UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE INGENIERÍA

ANÁLISIS VECTORIAL

ACTIVIDAD 1

PARTE DIGITAL

Nombre: Manuel Antonio Lara García

Mtro. (a): Maritza de Coss

Licenciatura: Ingeniería en Mecatrónica

Conceptos Unidad 1

1.1 VECTORES EN LOS ESPACIOS DE DOS Y TRES DIMENSIONES

Álgebra de Vectores

Escalar: Cantidad física que se caracteriza por tener una magnitud. Representa un número

real. Ejemplos: masa, tiempo, temperatura.

Vector: cantidad física que se caracteriza por magnitud y dirección. Ejemplo: fuerza,

velocidad, momento, aceleración, dirección o desplazamiento.

Se emplea la notación para la recta, el plano y el espacio tridimensional:

i) La recta de los números reales se denota por 𝑅1 o simplemente 𝑅

ii) El conjunto de los pares ordenados (x, y) de números reales se denomina 𝑅2

iii) El conjunto de las ternas ordenadas(x, y, z) de números reales se denomina 𝑅3

Multiplicación de un vector por un escalar

Este producto combina escalares (números reales) y elementos de 𝑅3(ternas ordenadas)

para producir elementos de 𝑅3 dado una escalar 𝛼 y una terna (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3). Definimos la

multiplicación por escalar como:

𝛼(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3)

Las sumas de ternas y la multiplicación escalar satisfacen las siguientes propiedades:

i) 𝛼𝛽(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = 𝛼[𝛽(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)] (asosiativa)

ii) (𝛼 + 𝛽)(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = [𝛼(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)] + [𝛽(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)]) (distributiva)

iii) 𝛼[(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)] = 𝛼(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + 𝛼(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)(distributiva)

iv) 𝛼(0,0,0) = (0,0,0)(propiedad del cero)

v) 0(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = (0,0,0)(propiedad del cero)

vi) 𝑖(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) (propiedad del elemento unidad)

De igual manera se tiene que sea un vector 𝐴 y m un escalar, entonces:

a) Si m>0 y 𝐴 =< 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 >≠< 0,0,0 >, entonces se tiene que la multiplicación es

igual a 𝑚𝐴=𝑚(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y este nuevo vector está en la dirección de 𝐴.

b) Si m<0 y 𝐴 =< 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 >≠< 0,0,0 >, entonces se tiene que la multiplicación es

igual a −𝑚𝐴=−𝑚(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y este nuevo vector está en la dirección opuesta de 𝐴.

La magnitud de un vector 𝐴 por un escalar m es igual a:

|𝑚𝐴| = |𝑚||𝐴|

Vectores de la base canónica

Para representa los vectores en el espacio es conveniente introducir tres vectores

especiales sobre los ejes x, y, z:

i: el vector de componentes (1, 0, 0).

j: el vector de componentes (0, 1, 0).

k: el vector de componentes (0, 0, 1).

Sea a cualquier vector y sean (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) sus componentes. Entonces:

a= 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘

Por lo tanto cada vector se puede expresar como suma de múltiplos escalares de i, j y k.

Suma de vectores

Dos vectores a=(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y b=(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) son iguales si y sólo si 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎2 = 𝑏2 y

𝑎3 = 𝑏3. Geométricamente esto significa que a y b tienen el mismo sentido y la misma

longitud (o<<tamaño>>).

La suma de vectores se define geométricamente como sigue. En el plano que contiene a los

vectores a=(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y b=(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) se forma el paralelogramo cuyos lados adyacentes

son a y b. la suma a+ b es el segmento que parte del origen y recorre la diagonal del

paralelogramo.

Existe otra manera de ver la suma de vectores, con triángulos en vez de paralelogramos: se

traslada sin girarlo, el segmento que representa el vector b para que empiece donde

termina el vector a. el punto donde termina este segmento trasladado es el punto donde

termina el vector a + b. si a y b son colineales, el triángulo se reduce a un segmento.

