Laboratorio sobre movimiento

Actividad: El vuelo de un avión

Luis Alberto Velázquez Vázquez

Docente en línea;

FISICA BI-BQUI-1502S-B1-003

Jiutepec, Morelos, 25/julio/2015

"La gravedad explica el movimiento de los planetas, pero no puede explicar quién establece los

planetas en movimiento."

Isaac Newton

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Los Aviones, la aplicación de la tercera ley de Newton, ley de Bernoulli.

Los aviones se mantienen en vuelo debido a la fuerza de sustentación que se produce a una determinada velocidad por el empuje del aire sobre las alas. La sustentación es la fuerza generada sobre un cuerpo que se desplaza a través un fluido, de dirección perpendicular a la velocidad del corriente incidente.

La fórmula matemática que define la sustentación (L) es la siguiente:

L=12ρ v2SCL

Es decir, que la SUSTENTACIÓN (L, medida en Newtons) depende de la DENSIDAD DEL AIRE (ro, griega)  que a su vez es función de la temperatura, la altitud y la presión, de la VELOCIDAD (V) al cuadrado, de la SUPERFICIE ALAR  (S) y del COEFICIENTE DE SUSTENTACIÓN  (CL) que es un coeficiente adimensional, específico para cada avión. Vemos que la velocidad es crucial para conseguir sustentación. Además de las otras variables como EL ANGULO DE ATAQUE.

El fenómeno de la sustentación es tan complejo que hay varias posturas que pretenden demostrarlo. Unos se inclinan por la ecuación o teorema de Bernoulli, otros por las leyes de Newton y otros que suman la dos o parte de ellas, dándole a cada una un determinado valor. Veamos primero, las cuatro principales fuerzas que actúan sobre un avión:

Hay cuatro fuerzas fundamentales que afectan al avión: el empuje, la resistencia, el peso y la sustentación.

Si el avión estuviera parado, estaría afectado por sólo dos fuerzas, el peso (gravedad terrestre) y la resistencia (que impide el movimiento). Para que vuele el avión hay que vencer esas dos fuerzas: la resistencia con el empuje del motor, que es lo que genera la sustentación que vence al peso del aparato.

La fuerza de empuje o tracción debe superar a la de resistencia, mientras que la de sustentación debe ser mayor que el peso para que el avión se eleve. A medida que el empuje es mayor, el avión irá más rápido, por lo tanto, el aire que circula por las alas también será más rápido y se generará sustentación.

Borde de ataque

Radio de curvatura del borde de ataque

Superficie superior

Espesor máximo

Cuerda

Borde de salida

Línea de curvatura media

Ordenada máxima de la línea de curvatura media

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Cuerda: Es la línea recta que une el borde de ataque con el borde de fuga. Es una dimensión característica del perfil.Línea de curvatura media: Es una línea equidistante entre el extradós e intradós. Establece la curvatura del perfil. Si la línea de curvatura media, pasa por encima de la cuerda se dice que la curvatura es positiva, si va por debajo es negativa y de doble curvatura si va en un tramo por arriba y en otro por debajo.Ordenada máxima de la línea de curvatura media (COMBA): Es la máxima distancia entre la línea de curvatura media y la cuerda; este valor y su posición a lo largo de la cuerda ayuda a definir la forma de la línea de curvatura media. El valor de la ordenada máxima, y su posición suelen darse en forma de % de la cuerda.El espesor máximo se expresa en % de la cuerda. El valor del espesor varía desde un 3% en los muy delgados hasta un 24% en los muy gruesos.El radio de curvatura del borde de ataque: Define la forma del borde de ataque y es el radio de un círculo tangente al extradós e intradós, y con su centro situado en la línea tangente en el origen a la línea de curvatura media.El ángulo de ataque es el que existe entre la cuerda y la dirección del vector velocidad de la corriente libre de aire.

El ángulo varía en función de la dirección del viento relativo y de la posición de las alas con respecto a éste, un cambio que puede controlar el piloto. Cuando el ángulo de ataque supera los límites del avión (es muy elevado), se produce una pérdida de sustentación (en inglés, “stall”). Cuanto más rápido vuela el avión, menor es el ángulo de ataque.

