ADN : una herramienta para la enseñanza de la

Deducción Natural

Faraón Llorens, Sergio Mira

Dpto. Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial

Escuela Politécnica Superior

Universidad de Alicante

faraon@dccia.ua.es

Resumen

Se presenta el Asistente para la Deducción Natural (ADN), aplicación diseñada y

desarrollada en el departamento de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial

de la Universidad de Alicante, con el objetivo de servir de ayuda, tanto al profesor como

a los estudiantes, en la enseñanza de las técnicas de demostración matemática, en

concreto de la Deducción Natural. Esta herramienta didáctica se está utilizando en las

asignaturas “Lógica de Primer Orden” de primer curso de la licenciatura en

Matemáticas y “Lógica Computacional” de primer curso de las ingenierías en

Informática (tanto las dos técnicas como la superior). ADN (Asistente para la

Deducción Natural) es un programa, ejecutado vía web, que supervisa y comprueba que

las fórmulas lógicas introducidas están sintácticamente bien construidas (fbf) y que la

secuencia obtenida (pasos de la deducción) es correcta. Al mismo tiempo contiene un

breve tutorial sobre la Deducción Natural. También dispone de otras herramientas de

soporte: árbol sintáctico, aconsejador, ayuda en línea, información detallada de errores,

entre otros.

1. Introducción

Un profesor, de cualquier nivel educativo, debe enfrentarse a la tarea de trasmitir

conocimiento. Y no siempre saber de un tema lleva asociado el saber comunicarlo. Los

distintos niveles educativos no han puesto el mismo énfasis en preparar a los profesores

en los aspectos didácticos. Los niveles iniciales se preocupan más en cómo se enseña

que en qué se enseña, mientras que los niveles superiores, tradicionalmente, se centran

más en qué se enseña, y el estudiante ya se preocupará de aprender. Afortunadamente

está tendencia está cambiando, y en la Universidad cada vez es mayor el numero de

profesores que se interesan por los aspectos didácticos de sus materias. Pero aún queda

mucho por hacer, y en la universidad española la docencia está en clara inferioridad con

respecto a la investigación.

No existe una fórmula única, mágica y universal. Cada campo, área, materia e incluso

tema puede necesitar de un enfoque distinto. Cada profesor debe diseñar su estrategia

para enseñar (y complementariamente que el estudiante aprenda) su asignatura. La

nuevas tecnologías pueden ayudarnos a ello. El uso de los ordenadores no es un

beneficio en sí mismo, pero si que podemos aprovechar sus características para sacar

ventajas en nuestra tarea.

La aplicación aquí presentada surge de la tarea de impartir asignaturas relacionadas con

la lógica en primer curso del nivel universitario, de la preocupación y el respeto por la

tarea docente y el interés por las nuevas tecnología de la información y las

comunicaciones. Todo ello conjugado, hace que observando las dificultades que tienen

los estudiantes para aprender la técnica de la deducción natural y los errores que

cometen, hayamos diseñado una herramienta didáctica que ejecutada en un ordenador,

evite que el estudiante cometa esos errores y la ayude en los aspectos más dificultosos.

Aunque la aplicación ADN únicamente puede servir a los profesores que tengan que

enseñar la técnica de la deducción natural, la reflexión puede ser exportable.

2. Lógica

¿Qué es conocimiento? podríamos decir que es el hecho o la condición de conocer algo

que hemos adquirido por experiencia o asociación. Los seres humanos vamos

adquiriendo conocimiento al ver, oír, tocar, sentir y oler el mundo que nos rodea. Y ese

conocimiento lo almacenamos en nuestro cerebro.

Se han desarrollado distintos formalismos para representar y manipular el conocimiento

humano. En el enfoque simbólico se utilizan símbolos para representar el conocimiento

y el estado del mundo y se simula el proceso cognitivo mediante manipulación de esos

símbolos. La Lógica de Predicados pone a nuestra disposición un lenguaje que nos

permitirá formalizar expresiones del conocimiento humano haciendo explícitos los

objetos y las relaciones, así como sus restricciones. Además nos proporciona un

método, la deducción matemática, para obtener nuevo conocimiento a partir del antiguo.

