Act 7 Reconocimiento Unidad 2

Director: Remberto C. Moreno Herazo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS

Reconocimiento Unidad I: 208022–TELETRÁFICO

EL PROCESO DE POISSON

El proceso de Poisson es el proceso puntual más importante. Más adelante se podrá ver que su función en los procesos puntuales es tan vital como la función de la distribución Normal en las distribuciones estadísticas. Según el teorema del límite central, al añadir variables estocásticas se obtiene la distribución Normal. De manera similaral multiplicar variables estocásticas se obtiene la distribución exponencial.

Características del proceso de Poisson Las propiedades fundamentales del proceso de Poisson se definen en el:

a) condición de estacionario,

b) independencia en todos los puntos temporales (épocas), y

c) regularidad.

b) y c) son propiedades fundamentales, mientras que a) es innecesario. Así, se puede permitir un proceso de Poisson que tenga una intensidad dependiente del tiempo. A partir de las propiedades precedentes se pueden deducir otras propiedades que son suficientes para definir el proceso de Poisson. Las dos más importantes son:

Representación del número: El número de eventos dentro de un intervalo de tiempo de longitud fija tiene distribución de Poisson. Por consiguiente, el proceso se denomina proceso de Poisson.

Representación del intervalo: La distancia temporal Ti entre eventos

consecutivos tiene distribución exponencial.

DISTRIBUCIONES DEL PROCESO DE POISSON

En esta sección se examinará el proceso de Poisson en un aspecto dinámico y físico. Las derivaciones se basan en un modelo físico simple y hacen hincapié a las distribuciones de probabilidad asociadas con el proceso de Poisson. El modelo físico es el siguiente: los eventos (llegadas) se ubican al azar sobre el eje real de modo tal que cada evento se coloca independientemente de todos los otros eventos.

La densidad media se forma como λ eventos (llegadas) por unidad de tiempo. Si se considera el eje como un eje de tiempo se tendrá como promedio λ llegadas por unidad de tiempo. La probabilidad que un determinado diagrama de llegada se produzca dentro de un intervalo de tiempo es independiente de la ubicación del intervalo en el eje de tiempo.

El parámetro λ se denomina intensidad o régimen de la distribución exponencial y del proceso de Poisson relacionado y corresponde a la intensidad de trafico. m1 = valor medio, σ2 = varianza

f(t) . dt =λe–λt. dt = p(0, t) .λdt

Es decir la probabilidad que una llegada aparezca dentro del intervalo (t,t + dt) es igual a λdt, independiente de t y proporcional adt.





En razón que λ es independiente del tiempo real t, la distribución exponencial no tiene memoria. El proceso no depende del tiempo. El parámetro λ se denomina intensidad o régimen de la distribución exponencial y del proceso de Poisson relacionado y corresponde a la intensidad en la ecuación anterior. La distribución exponencial es, en general, un modelo muy satisfactorio de tiempos entre llegadas cuando el tráfico es generado por elementos humanos.

SISTEMAS DE PÉRDIDAS DE ERLANG, FÓRMULA B

En esta lección y en las siguientes se examina la teoría de teletráfico clásica formulada por Erlang, Engset y Fry y Molina, que ha sido aplicada satisfactoriamente durante más de 80 años. En este lección sólo se examina la fórmula de Erlang B fundamental.

La fórmula de Erlang B está basada en el modelo siguiente, descrito por los elementos estructura, estrategia y tráfico.

a) Estructura: se considera un sistema de n canales idénticos (servidores, líneas

de enlace, segmentos de tiempo) que funcionan en paralelo. Esto se denomina grupo homogéneo.

b) Estrategia: una llamada que llega al sistema se acepta para servicio si algún

canal está desocupado. (Cada llamada necesita sólo un canal.) Se dice que el grupo tiene plena accesibilidad. A menudo se utiliza el término plena disponibilidad, pero esta terminología se utilizará sólo en relación con aspectos de fiabilidad. Si todos los canales están ocupados se pierde la tentativa de llamada y ésta desaparece sin ningún efecto secundario (la tentativa de llamada rechazada puede ser aceptada por un trayecto alternativo). Esta estrategia es la más importante y ha sido aplicada con éxito durante muchos años. Se denomina modelo de pérdidas de Erlang o modelo de llamada perdida eliminada (LCC, lost call cleared).