Del mismo modo, a menor velocidad tendremos que aumentar el ángulo de ataque si queremos que el

avión mantenga la misma altitud. El ángulo de ataque no es infinito, una vez superado el llamado ángulo de ataque crítico, el avión no ganará más sustentación y entrará en pérdida.Gráficamente basada en la fórmula matemática se muestra la variación de los coeficientes de muestra y resistencia en función del ángulo de ataque, para un perfil concreto.

Relación entre ángulo de ataque y velocidad.

Angulo de Ataque

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Lla fórmula de la sustentación (L=CL*q*S) donde CL es el coeficiente de sustentación, directamente proporcional al ángulo de ataque; q la presión aerodinámica (1/2dv² donde d es la densidad y v la velocidad del viento relativo) y S la superficie alar. Como en vuelo normal la sustentación es siempre muy cercana al peso y puesto que la superficie alar es invariable (salvo que se extiendan flaps), la fórmula anterior podría escribirse:

Sustentación (L) = Coeficiente de sustentación (CL)* 1/2dv² (q)

La igualdad reflejada en esta fórmula pone de relieve que:

1. En la sustentación total producida L los principales ingredientes son la velocidad y el ángulo de ataque, relacionados de forma que,2. Para mantener una misma cantidad de sustentación, si la velocidad v disminuye, el coeficiente de sustentación CL (que depende del ángulo de ataque) debe incrementarse y viceversa, tal como muestra el gráfico de la fig.1.7.6.

Velocidad vs. Coeficiente de sustentaciónPuesto que los gráficos de las figuras tienen en común el coeficiente de sustentación, combinando ambos vemos la correspondencia existente entre velocidades y ángulos de ataque, como se muestra en la fig.1.7.7; a mayor coeficiente de sustentación mayor ángulo de ataque y menor velocidad; cuando este coeficiente ha alcanzado su máximo la velocidad está en el mínimo; este mínimo es la velocidad de pérdida (Vs).

LAS POSICIONES SOBRE LA SUSTENTACIÓN

Cada una de las teorías, efectos o principios mencionados se explica la sustentación:

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Daniel Bernoulli comprobó experimentalmente que "la presión interna de un fluido (líquido o gas) decrece en la medida que la velocidad del fluido se incrementa", o dicho de otra forma "en un fluido en movimiento, la suma de la presión y la velocidad en un punto cualquiera permanece constante", es decir que  p + v = k.

Para que se mantenga esta constante k, si una partícula aumenta su velocidad v será a costa de disminuir su presión p, y a la inversa.

El teorema de Bernoulli se suele expresar en la forma p+1/2dv² = constante, denominándose al factor p presión estática y al factor 1/2dv² presión dinámica.(1)

p + 1/2 dv² = k;       1/2 dv² = pd

p=presión en un punto dado.      d=densidad del fluido.      v=velocidad en dicho punto.      pd=presión dinámica.

 

Se puede considerar el teorema de Bernoulli como una derivación de la ley de conservación de la energía. El aire esta dotado de presión p, y este aire con una densidad d fluyendo a una velocidad v contiene energía cinética lo mismo que cualquier otro objeto en movimiento (1/2 dv²=energía cinética). Según la ley de la conservación de la energía, la suma de ambas es una constante: p + (1/2dv²) = constante. A la vista de esta ecuación, para una misma densidad (asumimos que las partículas de aire alrededor del avión tienen igual densidad) si aumenta la velocidad v disminuirá la presión p y viceversa.

Enfocando este teorema desde otro punto de vista, se puede afirmar que en un fluido en movimiento la suma de la presión estática pe (la p del párrafo anterior) más la presión dinámica pd, denominada presión total pt es constante: pt=pe+pd=k; de donde se infiere que si la presión dinámica (velocidad del fluido) se incrementa, la presión estática disminuye.

