; ZONA MIENTO. Ubica lo que se indica, en cadasemirrecta numérica.al El siguiente de 16.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1O

1 1 1 1Figura 1.26

o] El anterior de 17.

1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1O

e] El anterior de 6.

, 1 1 1 1 1 'Figura 127

1 1 1 1 1 :-II-If--+-I +-1+1++1 -+I-+I-II-If--+-I +-1+1+1+1-,O Figura 1.28

dl El siguiente de 9.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : 1 1 1 1 1 1 1O

1 1 1 'Figura 1.29

4. EJERCITACIÓN. VueLve a escribir cada frase, reem-plazando el número por su expresión ordinal.al Esta es la 32.a reunión de grupo.

bl Me han invitado al 165.0 congreso del partidopolítico.

el Esta es la 508a ciudad en la tabla de produc-tores de algodón.

dl Hoy celebramos el 1000.° día de la fundaciónde la empresa.

ARGUMENTA5. Por parejas planeen una estrate-

gia para ubicar en la semirrecta numérica dela figura 1.30 los números correspondientes.Justifiquen sus respuestas.

i1000

Figura 1.30O 200 600

al El número siguiente a 399.

bl El número anterior de 501.

el El número natural que está entre 899 y 901.

• Comparen sus respuestas con las de otrosgrupos y determinen las coincidencias y lasdiferencias.

6. COMUNICACiÓN. Determina el cardin l de los con-juntos y justifica tu respuesta e cada caso.

al

Figura 1.31

El cardinal del conjunto A es porque

bl

Figura 1.32

El cardinal del conjunto B es porque

cl

Figura 1.33

El cardinal del conjunto e es porque

PROPONE7. En una carrera atlética,

Arturo llegó después de Bernardo. Carlosllegó antes que Arturo, pero después deBernardo, mientras que Diego llegó antesque Bernardo, pero después de Eduardo.¿En qué orden llegaron los atletas a lameta?

Arturo ( 1

Diego ( 1

Carlos ( 1Bernardo ( 1

Eduardo ( 1

~ RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS NATURALES

IDEAS CLAVE• relación de

orden• comparación

EL RESPETO

El orden en los númerosnaturales permite estable-cer la posición en una filao en los turnos de atenciónen establecimientos talescomo los bancos, los super-mercados, o el servicio mé-dico, entre otros.• ¿Te parece importante

respetar el orden en unafila? Comparte tu opinióncon un compañero.

Dados dos números naturales a y b, sólo se puede estableder entre ellouna de las relaciones de orden: a > b, a = b o a < b.! .

a>b a=b a<bb .

1 1 1 1 1 /1 1O b . a O a O a b

Figura 1.34

a es mayor que bFigura 1.35

a es igual a bFigura 13

a es menor que b

Los criterios para comparar números naturales son:• Si tienen diferente cantidad de dígitos, es mayor el que tenga más díqito:

• Si tienen igual número de dígitos, se comparan las unidades de maycorden. Si son iguales, se comparan las unidades del orden inmediatamentanterior. De ser necesario, se continúa el proceso hasta encontrar cifradiferentes.

• Finalmente, se establece la relación de orden entre los números.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Ordena de menor a mayor los números 45, 26, 17, 13, 37, 1001, 1002Y 1 011.

SOLUCiÓN:

13 < 17 < 26 < 37 < 45 < 1001 < 1002 < 1011

B. El diámetro aproximado de la Tierra es 12756 km, y el del planetaVenus, 12103 km. Determina cuál de los dos planetas tiene el mayordiámetro [figura 1.37).

SOLUCiÓN: Se comparan las cantidades 12756 Y 12103, de acuerdo conlos criterios mencionados.En este caso, los números 12756 Y 12103 tienen iguales tanto las decenasde mil como las unidades de mil:

12103 12756

Por lo tanto, se comparan las centenas:12756 12103

7>1

7 es mayor que 1

12756 > 12103Entonces:

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Escribe el símbolo =, < o >, segúncorresponda.al 36904129

bl 98056628

cl 23543578

d] 45 millOneS)el 56789452

fl 65908001

27219085

100000000

23462906

45000

56896904

65900001

ARGUMENTA

2. RAZONAMIENTO. Contesta las preguntas.al ¿Qué número sigue a 99999?

b] ¿Cuál es el número anterior a 99999 999?

el ¿Cuál es el número anterior a 1000 OOO?

d] ¿Cuál es el número anterior y el siquient:de 56009 099? .

PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDICIONES S

o EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

IDEAS CLAVE• número natural• número cardinal• número ordinal

SABíAS QUE •••

El menor de los númerosnaturales es el o.Para cada número naturalhay siempre un númeromayor en una unidad lla-mado "siguiente".Todo número natural, aexcepción del cero, tie-ne un número menoren una unidad, llamado"anterior".

TEN EN CUENTA

El cardinal de un conjuntoA se nota por #[A 1.

Los números naturales se utilizan para contar, ordenar o clasificar. Se pue-den construir a partir del O [cero], aumentando una unidad para obtener .e.siguiente número.

El conjunto de los números naturales se representa así:N = {O, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

El número natural que indica la cantidad de elementos de un conjuntose llama número cardinal.

El número natural que indica el orden que tiene un elemento en urconjunto ordenado se denomina número ordinal.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Halla el cardinal de cada conjunto de la figura 1.25.A B C

SOLUCiÓN:

#[A) = O #[B) = 1

Figura 1.25

#[C) = 4 #[0) 10

B. Escribe el nombre y el número de algunos ordinales.SOLUCiÓN:

EN ENI

ENEN LETRAS

NÚMEROSEN LETRAS

NÚMEROSEN LETRAS

NÚMEROS

Primero 1.° Decimotercero 13.° Ducentésimo 200.°Sequndo 2.° o decimotercio

Tricentésimo 300.°Tercero 3° Decimocuarto 14.°

Cuarto Vigésimo 20° Cuadringentésimo 400°4.°

Quinto 5.° Trigésimo 30.0 Quingentésimo 500°

Sexto 6° Cuadragésimo 40.0 Sexcentésimo 600.°Séptimo 7.° Quincuagésimo 50° Septingentésimo 700°

. Octavo 8.° Sexagésimo 60° Octingentésimo 800.°Noveno 9.° Septuagésimo 70.°

Octogésimo 80°Noningentésimo 900.° ~Décimo 10.°

Undécimo 11.° Nonagésimo 90.° Milésimo 1000.°

Duodécimo 12° Centésimo 100.° Millonésimo 1000000.'Tabla 1.15

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. RAZONAMIENTO. Escribe Sí o No, según el númerosea natural o no.

a) 78

el 8,0

e) 14

bl 38,4

d] 1 987

f) 125

Tabla 1.16 Tabla 1.17

2. EJERCITACIÓN. Escribe el anterior y el siguiente decada número natural.

a) .................. 357 b) .................. 125b

c) .................. 689 d) .................. 5000

e) .................. 901 f) .................. 123r~

qAZONAMIENTO. Observa la figura 1.38. Luego, de-ermina si cada afirmación es verdadera [Vl

o falsa [F].

I I I I I I I I I I I I I 'o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Figura 1.38

al 6 es menor que 8, porque 6 estáubicado a la izquierda de 8.

bl 7 es may~r que 13, porque 7 estlubicado aJa derecha de 13.

el 4 es mayor que 10, porque 4 selocaliza a la izquierda de 10.

dl Como 9 se localiza a la derechade 5, entonces 9 es mayor que 5.

el Como 12 se localiza a la izquierdade 14, entonces 14 es mayor que 12.

4. RAZONAMIENTO. Ordena de mayor a menor los nú-meros.de cada lista.al 162, 126, 132, 136, 192-~-bl 349, 343, 523, 243, 543

5. COMUNICACiÓN. Completa los enunciados con base• en la información de la tabla 1.18

SUPERFICIE DE ALGUNOS DEPARTAMENTOS

COLOMBIANOS

DEPARTAMENTO SUPERFICIE [krn"]

Chocó 46530

Antioquia 63612

Córdoba 25020

Sucre 10917

Bolívar 25978

Atlántico 3388

Magdalena 23188

La Guajira 20848

Tabla 1.18

al El departamento con mayor superficie es:

bl El departamento con menor superficie es:

el El orden de los departamentos, de mayor amenor superficie, es: .

6. RAZONAMIENTO. Escribe la centena anterior y la• centena siguiente.

al .

bl .

el .

174

345

946

dl 3625

elJ ~3

PROPONE

RESOLUCION DE PROBLEMAS

7. Para la elección de personero de un colegiose obtuvieron los siguientes resultados.

11al ¿Quién es el ganador? .). ),(, :~ .

b] ¿Cuál es el orden de la lista de estudian-tes de mayor a menor votación?

8. Ana tiene algunos juegos de video. Si tuviera• cinco más, el número de juegos sería mayor

que .19. Y si tuviera tres menos, el númerode juegos sería menor que trece. ¿Cuántosjuegos de video tiene Ana?

