Actividad 5 parte d

MATEMATICA IACTIVIDAD 5 – PARTE D

GRUPO: Julieta MALDONADO y Victor BOGADO

Parte D. Grupal.

En esta instancia colaborativa de aprendizaje y junto a su compañero de grupo:

Seleccione un ejercicio del Listado de ejercicios adjunto en el pizarrón de la Actividad 5.

Comunique el ejercicio seleccionado en el pizarrón de la Actividad 5.

Resuelva ejercicio seleccionado.

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):

a) El vector genérico TX.

b) El núcleo de esta TL.

c) Los autovalores de la TL.

d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.

Además:

e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.

f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?

g) Plantee la transformación inversa.

MATRIZ ELEGIDA Nº27:

A=[ 0 −1−6 −1]

a) El vector genérico TX.

T :R2→R2

x→T x

TX=[ 0 −1−6 −1][X1

X2]=[ −x2

−6 x1−x2 ]

VECTOR GENERICO TX



b) El núcleo de esta TL.

NulT={x∈R2/ Ax=0 }

Buscamos el vector x que satisfaga lo antes planteado.

El det(A) = -6 por lo cual el sistema admite una unica solución. Por lo tanto el vector que

buscamos es {[00]}.

c) Los autovalores de la TL:

( A−kL ) X=0; con X≠0

det ([ 0−6

−1−1]−[k 0

0 k ])=0

det ( −k−6−1

−1−k )=0

Resolviendo con Wiris vemos que:



Luego resolviendo la ecuación cuadrática con OnlineMSchool obtenemos sus raices:

Obtenemos k1=2 y k2=¿ 3¿ , son los autovalores buscados.

d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.

Utilizando k=2

A−KI=A−2 I=[ 0 −1−6 −1]−[2 0

0 2]=[−2 −1−6 −3]

A partir de la definición planteada en el punto C:

( A−2 I ) X=0→[−2 −1−6 −3] . [x1

x2]=0

s={[x1

x2]= x( A−2 I ) x

=0}



Entonces: −2 x1=x2

s={[−t2t ] /t=−x1 , x1∈R}={[−1

2 ] . t / t=−x1 , x1∈R}=¿

Gen{[−12 ]}=espacio generado por el autovector [−1

2 ] parael autovector k=2

Para k=-3

A−KI=A−(−3 I )=[ 0 −1−6 −1]−[−3 0

0 −3]=[ 3 −1−6 2 ]

Entonces tenemos:



( A−(−3 I )) x=0→[ 3 −1−6 2 ] .[ x1

x2]=0

s={[x1

x2]=x /( A−(−3 I ) )x=0}

Entonces: 3 x1=x2

s={[ t3t ]/ t=x1 , x1∈ R}={[13] . t /t=x1 , x1∈ R}

Gen{[13 ]}=espacio generado por el autovector [13 ]parael autovector k=−3

e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.



f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?

Si A es diagonalizable se debe cumplir:

A=PDP−1

A=[1 −13 2 ] .[2 0

0 −3 ] .[1 −13 2 ]

−1

Resolvemos con Wiris P−1 :

Resolución con Wiris:

A=PDP−1



La matriz resultante a verificar no es la misma que A, por lo tanto A no es diagonizable.

g) Plantee la transformación inversa.

T−1:R2→R2

[X1

X2]→[ 0 −1−6 −1]

−1

.[X1

X2]

Calculamos la inversa de A utilizando OnliMSchool

Entonces:

[X1

X2]→[1/6 −1/6−1 0 ]

−1

.[X1

X2]=[16x1−

16x2

−x1]

Actividad 5 parte d

Engineering

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