Acta X CAREM

ACTA DE LA

X CONFERENCIA ARGENTINA

DE EDUCACIN MATEMTICA

ACTA DE LA X CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA

Ao 2014 X CAREM organizada por la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica, del 6 al 8 de septiembre de 2012, en la Ciudad Autnoma de Buenos Aires, Repblica Argentina. Editora:

Daniela Cecilia Veiga Sociedad Argentina de Educacin Matemtica

En la portada:

Imagen diseada por Nora Lerman e imagen de la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica, http://www.soarem.org.ar/

Diseo de portada:

Nora Lerman Edicin:

2014. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. [email protected] ISBN: 978-987-28468-1-7 Derechos reservados. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. http://www.soarem.org.ar

Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente:

Sociedad Argentina de Educacin Matemtica www.soarem.org.ar

Veiga, D. (Ed.). (2014). Acta de la X Conferencia Argentina de Educacin

Matemtica, Repblica Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad

Argentina de Educacin Matemtica.

COMISIN DIRECTIVA SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA

2014

Presidente:

Cecilia Crespo Crespo Sociedad Argentina de Educacin Matemtica

Vicepresidente 1: Adriana Engler

Vicepresidente 2: Patricia Lestn

Secretaria: Daniela Veiga

Prosecretaria: Nora Ins Lerman

Tesorera: Christiane Ponteville

Protesorera: Mara Ins Ciancio

Vocales: Liliana Homilka

Mnica Micelli

Daniela Mller

Marcel Pochulu

Silvia Tajeyn

Comisin de Revisores de Cuentas Titulares

Andrea Paroni Mabel Slavin

Mariana Talamonti

Suplente Gloria Robalo

Tribunal de tica Titulares

Jos Luis Rey Mara Rosa Rodrguez

Silvia Seminara

Suplente ngela Pierina Lanza

COMIT CIENTFICO DE EVALUACIN

Arboleas Fraga, Josefina Garca Zatti, Mnica

Arceo, Cristina Gonzlez de Galindo, Susana

Barbosa, Gabriela Grande, Carlos

Basso, Ademir Holgado, Lisa

Benzal, Graciela Homilka, Liliana

Blanco, Hayde Jahn, Ana Paula

Braicovich, Teresa Jimnez Martnez, Rafael

Cadoche, Lilian Kyriakos, Petakos

Chiesa, Mara Alejandra Lerman, Nora

Ciancio, Mara Ins Lestn, Patricia

Correa Zeballos, Marta Adriana Lois, Alejandro

Crespo Crespo, Cecilia Malheiros, Ana Paula

Del Puerto, Silvia Marcilla, Marta Ins

Dias, Marlene Martnez Fonseca, Antonio

Engler, Adriana Mercau, Susana

Esper, Lidia Messina, Vicente

Flores, Rebeca Micelli, Mnica

Milevicich, Liliana Ramos, Rogelio

Minaard, Claudia Rodrguez de Estofn, Mara Rosa

Moreira, Plinio Rodrguez Montelongo, Luca

Moreno, Anbal Rodrguez, Mabel

Mller, Daniela Romn, Jorge

Nunes, Clia Maria Snchez Barrera, Julio Moiss

Oliva, Elisa Sardella, Oscar

Oliveira Groenwald, Claudia Lisete Slavin, Mabel Alicia

Orey, Daniel Tajeyan, Silvia

Oropeza, Carlos Torrente, Carmen

Otero, Rita Torres Alfonso, Aida Mara

Peralta, Silvio Vargas Ricardo, Anelys

Prez de del Negro, Mara Anglica Veiga, Daniela Cecilia

Pochulu, Marce Veliz, Margarita

Ponteville, Christiane Villalonga de Garca, Patricia

Ralph, Adlai Vrancken, Silvia

Ramrez Garca, Elsa

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica i

Presentacin La Sociedad Argentina de Educacin Matemtica (SOAREM) realiz su Dcima Conferencia Argentina de Educacin Matemtica (X CAREM) en la Ciudad de Buenos Aires en septiembre de 2012. Una vez ms, docentes e investigadores de distintos pases compartieron sus experiencias con los asistentes a esta reunin. Cada dos aos, la SOAREM, convoca a investigadores y docentes de distintos niveles interesados por dar respuestas a las problemticas que surgen en las clases, indagar novedades acadmicas y explorar nuevas propuestas ulicas a fin de actualizar y mejorar sus prcticas docentes. Cada vez son ms los pases que se suman a esta propuesta. En esta oportunidad, la X CAREM, reuni a numerosos docentes de Argentina, Brasil, Chile, Colombia, Costa Rica, Ecuador, Espaa, Mxico, Uruguay y Venezuela. La SOAREM invit a reconocidos investigadores en el rea de la Educacin Matemtica de Argentina, Espaa y Mxico quienes compartieron con nosotros sus valiosas propuestas, aportes y resultados obtenidos. En esta publicacin se presentan algunos de los artculos presentados en la X CAREM luego de ser evaluados y aceptados para su publicacin por un selecto grupo de docentes que conforman el Comit Evaluador quienes basaron su dictamen en la calidad de los trabajos presentados en comparacin con los niveles internacionales de exigencia que suelen pedirse para eventos acadmicos de este tipo. En esta ocasin, se organiza la publicacin en cuatro captulos:

El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin. Propuestas para la enseanza de la Matemtica. Uso de los recursos tecnolgicos en el aula de Matemtica. Pensamiento Matemtico Avanzado.

Queremos agradecer a los asistentes y ponentes de la X CAREM, ya que ellos hicieron posible que se lleve a cabo con xito este evento. Tambin, agradecemos el trabajo de los evaluadores, su profesionalismo y dedicacin lograron mantener el ptimo nivel acadmico caractertico de las propuestas que se exponen en estas reuniones. Agradecemos al Profesorado Sagrado Corazn por confiar, una vez ms, en nosotros y brindarnos su apoyo durante la reunin. Queremos tambin, extender nuestro agradecimiento a todas las instituciones, empresas y personas que brindaron su colaboracin a travs de recursos materiales y humanos.

Daniela Cecilia Veiga Buenos Aires, Argentina. Agosto 2014

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica ii

TABLA DE CONTENIDOS

CAPTULO I El pensamiento del profesor, sus prcticas y

elementos para su formacin

La construccin de una unidad de anlisis sociosistmica del saber matemtico. Una mirada desde la teora socioepistemolgica: el caso de la proporcionalidad y sus repercusiones en el aula 1

Daniela Reyes Gasperini, Ricardo Cantoral Uriza

Una mirada geomtrica a diseos de pueblos originarios 11 Cecilia Crespo Crespo, Mnica Micelli

De lo lineal a lo exponencial 20 Patricia Sureda

Problemticas y creencias de los profesores de matemtica que cursan un posgrado. Cmo repercuten en su discurso profesional 34 Nora Lerman, Cecilia Crespo Crespo

Las intervenciones docentes en la clase de matemtica 41 Gloria Robalo

Impacto del sistema de admisin en el rendimiento acadmico 46 Marta Correa Zeballos, Berta Chahar, Ricardo Gallo, Gregorio

Figueroa, Mirtha Moya

Formar en etnomatemticas al futuro profesorado? 57 V. Albanese, M. L. Oliveras, F. J. Perales

Tres tipos de obstculos en la enseanza - aprendizaje de las matemticas 66 Carlos E. Correa J., Gonzalo F. Morales Larretegui

Anlisis matemtico I: hbitos de estudio e inters de los estudiantes de ingeniera 74 Natalia F. Sgreccia, Mara Elena Schivo, Marta Caligaris

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica iii

Recorridos de estudio e investigacin en el nivel medio: las funciones racionales 84

Mara Paz Gazzola, Mara Rita Otero, Viviana Carolina Llanos

Formao continuada de professores dos anos iniciais do ensino fundamental: uma experincia no ensino e aprendizagem da geometria atravs do Origami 91

Jamille M. Carvalho de Magalhes, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo

O livro didtico na construo da autonomia didtica e pedaggica do egresso do curso de Licenciatura em Matemtica de Caxias/MA 98 Llia de Oliveira Cruz, Arno Bayer

O processo avaliativo de professores de matemtica do ensino mdio 106 Clia Maria Espasandin Lopes, Celi Espasandin Lopes

Sistema integrado de Ensino e Aprendizagem (SIENA) para apoio a recuperao do contedo equaes de 1 grau 113 Andrielly Viana Lemos, Carmen Teresa Kaiber

Construccin de un modelo que orienta, en el rea matemtica, el desarrollo de la metacognicin

121 Patricia Villalonga de Garca, Susana Gonzlez de Galindo, Susana

Mercau de Sancho

Los signos en matemtica 128 P. Sastre Vzquez, R.E. D`Andrea

Una reflexin sobre el proceso enseanza-aprendizaje de los fundamentos conceptuales de anlisis matemtico 135 Silvia Ester Busab de Abdelnur

Perfiles de los estudiantes ingresantes al profesorado en matemtica 145 Patricia Caro, Teresa Braicovich, Claudia Reyes

Diagnstico de habilidades matemticas en alumnos ingresantes 154 Marta Golbach, Anala Mena, Graciela Abraham, Graciela Galindo,

Mara Rosa Rodrguez, Mabel Rodrguez Anido

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica iv

Conceitos e tendncias das pesquisas sobre a formao de professores de matemtica: anlise das investigaes no gt 7 do sipem 164 Nilra Jane Filgueira Bezerra, Solange Mussato, Evandro Ghedin,

Mara Clara Silva Forsberg

OBMEP 2011: un anlise del rendimiento en geometra en alumnos de enseanza media 172 Maurcio de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes

La matemtica y su enseanza: creencias de un grupo de estudiantes de primer ao de profesorado de matemtica 180 Cristina Ochoviet, Mnica Olave, Mario Dalcn

