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7/25/2019 AGEBRA_Y_FUNCIONES_UES.pdf

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IDEAS BÁSICAS PARA MULTIPLICAR POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO

Multiplicar: . ; .m n m n m n m na a a px qx p qx

4 3

5 2

5 2

3 20

4 3

7 9

3

7 5

3

6 8

1).2 .22).3 .3

3).8 .8

4). .

5). .

6). .

7). .

8). .

9). .

10). .

n n

x x

y y

n n

m m

x x

a a

7

7 2

4 2

2 4 3

3 4

5 3

3 6 2

2 5 2

2 3 2 2 3

3 2 2 3

11). .12). . .

13). . .

14). . .

15). . .

16). . .

17).

18).

19).

20). 3 5

m m p p p

x x x

y y y

a a a

b b b

a b a b

x y x y

p q r p qr

a b c b c

2

5 2

2

4 2

5 3

2 3 5

4 2

3 2 3

5 2 7

3 5

21). 6 3

22). 5 5

23). 3 2

24).

25).

26). 2 4

27). 3 2

28). 5 4

29). 6 5

30). 3 5

a ab

b ab

x xy

y y

x x

m n mn

a b ab

x y x y

p p q

b b

4 3 3 5

5 3

3 8 3

7 3

4 4

7 12

3 4 4 2

3 2 6 5

4 8 4 2

3 9 8

31). 3 6

32). 7

33). 6 4

34). 8 4

35). 5 4

36). 5

37). 4

38). 2 3

39). 4 2

40). 2 6

g h g h

h h

x x y

m m

n n

x x

x y x y

m n m n

a b a b

x y x y

Multiplicar :

.

.

m n m na c a c x x x

b d b d

3 3

3 2 2 4

2 3 3

4 5 2 3

2 1

3 4 2 3

3 2 3

1 21).2 3

1 52).

5 3

3 23).

7 9

4 94).

11 4

7 25).3 5

26). 4

9

27). 5

3

x y x y

m n

a b ab

c d c d

x y x y

m n m n

a b a b

x y x y

x y x y

1 2 1 2

3 5 1 2

4 1 2 1 2

2 3 4 2

5 3 2

2 3

3 58).4 6

39). 5

4

3 510).5

4 6

1 3 711).

7 8 3

3 212).4 5

2 313).

3 5

a b a b

m n m n

a b a b

x x y

x y x y

x y x y

xy x y x y

x x y xy

a b a b

m n mn

2 5 6 43 514).

8 6 x y x y

3 2

3 4 2 3

2

2 3

1 1 2

2 3

7 215).8 5

3 116).

5 6

2 517).

3 6

5 318).

6 10

3 419).8 5

2 320).

9 5

321).

4

m

m n

m n m n

x m x m

b

abc a b

x y x y z

a a

a b ab c

a b a b

a b a b

x y

1 25

6

a b x y

Lic. Leo Edgardo Mendoza Escárate … [email protected]



.m n m n px qx p qx ; m a b c ma mb mc

2

2

2 2

2 2

3 3

5 2

2 4 3

4 3 2

2

3 2

1).3 5

2).2 4 6

3).4 3 6

4).5 2 1

5). 6

6). 4

7).3 5

8). 5 3 4

9).3 6 8

10).4 6

11).2 3 4 3

12). 6 5 4

x x

y y

x x

a a

m m x

x x x

x x

m m m

y y y

y y y

x x x

x x x

2 2

2 4 2

6 3 2

5 4 3 2

4 6 4 3

3 7 4 3 2

8 2

5 3

2 3 2 2

2 2 3

2

13). 5 3 6 7

14).4 6 3 4

15).4 2 2 516). 2 2 3

17). 7

18).

19).2 5 12

20).10 12

21). 3 2 3 4

22).3 5 2 5

23).4 2

a a a

b b b

y y y y x x x x x

h k k k k

x y y y y y

a a b a ab

x y xy x

x x xy x

ab ab ab a b

x

3 2

3 2

5 10

24).3 2 3 1

x x

b b b b

POLINOMIO POR POLINOMIO a b c d ac ad bc bd

2

2 3

3 3

5 2 3

2

2 2

2 2

25). 3 4

26). 3 5

27). 2 1 4

28). 2 3 2

29). 6 5 2 1

30). 7 7

31). 2

32). 3 2 4

33). 2 4 2

34). 3 2 2

35). 5 3 4

36). 6 3

x x

x x

x x

x x

x x

y y

x x x x

a b a b

xy x y y

mn m m mn

x x

m n m n

2

2

3

4

37). 1 3

38). 3 1

39). 2 1

40). 2 12

41). 2 3

42). 2 2

43). 3 2 3 344). 4 1 2 2

45). 5 6 2

46). 8 8

47). 3 1 3 1

48). 2 3 2 3

x x

x x

x x

x x

a a

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

5 2

2

3 3

49). 4 2

50). 2 3

51). 3 1 1

52). 2 6 1

53). 2 3 2 1

54). 2 1 6

55). 3 4 2 4

56). 7 7

57). 2 5 2 5

58). 3 2 2 6

59). 1 2 1 3

60). 8 1 8

x y x y

x y x y

x x

x x

b b

x x

a a

x y x y

x y x y

x x

x x

x x



2

2

4 2 2

6 3 6 3

2 2

61). 4 2 5 2

62). 4 3 3

63). 7 2 2 7

64). 4

65). 5 3 2 2

66). 3 3

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

ab b ab b

2 2

2

2

2

2

2 2

67). 5 5

68). 1 1

69). 2 2

70). 2 6 1 2 1

71). 4 2 1 3 1

72). 3 6 2 3

m n n m n n

x x x

n n n

x x x

x x x

y y y

2 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2

73). 6 1 3 3

74).

75).

76).

77).

78). 1 1

y y y

x x x x x

x x x x x

a b a a b ab b

c d c c d cd d

x x x x

IDEAS BASICAS PARA DIVIDIR POLINOMIOS

m

m n

n

aa

a ; 0

n

n

aa

a ; 0 1a

5

2

7

3

12

6

15

2

4

4

7

7

71).

7

42).

4

83).

8

94).

9

65).

6

26).2

9

5

12

11

6

4

8

4

4

2

9

6

7).

8).

9).

10).

11).

12).

y

y

x

x

a

a

n

n

x

x

y

y

5

5

4

8

8

7

5

5

3

6

3

13).

14).

15).

16).

17).

18).

p

p

h

h

m

m

x

x

y

y

m

m

6

5

9

5

5

7

4

3

4

19).

20).

21).

22).

23).

24).

a

a

b

b

p

p

q

q

a

a

b

b

8

7

3

2

3

2

4

2

5

3

25).

26).

427).

4

28).

629).

6

30).

x

x

y

y

x

x

aa

6

5

4

8

7

7

5

10

3

6

3

31).

32).

33).

34).

35).

36).

x

x

m

m

m

m

x

x

x

x

mnmn

1n

na

a

2

3

4

1

3

2

4

6

7

4

1).3

2).6

3).2

4).4

5).

6).

7).

8).

9).

10).

a

m

x

n

m

h

2

3

4

1

3

2

4

6

7

4

11).

12).

13).2

14). 4

15).7

16).

17).

18).5

19).

20).7

m

mn

m

p

a

bm

mx

n

km

h

2

3

4

1

3

2

4

6

7

4

21). 2

22).

23). 3

24).25).

26).

27).

28).

29).

30).

m

pm

h

w

z

k

d

0

0 3

0 4

1 0

0 3

0 0

0 0

0 0

(0 )

4(0)

31).

32).

33).

34).

35).7

36).

37).

38).5

39).

40).

m

m n

h m

p b

a

b m

m x

n

m

h



SIMPLIFICAR

4 2

2

4 2

1). 2 2

2). 5 5

3). m m

6

4

2

5

34).

3

25).

2

7

6

6

8

106).

10

97).

9

4

2

4

38).

3

9).a

a

mm n

n

pa pa

qa q

;0

n

n

aa

a ;

1n

na

a

;0 1a

6

12

7

3

12

6

5

2

3

2

4

4

1).

62).

3

63).2

44).

2

65).

126).

4

x

x

a

a

ma

x

x

a

a

m

m

9

5

12

11

6

4

8

4

4

2

9

6

87).

4

48).

2

39).6

710).

14

1611).

4

912).

3

y

y

x

x

aa

n

n

x

x

y

y

5

5

4

8

8

7

5

5

3

6

3

213).

8

314).

3

15).5

16).4

617).

18

2118).

7

p

p

h

h

mm

x

x

y

y

m

m

6

5

9

5

5

7

4

3

4

919).

81

720).

49

1521).5

1022).

5

7723).

11

6424).

8

a

a

b

b

p p

q

q

a

a

b

b

8

7

6

3

3

2

3

2

4

2

5

3

4525).

9

6626).

33

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528).

25

629).

6

4430).

11

x

x

y

y

mm

x

x

h

h

a

a

6

5

4

8

7

7

5

10

3

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7531).

3

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8

3633).12

6334).

9

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7

7236).