9. George W.ashington nació en 1732 y murió en• 1799; Simón Bolívar nació en 1783 y murió

en 1830; José de San Martín nació en 1778y murió en 1850. ¿Cuál es el orden correctode mayor a menor número de años vividos?

Il vivió años.

III vivió años.

un vivió años.

SUSTRACCiÓN DE NÚMEROS NATURALES

:l la sustracción de números naturales se identifican: el minuendo o canti-ad de la que se sustrae una menor, el sustraendo o cantidad que se sustraeel minuendo, y la diferencia o resultado de la operación.

IDEAS CLAVE• sustraer• disminuir

ACTIVIDAD RESUELTA

• La extensión de la Tierra es de 510 063 000 krn", distribuidos de la si-guiente manera: 133620000 km2 de tierra firme, 361140000 km2 dem?res Y el resto cubierto por hielo. La superficie de los mares esmayor que la de tierra firme. ¿En cuántos kilómetros cuadrados?

SOLUCiÓN: Para determinar en cuántoskilómetros cuadrados es mayor lasuperficie de los mares frente a la detierra firme, se realiza una sustracción.

Términos de Lasustracción

17 - 9 = 8

Min!endoLJSustraendo

Diferencia

361140000 km2

- 133620000 km2

277,520,000 km2

La superficie de los mares es 227520000 km2 mayor-que la de tierrafirme.

ESARROLLA TüS~C'O'MPErrNCIA$':'4 "'''' ••••1

INTERPRETA

1. RAZONAMIENTO. Escribe los números que faltan.al 140 - 68 = 72 ~ 140 - 70 = .bl 431 - 88 = 343 ~ 421 - = 343

2. EJERCITACIÓN. Realiza las siguientes operaciones ..

al 17 - 10 + 4 - 6 + 11 =bl 32 - 31 + 15 - 8 - 6 =cl 11 + 13 - 17 + 16 - 10 =

.~ .

ARGUMENTA

3. RAZONAMIENTO. Plantea la operación que suqierecada enunciado y halla la diferencia.

al De 15709 sustraer 9864.

bl Sustraer J 48 394 de 197653 .

el Sustraer 298641 de 546740 .

dl De 7964571 sustraer46:~*843 '" .

4. EJERCITACIÓN. Halla el resultado de las siguientesoperaciones.

al 4 + [9 - 5l + 8 =

bl [15 - 7l - [13 - 6l =

5. RAZONAMIENTO. ¿La sustracción cumple las mis-mas propiedades que la adición? Justifica turespuesta.

PROPONE

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

6. Una empresa elaboró diferentes tipos debolsos. Según la tabla 1.20, ¿cuántos bolsosde cada clase quedan aún?

UNIDADES ELABORADAS UNIDADES VENDIDAS

1 532420 245230

2I

55630 34865-, II

-,125000 98500

I3

I

I 4 30000 15538,

Tabla 120

Clase 1:

Clase 3:

Clase 2:

Clase 4:

7. Resuelve los problemas que se proponen acontinuación.al El tanque de reserva de agua de un edificio

tiene una capacidad de 5789 L. Si diaria-mente se consumen 1200 L. ¿cuánta aguaqueda después del primer día?

b] En un teatro hay 210 adultos. Los ado-lescentes son 79 menos que los adultosy los niños 40 más que los adolescentes.

. ¿Cuántas personas hay en el teatro, entreadultos, adolescentes y niños?

La adición de números naturales cumple estas propiedades:

DESCRIPCiÓN

~ ADICiÓN DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES

IDEAS CLAVEe sumandose propiedades

TEN EN CUENTA ,Si m, n y p son númerosnaturales cualesquiera,entonces se cumple:

e m + n es un númeronatural.

em+n=n+mem+O=m=O+me 1m + nl + p

= m + In + pl

-.

La suma de dos números naturales se obtiene adicionando las cifras delmismo orden.

PROPIEDAD

La suma de dos números naturales es otro número natural.

El orden de los sumandos no altera la suma.

Clausurativa

Conmutativa

Modulativao es el módulo de la adición, pues cualquier número natural adicionadocon O, da el mismo número natural.

AsociativaTres o más sumandos se pueden asociar de diferentes maneras y lasuma no cambia.

Tabla 1.19

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Calcular 78 + 34 Y 596 + 257.

SOLUCiÓN:

178 + 341+2~ ~ -2

80 + 32 = 80 + 30 + 2 = 11"2....