Tratamiento del tema funcin lineal y ecuacin de la recta en los libros de texto 188 Mariana Loureiro, Ana Zamagni

Sistemas de ecuaciones: tratamiento de la solucin en libros de texto de la escuela secundaria 195 Daniela Bruno, Florencia Rivas

La propiedad distributiva. Anlisis de obstculos a partir de una ingeniera didctica 203 Daniela Veiga

Aprendizaje cooperativo y desarrollo de habilidades sociales 212 Beatriz Spagni, Lilian Cadoche

Incidencia de los sistemas de representacin en la conceptualizacin de la funcin exponencial 218 Patricia Sureda, Mara Rita Otero

Heursticas en la educacin dialgica de primer ao de una escuela secundaria de La Boca 227 Lorena Vernica Belfiori

Competencias docentes : repensar nuestras prcticas educativas para el contexto actual

236 Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli, Daro Manzoli, M. Candelaria

Prendes, Hilda Henzenn, Matas Greco

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica v

La matemtica de un artista: Tobia Rav 245 Teresa Fernndez

Diario del profesor: instrumento para analizar la prctica docente de matemtica

252 S. Gonzlez de Galindo, P. Villalonga de Garca, M. Marcilla, L.

Holgado de Mejail

El buen profesor, el buen alumno y la buena clase de matemticas: representaciones sociales que poseen estudiantes de nivel medio superior 261

Gustavo Martnez Sierra, Mara Patricia Colin Uribe

Socioepistemologa, empoderamiento docente y problematizacin del saber matemtico: el caso de la proporcionalidad 269 Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza

Matemtica educativa en el aula de formacin docente 279 Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestn

Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en estudiantes de primer ao de la universidad 285 Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Mller

CAPTULO II Propuestas para la enseanza de la matemtica

De los nmeros alos envases!!

295 Mabel Alicia Slavin

Construyendo secuencias didcticas para la enseanza de la matemtica 304 Carina Pacini, Lucia Sacco

Propuesta de mejora en el aprendizaje del concepto de lmite de una funcin real 314 Natalia F. Sgreccia, Mara Rosa Romiti, Marta Caligaris

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica vi

Maestros en funciones

323 Mariana Talamonti Baldasarre, Alfredo Ral Palacios, Sandra Luz

Martorelli, Claudia Gimnez Gonzlez

Interdisciplinariedad entre lingstica y simbolizacin algebraica. Una propuesta didctica 334 Carlos Enrique Correa Jaramillo

Primeros acercamientos a la divisin: un estudio sobre estrategias de aprendizaje 341 Marcela Bottazzini, Mario Di Blasi Regner

Poesa en la enseanza de la matemtica 348 Patricia Eva Bozzano, Alejandra Leticia Taylor, Liliana Verne

Una experiencia de formacin por competencias en el ingreso a la Facultad de Ciencias Econmicas 356 Carolina Ramos, Elsa Rodrguez Areal de Torino, Carolina Rotger

Problemas empresariales con resolucin matemtica 365 Mara Rosa Rodrguez, Aldo Mario Sota, Jess Alberto Zeballos

A experincia e a linguagem enquanto componente do processo de construo do conhecimento matemtico por pormeio de problemas matematicos na 5 srie do ensino fundamental 374

Lda Ferreira Cabral, Csar Donizetti Pereira Leite

Los primeros aprendizajes de las escrituras numricas 383 Adriana Marisa Caellas, Mara Josefa Rassetto

Matemtica y qumica una integracin posible? 393 Alejandra Deriard, Carlos Matteucci, Fiorella Maggiorotti

Una propuesta de gestin ulica en clases de modelizacin matemtica 400 Nlida Aguirre, Andrea Maero

Estrategias de evaluacin e insumos didcticos 409 Horacio Caraballo, Cecilia Zulema Gonzlez

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica vii

El accionar del docente al ensear matemtica a travs de resolucin de problemas 418 Elisa Petrone, Mariela Cirelli, Natalia Contreras, Natalia Ferrari,

Elisabet Reynoso, Natalia Sgreccia

Alfabetizacin estadstica: aportes para el aula de matemticas 428 Mara Ins Rodrguez, Mara Ins Herrera

Los grafos como modelos matemticos 436 Teresa Braicovich, Patricia Caro, Raquel Cognigni

De casi todo, un poquito ms 441 Mabel Alicia Slavin, Ana Paula Krompiewski, Matas Samartino,

Mnica Torre, Andrs Elizalde

Sequncia didtica para estudos de recuperao com o contedo de fraes 450 Alexandre Branco Monteiro, Claudia L. Oliveira Groenwald

Sequncia didtica da diviso no conjunto Dos nmeros naturais 458 Tania Elisa Seibert, Claudia L. Oliveira Groenwald, Neide Alves

Schaeffer

CAPTULO III

Uso de los recursos tecnolgicos en el aula de matemtica

Matemticas dinmicas con GeoGebra 467 Agustn Carrillo

Las redes sociales e internet, un contexto para ensear y aprender. Una aplicacin de la teora de grafos para la escuela secundaria 489 Walter Ezequiel Corzo, Matas Guerreros, Federico Alan Maciejowski

Un enfoque metodolgico a travs del aula virtual para alumnos recursantes 497 Margarita Veliz, Mara Anglica Prez, Elisa De Rosa

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica viii

Facebook como ferramenta na resoluo de questes interdisciplinares

507 Jlio Mateus de Melo Nascimento, Jamille Mineo Carvalho de Magalhes, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo, Maria Eloisa Farias, Marlise Geller

Aspectos positivos y negativos en la implementacin de un aula virtual de matemtica. Estudio de un caso en la facultad de ciencias econmicas de la Universidad Nacional de Jujuy 517

Marisa Anglica Digion, Beatriz del Carmen Autino

O desenvolvimento profissional de educadores matemticos em educao estocstica e tecnolgica 526 Celi Espasandin Lopes

Calculadora: uma ferramenta de auxlio aprendizagem 534 Ilisandro Pesente, Clarissa de Assis Olgin, Claudia Lisete Oliveira

Groenwald

Cyberformao semipresencial de professores de matemtica do ensino fundamental: um olhar para os fruns de discusso 543 Vincius Pazuch, Maurcio Rosa

Visualizacin en R2 del problema de valores propios: una propuesta didctica usando Matlab 553 Egle Elisabet Haye, Mara Elina Daz Lozano

Un blog de matemtica 562 Marta Bonacina, Alejandra Haidar, Valeria Philippe, Claudia Teti

Una propuesta de clase con GeoGebra: el dominio, rango y la transformacin de funciones construyendo animaciones

572 Ricardo Rey Monroy, Alexandra Bulla Buitrago, Sandra Rojas, William

Alfredo Jimnez

El empleo de nuevas herramientas en el aula virtual puede mejorar el rendimiento de los alumnos de clculo? 580 Luca Martn de Pero, Elsa Rodriguez Areal de Torino, Ral Mentz

Mathcad, uma possibilidade de ensino de matemtica no ensino superior 589 Eliani Retzlaff, Rosangela Ferreira Prestes, Rozelaine de Ftima

Franzin, Rita Salete Kusiak

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica ix

La experiencia del curso de ingreso virtual de matemtica a la FACE-UNT 597 Marta Ins Cirilo, Marta La Molina

El software GeoGebra como herramienta en las clases de geometra 606 Maurcio de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes

Explorao didtica do Maple no ensino do Clculo Diferencial e Integral a Vrias Variveis 612 Francisco Regis Vieira Alves

Geometra analtica con software 622 Ral David Katz, Pablo Agustn Sabatinelli

Explorando jogos online no processo de ensino e aprendizagem da matemtica 626 Bruno Grilo Honorio, Lucas Gabriel Seibert, Tania Elisa Seibert

Utilizando o JCLIC para criar atividades didticas eletrnicas de matemtica 631 Andrielly Viana Lemos, Alexandre Branco Monteiro

Aplicaciones con Graph para la clase de matemtica 640 Luis Mara Crdoba

Programacin lineal con apoyo de Mathematica y GLP 645 Enrique Vlchez Quesada

Las nuevas tecnologas como complemento al trabajo en el aula 653 Daniela Mller

CAPTULO IV Pensamiento matemtico avanzado

El teorema del Binomio de Newton en la dinamizacin de la regla de los cuatro pasos 663 Adriana Engler, Alberto Camacho

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica x

Sobre la multiplicacin de las rectas en el marco de un recorrido de estudio y de investigacin (REI) 673

Viviana Carolina Llanos, Mara Rita Otero, Mara Paz Gazzola

El discurso matemtico escolar del infinito y los conflictos 681 Patricia Lestn

Estabilidad de sistemas invariantes modelados por ecuaciones diferenciales 690 Ana Emilia Ferrazzi de Bressan, Juan Carlos Bressan

La transformada z como una discretizacin de la transformada de Laplace 700 Juan Carlos Bressan, Ana Ferrazzi de Bressan

Visualizacin de la geometra algebraica 710 M. Scardigli, A.Cicchini, A. Sara, A.Alvrez

Uma Engenharia Didtica para o ensino do Clculo: o caso da identificao de pontos extremantes da funo f(x;y) 717 Francisco Regis Vieira Alves

Dificuldades envolvendo a noo de demonstrao: um estudo de caso 726 Francisco Regis Vieira Alves

Hipertexto para aprender funciones trascendentes, una experiencia de ctedra 735 Roxana Scorzo, Adriana Favieri, Betina Williner

Conocimiento del contenido y de la enseanza de geometra tridimensional en la formacin de profesores 744 Natalia F. Sgreccia, Marta Massa