9

x

x

m

m

mm

x

x

x

x

m n

m n

( ) a b c

a b c mm m m

4 3 2

4 2

2 5

5 4 2

3 2

3 2

6 4 2 2

6 5 2 2

5 4 3 3

6 5

1).(24 4 16) 8

2).(12 3 6) 6

3).( 2 )

4).(50 7 )

5).(15 24 6 ) 3

6).(25 15 30 ) 5

7).(20 20 5 ) ( 5 )

8).(24 32 8 ) ( 8 )

9).(24 40 6 ) 4

10).(18 27

x x x

a a a

m m m m

x x x x

p p p p

b b b b

x x x x

x x x x

x x x x

x x

3 33 ) 9 x x

2 2 2 2

4 6 2 8 6 4

5 3 2

4 3 2 2

5 4 3 2

4 3 2 3

4 3 3 4 3 3

5 2 2 5 3 3

11).(9 3 6 ) 3

12).(4 8 12 ) 4

13).( 4 )

14).(10 15 5 10 ) 5

15).(2 3 4 )

16).(8 12 4 ) 4

17).( 16 24 ) 8

18).(36 18 ) ( 9 )

19).(

r s r s rs rs

x y x y x y x y

x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

x y x y x y

x y x y x y

6 4 2 2 4 3 2

4 3 2

4 2 ) ( 2 )

20).(4 24 16 16 ) 4

x y x y x y x y

x x x x x



4 3 2

4 3 2

4 3 2

24 4 12 1621).

4

4 12 1622).

2

3 4 12 623).

3

x x x x

x

x x x x

x

x x x x

x

5 3 2

2

7 4 3

3

6 3 2

2

5 6 12 1024).

7

18 9 12 525).

3

4 2 326).

8

x x x x

x

x x x x

x

x x x x

x

DIVIDIR : m n m na c ad x x x

b d bc

4

6 3

7 3

4 5 3

3 51).

4 6

5 32).

2 4

7 43).3 5

34). 3

4

x x

x y xy

m n mn

x y x

3 2

2 5

6 2

3 4 2 3 4

35). 5

2

56). 7

6

57). 23

38). 8

2

x x

x x

x y z xyz

mn x m n x

POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

2

2

2

2

2

2

2

2

5

5

1). 4 4 2

2). 6 9 3

3). 10 25 5

4). 8 16 4

5). 4 14 6

6). 5 9 2

7). 9 3

8). 25 5

9). 1 1

10). 1 1

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

6 3

3

6 3

3

6 12 811).

24 6

12).2

6 11 4 3513).

2 5

24 2 1514).

3 2

8 22 5 1215).

4 32 9 11 3

16).2 3

13 4217).

7

5 2418).

3

a a a

a x x x

x

x x x

x

a a

a

x x x

x x x x

x

x x

x

x x

x



4

4

3 2

3 2

2

2

1619).

2

8120).

3

121).

11

22).1

5 623).

2

2 1224).

3

x

x

x

x

m m m

mm m m

m

x x

x

x x

x

3

2

3

6 6

5 5

3 2

125).

1

2 926).

2

127).

1

28).

29).

3 230).

2

x

x

x x

x

x

x a b

a b

x y

x y

x x x

x

4 2

2

3 2

2

3 2

2

5 3 2 4

3

7 4 2

2

2 3 4 5

2

9 2031).

4

5 8 23 132).

5 7 2

15 30 7 1933).

3 2 5

6 13 5 3 4 334).

3 2 1

5 3 2 10 235).

1

10 1 5 10 536).

2 1

x x

x

a a a

a a

m m m

m m

x x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x x

PENSAMIENTO CRITICO: ¿Qué polinomio tiene cociente 23a ab b conresiduo a cuando se divide entre 22a b ?

IDEAS BÁSICAS PARA PRODUCTOS NOTABLES

PARTE I .m

n m na a ; n n nab a b

25

34

32

98

95

53

48

125

56

1). 2

2). 3

3). 5

4). 6

5).

6).

7).

8).

9).

y

x

m

n

a

77

1010

712

4

5

3

2

2

3

10).

11).

12).

13). 3

14). 2

15). 7

16). 8

17). 5

18). 4

y

y

p

w

t

y

x

m

y

2

3

22

23

34

45

32

26

34

19). 9

20). 5

21). 2

22). 4

23). 5

24). 3

25). 6

26). 10

27). 8

x

a

m

n

y

x

t

b

k

35

23

24 3

38 3

35 4

32 3

24 2

22 3

35 4 3

28). 7

29). 2

30). 2

31). 3

32). 3

33). 2

34). 3

35). 4

36). 2

x

x y

x y

x y

m n

x y

m n

x y z

m n p

25 3

33 4

25 7

36 3

24 3

33 4

24 2 3

26 3 4

26 4 3

37). 7

38). 2

39). 4

40). 3

41). 5

42). 4

43). 3

44). 6

45). 7

x y

x y

x y

x y

m n

x y

m n p

x y z

m n p



PARTE II n n

n

a a

b b

22

33

22 3

4

24

3

23

1).4

2).2

3).

4).

5). 2

x

x

x y

z

a

b

y

35

32

3

3

2

2

7

22

6).3

7).

38).

79).

10).4

a

x y

a

x

x

42

25

34

2

38

4

32

11).3

12).3

13).

14).

15).

x

y

m

n

a

b

xy

z

34

22 6

43 3

32 5

34 7

16).

217).5

318).

2

419).

3

5

20). 2

ab

c

x y

x y

m n

p q

3

22 3

2

43 2

2 7

32 6

3 4 5

35 6

3 4

221).

522).3

323).

2

524).

3

4

25). 3

c

y

x y m

x y

p q

m n

x y z

m n

z w

PARTE III SIMPLIFICAR

2 33 2

32 5

24

2 44 2

1). 4 2

2). 2 4 2

3). 3 2

4). 3

x x

y y y

m m

z z

2 22 4 5

22 3

2

2 22 3 2 2 2

5).3 2 5

6). 6 3

7). 7 4 3

8).

z z z

cd cd cd

a a a

b a b a a b

4 32 3

3 22 4 3

44 7 3

3 3

9). 2

10). 3 4

11). 3

12). 2 3

x y xy

a b a b

x y z

xyz xyz

2 2 22a b a ab b

2

2

2

2

2

2

1). 2

2). 3

3). 5

4). 4 3

5). 2 1

6). 3 2

x

y

x y

y

x

x

2

2

2

2

2

2

7). 2

8). 2

9). 2 2

10). 3 2

11). 4

12).

m

m n

b a

m n

x

x y

2

2

2

2

22

13). 2 6

14). 2 3

15). 2

16). 3 5

17). 2 1

18). 5 4

x

x

x

x

m

x

22

2 2

2 2

2 2

2 21 12 2

2 21 13 3

19). 4 4

20). 3 3

21). 2 1 2 1

22). 3 3

23). 4 5 4 5

24).

25).

x

x x

x x

d d

x x

x x

x x

2 2

2 2

26). 3 32 2

27). 1 12 2

28). 2 23 3

1 129).

2 3 2 3

2 230).

2 3 2 3

x x

x x

x x

x x

x x



2 2 22a b a ab b

2

1). 2 2

2). 3 3

3). 4 4

4). 5 5

5). 6 6

6). 7 7

7). 8 8

8). 3

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

2

2

2

22

22

22

22

9). 4

10). 5

11). 7

12). 2

13). 3

14). 5

15). 7

x

x

x

x

x

x

x

213

22 1

2

2

22

22

22 2

3

16).

17).

18). 2 2

19). 2 3

20). 3 3

21). 2

x

x

x

x

x

x

2

2 32

2

2

22

2

22). 3

23). 32

24). 23

25). 32

226). 2

3

x

x

x

x

x

22

2

23

2

23

227). 4

3

128).

2 3

229).

3

30). 32

x

x

x m

x

2

2

2

23

1). 5

2). 5

3). 52

4). 23

x

x

m

m

2

24

25

5).

6).

32

22

7).

3

2

2 3

m

m

m

24

26

23

5

1 19).

2 2

3 210).

8).

2 5

x

x x

x

2

27

28

211). 5

212). 2

13). 32

m

n

m

x

x

26

24

26

3 114).

2 2

2 115).

3 5

16).2

x

x

x m

n

PRODUCTO NOTABLE – 3.0 Pr oducto

2 2a b a b a b Factorizacion

2 2

1). 2 2

2). 3 3

3). 1 1

4). 4 4

5). 2 1 2 1

6). 3 2 3 2

7).8). 5 5

9). 2 3 2 3

10). 5 2 5 2

11). 10 10

x x

x x

m m

m m

m m

x x

m x m x x x

x x

x x

x y x y

3 3

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

12). 4 2 4 2

13). 6 2 6 2

14). 8 3 8 3

15). 4 4

16). 1 1

17). 1 4 1 4

18). 4 9 4 9

19). 6 6

20). 4 3 4 3

21). 3 4 3 4

22). 3 3

x y x y

x x

x x

y y

x x

y y

x x

x x

a a

a a

x x

2 2

3 3

3 3

2 3 2 3

2 23 3

2 2

3 3

2 25 5

3 2 3 2

5 5

8 8

23). 4 5 4 5

24). 9 5 9 5

25). 9 5 9 5

26). 7 3 7 3

27).

28). 5 5

29). 2 2

30). 3 3

31). 8 2 8 2

32). 2 3 2 3

33). 1 1

m m

x x

y y

y y

m n m n

m n m n

x x

x x

x y x y

x x

x x



PARTE - 1.0 MULTIPLICAR Y SIMPLIFICAR : . n n na b a b ; m

nmn a a

1). 12

2). 20

3). 75

4). 200

5). 8

6). 45

7). 50

8). 300

9). 18

10). 98

11). 29

12). 71

13). 113

14). 99

2

2

2

3

5

7

4

2

7

5 4

15). 3

16). 16

17). 13

18). 9

19). 64

20). 8

21). 50

22). 25

23). 18

24). 49

25). 29

26). 12

27). 243

x

a

x

x

m

x

m

y

p

y

t

b

x y

6

16

19

12

2

8

10

3

9

5

6 3

8 9

28).

