ACTIVIDADES PROPUESTAS FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Al buscar el registro de la temperatura T (ºC) correspondiente al 30/06/2004, un meteorólogo observa que se le

han borrado algunos datos. Alcanza a leer una anotación hecha al pie donde dice que ese día la temperatura tuvo

un comportamiento cuadrático. También lee que a las 6 y a las 22 hs. se registró una temperatura de 0ºC y que la

máxima de ese día fue de 10ºC. Con estos datos, el meteorólogo decide reconstruir la función que le permita

calcular T para otras horas de ese día. ¿Lo ayudamos?

a. Hallar T en función del tiempo (en hs.). Graficarla.

b. ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima? ¿y T = 8ºC?

c. Ese día: ¿cuál fue la temperatura mínima?

d. Para ese día: ¿podemos encontrar una función que permita hallar la hora a la que se produjo cada temperatura?

Si así fuera, hallar y graficar dicha función.

e. Para ese día: ¿podemos hallar una función que permita determinar a qué hora, antes de las 14 hs., se produjo

cada temperatura? Si así fuera, hallar y graficar dicha función.

a. Buscamos una función que modelice el comportamiento de la temperatura durante el 30/06/2004

Reconocemos las variables que intervienen y las etiquetamos:

T : temperatura durante el día 30/06/2004 [T] = °C

t: hora del día indicado [t] = hs.

Para describir la temperatura durante todo ese día debemos tomar 0 t < 24

La temperatura durante ese día (T) depende de la hora (t)

Podemos decir entonces que la temperatura es función de la hora T = f (t) con Dom f = [0 ; 24)

¿Qué sabemos de esta relación entre tiempo y temperatura?

DATO: Ese día la temperatura tuvo un comportamiento cuadrático.

O sea que la función f es una función cuadrática.

Repasemos que sabemos de estas funciones.

→ Su gráfica es una parábola.

→ Su ley algebraica se puede expresar de distintas formas:

Forma polinómica C(x) = a x2 + b x +c coeficientes a, b y c

Forma canónica C(x) = a ( x – xv)2 + yv coeficientes a, xv e yv

(el punto de coordenadas (xv ; yv ) es el vértice de la parábola)

Forma factorizada C(x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) coeficientes a, x1 y x2

(x1 y x2 son las raíces o ceros del polinomio, o sea los valores del dominio donde la función vale cero)

Cualquiera de estas formas es válida para expresar una función cuadrática. Usamos la que nos resulte más

conveniente de acuerdo a los datos que tenemos.

Veamos este caso: T = f (t) con f cuadrática

DATO a las 6 y a las 22 hs. se registró una temperatura de 0ºC

esto nos dice que T= f (6) = 0 y T = f (22) = 0

o sea que los puntos (6;0) y (22;0) pertenecen a la gráfica de f

t1 = 6 y t2 = 22 son los ceros o raíces de la gráfica de f

Con este dato podemos plantear la forma factorizada T = f (t) = a (t - t1) (t – t2) = a (t – 6) (t - 22)

Nos falta el coeficiente a.

¿Será positivo o negativo? De esto depende si las ramas de la parábola van hacia abajo (a<0) o hacia arriba (a>0)

Hasta ahora tenemos los puntos (6;0) y (22;0)

Veamos si marcamos en un sistema cartesiano:

Lo lógico sería que la temperatura fuera aumentando

durante el día, llegar a un máximo para luego descender.

Esto nos permite conjeturar que la gráfica de la

temperatura en función de las horas del día sea una

parábola con sus ramas hacia abajo.

El coeficiente a será entonces negativo. ¿Cómo

hallamos su valor?

Veamos el otro dato que tenemos:

DATO la temperatura máxima de ese día fue de 10ºC

Si la parábola tiene sus ramas hacia abajo, el máximo de esa función se dará en el t del vértice y su valor será el

valor de la temperatura en ese t. V (tv ; Tv)

Sabemos que Tmáx = Tv = 10 °C

Nos falta tv. Sabemos que la abscisa del vértice es el punto medio entre las dos raíces.

En este caso las raíces son 6 y 22. Punto medio tv = 6+22

2 = 14

Parece lógico que la temperatura máxima del día sea a las 14 hs.