Uso del lgebra lineal en el modelado de la demanda de transporte: el caso del conglomerado Santa Fe - Santo Tom 755 Sonia Pastorelli, Eva Casco, Sandra Ramirez

Clculo de la distancia con geometra esfrica 765 Alejandra Caibano, Patricia Sastre Vzquez, Rodolfo DAndrea

Acta X Conferencia Argentina de Educacin Matemtica xi

Rehaciendo el camino hacia la comprensin de variable aleatoria 773 Luisa Andrade, Felipe Fernndez

Validacin y contraejemplo 783 R.E. D`Andrea, P. Sastre Vzquez, A. Caibano

Anlise de livros didticos de matemtica brasileiros e os registros de representao semitica na geometria analtica 790 Joseide Justin Dallemole, Claudia Lisete Oliveira Groenwald

Visualizacin grfica de hiptesis y desarrollo de pensamiento geomtrico en anlisis numrico, lgebra lineal y matemtica II 800 Elisa S.Oliva, Miguel A.Montoya, Mara I.Ciancio, Susana B. Ruiz

Procedimientos heursticos en la enseanza de la lgica 810 Beatriz del Carmen Autino, Marisa Anglica Digin, Lydia Mara

Llanos

La enseanza de la demostracin matemtica: anlisis de significados institucionales y evolucin de significados personales 818 Susana Peparelli, Nora Zn

Alocao de pontos no plano: um jogo no ensino de matrizes 827 Cristian Douglas Poeta, Joseide Justin Dallemole

Primas del comps? Otras herramientas para dibujar curvas 833 Juan Pablo Muszkats

La dialctica de entrar y salir del tema en la implementacin de un recorrido de estudio e investigacin codisciplinar a la microeconoma 840 Vernica Parra, Mara Rita Otero, Mara de los ngeles Fanaro

Un problema de minimizacin resuelto con diferentes herramientas 849 Mara Ins Ciancio, Susana Beatriz Ruiz, Elisa Silvia Oliva

CAPTULO I

El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su

formacin

El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin

1

LA CONSTRUCCIN DEUNA UNIDAD DE ANLISIS SOCIOSISTMICA

DEL SABER MATEMTICO. UNA MIRADA DESDE LA TEORA

SOCIOEPISTEMOLGICA: EL CASO DE LA PROPORCIONALIDAD Y SUS

REPERCUSIONES EN EL AULA

Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza

Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del IPN. Mxico

[email protected], [email protected]

Formacin de profesores

Palabras clave: Unidad socioepistmica. Socioepistemologa. Proporcional.

Resumen

En este taller se trabajar sobre cmo realizar la construccin de una unidad de anlisis

socioepistmica relativa al saber matemtico de la proporcionalidad. Esto permitir percibir

un ejemplo de cmo abordar la problematizacin del saber desde el enfoque

socioepistemolgico, mediante el anlisis de la nocin de la proporcionalidad.

La Socioepistemologa, como enfoque terico, se cuestiona en primer trmino el qu se

ensea replantendose para ello un anlisis a profundidad del discurso Matemtico Escolar

(dME). ste, grosso modo, se entiende como las ideologas que validan la introduccin de

un saber matemtico a la enseanza, volvindolo incuestionable, inamovible, hegemnico.

Los participantes transitarn por diversas actividades: reflexionan sobre cmo vive el saber

de lo proporcional en la educacin secundaria (11-17 aos), reconocen la epistemologa del

saber que privilegia la construccin social del conocimiento mediante las prcticas sociales

que lo norman, trabajan con problemas matemticos y extra matemticos, organizados en

situaciones de aprendizaje que tratan la proporcionalidad y a partir de ellos construyen la

unidad de anlisis socioepistmica, de estructura sistmica, de los modelos del pensamiento

proporcional. Para finalizar, analizan el modelo dinmico conceptual del desarrollo del

conocimiento matemtico basado en los principios de la Teora Socioepistemolgicay

desarrollado en (Reyes-Gasperini, 2011).

As, evidenciaremos un aprendizaje que privilegie la validacin de distintas

argumentaciones, permita la emergencia de diversas racionalidades contextualizadas, que

posea un carcter funcional del saber, favorezca una resignificacin progresiva

considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prcticas

sociales como las generadoras de dicho conocimiento, como contrapartida a un dME

centrado en objetos matemticos carente, habitualmente, de sentido para estudiantes y

profesores.

Planteamiento de la problemtica Habitualmente, cuando nos referimos al conocimiento matemtico de proporcionalidad, en

especial al de proporcionalidad directa, recurrimos a ideas cotidianas coloquiales utilizando

expresiones del tipo a ms-ms a menos-menos, trayendo a nuestra mente el

ejemplo claro y sencillo de que si aumenta la cantidad de kilos de manzanas que se compre,

aumentar la cantidad de dinero que habr de pagarse. El empleo del lenguaje coloquial

permite la fluidez de un pensamiento matemtico situado, que posteriormente deber

resignificarse y, por ejemplo, reflejarse de manera escrita a un nivel de objeto simblico.


2

Hasta este momento, nos encontramos en un pensamiento proporcional cualitativo. Piaget e

Inhelder (1977) enuncian al respecto que la nocin de proporcin se inicia siempre de una

forma cualitativa y lgica, antes de estructurarse cuantitativamente (Piaget e Inhelder,

1977, p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simblico es donde los estudiantes

comienzan a cuantificar y enfrentarse a la construccin de lo matemtico, pudiendo

considerarse un medio para construir un significado de lo proporcional (Reyes Gasperini

y Cantoral, 2011).

Asociadas a este conocimiento matemtico, hay definiciones, mtodos, ejemplos, entre

otras cuestiones, que conforman al objeto matemtico: definida como relacin funcional,

razn proporcional, grfica que pasa por el eje de las coordenadas, tabla de valores, o como

aquella que responde al mtodo de la regla de tres simple, aquella que responde a a ms,

ms; a menos, menos, etc. (ver figura 1).

Figura 1: La proporcionalidad directa como objeto matemtico

Si bien el pensamiento cualitativo que refiere a a ms, ms a menos, menos es

vlido en ciertas situaciones, debemos proponer distintos contextos que permitan al

individuo o grupo resignificar este saber con el fin de enriquecerlo, ya que, esta

significacin se limita a las proporcionalidades cuya constante de proporcionalidad es

positiva ( = , +), y propicia que si se le pregunta a un individuo si la funcin = es de proporcionalidad directa, responda que no ya que su grfica muestra que cuando x crece y decrece, es decir, es de proporcionalidad inversa, siendo esto, falso (ver

figura 2).

Figura 2: Representacin grfica de la funcin =


3

Un taller realizado en el 1er. Congreso Internacional Las Matemticas en la Educacin

Bsica y Formacin Docenteen Toluca, Estado de Mxico, Mxico, respecto a la

problematizacin del saber de la proporcionalidad nos brind algunos datos que nos sirven

de informacin de partida para el diseo del presente taller. Las actividades que aqu se

exhiben son algunas de las que se abordarn en la propuesta del taller (ver figura 3). stas

pretenden detectar "qu miran los docentes cuando mirar lo proporcional".

Figura 3: Actividades sobre problematizacin del saber matemtico escolar.

Si bien trabajaron 27 participantes en este taller, slo 20 entregaron sus contribuciones y

sern estos los que consideraremos para plantear nuestra idea. Del total, 9 (45%) dijeron

que era una funcin de proporcionalidad inversa, de los cuales 6 (30%) justificaron

diciendo que "si aumenta x entonces y disminuye". Slo 2 (10%) contestaron que era de

proporcionalidad directa. El resto entra en una categora por nosotros llamado "otras

respuestas". Ninguna respuesta alude a la relacin entre las variables.

De 16 participantes que entregaron sus producciones, 13 (81%) responden que es de

proporcionalidad directa. El 43% justifica diciendo que "al aumentar x, aumenta y", el 25%

busca su expresin algebraica y slo 2 contestan que se debe a un aumento constante. El

resto entra en una categora por nosotros llamado "otras respuestas". Igual que en el caso

anterior, ninguna respuesta alude a la relacin entre las variables.

Como puede observarse, en el primer caso se refleja una supremaca de un pensamiento

cualitativo segn se refiere en (Inhelder y Piaget,1972) "a ms, ms - a menos, menos" en

los participantes, lo cual, postulamos, los inhibe de poder interpretar a esa funcin como de

proporcionalidad directa. Asimismo, en el segundo caso, la mayora de sus

argumentaciones radican en este mismo pensamiento cualitativo, soslayando la nocin de la

naturaleza del pensamiento proporcional, la cual radica en la relacin que mantienen dos

magnitudes cuya peculiaridad es que su razn se mantiene constante, pensamiento ms

complejo que el anterior (Carretero, 1989; Godino y Batanero, 2002; Vergnaud, 1990).


4

De aqu nos surgen diversas preguntas: qu se trabaja cuando se trabaja el saber de la

proporcionalidad en la escuela? Cules son las dificultades didcticas -en su formacin- o

bien, epistemolgicas, que provocan que los docentes tengan este tipo de respuestas? Qu

es lo que a los estudiantes les queda de lo proporcional? Cmo se podra rescatar la

naturaleza del conocimiento en situaciones de aprendizaje? Con base en estas preguntas es

que se ha diseado el presente taller.

Desarrollo del taller

En este taller, a travs de distintas actividades que se le propondrn a los participantes, se

trabajar sobre la construccin de una unidad de anlisis sistmica del saber matemtico de

la proporcionalidad desde la Teora Socioepistemolgica (Cantoral, 2003). Esto permitir

percibir un ejemplo de cmo se aborda la problematizacin del saber desde este enfoque,

mediante el anlisis de una nocin de gran importancia: la proporcionalidad. Esta nocin es

una temtica transversal en la educacin secundaria, incluso para discutir y construir lo que

no es proporcional.