Es por ello que la lógica se convierte en una asignatura presente en los primeros cursos

de distintas titulaciones, ya que proporciona una base formal de trabajo [Reeves1990,

Garrido1995, Llorens1996]. En la actualidad existe un variado número de herramientas

que pueden servir de ayuda en el aprendizaje de la lógica [Goldson1993, Barwise2000,

TTL2000].

a. Lenguaje

La lógica pretende formalizar las expresiones del conocimiento humano. Y dicho

conocimiento lo adquirimos y transmitimos por medio del lenguaje. Pero el lenguaje

natural que utilizamos es ambiguo y engorroso, y por ello, para trabajar formalmente

con el conocimiento, necesitamos un lenguaje artificial. En la definición de ese lenguaje

formal empezaremos por determinar el alfabeto (conjunto de símbolos) que

utilizaremos y las frases (fórmulas bien formadas) que podremos construir con

combinaciones autorizadas de sus símbolos. Así, ante una sentencia del lenguaje natural

buscaremos sus componentes :

• Qué se afirma, es decir, las propiedades y relaciones que aparecen en la

sentencia y que representaremos en forma de predicados.

• De quienes se afirma, es decir, los objetos o individuos a los que hace referencia

la sentencia y que representaremos por medio de términos.

Cuando los predicados se aplican a un solo término se trata de propiedades o

características de dicho objeto; cuando hacen referencia a varios sujetos suelen

representar relaciones. Los objetos deben pertenecer a un dominio genérico o universo

del discurso, y pueden ser :

• Constantes: representan objetos concretos del dominio.

• Variables: permiten referenciar cualquier elemento del universo.

• Funciones: denotan objetos referenciados en función de otros objetos.

Así, con un predicado y los términos implicados en dicho predicado podemos formar

fórmulas atómicas o elementales. Combinando dichas fórmulas atómicas mediante las

conectivas lógicas (conjunción "∧", disyunción "∨", negación "¬" e implicación "→")

obtendremos fórmulas moleculares. Por último, si queremos expresar la cantidad de

objetos que satisfacen alguna condición utilizaremos los cuantificadores, el universal

"∀" (todos los elementos del universo del discurso) y el existencial "∃" (por lo menos

un individuo del universo).

En el apartado de la lógica como lenguaje representación de conocimiento, las

principales dificultades que hemos detectado en los estudiantes son en relación a tres

aspectos:

• Traducción de sentencias de lenguaje natural en fórmulas lógica.

• Estructura lógica de las fórmulas.

• Alcance de los cuantificadores.

Al diseñar el asistente hemos tenido en cuenta estos aspectos y de qué forma podemos

ayudar a nuestros estudiantes. ADN utiliza el alfabeto clásico de la Lógica de Primer

Orden y la definición usual de fórmula bien formada (fbf). En aras a obtener una

representación más clara el asistente impone dos restricciones para la construcción de

las fórmulas:

1. No permite introducir fórmulas con variables libres.

2. Las conectivas →, ∧ y ∨ son operaciones binarias, y por ello deben estar

agrupadas de dos en dos. Así, P∧Q∧R sería incorrecto; la forma de

introducirla sería (P∧Q)∧R o cualquier otra combinación con paréntesis.

ADN va realizando un análisis sintáctico de la fórmula a medida que la vamos

introduciendo, de forma que no permite introducir símbolos que no pertenezcan al

alfabeto. Además va coloreando cada variable de forma que se distingue claramente a

qué variables afecta cada cuantificador, ya que cada variable se identifica por su nombre

y color. Por otro lado, la representación de las fórmulas en forma de árbol etiquetado

nos puede ayudar a ver claramente la estructura sintáctica de las mismas. El árbol

sintáctico de la fórmula bien formada P(a) → ∃y P(y), proporcionado por el programa

ADN, lo podemos ver en la Figura 1. El árbol sintáctico de una fórmula lógica nos

permite distinguir claramente cuál es el operador principal y las prioridades entre ellos.

Esto nos ayudará en la comprensión del significado de la fórmula y en la posterior

manipulación sintáctica cuando tengamos que aplicar las reglas de la deducción.