En resumen, que si las partículas de aire aumentan su velocidad será a costa de disminuir su presión y a la inversa, o lo que es lo mismo: para cualquier parcela de aire, alta velocidad implica baja presión y baja velocidad supone alta presión.Esto ocurre a velocidades inferiores a la del sonido pues a partir de esta ocurren otros fenómenos que afectan de forma importante a esta relación

1) PRINCIPIO DE BERNOULLI: Este físico y matemático suizo dijo en 1738 que “cuando la velocidad de un fluido no viscoso aumenta, su presión interna disminuye. Según la fórmula, si la P1 es mayor que la P2, la V1 es menor que la V2.”

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Eliminando de la ecuación los conjuntos de la energía potencial (pgh, densidad, gravedad y altura) al no haber altura en el diagrama que representa este tubo estrechándose. De este modo, observo con inquiedtud que si aumentamos P1 deberemos disminuir V1 para que la igualdad se cumpla.

Efecto Venturi: Es una consecuencia de la ecuación de Bernoulli; el color es más azulado cuando hay más presión, tal como se observa en el manómetro de la izquierda. Autor: Thierry Dugnolle

Es decir, (ver imagen de abajo) aplicando este principio de Bernoulli tenemos que las partículas de aire van más rápido por encima del ala (extradós) que las de abajo, por lo que la presión es menor; y por el contrario, debajo del ala (intradós) al haber menor velocidad la presión es mayor que en el extradós, con lo que se produce un empuje hacia arriba que provoca parte de la sustentación del avión.

2) ACCIÓN Y REACCIÓN:

La tercera ley de Newton establece lo siguiente: siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, este ejerce una fuerza de igual magnitud pero en

+ Rápido

- velocidad

Avión

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sentido opuesto sobre el primero. Con frecuencia se enuncia así: A cada acción siempre se opone una reacción igual pero de sentido contrario. En cualquier interacción hay un par de fuerzas de acción y reacción situadas en la misma dirección con igual magnitud y sentidos opuestos, esto se refiere:

“nos dice que si hay una fuerza que se ejerce sobre la parte inferior del ala, provoca otra en sentido contrario idéntica en intensidad”. En este sentido, los que sostienen la elevación se produce por la tercera ley de Newton sostienen que detrás del ala de una aeronave en vuelo existe una clara fuerte corriente de aire descendente que forzada hacia abajo produce una reacción hacia arriba.Es indudable que las partículas del aire relativo ejercen una fuerza contra el avión, es decir, que chocan contra él como su fueran perdigones impactando contra la superficie inferior del ala, produciendo una acción de abajo hacia arriba que provoca algo de sustentación.

Ejemplo de la tercera ley de Newton:

Los que rechazan el efecto Bernoulli, siguen utilizando la tercera ley de Newton para explicar la sustentación y argumentan que el ala en su parte trasera expulsa una gran masa de aire hacia abajo lo que provoca, precisamente por esa ley newtoniana, un empuje hacia arriba. Esta masa de aire hacia abajo se produce por el llamado efecto Coanda, que se basa en la viscosidad de los fluidos que se adhieren a las superficies con las que entran en contacto.

En base a esto estamos en condiciones de saber cómo entra en pérdida un ala. Con moderados ángulos de

ataque el flujo de aire sigue el contorno de la superficie del ala y el punto de transición a turbulencia se mantiene cercano al borde de salida (1); pero a medida que el ángulo de ataque se incrementa (2), el flujo de aire tiene mayor dificultad para seguir el contorno

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del ala debido al intenso cambio de dirección y el punto de transición se va desplazando hacia el borde de ataque (3); cuando el ángulo de ataque es mayor que el ángulo crítico, el aire es incapaz de seguir el contorno del ala, el punto de transición está tan adelantado que apenas hay capa laminar(o efecto coanda) y casi toda es turbulenta (4). En ese momento la presión diferencial se ha reducido y la resistencia se ha incrementado, hasta el punto de que no hay sustentación suficiente para soportar el peso del aeroplano y el ala entra en pérdida.