La Socioepistemologa se cuestiona el qu se ensea en las clases de matemticas poniendo

en tela de juicio el discurso Matemtico Escolar (dME) entendiendo a ste, grosso modo,

como las ideologas que validan la introduccin de un saber matemtico a la enseanza.

Los participantes del taller transitarn por diversas actividades, comienzan por la reflexin

de cmo vive el saber de lo proporcional en el transcurso de la educacin secundaria, luego

reconocen la epistemologa de este saber donde se privilegia la construccin social del

conocimiento a travs de las prcticas sociales que lo norman, a continuacin trabajan con

problemas matemticos y extra matemticos, organizados en situaciones de aprendizaje que

tratan la proporcionalidad y a partir de ellos construirn la unidad de anlisis sistmica de

los modelos del pensamiento proporcional. Este modelo nos permitir evidenciar la

limitacin sobre el conocimiento matemtico de lo proporcional que existe dentro de la

educacin secundaria, como as tambin la exclusin provocada por el propio dME el cual

posee un carcter utilitario y hegemnico, carece de marcos de referencia para la

resignificacin, est compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una

atomizacin en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de una visin de la

construccin social del conocimiento matemtico, por tanto, excluyente de ella.

Para finalizar, analizaremos el modelo dinmico conceptual del desarrollo del conocimiento

matemtico basado en los principios de la Teora Socioepistemolgica (Cantoral, 2011;

Reyes-Gasperini, 2011) con el fin de que en conjunto se proponga uno de los tantos

ejemplos de cmo podra resignificarse la proporcionalidad (ver figura 4). Decimos uno de

los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cadaindividuo o grupo disear su propio

modelo respecto a la vida de cada quien.


5

Figura 4: Modelo dinmico conceptual del desarrollo del conocimiento matemtico basado en los principios de la Teora

Socioepistemolgica (Cantoral, 2011; Reyes-Gasperini, 2011)

Todo este anlisis tiene como propsito principal evidenciar cmo puede entenderse un

aprendizaje que privilegie la validacin de las distintas argumentaciones, que permita la

emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, que posea un carcter funcional

del saber, que favorezca una resignificacin progresiva considerando varios marcos de

referencia, sobre la base de considerar a las prcticas sociales como las generadoras de

dicho conocimiento, como contrapartida a un dME centrado en objetos matemticos que

carecen, muchas veces, de sentido para estudiantes y profesores.

Unidad de anlisis sistmica de la proporcionalidad

A continuacin realizaremos un anlisis sistmico de la nocin de proporcionalidad

considerando su dimensin epistemolgica, cognitiva, didctica y social con el fin de

construir una unidad de anlisis consistente.

Dimensin epistemolgica

La relacin existente entre magnitudes, es el origen de la proporcionalidad, es decir, cuando

dos magnitudes eran inconmensurables y no poda encontrarse la unidad de medida, se

procedi a relacionar las magnitudes, de ah nace este conocimiento matemtico de las

proporciones, de una necesidad de comparar dos magnitudes inconmensurables.

Si bien fue Eudoxo de Cnidos (390 A. N. E. 337 A. N. E.), filsofo, astrnomo,

matemtico y mdico griego, discpulo de Platn, quien comenz a trabajar con la teora de

proporciones, se reconoce que fue Euclides quien reuni los aportes hechos por l en Los

Elementos. En el Libro V, de sus XIII Libros, esta obra cientfica enuncia las siguientes

definiciones:

1. Se dice que una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide. 2. Se dice que una magnitud es mltiple de otra menor cuando es medida por ella. 3. Razn es una relacin cualquiera entre dos magnitudes homogneas respecto de su

cantidad.

4. Se dice que dos magnitudes tienen razn cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.


6

5. Se dice que la razn de una primera magnitud con una segunda es la misma que la de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier mltiplo de la primera y

de la tercera y de la segunda y cuarta, el mltiplo de la primera es mayor, igual o

menor que el de la segunda, segn que el de la tercera sea mayor, igual o menor que

el de la cuarta.

6. Las magnitudes que tienen la misma razn se llaman proporcionales. 7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el mltiplo de la primera supera al de

la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta, se dice que la razn de la

primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta.

As contina con las definiciones sobre las proporciones durante este Libro y en el

siguiente, comienza a trabajar las proporciones geomtricas, sin embargo, las enunciadas

hasta aqu nos servirn para abordar lo que deseamos.

Si en la definicin 6, Euclides define que las magnitudes proporcionales son aquellas que

tienen la misma razn y concibe a la razn, en su definicin 3, como una relacin

cualquiera entre dos magnitudes homogneas respecto de su cantidad, interpretamos que

este tipo de definiciones se encierran, hasta este momento, en un modelo cualitativo, ya que

no define qu tipo de relacin se mantiene, sino que es respecto a su cantidad y refiere a

magnitudes homogneas.

Con esto, puede observarse en particular que la esencia de la proporcionalidad radica en la

relacin entre magnitudes. Martnez y Gonzlez (2008) realizan un estudio en el cual

concluyenenunciando que la relacin guarda la misma razn pretende resaltar el hecho

que a pesar de que cambien los tamaos de las magnitudes, la relacin que se establece

entre ellas se conserva, es decir, la razn se mantiene invariante: constante de

proporcionalidad.

Dimensin cognitiva

Comprender cmo opera el pensamiento cognitivo humano en general, nos llev a

cuestionarnos cmo ocurre en los nios. Por tanto, Inhelder y Piaget (1972) sern un gran

referente en este caso. Ellos realizan un estudio experimental con nios para comprender

cmo se desarrolla el pensamiento de lo proporcional, utilizando, entre otros ejemplos, una

situacin respecto al equilibrio de la balanza. El objetivo fue estudiar cmo se elabora el

esquema de proporcionalidad en relacin con el problema del equilibrio. Sus conclusiones

en cuanto al esquema de las proporciones enuncian:

Conviene recordar en primer lugar que en todos los dominios y no slo en el caso

de nuestras actuales experiencias, la comprensin de las proporciones no aparece

antes del nivel III A. Se observa a menudo en los sujetos del subestadio II B la

bsqueda de una misma relacin en el interior de dos relaciones que se

comparan entre s, pero se concibe que la naturaleza de la relacin es aditiva:

en vez de la proporcin P/P= L/L, se tiene entonces una igualdad de diferencias

P P = L L. La formacin de la idea de proporcionalidad supone pues que en

primer lugar, se sustituyan las simples relaciones de diferencia por la nocin

de la igualdad de productos PL = PL. Sin embargo importa adems sealar


7

que este pasaje de la diferencia al producto pocas veces se realiza de entrada bajo

una formacin mtrica: por lo general la cuantificacin numrica de la proporcin

se halla precedida por un esquema cualitativo fundado en la nocin de producto

lgico, vale decir, por la idea de que dos factores que actan juntos equivalen a

la accin de otros dos factores reunidos. (Inhelder y Piaget, 1972, p. 152, las

negritas son nuestras)

Posteriormente, Piaget e Inhelder (1977) sintetizan lo anterior focalizando la atencin en

que para construir el esquema de proporcionalidad cualitativa es necesario que el nio, o

sujeto, reconozca un elemento de compensacin, es decir, que comprenda que un

incremento en una variable independiente da el mismo resultado que un decremento en la

variable dependiente.

Asimismo, se puede identificar, que la primera aproximacin para poder lograr un

equilibrio, lo cual nosotros podemos interpretar como hallar una proporcin, radica en un

pensamiento aditivo. Godino y Batanero (2002) enuncian respecto a dicho modelo que si

bien estas estrategias son tiles para enfrentar con xito ciertos problemas ms sencillos, no

son vlidos en el caso general. Asimismo, hacen explcitoque los estudiantes basan su

razonamiento intuitivo sobre las razones y proporciones en tcnicas aditivas y de recuento

en lugar de razonar en trminos multiplicativos, lo que indica una diferencia importante

(Godino y Batanero, 2002, p. 439).

Posteriormente, se le da lugar al modelo multiplicativo. Carretero (1989) trabaj con los

diferentes tipos de estructuras multiplicativas en torno a la adquisicin de la nocin de la

proporcionalidad. Su objetivo principal es explorar dos tipos de estructuras

multiplicativas en situaciones problemas que implican una o varias operaciones de

multiplicacin y/o divisin (Carretero, 1989, p. 86), entendiendo por estructuras

multiplicativas al campo o espacio conceptual en donde intervienen relaciones,

representaciones y operaciones diferentes, pero en estrecha relacin.

Segn el autor, en estos esquemas se vislumbran dos tipos de razonamiento o derelaciones

matemticas, a saber:

Estructura 1: la utilizacin de un operador escalar que permite trasladar en M2 eloperador

que relaciona 1 con b en M1, dndole lugar a la divisin como operadorinverso. La relacin

se denomina escalar, ya que aqu est dada entre magnitudeshomogneas, es decir, de un

mismo espacio de medida.

Estructura 2: la utilizacin de un operador funcin para la multiplicacin o

divisin,transfiere en la lnea inferior, el operador que une 1 con la magnitud a en la lnea

superior. La relacin se denomina funcional ya que se establece una relacin entredos

magnitudes heterogneas.


8

Figura 5: Estructuras multiplicativas

Por tanto, nos encontramos con un modelo aditivo, que precede al modelo multiplicativo

escalar, el cual, es menos complejo que el modelo multiplicativo funcional.

De estos ltimos dos modelos, Lamon (1994, citado en Martnez t Gonzlez, 2008) realiza

tambin una distincin como estrategias de los estudiantes para hallar el valor faltante de

una proporcin. El los denomina modelo inter (correspondiente al modelo multiplicativo

escalar) y modelo intra (correspondiente al modelo multiplicativo funcional).