Figura 1: Árbol sintáctico

b. Deducción Natural

El razonamiento es el proceso cognitivo por medio del cual utilizamos y aplicamos

nuestro conocimiento, permitiéndonos pasar de una información a otra relacionada con

esta. Sin la posibilidad de hacer inferencias, el sistema de procesamiento de información

se vería obligado a tener que definir todas las situaciones puntuales y específicas con

las que se debe enfrentar. A las sentencias de las cuales partimos en el proceso de

razonamiento se les llama premisas y a la sentencia a la cual llegamos se le denomina

conclusión. Las premisas junto a la conclusión forman el argumento. El concepto lógico

de deducción correcta dice que de premisas verdaderas debemos obtener conclusión

verdadera, es decir, no podemos aceptar que las premisas sean verdaderas y la

conclusión falsa. La lógica nos proporciona métodos de cálculo que nos permiten

inferir, por simple manipulación sintáctica, nuevas fórmulas a partir de las conocidas

[Socher-Ambrosius1997]. Uno de estos métodos es la Deducción Natural

[Gentzen1934], cuyo mecanismo está muy cercano al razonamiento intuitivo del ser

humano. Así, de forma sencilla, a partir de las fórmulas dadas como premisas y con el

único apoyo de unas reglas básicas, obtenemos determinadas conclusiones.

La idea básica es la de desmenuzar el salto cognitivo que va de las premisas a la

conclusión en pequeños pasos que hemos acordado como correctos. Así, si asumimos

las premisas y cada paso elemental que damos lo justificamos con una regla básica,

iremos obteniendo nuevas fórmulas lógicas que podemos asumir como conclusiones

derivadas de las premisas.

Todas las fórmulas lógicas que vamos introduciendo, una vez comprobada su

corrección (son fórmulas bien formadas) y su validez (se derivan de acuerdo a las reglas

dadas) son visualizadas en la parte central de la ventana del ADN, que llamaremos

pizarra.

b1) Reglas básicas

Para determinar las reglas básicas de la Deducción Natural nos basaremos en la idea de

montar y desmontar fórmulas lógicas, de forma que desmontando las premisas en sus

componentes básicas (fórmulas atómicas) podamos montar la conclusión a partir de

ellas. Así dispondremos de dos reglas (una de introducción y otra de eliminación) para

cada símbolo lógico (conectivas y cuantificadores). Si la regla básica introduce en su

conclusión una conectiva o cuantificador que no aparece en sus premisas será una regla

de introducción; si elimina de su conclusión una conectiva o cuantificador que aparece

en sus premisas será una regla de eliminación. Se intuye que si disponemos de

procedimientos para añadir o quitar los distintos símbolos lógicos, podremos

transformar por pura manipulación sintáctica las premisas en la conclusión. Desde un

punto de vista de ingeniería, se trataría de desmontar las fórmulas lógicas que tenemos

como premisas hasta obtener sus componentes básicas (fórmulas atómicas) y volver a

montarlas en la configuración adecuada (fórmula lógica que queremos obtener como

conclusión). Las reglas serían los instrumentos que nos permitirían montar y desmontar

dichas fórmulas lógicas. Tendremos un deducción correcta cuando consigamos una

secuencia finita de fórmulas, donde cada una de las fórmulas ha sido obtenida mediante

la aplicación de alguna regla de inferencia. Las fórmulas iniciales de esa secuencia serán

las premisa de las que partimos y la última fórmula obtenida la conclusión. En ADN,

cada línea de nuestra deducción (y por tanto la fórmula lógica escrita en ella) estará

"justificada" por la aplicación de una regla básica a alguna o algunas líneas anteriores.

Dicha justificación aparece en la columna de la derecha. Por ejemplo, en la figura del

ejemplo del final, la justificación de la línea 10 que dice ED 1,2-5,6-9 significa que esa

fórmula la hemos obtenido porque tenemos en la línea 1 una fórmula cuya conectiva

principal es una disyunción; suponemos en la línea 2 una de las dos alternativas y

obtenemos cierta conclusión condicionada en la línea 5; suponemos en la línea 6 la otra

alternativa y obtenemos la misma conclusión condicionada en la línea 9; y llegamos en

la línea 10 a que dicha conclusión ya no esta condicionada, porque queda justificada por

la regla de Eliminación del Disyuntor o Prueba por Casos.

b2) Subdeducciones

Otro de los aspectos cruciales de la deducción natural es el de las subpruebas

(subdeducciones o subderivaciones). En cualquier paso de nuestra deducción podemos

introducir un supuesto provisional, que debe ser cancelado en alguna línea posterior.