29).

30).

31).

32). 3

33). 2

34). 4 5

35). 36

36). 3

37). 250

38). 448

39).

x

a

x

x

x

y

x

m

x

y

x y

m n

5

3

5

40). 125

41). 2. 3

42). 15. 5

43). 3. 5

44). 17. 17

45). 2.

46). 3 . 6

47). 4 . 2

48). . 3

49). 5. 5 2 1

50). 2. 1

51).3 200

52).4 12

53).2 75

m

x

x x

a a

x x

x

x x

2 2

3

3 5 3

2 2

2 2 2

54). 4. 4

55). 3. 2 4

56). 2 5. 2 5

57). 3 . 3 2

58). 2 . 2

59). 3 . 3 3

60). 2 . 6 2

61). 4 . 8 4

62). .

63). .64). . 2

65). 3 72

66). 2 100

x x

x x

x x

y y x y

x x y

m m

x x x

a a a

x y x y

a ab a a b

x y xy x y xy

PARTE - 2.0 MULTIPLICAR Y SIMPLIFICAR2

4

2 4 3

3 3 5

3

1).4 20

2).6 363).2 50

4).5 32

5).3 28

6). 3. 18

7). 5. 10

8). 15. 6

9). 3. 27

10). 18. 14

11). 12 . 18

12). 3 . 12

13). 7 . 21

14). 11 . 11

m m

x x x

r r s

a a b

x

x x

x y

xy y

x x

4 4

2 2

2 2

2 3 4

3 2

2 4

2 3 2

15). 5 . 15

16). 6 . 1817). 2 . 50

18). .

19). .

20). 2 . 4

21). 15 . 5

22). 18 . 6

23). 12 . 8

24). 50 . 10

25). 5 . 20

26). 6 . 24

27). 7 . 42

b b

a a x x

ab ac

xy xz

x y xy

mn m n

x y xy

x y xy

ab a b

a ab

xy x

a b a b

2 7

6 3 5

12 3 5

3 3 2

3 5 2

3

6 3

3 5 6

5

2

3

28). 56 . 8

29). 10 . 2

30). 15 . 3

31). 8 . 10

32). 12 . 5

33). 12 . 5 . 45

34). 12 . 7 . 42

35). 6 . 5 . 10

36). 3. 2 . 8

37). . 2 . 10

38). 27 1 . 12 1

39). . 5

x y xy

x y x y

ab a b

xyz x y z

x y z xy z

n n

x x x

x x x

y y

x x x

x y x

a a

3

109 306 11

4 99

2 2 1

27 315

2 3 3 1

2 32

3 5 6

3 3 4

2 2 3

3 2 2 6

40). 9 2 . 10 2

41). 2 . .

42). 9 . 9

43). .

44). 147. .

45). . .

46). 2 . 2

47). 6 . 5 . 10

48). 3 . 6

49). 2 . 8

50). 10 . 5

51). 12 . 3

n n

n n n

x x

x x

x x

x x

y x

x x y y

a b a b

x x x

y

x x y

xy x y

a b a b



PARTE - 3.0 SIMPLIFICAR: n

nn

a a

b b ;

mnmn a a ; n n na b a b

91).

49

162).

25

13).

36

14).

4

165).

81

256).

49

647).

289

818).

3619

9).100

4910).

100

2711).

75

5012).

18

113).

12

114).

185

15).18

116).

4

817).

3

1218).

5

2

2

3

7

19).

20).

21).18

2022).

623).

2

24).8

x

m

m

n

x

x

a

b

x

y

4

3

925).

16

2026).

45

927).

32

4528).

9

2729).

12

144

30).

x

a

1831).

2

7532).

15

1233).

75

2034).

5

1835).

3

18

36). 32

6037).

15

338).

75

10839).

3

340).

48

741).

3

9

42). 8

PARTE - 4.0 SIMPLIFICAR PARTE - 5.0 SIMPLIFICAR: n n n p a q a p q a

3

3

5

2

5

3

3

3

3

631).

7

482).

3

153).3

304).

5

45).

27

86).

2

277).

32

78).

12

9).

a

a

x

x

x x

a

a

m

m

x

x

c

c

x

x

x

xy

5

2

3

3

210).

3 3

3 1511).

5 32

3 6

12). 6 2

4 613).

24

2

314).

3

2

15).

4516).

8

317).

27

a

ab

m

m

x

x

18).3 2 4 2

19).8 3 3 3

20).7 5 3 5

21).8 2 5 2

22).6 7

23).9 3

24).9 11

25).6 14

26).5 8 15 2

27).3 12 2 3

28). 27 2 3

29).7 50 3 2

30). 45 20

31). 27 12

32). 72 98

33). 45 80

34).2 12 27 48

x x

y y

x x

a a

3

2

4

3

5 2 3

3 2

3 3 3

35).9 8 72 98

36).3 18 2 32 5 50

37). 18 3 8 50

38).2 27 3 48 2 18

39).3 48 2 27 2 18

40). 4 81

41). 12 27

42). 27 12

43). 81 4

44). 8 8 2 2

45). 12 12 3 3

46). 9 9

47). 16 16 25 25

48).3

49).4

x x

x

a

x x

x x

x x

x x x

x x x

x y x x x y y y x

2 2 3 3

3

5

50). 4

a a b a a b b

a b a b



PARTE - 6.0 SIMPLIFICAR: n

nn

a a

b b ;


3

33

3

6

33

3 63

5

4

5

1). 125

2). 27

1

3). 8

84).

27

5). 216

6). 243

7). 625

8). 32

x

a

b

x y

6

44

33

33

3

3

9 63

19).

64

10). 16

11). 1

12). 8

12513).

216

14). 512

15). 343

x

x

a

a b

9

36

4

5

5

6

6

4

2716).

100

17). 81

18). 32

119).

32

20). 64

21). 729

22). 256

a

b

4

4

5

55

6 126

248

164

1623).

625

8124).

256243

25).32

26).

27). 64

28).

29). 256

x

x m

x

m

3

3

3

63

6 123

3

3

3

3

30). 16

31). 54

32). 24

33). 80

34). 48

35). 270

6436).

8

37). 189

m

x m

3

3

3

3

43

3

73

3

3

4838).

6

6439).

8

18940).

7

24341).

9

11242).

7

a

a

x

x

ab

ab

PARTE - 7.0 SIMPLIFICAR: n n na b a b ; n n n p a q a p q a

3 3

2 23 3

2 23 3

33

3 3

5 53 3

4 33

3 3

3 3

344

1).3 9.2 3

2). 5 . 25

3). 3 . 9

4).2 16. 4

5). 2. 12

6). . 16

7). 3 . 18

8). 7. 49

9). 3. 18

10). 25 . 25

m n mn

ab a

a b ab

x y x

a a

2 25 5

3 3

3 3

4 4

4 4

3 3 3

3 3

6 2 6 2 6 25 5 5

3 3

6 6

11).8 7 7 7

12). 24 2 3

13).2 125 5 64

14).14 32 15 162

15).3 512 2 32

16).2 16 54 3 12817).2 64 2 8

18). 32

19).6 5 3 5

20).10 12 2 12

a a

a a

x y x y x y

m m

xyz xyz

3 3

3 3

3 3

4 4

4 4

4 4 4

4 44 4

4 4 43 3 3

3 3

3 3

21). 16 128

22). 80 10000

23).3 27 12 216

24).23 768 48

25).4 243 2 48

26). 48 243 768

27).3 2

28). 8 27

29).2 9 3 9

30).10 4 2 4

x y x y

xy xy xy

PARTE - 8.0 MULTIPLICAR: a b c ab ac ; a b c d ac ad bc bd

1).3 5 4 5

2).2 7 3 7 1

3).3 2 4 3 2 7

4). 3 7 5

5). 2 5 4 2 3 3

x x

2

6). 2 8 3

7). 2 2 3

8). 5 2 1

9). 3 3 2

10).3 7 2 7 3 7

m m m

11). 2 3 1 3 1

12). 7 2 3 5

13). 3 2 3 2

14). 3 2 3 2

15). 2 3 3 3

y y

p p

m n m n

a b a b



PARTE - 9.0 SIMPLIFICAR: a b c ab ac ; a b c d ac ad bc bd

2

2

2

2

1). 5 3 2 3

2). 3 2 2

3). 2 3 5

4). 2 3 3

5).3 5 3

p q p q

r

t

x

x

6). 2 1 2 3

7). 4 3 2 5

8). 5 3 5 3

9). 3 2 3 2

10). 2 1 2 1

x x

z z

x y x y

11). 3 2 3 2

12).

13). 2 3 3 4

14). 2 18 6

15). 3 18 6

x y x y

u u

PARTE - 10.0 RACIONALIZAR: n n na b a b ; nn a a ; n

n a a

2

11).

7

5

2). 3

23).

3

34).

2

5).3

16). 9

207).

7

28).

39).

5

6

10). 2

211).

112).

6

413).

3

u

x

x

x

x

m

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

514).

8

315). 50

816).

2

2717).

3

118).

2

2

19). 9

320).

9

221).