c) Tráfico: Se supone que los tiempos de servicio están distribuidos

exponencialmente (intensidad µ) y que el proceso de llegada es un proceso de Poisson con régimen µ. Este tipo de tráfico se denomina puramente tráfico aleatorio tipo uno, PCT-I. El proceso de tráfico se transforma entonces en un proceso teórico de renovación, un proceso de Markov simple que es sencillo de formular matemáticamente.

Definición de tráfico ofrecido: Es el tráfico transportado cuando el número de canales (la capacidad) es infinito. En el modelo de pérdidas de Erlang con proceso de llegada de Poisson esta definición de tráfico ofrecido es equivalente al número promedio de tentativas de llamada por tiempo de ocupación medio:

Se consideran dos casos: 1. n = ∞: Distribución de Poisson. 2. n < ∞: Distribución de Poisson truncada.





Más adelante se verá que el modelo es indiferente a la distribución del tiempo de ocupación, es decir sólo el tiempo medio de ocupación es importante para las probabilidades de estados. El tipo de distribución no tiene importancia para las probabilidades de estado. Mediciones de calidad de funcionamiento: Las mediciones más importantes de grado de servicio para sistemas de pérdidas son la congestión temporal E, la congestión de llamadas B y la congestión de (carga de) tráfico C. Son todas idénticas para el modelo de pérdidas de Erlang debido al proceso de llegada de Poisson.

PRINCIPIOS DE DIMENSIONAMIENTO

Cuando se dimensionan los sistemas de servicio se deben compensar las necesidades de grado de servicio frente a las restricciones económicas. En sistema de telecomunicaciones hay diversas medidas que caracterizan el servicio ofrecido. La medida más importante es la calidad de servicio (QoS, quality of service), que comprende todos los aspectos de una conexión tales como calidad vocal, retardo, pérdida, fiabilidad, etc. Se considerará un subconjunto de estos aspectos, es decir el grado de servicio (GoS, grade of service) o rendimiento funcional de la red, que sólo incluye aspectos relacionados con la capacidad de la red.

Por la publicación de las fórmulas de Erlang había ya antes de 1920 una relación funcional entre la cantidad de servidores, tráfico ofrecido y grado de servicio (probabilidad de bloqueo) y así una medida para la calidad del tráfico. Al mismo tiempo, había conexiones directas entre todas las centrales que produjeron numerosos grupos pequeños de línea de enlace. Si la fórmula B de Erlang se aplica con una probabilidad de bloqueo fija para dimensionamiento, la utilización resulta deficiente.

Dimensionamiento con probabilidad de bloqueo fija

Para el funcionamiento correcto, un sistema de pérdidas debe ser dimensionado para una probabilidad de bloqueo baja. En la práctica, se debe elegir el número de canales n de modo tal que E1,n (A) sea de 1% para evitar la sobrecarga debida a numerosas tentativas de llamada repetidas y no completadas que además causan incomodidades a los abonados.

1. La utilización a por canal es, para una determinada probabilidad de bloqueo, las más elevada en grandes grupos. Un canal puede, con una probabilidad de bloqueo E = 1%, ser utilizado en promedio 36 segundos por hora.

2. Los grandes grupos de canales son más sensibles a un determinado porcentaje de sobrecarga que los pequeños grupos de canales. Esto se explica por la reducida utilización de pequeños grupos, los cuales, en consecuencia, tienen una mayor capacidad de reserva (elasticidad).





Así, cuando se dimensiona un grupo de canales, surgen dos factores de importancia contrarios entre sí: se debe elegir entre alta sensibilidad a la sobrecarga o una baja utilización de canales.

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