Act. 1. Propiedades de Los Numeros Reales-2
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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 1.Espacios vectoriales Actividad 1. Propiedades de los números reales Instrucciones: lee con atención cada enunciado y realiza la demostración de acuerdo a lo que se te pide. 1. Demuestra que todo conjunto no vacío de números reales, acotado inferiormente, tiene ínfimo en los reales. De acuerdo a el axioma del supremo i) El minimo de un conjunto, si existe , es unico. ii) Todo subconjunto, no vacio, de numeros naturales tiene un minimo (esta propiedad se conoce como “principio de buena ordenacion de los numeros naturales” y es equivalente al “principio de induccion”). Demostracion: Llamaremos A al conjunto que cumpla con las hipotesis del teorema, es decir conjunto no vacio, y acotado inferiormente Graficamente Definamos al conjunto A −¿={{y∈R ∥y=−x,∀x∈A } ¿ , llamado conjunto simetrico de A Graficamente 1) A −¿ ≠ 0 ,efectivamente A ≠ ∅⇒ ∃x ∈ A por lotanto−x∈A ¿
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MATEMATICAS, ARITMETICA
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PROGRAMA DESARROLLADOUnidad 1.Espacios vectoriales
Actividad 1. Propiedades de los nmeros reales
Instrucciones: lee con atencin cada enunciado y realiza la demostracin de acuerdo a lo que se te pide.
1. Demuestra que todo conjunto no vaco de nmeros reales, acotado inferiormente, tiene nfimo en los reales.De acuerdo a el axioma del supremoi) El minimo de un conjunto, si existe , es unico.ii) Todo subconjunto, no vacio, de numeros naturales tiene un minimo (esta propiedad se conoce como principio de buena ordenacion de los numeros naturales y es equivalente al principio de induccion).
Demostracion:Llamaremos A al conjunto que cumpla con las hipotesis del teorema, es decir conjunto no vacio, y acotado inferiormenteGraficamente
Definamos al conjunto , llamado conjunto simetrico de AGraficamente
1) 2) Efectivamente, si h es una cota inferior pata cualquier A, entonces , se cumple la defincion de cota inferior que Entonces para todo por lo tanto h es cota superior de De los puntos 1 y 2 se deduce que el conjunto esta en las condiciones del Axiciona del extremo superior, entonces el conjunto admite extremo superior. El cual llamare .Entonces para toda cota superior de , -h se cumple que , siendo h una cota inferior cualquiera de A. Por lo tanto L es la mayor de las cotas inferiores de A.
2. Sean A y B dos conjuntos de nmeros reales, no vacos y B acotados. Demuestra que si el conjunto A est contenido en el conjunto B, entonces:supA supB y infB infASi llamamosb=supB, entonces by, yB. Por tanto by, yA, lo que quiere decir que b es cota superior de A. Como supA es la mnima cota superior, se deduce que sup A sup B. Anlogamente, nf B es una cota inferior de A y como nf A es la mayor de todas ellas, resulta que nf A nf B.
3. Demuestra que si x es cualquier nmero real mayor que cero, x > 0, entonces existe N en los naturales tal, que:
como x= 1,2,3., es claro que Sup x= mx x = , e nf x>0
Pero existe un N en los naturales tal que : , por que los N son positivos y por mas grande que sea el numero siempre sera mayor a cero la relacion : todos las naturales a excepcion del 1 ya que esta relacion seria1/1