1596 + 2571+4, ~-4

.. 600 + 253 = 600 + 200 + 53 = 853,

B. Indica la propiedad que se emplea en cada caso.al 25 + 103 = 128 Y 128 E N bll03 + 58 = 161 = 58 + 103el 58 + O = 58 = O + 58 d] (25 + 103l + 58 = 25 + [103 + 58l

128 + 58 = 25 + 161186 = 186

\

SOLUCiÓN:

al Clausurativa

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Relaciona cada igualdad con la pro-piedad de la adición correspondiente.

al (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2).... Modulativa

bl 19 + O = 19

c l 12 + 24 = 24 + 12,

d] 17 + 13 = 30

el 14 + 8 = 8 + 14

..... Asociativa

..... .Clausurativa

..... Conmutativa

ARGUMENTA

2. EJERClTACIÓN. Aplica las pr.opiedades de la adiciónpara resolver cada operación.

al (19 + 61) + 44 + (23 + 17) + 6 = .~ .

bl 45 + (22 + 8) + 15 + (13 + 7) = ., .e] 16 + (21 + 9) + (52 + 18) + 34 = .

dl 125 + (32 + 178) + (24 + 56) + 45 = .'. ..: .

I ~

bl Conmutativa clModulativa dl Asociativa

PROPONE

3. EJERCITACIÓN. Escribe el resultado empleando elalgoritmo usual.

al 136+ 63

bl 275+ 143

1el 874

+ 756

I

d] 12348+ 8235

4. Efectúa las siguientes ope-raciones empleando al menos tres propieda-des de la adición. ¿Cuáles utilizaste? Explica.

al 400 + 750 + 300 + 50 + 10 = .

bl 1500 + 13400 + 12500 + 650 = , .

cl 1758612 + 88 + 40000 = l•.............

~ MULTIPLICACiÓN DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES

IDEAS CLAVEe fac o~e producto

TEN EN CUENTA

El símbolo "x" se pue-de reemplazar por elsímbolo ..-". Es decir:

3x4=3·4

TEN EN CUENTA

Si m, n y p son númerosnaturales cualesquiera,entonces se cumple:e m· n es un número

natural.em'n=n'm

e [m· n)' p= m' [n° p)

en·[m+p)

= [n' m) + [n' p)

Los téminos que intervienen en la multiplicación de números naturales slos factores y el producto. Los factores son los términos que se multiplicy el producto es el resultado de la operación.

PROPIEDAD t. DESCRIPCiÓN

En la multiplicación de números naturales se cumplen las propiedades qse mencionan en la tabla 1.21.

Clausurativa El producto de sos números naturales es otro número natural.

Conmutativa El orden de lq? factores no altera el producto.

Modulativa Cualquier número natural multiplicado por 1, da el mismonúmero natural:'

Asociativa Tres o más factores se pueden asociar de diferentes maneras ~el producto no varía.

Distributiva con respectoa la adición

El producto de un número por una suma es igual a la adición delos productos del número por cada sumando.

Tabla'

ACTIVIDAD RESUELTA

e La Tierra emplea 24 horas en el movimiento de rotación y aproxima-damente 365 días en el de traslación. Determina el número de horasque tarda la Tierra en el movimiento de traslación.

SOLUCiÓN: Para resolver el problema se multiplica 365 por 24. '\

3 6 5 +--- FactorX 2 4 +--- Factor1 4 6 O

+ 7 3 O8 7 6 O +--- Producto

Luego, la Tierra tarda 8760 horas en el movimiento de traslación.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Determina el resultado.al 3982 . 100 = .

bl 452 . 1 000 = .el 892 . 10000 = .dl 963 . 10 = .el 787 . 1 000 = .fl 396· 10000 = .

ARGUMENTA

2. RAZONAMIENTO. Identifica el error que se cometióen cada caso.al 3452 bl 2998

X 28 X 15242Q6 I \. 14990

+ 6504 + 299889241) 17988

3. EJERCITACIÓN. Calcula los productos empleando• el algoritmo usual de la multiplicación. I~ ~~

al 48 b] 274X 3 X 8

.....J.~~. .J.1..~.~el 53 dl 5127

x18 X 45

PROPONE

4. Para colectar fondos parauna excursión, cada uno de los 1040 estu-diantes de un colegio deben vender ochoboletas para la rifa de un electrodoméstico.¿Cuántas boletas en total venden los estu-diantes del colegio?

RESOLUCION DE PROBLEMAS.

PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDICIONE

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

_:s términos de la división de números naturales son el dividendo, el di-sor, el cociente y el residuo.

Dividendo -- •.~ 230 1 ~ +--Divisor

90 164 +--Cociente

61Residuo ----~~ 5

_= división de números naturales es exacta cuando el residuo es O, y esexacta cuando el residuo es mayor que O.

CTIVIDAD RESUELTA

• En un cubeta caben exactamente 30 huevos. ¿Cuántas cubetas sonecesarias para empacar 3157 huevos? ¿Cuántos quedan sin empacar?

~--_UCIÓN: Para averiguar el número de cubetas se realiza la división 3157 -i- 30.

3157~

157 105

7- tanto, se necesitan 105 cubetas y quedan siete huevos sin empacar.

:::'':?ROLLA~

-"'HA

. "lENTO. Determina si cada afirmación es=...::a[F] o verdadera [V].

::. resultado de una división-::cibe el nombre de residuo. [ 1-e , dividir 155 entre 5 el cociente::5 31. [ 1_a división 131 -i- 4 es inexacta. [ 1

::'l cociente de la división6 -:- 3 y de la división 48 -i- 4

::s diferente.

- _as divisiones 135 -i- 9 y 135 -i- 3: enen diferente divisor y cociente. []

_ •..••• ,-:...-.TA·

ACIÓN. Explica las operciones que debes- sctuar para resolver cada situación.

_a profesora Valeria debe repartir 465 dul-:es entre 27 estudiantes, de manera que:odos reciban la misma cantidad..,.• ¿Cuántos dulces recibe cada estudiante?

• ¿Cuántos dulces sobran?

-ay 1500 huevos para guardar en cajas. Si:: cada una caben doce huevos, ¿cuántascajas se necesitan?

_ ER JUNTOS © EDICIONES SM

IDEAS CLAVE• dividendo• divisor• cociente

TEN EN CUENTA,: En toda división:

D=d'c+rdonde

• O: dividendo

• d: divisore ' c: cociente

• r. residuo

3. RAZONAMIENTO. Completa la tabla 1.22, sin hacerlas divisiones.

DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESIDUO

364 148 2 68

91 37

444 2 O.J

PROPONE

RESOltx:ION DE PROBlE' ••A5

Tabla 1.22

4. Pilar hizo una llamada nacional desde una• cabina telefónica. La duración de la llamada

fue 'de doce minutos y le cobraron $ 2352.¿Cuál es el valor del minuto a este destino?

5. Gilberto alquiló 47 mesas para la fiesta de laempresa. Si se esperan cerca de 1528 asis-tentes, ¿aproximadamente cuántas personasdebe ubicar en cada mesa?

6. ¿La división cumple las mismas propieda-des de la multiplicación? Especifica las quecumple.

3. RAZONAMIENTO. Observa el ejemplo y completa latabla 1.24.

POTENCIACIÓN BASE I EXPONENTE POTENCIA

3" 3 4 8123

52

2 1002 3

I 3 646 216

Tabla 1.244. RAZONAMIENTO. Completa las igualdades. Ten en• cuenta las propiedades de la potenciación.

al (3 . 2)4 = 4 . 24 = . 1b =_1

b] (2· )3 = 2 . 53 = 8 .

el 33 • 32 = 27 .

dl 52. 5 . 52 = 25 .

el 25 -i- 23 = 2

fl 53 -i- 52 = 5

gl 312 = (34)

hl 38 = (3 )4il ( -i- 3)3 = 23 =

jl (6 -i- )4 = 6 -i- 2

-::¡GUMENTA

5. RAZONAMIENTO. ¿Son equivalentes las expresiones43 y 4 . 3? Explica por qué.

6. RAZONAMIENTO. Completa los cuadros con los nú-meros que faltan.

= 1 = 12

+ 3 = 4 = 22

+3+5= :5 = 4-21 + 3 + 5 + 7 = J,G = B2 .

"2. 't.1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 't + e = q = 72

Escribe la propiedad que se puede deducir y I

compruébala para dos casos más.

~.:-roAPRENDER JUNTOS © EDICIONES SM

7. COMUNICACiÓN. Escribe cuatro cuadrados per-=ectcsmenores que 100 Y cinco cuadrados per'ec-tos mayores que 200.

PROPONE

8. COMUNICACiÓN. Presenta un ejemplo en el que secompruebe cada afirmación.al La potencia de una adición no es igual a la

adición de las potencias de los sumandos.Ejemplo:

bl La potencia de una sustracción de dos nú-meros no es igual a la sustracción de laspotencias de cada uno de ellos.Ejemplo:

9. EJERCITACIÓN. Encuentra estas potencias de 10.al 103 = ..J..C?. bl 104 = ..1-9.el 105 = ...~º dl 106 = Jb.J?el 107 = .9.0.. fl 108 = B...9gl 1010 = 1]9.9.. hl 102 = ?9.

