UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA FACULTAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA

PROGRAMA DE INGENERIA CIVIL

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA No. 3

DISTRIBUCIONES MUSTRALES Y ESTIMACIN POR INTERVALOS PRUEBAS DE HIPOTESIS

PRESENTADO POR:

SAL GUILLERMO LUNA CASTRO CD: D7301874 V SEMESTRE

PRESENTADO A:

TUTOR ING. NSTOR HUMBERTO AGUDELO DAZ

BOGOTA, MARZO DE 2014

INTRODUCCIN

En este trabajo se quiere resaltar la importancia que nos ofrece la estadstica y la probabilidad despus de haber tratado el tema de los modelos de probabilidad para variables discretas y continuas ahora ampliaremos nuestro conceptos al tratar el tema de las distribuciones mustrales, la estimacin por intervalos y las pruebas de hiptesis y como son aplicadas estas en la Ingeniera y las herramientas que nos brinda.

A continuacin se plantean y desarrollan una serie de ejercicios que nos permitir el apropiarnos y conocer los conceptos que nos da la estimacin por intervalos y las pruebas de hiptesis. Adquiriendo conocimiento y prctica en lo relacionado con el manejo de las distribuciones: normales y T Student as como su comportamiento.

OBJETIVO GENERAL

Adquirir conocimientos en lo concerniente a la estimacin por intervalos y las pruebas de hiptesis, de modo que podamos apropiarnos de este conocimiento y relacionarlo con nuestra labor como Ingenieros Civiles.

OBJETIVO ESPECIFICO

Adquirir habilidad practica a travs de la resolucin de problemas o ejercicios propuestos relacionados con la estimacin por intervalos y las pruebas de hiptesis.

Desarrollar ejercicios donde se aplica o en su solucin se hay que hacer uso de los valores de la tabla de Tstudent en las distribuciones normales.

Conocer y aprender el concepto de hiptesis alternativa e hiptesis nula.

DISTRIBUCIONES MUSTRALES Y ESTIMACIN POR INTERVALOS

PRUEBAS DE HIPOTESIS.

TALLER DE ESTADISTICA INFERENCIAL

1. Una muestra de 12 latas de sopa producida por cierta compaa produjo los siguientes pesos netos, medidos en onzas:

11.9 12.2 11.6 12.1 12.1 11.8

11.9 11.8 12.0 12.3 11.8 12.0

Si se supone normalidad en los pesos, construya un intervalo de confianza del 95% para el peso promedio de todas las latas de sopa producidas por la compaa.

SOLUCIN: La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son:

96.1112

12.......6.112.129.111=

++++==

=

n

XX

n

ii

( )198.0

1124291.0

11

2

=

=

=

=

n

xx

S

n

ii

( ) 201.205.0%95%11002

=== t

En la tabla se encuentra que t0.025=2.201 con 11 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

nn

p

2

p

2

stX

stX +

Tamao de la segunda muestra n2 = 16 das. Segunda media muestral 2x = 19 das. Segunda varianza muestral 22s = 1.8 das.

Intervalo de confianza IC = 99% para 12 .

( ) 763.201.0%99%11002

=== t

En la tabla se encuentra que t0.005=2.763 con (n1 + n2 2) = 28 grados de libertad. De aqu, el intervalo de confianza de 99% para 12 es:

12xx 12 = y 12

xxn

1n

1

12+=

2171912 xx

==

y 3659.00,1339161

141

12 xx

=+=

( ) ( ) ( ) ( )2nn

s*1ns*1ns

21

222

2112

p+

+=

( ) ( ) ( ) ( ) 2886.1s1.660721614

1.8*1161.5*114s p

2p =

+

+=

( ) ( )12

p2

121212

p2

12n

1n

1stxx-

n

1n

1stxx ++

3. Una mquina que produce bolas para cojinetes se le detiene peridicamente para verificar el dimetro. En este caso en particular no interesa el dimetro medio, sino la variabilidad de los dimetros. Supngase que se toma una muestra de 31 bolas y se encuentra que la varianza de los dimetros es de 0.94 mm2. Construya unos intervalos de confianza de 95% para la varianza, e interprete los resultados, suponiendo normalidad en la poblacin.

Solucin:

( )21

2

2 94.01

mmn

xx

S

n

ii

=

=

=

n=31 bolas

( ) ( )( )2/12

22

2/2

2 1-n1-n

4. Los siguientes datos representan los tiempos de duracin de las pelculas que producen dos compaas cinematogrficas.

Compaa Tiempo (minutos) I 103, 94, 110, 87, 98

II 97, 82, 123, 92, 175, 88, 118

a) Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los tiempos de duracin promedio de las pelculas que ofrecen las compaas. Suponga que las diferencias de tiempo se distribuyen en forma aproximadamente de forma normal con varianzas diferentes. Qu Concluye?

