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Autora: Srta. Rosa Montaño
Variables Aleatorias Discretas
Función de Probabilidad o Cuantía
Definición: Dada una variable aleatoria discreta que toma los valores se denomina función de probabilidad o función de masa a la
función:
X1 2( , , ......, , ......)nx x x
0 1: ,P R( ) ( ) ({ : ( ) })P x P X x P X x
Que verifica que: 1. 0 Rec( ) (P X x x X )2. 1
Re ( )( )
c xP X x
En el ejemplo correspondiente al lanzamiento de la moneda: 10 04
( ) ( ) ({ , })P P X P s s
11 12
( ) ( ) ({ , }) ({ , })P P X P c s P s c
12 24
( ) ( ) ({ , })P P X P c c
0 0 1 2( ) , ,P X x x
Función de Distribución
Definición: Dada una variable aleatoria discreta que toma los valores tal que se define la función de distribución
asociada a como:1 2( , , ...., , ....)nx x x 1 2 .... ....nx x x
X0 1: ,F R
( ) ( ) ( )i
X ix x
F x P X x P x
Ejemplo: Para la función de distribución de la variable aleatoria : Número de caras, cuyo Rec(X)={0,1,2} la función de distribución es:
X
0 si 01 4 si 0 13 4 si 0 2
1 si 2
/( )
/X
xx
F xxx
Propiedades:
Si ( )XF x es la función de distribución de una variable aleatoria discreta , esta debe satisfacer
X
(1) ( )XF x es escalonada y los puntos de salto son los ix(2) 0lim ( )Xx
F x ; 0lim ( )XxF x
(3) ( )XF x es no decreciente, es decir, si ( ) ( )X Yx y F x F y(4) ( )XF x es contínua por la derecha
Ejemplo: Dado un experimento que consiste lanzar un dado cargado 100 veces se obtiene la siguiente función de Probabilidad:
0 1 si 1 30 4 si 2 0 2 si 4 0 05 si 5 0 15 si 6 0 en otro caso
. ,..
( )..
X
xxx
P xxx
Determine la función de distribución. Solución:De acuerdo a la definición debemos ir acumulando las probabilidades tal que:
0 si 1 0 1 si 1 20 5 si 2 30 6 si 3 40 8 si 4 50 85 si 5 61 si 6
.
.( ) .
.
.
X
xxx
F x xxxx
Representaciones gráficas: Función de Cuantía Función de Distribución
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
1 2 3 4 5 6
Valores de la variable
Probabilidad
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valor de la variable
Esperanza Matemática
Definición: Si es una variable aleatoria discreta que toma los valoresse define la esperanza de como:
X1 2( , , ...., , ....)nx x x X
Re ( )( ) ( )i i
c xE X x P X x
Es decir como la suma de cada uno de los valores que puede tomar la variable multiplicado por su probabilidad.
Propiedades : (a) Si es una variable aleatoria y una función de dicha variable, se
define la esperanza de como:
X (h X )( )h X
Re ( )( ) ( ) ( )i i
c xE h X h x P X x
(b) ( ) ( )E aX b aE X b(c) ( ) ( ) ( ) ( )E h X g X E h x E g x
(d) E aX bY aE X bE Y(e) E a a a R
Ejemplo: Sea una variable discreta cuya función de probabilidad esta dada porX
0 2 si 10 3 si 20 5 si 30 en otro caso
..
( ).X
xx
P xx
Determine la esperanza o el valor esperado de .XSolución:Paso 1: Aplicando la definición se tiene:
1 0 2 2 0 3 3 0 5 2 3Re ( )
( ) ( ) , , , ,i ic x
E X x P X x
Varianza
Definición: Se define la Varianza de una variable aleatoria discreta como: X
2 2
Re ( )
( ) ( ) ( ) ( )i ic x
V X E X x P X x
Desarrollando, se tiene que 2( ) ( )V X E X 2 .Tambien se denota 2( ) XV X .
A la Raiz cuadrada positiva de la varianza de X se le denomina desviación estándar y se denota por X
Propiedades : (a) V X( ) ( )b V X
)X b a V X(b) V a 2( ) ((c) 0 , Cte.V a a R
)Definición: Se definen los momentos centrales de orden r como y se
denotan por
( rXE X
r .
Como casos particulares se tiene: 0 1 1 0 2 ( )V X
Definición: Se definen los momentos respecto del origen de r como y se
denotan por .
( )rE X
Xrm
Como casos particulares se tiene: 1 ( )m E
Definición: Se definen la moda de una variable como si X 0 kM xm x( ) (k i )P X x a P X x
Definición: Se definen la mediana a de una variable r como si X e kM x
112
( )kF x y 12
( )kF x