Adquisición y reconstrucción de imágenes con resonancia magnética

Pablo IrarrázavalDirector

Centro de Imágenes BiomédicasPontificia Universidad Católica de Chile

Taller

Unidades1. Fundamentos de Resonancia Magnética.2. Repaso de la teoría del muestreo y análisis de

frecuencia.3. Estrategias de muestreo y reconstrucción en

RM

ANÁLISIS DE FRECUENCIA Y MUESTREO

Unidad 2

Temas• Transformada de Fourier continua• Transformada de Fourier discreta• Relación continua – discreta • Muestreo y aliasión

Transformada de Fourier continua (FT)

Se define la transformada de Fourier como

Y su inversa como

Dimensionalidad

en cm (s)

adimensional

en 1/cm (Hz)

Bases de FourierEl conjunto define una base ortonormal

Bases de FourierEl conjunto define una base ortonormal

Bases de FourierEl conjunto define una base ortonormal

Bases de FourierEl conjunto define una base ortonormal

Bases de FourierEl conjunto define una base ortonormal

Bases de Fourier

Ejemplos de pares de FourierImpulso y uno

Ejemplos de pares de FourierCoseno y horquilla

Ejemplos de pares de FourierSeno y antihorquilla

Ejemplos de pares de FourierRect y sinc

Ejemplos de pares de FourierTriángulo y sinc cuadrado

Ejemplos de pares de FourierGauss

Ejemplos de pares de FourierShah

LAB1 Ejemplos de Transformadas• Calculemos con Matlab algunos pares de transformadas.

Usemos aproximación de Newton

EjContFourier.m

EjContFourier.m

Propiedades de la FT3. Escalamiento

Propiedades de la FT3. Escalamiento

LAB2 Use EjContFourier• Verifique la propiedad del escalamiento

Propiedades de la FT4. Desplazamiento

Propiedades de la FT4. Desplazamiento

LAB3 Use EjContFourier• Verifique la propiedad del desplazamiento

Propiedades de la FT5. Convolución

x

rect(x)

u

sinc(u)

x

triang(x)

u

sinc2(u)

x

rect(x)

u

sinc(u)

Propiedades de la FT7. Modulación

Transformada de Fourier discreta (DFT)

Se define la transformada de Fourier discreta como

Y su inversa como

Implementación Matlab• Normalización distinta• Origen es primer elemento

Normalización distinta

Lo más común Matlab

Origen es primer elementoHumanos Computadores

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 -1.6 -1.1 -0.6 -0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Origen es primer elementoHumanos Computadores

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

LAB4 Encuentre la DFT de

• Grafique las partes real e imaginaria• Ayuda: use una ventana (Hamming por ejemplo)

para evitar distorsiones de Gibbs

Solución

-150 -100 -50 0 50 100 150-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Conexión entre DFT y FT• Muestrear es

multiplicar por

• Su transformada es

Conexión entre DFT y FT

Conexión entre DFT y FT

LAB5 Use EjContFourier• Experimente con diferentes frecuencias de

muestreo

Conexión entre DFT y FT¿Qué significa una frecuencia discreta?

El periodo debe ser un múltiplo entero de T

Teorema de Nyquist“Las muestras discretas uniformemente espaciadas de una señal de ancho de bada limitado son una representación completa de la señal si el ancho de banda es menor a la mitad de la frecuencia de muestreo.” (Shannon)

Picture: Ruye Wang

AliasiónFrecuencia de muestreo mayor a Nyquist

AliasiónFrecuencia de muestreo mayor a Nyquist: recuperación de la señal

6.6 Consideraciones prácticas: aliasiónFrecuencia de muestreo de Nyquist

AliasiónFrecuencia de muestreo de Nyquist: recuperación de la señal

AliasiónFrecuencia de muestreo menor a Nyquist

AliasiónFrecuencia de muestreo menor a Nyquist: recuperación de la señal

Primera aparición“A Mathematical Theory of Communication”, Shannon 1948

Claude Shannon (1916– 2001)

Shannon honra a Nyquist“Communication in the Presence of Noise”, Shannon 1949

1928:

Harry Nyquist (1889 – 1976)