Actividad_ecuaciones
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Actividad 1.
Una ecuación diferencial lineal de orden 2 es de la forma:
Si b( x )=0, se dice que la ecuación es Homogénea , si b( x )≠0, se llama ecuación no homogénea y el termino b( x ), se denomina termino no
homogéneo.
Actividad 2.
En caso de que p(x)¿−7x
entonces
se puede ver que una segunda solución l.i. con
y1 (x ) es simplemente ỹ 2 ( x )=x10 . De modoque lasolución general en (0 , α ) de la ecuacióndiferen cial es :
y ( x )=C1 x−2+C2 x10
Actividad 3.
1. w (x )=|y1 y2y1
' y2' |=¿w ( x )=|e
x2 xe
x2
ex2
2e
x2
2(x+2)|= ex (x+2)
2− xex
2=ex
2. w (x )=|y1 y2 y3y1
' y2' y3
'
y1' ' y2
' ' y3' '|=¿ w ( x )=|x x−2 x−2 ln ( x )
1−2x3
1−2 ln ( x )x3
06
x46 ln ( x )−5
x4|=¿
¿−12 ln ( x )+10
x7+0+
6 ln ( x )x6
−(0+6−12 ln ( x )x5
+6 ln ( x )−5
x6 )10−12 ln ( x )
x7+0+
6 ln ( x )x6
−6−12 ln ( x )
x5−6 ln ( x )−5
x6¿
−x2(6−12 ln ( x )+5 x+10−12 ln ( x ))x7
Actividad 4.
Ejercicio1. w ( e4x , e−x )| e4 x e−x
4 e4x −e−x|= e5x−1ex -
4 e5 x−1ex = −3e4 x ≠ 0
y=C1 e4x+C2e− x Es una solución general de la ecuación en R
Actividad 5.
ay ' '−by '+cy=0
am2−bm+c=0
Donde: m=−b±√b2−4ac2a
m=12±√(12)2−4(4)(9)
2(4 )
m=12±√08
m1=32
m1=m2
La solución general seria: y=C1 e32
x+C2 x e
32
x
ay ' '+by '+cy=0am2+bm+c=0
Donde: m=−b±√b2−4ac2a
m=−2±√(2)2−4 (2)(3)
2(2)
m=−2±√4−244
=−1±√−202
=¿
m1=−1+√−20
2, m2=
−1−√−202
y=e−12
x(C¿¿1cos (1
2√20)+C2 sen (1
2√20))¿
y ' '−by '+cy=0m2−6m+9=0
(m−3 ) (m−3 )=0
(m−3 )2=0 , m1=m2=3
La solución general seria: y=C1 e3 x+C2 x e3x
Reemplazamos la primera condición y (0)=1 , en la solución general y=C1 e3 x+C2 x e3x
y=C1 e3.0+C2 x e3.0
1=C1 e0+C20 e0
1=C1
Reemplazamos la segunda condición y (0)=5 , en la solución general y=C1 e3 x+C2 x e3x
y '=3C1e3x+C2e
3x(3x+1)
5=3C1 e3.0+C2 e3.0(3.0+1)
5=3C1+C2
Resolviendo el sistema5=3+C2
C1=1 ,C2=2
La ecuación auxiliar es:
m5+4m4+5m3−6m−4=0
Se tiene por división sintética: 1+4+5+0−6−4 /1
1+5+10+10+4 /−1
1+4+6+4 /−2
(m¿¿2+2m+2)(m+2)(,m+1)(m−1)¿
m=−b±√b2−4ac2a
m=−2±√(2)2−4 (1 )(2)
2(1)=¿m1=−1+2 i , m2=−1−2i
m3=−2 , m4=1, m5=−1
La ecuación auxiliar es:
m5+5m4−2m3−10m2+m+5=0Se tiene por división sintética: 1+5−2−10+1+5 /−5
1+0−2+0+1/−1
1−1−1+1/1
(m+5 ) (m+1 ) (m−1 )=0
m1=−5 , m2=−1 , m3=1
La ecuación auxiliar es:
m3−5m2+3m+9=0Se tiene por división sintética:
1−5+3+9/31−2−3/−11−3 /3
(m−3 ) (m+1 )=0
m1=3 , m2=−1 ,
La ecuación auxiliar es: 9m2+6m+82=0
Se tiene por división sintética:
m=−b±√b2−4ac2a
m=−6±√ (6 )2−4 (9 ) (82 )
2 (9 )=−1+√−2916
3=−1+54 i
3
=−1−√−29163
=−1−54 i3
Reemplazamos la primera condición y (0 )=−1 , en la solución general
y=e−13
x(C¿¿1cos (54 x)+C2 sen (54 x))¿
−1=e−13.0(C¿¿1cos (54.0)+C2 sen (54.0))¿
−1=C1
Reemplazamos la segunda condición y (0)=2 , en la solución general
y=e−13
x(C¿¿1cos (54 x)+C2 sen (54 x))¿
y '=13
e−x3 (−(C1−162C2 )cos (54 x )−(162C1+C ¿¿2)sen (54 x ))¿
2=13
e−03 (−(C1−162C2 )cos (54.0 )−(162C1+C ¿¿2)sen (54.0))¿
2=13
(−C1+162C2 )
2=13+54C2=¿C2=
5354
=0.03086
Actividad 6.