222).

9

923). 54

824).

925).

3

a

x y

xy

xy

x y

2

3

2

23

3

3

3

4

5

5

4

5

1026).

2

527).10

428).

2

929).

3

130).

4

231).5

132).

16

433).

32

34).48

1935).27

3 236).

2

4 537).

3 3

xy

xy

ab cabc

a

ab

x

xy

x

138).

2 1

3

39). 3 2

240).

5 3

341).

3 2

3 142).

3 1

3 143). 2 2

2 144).

3 1

2 245).

2 2

2 146).

2 1

7 247).2 7

3 248).

3 2

249).

1

x

250).

1

3

51). 2

352).

2

53).4

54).4

255).

12

56).1

2 157).

2 2

2 158).

2 1

3 159).

3 13 1

60).3 1

61).

62).

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

m

m

m

m

t

t t

t

x y

x y

x y

x y

63).

564). 2

265).

2 1

266).

3 1

67).

2 3268). 4

169).

1

270).

3

71).

172). 5 5

273).

5 7

5 274).

5 2

x y

x y

x

x

x

xy

x

x

a

a

x

a

a b



PARTE - 11.0 SIMPLIFICAR : n

nn

a a

b b ;


1

2

1

2

13

1

4

3

2

2

3

3

2

2

3

1).4

2).9

3).27

4).1

5).4

6).8

7).36

8).27

3

4

3

2

12

1

3

1

3

1

4

1

4

1

5

9).81

10).100

11).25

12).8

13).125

14).16

15).625

16).32

3

2

2

3

12

1

3

1

3

1

5

1

2

1

3

17).144

18).1000

19).4

20).( 125)

21). 27

22). 243

23).216

24).8

3

2

5

2

12 2

13 3

14 4

14 2

15 5

34 2

25).4

26).25

27). 25

28). 27

29). 16

30). 16

31). 243

32). 25

x

x

x

x

x

x

23 3 3

32 2

34 2

23 3

29 3

25 5

56 2

13 3

33). 27

34). 16

35). 81

36). 27

37). 8

38). 32

39). 16

40). 8

a b

x

m

x

b

p

q

x

18 4

18 4

1

2

1

2

1

2

1

2

41). 16

42). 16

143).

4

144).

4

145).

16

146).16

x

x

PARTE - 12.0 SIMPLIFICAR1

3

1

3

14

2

3

2

3

3

2

3

2

23 3

11).

8

12).

8

13).

6

14).

8

15).

8

46). 9

47).

9

88).

27

x

23 3

2

3

6

2

3

6

4

3

4

3

3

2

3

2

13 3

89).

27

2710).

64

2711).

64

2712).

8

2713).

8

2514).49

2515).

49

816).

27

x

m

m

x

13 3

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

4

3

4

4

34 4

817).

27

118).

4

119).

4

420).

25

421).

25

1622).81

1623).

81

8124).

16

m

x

x

m

34 4

3 2

7 7

2 2

5 5

31

5

51

3

4

5

3

5

2

3

1

2

1 5

3 3

2 4

3 3

8125).

16

26).5 .5

27).4 .4

28). 4

29). 3

930).

9

731).

7

32).5 .5

33).6 .6

m

4 1

3 3

2

3

5 16 3

12

1 1

3 2

1

3

2 13 3

3 15 5

12 3

3

10

4 5

311 2

32

23 3 3

5 2

32 5

3

3 .334).

3

2 .235).

2

5 .536).

5

37). .

38). .

39).

40).

41). .

42). .

43).

a a

b b

a

p

a b

a b

mm

13 2

12

13 3

22 3

12 3 3

13 3

12 2

52

1

3 3

14 2 4

33 4 2

22 3 3

1 14 2

444).

9

2745).

8

46).

47). 27

48). 16

149).

25

50). 27

51). 81

52). 25

53). 8

54).5 .5

x y

xy

x y

xy

m n

x

a

x y

x y

x y

u v



PARTE - 13.0 SIMPLIFICAR: a b c ab ac ; a b c d ac ad bc bd

51 23 3 3

32 25 5 5

3 7 25 5 5

54 23 3 3

1).

2).

3). 1

4). 3 4

y y y

y y y

x x x

x x x

1 12 2

1 1 1 12 2 2 2

2 23 3

1 12 23 3

5). 2 2

6).

7).

8).

x x

x y x y

x x x x

x x x x

22 2

3 3

221

32

23 3

2 2

21 12 2

9).

10).

11).

12).

x y

a b

a b

x x

1 1 12 2 2

2 1 43 3 3

21 12 2

2 2 2 23 3 3 3

13).

14).

15).

16).

u u u

m m m

x y

a b a b

PARTE - 14.0 SIMPLIFICAR

1 12 2

2 13 3

1 12 2

2 13 3

3 2 2

2 2 2

33 3

22 2

2 2 2

2 2

5

2

32

2

1).4 1 4 1

2).2 2 2

3

3). 3 32

24). 4 4

3

5). 3 2 18

246).

8

2 1

7). 1

28).

2

9). 27 3 18 6 12

10).2 32 8 3 2

11). 2 3 5 2 3 2

12). 3 2 2 5

2

13).

x x x x

x x x

x

x x

x x x

xy x y x xy

xy x y

x x y

x x

x

x

x

x x

x h

2

x

h

2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

14). 5 5

15). 5

16). 3 3

17). 6 6

218).

7 5

419).

20 60

12 3620).

6 2 6

20 2821).

7 3 7

122).2

2

223).5

3

224).3 2

2

525).3 4

4

1 1

1 126).

a a

x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x x

x

x h x

h

PROPIEDADES A

UTILIZAR

a b c ab ac

a b c d ac ad bc bd

n n na b a b

n

nn

a a

b b

m nmn a a

n

n a a

nn a a

a c ad bc

b d bd

aad b

c bc

d



IDEAS BÁSICAS PARA FACTORIZAR CUALQUIER EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es común escuchar a muchos jóvenes quejarse de la Matemática, específicamente del Álgebra

en el área de factoreo; lo cual es muy lamentable ya que el dominio de los procesos algebraicos

es fundamental en la vida académica de todo estudiante. El Álgebra es el lenguaje con el que

están escritas, la Matemática y las leyes que rigen el universo, por tal razón el estudiante quedomina la Matemática esta en la mayor capacidad de entender y dominar las diferentes áreas de

la ciencia.

Las siguientes ideas resultan muy útiles para superar los impases del factoreo, debes poner

especial atención en reconocer las estructuras algebraicas y su respectiva Factorización.

1. Siempre buscar factor común xa xb xc = x( a b c )

2. Contar los términos de la expresión y analizarlos de acuerdoal siguiente detalle:

Dos térm inos Se fac to rizan

a2 – b2 ( a + b )( a – b )

a3 – b3 ( a – b )(a2 + ab + b2 )a3 + b3 ( a + b )( a2 – ab + b2 )

Tres térm inos Se fac to rizan

a2 + 2ab + b2 ( a + b )2

a2 – 2ab + b2 ( a – b )2

x2 bx c ( x r 1 )(x r 2 ) b = r 1 r 2 c = r 1r 2

ax2 bx c Con aspa simpleCuatro térm inos Se fac to rizan

a3

+ 3a2

b + 3ab2

+ b3

( a + b )3

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 ( a – b )3 ax ay bx by ( a b )( x y )

Otros tres, cuatro o mástérminos no considerados en el

detalle anterior.

Con división sintética ométodo de Ruffini



FACTOR COMÚN: ( )ab ac ad a b c d

2

2

4 2

4

5 4

3 2

2

3 2

4 2 2

5 2 4 3 2

5 3

1). 4

2).2 6

3).3 6 6

4).14 12

5).32 17

6).6 5

7).2 2 8

8). 6

9).8 24

10).12 9 6

11).17 34 51

x x

a a

y y

m m

x x

a a

x x

x y x y

x y x y

m n m n m n

x x x

4 3 2

5 4 3 2

7 6 5 3

4 4 3 2 2

3 2 2

2

2

2

2 4

3 7

4 4

12).6 10 3

13).

14).2 2 64 4

15).4 2 6

16).2 4

17). 8

18).3 3

19).5 10 30

20).28 21

21).9 25

22).11 7

x x x

x x x x

x x x x

a b a b a

x y x y x

y y

p p

x x

y y

x x

y y

2

4 2 2

5 3

3 2 3 2

6 5

5 2

9 7 4 3

3 2

3 2 2 2 2

3 3 3 2 2 2

4 3 2

23).6 3 15

24).4

25).5 10

26).2 6 8

27).16 32 48

28).5 10 8

29).

30).10 25 15 20

31).5 10 20

32).6 3

33).9 15 3

x x

a b a b

m n m

x y xy xy

x x x

x x x

x x x x

x x x

p q p q pq

m n m n m n

x x x

DIFERENCIA DE CUADRADOS : 2 2a b a b a b

2 6

2

2 2

2

2

16

6

12

8

2 2

2 4

4

4

3 3

3

6

1).32 8

2). 4

3).

