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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Creer que una ciencia existe a partir de determinado momento o de tal acontecimiento parece una ingenuidad. Sin embargo, en sus Historias, Herodoto, que vivi en Grecia en el siglo V a. C., relata el origen de la geometra indicando como causa de tal origen el desbordamiento que todos los aos tena el ro Nilo. Esto haca que se borrasen las lindes de los campos, y obligaba a los tensores de la cuerda a hacer nuevas mediciones de las tierras. Se cuenta tambin que el rey Sesostris dividi la tierra entre todos los egipcios, otorgando a cada uno un rectngulo de igual tamao, con la intencin de cobrar la renta por medio de un impuesto que sera recaudado anualmente. Pero cuando el paso del Nilo redujese una porcin, el sbdito correspondiente deba acudir al rey para notificarlo. Entonces ste mandaba a sus inspectores, que controlasen la reduccin del terreno, de manera que el propietario pagase la parte proporcional del impuesto. De esta forma, me parece, se origin la geometra, que se difundi ms tarde por la Hlade. EL ORIGEN DE LA GEOMETRA

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA PROBLEMAS GEOMTRICOS Cuando un matemtico se tropieza por primera vez con teoremas como algunos de los que veremos a continuacin, casi siempre manifiesta admiracin, seguida invariablemente, de la exclamacin: "Precioso!". No podemos decir exactamente qu entienden por "precioso" los matemticos. Quiz tenga que ver con la sorpresa de lo inesperadamente sencillo. Pero todos los matemticos perciben la belleza de un teorema, o de la demostracin de un teorema, con la misma claridad con que se aprecia la belleza de las personas. Por la riqueza de sus aspectos visuales, la geometra guarda un tesoro de hermosos teoremas y preciosas demostraciones. Es frecuente que la resolucin de problemas geomtricos resulte prcticamente trivial atinando a usar uno de los teoremas fundamentales de la geometra eucldea.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA LA GEOMETRA DEL ESPACIO La geometra del espacio presenta a veces gran dificultad de comprensin, debido a una escasa visin espacial. En gran parte, esta dificultad es consecuencia de tener que representar sobre el plano lo que se ve en el espacio. Por tanto, conviene tener muy claros los elementos fundamentales de la geometra del espacio, que son el punto, la recta y el plano. Existen en la actualidad gran nmero de impresionantes grabados, en los que se explotan magistralmente ilusiones geomtricas, que en ltimo trmino consisten en la exclusin velada de algunos axiomas de la geometra eucldea.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Hay problemas geomtricos que nos dejan perplejos porque la respuesta elemental, a menudo se complica de un modo inverosmil. Veamos algunos ejemplos

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del crculo, la respuesta es 8 cm. EL RADIO DEL CRCULO 1 Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del crculo. Solucin

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectngulo. Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m. EL LADO DEL ROMBO 2 En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rmbica, segn la figura. Cunto mide el lado del rombo? Solucin

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA 60. Basta observar de que se trata de un tringulo equiltero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. EL NGULO DE LAS DIAGONALES 3 Cuntos grados mide el ngulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo? Solucin

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA MN = 6 centmetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta. GOLPE DE VISTA 4 Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. Cunto mide MN? Solucin

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA. Cunto mide el ngulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos medios de los lados. 5 Solucin 120. Slo hace falta terminar de dibujar el hexgono regular ABCDEF. EL NGULO OBTUSO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA. En el tringulo issceles ABC el ngulo A mide 50 Cul es la medida del ngulo x? 6 Solucin Puesto que es issceles: B = C = (180-A)/2 = 130/2 = 65. Por lo tanto: x= 180-C = 180- 65 = 115. EL NGULO EXTERIOR

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vrtice de uno est siempre en el centro del otro. En qu posicin el rea comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible? 7 Solucin El rea comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. Los tringulos ABC y CDE son iguales. CUADRADOS QUE SE CORTAN

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectngulo constituido por el cuadro completo y el rectngulo de la tela pintada sern semejentes? 8 Solucin No lo son, puesto que las fracciones: b/a y (b+2h)/(a+2h) son siempre distintas, salvo en el caso del cuadrado (a=b). SEMEJANZA DE RECTNGULOS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un hombre quiere enviar por correo un fluorescente que mide 92 cm. de largo, pero las normas de Correos prohben los paquetes postales superiores a 55 cm. Cmo podra enviar el objeto por correo sin romperlo, ni doblarlo ni faltar a las ordenanzas de Correos? 9 Solucin Puede utilizar para el envo una caja en forma de cubo de 55 cm. de lado, pues una caja de estas caractersticas tiene una diagonal de 95 cm. PAQUETE POSTAL

