UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

PROGRAMA DE INGENERIA AMBIENTAL

CURSO DE ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA

ACTIVIDAD N°14 TRABAJO COLABORATIVO 3

PRESENTADO POR: ADRIANA JAZMIN DELGADO NACAZA

TUTOR: CARLOS ANDREA VARGAS RODRIGUEZ

GRUPO: 301301_781

18 DE NOVIEMBRE DE 2013.

TRABAJO COLABORATIVO N°3

CODIGOS NOMBRE Y APELLIDOS GRUPO COLABORATIVO

1085295613

ADRIANA JAZMIN DELGADO NACAZA

301301_781

INTRODUCCION

En el desarrollo del curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría, encontramos diversas temáticas que serán la bases para el desarrollo de la carrera profesional, en esta ocasión se aborda la unidad 3 del curso Geometría analítica, sumatorias y productorias, En este orden de ideas, el trabajo a desarrollar será enfocado al análisis de diversas figuras geométricas como la recta, hipérbola, parábola, se trabajan ejercicios de ecuaciones, sumatorias y productorias que buscan desarrollar habilidades en los estudiantes a través de la práctica.

La finalidad es determinar analíticamente los parámetros y obtener la ecuación de las figuras geométricas, identificarlas, utilizando las ecuaciones y por ultimo resolver problemas de diferentes campos.

1. De la siguiente elipse: 3x2 + 5y2 – 6x - 12 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

3x² + 5y² - 6x - 12 = 0

3x² - 6x + 5y² = 12

3(x² - 2x) + 5y² = 12

Sumamos 1 dentro del paréntesis que contiene la variable x (esto se hace para completar trinomio cuadrado perfecto en esta variable), sumamos lo necesario del lado derecho para que no se altere la ecuación:

3(x² - 2x + 1) + 5y² = 12 + (3)(1)

3(x - 1)² + 5y² = 15

3¿¿ simplificamos de ambos lados:

¿¿¿

expresamos los denominadores como potencias de 2:

¿¿ ECUACION EN FORMA CANONICA

de la ecuación en forma canónica se deducen los elementos de la elipse:

a). Centro: (h,k) ------------(1,0)

semieje mayor = √(5)

semieje menor = √(3)

Semieje focal = √(a² - b²) = √(5 - 3) = √(2)

b). Focos: (h±c,k)--------------(1+√(2),0) y (1-√(2),0)

c). Vértices: (h±a,k)----- (1+√(5),0) y (1-√(5),0)

CoVértices: (h,k±b)-------(1,√(3)) y (1,-√(3))

2. De la siguiente hipérbola: 4y2 – 9x2 + 16y + 18x = 29. Determine:

a. Centro

b. vértice

c. foco

4y² - 9x² + 16y + 18x = 29

4y² + 16y - 9x² + 18x = 29

4(y² + 4y) - 9(x² - 2x) = 29

4(y² + 4y + 2²) - 9(x² - 2x + 1²) = 29 + (4)(4) - (9)(1)

4(y + 2)² - 9(x - 1)² = 36 dividimos entre 36

¿¿ que equivale a ¿¿

Ahora tenemos la ecuación de una hipérbola con eje focal paralelo al eje Y de la forma

(y - k)²/(a)² - (x - h)²/(b)² = 1 donde

a). centro= (h, k)

(1, -2)

a = semi eje real o transverso ⇒ 3

b = semi eje imaginario o conjugado ⇒ 2

b) vértices: (h, k ± a)

(1, -2 ± 3)

(1, -5) (1, 1) de la igualdad

c² = a² + b²

c² = 9 + 4

c² = 13

c = √13

c). focos= (h, k ± c)

(1, -2 ± √13)

(1, -2 + √13) (1, -2 - √13)

3. Analice la siguiente ecuación: x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0. Determine:

a. Centro

b. Radio

x2+ y2−6 x−8 y+9=0

Para ello hay que completar cuadrados.

x^2 - 6x +9 - 9 + y^2 -8y +16 - 16 + 9 = 0

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 - 16 = 0

(x - 3)^2 + (y - 4)^2= 4^2

a). Centro = (3, 4)

b). Radio = 4

4. De la siguiente parábola: x2 + 6x + 4y + 8 = 0. Determine:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

x² + 6x + 4y + 8 = 0

x² + 6x = - 4y - 8

Completamos el trinomio :

x² + 6x + (b/2)² = - 4y - 8 + (b/2)²

x² + 6x + (6/2)² = - 4y - 8 + (6/2)²

x² + 6x + 3² = - 4y - 8 + 3²

x² + 6x + 9 = - 4y - 8 + 9

x² + 6x + 9 = - 4y + 1 , factorizamos...

Luego la ecuación canónica es: (x + 3)² = -4(y - ¼)= (x - h)² = 4p(y - k)

a). vértice (h, k)

- h = 3

h = - 3

- k = - ¼

k = ¼

Vértice= (-3, ¼ )

b). Foco: (h, k + p)

4p = - 4------ p = - 4/4

p = -1

foco= [-3, ¼ + (-1)]

(-3, ¼ - 1)

(-3, - ¾)

c). Directriz: y = k – p

y = ¼ - (-1)

y = ¼ + 1

y = 5/4

5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x – y - 2 = 0.

Primero despejamos " y " de 2x-y-2=0:

y = 2x - 2 como la pendiente de esta recta es: m = 2 , el opuesto e inverso de m será la pendiente de la recta perpendicular: luego - 1/2 sería la pendiente de la recta que estamos buscando:

y = -1/2 x + b

Como pasa por el punto: M=(-2;3) = (x, y) reemplazamos las coordenadas del mismo en la ecuación para hallar el valor de " b":

3 = (- 1/2) (- 2) + b

3 = 1 + b

b = 2

Por lo tanto la ecuación general de la recta que pasa por el punto M(-2;3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x-y-2=0 es:

y = (-1/2) x + 2

6. Realizar los siguientes ejercicios de sumatorias y productorias. Se debe colocar el desarrollo y resultado del operador.

a) ∑i=1

5

¿¿

¿

¿¿

¿¿

¿¿

¿

b). ∏i=1

4

( 1i+1

)

i(i+1)

=( 1(1+1 ) )( 2

(2+1 ) )( 3(3+1 ) )( 4

(4+1 ) )

i(i+1)

= (1 )( 23 )( 34 )( 45 )

i(i+1)

=25

CONCLUSIONES

Se realizó este trabajo para desarrollar competencias en la solución de problemas relacionados con geometría analítica, sumatorias y productorias.

al llegar al final del estudio de las temáticas, nos veremos capaces de poner en práctica los conocimientos adquiridos con las matemáticas, algebra y trigonometría.

un proceso educativo es para cada día aprender y aprender y colocarlo en práctica por lo tanto seguimos mejorando para alcanzar los éxitos.

Por medio de la práctica se pretendió evaluar el conocimiento y medir hasta donde el estudiante ha desarrollado las competencias necesarias y de esta manera lograr el objetivo de la materia.

La finalidad de esta actividad es fomentar el trabajo en equipo y mejorar loas habilidades interpersonales y de comunicación.