Vergnaud (1990) trabaja sobre la teora de los campos conceptuales, considerndolos como

un conjunto de situaciones la cual se pueda analizar como una combinacin de tareas de

las que es importante conocer su naturaleza y la dificultad propia (Vergnaud, 1990, p.140).

Respecto a la proporcionalidad, compara los campos conceptuales de las estructuras

aditivas (aquellas que precisan una adicin, sustraccin o combinacin de ellas) y las

estructuras multiplicativas (aquellas que requieren una multiplicacin, divisin o

combinacin de ellas). Esto le permite generar una clasificacin y anlisis de las tareas

cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de

ellas. Concluye afirmando que no es superfluo, por el contrario, resaltar que el anlisis de

las estructuras multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas.

(Vergnaud, 1990, p. 144).

Dado este estudio, construimos una unidad de anlisis sistmica que sintetiza los modelos

de pensamiento proporcional en el siguiente esquema:

Figura 6: Modelos del pensamiento proporcional


9

Dimensin didctica

Hasta ahora, a un nivel didctico, se siguen privilegiando los mtodos de reduccin a la

unidad, o bien, la regla de tres simple como ejes principales del pensamiento proporcional,

lo que hemos visto no ha sido en ningn momento la naturaleza de este saber matemtico,

ni siquiera, cuando se estudian sus pensamientos. Esto, es un ejemplo de la exclusin de la

construccin social del conocimiento provocado por el dME. A modo de ejemplo, se

muestra el tratamiento segn un libro que pudiera utilizarse en clase, ya que posee muchos

ejercicios para resolver. En el taller se trabajarn con ms libros para analizar.

Figura 7. Libro de secundaria Logikamente (Pisano, 2011, p. 2)

Dimensin social

Bajo nuestra mirada socioepistemolgica, al concebir que los conocimientos se dotan de

significados a travs de su uso y su funcionalidad, por ejemplo, la nocin de

proporcionalidad se resignificar en cuanto el individuo pueda reconocer a la

proporcionalidad como la relacin que existe entre magnitudes tanto homogneas como

heterogneas cuya peculiaridad es que su razn se mantiene constante.

Para ello, consideramos necesario recurrir a los orgenes de la construccin de este

conocimiento emergente de la sociedad misma, como as tambin, a los distintos marcos de

referencia en los cuales puede encontrarse (leyes fsicas, relaciones entre magnitudes de las

reas de las figuras geomtricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras)

para generar situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos

y pensamientos proporcionales que en este saber matemtico subyacen.

Como hemos mencionado anteriormente, lo esencial para que este tipo de trabajo con los

estudiantes se lleve a cabo, es que se logre la problematizacin del saber puesto en juego en

las interacciones de aula. Esta problematizacin radica en hacer del saber matemtico un

problema localizando y analizando su uso y su razn de ser (Montiel, 2011, p. 128).

Es aqu en donde nosotros proponemos retomar el modelo conceptual del desarrollo del

conocimiento matemtico, basado en los principios de la Teora Socioepistemolgica, para

dar uno de los muchos ejemplos de cmo podra resignificarse la proporcionalidad.


10

Decimos uno de los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cada individuo o grupo

disear su propio modelo respecto a la vida de cada quien.

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11

UNA MIRADA GEOMTRICA A DISEOS DE PUEBLOS ORIGINARIOS

Mnica Lorena Micelli, Cecilia Rita Crespo Crespo

Instituto Superior del Profesorado Dr. Joaqun V. Gonzlez. Buenos Aires. Argentina

Centro de Investigaciones en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada.

CICATA IPN. Mxico

[email protected], [email protected]

Niveles Medio y Superior

Palabras clave: Pueblos originarios. Diseos artsticos. Geometra.

Resumen

Este trabajo que se presenta en la modalidad de taller tiene como objetivo estudiar distintas

producciones socioculturales de grupos originarios de Amrica desde una mirada

geomtrica. Producciones de alfarera, cestera, tejidos o pinturas rupestres donde no solo

se puede identificar formas geomtricas sino tambin transformaciones como son simetras,

traslaciones y homotecias. Dibujos que a su vez contienen muchos simbolismos para cada

cultura. Es a partir de concebir a la matemtica como una construccin sociocultural que se

puede percibir la geometra presente en estas producciones. El objetivo es hacer un

recorrido interiorizndonos en las distintas culturas, sus actividades y producciones, para

luego, sobre la base de ellas realizar actividades para trabajar diferentes conceptos

geomtricos. Con la intencin de reflexionar cmo estos conocimientos que surgen en

escenarios no acadmicos pueden llevarse al aula de matemtica con una integracin con la

historia propia de nuestro continente, valorizando sus conocimientos y legado.

Introduccin

En el presente trabajo se recorrer distintas culturas pertenecientes a los pueblos

originarios, centrndose, el mismo, en la actividad del diseo. Entendiendo por pueblos

originarios a los primigenios habitantes de las culturas indgenas que radican en Amrica

desde antes de la llegada de los colonizadores europeos (Mac Lenman y Tappari, 2009,

p.15). Siendo esta terminologa la preferida por lo integrantes de estos pueblos segn el

Instituto Nacional de Asuntos Indgenas (INAI).

Esta accin de disear que cada cultura impregn con sus costumbres, ideas y creencias,

hacindola propia, tindola con su ideologa, cosmologa o posicin social es la que se

puede ver en sus utensilios, vasijas, tejidos, en resumen en todas sus pertenencias. As

tambin, estos diseos se van a ver influenciados por la tecnologa que cada pueblo

desarroll.

Para iniciar consideramos que es de importancia delimitar qu se entiende cuando se habla

de diseo. Para responder a ello se tomarn las palabras de Belloli quien plantea que el

diseo es lo concerniente con la abstraccin, con el concepto de figura, con la forma

esttica, con las propiedades de las formas, con la simetra, las proporciones (2008, p.31).

La actividad de disear no solo se aplica a adornos, objetos, tejidos sino tambin a

viviendas, los campos y las ciudades con sus construcciones, en algunas de las cuales han

dejado un legado imponente protegido por la vegetacin. En este disear, se considera


12

como las actividades ms destacadas: a la pintura, el grabado, el tejido y la cestera. Cada

una de estas actividades se van a ver impregnadas por la cultura de cada lugar, hacindolas

propias y pudiendo distinguirse una de otras, teniendo sus propios detalles, dejando sus

huellas en la historia.

En este trabajo se ir desarrollando cada uno de ellos tomando algunos ejemplos de

distintos pueblos. La idea del taller es partir de este aspecto terico para desarrollar y

disear actividades para poder llevar estos conocimientos a las aulas de matemtica.

Marco terico

En este trabajo se comparte la idea de arte dada por Troncoso quien plantea que el arte

como un producto social histricamente contingente definible como un sistema semitico

basado en un criterio esttico particular y especfico de una determinada formacin

sociocultural o grupo social (2005, p.22).

El arte comparte con la matemtica esta caracterstica de ser un producto sociocultural

segn lo entendemos y de ah partimos para realizar el presente taller. Se entiende a la

matemtica entonces como una construccin sociocultural, producto del quehacer humano.

Producto que se desenvuelve en dos tipos distintos de escenarios: los acadmicos y los no

acadmicos. Los ejemplos tomados de distintas culturas y analizados desde la geometra

provienen de escenarios no acadmicos pero que a partir de actividades se considera que

pueden ser llevados al aula con una finalidad didctica para trabajar conceptos matemticos.

Es as como la Socioepistemologa siendo una aproximacin terica de naturaleza sistmica

nos permite tratar los fenmenos de produccin cultural. En este caso en particular la

difusin del conocimiento est dada por distintas expresiones de arte que se puede analizar

desde una visin matemtica, con conceptos geomtricos especficos. La alfarera (), la

cestera y los tejidos muestran en sus dibujos ejemplos de congruencia y simetra que son

en esencia parte de la geometra elemental. El desarrollo de la geometra puede haberse

visto estimulado tanto por las necesidades prcticas de la construccin y de la agrimensura,

como por un sentimiento esttico de diseo y orden (Belloli, 2008, p.31).

Es as como la matemtica emerge y se confirma dentro de usos y actividades culturales

propias y caractersticas de grupos sociales concretos, que marcan al mismo tiempo

posibilidades y restricciones para los distintos mundos culturales matemticos. Las

personas constituyen sentidos matemticos por medio de la autorregulacin dentro de

sistemas de prcticas culturales que influyen tanto en las metas de las actividades

matemticas como en los procedimientos y mecanismos utilizados para lograr estas metas,

en otras palabras puede utilizara para una actividad pero no para otra (Bishop, citado en

Belloli, 2008, pp.8-9). A continuacin se irn analizando y ejemplificando algunas de estas

actividades tpicas de los pueblos originarios de Amrica.

Arte rupestre

Se conoce, bajo el trmino de arte rupestre, a todas aquellas imgenes que han sido

realizadas sobre un soporte rocoso, las tcnicas pueden ser variadas: grabados o pinturas.

Estas expresiones se pueden encontrar en cuevas pero tambin en rocas sueltas al aire libre,


13

siendo estas las expresiones escritas ms antiguas que se conocen. Muchas veces este arte

se lo relaciona con rituales, siendo las cuevas donde se encuentran lugares preparados para

cereminias. En general, estas pinturas y grabados se pueden encontrar a lo largo de todo el

territorio amricano.

