aleatorias12

CÁTEDRA CAPRIGLIONI

GUIA PRÁCTICA DE ESTADÍSTICA

Prof. Alicia Corte Raguso

TEMA: VARIABLES ALEATORIAS y DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD

Los derechos de autor de este trabajo, que pertenecen a la Prof. C.P. Alicia Corte Raguso, están protegidos por la ley

11723 y están debidamente autorizados para ser distribuidos en forma gratuita y solamente a través de la página:

www.estadistica-aplic.com.ar

Pág. 1 /11

VALORES ESPERADOS

1) Una Administración de Consorcios sabe que en los Edificios que administra, el 22% de los departamentos no tiene ventanas a la calle, el 18% tiene 1 ventana a la calle, el 34% tiene 2 ventanas a la calle, el 16% tiene 3, y el resto tiene 4 ventanas a la calle. La Administración co-brará una cuota extraordinaria destinada a la limpieza de la fachada de los Edificios que administra. El monto de la cuota extraordinaria se fijará así:

$250 para los departamentos sin ventanas a la calle; $350 para los departamentos con ventanas a la calle, que tienen menos de 3; $500 para el resto de los departamentos.

a) Calcular la esperanza y el desvío estándar de la variable aleatoria: “cantidad de ventanas a la calle de un departamento”. b) Si en uno de los Edificios hay 50 departamentos, ¿cuánto se espera recaudar en total, en concepto de cuota extraordinaria?

RESPUESTAS: a) E(x)= µ X = 1,74 X = 1,246 b) $ 18.350

2) En un laboratorio farmacéutico, se ha analizado la cantidad de devoluciones diarias efectuadas durante los últimos 30 días hábiles, encon-trándose que hubo: 3 días con 19 devoluciones, 3 días con 20 devoluciones, 6 días con 21 devoluciones, 9 días con 23 devoluciones, 6 días con 24 devoluciones y 3 días con 25 devoluciones. Calcular: a) La cantidad esperada de devoluciones diarias y su desvío estándar. b) La probabilidad de que en un día se efectúen a lo sumo 23 devoluciones. c) La probabilidad de que en un día se efectúen por lo menos 22 devoluciones.

RESPUESTAS: a) E(x) = µ X = 22,30 X = 1,847 b) 0,70 c) 0,60

3) Se ha comprobado que el 8% de las agujas para inyectores marca A, son defectuosos. Estas agujas se comercializan en cajas de 15 unida-des envasadas al azar. Un comprador realiza una inspección de cada caja. Si la caja no contiene agujas defectuosas el precio es de $30; si la caja contiene una o dos agujas defectuosas, el precio es de $25; si la caja contiene más de dos agujas defectuosas, el precio es de solo $10. Calcular el precio esperado por caja. RESPUESTA: $24,744 4) Una fábrica produce ciertas piezas cuya venta deja una ganancia de $18 por pieza si su longitud está comprendida entre 4,8 y 5,2 mm., la ganancia se reduce a $15 si la longitud de la pieza supera los 5,2 mm., porque en ese caso hay un costo de recuperación, y si la longitud de la pieza es inferior a 4,8 mm. debe desecharse y se origina una pérdida de $11. Calcular la ganancia total que se espera obtener por la venta de un lote de 800 piezas, sabiendo que la longitud de dichas piezas tiene distribución normal con promedio igual a 5,08 mm. y desvío estándar de 0,16 mm. RESPUESTA: $12.927 5) Una gaseosa se envasa automáticamente, el contenido de los envases se distribuye uniformemente entre 0,70 y 0,90 litros. Al comerciali-zar este producto obtiene una ganancia que varía según la cantidad de gaseosa que contenga el envase vendido, de acuerdo con las siguien-tes pautas:

* Los envases que contienen entre 0,75 litros y 0,85 litros de gaseosa producen una ganancia de $1,95. * Los envases que contienen menos de 0,75 litros de gaseosa producen una ganancia de $1,80. (Porque ya que el contenido es eviden-

temente menor al estipulado y los consumidores lo advierten y piden rebaja en el precio). * Los envases que contienen más de 0,85 litros de gaseosa producen una ganancia de $1,50 (porque el exceso de gaseosa contenido en el

envase aumenta el costo de producción). Calcular la ganancia total que se espera obtener por la venta de una partida de 450 de estos envases. RESPUESTA: $ 810








Pág. 2 /11

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD para VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