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el rea del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, qu rea tiene el cuadrado mayor? 10 Solucin En lugar de inscribir el cuadrado como mostraba la figura anterior, hagmoslo girar 45 hasta la posicin que muestra la figura siguiente. Se observa que el rea del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito; es decir, 8 unidades. SEMEJANZA DE RECTNGULOS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Algunas situaciones parecen ir contra la intuicin. Y no se trata de salir del paso diciendo aquello de que si la realidad se opone a mis ideas, peor para la realidad. La intuicin, como la capacidad deductiva, puede ser afinada, educada. Intentamos hacerlo a travs de los siguientes problemas. EDUCANDO A LA INTUICIN

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un sencillo clculo confirma esta situacin sorprendente. Siendo R el radio de la esfera (la Tierra o la naranja), el cordel ajustado mide 2 R. Cuando le agregamos un metro, el cordel pasa a medir 2 R+1. El radio que tiene esta nueva circunferencia, ser (2 R+1)/2. La diferencia de radios nos da la holgura que es: 1/2 = 15'91549... cm. en los dos casos. Deca esto su intuicin? EL CINTURN DE LA TIERRA 11 Imaginemos un cordel que envuelve como un cinturn ajustado la Tierra a lo largo del Ecuador. Aadmosle un metro al cordel. Cun flojo queda ahora? La intuicin indicara que la holgura que se obtiene es pequesima, ya que el metro agregado representa muy poco respecto a la circunferencia de la Tierra. Ms inquietante es pensar que si ajustamos un cordel alrededor de una naranja, y le agregamos luego un metro, la holgura que se consigue para la naranja es exactamente la misma que para la Tierra. Ser cierto? Solucin

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA La holgura es de 12'5 cm. en ambos casos. EL CORDEL Y EL CUADRADO 12 Que pasara si la Tierra fuese cuadrada? Solucin Fall su intuicin?

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Imaginemos un tramo recto de riel, AB, de 500 metros de largo, aplanado sobre el suelo y fijado en sus dos extremos. Bajo el calor del verano, el riel se expande 2 metros, provocndole una joroba. Suponiendo que el riel se arquea en forma simtrica, a qu altura cree usted que se levanta la joroba en el punto medio? Diez centmetros? Un metro? Diez metros? 13 Solucin Como la longitud total del riel es ahora 502 metros, cada mitad tendr 251 metros. Aunque es evidente que la joroba adoptar una forma curva, podemos hacernos una idea de la situacin suponiendo que son dos rectas, articuladas en el punto medio. Bajo esta suposicin obtenemos una estimacin de la altura x aplicando el teorema de Pitgoras: x 2 = (251 2 -250 2 ) ===> x = 22 metros. Seguro que su intuicin volvi a fallar. EL RIEL DILATADO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un puente metlico tiene 1 km. de longitud. Debido al calor se dilata 20 cm. Si no se hubiese previsto un medio de absorber esta dilatacin, el puente se levantara formando un tringulo issceles de altura h. La base sera el puente antes de la dilatacin. Cunto vale h? 14 Solucin Diez metros. La solucin del problema es elemental, pero lo que sorprende es la magnitud de dicha solucin. Se trata de hallar el tercer lado de un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 1000'2/2 = 500'1 m. y 500 m. uno de los catetos. h 2 = (500'1) 2 - (500) 2 ===> h = 10 m. Fall su intuicin? EL PUENTE SIN DISPOSITIVO DE DILATACIN

