7/18/2019 Act. 1 Calculo de Variacion

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Hola buenas noches adjunto mi investigación sobre tres teoremas importantes

en la función y derivadas. Luis Alberto Velázquez Vázquez

Investiga y comenta tres de los siguientes teoremas así como su interpretación

geométrica:

Teorema de Weierstrass

El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función

continua en un intervalo cerrado y acotado (de nmeros reales! alcan"a sus valores

má#imo y mínimo en puntos del intervalo$ También se puede enunciar en términos de

con%untos compactos$ El teorema establece que una función continua transforma

intervalos cone#os en intervalos compactos& entendiéndose por intervalo compacto aquel

que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen! y acotado$

'i una función f(#! está de nida y es continua en un intervalo cerrado )a&

b*& entonces f(#! alcan"a al menos un má#imo y un mínimo absolutos en el

intervalo )a& b*$

• Es decir, que hay al menos dos puntos x , x! pertenecientes a

"a, b# donde f alcan$a valores extremos absolutos%

•

El teorema de Weierstrass no nos ind ica donde se encuent ra e l

máximo y el mínimo & sólo a rma que e#isten$ E+E,-./:

Es continua en el intervalo )01& 2*

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Teorema de Rolle

En cálculo diferencial& el teorema de 3olle demuestra la e#istencia de

un punto inter ior en un interva lo abierto para e l cual una función

der ivable se anula cuando e l valor de ésta en los e#t remos del

intervalo es el mismo$

'e puede enunciar de la siguiente manera& 'i es una función continua denida en un

intervalo cerrado & derivable sobre el intervalo abierto y &

entonces:

E#iste al menos un punto perteneciente al intervalo tal que $

&emostración gr'(ca

En el siguiente gráco se observan las tres condiciones: la función es continua en el

intervalo cerrado )a&b*& es derivable y los valores que toma la función en los

puntos a y b son iguales& es decir& f(a! 4 f(b!$ E#iste& por lo tanto& al menos un

punto c que pertenece al intervalo abierto (a&b! en el cual la derivada de la función es

igual a cero$ 5ale observar que c es distinto de a y de b$ 6o debemos confundir c con f(c!&

que sí puede ser igual a f(a! y f (b!$

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En la ilustración se ve una función constante& pero el teorema no sólo se cumple en este

caso$ 'e pueden dar tres casos en los que f(c! es distinto de f(a! y f (b!& a saber:

)aso $ El punto má#imo es igual a f(a! y f (b! y el punto mínimo es distinto de ambos& lo

cual implica que la curva es cóncava 7acia arriba$ El punto mínimo es m 4 f(c!& y la

derivada de la función en este punto es 8$

)aso !. El punto mínimo es igual a f(a! y f(b! y el punto má#imo es distinto de ambos& lo

cual implica que la curva es cóncava 7acia aba%o (o conve#a!$ El punto má#imo

es , 4 f(c!& y la derivada de la función en este punto es 8$

9aso $ Tanto el punto mínimo como el punto má#imo son distintos a f(a! y f(b!$ Esto

signica que dentro del intervalo cerrado )a& b* la función alcan"a un punto

má#imo , 4 f(c;! mayor al valor de la función en los e#tremos a y b y un punto

mínimo m 4 f(c1! menor a los mismos$ Tanto en el punto má#imo como en el punto

mínimo& la derivada de la función es nula$ Es decir& f <(c1! 4 8 y f <(c;! 4 8$

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Teorema de *agrange

En la teoría de grupos& el teorema de .agrange es un resultado importante que relaciona

el orden de un grupo nito con el orden de cualquiera de sus subgrupos$ ,ás

precisamente& arma que si es un grupo nito y es un subgrupo de & entonces

(1!

=onde y son el orden del grupo y el orden del subgrupo & en tanto

que es el índice de en $

El recíproco del teorema de .agrange& en general& no se cumple& pues e#isten grupos de

orden que pueden no tener un subgrupo de orden a pesar de que $ -or

e%emplo& el grupo simétrico  tiene orden ;2 y no tiene ningn subgrupo de orden >$ En

general& los grupos no resolubles son e%emplos en los que el recíproco del teorema de

.agrange no se cumple$

?ásicamente esto nos dice que 'i una función es:

9ontinua en )a& b*

=erivable en (a& b!

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Entonces& e#iste algn punto c (a& b! tal que:

.a interpretación geométrica del teorema de .agrange nos dice que 7ay un punto en el

que la tangente es paralela a la secante$

El teorema de 3olle es un caso particular del teorema de .agrange& en el que f(a! 4 f(b!$

E%emplo

@'e puede aplicar el teorema de .agrange a f(#! 4 # en )01& ;*A

f(#! es continua en )01& ;* y derivable en (01& ;! por tanto se puede aplicar el teorema

del valor medio:

+eferencias ibliogr'(cas%

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5i tutor (;812!$Teorema de LaGrange.

7ttp:BBCCC$vitutor$comBfunB>BteoremaDlagrange$7tml

Wiipedia (1; mar"o ;81F ltima modicación!$ Teorema de Lagrange (teoría de grupos).

La enciclopedia libre

7ttps:BBes$Ciipedia$orgBCiiBTeoremaDdeD.agrangeD(teorG9GH=aDdeDgrupos!

Wiipedia (;8 agosto ;81F& ltima modicación!$ Teorema de Rolle. La enciclopedia libre.https://es.i!ipedia.org/i!i/Teorema"de"Rolle

Wiipedia$ (; de mayo ;81F ltima modicación!$ Teorema de #eierstrass$ La

enciclopedia libre.

7ttps:BBes$Ciipedia$orgBCiiBTeoremaDdeDWeierstrass

5i tutor$ Teorema de #eierstrass.

7ttp:BBCCC$vitutor$comBfunBBcD;$7tml