgadas de largo y 1 pulgada de ancho, a partir del cual se desea hacer un marco rectangular. Cmo se debe cortar esta madera de modo que el marco encierre el rea mxima?

Ejercicio 23. Una hoja cuadrada de cartn tiene lados de 16 pulgadas de longitud. Se va a hacer una caja sin tapa a partir de este trozo de material cortando un cuadrado (del mismo tamao) en cada esquina y, a continuacin, doblando hacia arriba los lados. Cul debe ser el tamao de este cuadrado para que la caja tenga el volumen mximo?


Ejercicio 24. Debe hacerse una caja rectangular sin tapa de una hoja de cartn cuyas dimensiones son 8 pulgadas por 15 pulgadas, cortando un cuadrado en cada esquina. Cul debe ser el tamao de este cuadrado para que la caja tenga el volumen mximo?

Ejercicio 25. Una compaa fabrica una caja de cartn de modo que la base y la tapa son cuadrados. Si la caja debe contener 10 pies cbicos, hallar las dimensiones que minimicen la cantidad total de cartn (rea superficial) necesaria para hacerla.

Ejercicio 26. Una caja con base y tapa cuadradas tiene un rea superficial de 10 pies cuadrados. Determinar las dimensiones que maximizan el volumen de la caja y determinar tambin cul va a ser el volumen mximo.

Ejercicio 27. Una compaa empacadora fabrica latas cilndricas que contienen 22 pulgadas cbicas (12 onzas). Hallar las dimensiones de una lata que minimizarn la cantidad de metal (rea superficial) en la misma.

Ejercicio 28. Una compaa empacadora fabrica latas cilndricas que contienen 22 pulgadas cbicas (12 onzas). Hallar las dimensiones de una lata que minimizarn la cantidad de metal (rea superficial) en la misma. Suponga que el metal de la tapa de la lata cuesta 0.3 (de dlar) por pulgada cuadrada y todo el resto cuesta 0.1 por pulgada cuadrada. Determinar las dimensiones de la lata que minimizarn el costo del metal. Comparar la respuesta que obtenga con las dimensiones de una lata de cerveza o refresco que conozca.

Ejercicio 29. Una sierra circular corta tablones rectangulares a partir de troncos con seccin transversal circular. Hallar las dimensiones del rectngulo mximo de ese tipo que puede inscribirse en un crculo de radio R.


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