Propiedades de la suma de dos vectores.

i) La suma de dos vectores en los espacios 𝑅2 y en 𝑅3, por ejemplo los vectores

𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y �⃗⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) presentan la propiedad conmutativa, es

decir:

𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴

ii) Al multiplicar dos vectores que se están sumando 𝐴 + �⃗⃗� , por un escalar m se

tiene que:

𝑚(𝐴 + �⃗⃗�) = (𝑚 𝐴 + 𝑚 �⃗⃗�)

iii) Si un vector 𝐴 se le suma un vector nulo o neutro igual a 0⃗⃗ , entonces se tiene

que:

𝐴 + 0⃗⃗ = 0⃗⃗ + 𝐴 = 𝐴

iv) Si un vector 𝐴 se suma con su inverso es decir, −𝐴 se tiene que la suma es

igual a:

𝐴 + (−𝐴 )=(−𝐴 ) + 𝐴 = 0

Suma de tres vectores

Sean tres vectores en el espacio 𝑅3 o en el espacio 𝑅2, 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), �⃗⃗� = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) y

𝐶 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) , se tiene que la suma vectorial igual presenta la propiedad conmutativa:

(𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + �⃗⃗�) + 𝐶 = 𝐴 + (�⃗⃗� + 𝐶)

Vectores

Los vectores (llamados también vectores libres) son segmentos de recta dirigidos en el

plano o espacio, con un inicio (origen) y un final (extremo). Dos de estos segmentos que se

obtengan uno de otro mediante una traslación paralela (pero sin rotación) representarán

el mismo vector.

Las componentes (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) son las longitudes con (signo) de las proyecciones de a sobre

los ejes coordenados, de modo equivalente, quedan definidas colocando el inicio de a en el

origen y su final es precisamente (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3). Escribiremos 𝒂 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3).

La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con inicio y trazando el vector que

va del inicio del primero al final del segundo.

El vector que une dos puntos

Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y P´ tiene coordenadas (x´, y´, z´), entonces el vector

𝑃𝑃´ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ que tiene inicio en P y final en P´ tiene componentes (𝑥´ − 𝑥, 𝑦´ − 𝑦, 𝑧´ − 𝑧).

Producto escalar

Supongamos que tenemos dos vectores a y b en 𝑅3 y queremos determinar el ángulo entre

ellos, esto es el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan. El producto

escalar nos permite hacerlo, pero antes de comprobar esto vamos a desarrollar el concepto

formal.

Sean �⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘 y �⃗⃗� = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3𝑘. Definimos el producto escalar de

�⃗� 𝑦 �⃗⃗� , y lo escribimos como �⃗� ∙ �⃗⃗�, como el número real:

�⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

Propiedades del producto escalar:

a) �⃗� ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ �⃗� (𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)

b) (𝑚�⃗�) ∙ �⃗⃗� = �⃗� ∙ (𝑚�⃗⃗� )

c) �⃗� ∙ (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + �⃗� ∙ 𝑐 (𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎)

d) Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a= 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘

es igual a √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32. La longitud del vector a se denota como ‖𝑎‖, se tiene

entonces que:

‖𝑎‖2 = �⃗� ∙ �⃗�

Vectores unitarios

Los vectores que tienen norma o magnitud igual a 1 se llaman vectores unitarios. Por

ejemplo los vectores i, j, k son vectores unitarios. Nótese que para cualquier vector a, 𝑎/‖𝑎‖

es un vector unitario, cuando dividimos a entre ‖𝑎‖, se dice que se normaliza al vector a.