6) En un curso donde el 43% de los alumnos están aprobados, se toma una muestra al azar de 12 alumnos. Calcular la probabilidad de encon-trar: a) exactamente 7 alumnos aprobados. b) a lo sumo 3 alumnos aprobados. c) menos de 5 alumnos aprobados. d) como mínimo 8 alumnos aprobados. e) más de 10 alumnos aprobados. f) entre 4 y 9 alumnos aprobados. g) por lo menos un alumno aprobado. h) como máximo 6 alumnos no aprobados. i) ¿cuántos alumnos aprobados se espera encontrar? j) Calcular la variabilidad absoluta. k) Calcular la variabilidad relativa. RESPUESTAS: a) 0,1295 b) 0,1671 c) 0,3557 d) 0,087 e) 0,0006

f) 0,828 g) 0,9988 h) 0,4167 i) 5,16 j) 1,715 k) 0,332 7) En una fábrica donde el 60% de los operarios son hombres, se eligen al azar 4 operarios para formar un equipo de trabajo. a) Calcular la probabilidad de que en dicho equipo haya: a.1) ningún hombre. a.2) más de 2 hombres. a.3) a lo sumo 3 mujeres. b) Se extraen al azar 15 operarios de esta fábrica. b1) Determinar la cantidad de mujeres que se espera encontrar en dicha muestra. b2) Determinar la variabilidad absoluta y relativa correspondiente. b3) Determinar la cantidad modal de hombres. RESPUESTAS: a.1) 0,0256 a.2) 0,475 a.3) 0,9744

b.1) 6 b.2) 1,9 y 0,3167 b.3) Mo = 9 8) En la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad A se ha implementado recientemente una Bolsa de Trabajo, donde se anotan los alumnos interesados en realizar trabajos temporarios en empresas radicadas en la zona. Una empresa dedicada a la comercialización de bebidas gaseosas, se ha comunicado con los organizadores de esta Bolsa de Trabajo, solicitando 4 estudiantes que se encuentren cursando el último año de la Licenciatura en Administración, para contratarlos por dos meses, aclarando que necesitan cubrir dichos puestos en forma casi inmediata. Debido a la urgencia con que debe ubicarse a los postulantes, y como aún no se han organizado adecuadamente los archivos, los responsables de este sistema optan por revisar los legajos de todos los estudiantes anotados, hasta encontrar 4 que cumplan con el re-querimiento de la empresa. Sabiendo que aproximadamente el 25% de los estudiantes anotados está en condiciones de cubrir estas vacan-tes, contestar: a) Calcular la probabilidad de tener que revisar: a.1) exactamente 12 legajos. a.2) como máximo 20 legajos. a.3) como mínimo 10 legajos. a.4) menos de 10 legajos. a.5) entre 9 y 16 legajos. a.6) más de 3 legajos. a.7) menos de 3 legajos. b) ¿Cuántos legajos se espera tener que revisar? (Calcular la variabilidad absoluta y la variabilidad relativa correspondiente). c) Calcular la probabilidad de tener que revisar 5 legajos para encontrar uno que cumpla con el requerimiento de la empresa. RESPUESTAS: a.1) 0,065 a.2) 0,775 a.3) 0,8343 a.4) 0,166

a.5) 0,481 a.6) 1 a.7) 0 b) Espera tener que revisar 16 legajos, la variabilidad absoluta es 6,93 y la relativa es 0,433.

c) 0,079








Pág. 3 /11

9) Un profesor de Microeconomía ha delegado la corrección de los 28 exámenes finales tomados el viernes anterior, en el jefe de trabajos prácticos de la cátedra, quien, una vez finalizada la corrección, le informa que hubo 20 desaprobados. El profesor, antes de confeccionar el acta correspondiente, decide controlar algunos exámenes para evaluar el criterio con el que fueron calificados. A tal efecto, selecciona al azar 8 exámenes. Contestar: a) Calcular la probabilidad de que entre los 8 exámenes elegidos encuentre: a.1) exactamente 4 desaprobados. a.2) por lo menos un aprobado a.3) entre 5 y 6 desaprobados. b) ¿Cuántos exámenes aprobados espera encontrar? c) Calcular el coeficiente de variación RESPUESTAS: a.1) 0,1091 a.2) 0,9595 a.3) 0,6285

b) Se espera encontrar 2,2857 aprobados c) CV = 0,4811 10) En una consultora trabajan 18 profesionales de los cuales 8, tienen estudios de postgrado. Para participar de un congreso internacional, se toman al azar 4 profesionales: a) Calcular la probabilidad de que entre ellos haya:

a.1) exactamente 3 sin estudios de postgrado. a.2) más de 3 con estudios de postgrado. a.3) a lo sumo 1 con estudios de postgrado. a.4) como mínimo 2 con estudios de postgrado.

b) Si se toman al azar 8 de los profesionales que trabajan en dicha consultora: b.1) ¿Cuántos profesionales sin estudios de postgrado se espera encontrar? b.2) Calcular su variabilidad absoluta. b.3) Calcular su variabilidad relativa.