10. RAZONAMIENTO. Analiza los resultados del ejercicio• anterior y describe una manera abreviada

para hallar potencias de 1O .

RESOLUCION DE PROBLEMAS

11. Un paquete tiene doce cajas. Cada caja tie-ne doce estuches. Cada estuche, doce ro-tuladores. Escribe en forma de potencia elnúmero de rotuladores y halla el resultado.

12. ¿Cuál es el número mínimo de cuadraditosque habrá que añadir a la figura 1.38 paraconvertirla en un cuadrado?...3.....

Figura 1.38

La potenciación permite calcular un producto de factores iguales en forabreviada.

fj POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES

tlEAS CLAVE

• base• exponente• potencia

TEN EN CUENTA

Si a, b, m y n son núme-ros naturales, se cum-plen estas propiedades

an-:-am=an-m

(an)m = e":"(a . b)n = an . bn

(a -:- b)n = an -:- bn

aO = 1; con a =1' O

VALORACiÓN DE LASDIFERENCIAS

COMPETENCIAS CIUDADANAS

El número de células deun feto, mientras se desa-rrolla en el útero materno,puede ser descrito por uncrecimiento exponencial, esdecir, su crecimiento puedeser calculado mediante lapotenciación. Este tipo decálculos permite detectar ycorregir algunas anomalíasen el futuro bebé

• Averigua acerca de otrassituaciones en las que laciencia y la matemática secomplementan.

Los términos de la potenciación son la base, el exponente y la potencia

Exponente' Indica el número de veces que se multiplica la base

Ende

t63 = 6 . 6 . 6 = 216 •• Potencia: Resultado de la operación

Bast: Número que se repite como factor

la tabla 1.23 se mencionan las propiedades que cumple la potenciacnúmeros naturales.

PROPIEDAD DESCRIPCiÓN I

Producto de potencias de igual baseTiene la misma base y el exponente es iguala la suma de los exponentes de los factores.

Tiene la misma base y el exponente es igualCociente de potencias de igual base a la diferencia entre el exponente del divi- .

dendo y el exponente del divisor.

Tiene la misma base que la primera y elPotencia de una potencia exponente es igual al producto de los expo-

nentes.

Potencia de un productoEs igual al producto de las potencias de losfactores.

Potencia de un cociente Esigual al cociente entre la pote~ deldividendo y la potencia del divisor.

Cualquier número se puede escribir enPotencias con exponente 1 forma de potencia de base el mismo número

y exponente 1. t

Potencias con exponente O Si la base es diferente de cero y el exponentees cero, la potencia es 1.

Tabla1.2:

ACTIVIDAD RESUELTA

• Resuelve las operaciones e indica la propiedad aplicada en cada caso.

al 34 • 35 bl 710 -i- 78 cl (23)4

dl (4 . ~)3 el (8 -:- 4)3 tl 91 = 9gl 160 ., 1

SOLUCiÓN:

al 34 • 35 = 34 + 5 = 39 ..••••f------

bl 710 -i- 78 = 710 - 8 = 72 ..•••• _

cl (23)4 = 23.4 = 212 •••----

dl (4 ·5)3 = 43 . 53 •.••---el (8 -:- 4)3 = 83 -i- 43 •••----fl 91 = 9 •••----gl 160 = 1 •••----

Producto de potencias de igual base

Cociente de potencias de igual base

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

Potencia de un cociente

Potencias con exponente 1

Potencias con exponente O

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA1. EJERCITACIÓN. Escribe en tu cuaderno:

al Los cuadrados de los diez primeros números I

naturales.

bl Los cubos de los diez primeros números í

naturales.

2. EJERCITACIÓN. Halla

al 34 = .d..d] 105 = ~.D.gl 35 =~.7....4

las siguientes potencias.

bl 45 = ../0.7. t el 74 == (q

el 25 = ').9..~ fl 64 = ..~hl 1003 = 1.f.f il 53 = .X

PROYECTO APRENDER JUNTOS © EDICIONI

PROPIEDAD DESCRIPCiÓN .