Distancia

Si a y b son vectores, hemos visto que el vector 𝑏 − 𝑎 es paralelo y tiene la misma longitud

del segmento que une los extremos de a y b. De aquí se tiene que la distancia entre ambos

extremos es precisamente ‖𝑏 − 𝑎‖

Angulo entre dos vectores

Sea a y b dos vectores en 𝑅3 y sea 𝜃, donde 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. El ángulo que forman entonces es

igual a:

�⃗� ∙ �⃗⃗� = ‖𝑎‖‖𝑏‖𝐶𝑜𝑠𝜃

Se deduce que de la identidad

�⃗� ∙ �⃗⃗� = ‖𝑎‖‖𝑏‖𝐶𝑜𝑠𝜃

Que si a y b son distintos de cero, podemos expresar el ángulo que forman como:

𝜃 = cos−1�⃗� ∙ �⃗⃗�

‖𝑎‖‖𝑏‖

La desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para cualquier par de vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗�, se tiene que:

|�⃗� ∙ �⃗⃗�| ≤ ‖𝑎‖‖𝑏‖

Donde la igualdad se satisface si y solo si �⃗� es un múltiplo escalar de �⃗⃗�, o alguno de ellos

es 0.

Desigualdad triangular

Para dos vectores a y b cualesquiera que en el espacio, se tiene que:

|�⃗� + �⃗⃗�| ≤ ‖𝑎‖ + ‖𝑏‖

Proyección Ortogonal

Si v es un vector, y l es la recta que pasa por el origen y tiene la dirección del vector a, la

proyección ortogonal de v sobre es el vector p cuyo extremo se obtiene al trazar un recta

perpendicular a l desde el extremo de v.

V es u múltiplo de a, y que v es la suma de p y un vector q perpendicular a a. Por tanto,

𝑣 = 𝑐𝑎 + 𝑞

Donde 𝑝 = 𝑐𝑎 y 𝑞 ∙ 𝑎 = 0. Si multiplicamos por a escalarmente en ambos lados de la

igualdad 𝑣 = 𝑐𝑎 + 𝑞, tenemos que 𝑎 ∙ 𝑣 = 𝑐𝑎 ∙ 𝑎, de modo que 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑣/(𝑎 ∙ 𝑎), y

entonces:

𝑝 =𝑎 ∙ 𝑣

‖𝑎‖2𝑎

La longitud de p es igual a:

𝑝 =𝑎 ∙ 𝑣

‖𝑎‖2‖𝑎‖ =

|𝑎 ∙ 𝑣|

‖𝑎‖= ‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠𝜃

El producto vectorial

El producto vectorial supongamos que 𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘 y 𝑏 = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3𝑘. El

producto vectorial o producto cruz de a y b de notado por 𝑎 𝑋 𝑏 se define como vector

𝑎 𝑋 𝑏 = |𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3| 𝒊 − |

𝑎1 𝑎3

𝑏1 𝑏3| 𝑗 + |

𝑎1 𝑎2

𝑏1 𝑎2| 𝑘

𝑎 𝑋 𝑏 = |𝒊 𝒋 𝒌

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

|

Algunas propiedades algebraicas del producto vectorial se deducen de la definición. Si a, b

y c son vectores, y α, β y ϒ escalares, entonces:

i) 𝑎 × 𝑏 = −( 𝑏 × 𝑎)

ii) 𝑎 × (𝛽𝑏 + 𝛾𝑐) = 𝛽 ( 𝑎 × 𝑏) + 𝛾( 𝑎 × 𝑐)

iii) (𝛼𝑎 × 𝛽𝑏) × 𝑐 = 𝛼( 𝑎 × 𝑐) + 𝛽( 𝑏 × 𝑐)

iv) Nótese que 𝑎 × 𝑎 = −( 𝑎 × 𝑎), por la propiedad i).Por lo tanto,

𝑎 × 𝑎 = 0.