RESPUESTAS: a.1) 0,3137 a.2) 0,023 a.3) 0,383 a.4) 0,617 b.1) Se espera encontrar 4,44 profesionales sin estudios de Postgrado b.2) Su variabilidad absoluta es 1,077 b.3) Su variabilidad relativa es 0,243

11) En una manzana hay 34 edificios: 30 son Residenciales y solamente 4 son Comerciales. Se toman al azar 10 edificios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 5 sean Comerciales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sean Comerciales? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 8 sean Residenciales? RESPUESTAS: a) 0 b) 0,2678 c) 0,6655 12) Un fabricante de telas produce con 5 fallas cada 150 metros en promedio y comercializa su producto en rollos de 200 metros. a) Calcular la probabilidad de que un rollo contenga a lo sumo 4 fallas. b) Calcular la cantidad de fallas modal (el Modo). RESPUESTAS: a) 0,2021 b) 6 fallas 13) En una central telefónica se reciben en promedio 6 llamados por minuto. a) Calcular la probabilidad de que.

a.1) se reciban exactamente 10 llamados en 2 minutos. a.2) se reciban como máximo 15 llamados durante un lapso de 3 minutos. a.3) se reciba por lo menos un llamado en 30 segundos.

b) Para un período de 18 minutos calcular: b.1) ¿Cuántos llamados se espera recibir? b.2) El Coeficiente de Variación

RESPUESTAS: a.1) 0,1048 a.2) 0,2868 a.3) 0,9502 b.1) 108 llamados b.2) 0,096








Pág. 4 /11

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD para VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

14) El tiempo de fabricación de ciertas piezas tiene distribución normal con una media de 13 minutos y un desvío estándar de 1,25 minutos. a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de fabricación sea de: a.1) a lo sumo 10 minutos. a.2) como mínimo 15 minutos. a.3) entre 12 y 14 minutos. b) ¿Cuál es el tiempo de fabricación: b.1) sólo superado por el 12% de las piezas producidas? b.2) no superado por el 34% de las piezas producidas? b.3) superado por el 78% de las piezas producidas? RESPUESTAS: a.1) 0,0082 a.2) 0,0548 a.3) 0,5763 b.1) 14,4750 b.2) 12,4875 b.3) 12,037

15) El tamaño de las fincas, en hectáreas, en una determinada región, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es

e1

f 250 0para250

)(

XX

X

a) Calcule la probabilidad de encontrar una finca cuyo tamaño esté entre 300 y 400 hectáreas. RESPUESTA: 0,0993

b) ¿Cuál es el tamaño mediano? RESPUESTA: 173,2868

c) Determine la variable estandarizada.

RESPUESTA: Z = 2

X

d) Calcule el coeficiente de variación. RESPUESTA: 1

16) El diámetro, en centímetros de los árboles que forman un determinado bosque, es una variable aleatoria con función de densidad

46 38 para 8

1)( XX f

a) Calcule la probabilidad de encontrar un árbol que tenga un diámetro entre 40 y 43 centímetros. RESPUESTA: 0,375

b) ¿Cuál es el diámetro mediano? RESPUESTA: 42 cm c) Determine la variable estandarizada.

RESPUESTA: z =

12

22

ab

baX

d) Calcule el coeficiente de variación. RESPUESTA: 0,055

17) El tiempo para realizar una tarea se distribuye uniformemente entre 20 y 25 minutos. a) Calcule la probabilidad de que una tarea tomada al azar se realice en menos de 22 minutos. RESPUESTA: 0,40 b) ¿Cuál es el tiempo sólo superado por el 15% de las tareas? RESPUESTA: 24,25 minutos c) Si una tarea se realiza en más de 21,5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo sea inferior a 24 minutos? RESPUESTA: 0,7143 d) Se toman al azar 8 tareas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 tareas hayan sido realizadas en menos de 21 minutos? RESPUESTA: 0,9988








Pág. 5 /11

APROXIMACIONES 18) Dada una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Binomial y parámetros: n = 55 y p = 0,02, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) igual a cero. b) menor a 3. c) mayor o igual a 2. RESPUESTAS: a) 0,3329 b) 0,9005 c) 0,3009 19) Dada una variable aleatoria discreta con función de probabilidad binomial y parámetros: n = 1.200 y p = 0,04, calcular la probabili-dad de que el valor de dicha variable resulte: a) menor a 50. b) mayor a 50. c) igual a 50. RESPUESTAS: a) 0,58706 b) 0,35569 c) 0,05725 20) Dada una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Hipergeométrica y parámetros: N = 160 R = 96 y n = 7, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) igual a 3. b) menor o igual a 1. c) mayor a 5. RESPUESTAS: a) 0,1935 b) 0,0189 c) 0,1586

21) Dada una variable aleatoria con función de probabilidad de Poisson y = 36, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) mayor a 37 y menor a 40. b) mayor o igual a 32 y menor a 35. c) mayor a 32 y menor o igual a 36. RESPUESTAS: a) 0,12033 b) 0,17466 c) 0,25092 22) Solo el 2% de determinados insectos expuestos a un químico sobreviven. a) En un grupo de 15 insectos tomados al azar ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan menos de 3? b) Si se exponen 300 insectos tomados al azar ¿cuál es la probabilidad de que no sobrevivan a lo sumo 290? (Si se exponen 300 insectos to-mados al azar ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?) RESPUESTAS: a) 0,997 b) 0,084