Tenemos entonces que V (14 ; 10)

O sea que f (14) = T = 10

Con este resultado podemos calcular el coeficiente a

T = f (14) = a ( 14 - 6)(14 - 22) = a. 8 . (-8) = -64. a = 10 a = - 10

64 = -

5

32

Podemos informar la función que nos da la temperatura T para cada hora t de ese día

T = f(t) = - 𝟓

𝟑𝟐 (t – 6) ( t – 22 ) Dom f = [0 ; 24)

Podemos hallar la forma polinómica de esta función cuadrática, aplicando propiedad distributiva:

Resulta T = f (t)= − 𝟓

𝟑𝟐𝒕𝟐 +

𝟑𝟓

𝟖𝒕 −

𝟏𝟔𝟓

𝟖

También la forma canónica. teniendo en cuenta las coordenadas del vértice, resulta:

T = f (t) = - 𝟓

𝟑𝟐 ( t – 14 )2 + 10

Graficamos

Calculamos f(0) = − 𝟏𝟔𝟓

𝟖 = -20,625 T = -20,625°C a la cero hora

f(24) = -5,625 T = -20,625°C a las 24

Dom f = 0 ; 24 )

Img f = -20,625 ; 10

b. ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima? ¿y T = 8ºC?

La temperatura máxima se alcanzó a las 14 hs.

Para saber a qué hora hubo 8°C debemos plantear

T = 8 y hallar t

Podemos observar que significa esto en la gráfica.

Podemos ver que deberíamos encontrar dos

momentos durante el día en los cuales la temperatura

fue de 8 °C. Uno cerca de las 10 hs. y el otro cerca

de las 18 hs.

Para hallar estos valores analíticamente debemos

usar la ley algebraica y despejar t.

¿Cuál de las formas en que tenemos expresada la ley algebraica de la función nos conviene usar?

- 𝟓

𝟑𝟐 (t – 6) ( t – 22 ) = 8

− 𝟓

𝟑𝟐𝐭𝟐 +

𝟑𝟓

𝟖𝐭 −

𝟏𝟔𝟓

𝟖 = 8

- 𝟓

𝟑𝟐 ( t – 14 )2 + 10= 8

Parece que para despejar t nos conviene la última - 𝟓

𝟑𝟐 ( t – 14 )2 + 10 = 8

− 5

32 (t − 14)2 + 10 = 8 −

5

32 (t − 14)2 = −2 (t − 14)2 = (−2) (−

32

5)

(t − 14)2 =64

5 |t − 14| = √

64

5 t − 14 = √

64

5 ó t − 14 = −√

64

5

t1 = √64

5+ 14 ó t2 = −√

64

5+ 14

t1@ 17, 6 ó t2@ 10, 4

O sea que a las 10, 4 hs (10 :24 hs) y a las 17, 6 hs (17:36 hs) la temperatura fue de 8 °C.

c. Ese día: ¿cuál fue la temperatura mínima?

Si observamos la gráfica vemos que ese día la temperatura mínima fue de T = - 20,625 °C , y que se produjo a la

hora 0.

d. Para ese día: ¿podemos encontrar una función que permita hallar la hora a la que se produjo cada temperatura?

Si así fuera, hallar y graficar dicha función.

La función T = f (t) Dom f = [ 0 ; 24) nos da la temperatura (T) para cada hora de ese día (t)

La función que nos permita hallar la hora (t) a la que se produjo cada temperatura (T) sería la función inversa de

f. ¿Existe esa función?

Para saber si f tiene inversa debemos verificar si es biyectiva. O sea si es inyectiva y suryectiva.

f suryectiva C f = Im f Esto se cumple si tomamos C f = -20,625 ; 10

f inyectiva x1 , x2 Dom f x1 x2 f (x1) f (x2)

Como tenemos la gráfica de f . esto lo podemos comprobar con la prueba de la recta horizontal:

“Una función es inyectiva si y solo si toda recta horizontal (paralela al eje x) corta a su gráfica como máximo en

un punto”

Trazando algunas rectas horizontales comprobamos que

esta función no es inyectiva. Por lo tanto, no tiene

inversa.

No podemos dar una función que informe a qué hora se

produjo cada temperatura durante todo ese día.

Por ejemplo, con los cálculos ya hechos en b; sabemos

que hubo dos momentos distintos en los que la

temperatura fue de 8°C.

e. Para ese día: ¿podemos hallar una función que permita determinar a qué hora, antes de las 14 hs., se produjo

cada temperatura? Si así fuera, hallar y graficar dicha función.