4).4 25

5).100 25

6). 25

7).16 25

8).36 49

9).121 100

10).8 98

11).27 48

12). 1

13).16

14). 4

15).16 81

16).5 20

y y

x

m y

x

x

m

x

x

a

x y

y y

x

y

a b ab

x x

y

2

2

2

4

12

4

2

6 2

4 2

6 2

4

4

2 2

4 2

3

2

17). 36

18).16 9

19).9 16

20). 9

21). 16

22).64 81

23).16 25

24).81 25

25). 54 24

26).75 147

27). 16

28).25

29). 9

30).4 4

831).18

25

32). 3 9

x

a

a

x

a

y

y

y y

y x

m n

x

x

x y

x x

x x

x

2

2

6

4

10

3

6 4

2 2

10 4

4

2

4

4

16

2

3

33).25 4

34).25 49

35). 4

36). 16 4

37).4 25

38).36 49

39).100 49

40). 50 32

41).50 72

42).5 80

43).4 9

44).4 64

45).625

46). 1

47). 3 4 49

48).16

x

m

y

x

x

x x

y y

y x

a b

x

y

x

m

x

a

x x

6

2 4

4

8

4

2

8

16 2

14

2

8

8 4

12

6

8 4

4 4 6 8

49).20 25

50).16 25

51). 81 49

52). 1

53). 9 25

54). 2 7 1

55).1

56). 9

57). 64

158).3

3

59). 49 9

60).16

61). 16

62). 16

63).

64).64 25

y

x x

a

x

a

y

y

x x

c

x

c

p t

x

x

b a

x y x y



Suma de cubos: 3 3 2 2a b a b a ab b Resta de cubos: 3 3 2 2a b a b a ab b

3

3

3

3

3

3

6 3

3 3

3 3

3

1). 8

2).125 64

3). 64

4).8 27

5).8 1

6). 343

7). 343

8).8 343

9).

10). 27

x

x

x

a

x

x

x y

x y

x h

y

3 3

6 3 3

3 6

3 3

9 6

9

3

6 12

3

3

11). 8

12).

13). 27

14).8 27

15).

16).1

17).8 125

18). 125

19). 1

20). 8

a b

a x y

m n

a b

p q

b

y

a b

a b

x y

3 3

3 6

3 6 9

3 6

6 9 3

3

3 3

3 6

3

3

1).27

2). 216

3).

4).8 27

5).8

6). 100

7).1000

8).1000 8

9). 1

10). 8

x y

c d

c d e

c d

c d e

m

m n

m n

m n

x y

3

3 6

3

6

9 9

33

3 3

12 6

3

9

11).8 512

12). 343

13). 278

14). 729

15).

16).

17). 1 1

18).27 8

819).

2720). 1

x

p q

x

x

x y

x x y

x x

m n

m

p

Trinomio Cuadrado Perfecto : 22 22a ab b a b

2

2

2

2

2

2

2

2 2

1). 14 49

2). 16 64

3). 6 9

4). 4 4

5). 10 256). 12 36

7).9 6 1

8). 4 4

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x xy y

2 2

2

4 2

6 3

4 2

6 3 2

3 2

2 2

9). 6 9

10).20 100 125

11).5 10 5

12). 26 169

13).4 4 114).81 72 16

15). 24 144

16).12 36 27

y xy x

x x

y y

y y

x x x x y y

x x x

x xy y

4 2

10 5

2

2

2

2

18 9

2

17). 14 49

18).9 12 4

19). 3 2 3 1

20).4( 5) 20 5 25

21). 4 2 4 1

22).49 1 42 1 9

23).9 48 64

24). 10 25n n

a a

x x

y y

a a

a a

x x

x x

x x

Trinomio Cuadrado Perfecto : 22 22a ab b a b

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

1). 14 49

2). 6 9

3). 16 64

4).36 48 16

5).9 18 9

6).16 56 49

7). 2 1

8). 6 9

x x

x x

x x

x xy y

m mn n

x xy y

x x

y xy x

2 2

2

3 2

2 2

10 5

2

2 2

6 3

9). 4 4

10).2 4 2

11). 18 81

12).49 42 9

13).16 8 1

14).2 40 200

15).64 112 49

16). 16 64

x xy y

x x

x x x

y xy x

x x

x x

y xy x

y y

3 6

8 4 2

2

2

3 2

4 2

6 3

2

17).1 2

18).9 30 25

19). 20 100

20). 22 121

21).18 12 2

22).4 4 1

23).16 16 4

24).81 36 4

a a

a a b b

x x

x x

x x x

x x

m m

x x



TRINOMIO DE LA FORMA: 2 x bx c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1). 8 15

2). 7 12

3). 6 9

4). 9 14

5). 5 4

6). 14 48

7). 10 21

8). 10 24

9).4 40 100

10). 21 108

11). 8 15

12). 3 18

x x

x x

x x

x x

b b

a a

m m

z z

x x

y y

x x

b b

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

13). 9 20

14). 7 10

15). 11 10

16). 42

17). 7 18

18). 6 16

19). 4 45

20). 2 99

21). 9 90

22). 7 12

23). 4 12

24). 4 21

a ab b

c cd d

y yz z

x x

x x

x x

y y

x xy y

a a

m m

x x

a a

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

25). 56

26). 2 35

27). 5 6

28). 9 8

29). 11 28

30). 11 30

31). 11 28

32). 8 7

33). 16 63

34). 18 80

35). 10 25

36). 12

c cd d

a ab b

x x

x x

y y

a a

x x

z z

x x

m m

x x

x x

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

37). 14 45

38). 12 36

39). 5 4

40). 8 15

41). 2 15

42). 2 15

43). 3 28

44). 42

45). 7 60

46). 6 72

47). 20

48). 7 10

a a

t tp p

x xy y

x xy y

x x

a a

x x

z z

x x

x xy y

x x

x x

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

49). 5 24

50). 2

51). 20 100

52). 21 100

53). 21 72

54). 25 144

55). 132

56). 3 2

57). 20 99

58). 20 96

59). 15 36

60). 20 300

c cd d

a ab b

x x

x x

y y

a a

x x

z z

x x

x x

b b

m m

TRINOMIO DE LA FORMA: 2ax bx c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1).2 7 4

2).3 4 15

3).3 4 1

4).9 6 8

5).9 18 166).18 3 10

7).14 19 3

8).6 13 6

9).24 47 2

10).9 12 5

11).3 4

12).6 23 7

13).7 15 2

14).2 1

15).2 5 2

x x

x x

x x

x x

m m x x

x x

y y

x x

a a

x x

x x

x x

x x

y y

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

16).12 31 20

17).35 34 8

18).9 42 49

19).16 78 27

20).2 6 2021).5 18

22).6 13 6

23).4 4 15

24).15 19 10

25).3 5 2

26).15 19 10

27).9 18 8

28).15 19 6

29).35 57 44

30).2

x x

x x

x x

x x

m m x x

x x

y y

x x

a a

x x

x x

x x

x x

y

15y

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

31).12 28 24

32).30 24 54

33).6 4 10

34).3 4 1

35).12 28 2436).2 1

37).9 18 16

38).15 25 10

39).6 33 15

40).20 25 5

41).18 21 9

42).6 13 6

43).6 33 15

44).15 19 6

45).14

x x

x x

x x

x x

m m x x

x x

y y

x x

a a

x x

x x

x x

x x

y

2 35 14y

2

2 2

2 2

2 2

4 2

2

3 2

2

5 3

2 2

2 2

2 2

2

46).30 20

47).18 3 10

48).15 19 10

49).35 34 8

50).9 18 851).9 42 49

52).6 4 10

53). 6 7

54). 6

55).12 31 20

56).14 19 3

57).56 15

58).6 13 6

59).1

x x

x xy y

x xy y

x xy y

m m x x

x x x

y y

x x x

a ab b

x xy y

x xy y

x x

4 2

3 2

5 19 6

60).18 21 9

x x

y y y



CUBO DE UN BINOMIO DE LA FORMA : 3 2 2 3 33 3 ( )a a b ab b a b

3 2

3 2 2 3

2 4 6

3 2

3 2 2 3

3 2 2 3

2 3

6 4 3 2 6 3

3 2 2 3

12 8

1). 3 3 1

2). 3 3

3).8 12 6

4).125 75 15 1

5).27 108 144 64

6).125 150 60 8

7).8 36 54 27

8). 3 3

9).64 240 300 125

10).125 600

a a a

m m n mn n

y y y

m m m

m m n mn n

a a b ab b

x x x

a a b a b b

x x y xy y

m m n 5 4 10 15960 512m n n

12 6 18

2 3 4 6 6 9

2 3

9 6 5 3 10 15

3 2 2 3

3 2

3 2 2 3

6 4 2

3 6 2 4

11).1 3 3

12).1 18 108 216

13).1 12 48 64

14). 18 108 216

15). 6 12 8

16).125 225 135 27

17).8 36 54 27

18). 6 12 8

19).125 225

x x x

a b a b a b

a a a

a a b a b b

x x y xy y

x x x

a a b ab b

a a a

x y x y a

2 2 3

3 2

135 27

20).8 12 6 1

xy a a

a a a

CUBO DE UN BINOMIO DE LA FORMA : 3 2 2 3 33 3 ( )a a b ab b a b

2 3

2 3

3 2 2 3

3 2

2 2 3 3

2 4 6

9 6 4 3 8 12

2 4 6

1).27 27 92).1 3 3

3).8 36 54 27

4). 3 3 1

5).1 6 12 8

6).8 12 6

7). 9 27 27

8).216 756 882 343

y y y

a a a

m m n mn n

x x x

ab a b a b

m m m

x x y x y y

x x x

3 2

3 2 2 2 3 3

9 6 4 3 8 12

3 2

2 3

3 2 2 3

2 2 4 4 6 6

3 3 2 2

9).8 12 6 110). 3 3

11).64 240 300 125

12).125 225 135 27

13).1 3 3

14).27 54 36 8

15).1 6 12 8

16). 6 12 8

x x x

m am n a mn a n

x x y x y y

x x x

x x x

c c d cd d

a b a b a b

m n m n mn

EXPRESIONES DE LA FORMA: ax ay bx by a b x y

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

2

2

3 2

3 2

1). 3 2 6

2).2 6 3

3).8 12 6 9

4).12 16 3 4

5). 8 3 24

6).14 18 21 27

7).2 8 9 36

8).