Pág. 6 /11

SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS

23) En una empresa se realizó un estudio a fin de determinar el tiempo total para realizar un proceso. Este proceso consta de cuatro etapas consecutivas e independientes. El tiempo medio para la primera etapa es de 15 minutos con un desvío típico de 3 minutos, el tiempo medio para la segunda etapa es de 20 minutos con un desvío estándar de 2 minutos, el tiempo medio para la tercera etapa es de 25 minutos con un desvío típico de 4 minutos, y el tiempo medio de la cuarta etapa es de 8 minutos, con un desvío típico de 1 minuto. Todos los tiempos parcia-les tienen distribución normal.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tarde entre 60 y 70 minutos para completar el proceso? RESPUESTA: 0,56843

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se complete en más de 65 minutos? RESPUESTA: 0,70884

c) ¿Cuál es el tiempo mínimo necesario para completar el 90% de los procesos más largos? RESPUESTA: 60,97 minutos 24) Una fábrica de tortas ha establecido el siguiente detalle de sus costos:

Cobertura: tiene un costo que se distribuye normalmente con media $8 y desvío típico $2,5, por pieza de torta. Bandeja: su costo se distribuye normalmente con media $1,25 y desvío típico $0,25 por pieza de torta. Bizcochuelo: $4 el kilo, se considera como constante ya que depende del peso del bizcochuelo.

Si se recibe un pedido de una torta de 2 kilos ¿cuál es la probabilidad de que el costo total de torta esté entre $15 y $ 20? RESPUESTA: 0,68027 25) En un depósito hay un montacargas que puede soportar una carga máxima de 12.000 Kg., este límite de seguridad debe ser respetado a fin de prevenir accidentes. a) Si en el montacargas se cargan 100 bultos con un peso medio cada uno de 108 kilos y un desvío estándar de 72 kilos, ¿Cuál es la probabi-lidad de que no se exceda el límite de seguridad? RESPUESTA: 0,95254 b) Si para operar el montacargas se necesitan dos personas y el peso de los operarios se distribuye normalmente con una media de 75 kilos y desvío estándar de 6 kilos y se cargan 80 bultos con peso distribuido normalmente con media 110 kilos y desvío típico 70 kilos ¿Cuál es la probabilidad de que se exceda el límite de seguridad? RESPUESTA: 0 (cero) 26) En una entidad bancaria el monto de los depósitos en cuenta corriente se distribuye normalmente con media $800 y desvío típico $120. El monto de las extracciones en una cuenta corriente se distribuye normalmente con media $530 y desvío típico $90. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el saldo sea superior a $200? RESPUESTA: 0,68082 b) ¿Cuál es el saldo máximo del 15% de las cuentas de menor cuantía? RESPUESTA: $114,6 c)Si se toman 10 cuentas corrientes al azar ¿cuál es la probabilidad de que el saldo total sea inferior a 3000? RESPUESTA: 0,73565 27) Para armar un andamio de altura se necesitan caños de longitud variable y en cantidad variable .Para la limpieza del frente de un edificio se necesitan 36 caños con una longitud media de 4 metros con un desvío típico de 0,50 metros; 40 caños con una longitud media de 2,50 metros con un desvío típico de 0,40 metros y 50 caños con una longitud media de 1,20 metros y desvío típico de 0,30 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud total de la cañería para formar el andamio sea superior a 310 metros? RESPUESTA: 0,09012








Pág. 7 /11

PROBLEMAS VARIADOS

(Diferentes distribuciones de Probabilidad, diferentes niveles de complejidad para su resolución)