En este caso también necesitamos la función inversa; o sea que nos informe la hora a la que se produjo cada

temperatura; pero antes de la 14 hs.

Estaríamos tomando 0 t 14, o sea restringiendo el dominio.

Nuestra nueva función a la que le buscamos la inversa sería

T = g (t) = - 𝟓

𝟑𝟐 ( t – 14 )2 + 10

( la misma ley que f )

Dom g = [ 0 ; 14 ]

Im g = [-20, 625 ; 10]

Si tomamos Codom g = Im g = [-20, 625 ; 10] g es suryectiva

Podemos comprobar que g cumple la prueba de la recta g tiene inversa, la llamamos h

Horizontal. También podemos justificar la inyectividad

sabiendo que es estrictamente creciente. g es inyectiva

g

Dom h = Im g = [-20, 625 ; 10]

Im h = Dom g = [ 0 ; 14 ]

Ley de h h ( T ) = t g ( t ) = T - 5

32 ( t – 14 )2 + 10 = T

Despejamos t - 5

32 ( t – 14 )2 = T - 10 ( t – 14 )2 = −

32

5 (T - 10)

( t – 14 )2 = −32

5 T + 64 | t – 14 | =√−

32

5 T + 64

t – 14 =√−32

5 T + 64 ó t – 14 = - √−

32

5 T + 64

t =√−32

5 T + 64 + 14 ó t = - √−

32

5 T + 64 + 14

Para cada valor de T tendríamos dos valores de t. Debemos seleccionar uno de los dos. ¿cuál?

La imagen de la función que buscamos (h) es el intervalo [ 0 ; 14 ] . O sea que los valores deberían ser positivos

y menores que 14.

¿cuál de las dos posibilidades cumple esto?

t =√−32

5 T + 64 + 14 esta opción nos devolvería valores mayores que 14 (puesto que

la raíz cuadrada nos dará un calor positivo o cero, y a eso se le suma 14).

Debemos elegir la otra t = - √−32

5 T + 64 + 14

Resulta

t = h (T) = - √−𝟑𝟐

𝟓 𝐓 + 𝟔𝟒 + 14

Dom h = [-20, 625 ; 10] Im h = [ 0 ; 14 ]

¿Podemos graficarla en el mismo sistema donde graficamos

g? No.

En ese sistema, en el eje horizontal (donde ubicamos el

dominio) marcamos valores de t ( hs.)

Y en el eje vertical (donde ubicamos las imágenes) marcamos

valores de T ( °C)

Para graficar la función h, debemos marcar en el eje horizontal

valores de T (°C) y en el eje vertical, valores de t (hs)

Debemos utilizar otro sistema cartesiano.

2. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 96 pies/seg., entonces su altura después de “t”

segundos es y = 96 t – 16 t2 (en pies).

Graficar la trayectoria descripta por la pelota y la gráfica cartesiana correspondiente a la función posición que esta

ecuación determina.

Hallar la altura máxima que alcanza la pelota y en qué instante toca el suelo.

El movimiento de un objeto que se desplaza en línea recta se puede representar a través de una función x = f (t),

donde ´x ´ representa la posición del objeto sobre la recta en cada instante ´t´ respecto de un punto fijo que se

toma como punto de referencia (origen). La función f que describe el movimiento se conoce como función de

posición del objeto.

En este caso el objeto es una pelota y su movimiento se produce sobre una recta vertical.

La trayectoria es el “camino” que hace la pelota cuando de lanza hacia

arriba y vuelve a caer.

Se grafica sobre la recta del movimiento.

La gráfica de la función de posición es la gráfica de una función

escalar.

Se realiza en un sistema cartesiano, en el eje horizontal marcamos el

tiempo t; y en el eje vertical, la altura y.

La Física se ocupa de mostrar que, establecido un sistema de referencia sobre un eje vertical, con origen en el piso, la altura

y en cada instante t, se puede calcular según la ecuación:

y = yo + vo t - 𝟏

𝟐 g t2

donde: y0 = altura inicial v0 = velocidad inicial, g = aceleración de la gravedad

Desde la óptica del cálculo matemático esta ecuación define función ya que a cada t asocia un número y sólo

uno, y . (posición del cuerpo respecto al punto de referencia u origen).