9). 2 2

10). 3 3

11).6 3 2 1

12).3 2 3 2

x x x

y y y

m m m

x x x

b b b

x x x

x x x

ax bx ay by

n n np p

a a ay y

z z z

x x x

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

2

2

5 3 2

6 4 2

5 4 3 2

13 7

13).10 25 4 10

14).18 21 30 35

15).2 12 5 30

16).24 27 8 9

17).20 4 25 5

18). 2 2

19).2 4 2

20).6 3 2

21).4 6 6 9

22). 1

23).4 6 6 9

24).

p p p

c c c

m m m

x x x

a a a

bx b cx c

x x xz z

y y py p

x x x

c c c

m m m m

x x 61 x

3 2

3 2

3 2

3 2 2 2 2

3 2 2 4 3 2

3 2

4 2 3

3 2

4 3 2

4 3

25).20 4 5

26). 4 4

27).18 9 2

28). 4 4

29).12 6 4 2

30).3 2 3 2

31). 3 4 12

32). 7 3 21

33). 5 25 125

34). 8 8 64

35). 4 2 8

36).6

x y xy

x x x

y y y

a a a

a b a b a b ab

x y x y x y x y

x x x

m m m m

x x x

p p p p

x x x

x 3 24 3 2 x x



DIVISIÓN SINTÉTICA O MÉTODO DE RUFFINI

3 2

3 2

3 2

3

3 2

3 2

3 2

3

3 2

3 2

4 3 2

4 3 2

4 2

4

1). 1

2). 4 6

3). 3 4 12

4). 12 16

5).2 18 9

6). 13 28

7). 2 2

8). 7 6

9). 6 32

10).6 23 9 18

11). 4 3 4 4

12). 2 13 14 24

13). 15 10 24

14).

x x x

x x x

a a a

m m

x x x

a a a

x x x

n n

x x

x x x

x x x x

x x x x

a a a

n

2

4 3

4 3 2

27 14 120

15). 6 3 140

16).8 18 75 46 120

n n

x x x

a a a a

4 2

4 3 2

5 3 2

5 3 2

5 4 3 2

5 3 2

5 4 3 2

5 3 2

5

17). 22 75

18).15 94 5 164 60

19). 21 16 108 144

20). 23 6 112 96

21).4 3 108 25 522 360

22). 30 25 36 180

23).6 13 81 112 180 144

24). 25 25

25).2 8

x x

x x x x

x x x x

a a a a

x x x x x

n n n n

x x x x x

x x x

a

4

5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 4 3 2

6 4 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

7

3 12

26). 2 15 3 6 45

27). 6 4 42 113 108 36

28). 32 18 247 162 360

29). 41 184 144

30).2 10 34 146 224 424 480

31). 8 6 103 344 396 144

32). 20

a a

x x x x x

x x x x x x

a a a a a

x x x

x x x x x x

a a a a a a

x

5 4 3 22 64 40 128 x x x x



SIMPLIFICAR

2

2

2

2

2

2

2

2

3 2

2

2

3

2 2

2 3 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

3 21.

5 6

62.

4

3. 1

2 9 184.

4 16 15

2 65.

2 7 6

16.

1

3 37.

9 96

8.2 2 3

7 12 5 69.

3 2 6 9

2 210.

2

1

x x

x x

x x

x

y y

y

y y

y y

x x x

x x

x

x

t t

t t x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x xy y x xy y

x y x xy y

2 2

2 2

2 2

2 2

3

2

2

2

2

2

2 3 1 6 51.

2 15 2 7 3

4 9 2 312.

2 9 18 5 6

113.

2 1

2 3 2

114.

2 5 22

15.( / ) /

16.

1 217.

5 3

x x x x

x x x x

y y y

y y y y

x

x x

x x

x x

x

x x x x

x y z

x

y z

x x

2

2

2 2

2 2

2 3

2

2

2

2 2

2

2

1 118.

1 1

1 119.

1 2

320.

4 62

21.11

5 322.

2 3 2 3

23. 11

2 3 424.

1 125.

1 1 126.

2 127.

3 7 12

128.

4 2

1 129.3 9

230.

2 5 4

2 3 431.

1

32.

x x

x x

x

x x x

x x

x x

uu

u

a ab b

x x x

x x x

x x x

x

x x

x x

x

x x x x

x x x x

x

x x

2 2

2 2

2 2

1 2

6 2 3

1 133.

3 2 2 31 2 3

34.1 11

35.1 1

x x

x x x x

x x x

x y

y x

x y

2 2

1 1

1 1

1

3 3

3 3

2

2

3

36.

11

137.

111

138.1

11

1

5 2

1 139.1

1 1

40.

41.

42.

1 1

43.

44.

1 1

2 245.

7 746.

47. 11

48. 1

y x

x y

y x

c

c

x

x x x

x x

a b a b

a ba b a b

b a

x y

x y

x y

x y

a h ah

x h x

h

x h x

x h x

h

x h x h x x

h

x

x

x

2

3

1

4 x



IDEAS BÁSICAS DE LOGARÍTMOS

.1 0 Escriba en forma logarítmica cada una de las siguientes expresiones.

33 1 2

1

4 0 5

2

1 33

32 3

2

1a) 2 8 b) 7 7 c) 9

27

d) 3 81 e) 6 1 f ) 32 2

1g) 5 h) 8 4 i) 10 1000

5

3 4 2 8 1 j) k) l) 125

2 9 3 27 25

.2 0 Escriba en forma exponencial cada

una de las siguientes expresiones.

144 10 2

1 18 257 2 5

126 16 1

( )3

321 16 1

( ) ( )5 6

a)log 1 0 e)log 1 0 i)log ( ) 2

b)log 7 1 f )log ( ) 3 j)log ( ) 2

c)log 36 2 g)log 4 k)log 27 3

d)log 125 3 h)log 64 l)log 36 2

.3 0 Compruebe las igualdades de los numerales 1 y 2

.4 0 Encuentre el valor de la incógnita en cada caso.

1210 125 a 1

( )2

11254 5 a a

3 1 12 4 2

25 2 3 a2 13 8a 8 64 a

12a 1

( )4

a)log x 2 g)log 25 y m)log 4 s)log x 4

b)log x 2 h)log ( ) y n)log 36 2 t)log 8 3

c)log x i)log x 3 o)log 27 y u)log ( )

d)log 16 2 j)log x p)log 16 y v)log 2

e)log 25 k)log x 0

9 25

3 3 12 4 81a a 16 3

q)log x 1 w)log 5 y

f )log 64 l)log 5 1 r)log x x)log ( ) y



P R O P I E D A D E S DE L O G A R I T M O S

1.0- En los ejercicios siguientes utilice las propiedades de logaritmos para escribirla expresión dada en términos de logaritmos más sencillos .Exprese larespuesta de modo que no contenga logaritmos de productos, cocientes opotencias. Si la expresión no se puede simplificar, diga por que.

mxya a a a a a a a

log xy log x log y ; log log x log y ; log x mlog x

2 3

4

5a2 b

xb yz

5b

3

5

43tt

2

3

4

1.0)log x yz

2.0)log

3.0)log

4.0)log b

5.0)log 5x

6.0)log

3 2 5

b

4 x2

y

2

b

2

b

x 334 2 x

x39

3

2

7.0)log x y z

8.0)log

9.0)log x 4

10.0)log x x 6

11.0)log

12.0)log

x 16b x 2 x 8

27 r s3 t

3 4

b

xb y

x54 2 y

2

2

5

3

3

4

2

3

13.0)log

14.0)log

15.0)log x y

16.0)log

17.0)log

mxya a a a a a a a

log xy log x log y ; log log x log y ; log x mlog x

2.0- En los ejercicios siguientes, escriba la expresión dada como un únicologaritmo que contenga coeficiente 1 y simplifique lo más que pueda.

b b

b b b

312 2b b

b b

10 10

8 8

b b

2 21 12 2b b

b b b

1.0) 4log 2 log 3

2.0) 2log x log y 3log z

3.0) log m log n

4.0) 5log 3 2log 4

5.0) log 50 log 5

6.0) log 80 log 5

7.0) log x 1 log x 2

8.0) log x 1 log x 1

9.0) 3log x log 2 log x 5

6 6

10 10

b b b

1 13 3b b

1 1 14 3 2b b b

yx z4 3 2b b b

b b

2

b b

13 b b

10.0) log 9 log 24

11.0) log 200 log 5

12.0) 3log x 4log y 2log z

13.0) log x 1 log x 2

14.0) log x log y log z

15.0) log log log

16.0) log x 2log x 1

17.0) log x 2 log x 4

18.0) log x 1 log 3

13 b

log x 1



EXTRACCIÓN DE FUNCIONES DE SITUACIONES REALES

01 El área de un triangulo es de 211cm expresar el lado “y” en función de “x”

02 Se desea construir una caja abierta en su parte superior.Para ello se cuenta con una pieza cuadrada de cartón que mide 15 cm.por lado, se cortaran cuatro cuadrados iguales de lado “x” en cada una

de las esquinas y se doblarán hacia arriba los lados resultantes.Expresar el volumen de la caja como una función de “x”.