28) El consumo diario en combustible de una fábrica se distribuye normalmente con un promedio de 248 litros y un desvío estándar de 25 litros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se consuman más de 263 litros? b) ¿Cuál es el consumo sólo superado en el 20% de los días? c) Se toman 12 días al azar, calcular la probabilidad de que en más de la cuarta parte de los días, el consumo haya sido inferior a 220 litros. d) Calcular la probabilidad de tener que revisar el consumo de menos de 10 días si se quieren encontrar 3 días con consumo superior a 263 litros. RESPUESTAS: a) 0,27425 b) 269 litros c) 0,06 d) 0,4552 29) En la ciudad A el 43% de los habitantes vive en departamentos. El equipo de producción de un programa televisivo realiza una encuesta callejera en la zona céntrica de dicha ciudad. Calcular: a) La probabilidad de tener que encuestar 14 personas, para encontrar 7 que vivan en departamentos b) La probabilidad de tener que encuestar entre 6 y 8 personas para encontrar 2 que vivan en departamentos. c) La cantidad de personas que se espera tener que encuestar si se desea encontrar 50 que no vivan en departamentos. RESPUESTAS: a) 0,0912 b) 0,2087 c) 88 personas 30) El 40% de los clientes de un hipermercado paga sus compras con tarjeta de crédito. a) Si se toman 8 clientes al azar ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 paguen con tarjeta de crédito? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 70 y 75 clientes paguen con tarjeta si se seleccionan aleatoriamente a 200 clientes? RESPUESTAS: a) 0,3154 b) 0,1936 31) Sabiendo que a una central telefónica llegan en promedio 4 llamadas cada 3 minutos, calcular las siguientes probabilidades: a) Que lleguen por lo menos una llamada el próximo minuto. b) Que lleguen menos de 12 llamadas durantes un lapso de 10 minutos. c) Que lleguen más de 40 llamadas durante un cuarto de hora. RESPUESTAS: a) 0,7275 b) 0,3532 c) 0,0000 32) Una compañía telefónica elige al azar una muestra de 8 abonados. Sabiendo que el 64% de los abonados tienen contestador automático, calcular las siguientes probabilidades acerca de los 8 abonados seleccionados: a) Que la cuarta parte no tenga contestador automático. b) Que más de la mitad tenga contestador automático. c) Que menos del 75% tenga contestador automático. d) Que entre 3 y 7 tengan contestador automático. RESPUESTAS: a) 0,2494 b) 0,6847 c) 0,5958 d) 0,9427 33) Una distribuidora entrevista profesores de una universidad nacional para ofrecerles impresoras a color. Sabiendo que sólo el 22% de los profesores no tiene impresora a color: a) Calcular la probabilidad de que tenga que entrevistar 14 profesores para encontrar 4 que no tengan impresora a color. b) Calcular la probabilidad de que tenga que entrevistar a más de 4 profesores para encontrar uno que no tenga impresora a color. c) Calcular la probabilidad de que tenga que entrevistar entre 12 y 16 profesores para encontrar seis que no tengan impresora a color. d) ¿Cuántos profesores espera tener que entrevistar para encontrar 24 que no tengan impresora a color? RESPUESTAS: a) 0,056 b) 0,3702 c) 0,10 d) Aprox. 109 34) Los montos abonados semanalmente en concepto de horas extras en la empresa NORTE SRL se distribuyen normalmente con un prome-dio de $914 y un desvío estándar de $41. Calcular: a) La probabilidad de que semanalmente se abone como máximo $500 en concepto de horas extras. b) La probabilidad de que semanalmente se abone como mínimo $700 en concepto de horas extras. c) La probabilidad de que la próxima semana se deba pagar por horas extras entre $900 y $1.200. RESPUESTAS: a) 0 b) 1 c) 0,63307








Pág. 8 /11

35) Una empresa de telefonía móvil envió por correo una promoción a sus clientes. A la semana siguiente la empresa selecciona 15 de sus clientes al azar y los consulta telefónicamente acerca de dicha promoción. Suponiendo que hasta ese momento, sólo el 56% de las promo-ciones enviadas llegaron a destino, calcular la probabilidad de que: a) todos los clientes consultados hayan recibido la promoción. b) ninguno de los clientes consultados haya recibido la promoción. c) a lo sumo 7 de los clientes consultados no hayan recibido la promoción. RESPUESTAS: a) 0,0002 b) 0 c) 0,6824 36) Para que trabajen en el desarrollo de un nuevo producto, el Director de Desarrollo formó un equipo de trabajo integrado por 8 profesio-nales tomados al azar entre 15 profesionales con Postgrado en Sistemas. Sabiendo que de los profesionales con Postgrado en Sistemas, 7 son Contadores, calcular las siguientes probabilidades: a) Que ninguno de los miembros de la comisión sea Contador. b) Que más de la mitad de los miembros de la comisión sean Contadores. c) Que por lo menos haya un Contador en la comisión. RESPUESTAS: a) 0,0002 b) 0,214 c) 0,9998 37) En una obra social donde el 65% de los afiliados vive en zona urbana, se eligen al azar 12 afiliados. Calcular la probabilidad de que 5 de ellos no vivan en zona urbana. RESPUESTA: 0,2039 38) En un supermercado los clientes cuyas compras superan un monto mínimo de $300 obtienen un descuento. Dichos montos se distribu-yen normalmente con una media de $255 y una varianza de 1600. Contestar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no obtenga dicho descuento? b) Si se toma un cliente al azar y se comprueba que no obtuvo descuento, ¿cuál es la probabilidad de que su compra haya sido superior a 255? c) Se toman 10 clientes al azar, calcular la probabilidad de que exactamente 4 hayan obtenido el descuento? d) Calcular la probabilidad de tener que revisar 10 clientes si se quieren encontrar 4 que hayan obtenido el descuento. e) ¿Cuál debería ser el monto mínimo de compra, si se pretendiera que la quinta parte de los clientes obtuviera el descuento? RESPUESTAS: a) 0,8686 b) 0,424 c) 0,026 d) 0,0104 e) 288,70 39) Sabiendo que el 26% de los pasajeros que utilizan una línea de trenes tienen abono mensual, se toman al azar 11 pasajeros, calcule la probabilidad de que: a.1) al menos uno tenga abono mensual. a.2) a lo sumo uno tenga abono mensual. a.3) como mínimo 8 no tengan abono mensual. b) La probabilidad de tener que pedir boleto a más de 12 pasajeros si se pretende encontrar a 3 que tengan abono mensual. c) En un vagón en el que viajan 85 pasajeros: c.1) ¿Cuántos pasajeros que tengan abono se espera encontrar? y c.2) ¿con qué coeficiente de variación? RESPUESTAS: a.1) 0,9636 a.2) 0,1772 a.3) 0,6854