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Calcula el valor de todos los ngulos de la figura sabiendo que el ngulo 1 vale 70. 15 Solucin El ngulo 2 mide 20. Por tratarse de un tringulo issceles (dos lados son radios) los ngulos 4 y 5 son iguales. La suma de los ngulos 2, 3 y 4 es 90, pues el ngulo total abarca el dimetro. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ngulos 2 y 4 es igual al ngulo 7. Y el ngulo 7 es igual a dos veces el ngulo 4. De donde el ngulo 2 es la mitad del ngulo 7. Por tanto el ngulo 7 mide 40, los ngulos 4 y 5 miden 20 cada uno, el ngulo 6 mide 140, el ngulo 7 mide 50 y los ngulos 8 y 9 son rectos. NUEVE NGULOS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Supongamos dos circunferencias concntricas. Trazamos una tangente a la interior que, naturalmente cortar a la exterior en dos puntos. La distancia entre cualquiera de estos puntos y el punto de tangencia es 1 m.. Halla el rea de la corona circular que determinan las dos circunferencias. 16 Solucin Sean R el radio del crculo mayor y r el radio del crculo menor: r 2 =R 2 -1. rea de la corona = piR 2 - pir 2 = piR 2 - pi(R 2 -1) =. En cualquier viejo formulario de la geometra clsica, que tanto se estudiaba hace 50 aos, viene dada directamente la frmula de la corona circular en funcin de la cuerda del crculo mayor, tangente al menor: A=pi c/2. Como en nuestro caso c/2=1, tenemos que A=pi 1=pi. REA DE LA CORONA CIRCULAR

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Querido Paco: Si se te ocurre poner esta carta frente al espejo, la leers sin dificultad. Por cierto, que no me explico la razn de que Leonardo da Vinci escribiera siempre en la forma que ahora ests viendo. SIMETRA Y REFLEXIN 17 La imagen en un espejo plano y el objeto reflejado no son iguales, sino simtricos. El producto de dos reflexiones es la igualdad. Estas dos sencillas propiedades nos permitirn gastar una pequea broma, cuando escribamos a un amigo utilizando un papel carbn y dos cuartillas. La siguiente carta se la mand a un amigo mo. Sabe Vd. lo que le pone? Solucin

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Cul tiene una superficie mayor, un tringulo con lados 5, 5, 6 o uno con lados 5, 5, 8? 18 Solucin Tienen la misma rea. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos tringulos 3, 4, 5. TRINGULOS ORIGINALES

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA En el tringulo ABC, rectngulo en A, la hipotenusa a=10, el cateto b=8 y el cateto c=6. Hallar en 30 segundos el valor de la mediana AM. 19 Solucin Basta recordar que todo tringulo rectngulo puede inscribirse siempre en un crculo cuyo dimetro CB=a=10 es la hipotenusa, as que AM=radio=5. EL VALOR DE LA MEDIANA

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Una esfera pesa 40 kg. Se la coloca suavemente dentro de un cilindro lleno de agua en el cual entra exactamente. Despus de esta operacin, el cilindro y su contenido pesan 20 kg ms. Cul es el volumen del cilindro? Cul es la densidad de la esfera? 20 Solucin El volumen de la esfera es los 2/3 del volumen del cilindro en el cual aquella puede inscribirse: 4/3piR 3 = 2/3(2piR 3 ). Cuando la esfera se hunde en el cilindro desaloja los 2/3 del agua contenida en ese cilindro. El aumento de peso es, pues, el peso de la esfera (40 kg) menos los dos tercios del peso del agua contenida inicialmente en el cilindro, lo cual, en kilos, es igual a los dos tercios del volumen del cilindro, expresado dicho volumen en decmetros cbicos. 20 = 40 - 2/3V ===> V=30 dm 3 El volumen de la esfera es V'=2/3V=20 dm 3 y su densidad es 40/V'=2. LA ESFERA HUECA Y EL GEMETRA SAGAZ

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un vendedor de billares tiene como insignia de su negocio dos esferas desiguales, slidas y hechas de la misma madera. La mayor pesa 27 kg y la pequea 8 kg. El comerciante se propone volver a pintar las insignias. Con 900 gramos de pintura pinta la esfera mayor. Cuntos gramos necesitar para pintar la pequea? (La cantidad de pintura necesaria es proporcional a la superficie que hay que pintar) 21 Solucin Los volmenes y, por lo tanto, los pesos son proporcionales a los cubos de los radios. Las superficies y, por lo tanto, las cantidades de pintura son proporcionales a los cuadrados de los radios. Sean R y r los radios de las dos esferas, x el peso en gramos de la pintura necesaria para pintar la esfera pequea. r 3 /R 3 =8/27 luego r/R=2/3 r 2 /R 2 =x/900=4/9 x=400 gramos. LAS ESFERAS PINTADAS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Catalina ha desafiado a sus amigos a hacer algo que parece totalmente imposible: Coger un libro, girarlo un ngulo de 180, volverlo a girar otros 180 y que el libro quede formando un ngulo de 90 con su posicin inicial. Ser posible realizar lo que dice Catalina? 22 Solucin Girar primero el libro 180 alrededor del lado vertical opuesto al lomo, y a continuacin otros 180 alrededor de una recta que forme 45 con el eje anterior. En general, un giro de 180 alrededor de un cierto eje, seguido por otro giro de 180 alrededor de otro eje que forme un ngulo con el primero, resulta ser equivalente a una rotacin de ngulo 2 alrededor de un eje perpendicular a los dos primeros y que pasa por su punto de interseccin. GIROS, POSIBLES O IMPOSIBLES?

