Algebra Lineal - RecuperacionG. Padilla

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Instrucciones: Responda 3 preguntas completas.

(1) Dada la matriz

A =

5 0 00 3 00 0 2

(a) Muestra que la operacion

R3 R3 !R (u, v) = u, A v

es bilineal, simetrica y definida positiva en R3 .[Resp] Dados u = (u1 , u2 , u3) y v = (v1 , v2 , v3) se verifica que

(u, v) = 5u1v1 + 3u2v2 + 2u3v3De este modo, es,

Simetrica: pues(v, u) = 5v1u1 + 3v2u2 + 2v3u3 = 5u1v1 + 3u2v2 + 2u3v3 = (u, v)

Bilineal: Dados v, v R3 y a R tenemos(u, av+ v) = 5u1 (av1 + v

1)+ 3u2 (av2 + v

2)+ 2u3 (av3 + v

3) = a

(5u1v1 + 3u2v2 + 2u3v3

)+(5u1v

1+ 3u2v

2+ 2u3v

3

)= a(u, v)+(u, v)

de igual modo se ve que (au+ u, v) = a(u, v) + (u, v). Definida positiva: Pues 0 = (u, u) = 5u2

1+ 3u2

2+ 2u3

3si y solo si

u1 = u2 = u3 = 0, es decir sii u = 0 es el vector cero.!

(b) Dos vectores u, v son -ortogonales si (u, v) = 0. Consiga una base -ortogonal de R3 que contenga al vector u = (1, 0,1).[Resp] Hay que conseguir tres vectores l.i. y -ortogonales, uno de loscuales debe ser u = (1, 0,1). Para hallar el segundo debemos conseguirun v tal que (u, v) = 0. Sustituyendo las coordenadas de u obtenemos

v1 2v3 = 0 v1 = 2v3Como se trata de elegir, podemos dar valores a v1 , v2 , v3 ; una posible soluciones v = (2, 0, 1). Finalmente, para hallar el tercero, buscamos un vector w talque (u, v) = (v,w) = 0. Sustituyendo los valores de u y del vector v yaencontrado, se trata de resolver un sistema 2 3, dado por (en el caso deesta respuesta)

w1 2w3 = 0 2w1 + w3 = 01

2 AL Rec

En este sistema homogeneo la variable w2 es libre y la matriz del sistema esinvertible, de modo que tiene solucion unica w1 = w3 = 0 para cada valorde w2 . Una solucion posible es, pues, w = (0, 1, 0). Esto completa la base-ortogonal. !

(2) Decide si la transformacion lineal

R3 T!R

3T(x, y, z) = (x+ 8y, 4x+ 5y, 4x 4y+ 9z)

es diagonalizable. Justifica tu respuesta. [Resp] La matriz de la transformacionen base canonica es

[T] =

1 8 04 5 04 4 9

El polinomio caracterstico de T es p() = det ([T] I3) = ( 9)2(+ 3),los autovalores de T son = 9 y = 3. El espacio asociado al autovalor = 9es generado por {u = (1,1, 0), (0, 0, 1)}; y el espacio asociado al autovalor = 3 es generado por el autovector w = (2, 1, 1). De este modo T esdiagonalizable, la matriz diagonalizante es la que da el cambio de base

A =

1 0 21 0 10 1 1

Hay que verificar que

A1[T]A =

9 0 00 9 00 0 3

lo cual concluye la diagonalizacion. !

(3) Sea n > 1 yRnL,T!R dos transformaciones lineales tales que ker(L) = ker(T).

Muestra que T es un multiplo escalar de L.[Resp] Si L = 0 es un operador nulo y ker(L) = ker(T) entonces tambien Tes nulo. Podemos asumir que L, T (= 0 son operadores diferentes de cero. Porel teorema de la dimension, entonces dim(ker(L)) = (n 1), de modo queker(L) = ker(T) = Rn1 .Basta entonces conseguir algun vector v (= 0 tal que v Rn ker(L) (= .

Como v ( ker(L) se deduce que el vector L(v) esta necesariamente en la mismadireccion de v, es decir, que v es una direccion propia (un autovector) de L;digamos L(v) = v para alguna constante (= 0. Con un argumento similarse deduce que v es un autovector de T, luego T(v) = v para cierta constante

AL Rec 3

(= 0. Pero entonces T(v) =(

)L(v), de donde T(u) =

(

)L(u) para

cualquier vector u ( ker(T) = ker(L). En consecuencia T (

)L. !

(4) Muestra que los autovalores de una matriz simetrica real 2 2 son siemprereales.[Resp] Los autovalores de una matriz simetrica 2 2, digamos

C =

[a b

b d

]son las races de

det(C I2) = a bb d

= ( a)( d) b2Al igualar a cero y completar cuadrados

0 = 2+ (a+ d)+ (ad b2) =

( (a+ d)

2

)2 1

4

((a d)2 + 4b2

)es decir,

=(a+ d)

(a d)2 + 4b22

da dos races reales pues el argumento de la raz no puede ser negativo. !

(5) Verifica que la funcion determinante satisface

det[a(1) , . . . , a(n)

]= (1) det [a1 , . . . , an ]

para cualquier permutacion de n elementos.[Resp] Por la definicion de determinante, las propiedades de las permutacionesy de la funcion signo, tenemos que

det[a(1) , . . . , a(n)

]=

Sn(1) a

((1)) , . . . , a((n))

= (1) Sn

(1) (1)a()(1) , . . . , a()(n)= (1)

Sn(1)a()(1) , . . . , a()(n)

Ahora bien, como es una permutacion de n elementos, se puede demostrarque = si y solo si = para cualesquiera otras permutaciones , . Porlo tanto, si toma valores en todas las permutaciones, entonces = tambientoma valores en todas las permutaciones y podemos hacer el cambio de variableen la ultima expresion. Luego

det[a(1) , . . . , a(n)

]= (1)

Sn(1)a

(1) , . . . , a(n) = (1)det [a1 , . . . , an ]

4 AL Rec

!