Sus representaciones pueden clasificarse en figuras antropomorfas, figuras zoomorfas, pero

hay otras que pueden relacionarse con conceptos geomtricos. Estas dos primeras

categorias de figuras representan escenas de su vida diaria, como puede ser la caza. Otra

representacin que se encuentra tanto en cuevas amricanas como europeas es la impresin

de manos, pero en este artculo se har foco en las representaciones de orden geomtricos

para desarrollar diversas actividades en el taller. En la Argentina podemos encontrarla en la

Cueva de las manos, que se encuentra en la provincia de Santa Cruz, las pinturas que all

se encuentran fueron realizadas por los tehuelches y sus antecesores abarcando un periodo

histrico de 7.400 a.C. al 1.000 de nuestra era. No solo puede observarse la impresin de

manos realizadas en negativo sino que tambin aparecen animales que podran tratarse de

guanacos, pero entre estas respresentaciones tambin puede encontrarse figuras

geomtricas, como zigzag y crculos concentricos (figura 1).

Cmo se relaciona este arte tan antiguo con la geometra? Las palabras de Gradin pueden

ayudar a acercarse a una respuesta, al respecto plantea que un arte rupetre geomtrico,

denominado de grecas, () no puede desvincularse de las costumbres y,

consecuentemente, del mundo anmicode los antiguos cazadores del extremo meridional de

Amrica (citado en Belloli, 2008, p.34). Entre las figuras que se han detallo pueden

encontrarse lneas, zigzag, crculos, pero tambin figuras cuadrangulares y trangulos, a

continuacin se analizarn cada una de ellas, pudiendo ser tanto pinturas como grabados

encontrados a lo largo del territorio americano. Se puede afirmar que son producciones

culturales, producciones materiales que transmiten las ideas y hechos del momento aunque

no podamos decodificarlos fehacientemente su significado, sino solo plantear hiptesis al

respecto, pero si se puede percibir patrones que se van repitiendo en distintas pinturas.

Figura 1: Cuevas de las manos (Argentina)

Las figuras geomtricas que se han encontrado en Amrica pueden enumerarse como:

circunferencias concntricas simples o complejos, circunferencias divididas en 4 partes a

partir del trazado de dos dimetros perpendiculares. Tambin pueden encontrarse figuras

con lados rectos: cuadrados concntricos, cuadrados con sus diagonales trazadas,

rectngulos y rombos. En el caso de lneas no cerradas como en los ejemplos mencionados,

pueden hallarse lneas en zigzag, paralelas con orientaciones verticales y horizontales


14

primordialmente, cruces (con un ngulo perpendicular), espirales y laberintos. Tambin

puede encontrarse puntos agrupados o alineados (Belloli, 2008).

Motivos

circulares

complejos, Cuba

(Martnez y Botiva, 2004,

p.17)

Espirales

(Trejos, 2003)

Lnaes rectas, Colomiba

(Martnez y Botiva,

2004, p.46)

Figuras cuadrangulares, Chile

(Troncoso, 2005, p.27)

Cuadro 1: Diseos rupestres

Con respecto a las espirales, Martnez y Botiva plantean al respecto que la espiral es un

smbolo universal al que se le atribuyen gran diversidad de significados: representacin de

la vida, del movimiento cclico de la energa, de la rotacin de las aguas y los vientos, del

pensamiento, etc. (2004, p.48). Otra asociacin, al respecto, es con una serpiente, animal

considerado un dios para varias culturas americanas. Con una mirada matemtica, la espiral

puede relacionarse con el infinito porque esa sucesin de lneas curvas puede continuarse

infinitamente donde el radio va creciendo si iniciamos desde el punto central.

En algunas de estas figuras geomtricas puede verse homotecias (en las figuras

concntricas) y eje de simetra (tanto en figuras geomtricas como en figuras antropomorfas

o zoomorfas).

Cermicas

Bajo el nombre de objetos de cermica se encuentran distintos elementos hechos a partir de

la alfarera. Instrumentos de arcilla que no solo tenan un uso domestico sino en algunas

culturas relacionados a rituales. Si analizamos estos objetos con una mirada matemtica,

puede hacerse el estudio en dos niveles: con respecto al espacio, a las dimensiones de

dichos objetos, y en otro nivel, con respecto a su superficie y los diseos que estos

presentan.

Con respecto al espacio: estos cuerpos, en su mayor parte, responden a cuerpos de

revolucin aunque puede encontrarse cuerpos con caractersticas zoomorfas como por

ejemplo presentando cabezas de animales o patas. Puede encontrarse distintos recipientes

(keros, huacos, arbalos, vasos ceremoniales, platos, vasijas) los cuales pueden asociarse

con cuerpos de revolucin, ms especficamente: conos truncados, cilindros o semiesferas

(Huapaya y Salas, 2008).

.


15

Tringulos y escalones Espiral Tringulos, rectas

equidistantes

Cuadricula

Cuadro 2: Objetos de arcilla

Los diseos encontrados en vasos, vasijas y platos presentan, al igual que las pinturas

rupestres, diseos que pueden categorizarse en antropomorfas, zoomorfas y geomtricas.

En esta ltima categora prevalecen lneas rectas sobre las cuales se plantea la hiptesis de

que stos derivan de los diseos textiles (punto que se desarrollar ms adelante en este

trabajo).

Puede verse en estos motivos geomtricos: puntos, lneas rectas, lneas en zigzag,

poligonales (tringulos, cuadrados y rombos), lneas curvas (espirales), circunferencias. Y

sobre estas figuras existe una tendencia a generar guardas donde predominan las

traslaciones y simetras.

Muchos de estos diseos, tienen un gran valor simblico para estas culturas asociados a sus

creencias religiosas y sobre el mundo que los rodeaba y que intentaban dar explicaciones.

Por ejemplo, estos diseos geomtricos para los araucanos estarn referidos a su mundo:

el tringulo sin base ser wili waka, la pezua de vaca; el tringulo completo se convertir

en estribo sitipu; el rombo pequeo ser ge waka, ojo de vaca; el cuadriltero mayor kiiciw

choyke, parte posterior del avestruz; la espiral ser simple gancho, chokiv (Beniger, citado

en Belloli, 2008, p.40).

Existen diseos que tienen que ver con conocimiento astronmico y con las ideas que

tienen determinados pueblos sobre la creacin. Es as como la cruz tendr un significado

importante, previo a la llegada de los espaoles. Representa los movimientos celestes. El

sol, en su marcha diurna, describe la direccin este-oeste. Pero adems, en su recorrido

anual entre los solsticios, el sol describe la direccin norte-sur (Tomasini, 2005, p. 89).

Tambin aparecen diseos con una presencia de escalones, donde predomina la

perpendicularidad, como as tambin el cuadrado es importante para la cultura maya. Entre

las lneas curvas aparecen (en platos, pucos y muyunas) circunferencias divididas en

potencias de 2, adems en 3 y 5. Como en las pinturas rupestres tambin aparecen

circunferencias concntricas y espirales smbolo de lo cclico como la vida segn estas

culturas.

Tejidos

Se entiende por textil o tejido a toda elaboracin producida en forma manual y no seriada,

realizada exclusivamente en telar (Chertudi y Nardi, 1961, citado en Finkelstein, 2008,

p.1). Este oficio es realizado exclusivamente por las mujeres de los diferentes grupos


16

aborgenes, la tcnica del tejido se ensea de generacin a generacin dentro de cada

ncleo familiar. El uso de los telares (con sus variantes segn el pueblo) es previo a la

llegada de los espaoles a Amrica, como pueden dar evidencia cdices mayas y aztecas, y

las crnicas de los primeros espaoles. Los diseos plasmados en las telas (tejidos,

bordados o estampados) muchas veces permiten identificar la pertenencia a un determinado

grupo social, a una regin geogrfica.

Pero muchos de estos smbolos expresados en los textiles conforman parte de la memoria

colectiva de cada cultura aborigen. Entre estos smbolos los ms importantes son los

relacionados con la serpiente uno de los elementos religiosos de mayor difusin. Tanto,

para Mayas como para el pueblo Azteca, la Serpiente Emplumada era una de sus deidades

ms adorada, conocida por estos ltimos como Quetzalcatl, mientras que para los Mayas

se la conoca bajo el nombre de Kukulcan, que era el dios de los cielos. Puede

comprenderse as, ms en profundidad, el significado que poseen estas guardas en zigzag,

como se va entretejiendo su cosmologa entre los hilos tensados (Micelli y Crespo Crespo,

2011, p.10).

En general, puede observarse en los diseos textiles, algunos conceptos geomtricos como

paralelismo, perpendicularidad, simetras, traslaciones, rotaciones, semejanza y

proporcionalidad (Huapaya y Salas, 2008). Puede percibirse en distintos diseos la

presencia de diferentes guardas. La construccin de estas guardas implica una secuencia

ordenada de trazado del hilo por encima o debajo de los hilos tensados en el telar

(urdimbre). Esta secuencia que se repite una y otra vez, da como resultado una traslacin

geomtrica que puede observarse en la prenda acabada (Micelli y Crespo Crespo, 2011,

p.11). Entre las figuras geomtricas que pueden encontrarse se hallan, adems de las

poligonales abiertas que forman este zigzag o cerradas (rombos, paralelogramos,

cuadrados, entre otros).

Tejidos mayas

Zigzag Rombos Rombos Paralelogramos Estrella

Cuadro 3: Diseos textiles mayas

En el territorio argentino, los Mapuches tambin tuvieron sus propios diseos cada uno con

un significado (cuadro 4), por lo tanto puede decirse que tus tejidos estaban cubiertos de

simbolismo. Puede observarse en estos diseos la presencia de figuras simtricas, como as

tambin figuras concntricas, que daran la idea de infinito, pues una est contenida en otra

y as sucesivamente. Estos diseos geomtricos (tantos de mayas, incas como tambin

mapuches) se encuentran impregnados de ideas sobre el mundo y sus habitantes como as

tambin sus creencias religiosas.