En particular,

v) 𝑖 × 𝑖 = 0, 𝑗 × 𝑗 = 0, 𝑘 × 𝑘 = 0

También,

vi) 𝑖 × 𝑗 = 𝑘, 𝑗 × 𝑘 = 𝑖, 𝑘 × 𝑖 = 𝑗

Producto mixto

Se llama producto mixto de a, b y c. Para obtener una fórmula de éste, sean 𝑎 = 𝑎1𝑖 +

𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘, 𝑏 = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3𝑘 y 𝑐 = 𝑐1𝑖 + 𝑐2𝑗 + 𝑐3𝑘. Entonces,

(𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 = (|𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3| 𝒊 − |

𝑎1 𝑎3

𝑏1 𝑏3| 𝑗 + |

𝑎1 𝑎2

𝑏1 𝑎2| 𝑘) ∙ (𝑐1𝑖 + 𝑐2𝑗 + 𝑐3𝑘)

= (|𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3| 𝑐1 − |

𝑎1 𝑎3

𝑏1 𝑏3| 𝑐2 + |

𝑎1 𝑎2

𝑏1 𝑎2| 𝑐3)

(𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 = |

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐3

|

Si c es un vector plano generado por los vectores a y b, la tercera fila del determinante que

expresa (𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 es una combinación lineal de la primera y de la segunda fila, y por tanto

(𝑎 × 𝑏) ∙ 𝑐 = 0. En otras palabras, el vector 𝑎 × 𝑏 es ortogonal a cualquier vector del plano

generado por a y b, y en particular a ambos vectores.

Definición geométrica del producto vectorial

1) Definición geométrica 𝑎 × 𝑏 = ‖𝑎‖‖𝑏‖𝑆𝑒𝑛𝜃, el área del paralelogramo definido

por a y b (𝜃 es el ángulo) formado por a y por b con 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.

2) 𝑎 × 𝑏 es perpendicular a a y b, y la terna (a, b, 𝑎 × 𝑏) satisface la regla de la mano

derecha.

Triple Producto Escalar

Si se tienen tres vectores, un vector 𝐴, un vector �⃗⃗� y un vector 𝐶 el triple producto escalar

de estos tres vectores es igual a:

|�⃗⃗� × 𝐶||𝐴|𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝐴 ∙ �⃗⃗� × 𝐶

Esta ecuación representa el Volumen de un paralepípedo

con una base |�⃗⃗� × 𝐶| y con altura igual a |𝐴|𝐶𝑜𝑠𝜃

Tome en cuenta que si el Volumen es igual a cero,

entonces los vectores son los vectores 𝐴, �⃗⃗�, 𝐶 son

coplanares.

Se tiene que si uno de los vectores se repite el triple producto escalar es igual a 0, es decir:

𝐴 ∙ 𝐴 × 𝐶 = 0

𝐴 ∙ �⃗⃗� × �⃗⃗� = 0

𝐶 ∙ �⃗⃗� × 𝐶 = 0

Se puede afirmar que si el punto y la cruz intercambian de posición el resultado es el mismo,

es decir:

𝐴 ∙ �⃗⃗� × 𝐶 = 𝐴 × �⃗⃗� ∙ 𝐶

El triple producto vectorial

Si se tienen tres vectores, un vector 𝐴, un vector �⃗⃗� y un vector 𝐶 el triple producto vectorial

de estos tres vectores es igual a:,

𝐴 × �⃗⃗� × 𝐶 = (𝐴 ∙ 𝐶)�⃗⃗� − (𝐴 ∙ �⃗⃗�)𝐶

El triple producto vectorial no presenta la propiedad asociativa, es decir:

𝐴 × (�⃗⃗� × 𝐶) ≠ (𝐴 × �⃗⃗�) × 𝐶

LA ECUACIÓN DEL PLANO

Sea P un plano en el espacio que contiene al punto𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y supongamos que 𝑛 =

𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶𝑘 es un vector normal a ese plano. Sea 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto en 𝑅3. Entonces

𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) está en el plano P si y sólo si el vector 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥 − 𝑥0)𝑖 + (𝑦 − 𝑦0)𝑗 +

(𝑧 − 𝑧0)𝑘 es perpendicular a 𝑛, esto es, 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛 = 0 o, equivalente.

(𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶𝑘) ∙ [(𝑥 − 𝑥0)𝑖 + (𝑦 − 𝑦0)𝑗 + (𝑧 − 𝑧0)𝑘] = 0

[𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0)] = 0

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

Ecuaciones Paramétricas de la recta

Si tenemos un vector 𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘 con la misma dirección que 𝑙 y un punto 𝑃 =

(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) situado en 𝑙 . Se tiene que se puede obtener las expresiones para determinar el

comportamiento de la recta 𝑙 en el espacio 𝑅3. Tales ecuaciones que expresan el lugar

geométrico de la recta en términos de los componentes x, y, z son iguales a:

𝑥 = 𝑥1𝑡 + 𝑣1

𝑦 = 𝑦1𝑡 + 𝑣2

𝑧 = 𝑧1𝑡 + 𝑣3

Siendo t un parámetro el cual depende de la posición en donde se encuentre el punto que

se desee hallar.

COORDENADAS CILINDRICAS

Las coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧) de un punto (x, y, z) están definidas por:

𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑧 = 𝑧

Para expresar 𝑟, 𝜃 𝑦 𝑧 en función de x, y, z y para expresar que 𝜃 esta entre 0 y 2𝜋, podemos

escribir:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 Para 𝜃 =

tan−1𝑦

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑒 𝑦 ≥ 0 𝑧 = 𝑧

𝜋 + tan−1𝑦

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0, 𝑧 = 𝑧

2𝜋 + tan−1𝑦

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 < 0, 𝑧 = 𝑧

Para ver porque utilizamos el término coordenadas cilíndricas nótese que si 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋,

−∞ < 𝑧 < ∞ 𝑦 𝑟 = 𝑎 es una constante positiva, entonces el lugar geométrico de esos

puntos es un cilindro de radio a.

COORDENADAS ESFÉRICAS

Las coordenadas esféricas de (x, y, z) son (𝜌, 𝜃, 𝜑) y se definen como:

𝑥 = 𝜌𝑆𝑒𝑛𝜑𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑦 = 𝜌𝑆𝑒𝑛𝜑𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑧 = 𝜌𝐶𝑜𝑠𝜑

En donde:

𝜌 ≥ 0,

0 ≤ 𝜃 < 2𝜋,

0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

CONCLUSIONES

Entre las conclusiones que se pueden obtener respecto a la actividad realizada se

encuentran:

El análisis de vectores y el manejo de estos en espacios tridimensionales 𝑅3 pueden

ayudar a resolver problemas físicos y matemáticos en donde se requiera la

utilización de estos, para determinar por ejemplo la aceleración 𝑎, velocidad 𝑣,

𝑠 desplazamiento de una partícula en el espacio. La ecuación de un plano en el

espacio, así como la ecuación de una recta que contiene un punto (x, y, z) y un vector

paralelo a está, entre otros problemas como los relacionados con el

electromagnetismo.

Un vector es una cantidad física que se caracteriza por magnitud, dirección y

sentido, como por ejemplo, la aceleración tangencial y radial de una partícula en

movimiento circular o en el momento angular, la velocidad de un automóvil o un

tren con dirección a la cual se desplaza.

La suma vectorial se puede expresar como el vector diagonal formado por el

paralelogramo formado al trazar rectas paralelas de los vectores que se están siendo

sumados, al igual que gráficamente se puede ver como un vector 𝑐 formado en el

espacio al realizar una figura triangular con los vectores 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 �⃗⃗� que se están

sumando, existen otras manera en representar gráficamente la suma vectorial, que

pueden simplificar muchos problemas físicos y matemáticos, como sacar el vector

resultante 𝑣𝑟⃗⃗ ⃗⃗ del desplazamiento de una partícula.

De igual manera se tiene que en una multiplicación de un vector por un escalar.