Desde el supuesto hasta la cancelación tendremos una subdeducción. Así, en nuestras

deducciones tendremos fórmulas a distintos niveles, que visualizaremos gráficamente

mediante una sangría a la derecha. Los supuestos provisionales son una herramienta

muy potente ya que nos permiten suponer lo que nosotros queramos. Pero debemos

pagar un alto precio por ello: para poder finalizar una demostración deberemos haber

cancelado todos los supuestos que hayamos hecho. Por tanto, la cancelación de

supuestos provisionales se convierte en una pieza clave de las deducciones naturales.

Cuando un supuesto es cancelado, sangramos a la izquierda y sombreamos en gris las

fórmulas interiores de la subdeducción. Dichas fórmulas interiores serán inaccesibles a

partir de este momento. La utilización de subdeducciones nos permite "modularizar"

nuestras deducciones, planteándonos subobjetivos más sencillos que el objetivo final, y

que en su conjunto nos lleven a la conclusión que buscamos. Una vez realizada una

subdeducción esta podría considerarse como una regla derivada y utilizarse a partir de

ese momento. Estas reglas derivadas permiten ir incrementando nuestro sistema de

reglas.

En la técnica de la deducción natural, las principales dificultades que hemos detectado

en los estudiantes son en relación a cuatro aspectos:

• Saltos cognitivos que no justifican (bien porque los consideran evidentes o bien

porque no saben cómo hacerlo).

• Aplicación incorrecta de las reglas.

• Manejo incorrecto de las subdeducciones (tanto en la cancelación como en la

utilización de líneas interiores de una subdeducción una vez cancelada).

• Quedarse parados y no saber por donde continuar.

Al diseñar el asistente hemos tenido en cuenta estos problemas de forma que esta

herramienta pueda ayudar a nuestros estudiantes. Algunas de las ventajas que ofrece el

ADN para realizar deducciones ya han sido comentados al explicar la técnica de la

deducción natural y otros serán comentados en el siguiente apartado.

3. Asistente para la Deducción Natural (ADN)

Vamos a presentar una herramienta didáctica de apoyo para el aprendizaje de la técnica

de Deducción Natural. Dicha herramienta ha sido diseñada y desarrollada en el

departamento de Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial de la Universidad

de Alicante. Esta herramienta pretende ser un instrumento didáctico que ayude a los

estudiantes a escribir fórmulas lógicas bien formadas y a realizar deducciones

correctamente. No se trata de un sistema que construya demostraciones de forma

automática; simplemente es un asistente que supervisará y guiará al estudiante en el

proceso, ayudándola a elaborar sus propias deducciones. Comprueba si la fórmula es

sintácticamente correcta (fbf) y si se ha obtenido de forma adecuada (aplicación de las

reglas básicas). Además, posee algunas herramientas de apoyo, como el visor de árboles

sintácticos de las fórmulas, informe detallado de los errores, visor de reglas básicas,

aconsejador y ayuda en línea. ADN ([Llorens2000]) puede ser ejecutado con cualquier

navegador, ya que se trata de un applet escrito en Java. Se encuentra disponible en

internet en el sitio web:

http://www.dccia.ua.es/logica/ADN

La aplicación se ejecuta vía internet, para ello el ordenador debe estar concetado a la

red. También se dispone de una versión para instalación en el ordenador y ejecutarlo de

manera local, sin necesidad de conexión a la red. De cualquier modo, al jecutarlo se bre

una ventana de la Figura 2. Desde aquí podemos acceder a los dos partes de la

aplicación: el tutorial de deducción natural y la aplicación que permite realizar

deducciones.

Figura 2: Ventana principal

a. Tutorial

La aplicación desarrollada va acompañada de una concisa, pero clara, descripción de la

técnica de la deducción natural, así como de la forma en que debemos realizar las

deducciones con el ADN. También se han incluido una serie de ejemplos ya resueltos y

ejercicios para resolver. Se acompaña también de una extensa documentación (en pdf),

con manual de usuario y los distintos artículos y documentos que se van generando.