17

CRUZ

Smbolo llamado Cruz Andina que en

las culturas andinas es el ms comn y

que significa la eternidad de dichas

culturas. Generalmente, es un smbolo

usado por el lonko o jefe de una

comunidad indgena.

WENUMAPU

Smbolo del cosmos y el

cielo. Tambin

representa aspectos de la

vida no terrena.

Cuadro 4: Diseos textiles mapuches

Cestera

Por ltimo, otra actividad que desarrollaron algunos de estos pueblos es la cestera.

Entendiendo por cestera a la tcnica que consiste en tejidos hechos con la fibra vegetales o

de pajas. Mediante estos tejidos se confeccionan distintos objetos que pueden ir desde

canastos, tapetes hasta mochilas.

Canasto cilndrico Canasto de base rectangular Tapete elptico Cuadro 5: Objetos de cestera

De la misma forma que se analiz los objetos cermicos, la produccin de la cestera puede

estudiarse desde una mirada espacial como as tambin en el diseo geomtrico de los

motivos que presentan gracias al tejido de las fibras de distintos colores.

Desde el espacio, puede decirse que la mayora de estos canastos tiene una forma, cilndrica

aunque tambin se encuentra canastos de base rectangular aunque predominan los de fondo

y tapa circulares, como puede verse en las imgenes del cuadro 5, aunque el crculo no es la

nica figura curva, sino que tambin se han encontrado fondos elpticos como se aprecia en

el tapete del cuadro.

Aunque los diseos formarn motivos con lneas escalonadas, puede asociarse a diferentes

motivos geomtricos. Algunos de forma escalonada (cuadro 6) debido al entrecruzamiento

de las tramas, pero en otros la tcnica de tejido es diferente y pueden observase motivos

circular, como por ejemplo espirales.

Diseos escalonados Diseos rectilneos: zigzag Diseos curvos: espirales

Cuadro 6: Diseos geomtricos presentes en la cestera


18

En estos motivos tambin puede estudiarse transformaciones geomtricas: traslaciones,

rotaciones y simetras. Estas transformaciones pueden encontrarse en la base, pero as

tambin en la superficie lateral del objeto, con lo cual no estaran en un plano sino en una

superficie curva mayoritariamente.

Algunas actividades propuestas

El trabajo que aqu se presenta tiene la modalidad de taller por lo tanto a continuacin se

detallan algunas de las propuestas que se realizarn en los dos encuentros.

1) Cules son los movimientos geomtricos que se pueden estudiar en los siguientes diseos basados en arte rupestre?

Figura2: Doble reflexin especular (Belloli, 2008)

2) Cmo puede asociarse los diseos rupestres con homotecias geomtricas? Menciona ejemplos a partir de lo trabajado.

3) Tambin se aprecian espirales que pueden presentarse solas o tambin se han encontrado

espirales conectadas de diferentes formas Qu movimientos geomtricos transforman una

especial en la otra?

Figura 3: Esperiales contectada (Trejos, 2003)

4) Del Canamayt Cuadrivrtice se puede obtener la proporcin de varias formas o

siluetas Comparen la proporcin dada del

cuerpo humano a partir del Canamayt, con

el dibujo del Hombre de Vitrubio de

Leonardo da Vinci (14521519). Qu

conclusiones pueden extraer?

Usando el Canamayt, los mayas lograron

representar las fases de la luna. Inscriban el cuadrado del Canamayt en una

circunferencia. Cmo puede dividirse en 8 dicha circunferencia utilizando ese diseo?

5) Gonzlez hace referencia a la doble reflexin especular, analiza dicha transformacin en las siguientes guardas de los Diaguitas.


19

a) b) c) Figura 4: Doble reflexin especular (Gonzlez, 1998, pp. 41-43)

6) El siguiente es un diseo de cestera realizado por la comunidad de Guacamayas, de Colombia. Analiza y realiza una construccin geomtrica

con comps que sea similar al diseo presentado.

Conclusiones

En el presente trabajo se ha analizado objetos realizados por distintas tcnicas empleada por

los pueblos originarios de Amrica. En estos diseos (pintados, tejidos o estampados)

puede verse patrones que se repiten con leves diferencias. Motivos donde aparecen

poligonales abiertas y cerradas, lneas rectas o curvas, as como tambin tringulos,

cuadrilteros (rectngulos y rombos) y circunferencias. Adems de identificar las figuras

geomtricas que pueden asociarse, puede analizarse diferentes transformaciones

geomtricas donde prevalecen: las traslaciones y simetras. Consideramos que estos diseos

pueden llevarse al aula de matemtica para poder utilizarlos como un recurso didctico,

llevando a la escuela conocimientos que surgieron en escenarios no acadmicos.

Referencias Bibliogrficas

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Hoyo.

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20

DE LO LINEAL A LO EXPONENCIAL

Patricia Sureda

Ncleo de Investigacin en Educacin en Ciencia y Tecnologa (NIECYT)

Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

Tandil, Argentina.

[email protected]

Resumen

Dado que las dificultades que presenta la conceptualizacin de lo no-lineal, y en particular

el estudio delas funciones exponenciales, ya haban sido advertidas por los profesores

durante el proceso de enseanza, y documentadas por algunas investigaciones, en mi

trabajo de tesis doctoral realizado bajo la direccin de la Dra. Mara Rita Otero, nos

dedicamos a estudiar la conceptualizacin de cuatro grupo de alumnos del colegio

secundario [15-16 aos], cuando estudiaban el campo conceptual de las funciones

exponenciales en una dinmica de estudio que prioriz la participacin del alumno en la

construccin del conocimiento.

El anlisis de los protocolos, que realizamos a partir de los constructos tericos propuestos

por la Teora de los Campos Conceptuales de Vergnaud (1990, 1996, 2005, 2007, 2008,

2010),nos permite por una parte, mostrar la estrecha relacin entre la conceptualizacin, los

sistemas de representacin y los invariantes operatorios de los estudiantes; y por otra parte,

reconocer a grandes rasgos,un proceso de conceptualizacin de la funcin exponencial, que

comienza en las respuestas totalmente lineales y se va modificando progresivamente en una

direccin primero no lineal, y finalmente exponencial.

Aunque esta conceptualizacin no va ms all del nivel que Vergnaud denomina

explicitable, es necesario advertir que la funcin exponencial es un concepto complejo, y

que como toda conceptualizacin es una tarea de largo aliento que va ms all del tiempo

que demand su estudio en el colegio secundario.

Introduccin

En un principio, las razones de ser de la funcin exponencial estaban fuertemente

vinculadas al desarrollo y estudio de las tablas logartmicas, pero con el desarrollo del

clculo infinitesimal se transformaron en potentes herramientas tericas para la

modelizacin de fenmenos relativos a la economa, la biologa, la meteorologa, el medio

ambiente, etc. Finalmente, cuando el uso de la tecnologa hizo innecesario el uso de las

tablas logartmicas, las funciones exponenciales y logartmicas ya ocupaban un espacio

relevante en muchas reas de la matemtica. Sin embargo, en la escuela secundaria, cuando

la utilizacin escolar de las calculadoras cientficas en las aulas, le quit sentido a la

enseanza de las tablas logartmicas, los profesores las dejaron de ensear. As, parecera

que hay un perodo de tiempo en la dcada de los noventa donde la desaparicin de las

tablas logartmicas afect la enseanza de las funciones exponenciales y logartmicas en la

escuela secundara, aun cuando stas nunca fueron quitadas del curriculum.

Ms tarde, en las ltimas reformas educativas (1994; 2010) advertimos un intento, al menos

desde el curriculum, por recuperar el sentido de la enseanza de las funciones

exponenciales y logartmicas en la escuela secundara, primero a partir de un marcado


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nfasis funcional, y luego mediante su uso como modelos matemticos. Este ltimo

abordaje present, y sigue presentando, dificultades de implementacin que necesitan ser

analizadas.

Por ejemplo, la comprensin de modelos como el del crecimiento de la cantidad de dinero

puesto a inters compuesto, el crecimiento de la deuda que genera el inters de una tarjeta

de crdito; el avance de la epidemias en una poblacin, como fue el caso de la pandemia del

virus de la gripe A (H1N1) y del brote de clera en Hait; o la durabilidad de los efectos de

la radiacin en el medio ambiente, producida en Japn por las roturas en los generadores

nucleares con el reciente sismo; etc., requieren de esquemas exponenciales. Como

consecuencia, la compresin de estos acontecimientos se obstaculiza si solo se dispone de

esquemas mentales lineales, pues se asimilan los modelos no lineales a los lineales(De

Bock, Van Doorem y Verschoffel, 2010; De Bock, Van Dooren; Janssens y

Verschaffel,2002; De Bock, Verschaffel y Janssens, 2002; De Bock, Verschaffel y

Janssens, 1998;Confrey, 1994; Karrer y Magina, 2000;Villarreal, Esteley, y Alagia, 2005;

Sessa y Vilotta, 2008; Ramrez, Chavarra, Borbn, y Alpizar,2010).

Los esquemas mentales lineales de las personas son el producto de un largo proceso de

construccin que se inicia con su propia participacin en situaciones cotidianas que

requieren, en su gran mayora, ser modeladas mediante variaciones lineales. Mientras que

los esquemas no lineales, y en particular los exponenciales, son ms complejos pues se

apoyan parcialmente en las estructuras aditivas y multiplicativas. Pero dado que la escasa

participacin de las personas en este tipo de situaciones no colabora con su construccin, en

el trabajo de tesis doctoral nos interesamos en analizar el proceso de conceptualizacin de

los estudiantes de la escuela secundaria cuando estudian las funciones exponenciales por

medio de situaciones problemticas vinculadas a la capitalizacin de dinero puesto a inters

compuestoen un plazo fijo.