Sea un vector 𝐴 y m un escalar, entonces:

Si m>0 y 𝐴 =< 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 >≠< 0,0,0 >, entonces se tiene que la multiplicación es

igual a 𝑚𝐴=𝑚(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y este nuevo vector está en la dirección de 𝐴.

Si m<0 y 𝐴 =< 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 >≠< 0,0,0 >, entonces se tiene que la multiplicación es

igual a −𝑚𝐴=−𝑚(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) y este nuevo vector está en la dirección opuesta de

𝐴.

Sean dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵.⃗⃗⃗⃗ El producto escalar entre estos dos vectores representa

el menor ángulo posible entre ≤ 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, formado por tales vectores, y se

puede expresar como:

𝐴 ∙ �⃗⃗� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3

O más formalmente como:

𝐴 ∙ �⃗⃗� = ‖𝐴‖‖𝐵‖𝐶𝑜𝑠𝜃

El resultado del producto vectorial da como resultado un escalar.

Sean dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵.⃗⃗⃗⃗ El producto vectorial entre estos dos vectores representa

o da como resultado un vector 𝐶 perpendicular a ellos. El producto vectorial se

representa matemáticamente como:

𝑎 × 𝑏 = ‖𝑎‖‖𝑏‖𝑆𝑒𝑛𝜃𝑢

Se puede calcular realizando el determinante entre los componentes de tales

vectores:

𝑎 𝑋 𝑏 = |𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3| 𝒊 − |

𝑎1 𝑎3

𝑏1 𝑏3| 𝑗 + |

𝑎1 𝑎2

𝑏1 𝑎2| 𝑘

𝑎 𝑋 𝑏 = |𝒊 𝒋 𝒌

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

|

El resultado del producto vectorial da como resultado un vector perpendicular a los

vectores que son multiplicados.

APLICACIONES EN LA INGENIERÍA EN MECATRÓNICA

En cuestión a la ingeniería en Mecatrónica se puede decir que los conceptos definidos y

estudios se pueden aplicar de diversas formas, tomando en cuenta que la ingeniería en

Mecatrónica es una combinación sinérgica entre informática, control, automatización,

electrónica y mecánica se puede mencionar algunas aplicaciones tanto a nivel académico

como a nivel industrial-laboral, como por ejemplo:

Para la aplicación, de los conceptos aprendidos, más adelante en asignaturas superiores en

el plan de estudios como por ejemplo para el estudio de la ciencia e ingeniería de los

materiales en donde influyen factores como Presión, Resistencia, Esfuerzo, Deformación,

Fuerza de resistencia, planteamiento en diversos problemas físicos como problemas de

análisis mecánico en donde influyen la aplicación de fuerzas a un cuerpo.

Aplicación en asignaturas como procesamiento de señales, mecánica vectorial, robótica y

control, así como en diversos problemas físicos relacionados con el electromagnetismo,

fundamental para el entendimiento de conceptos vinculados con electrónica, al momento

del diseñar proyectos relacionados con magnetismo para la generación de alguna fuerza

en donde se utilicen las propiedades de los imanes y de los campos magnéticos y eléctricos

en combinación.

Hablando de casos más prácticos, vinculados con el ambiente laboral e industrial, al

momento del diseño de máquinas automatizadas, robots industriales y de control digital,

en donde se requiera determinar cuanta fuerza puede o tiene que realizar tal máquina para

realizar un determinado trabajo o esfuerzo, la aceleración y velocidad con la que se debe

mover esa máquina para realizar con los presupuestos requeridos, con el personal asignado

y las condiciones de espacio dados, el trabajo y la determinada función para la cual tal

maquina es desarrollada, diseñada e instalada. Los ejes x, y, z son los ejes en los que se basa

una determinada maquina o robot para realizar su movimiento de acuerdo con los

parámetros de posición para los cuales son programadas.

REFERENCIAS

Cálculo vectorial de Marsen & Tromba, Capitulo 1, 5taEdición