R CACIÓ DE ÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES

IDEAS C_- ::

• "-2 : _= _ ............ 2 - -.=- =

TEN EN CUENTA

En a expresión:

fa =b

n es el índice de la raíz, aes la cantidad subradical yb es la raíz enésima de a.Además:,

i ~=b~bn=a,,

TEN EN CUENTA,,,,,,,,,,,,,,,

i ~ ~, n - = - con b "" O'. (ck b ~', f7a =nxcfa

'-~~ct~=a01. t .

~

Si a, b, m y n son númerosnaturales, se cumplen es-tas propiedades.

~aXb =~x~

_2 radicación es una operación inversa a la potenciación mediante la cuaes posible calcular la base, conocidos la potencia y el exponente.

f64 = 2 es equivalente a 26 = 64

La radicación de números naturales cumple estas propiedades:

Raíz enésima de un productoEs igual al producto de las raíces enésimasde cada factor.

Es igual al cociente de las raíces enésimas.Raíz enésima de un cociente

Es la raíz cuyo índice es el producto de n y mdel número.

Raíz enésima de la raíz emésima de unnúmero

Raíz enésima de una potencia enésima Es el mismo número.Tabla 1.2"

ACTIVIDAD RESUELTA

• Calcula el resultado de las operaciones. Indica la propiedad ernpléadaen cada caso.

bl ~1 00 -:-25 = .J1OO -i- Es = 10

el ~~729 = 3'~729 = ~729 = 3

al ~8. 27

el ~~729

SOLUCiÓN:

al ~8.27

dl <J53 5

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Calcula las raíces.

al f4 = .

el J8i = . .

el J64 = -: .

gl 18 = ..) .

il ~343 = :: .

bl Esd] fI6 = .

tl Fa = ::..

hl~125= .---"\

jl ~1 000 = .

ARGUMENTA

2. RAZONAMIENTO. ¿Son verdaderas las iqualdades?r::::: \ r:-::: ~al '1/225 = 15 !;.\.O... b] '1/169 = 19 ' )

el ~324 = 18 .!..'\..~. dl ~484 = 21

el ~343= 6 ) fl ~1024= 4 .

f ••••••••.•.•••• _ •..•• " •••••.•••.••.••.•••.••••••••••. u •••.••••,.. ••••., ••••••••• ",/l_:_n..,l

bl ~100 -:-25

d] <J53\

_ Raíz enésima de un producto

5 2 _ Raíz enésima de un cociente

_ Raíz enésima de la raíz emésimade un número

_ Raíz enésima de una potenciaenésima

PROPONE

RESOLUCION DE PROBLEMAS

3. El doble de un número elevado al cuadradoes igual a 324. A

C 'l d' h ' ? lIt. t¿ ua es IC o numero .

4. ¿Cuál es la raíz cuadrada entera del númerode puntos representado en la figura 1.39?

••••••• ••• •••• •• •• • ••• ••• ••••• ••••••••••••••••••••••••••••• • •• • • • • • • • -¡-• • • • • • • Figura 1.39

,., ,

R:# LOGARITMO DE UN NUMERO NATURAL

La logaritmación es una operación inversa a la potenciación, mediante lacual se calcula el exponente cuando se conocen la base y la potencia.

IDEAS 9LAVE• radicación• operaciones

inversasLa expresión loga b = c se lee "el logaritmo en base a de b es igual a e" yse cumple que:

loga b = c si y solo si aC = b

ACTIVIDAD RESUELTA

• Calcula los siguientes logaritmos. Justifica tu respuesta en cada caso.

al loq, 49 bl lcq, 64

SOLUCiÓN:

al lcq, ~?= 2, porque 72 = 49

bl loq, 64 = 3, porque 43 = 64

e] log3 81 = 4, porque 34 = 81

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA1. EJERCITACIÓN. Halla el exponente en cada caso.

al 9 '= 81 bl 3 = 729

el 2 = 128 d] 15 = 225

el 5 = 625 tl 4 = 256

~ 10 = 10000 hll1 = 1331

2. RAZONAMIENTO. Calcula los siguientes logaritmos.al log3 9 = .

. el lcq, 343 = ., .

el log5 125 = .

gl log10 1 000 = .

bl loq, 128 = .d] log6 1 296 = .

f] log4 64 = .h] log8 512 = .

r.

3. RAZONAMIENTO. Completa la tabla 1.26.

EXPRESiÓNCON EXPRESiÓNCONI SE LEE

POTENCIA LOGARITMO

52 = 25 loq, 25 = 2logaritmo en base 5de 25 iqual a 2

log381 = 4

162 = 256,

loq, 216 = 3

logaritmo en base 7de 49 igual a 2

loq, 729 = 6

Tabla 1.26

rCTO APRENDER JU~TOS © EDICIONES SM

TEN EN CUENTA

el log3 81En la expresión:

lcq, b = ea es la base del logarit-mo y e es el loqaritrno enbase a de b.