03 Se dispone de 50 metros de alambre para cercar

dos gallineros rectangulares, tal como se muestra en la figura.Expresar el área de los gallineros en función de “x”

04 Una página rectangular contiene 2216cm de impresión.

Los márgenes superior e inferior tienen cada uno un ancho de 3.0 cms.mientras que cada uno de los márgenes laterales tiene 2.0 cms.de ancho. Exprese el área de la página en función de “x”

05 Una caja cerrada de base rectangular, tiene un lado que mide

el doble del otro, además tiene un volumen de3

1m .

El material de la base y de la tapa cuesta 30 centavosel metro cuadrado, mientras que el material de los ladoscuesta 20 centavos el metro cuadrado.Exprese el costo “C” de la caja en función del ancho de la base.

06 Un alambre une dos postes tal como se ilustra en la figura

La distancia entre ambos postes es de 20 metros. La longitud deLos dos postes suma 10 metros.Expresar la longitud del alambre como función de “x”

07 Un automóvil se compró en $20,000.00, si sabemos que se deprecia cada año en un 5% de su

valor original.a) Exprese su valor al cabo de “x” años.



b) ¿Cual será su valor después de 20 años?

08 Un globo se eleva verticalmente a razón de 5m/seg.

Una persona se encuentra a 30 metros del puntodonde el globo empezó a elevarse.Exprese la distancia “D” en función del tiempo.

09 Una plataforma petrolera esta derramando petróleo en el océano,

creando una mancha circular en la superficie. Supongamos que el diámetroesta creciendo con una razón constante de 8 m/min.Exprese el área de la mancha como función de “t”. Donde “t” es el tiempo en minutos desde el inicio del derrame.

10 Suponga que el área de la superficie de un cilindro circular recto cerrado es de 230 cm .

Exprese el volumen del cilindro en función del radio. Área del cilindro: 2 A 2 r h 2 r

Volumen del cilindro: 2V r h

11 La figura muestra un rectángulo inscrito en un círculo,

Exprese le área del rectángulo como función del radio del circulo.

12 Un tanque de petróleo tiene la forma de un cono

circular recto, con una altura de 15 pies y un radio de 4 pies.Suponga que el tanque se llena hasta una profundidad “h pies”.

Sea “x” el radio del círculo sobre la superficie del petróleo. Exprese el volumen del petróleo en el tanque como una función de “x”

21V r h

3

13 La siguiente figura muestra un trapecio isósceles ABCD.

Exprese el área del trapecio como función de “x”

(B b)hA

2

14 Exprese el área sombreada del semicírculo como función de “r”



IDEAS BÁSICAS ACERCA DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

FUNCIONES….

CONSTANTE

LINEAL .. creciente y decrecientePOLINÓMICAS...

CUADRÁTICA .. cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo

CÚBICA .. creciente y decrecienteALGEBRAICAS... RAICES INDICADAS ...crecientes y decrecientes

RAC

F(X)IONALES.....

G(X)

EXPONENCIALES .. crecientes y decrecientes

TRASCENDENTES.. LOGARÍTMICAS .. crecientes y decrecientes

TRIGONOMÉTRICAS

1.0 FUNCION CONSTANTE ANÁLISIS Ejemplo: F(x)= 4F(X)= K

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

K

Dominio: RRango : KConstante

Dominio: RRango : 4Constante

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

2.0 FUNCIÓN LINEAL ANALISIS Ejemplo: 2

3( ) 1 f x x

f(x)= mx+b

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

b

Dominio: RRango: R

Pendiente: mIntercepto: bCreciente

Dominio: RRango: R

Pendiente:2

3

Intercepto: 1Creciente

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)=mx-b

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

b

Dominio: RRango: RPendiente: mIntercepto: -bCreciente

Dominio: RRango: R

Pendiente:5

4

Intercepto: -2Creciente

54

( ) 2 f x x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

43

( ) 2 f x x

Dominio: RRango: R

Pendien

Intercepto: 2Decreciente

Dominio: RRango: RPendiente:

Intercepto: -1Decreciente

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

3.0 FUNCIÓN CUADRÁTICA CÓNCAVA HACIA ARRIBA

ANÁLISIS Ejemplo:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2-1

1

2

3

4

x

y

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

K

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: RRango:

3,

Decrece:

Crece:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

ANALISIS

-1

1

2

3

4

5

h

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

6

x

y

ANALISIS



1

2

3

4

5

6

h

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece: -1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

ANALISIS Ejemplo:

x

y

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

6

x

y

ANALISIS

x

y

h

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: RRango:

Decrece:

Crece:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

ANALISIS

h

k

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

-1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

ANALISIS



h

k

Dominio: R

Rango:

Decrece:

Crece:

Dominio: RRango:

Decrece:

Crece:

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4.0 FUNCIÓN CUADRÁTICA CÓNCAVA HACIA ABAJO

ANALISIS Ejemplo:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

Dominio: R

Rango:

Crece:

Decrece:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

K

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

ANALISIS

-5

-4

-3

-2

-1

1

h

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

x

y



ANALISIS

-6

-5

-4

-3

-2

-1

h

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

-1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

ANALISIS Ejemplo:

x

y

k

h

Dominio: R

Rango:

Crece:

Decrece:

Dominio: R

Rango:

Crece:

Decrece:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

ANALISIS

x

y

h

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

Dominio: R

Rango:

Crece:

Decrece:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

ANALISIS

h

k

Dominio: R

Rango:

Crece:

Decrece:

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

-1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6



ANALISIS

h

k

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

Dominio: RRango:

Crece:

Decrece:

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

5.0 FUNCIÓN CÚBICA CRECIENTE

ANALISIS Ejemplo:

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Dominio: RRango: RCreciente


k

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

ANALISIS



h



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

x

y

h



-1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

5.1

ANALISIS Ejemplo:

x

y

h

k



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

ANALISIS

h

k



-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

ANALISIS



h

k



-1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

x

y

h

k



-1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

Lic. Leo Edgardo Mendoza Escárate [email protected]

6.0 FUNCIÓN CÚBICA DECRECIENTE

ANALISIS Ejemplo:

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Dominio: RRango: RDecreciente


k

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

ANALISIS



h



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

x

y

h



-1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y


6.1

ANALISIS Ejemplo:

x

y

h

k



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

ANALISIS

h

k



-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

ANALISIS



h

k



-1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

x

y

h

k



-1 1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y


7.0 FUNCIONES ALGEBRAICAS CRECIENTES

ANALISIS Ejemplo:

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

x

y

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente

2 -1 1 2 3 4 5

x

y

k

ANALISIS

-1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

x

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente

-1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

ANALISIS



x

y

h

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-2

-1

1

2

3

x

y

ANALISIS

x

y

h

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente-1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

x

y


7.1

ANALISIS Ejemplo:

x

y

h

k

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente-3 -2 -1 1

-1

1

2

3

4

5

ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente

-5 -4 -3 -2 -1 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y



ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente-1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

x

y

h

k

Dominio:

Rango:

Creciente

Dominio:

Rango:

Creciente

-1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

8.0 FUNCIONES ALGEBRAICAS DECRECIENTES

ANALISIS Ejemplo:

x

y

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

k

ANALISIS

-1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y



ANALISIS

h

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-5 -4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

ANALISIS

h

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1


8.1

ANALISIS Ejemplo:

x

y

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-1

1

2

3

4

5

ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-5

-4

-3

-2

-1

1



ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1


8.2 FUNCIONES ALGEBRAICAS DECRECIENTES DESDE EL INFINITO

ANALISIS Ejemplo:

x

y

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

K

ANALISIS

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-1

1

2

3

4

5

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-5

-4

-3

-2

-1

1



ANALISIS

h

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

h

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-2

-1

1

2

3

4

5


8.3

ANALISIS Ejemplo:

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

Decreciente

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1



ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango:

Decreciente

Dominio:

Rango:

ComportamientoDecreciente

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-1

1

2

3

4

5

6

ANALISIS

h

k

Dominio:

Rango: Comportamiento

Decreciente

Dominio:

Rango:

Comportamiento

Decreciente

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2


9.0 FUNCIONES RACIONALES

ANALISIS

o

o

Dominio: 0

Rango:

0

Asíntotas:x = 0 y = 0

Dominio: 0

Rango:

0


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

o

o

ANALISIS



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

o

o

Dominio:

0

Rango:

0

Asíntotas:

x = 0 y = 0

Dominio:

0

Rango:

k

Asíntotas:

x = 0 y = k

-------------------------------------------

o

o

k

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-------------------------------------------

o

o

Dominio:

0

Rango:

2 Asíntotas:

x = 0 y = 2

Dominio:

0

Rango:

3 Asíntotas:x = 0 y =-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

ANALISIS

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4.

.

.

.

.

.

h

Dominio:

h

Rango: 0

Asíntotas:x = h y = 0

Dominio:

2

Rango: 0

Asíntotas:x = -2 y = 0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

h

.

.

.

.

.

.

Dominio:

h

Rango:

0


Dominio:

3

Rango:

0


-2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

ANALISIS



x

y

-------------------------------------------

o

o

.

.

.

.

.