b) 0,3604 c.1) 22,1 c.2) 0,183 40) En un depósito hay 75 lavarropas marca A y 120 lavarropas marca B mezclados. Se toman al azar 26 lavarropas para ponerlos en exposi-ción. Calcular la probabilidad de que al menos 8 de los lavarropas elegidos sean marca A. RESPUESTA: 0,83147 41) De un bolillero que contiene 25 bolillas numeradas del 1 al 25, se extraen bolillas al azar. Calcular la probabilidad de: a) obtener 4 bolillas pares si se extraen 7 bolillas con reposición. b) tener que extraer 12 bolillas para encontrar 8 bolillas impares (sabiendo que las extracciones se realizan con reposición). c) obtener por lo menos una bolilla menor a 10 si se extraen 5 bolillas sin reposición. RESPUESTAS: a) 0,2612 b) 0,0937 c) 0,9178 42) Un líquido que contiene en promedio 6 impurezas por litro, se envasa en botellas de dos litros y medio. Calcular la probabilidad de que una botella contenga menos de 10 impurezas. RESPUESTA: 0,0698








Pág. 9 /11

43) En un lavadero de automóviles, el tiempo de lavado por unidad es el turno M se distribuye normalmente con una esperanza de 12 minu-tos y un desvío estándar de 3 minutos, mientras que el tiempo de lavado por unidad en el Turno T, se distribuye exponencialmente con una esperanza de 11 minutos. El 27% de los automóviles son lavados en el turno M y el resto en el turno T. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el turno M, un automóvil se lave en menos de 15 minutos? b) ¿Cuál es el tiempo de lavado solo superado por el 83% de los automóviles lavados en el turno T? c) Se toma un automóvil al azar y se comprueba que el tiempo de lavado fue superior a 12 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido lavado en el turno Tarde? d) Se desean encontrar exactamente 6 autos lavados en más de 12 minutos, ¿cuál es la probabilidad de tener que revisar menos de 10 auto-móviles? RESPUESTAS: a) 0,84134 b) 2,05 minutos c) 0,645 d) 0,079 44) Un fabricante que produce alambre con una frecuencia promedio de 3 defectos cada 200 mts. ha vendido 5.000 mts. de alambre a un mayorista. Calcular la probabilidad de que el alambre vendido tenga a lo sumo 80 defectos. RESPUESTA: 0,74 45) El tiempo de vida útil de las pilas producidas por el fabricante A tiene distribución normal con una media de 80 horas y un desvío están-dar de 3 horas. El fabricante B también produce pilas cuyo tiempo de vida útil tiene distribución uniforme entre 78 y 84 minutos. En el depó-sito el 25% de las pilas provienen al fabricante A y el resto provienen del proveedor B. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las pilas de A duren entre 75 y 82 horas? b) ¿Cuánto tiempo debe garantizar de vida útil el fabricante B, de manera de tener que reemplazar el 5% de las pilas? (o sea: ¿Cuál es el tiempo mínimo de vida útil del 5% de las pilas de mayor vida útil del fabricante B?) c) Se desea formar un lote de 5 pilas que duren menos de 80 horas, de cualquier marca. ¿Cuál es la probabilidad de tener que revisar a lo sumo 8 pilas? RESPUESTAS: a) 0,701 b) 83,70 horas c) 0,1442 46) El peso de los paquetes de harina marca A, que se envasan automáticamente, tiene distribución normal con un promedio de 500 gramos. Sabiendo que el 32% de los paquetes pesa como mínimo 513 gramos, contestar: a) ¿Cuánto vale el desvío estándar? b) Se elige al azar un paquete y se comprueba que su peso es inferior al peso promedio, ¿Cuál es la probabilidad de que pese por lo menos 475 gramos? c) Se vende un lote de 15 paquetes de harina, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo las dos quintas partes de los paquetes del lote pesen menos de 493 gramos? RESPUESTAS: a) 27,66 gramos b) 0,63188 c) 0,6098 47) Sabiendo que el 70% de los automóviles que pasan por los puestos de peaje están conducidos por hombres, contestar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el 60% de los próximos 15 automóviles que pasen por un puesto de peaje sean conducidos por hombres? b) ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar que pasen 8 automóviles por un puesto para encontrar una mujer al volante? c) Los inspectores de tránsito están realizando un operativo de control en los puestos de peaje y cada uno de ellos inspeccionó 10 automóvi-les durante el día de hoy. Si se toman 4 inspectores al azar, ¿cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de ellos haya encontrado más de 5 automóviles conducidos por mujeres? RESPUESTAS: a) 0,1472 b) 0,0247 c) 0,9860 48) El conmutador del Hotel “J” recibe en promedio 10 llamados telefónicos por hora. a) Calcular la cantidad esperada de llamadas en un período de 50 minutos y su variabilidad relativa. b) Calcular la probabilidad de que en un período de 80 minutos se recibieran menos de 10 llamados. RESPUESTA: a) 8,33 llamados b) 0,1658 49) El 78% de los afiliados al sindicato A son hombres. Se eligen al azar 145 afiliados a dicho sindicato. Calcular la probabilidad de que entre los afiliados elegidos haya: a) menos de 110 hombres. b) más de 120 hombres. c) exactamente 115 hombres. RESPUESTAS: a) 0,236 b) 0,07 c) 0,07