ARGUMENTA4. COMUNICACiÓN. Escribe el término que falta en

cada caso.al

cl

=1

= 81

bl 10

dl 3

2 = 49

4 = 625

5. RAZONAMIENTO. Relaciona cada expresión de lacolumna izquierda con la que correspondaen la columna derecha.

al log4 4096 ( l 2

b] lcq, 729 ( 19

el log8 64 ( l6

dllog2512 ( l4

el log10 100000 ( l3

. f.J tog5 625 ( l5~

PR.OPQ.NERESOLUCION DE PROBLEMAS

6. ¿A qué exponente se debe elevar 5 para ob-'tener 125? ¿Porqué?

7. En un laboratorio se estudia el comporta-• miento de la población de cierta bacteria, en

la que un individuo da origen a dos seme-jantes cada hora. Si el estudio se inicia conun individuo, ¿cuántas horas habrán trans-currido al contar con 64 de ellos?

ORDEN DE LAS OPERACIONES

IDEAS C~A E• pa-értes S

• co c -ete•l a e

TEN EN CUENTA

Los signos de agrupaciónse usan para asociar doso más términos en unaoperación.Estos son:( ) Paréntesis[ ] Corchetes{ } LlavesEn las operaciones' com-binadas primero se utili-zan los paréntesis, luegolos corchetes y por últimolas llaves.

:

ARGUMENTA

3. RAZONAMIENTO. Indica en que casos no es ne<;:e-sario el paréntesis. Explica por qué.al 6 . (5 - 4)b] 5 - (3 - 1)

el 6 . (3 . 8)dl (4 + 5) . 9el f3 - (3 . 2)tl 16 + (5 - 2)

Para efectuar operaciones combinadas con números naturales, se tienen encuenta los siguientes criterios.

1. Se efectúan todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.2. Se efectúan todas las adiciones y las sustracciones de izquierda a derecha.

Si en las operaciones hay signos de agrupación, primero se resuelven lasoperaciones entre paréntesis, luego las que s~ encuentren entre los corche-tesy por último las que estén entre las llaves si las hay.

ACTIVIDAD RESUELTA

• Miguel compró 60 gelatinas a $ 150 cada una, regaló 22 a sus amigosy vendió el resto a $ 250 cada una. ¿Qué ganancia obtuvo Miguel?

SOLUCiÓN: Para conocer la ganancia obtenida por Miguel. es necesariosustraer, del dinero obtenido por las ventas, la inversión inicial.

Dinero obtenido por las ventas Inversión inicialt t

[250 . (60 - 22)J' - '1.50 . 60

At resolver la operación, se obtiene:

[250 . (60 -' 22)J - 150 . 60 = [250 . 38J - 150 . 60

= 9500 - 150 . 60

= 9500 - 9000 = 500

Por tanto, Miguel obtuvo una ganancia de $ 500.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Efectúa las operaciones.al 5+(28-16)+[11-41= .b] 7 + 35 - 16 + 5· [.4 . (16 - 11)J = .el 7 . [4 . (124 - 111)J = .dI2·[75-4·(128-110)J= i

el 5 - {[(2 . 8) + 10J - (4 . 2)} = !

2. EJERCITACIÓN. Calcula los resultados.al 3 . (5 - 1) + 8 [(3 - 2) . 4J = ,bl [4 - (1 . 2)J 3 + [5 . (3 - 2)J - 5 = 1

el 5 . [(4 + 3) . 2J + (10 - 7) = .dl 12 + (5 . 3) + 1 . 8 = .el 42 - [8 +' (2 . 2)J + 7 = .tl 6· (4 ·2) + 8 - (15 + 1) = .gl 15 + 2 . 4 - 2 + 10 - 6 -;. 3 = .hl [(12 . 2) + 8J -i- 4 + (15 - 7) = .il 80 - (4 . 3) . 5 - 8 + 5 = .

PROPONE

4. Escribe los pasos que de-sarrolló Tania para encontrar el resultadode 35 - 7 . 4 + 6 -i- 2.

35 - 7 . 4 + 6 -i- 2= 35 - 28 + 6 -i- 2 +- .= 35 - 28 + 3. ~ .= 7 + 3 •• .. .= 10 •• .. .

Figura 1.40

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