La pérdida es un fenómeno exclusivamente aerodinámico que se produce por un excesivo ángulo de ataque. Conviene recordar que el ángulo de ataque está formado por la cuerda del ala y la dirección del viento relativo, la cual no tiene porqué coincidir con la dirección a la que apunta el morro del avión.Insisto, la pérdida se debe a un excesivo ángulo de ataque y puede ocurrir con cualquier velocidad, cualquier actitud y cualquier potencia.

Hay dos aspectos que conviene conocer respecto al ángulo de ataque crítico y la velocidad de pérdida. Cada perfil en particular tiene un ángulo de ataque, normalmente entre 16º y 20º, en el cual el flujo de aire se separa del ala y esta entra en pérdida. Aunque los expertos en aerodinámica dicen que el ángulo de ataque crítico no es siempre una constante absoluta, a efectos prácticos se considera constante, con independencia del peso, la presión aerodinámica, el ángulo de alabeo, etc... O sea, que cada aeroplano tiene un ángulo de ataque crítico específico, el cual corresponde al coeficiente máximo de sustentación CL.

Por el contrario, la velocidad de pérdida de un aeroplano dado no tiene un valor fijo y constante para todas las situaciones de vuelo, pues los factores anteriores si que la afectan.

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LA VERDAD

Todo está relacionado y todo interviene en mayor o menor medida y no se puede excluir ningún fenómeno. Quienes rechazan el principio de Bernoulli, porque argumentan que entonces un ala invertida (el avión boca abajo) no gozaría de las mismas consecuencias del citado principio, olvidan que existe el ángulo de ataque que bien podría el piloto aumentar incluso boca abajo, sin olvidar que ningún avión que no fuera acrobático haría semejante imprudencia de volar invertido; y hay que recordar que los aviones acrobáticos tienen los perfiles alares simétricos por lo que el principio de Bernoulli funcionaría exactamente igual en una u otra posición.

Lo verdaderamente importante y esencial para que un avión vuele es la velocidad y el ángulo de ataque. Con un ángulo de ataque negativo el avión ni despegaría, y sin velocidad lo mismo. Con la velocidad, el avión consigue elevarse (independientemente de que tenga flaps o cualquier tipo de sustentadores) y luego mejorará la sustentación con el ángulo de ataque. Después, intervendrán los demás principios y leyes, sin duda. Decir, finalmente, que la curvatura del ala es importante, pero no esencial para el vuelo.

Y no olvidemos que la velocidad produce resistencia como consecuencia de las leyes de acción y reacción, que a su vez hace disminuir la sustentación.

La inclinación afecta de manera muy importante a la velocidad del aparato. De este modo, cuando lo inclinemos hacia abajo el avión ganará velocidad de manera importante y cuando lo inclinemos hacia arriba la perderá. Es importante controlar esto, pues ambas situaciones, en exceso, pueden ser peligrosas: bajar muy bruscamente puede llevarnos a un exceso de velocidad que dañaría seriamente el aparato y tratar de subir con demasiada brusquedad puede hacernos perder tanta velocidad que comprometamos la capacidad del aparato para mantenerse en vuelo.

También es importante tener en cuenta otro factor: el ángulo de ataque. El avión no siempre avanza en la velocidad en la que apunta su morro; más bien se desliza por el aire. De este modo, cuando ‘levantamos’ el morro (lo inclinamos hacia arriba), el ala ‘atacará’ el aire en un ángulo más pronunciado, lo que generará más fuerza de

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sustentación por parte del viento, haciendo que el avión suba. Lo mismo, pero a la inversa, ocurre al ‘bajar’ el morro.Esto es cierto hasta determinado ángulo de ataque… Si inclinamos demasiado el ala con respecto al viento, se producirán fuertes turbulencias y el ala dejará de ‘sujetarse’ en el aire, produciéndose lo que se conoce como ‘entrada en pérdida’.

En realidad, el piloto al tirar de la palanca lo que hace es mover el timón de profundidad, situado en las aletas horizontales de la cola, para alterar el flujo de aire que pasa por las mismas y que la cola tire hacia arriba (inclinando el avión hacia abajo) o hacia abajo (inclinando el avión hacia arriba).