O sea: y = f (t) con f (t) = yo + vo t - 𝟏

𝟐 g t

En este caso

y = f (t) = 96 t – 16 t2 y= pies t= seg.

variable independiente t ;tiempo

variable dependiente y altura

tipo de función: cuadrática

gráfica: parábola

buscamos la ley algebraica: Puntos o datos sobresalientes:

a = - 16 0 ramas hacia abajo

Py = graf. eje y → Py ( 0; y(0)) → Py ( 0; 0)

Pt = graf. eje t → Pt ( t ; 0 ) → necesitamos los ceros de f

y = 96 t – 16 t2 = 16 t ( 6 – t) = 0 t1 = 0 y t2 = 6 → Pt1 (0; 0) y Pt2 (6; 0)

Vértice V (tv ; yv ) → tv = 2

21 tt += 3 ; yv = f (3) = 144 → V ( 3 , 144 ) → y máx. = yv = 144

¿Cuál es el dominio de esta función?

Restricciones algebraicas: No hay t

Restricciones de la v.i. t representa tiempo t 0 Dom f = 0 ; 6

Restricciones del modelo v.d. y representa altura respecto al piso y 0 0 t 6

Función de posición:

y = f (t) = 96 t – 16 t2 Dom f = 0 ; 6 y= pies t= seg.

Im f = 0 ; 144

Trayectoria

En este caso observamos que trayectoria y gráfica de la función posición no coinciden.

La pelota alcanza una altura máxima de 144 pies, a los 3 seg. de ser lanzada hacia arriba.

Y toca el suelo nuevamente a los 6 seg. de ser lanzada.

f

t = 3

t = 1 t = 5

t = 0 t = 6

3) En un partido de fútbol Gaspar patea un tiro al arco. La pelota describe una parábola de tiro de 2 mts. de altura

máxima y cae a 10 mts. de donde está Gaspar. Al tocar el suelo, rebota y describe una nueva parábola cuyo alcance

es el 40% del de la primer parábola y cuya altura máxima es la mitad de aquella. En el preciso momento de empezar

el 3er pique, el arquero la ataja.

a) Considerar la pelota como un punto y hacer un bosquejo a mano alzada de su trayectoria a partir del momento

en que Gaspar la patea hasta el momento en que el arquero la ataja.

b) Discutir si esta trayectoria admite ser modelizada por una función de una variable, indicando claramente cuál

es la relación de dependencia, cuáles son las variables, qué representan, su carácter y el tipo de función. A partir

de este análisis indicar qué relación existe (en este caso) entre la trayectoria del móvil y el gráfico de la función

que la modeliza. Introducir un sistema de referencia, graficar con toda precisión la “curva-trayectoria”, establecer

el Dominio Natural.

c) Discutir cuántas fórmulas necesitamos para definir la ley de la función, dar cada una de ellas por medio de

una ecuación y escribir la función en forma algebraica.

d) Hallar la altura de la pelota para un desplazamiento horizontal de 11 mts.

e) ¿Para qué valor del desplazamiento horizontal la pelota alcanza una altura de 1.92 mts.?

a) Bosquejo a mano alzada de la trayectoria del tiro al arco realizado por Gaspar.

2 m

1 m

| | |

10 m 4 m (40% de 10)

b-c) La trayectoria está formada por dos arcos de parábola, luego puede ser modelizada por una función

Como los datos que tenemos son la altura de la pelota y el desplazamiento horizontal de la misma, tomamos:

v.d. → y = desplazamiento vertical

v.i. → x = desplazamiento horizontal

tenemos entonces: y = f (x) .

Así, en este caso, para estos datos, la trayectoria de la pelota y el gráfico de la función, coinciden.

Luego, el dato que tenemos para hallar f es que gráf f = dos parábolas, una a continuación de la otra.

Como f debe describir una situación en la cual la v.d. (y) se halla sujeta a distintas condiciones, en distintos

intervalos del dominio, f es seccionalmente definida. En cada tramo del dominio, debemos hallar la ley de

una función cuadrática que representa a cada una de las parábolas.