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA El borde de un embalse es una circunferencia perfecta. Un pez empieza en un punto del borde y nada en direccin norte 600 metros, lo que le devuelve al borde. Nada entonces en direccin este, llegando al borde despus de recorrer 800 metros. Cul es el dimetro del embalse? 23 Solucin Mil metros. El pez describe un ngulo recto con su trayectoria. Un ngulo recto, con su vrtice en la circunferencia de un crculo, intersecta la circunferencia en los extremos de un dimetro. El dimetro es, por tanto, la hipotenusa de un ngulo recto con lados 600 y 800 metros. EL EMBALSE Y EL PEZ

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un poste mide 32 palmos de altura. Un da lo parte un rayo. El trozo roto queda apoyado en el suelo formando un tringulo de 16 palmos de base. A qu altura se parti el poste? 24 Solucin x + 16 = (32-x); x=12 palmos. EL POSTE ROTO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Se trata de trazar una lnea continua a travs de la red cerrada de la figura, de modo que dicha lnea cruce cada uno de los 16 segmentos que componen la red una vez solamente. La lnea continua dibujada no es, evidentemente una solucin del problema, ya que deja un segmento sin cruzar. Se ha dibujado solamente a fin de hacer patente el significado del enunciado del problema. 25 Solucin El problema no tiene solucin. En efecto, cada uno de los tres rectngulos mayores de la figura tiene un nmero impar de segmentos. Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera del rectngulo o viceversa, quiere decirse que en los tres debe de haber una terminacin de la lnea en su interior para que la lnea cruce el nmero impar de segmentos una sola vez, y como hay tres rectngulos mientras que la lnea continua no tiene ms que dos extremos, la solucin del problema es imposible. EL CRUCE DE LA RED

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un ciudadano de Konigsberg (Prusia) se propuso dar un paseo cruzando cada uno de los siete puentes que existen sobre el ro Pregel una sola vez. Los dos brazos del ro rodean a una isla llamada Kneiphof. Cmo debe cruzar los puentes para realizar el paseo? 26 Solucin Euler (1707-1783) demostr que el paseo es imposible. Veamos su demostracin. Los siete puentes estn tendidos entre cuatro regiones de tierra: A, B, C y D. De A sale 5 puentes; de B, 3; de C, 3, y de D, 3. El paseo sale de una regin y podr terminar en ella misma o en otra. Habr siempre, al menos, dos regiones que no sern comienzo ni final del paseo. O sea, cada vez que se entra en ellas debe salirse de ellas. De cada una de esas dos regiones debera partir un nmero par de puentes. Ya se ha dicho que de las regiones parten 5, 3, 3 y 3 puentes, impares todos. Conclusin: El paseo es imposible. LOS 7 PUENTES DE KONIGSBERG