Solucin:

Compaa 1 Compaa 2

n1 = 5 n2 = 7

x1 = 98.4 x2 = 110.7

s1 = 8.375 s2 = 32.185

Primero se proceder a calcular los grados de libertad:

( ) ( )

+

+

=

1nn

s1nn

s

ns

ns

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

v

( )( ) ( ) ( ) ( ) 76732.185458.735

732.185

58.735

2222

222

=

+

+=v

En la tabla se encuentra que t0.05=1.895 con 7 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 90% para es:

( ) ( )1

21

2

22

21212

1

21

2

22

212

n

s

n

stxx-

n

s

n

stxx ++

Solucin:

P1: hombres P2: mujeres p1: proporcin de hombres que tienen cierto trastorno sanguneo menor. p2: proporcin de mujeres que tienen cierto trastorno sanguneo menor. Tamao de la primera muestra n1 = 1000 hombres. Tamao de la segunda muestra n2 = 1000 mujeres. Nmero de xitos de la primer muestra x1 = 250. Nmero de xitos de la segunda muestra x2 = 275. Proporcin de xitos de la primera muestra 0.25

1000250

n

xp1 ===

Proporcin de xito de la segunda muestra 0.2751000275

n

xp2 ===

Proporcin de fracasos de la primera muestra 0.750.251p1q 11 ===

Proporcin de fracasos de la segunda muestra 0.7250.2751p1q 22 ===

Diferencia entre proporciones de xitos 0.0250.2750.25pp 21 ==

Intervalo de confianza IC = 95%

100 = 100(1 - ) % = 95% => =0.05 => 21 z => z0.025 1.96

Intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las fracciones de poblacin que favorece el convenio.

2

22

1

11

n

q*pn

q*p+

( ) ( ) ( ) ( ) 01967.01000

725.0*275.01000

75.0*25.0+

( ) ( )2

22

1

11

21212

2

22

1

11

212

n

q*pn

q*p*zpppp

n

q*pn

q*p*zpp ++

Se afirma con 95% de confianza que la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que padecen el trastorno sanguneo se encuentra entre 0.01355 y 0.06355

6. Una compaa petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se calientan con petrleo. Tenemos razn en dudar de esta afirmacin si, en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta ciudad, se encuentra que 136 se calientan con petrleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.

2.0:2.0:

1 2.33 Se rechaza Ho

n

PqP-p

=RZ

n

PqP-p

=RZ

( )( ) 06.51000

8-00.20.2-0.136

==RZ

Como ZR es menor que -2,33 se rechaza H0 y por tanto se concluye que si hay razones para dudar la afirmacin de la compaa petrolera.

7. Se sabe que la duracin, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribucin aproximadamente normal, con una desviacin estndar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duracin promedio de 1014 horas.

a. Existe evidencia que apoye la afirmacin de que la duracin promedio del foco es mayor que 1000 horas? Utilice un = 0.05.

1000:1000:

1 1.96 Se rechaza Ho

n

Z R -X R

=

50.2

2025

1000-1014==RZ

Como ZR es mayor que 1.96 se rechaza H0 y por tanto se concluye que no hay evidencia para la afirmar que la duracin promedio del foco es mayor de 1000 horas.

b. Cul es el valor P para la prueba?

El valor de P es

( ) 0062.050.2 =>= ZpP

8. En un invierno con epidemia de gripe, una compaa farmacutica bien conocida estudi 2000 bebes para determinar si la nueva medicina de la compaa era efectiva despus de dos das. Entre 120 bebes que tenan gripe y se les administr la medicina, 29 se curaron dentro de dos das. Entre 280 bebs que tenan gripe pero que no recibieron la medicina, 56 se curaron dentro de dos das. Hay alguna indicacin significativa que apoye la afirmacin de la compaa de la efectividad de la medicina? Utilice un = 0.05 y Calcule el valor P.

Solucin:

211

21

:

:

ppHppH o

>

=

05.0=

En la tabla se encuentra que Z0.025=1.96

2125.02801205629

=

+

+=P

7875.01 == pq

( )( )93.0

2801

12017875.02125.0

28056

12029

=

+

=RZ

( ) 1762.093.0 =>= ZpP

Como ZR es mayor que 0.93 se rechaza H0 y por tanto se concluye que no hay evidencia para la afirmar que la nueva medicina es ms efectiva.

9. Se cree que la portada y la naturaleza de la primera pregunta de encuestas por correo influyen en la tasa de respuesta. Un artculo prob esta teora al experimentar con diferentes diseos de portadas. Una portada sencilla, y la otra utiliz la figura de un paracaidista. Los investigadores especularon que la tasa de devolucin sera menor para la portada sencilla.

Portada Nmero de envos

Nmero de devoluciones

Sencilla 207 104

Paracaidista 213 109

Esta informacin apoya la hiptesis de los investigadores? Haga la prueba con un nivel de significancia de 0.10

Solucin:

Se trata de una distribucin muestral de diferencia de proporciones.