PRINCIPIO DE PASCALEn física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume en la frase: la presión ejercida sobre un fluido poco compresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido.1

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma presión.

También podemos observar aplicaciones del principio de Pascal en las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos, en los frenos hidráulicos y en los puentes hidráulicos.

La prensa hidráulica es una máquina compleja que permite amplificar las fuerzas y

constituye el fundamento de elevadores, prensas hidráulicas, frenos y muchos otros

dispositivos hidráulicos.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y

también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia,

en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está

completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de

secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de

modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor

sección S1 se ejerce una fuerza F1 la presión p1 que se origina en el líquido en contacto

con él se transmite íntegramente y de forma casi instantánea a todo el resto del líquido.

Por el principio de Pascal esta presión será igual a la presión p2 que ejerce el fluido en la

sección S2, es decir:

con lo que las fuerzas serán:

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con S1 < S2. Por tanto, la relación entre la fuerza resultante en el émbolo grande cuando

se aplica una fuerza menor en el émbolo pequeño será tanto mayor cuanto mayor sea la

relación entre las secciones:

Por ejemplo el principio de pascal en aviones viene aplicado en el aterrizaje de aviones en los frenos como también en los gatos hidráulicos que hacen mover a los timones, los aleros, flaps, spoilers o Aero frenos todos estos mencionados emplean el uso de presión de fluidos en este caso aceite hidráulico donde ejerciendo una fuerza hace la movilidad de estos.

PROBLEMAS CON DESARROLLO Y RESULTADO.

1.- El Área de un pistón pequeño de la prensa hidráulica del flap mide 30 cm² sobre el actúa una fuerza de 112 Kgf, calcular la fuerza que se obtendrá en el pistón grande de 580 cm² de área.

DATOS: A1= 30 cm²A2= 580 cm²F1=112 Kgf.

F2= ?

F1A1

= F 2A2

F2=(F1)(A 2)

A 1

F2=(112Kgf )(580c m2)

30cm ²F2=2,165Kgf

2.- Calcular el radio r de un pistón de mayor tamaño de una prensa hidráulica capaz de producir una fuerza de 1600 kgf sabiendo que el pistón de menor tamaño de 2.61 de radio r se aplica una fuerza de 120 kgf.Datos:F2= 1600kgfr1= 2.61cm.F1= 120 kgfr2= ?Necesitamos conocer el área.

A=πr ²A=πr 1² A=πr 2²

A1=π (2.61cm )2 A1=21.40cm ²F1A1

= F 2A2

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A2=( A1 ) (F 2 )

F1A2=

(21.40 cm²)(1600kgf )120kgf

=285.33cm ²

r ²=√ A ²π

=r ²=√ 285.33cm²3.14159=r=9.530cm

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: ”Un cuerpo total o

parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba

igual al peso del volumen del fluido que desaloja”. Esta fuerza  recibe el nombre

de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el SI). El principio de

Arquímedes se formula así:

o bien

Donde E es el empuje, ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado»

por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la aceleración de la

gravedad y m la masa. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del

volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones

normales2 y descrito de modo simplificado3 ) actúa verticalmente hacia arriba y está

aplicado en el centro de gravedad del cuerpo; este punto recibe el nombre de centro

de carena.

DEMOSTRACION DE ESTE PRINCIPIO BAJO TEOREMA DE STOKES.

Aunque el principio de Arquímedes fue introducido como principio, de hecho puede

considerarse un teorema demostrable a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para un

fluido en reposo. Mediante el teorema de Stokes (igualmente el principio de Arquímedes

puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de Euler para un fluido en reposo, que

a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a un medio continuo).

Partiendo de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido:

La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar en la ecuación

anterior , lo que permite llegar a la relación fundamental entre presión del fluido,

densidad del fluido y aceleración de la gravedad:

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A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo

sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un

sólido K en un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad de

superficie   perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del

fluido p en ese punto. Si llamamos   al vector normal a la superficie del cuerpo

podemos escribir la resultante de las fuerzas   sencillamente mediante el teorema de

Stokes de la divergencia:

Donde la última igualdad se da sólo si el fluido es incompresible.