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes ya que el segundo tiene una lnea ms, que marca la doblez de cierre. Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lpiz del papel, y sin pasar ms de una vez por el mismo trazo? 27 Solucin Aunque el segundo parece el ms complicado de dibujar, la realidad es que puede dibujarse en las condiciones estipuladas. El primero en cambio, no. Todo vrtice en el que concurren un nmero impar de lneas ha de ser comienzo o fin del trazado, ya que si no, por cada entrada ha de haber un salida. En la segunda figura, en los vrtices inferiores ocurre esto, luego uno puede ser comienzo y el otro fin del dibujo. (Ver figura) En el primer sobre son cuatro los vrtices en los que concurren un nmero impar de lneas; como no puede haber ms que un fin y un comienzo, es imposible dibujarlo en las condiciones propuest DIBUJANDO SOBRES.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un vrtice es impar si de el parten un nmero impar de caminos. Un vrtice es par si de el parten un nmero par de caminos. El problema es imposible si en la red hay ms de dos vrtices impares. Es posible: a) Cuando todos los vrtices son pares, y entonces el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay ms de dos vrtices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el otro. 28 Solucin EN GENERAL: DE UN SOLO TRAZO, POSIBLE O IMPOSIBLE? Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la fila inferior.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura. Usando solamente geometra elemental (no trigonometra) demostrar que el ngulo C es igual a la suma de los ngulos A y B. 29 LOS TRES CUADRADOS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA 29 Solucin 1: La siguiente construccin muestra la solucin del problema LOS TRES CUADRADOS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA 29 Solucin 2: Esta otra construccin tambin muestra la solucin del problema. Los tringulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ngulos A y O son iguales. Y como C=B+O, C=B+A. LOS TRES CUADRADOS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA 29 Solucin 3. Usando trigonometra: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1. tg(A+B) =... = 1 = tgC. Luego A+B=C. LOS TRES CUADRADOS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuy su tamao a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana segua teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguan siendo de 1 metro. Puede Vd. dar una explicacin de tan extrao fenmeno? 30 Solucin La siguiente figura muestra la solucin. VENTANA DIVIDIDA EN DOS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Dos monedas idnticas A y B parten de la posicin que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posicin inicial. Cuntas vueltas habr dado la moneda A? 31 Solucin La moneda A da dos vueltas. No se lo cree Vd.? Tome las dos monedas y lo comprobar. MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Dos monedas distintas A y B parten de la posicin que indica la figura anterior. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posicin inicial. Cuntas vueltas habr dado la moneda A? La moneda A mvil tiene un dimetro cuatro veces ms pequeo que el dimetro de la moneda fija B. 32 Solucin.......... MONEDAS DISTINTAS DANDO VUELTAS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centro del posavasos con la ayuda nicamente de la servilleta y un lpiz. 33 Solucin Colocamos uno de los vrtices de la servilleta sobre cualquiera de los puntos de la circunferencia del posavasos. El ngulo definido por ABC es un ngulo recto, luego el segmento AC es un dimetro de la circunferencia. Trazamos con un lapicero la lnea AC y repetimos la misma operacin eligiendo como B cualquier otro punto del permetro del posavasos. Una vez trazado el segundo dimetro ya est hallado el centro de la circunferencia. POSAVASOS Y SERVILLETA.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Consideremos un cubo de lado 1. Tomemos dos vrtices opuestos por una diagonal mxima del cubo. Cada uno de estos dos vrtices opuestos est rodeado de tres vrtices cercanos que forman un tringulo. Es fcil ver que los dos planos definidos por estos dos tringulos son paralelos. Sin hacer clculos, cul es la distancia entre los dos planos? 34 Solucin La diagonal es perpendicular a los planos en cuestin y forma ngulos iguales con todas las aristas del cubo, por lo que la proyeccin de una cualquiera de stas sobre aqulla es constante. Luego, sin ms que dibujar la figura, se concluye que la distancia entre los dos planos es 1/3 de la diagonal EL CUBO Y LOS PLANOS.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Tenemos cuatro crculos iguales de radio 1. Uniendo los centros obtenemos un cuadriltero irregular. Cunto mide el rea sombreada? 35 Solucin La misma que uno de los crculos, es decir, PI. La suma de los ngulos de un cuadriltero es 360. Cada sector sombreado cubre una parte de un crculo cuya rea depende del ngulo correspondiente. Los cuatro ngulos cubrirn un rea igual a la de un crculo completo. CUATRO CRCULOS IGUALES.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Unos pintores estn pintando las paredes interiores de una catedral. A una ventana circular de un metro de dimetro le aadieron dos lneas tangentes y dos semicrculos cerrando la figura. Qu rea tiene la figura sombreada? 36 Solucin Un metro cuadrado. Es el rea de un cuadrado de un metro de lado. LOS PINTORES DE LA CATEDRAL.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA En la figura adjunta, cunto mide B? 37 Solucin B puede tener cualquier valor. Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor. x/6 = B/10 x = 6B/10 y/6 = B/15 y = 6B/15 Como B = x+y. Sustituyendo: B = 6B/10 + 6B/15; o bien: B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor de B. MUY ELEGANTE

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA En la figura adjunta el tringulo rectngulo tiene el vrtice en centro del cuadrado. Cul es el rea de la parte sombreada? 38 Solucin Observe que los tringulos sombreados de la figura son iguales por ser el tringulo rectngulo. El rea de la sombra es la cuarta parte del rea del cuadrado. Es decir, 36/4 = 9. LA SOMBRA DESCONOCIDA