Pág. 10 /11

50) En una oficina donde trabajan 20 empleados, de los cuales el 65% sabe computación, se seleccionan al azar 3 empleados y se les asigna una tarea muy urgente. Calcular la probabilidad de que la mayoría de los empleados seleccionados sepa computación. RESPUESTA: 0,73 51) Dada una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Binomial y parámetros: n = 160 y p = 0,64, calcular la probabilidad de que el valor de dicha variable resulte: a) menor o igual a 114. b) menor a 87. c) mayor o igual a 93. d) mayor a 103. e) mayor o igual a 91 y menor o igual a 96. (es decir que el valor de la variable quede comprendido entre 91 y 96). f) igual a 100. RESPUESTAS: a) 0,97670 b) 0,00440 c) 0,94845 d) 0,42858 e) 0,14102 f) 0,06267 52) Los montos adeudados por los clientes morosos de una empresa, tienen distribución normal con promedio igual a $1.700 y desvío están-dar igual a $370. Se decide reclamar judicialmente las deudas mayores, entablando juicio al 13% de dichos clientes. Calcular el monto de deuda que se fijará como mínimo para que un cliente moroso vaya a juicio. RESPUESTA: $2.118 53) Para formar el precio de un producto artesanal se tiene en cuenta las siguientes variables que, se supone, se distribuyen normalmente: costo de tiempo de empleado, costo de los materiales, costo del embalaje y ganancia por unidad de producto terminado, medido en pesos. El costo del tiempo empleado es en promedio de $ 15 y el desvío estándar de $ 5 El costo de los materiales es en promedio e $ 10 y el desvío estándar de $ 3 El costo del embalaje es en promedio de $ 8 y el desvío típico de $ 2 La ganancia promedio es de $ 9 con un desvío típico de $ 2,5 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una unidad de producto terminado tenga un precio de a lo sumo $ 40? b) ¿Cuál es el precio solo superado por el 5% de los productos terminados? c) Si se toma una partida de 16 productos terminados ¿Cuál es la probabilidad de que el precio total sea superior a $ 700? RESPUESTAS: a) 0,38209 b) $52,94 c) 0,14686 54) Sabiendo que el 4,5% de la población de una provincia padece determinada enfermedad, calcular la probabilidad de tener que extraer una muestra de 55 habitantes de dicha provincia para encontrar 3 que la padezcan. RESPUESTAS: 0,01 55) Un mayorista tiene en su depósito una gran cantidad de tuercas, de las cuales el 38% fueron adquiridas al fabricante A y el resto al fabri-cante B. Los dos fabricantes producen tuercas cuyos diámetros tienen distribución normal con un desvío estándar igual a 0,18 mm. Las tuer-cas producidas por el fabricante A tienen un diámetro promedio de 1,56 mm. y el 10% de las tuercas producidas por el fabricante B tienen un diámetro inferior a 1,25 mm. Basándose en estos datos, contestar: a) ¿Cuánto vale el diámetro promedio de las tuercas producidas por el fabricante B? b) Calcular la probabilidad de que una tuerca del depósito cuyo diámetro mide más de 1,50mm. c) Se elige al azar una tuerca del depósito y se comprueba que su diámetro no supera los 1,50 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha tuerca haya sido producida por el fabricante A? RESPUESTAS: a) 1,48 mm. b) 0,5220 c) 0,2947 56) El tiempo que tarda un profesor de Historia para corregir un examen se distribuye normalmente con promedio igual a 10 minutos y des-vío estándar igual a 2 minutos. En el último llamado se ha presentado una gran cantidad de alumnos y el profesor elige al azar 80 exámenes para corregirlos durante el fin de semana. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que más de la quinta parte de los exámenes que eligió le demanden menos de 8 minutos de corrección cada uno. b) Que a lo sumo 4 de los exámenes elegidos le demanden como mínimo 14 minutos de corrección cada uno. RESPUESTAS: a) 0,13 b) 0,98 57) La remuneración promedio del personal jerárquico de una empresa de servicios que tiene sucursales en todo el país, es $3200 y desvío típico de $300. La remuneración se distribuye normalmente. Si se toma una muestra de 15 empleados jerárquicos. a ¿Cuál es la probabilidad de que la remuneración total que deba pagar la compañía sea inferior a $50000? b ¿Cuál es remuneración total mínima que debe pagar la compañía en el 80% de los casos en que mas paga si la muestra es de tamaño 15? RESPUESTAS: a) 0,95728 b) $47.021,64