En la Figura 3 podemos ver la ventana del tutorial, con el índice de los distintos

apartados.

Finalmente, destacar por su carácter didáctico las animaciones de deducciones que

podemos encontrar en el tutorial (en el apartado de los ejemplos). La animación de la

Figura 4, realizada en flash, representa por sí sola un ejemplo claro de la utilización de

los recursos multimedia como mejora de nuestra tarea docente (evidentemente en el

papel no podemos valorar su utilidad).

Figura 3: Ventana tutorial

Figura 4: Animación

b. Aplicación

En la Figura 5 se muestra la pantalla principal del ADN y las partes en las que se divide

la misma:

1. Editor de la fórmula objetivo: nos permite editar la fórmula que será el objetivo de

la deducción.

2. Cuerpo de la deducción (pizarra): en esta zona se irán visualizando los pasos de la

deducción. Se pueden observar tres partes (dispuestas en columnas):

• Numeración de las líneas, para poder hacer referencia a ellas.

• Fórmulas lógicas que vamos obteniendo. Las sangrías indican que entramos

en un nuevo supuesto (hacia la derecha) o que lo cancelamos (vuelta a la

izquierda), configurando lo que llamamos subdeducciones.

• Justificación de la fórmula obtenida mediante la aplicación de una regla

básica a una o más fórmulas anteriores.

3. Editor de fórmulas: se utiliza para insertar nuevas fórmulas dentro de la deducción y

decir de qué fórmulas han derivado las mismas.

4. Área de opciones del programa: aquí tenemos los botones que acceden a las

diferentes funciones del asistente: Árbol, Aconsejar, Ayuda, Reglas, ...

5. Ventana de información: en este área se muestra información al usuario.

Figura 5: Ventana ADN

ADN únicamente permite la utilización de las reglas básicas. En la ventana de reglas

básicas visualizamos las reglas de introducción y eliminación correspondiente al

operador lógico que esté seleccionado en la lista superior. En la siguiente figura

podemos ver las reglas del disyuntor.

Figura 6: Ventana Reglas Básica

El ADN dispone de una herramienta muy útil a la hora de realizar una deducción. Esta

herramienta es el Aconsejador. El aconsejador analiza las fórmulas de la deducción e

intenta guiarnos hacia el objetivo o decirnos qué reglas podemos aplicar. No nos llevará

siempre a la solución, ya que la deducción natural en lógica de primer orden no es un

problema decidible, simplemente es un apoyo. En cualquier momento podemos poner

en marcha el aconsejador, y se puede dejar visible durante toda la deducción, con lo que

se irá actualizando conforme añadamos o eliminemos fórmulas. En la Figura 7 se puede

ver la ventana del aconsejador. En la parte superior de la ventana se muestra una

sugerencia de lo que podemos hacer y justo debajo da una pista gráfica con las fórmulas

que tenemos en la deducción. Podemos navegar entre todos los consejos generados

mediante los botones de Anterior y Siguiente. En la barra de estado del aconsejador

podemos ver cuantos consejos se han generado (a la derecha) y cuál estamos

visualizando actualmente (a la izquierda). El ADN muestra consejos generados de

arriba-abajo (basados en las premisas y fórmulas previas) así como consejos generados

de abajo-arriba (basados en la conclusión).

Figura 7: Ventana Aconsejador

Para finalizar la descripción del ADN, en la siguiente figura podemos ver un ejemplo de

deducción natural realizada mediante esta herramienta:

∀x P(x) ∨ ∀x Q(x) ⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x))

Figura 8: Ejemplo de Deducción

4. Conclusiones

Se ha presentado una herramienta didáctica diseñada ad hoc para la enseñanza de la

técnica de deducción natural. Su diseño se ha basado en la observación y el análisis de

las dificultades a las que se enfrentaban los estudiantes para aprender y aplicar dicha

técnica, así como de los errores habitualmente cometidos. Dicha herramienta se ha

desarrollado aprovechando las nuevas tecnologías (efectos multimedia, ejecución a

través de la red, tecnología Java y algoritmos robustos). Se ha cuidado mucho tanto el

aspecto estético como la facilidad de uso.

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