Actividad 7.
Asumimos que y=xm
y '=m xm−1
y ' '=m(m−1)xm−2
x2 (m (m−1 ) xm−2 )−7 x (m xm−1 )+41xm=0
xm ¿ ÷xm
¿
m2−m−7m+41=0
m2−8m+41=0
m2+1=0
m=4±10i => m1=4+10 i
m2=4−10i
y=x 4(C1 cos (10 lnx)+C2 sen (10 lnx))
Asumimos que y=xm
y '=m xm−1
y ' '=m(m−1)xm−2
x2 (m (m−1 ) xm−2 )+8 x ( m xm−1 )+10 xm=0
xm ¿ ÷xm
¿
m2−m+8m+10=0
m2+7m+10=0
(m+5 ) (m+2 )=0
m=−5 ,m=−2
La solución general seria: y=C1 e−5x+C2 xe−2 x
x2 y ' '+8 x y '+10 y=x−1lnx ÷ x2
y ' '+ 8 y 'x
+ 10 y
x2=x−3 lnx ÷ x2
g ( x )=x−3lnx
w ( e−5x , x e−2x )| e−5x xe−2x
−5e−5x e−2 x(1−2 x)|=e−7x (1−2x )+5 x e−7x=e−7 x(5 x+1−2 x)
w=e−7 x(1+3x )
w1=| 0 xe−2x
x−3 lnx e−2x (1−2 x)|= lnxe2x x2
w2=| e−5 x 0−5e−5 x x−3lnx|= lnx
e5 x x3
u1=∫w1
wdx=∫
lnx
e2 x x2
e−7x (1+3x )dx=∫ e5 x ln (x)
x2 (1+3x )dx
u2=∫w2
wdx=∫
lnx
e5 x x3
e−7x (1+3x )dx=∫ e2 x ln (x)
x3 (1+3 x )dx
y=e−5x (∫ e5 x ln ( x )x2 (1+3x )
dx)+xe−2x (∫ e2x ln (x )x3 (1+3 x )
dx )
Asumimos que y=xm
y '=m xm−1
y ' '=m(m−1)xm−2
x (m (m−1 ) xm−2 )−4 ( m xm−1 )=0
xm−1¿ ÷xm−1
¿m2−m−4m=0
m2−5m=0m (m−5 )=0m=0 ,m=5
La solución general seria: y=C1 e0 x+C2 xe5x
x y' '−4 y '=x4÷ x
y ' '−4 y '
x=x3
g ( x )=x3
w ( e0x , xe5x )|1 xe5x
0 e5 x (1+5x )|=e5 x (1+5 x )
w1=|0 xe5 x
x3 e5 x(1+5 x )|=−x4 e5x
w2=|1 00 x3|=x
3
u1=∫w1
wdx=∫ −x4 e5 x
e5x (1+5 x )dx
u2=∫w2
wdx=∫ x3
e5x (1+5 x )dx
y=(∫ −x4 e5x
e5 x (1+5 x )dx )+xe5 x(∫ x3
e5x (1+5 x )dx)