El anlisis de cmo se capitaliza el dinero puesto a inters compuesto, o de cmo crecen los

intereses de la tarjeta, resultan problemas que no slo son socialmente relevantes, sino que

adems, resultan difciles de conceptualizar para aquellos sujetos que solo disponen de

esquemas lineales. As, el abordaje de la funcin exponencial a partir de un problema de

inters compuesto, no slo permite que el alumno estudie la funcin exponencial con

sentido, sino que adems proporciona un contexto, que al poder ser abordado desde

diferentes sistemas de representacin y de variadas maneras, ofrece una buena cantidad de

situaciones para su conceptualizacin. Conceptualizacin que estar ligada tanto al diseo

de las tareas que compongan cada situacin, como a los sistemas de representacin que

estn involucrados.

Referenciales Tericos

La tesis integra dos referenciales tericos, uno didctico y uno cognitivo para estudiar la

enseanza de la funcin exponencial con sentido en la escuela secundaria, y su

conceptualizacin. La Teora Antropolgica de lo Didctico (Chevallard, 1999; 2007;

2009), brinda sustento a las decisiones relativas a la Actividad de Estudio e Investigacin

(AEI) en los procesos de topognesis, cronognesis y mesognesis; y la Teora de los

Campos Conceptuales (Vergnaud, 1990; 2000; 2007) orienta el anlisis de la


22

conceptualizacin. Un punto importante, es que en ambas teoras el concepto de situacin

tiene el carcter de tarea.

Una Actividad de Estudio e Investigacin es en principio una organizacin didctica que

genera un encuentro arreglado de los alumnos con un cierto saber, y esto con ocasin del estudio de una cuestin determinada. En otros trminos, la AEI provoca la formacin, en el seno de una clase [,], y de un sistema didctico S (X; Y; Q) la produccin de una respuesta R

. En forma esquemtica:

S(X; Y; Q) R

Luego, como el sistema didctico S(X; Y; Q) fabrica (notado por la flecha ) el medio

M a partir de recursos ya existentes en sus entornos internos y externos, o a partir de

recursos creados en su seno; y de que a partir de este trabajo (notado por la flecha )

en el medio, es que se va a elaborar y a validar R; es posible reescribir la expresin de la

siguiente manera:

[S(X; Y; Q) M R].

As, en la TAD, el sistema didctico );,( QYXS produce y organiza el medio M con el

cul, dialcticamente, engendra R. Un poco ms tarde, Chevallard (2007: 33) explica que

una AEI, es estructuralmente idntica a una reorganizacin cuaternaria del estudio. Pues la

AEI llevada a cabo llama en primer lugar a una sntesis, la cual se completa mediante un

trabajo que consiste en ejercicios (en el verdadero sentido del concepto), as como en el

estudio de problemas que prueba los lmites de la organizacin matemtica cuyos

materiales tcnicos y tecnolgicos-tericos se habrn producido en las AEI (o de una

sucesin de AEI) y que la sntesis habr acabado de hacer emerger, todo ello llama a los

controles que son los que permitirn una evaluacin.

La evaluacin tiene un doble objetivo, por una parte la organizacin del saber construido, y

por otra parte la relacin de la clase y de cada uno de los alumnos, con esta organizacin

del saber. As, el diseo de una AEI para la escuela secundaria debe estar compuesta tanto

por las situaciones que permiten producir los materiales tcnicos y tericos de la

organizacin matemtica estudiada, en este caso las funciones exponenciales, como por las

sntesis, los ejercicios y la evaluacin.

La Teora de los Campos Conceptuales (TCC) propuesta por Vergnaud (1990, 1994, 1996,

1998, 2007a, 2007b, 2008, 2010) nos permite estudiar la conceptualizacin, entendida

como piedra angular del desarrollo cognitivo. La conceptualizacin involucra una relacin

dialctica entre las situaciones y los conceptos: las situaciones dan sentido a los conceptos

y un mayor desarrollo conceptual del sujeto le permite abordar situaciones ms complejas.

Para analizar la conceptualizacin, que es a partir de los esquemas, es inevitable analizar la

actividad, de la cual la conducta observable es una parte muy pequea. Pero aunque el

esquema no es una conducta, tiene la funcin de generar la actividad y la conducta en

situacin, y por eso es posible analizar la conceptualizacin de las funciones exponenciales,

a partir del anlisis de las conductas observables, en particular, de las resoluciones escritas

de los alumnos cuando resuelven un problema. Por esta razn, es posible estudiar mediante


23

el anlisis de las conductas, los esquemas que dirigen las respuestas de los alumnos en

situacin, y en particular los invariantes operatorios [IO] que hacen operatorio el esquema.

Por otra parte, esta teora postula que si estamos interesados en la enseanza de conceptos,

no debemos reducirlos a sus definiciones, pues es travs de las situaciones y de los

problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto

(Vergnaud, 1990: 133). As, la TCC define al concepto como un triplete de tres conjuntos:

C (S; I.O; S.R):

La referencia [S]: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto. Para Vergnaud, una situacin tiene el carcter de tarea.

El significado [IO]: Es el conjunto de invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto) sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas. Los

conceptos en acto son categoras pertinentes, y los teoremas en acto son proposiciones

tenidas como verdaderas. Los conceptos y teoremas se construyen en forma solidaria y

pueden ser implcitos o explcitos; ms o menos formales; y correctos o incorrectos. Su

carcter de IO descansa en que hacen operatorio el esquema.

El significante [SR]: Son los sistemas de representacin. Es decir, el conjunto de las formas lingsticas y no lingsticas que permiten representar simblicamente el

concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento.

El carcter pragmtico de la construccin del concepto funcin exponencial, no permite

reducir el significado, ni a los significantes, ni a las situaciones, pues el significado viene

dado por ambos (Vergnaud, 1990). Por lo tanto, para estudiar el desarrollo de los conceptos

relativos a las funciones exponenciales, es necesario considerar estos tres conjuntos a la

vez.

Aspectos Metodolgicos

Para estudiar el campo conceptual de las funciones exponenciales en la escuela secundaria

diseamos una AEI compuesta por diez situaciones de enseanza, dos situaciones de

sntesis, tres conjuntos de tareas y una evaluacin. Por otra parte, y debido a que la

conceptualizacin de un concepto est ligada tanto al diseo de las tareas que componen

cada situacin, como a los sistemas de representacin, cada situacin fue diseada teniendo

en cuenta cinco sistemas de representacin [SR]: el SR Numrico [SRN] que refiere tanto a

las tablas como a los clculos con nmeros; el SR Algebraico de Primer Orden [SRA1] que

involucra aquellos procedimientos algebraicos en el que los parmetros se corresponden

con la situacin. SR Algebraico de Segundo Orden [SRA2] que refiere nicamente a las

frmulas que representan una familia de funciones; el Analtico-Grfico [SRG] que refiere

a la construccin grfica en ejes cartesianos; y el Verbal Escrito [SRVE] que son las formas

lingsticas escritas.

Luego de una prueba piloto, que realizamos en un cuarto ao de la escuela secundaria,

readaptamoshe implementamos el conjunto de situaciones en dos cursos de cuarto ao (15-

16 aos). Luego analizamos los protocolos, y a partir de l tomamos decisiones sobre el

ajuste de la propuesta de enseanza, que debido al nuevo diseo curricular fue necesario

considerar tambin la reubicacin de los contenidos en quinto ao, e implementarlo en dos


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cursos de quinto ao (16-17 aos). En total obtuvimos la resolucin de 121 alumnos clase a

clase, lo que hace un total de 1440 resoluciones.Esta recoleccin sistemtica de los

protocolos era indispensable, debido a que para el estudio de la conceptualizacin

necesitbamos acceder a las primeras estrategias formuladas por los estudiantes. Cada

intervencin la registrbamos mediante un audio general. La implementacin nos demand

dos meses y medio de clases, en una escuela de la ciudad que atiende a sectores urbanos

medios. All llevamos a cabo el estudio piloto y las cuatro implementaciones.

El anlisis de los 1440 protocolos nos ha permitido describir el proceso de

conceptualizacin en cinco etapas (Sureda y Otero, 2013) segn se muestra en la tabla 1.

Etapa Indicador

Lineal Respuesta Lineal en todos los sistemas de representacin.

Parcialmente

No Lineal

Respuesta No Lineal en por lo menos un sistema de representacin.

No Lineal Respuesta No Lineal en todos los sistemas de representacin.

Parcialmente

Exponencial

Respuesta Exponencial en por lo menos un sistema de representacin.

Exponencial Respuesta Exponencial en todos los sistemas de representacin. Tabla 1

La implementacin realizada luego en quinto ao mostr que el proceso de

conceptualizacin de la funcin exponencial se desarroll por las cinco etapas

mencionadas. Al finalizar, se les dio a los alumnos un cuestionario para ser contestado en

forma individual y annima, cuyo formato fue tomado de Fanaro (2009). El ltimo tem era

de respuesta abierta para que ellos expresaran su opinin acerca de las clases de

matemtica. De los 31 alumnos de Ciencias Naturales contestaron la encuesta 29, y de los

28 alumnos de Economa respondieron la encuesta 26. Esta encuesta permiti tener en

cuenta la perspectiva de los alumnos al momento de analizar la gestin de la clase.

La Gestin en el Aula

Para poder llevar a cabo la AEI era necesario gestionar lo que Chevallard denomina la

pedagoga de la investigacin y del cuestionamiento del mundo en la clase de Matemtica.

En esta pedagoga, el lugar del profesor y del alumno en la clase, requieren ser

radicalmente modificados. As, el lugar del alumno, antes reducido a la aplicacin de

tcnicas previamente enseadas, requiere modificarse en una direccin que exige tomar

decisiones, asumir la responsabilidad del propio aprendizaje, pensar con otros, etc.

La modificacin de la topogenesis, por ser una construccin didct

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