.

k

h

Dominio:

h

Rango:

k

Asíntotas:x = h y = k

Dominio:

4

Rango:

3


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ANALISIS

x

y

-------------------------------------------

o

o

.

.

.

.

.

.

k

h

Dominio:

h

Rango:

k


Dominio:

3

Rango:

2

Asíntotas:x =-3 y =-2

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

ANALISIS

x

y

-------------------------------------------

o

o

.

.

.

.

.

.

k

h

Dominio:

h

Rango:

k


Dominio:

2

Rango:

3


-2 -1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ANALISIS

x

y

-------------------------------------------

o

o

.

.

.

.

.

.

k h

Dominio:

h

Rango:

k


Dominio:

2

Rango:

3

Asíntotas:x = 2 y = -3

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

FUNCIONES RACIONALES CUADRÁTICAS



ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

oo

Dominio:

0

Rango: 0,


Dominio:

0

Rango: 0,


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

oo

ANALISIS

x

y

oo-------------------------------------------k

Dominio:

0

Rango: k,

Asíntotas:x = 0 y = k

Dominio:

0

Rango: 2,

Asíntotas:x =0 y =2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

oo

ANALISIS

x

y

oo

-------------------------------------------k

Dominio: 0

Rango: k,

Asíntotas:x = 0 y = k

Dominio: 0

Rango:

3,

Asíntotas:x = 0 y =-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

ANALISIS

-

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

h

Dominio:

h

Rango:

0


Dominio:

2

Rango:

0


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y



ANALISIS

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Dominio:

4

Rango: 0, Asíntotas:

x = -4 y = 0

Dominio:

3

Rango: 0, Asíntotas:x = -3 y = 0

-7 -6 - 5 -4 - 3 -2 - 1 1

-2

-1

1

2

3

4

5

6

o o

ANALISIS

x

y

o o----------------------------

k

h

Dominio:

h

Rango: k,


Dominio:

2

Rango: 3,

Asíntotas:x =-2 y =3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ANALISIS

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Dominio: 3

Rango: 0,


Dominio: 2

Rango: 3,

Asíntotas:x = 2 y =3

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7-1

1

2

3

4

5

67

x

y

10.0 FUNCIONES EXPONENCIALES CRECIENTES

a 1 ANALISIS



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

a

Dominio:

Rango:

o

0,

Comportamiento:

CrecienteBase =a

Siempre cortaal eje “y” en 1

Dominio:

Rango:

o

0,

Comportamiento:

CrecienteBase =3

Corta al eje “y”en 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Dominio:

Rango:

o

0,

Comportamiento

CrecienteBase =4


Dominio:

Rango:

o

0,

Comportamiento

CrecienteBase =5


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

---------------------------------------------------k

a

Dominio: Rango:

k,

Comportamiento

CrecienteBase = a-k

corta al eje “y”en k+ 1

Dominio: Rango:

2,

Comportamiento

CrecienteBase = 4


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

---------------------------------------------------k

a

Dominio: Rango:

k,

Comportamiento

Creciente

Base = a k corta al eje “y”

en: 1 k

Dominio: Rango:

2,

Comportamiento

Creciente

Base = 3Corta al eje “y”

en: -1

-4 -3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y


10.1 FUNCIONES EXPONENCIALES DECRECIENTES



a 1 ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

0

*

a

Dominio:

Rango:

o

0,

Decreciente

Base =1

a

corta al eje “y”

en 1

Dominio:

Rango:

o

0,

Decreciente

Base =1

3

Corta al eje “y”

en 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Dominio:

Rango:

o

0,

Decreciente

Base = 14


en 1

Dominio:

Rango:

o

0,

Decreciente

Base = 15


en 1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

0

*

a 1 ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

0

------------------------------------------k

a

Dominio:

Rango: k,

Comportamiento

Decreciente

Base =1

a k


en k+ 1

Dominio:

Rango: 1,

Comportamiento

Decreciente

Base =1

3


en 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

a 1 ANALISIS

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

0

------------------------------------------k

a

Dominio:

Rango: k,

Comportamiento

Decreciente

Base =1

a k


en: 1 k

Dominio:

Rango: 2,

Comportamiento

Decreciente

Base =1

4


en: -1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

11.0 FUNCIONES LOGARITMICAS CRECIENTES



a 1 ANALISIS

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

a

Dominio:

0,


Creciente

Base = a Siempre cortaal eje “x” en 1

Dominio:

0,


Creciente

Base =3Siempre cortaal eje “x” en 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

ANALISIS

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

Dominio:

0,


CrecienteBase =4Siempre cortaal eje “x” en 1

Dominio:

0,


CrecienteBase = 3

2

Siempre cortaal eje “x” en 1

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

11.1 FUNCIONES LOGARITMICAS DECRECIENTES

a 1 ANALISIS

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

oa

Dominio:

0,


Decreciente

Base =1

a


Dominio:

0,


Decreciente

Base =1

2


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

ANALISIS

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Dominio:

0, Rango: Comportamiento

Decreciente

Base =1

3


Dominio:

0, Rango: Comportamiento

Decreciente

Base = 2

5


-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

11.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

1

-1 -----

------

Dominio:

Rango: 1,1

Período:

0,2π ó 2π

Dominio:

Rango: 2, 4

Período:

0,2π ó 2π -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

2

3

4

5

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 5/2

-4

-3

-2

-1

1

Dominio:

Rango:

3, 1

Período:

0,2π ó 2π

Dominio:

Rango:

, A A

Período:

0,2π ó 2π

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 5/2

------

------

A

-A

ANALISIS

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3 ------

------

Dominio:

Rango: 3,3 Período:

0,2π ó 2π

Dominio: Rango:

4, 4

Período:

0,2π ó 2π

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 ------

------

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

------

------

Dominio:

Rango: 1,5

Período: 2π

Dominio:

Rango:

7, 1

Período: 2π

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1 ------

------


11.3



ANALISIS

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

Dominio:

Rango: 1,1

La onda serepite “B” veces

en 2π

Período:2π

B

Dominio:

Rango: 1,1

La onda serepite “3” veces

en 2π

Período:2

3

π

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

1

-1

Dominio:

Rango: 1,1

Período:2

5π

Dominio:

Rango: 1,3

Período:2

3π

-2-3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

-2-3/2 - -/2 /2 3/2 2

-5

-4

-3

-2

-1

Dominio:

Rango:

4, 2

Período:1

2π

Dominio:

Rango: 3,3

Período: π

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-3

-2

-1

1

2

3 ------

------

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

2

3

4

5

Dominio:

Rango: 1,5

Período:1

2π

Dominio:

Rango: 6,2

Período:2

3π

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 5/2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2


11.4



ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

1

-1-----

------

Dominio:

Rango: 1,1

Período:

0,2π ó 2π

Dominio:

Rango: 2, 4

Período:

0,2π ó 2π -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

2

3

4

5

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 5/2

-4

-3

-2

-1

1

Dominio:

Rango:

3, 1

Período:

0,2π ó 2π

Dominio:

Rango:

, A A

Período:

0,2π ó 2π

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 5/2

------

------

A

-A

ANALISIS

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3 ------

------

Dominio:

Rango: 3,3 Período:

0,2π ó 2π

Dominio: Rango:

4, 4

Período:

0,2π ó 2π

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 ------

------

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

------

------

Dominio:

Rango: 1,5

Período: 2π

Dominio:

Rango:

7, 1

Período: 2π

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1 ------

------


11.5



ANALISIS

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

Dominio:

Rango: 1,1

La onda serepite “B” veces

en 2π

Período:2π

B

Dominio:

Rango: 1,1

La onda serepite “3” veces

en 2π

Período:2

3

π

/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

1

-1

Dominio:

Rango: 1,1

Período:2

5π

Dominio:

Rango: 1,3

Período:2

3π

-2-3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

-2-3/2 - -/2 /2 3/2 2

-5

-4

-3

-2

-1

Dominio:

Rango:

4, 2

Período:1

2π

Dominio:

Rango: 3,3

Período: π

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-3

-2

-1

1

2

3 ----

ANALISIS

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-1

1

2

3

4

5

Dominio:

Rango: 1,5

Período:1

2π

Dominio:

Rango: 6,2

Período:2

3π

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 5/2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2


ANALISIS



- 2π - 3π/2 - π -π/2 π/2 π 3 π/ 2 2 π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Dominio:

πk

2

K= Entero impar

Rango:

Período: π

Dominio:

kπ

K= Entero

Rango: Período: π

-2π -3π/2 -π - π/2 π/2 π 3π/2 2π

-1

1

ANALISIS

-2π - 3π/2 -π - π/2 π/2 π 3π/2 2π

Dominio:

πk

2

K= Entero imparRango:

1,1

Período: 2π

Dominio:

kπ

K= EnteroRango:

1,1

Período: 2π

-2π -3π/2 -π -π/2 π/ 2 π 3π/2 2π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

-2π - 3π/2 -π - π/2 π/2 π 3π/2 2π

Dominio:

πk

2


2,2 Período: 2π

Dominio:

kπ

K= EnteroRango:

2,2

Período: 2π

-2π -3π/2 -π -π/2 π/ 2 π 3π/2 2π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

ANALISIS

-2π -3π/ 2 -π -π/2 π/ 2 π 3π/2 2π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Dominio:

πk

2


3,3 Período: 2π

Dominio:

kπ

K= EnteroRango:

3,3

Período: 2π

-2π -3π/2 -π -π/2 π/ 2 π 3π/2 2π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


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