Prisma recto

Para un prisma recto de base Ab y altura H, sumergido en posición totalmente vertical, la

demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración del prisma dentro del

fluido las presiones sobre el área lateral sólo producen empujes horizontales que además se

anulan entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que

todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y

podemos usar la relación Fuerza = presión x Área, y teniendo en cuenta la resultante sobre

la cara superior e inferior, tenemos:

Donde   es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo,   es la presión

aplicada sobre la cara superior y A es el área proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la

ecuación general de la hidrostática, que establece que la presión en un fluido en reposo

aumenta proporcionalmente con la profundidad:

Introduciendo en el último término el volumen del cuerpo y multiplicando por la densidad del

fluido ρf vemos que la fuerza vertical ascendente FV es precisamente el peso del fluido

desalojado.

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El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente,

cuando éste se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el

cuerpo suspendido en el aire y el "peso" que tiene el mismo cuando se lo introduce en un

líquido. A éste último se lo conoce como peso "aparente" del cuerpo, pues su peso en el

líquido disminuye "aparentemente"; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo

permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba que

disminuye la resultante vertical.

Donde   es el peso del cuerpo en el aire y   es el peso del cuerpo sumergido en el

líquido.

PROBLEMAS CON DESARROLLO Y RESULTADO.

1.- un cuerpo pesa 545 kgf en aire y 380 kgf en gasolina, encontrar el peso específico del cuerpo

(el peso específico de la gasolina es de =0.7grf/cm³.

Datos:

W1= 545 grf. δ=wv

W2= 396 grf. Si encontramos el volumen de este cuerpo. Se recurre al principio

Arquímedes

ME=0.7 grf. E=(δ ) ( v ) v= EδE=W 1−W 2 E=545 grf−396 grf E=149 grf

Gracias al principio de Arquímedes nos dice que el volumen desalojado es igual al

volumen del cuerpo. Se despeja

v=Eδv=149 gr f

0.7 grf

cm3

v ≈207.14c m3

δ=wvδ= 545grf

207.14c m3δ=2.631grf /cm³

Una esfera de cobre que tiene 10 cm. De diámetro se suelta al nivel de aforo (liquido) en un depósito lleno de agua de 2.10 m. de profundidad despreciando el rozamiento, calcular:

a) el peso de la esfera b) el empuje

Datos: a¿W=mgd=mvm=(d)(v )

Esfera para encontrar la densidad buscamos la densidad del cobre ya la tenemos y ahora par el volumenCobre = 8.5 gr/cm³ de la esfera recurro por el método de volumen esferas.D=10 cm.

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A= 2.10 m. v=43πr ³

Necesito el radio recurro a:

r=D2

=102

=5cm .

Sustituyo v=43π (5cm )³

v≈523.59cm ³

Sustituyo m=(d ) ( v )m= (8.5gr /cm³ ) (523.39cm3 )m=4,448.81 gr .

Ahora para hallar a¿W=mgd=mvm=(d)(v )

W=(4,448.81 gr ) (9.8m /s ² )=43,568.24Pero esto que obtuvimos seria no dimensional así que debemos sustituirlo y coversionarlo a kg.

m=4,448.81gr akg m=4.449kg W=(4.449kg)(9.8m / s ²)=43.6N

b) E=(δ ) ( v )Para obtener la densidad es

δ=Wv

=mgv

=dg

E=dgvojo :densidad pero del aguanoesfera .

E=(1 gr /cm ³)(980cm / s ²)(523.39 c m3)porque se tomav de laesfera ,debidoaque arquimedesdijo el volumendeaguadesplazado sera elmismo volumendel objetoque se sumerge para desplazar .

E=512,922.2dinas1N equivalea1000000dinas . sustitu imos

512,9222.2dinas( 1N100000dinas )=¿

E=5.13N