Pág. 11 /11

58) Se sabe que 6 de cada 8 personas, que ingresan a una agencia de turismo para solicitar información, contratan alguna excursión. Calcular la probabilidad de que ninguna de las tres personas que están solicitando información en este momento contrate alguna excursión. RESPUESTA: 0,0156 59) En una universidad donde el 3% de los alumnos tienen más de 40 años, se toma una muestra al azar de 84 alumnos. Contestar: a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos un alumno con más de 40 años en la muestra? b) Si la muestra fuera de 1.000 alumnos, ¿cuál sería la probabilidad de que a lo sumo el 2% de los alumnos seleccionados en esta muestra tuvieran más de 40 años? RESPUESTAS: a) 0,92 b) 0,04 60) En una entidad bancaria el monto de los depósitos (en miles de pesos) en cuenta corriente se distribuye exponencialmente con media 800. a) Calcule la probabilidad de que un depósito tomado al azar tenga un monto superior a 1300. b) ¿Cuál es el monto sólo superado por el 5% de los depósitos? c) Si un depósito es superior a 700, ¿cuál es la probabilidad de que sea inferior a 2000? d) Se toman al azar 14 depósitos, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 depósitos tengan un monto inferior a 400? RESPUESTAS: a) 0,1969 b) $2396,586 c) 0,8095 d) 0,5169 61) El 61% de los operarios de una fábrica tarda a lo sumo 20 minutos para armar un motor, mientras que el 13% de los operarios tarda como mínimo media hora. Sabiendo que el tiempo de armado de un motor tiene distribución normal, calcular: a) El tiempo promedio de armado de un motor. b) El desvío estándar del tiempo de armado de un motor. c) El tiempo que debe tardar como mínimo un operario en armar un motor, para que dicho operario sea enviado al curso de capacitación destinado a los operarios más ineficientes, sabiendo que a dicho curso asistirá el 24% de los operarios. RESPUESTAS: a) 16,706 b) 11,765 c) 25 minutos 62) Una fábrica de cartuchos de tinta para impresora comercializa su producción en cajas que contienen 12 cartuchos. Sabiendo que el 7% de estos cartuchos resultan defectuosos y que por cada caja vendida:

* Se gana $2,5 si la caja no contiene ningún cartucho defectuoso. * Se gana $1,8 si la caja contiene uno o dos cartuchos defectuosos. * Se gana $1,2 si la caja contiene tres o cuatro cartuchos defectuosos. * Si la caja contiene más de 4 cartuchos defectuosos es devuelta y origina una pérdida de $2,4.

a) Calcular la ganancia que se espera obtener por la venta de 200 cajas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja produzca como mínimo $1,5 de ganancia? c) Se vendieron 4 cajas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una ganancia total de $10 por esta venta? RESPUESTAS: a) $412,34 b) 0,9532 c) 0,0311 63) Una empresa dedicada a la comercialización de revistas científicas envía por correo solicitudes de suscripción a los estudiantes y docen-tes de las principales universidades del país. Sabiendo que solamente el 30% de las solicitudes enviadas originan suscripciones, calcular la probabilidad de tener que enviar 65 solicitudes para obtener 20 suscripciones. RESPUESTA: 0,03 64) Según los registros de una empresa la duración promedio de los motores que fabrica es de 12 años con un desvío típico de 3 años. Se toma una muestra 64 motores, ¿cuál es la probabilidad de que la duración total no supere los 760 años? RESPUESTA: 0,3707 65) El consumo mensual de gas residencial es en promedio de 250 metros cúbicos con un desvío típico de 20 metros cúbicos. Si se toman 36 meses al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo total sea inferior a 9200 metros cúbicos? b) ¿Cuál es el consumo total no superado por el 27% de las muestras de tamaño 36? RESPUESTA: a) 0,95254 b) 8926,44 m

3

aleatorias12

Documents

Transcript of aleatorias12