Datos:

p1= 104/207= 0.5024

p2 = 109/213= 0.5117

n1=207 n2 = 213

Ho; P1-P2 = 0

H1; P1-P2 0

En la tabla se encuentra que Z0.05=1.645

( ) ( ) 5071.0213207109104xx

21

21=

+

+=

+

+=

nnP

( ) ( )( )( )

19.0

2131

20714928.05071.0

05117.05024.0=

+

=RZ

No se rechaza Ho.

10. Pruebe la hiptesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son: 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin del contenido es normal.

Solucin:

P: envases de un lubricante. X: contenido en litros de un envase de ese lubricante. Tamao de la muestra n = 10 envases.

Media muestral n

Xx

n

1ii

=

= 10.0610

9.8.........10.19.710.2=

++++= litros.

Desviacin estndar muestral

( )1n

XXs

n

1i

2i

=

=

( )2458.0

110544.0

11

2

=

=

=

=

n

xx

S

n

ii

Nivel de significancia = 0.01

Hiptesis nula H0: = 10 litros.

Hiptesis alternativa H1: 10 litros.

ns

Xt

=

7722.00777.0

1006.10t =

= .

Si 1n,2

1n,2 ttt

11. Una compaa armadora de automviles grandes trata de decidir si compra llantas de la marca o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento para ayudar a llegar a una decisin, en el que se usan 12 llantas de cada marca. Los resultados son:

Marca A: xA = 37,900 Kilmetros; SA = 5,100 Kilmetros.

Marca B: xB = 39,800 Kilmetros; SB = 6,900 Kilmetros

Pruebe la hiptesis de que no hay diferencia en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05. Tambin calcule el valor de P, suponiendo normalidad y varianzas diferentes.

Solucin:

Datos:

Tamao de la primer muestra n1 = 12 llantas. Tamao de la segunda muestra n2 = 12 llantas. Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km. Desviacin estndar de la segunda muestra s2 = 6900 Km. Media de la primer muestra 1x = 37900 Km. Media de la segunda muestra 2x = 39800 Km.

Hiptesis nula H0: 1 = 2. Hiptesis alternativa H1: 1 2.

Nivel de significancia = 0.05

Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.

( ) ( )

+

+

=

1nn

s1nn

s

ns

ns

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

v

( )( ) ( ) ( ) ( ) 201112690011125100

126900

125100

2222

222

=

+

+=v

En la tabla se encuentra que t0.025= 2.086 con 20 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

( ) ( )

2

22

1

12

2121

nn

XX

sst

+

=

( ) ( ) 313.012

690012

510003980037900

22=

+

=t

Como -0.313 est entre 2.2086 y 2.086, no se rechaza Ho.

( ) 0183.0086.2 =>= ZpP

12. Dos secciones de un curso de estadstica son sometidas a un mismo examen final. De las calificaciones obtenidas se extrae una muestra aleatoria de tamao 9 en la grupo "A", y otra de tamao 4 en el grupo "B".

Grupo "A": 65, 68, 72, 75, 82, 85, 87, 91, 95

Grupo "B": 50, 59, 71, 80

a. Con un nivel de significacin de 0.05 podra decirse que los dos grupos tienen las mismas calificaciones promedio? Suponga que provienen de poblaciones normales con varianzas iguales.

Solucin:

Tamao de la primer muestra n1 = 9 Tamao de la segunda muestra n2 = 4

809

95..........72686511 =

++++==

=

n

XX

n

ii

654

8071595011 =

+++==

=

n

XX

n

ii

( )50.10

11

2

1 =

=

=

n

xx

S

n

ii

( )1909.13

11

2

2 =

=

=

n

xx

S

n

ii

Desviacin estndar de la primer muestra s1= 10.50. Desviacin estndar de la segunda muestra s2 = 13.1909. Media de la primer muestra 1x = 80. Media de la segunda muestra 2x = 65.

Hiptesis nula H0: 1 = 2. Hiptesis alternativa H1: 1 2.

Nivel de significancia = 0.05

( ) ( ) ( ) ( )2

1*1*21

2221

21

+

+=

nn

nsnssp

( ) ( ) ( ) ( )249

14*1909.1319*50.10 22

+

+=ps

( ) ( ) ( ) ( )2976.11

24914*1909.1319*50.10 22

=

+

+=ps

( ) ( )21

2121

n

1n

1XX

+

=

ps

t

( ) ( ) 209.241

912976.11

06580=

+

=t

Si 2nn,22nn,2 2121

ttt++

Si rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado no se encuentra dentro de la regin crtica.

( ) 0445.0201.22 =>= ZpP

BIBLIOGRAFIA

Material de estudio Ingeniero Nstor Agudelo Daz unidades 5 y 6.

http://wiki11estadistica.wikispaces.com/estadistica+inferencial

http://www.edukanda.es/mediatecaweb/data

http://colposfesz.galeon.com/est501/suma/sumahtml/conceptos/estadistica.htm

http://www.ditutor.com/estadistica/inferencial