Así, introduciendo un sistema de coordenadas donde el eje x sea el suelo, el eje y el vertical y el origen el

punto donde Gaspar patea la pelota, tenemos:

v. i x = desplazamiento .horizontal v.d. y = desplazamiento vertical.

p ( x) ; 0 x < xP1 (1er parábola)

f (x) =

q (x) ; xP1 t < x P2 (2da parábola)

► 1er parábola:

Datos:

• tipo de función : cuadrática p(x) = a x2 + b x + c ó p(x) = a ( x- x1 ) ( x- x2 ) ó p(x) = a ( x – xv)2 + yv

• gráfica : parábola con ramas hacia abajo a < 0

• método: usamos los puntos sobresalientes para obtener la ecuación de la parábola.

altura máx. = 2 ymax = 2 yV = 2 V (xV ; 2 )

desplazamiento. horizontal máx.= 10 xmín. = 0; xmax = 10 (0; 0 ) y (10; 0) puntos de la parábola.

Dado que los datos son las raíces conviene buscar la ecuación en que aparecen las raíces

p (x) = a ( x - x1 ) ( x- x2 )

p (x) = a (x - 0) ( x – 10)

Vértice: V (xv ; yv ) xv = 2

21 tt += 5 ; yv = y máx. = 2

V ( 5, 2 ) p (5) = 2 a (5 - 0) ( 5 – 10) = 2 - 25 . a = 2 a = - 2/25

Conclusión p (x) = -0.08 . x . ( x – 10)

Dom p = [xmín. ; xmax ) = [ 0 ; 10 )

► 2da parábola:

• tipo de función : cuadrática q(x) = a x2 + b x + c ó q(x) = a ( x- x1 ) ( x- x2 ) ó q(x) = a ( x – xv)2 + yv

• gráfica : parábola con ramas hacia abajo a < 0

• método: usamos los puntos sobresalientes para obtener la ecuación de la parábola.

altura máx. = 1 ymax = 1 yV =1 V (xV ; 1 )

desplazamiento. horizontal máx.= 4 ( 40% de 10) xmín. = 10; xmax = 14 (10; 0 ) y (14; 0) puntos de

la parábola.

Dado que los datos son las raíces conviene buscar la ecuación en que aparecen las raíces

q (x) = a ( x - x1 ) ( x- x2 )

q (x) =a (x - 10) ( x – 14)

Vértice: V (xv ; yv ) xv = 2

21 tt += 12 ; yv = y máx. = 1

V ( 12, 1) q (12) = 1 a (12 -10) ( 12 – 14) = 1 - 4 . a = 1 a = - 1/4

Conclusión q (x) = - 0. 25. (x - 10) . ( x – 14)

Dom q = [xmín. ; xmax ] = [ 10 ; 14 ]

𝑦 = 𝑓(𝑥) = {

𝑝(𝑥) 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10

𝑞(𝑥) 𝑠𝑖 10 ≤ 𝑥 ≤ 14 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {

− 0,08 𝑥 (𝑥 − 10) 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10

−0,25(𝑥 − 10)(𝑥 − 14) 𝑠𝑖 10 ≤ 𝑥 ≤ 14

La función que describe la trayectoria de la pelota es una función seccionalmente definida.

En este caso su gráfica coincide con la trayectoria de la pelota.

Dom f = 0 ; 14

Im f = 0 ; 2

d) Hallar la altura de la pelota para un desplazamiento horizontal de 11 mts.

Si el desplazamiento horizontal es de 11 m x = 11

Debemos usar la ley de la 2da parábola

y = q (11) = -0, 25 (11-10)(11-14) = 0,75

Cuando el desplazamiento horizontal es de

11 m , la pelota está a 0,75 m de altura.

0,75

e) ¿Para qué valor del desplazamiento horizontal la pelota alcanza una altura de 1.92 mts.?

Si la altura de la pelota es 1,92 m y = 1,92

Debemos hallar x, desplazamiento horizontal.

Como la 1er parábola tiene como altura máxima 2 m y la 2da tiene altura máxima 1m; debemos usar la primera.

Planteamos p(x) = 1,92 y hallamos x

p (x) = -0.08 . x . ( x – 10) = 1,92

Queda planteada una ecuación cuadrática, para resolverla distribuimos el producto

-0,08 (x 2 -10 x) = 1,92

-0,08 x 2 + 0,8 x - 1,92 = 0

Tenemos la fórmula de la resolvente para hallar las raíces de esta ecuación cuadrática.

x1 = 6

𝑥1,2= −0,8 ±√0,64− 0,6144

−0,16 =

−0,8 ±0,16

−0,16=

x2 = 4

Podemos verificarlo en la

gráfica.

La pelota alcanza una altura

de 1,92 m cuando su

desplazamiento horizontal es

de 4 m y cuando es de 6 m