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Probar que cada mediana de un tringulo es menor que el promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2. 39 Solucin Slo hay que repetir un tringulo igual al primitivo, opuesto por la base, como se muestra en la figura adjunta. Es evidente que la diagonal de un cuadriltero no puede ser mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por dos la diagonal queda la mediana del tringulo, que por tanto no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismos lados. LA MEDIANA ES MENOR

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Las reas rayadas de la luna y el tringulo, son iguales? 40 Solucin. S, son iguales. Veamos: (AB) 2 = R 2 + R 2 = 2R 2 rea del cuadrante = PiR 2 /4 rea del tringulo = R 2 /2 rea del segmento de arco AB = PiR 2 /4 - R 2 /2 rea de la luna = Pi(AB) 2 /8 - (PiR 2 /4 - R 2 /2) = PiR 2 /4 - PiR 2 /4 + R 2 /2 = R 2 /2. LA LUNA Y EL TRINGULO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Un tringulo equiltero y un hexgono regular tienen permetros iguales. Si el hexgono tiene una superficie de 6 m 2., qu rea tiene el tringulo? 41 Solucin La simple observacin de la figura muestra la solucin. EL HEXGONO Y EL TRINGULO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. Cunto vale el rea del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado? 42 Solucin La simple observacin de la siguiente figura muestra que el rea del cuadradito es la quinta parte del rea del cuadrado. Es decir, 20 cm 2. REA DEL CUADRADITO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA La longitud del rectngulo ABCD es 8 y su anchura 3. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. Cunto vale el rea del tringulo BEF? 43 Solucin Los tringulos AEB, BEF y FCB tienen la misma rea pues tienen la misma altura e iguales bases. As pues, cada uno la tercera parte del rea del tringulo ABC, es decir: rea del tringulo BEF = 1/3 1/2 8 3 = 4. RECTNGULO, DIAGONAL Y TRINGULO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA El crculo 1, cuya rea es 4, pasa por el centro del crculo 2 al que es tangente. Cul es el rea del crculo 2? 44 Solucin rea(2)/rea(1) = Pi R 2 /Pi r 2 = (2r) 2 /r 2 = 4. Entonces: rea(2) = 4 rea(1) = 4 4 = 16. LOS DOS CRCULOS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Cul es el rea de la zona sombreada de la figura? 45 Solucin Es la cuarta parte del rea del cuadrado: 16/4 = 4. LA ZONA SOMBREADA

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA En un prado cuadrado de 100 metros de lado, hay cuatro cabras. Cada una atada a una esquina del prado con una cuerda de 50 metros, lo que permite comer una cierta parte de la hierba del prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanza. El propietario, tras vender tres de las cabras, alarg la cuerda de la que quedaba en una de las esquinas, de tal forma que el rea sobre la que poda pastar era equivalente al rea sobre la que pastaban anteriormente las cuatro. Qu longitud le dio a la cuerda? 46 LAS 4 CABRAS DEL PRADO

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA 46 Solucin LAS 4 CABRAS DEL PRADO El rea utilizada por las cuatro es un crculo de radio 50 m., es decir S=Pi 50. La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de crculo cuya superficie sea la misma: Pi x/4 = Pi 50 ===> x=100 m. Justamente la longitud del campo.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Dado un tringulo ABC, encontrar un punto cuya suma de distancias a los vrtices sea mnima. 47 Solucin FERMAT: EL CENTRO DEL TRINGULO Se construye un tringulo equiltero sobre cada lado del tringulo ABC. Uniendo los vrtices de esos tres tringulos obtenemos un punto de interseccin que cumple la condicin requerida.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Dadas tres circunferencias iguales, tangentes dos a dos, calcula el rea encerrada entre las tres. 48 Solucin LAS TRES CIRCUNFERENCIAS

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA El radio del crculo inscrito en un tringulo rectngulo mide 3 cm., y el del circunscrito, 5 cm. Cunto vale la suma de los catetos del tringulo? 49 Solucin LA SUMA DE LOS CATETOS 16 cm. Haga la figura correspondiente y lo ver.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA La zona sombreada representa un lago. Cul es la superficie del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados. 50 Solucin LA SUPERFICIE DEL LAGO El lago es un tringulo rectngulo. Para hallar su rea, basta saber la longitud de los catetos: rea = 5x12/2 = 30 m.

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Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRA Trazando las diagonales del cuadriltero se observa la propiedad inmediatamente. BONITA PROPIEDAD 51 Demostrar que uniendo los puntos medios de los lados de un cuadriltero se obtiene un paralelogramo. Solucin

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