Aleta Piramidal

Transferencia de Calor PQ-414 Ciclo 2006-1

Ingº Beatriz Adaniya Página 1 de 4 Marzo 2006

ALETA PIRAMIDAL La aleta piramidal es de interés práctico en virtud de que se aproxima mucho a la forma que proporciona el máximo flujo de calor por unidad de peso. El análisis se basará en el ancho b y se supondrá que la temperatura es solamente una función de x. Un balance de calor para una sección diferencial de la aleta entre x y x+dx conduce a

d dT(x)kA hP T(x) - T

dx dx

Mientras que A y P son constantes para una barra, ambas son funciones de x para la aleta piramidal. Desarrollando la derivada con respecto a x, la ecuación anterior se convierte en

2

2

d T(x) dA(x) dT(x)kA(x) hP(x) T(x) - T

dx dx dxk

Notar que dicha ecuación es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables. Los coeficientes kA(x), k[dA(x)/dx] y h P(x) son variables debido a que sus valores dependen de los de la variable independiente x. Esta ecuación puede escribirse en una forma más conveniente dividiéndola entre kA para obtener:

2

2

d T 1 dA dT hPT(x) - T 0

dx A dx dx kA

Si se desprecia el efecto de los lados, entonces P.2b, y el área de la sección transversal de la aleta puede obtenerse observando que el espesor de la aleta en cualquier punto x es igual a t(x/L) por lo que A = (bt/L)x. Sustituyendo esta expresión para A en la ecuación anterior, se encuentra que:

2

2

d T 1 dT 2LhT(x) - T 0

dx x dx ktx

Esta ecuación se asemeja a una ecuación modificada de Bessel, cuya forma general para cualquier valor de n es

2

2 2 22

d y dyx z z n y 0

dz dz

Las soluciones de este tipo de ecuaciones han sido desarrolladas y están tabuladas de manera parecida a las funciones seno y coseno. Por lo tanto, se transformará la ecuación de la aleta a la ecuación modificada de Bessel a fin de aprovechar la solución disponible. Por conveniencia, consideraremos que B2



representa a la constante 2L h /kt y que y = (T - T4). Multiplicando la ecuación de la aleta por x2 , se obtiene:

22 2

2

d y dyx x B xy 0

dz dz

Esta ecuación tiene casi la forma deseada para n = 0, excepto por el coeficiente –B2x en el último término. Por lo tanto, trataremos de determinar una variable relacionada con x que modifique este término. De una manera u otra si tal variable existe, se puede determinar por una técnica delineada en detalle por Wylie. En este caso, se puede observar fácilmente que si el coeficiente del último término B2x es el cuadrado de alguna otra variable, ésta deberá ser proporcional a B x , raíz cuadrada de B2x. Si se supone que esta nueva variable, que se designa z, es igual a una constante C, multiplicada por B x , se obtiene al derivar las siguientes relaciones:

z = CB x o 2

2 2

zx =

C B

1- 2

dz CB = x

dx 2

1- 2

dy dy dz dy CB = = x

dx dz dx dz 2 y,

2 2

31 1- - -2 2 22 2

d y d dy CB dy CB 1 d y dz CB = x = x + x

dx dx dz 2 dz 2 2 dz dx 2

Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación de la aleta, se cambia la variable x por z y la ecuación resultante es:

22 2

2 2

d y dy 4z z z y 0

dz dz C

Esta ecuación es idéntica a la ecuación modificada de Bessel de orden cero (n = 0) si ,

C2 = 4 ó z = 2B x La solución general es entonces,

1 o 2 oy = (T - T ) C I (2B x ) + C K (2B x)

donde C1 y C2 son constantes de integración que deben determinarse de las condiciones de frontera, mientras que Io(z) y Ko(z) son funciones modificadas de Bessel de orden cero de primera y segunda clase, respectivamente.



Por conveniencia, se han tabulado valores seleccionados de Io(z) y Ko(z). Se debe observar que Io(0) = 1 mientras que Ko(0) = 4. Para evaluar C1 y C2 se aplican las condiciones de frontera. La primera condición de frontera indica que la temperatura en la base es Ts. Así, según la figura: T = Ts en x = L. La segunda condición de frontera es que la temperatura de la aleta debe ser finita en cualquier parte. En el extremo de la aleta x = 0, Ko(0) tiende a infinito y por lo tanto, el coeficiente C2 debe ser cero para que la temperatura permanezca finita. Sustituyendo estas dos condiciones de frontera en la forma usual, se obtiene la distribución de temperatura.

o

s o

I 2B xT - T =

T - T I 2B L

La rapidez de flujo de calor de la aleta se obtiene derivando esta ecuación, evaluando el gradiente de temperatura en la base (x = L) y multiplicando el resultado por el área de la base. Para propósitos de diferenciación se usa la relación d[In(Cz)] = In+1(Cz)d(Cz) por lo que, para n = 0,

1o - 21

d I (2B x )= I (2B x ) Bx

dx

Entonces, la rapidez del flujo de calor de la aleta es

1

aleta sx=L 0

I 2B LdTq = kA = b 2hkt T T

dx I 2B L

Ejemplo: Se instalan aletas con el propósito de incrementar la disipación de calor de una pared cilíndrica enfriada por aire. Si la temperatura de la pared es 1100 ºF y el coeficiente de transferencia de calor entre la superficie sólida y el aire (T4 = 100 ºF) es de 15 Btu/hr.pie².ºF, comparar la eficiencia de una aleta piramidal con la de una aleta rectangular de lados rectos, tomando como base el flujo de calor por unidad de peso. Cada una de las aletas tiene 1” de espesor en la base, 4” de longitud y está hecha de acero inoxidable (k = 15 Btu/hr.pie.ºF). Trazar también la distribución de la temperatura a lo largo de las aletas. Solución: Considerando cada forma de la aleta de forma separada: Aleta piramidal: A partir de los datos se obtiene:



2LhB =

kt= 2,83

o

s o

I 2B xT - T =

T - T I 2B L

T = 100 + 165 Io(5,66 x )

1

aleta sx=L 0

I 2B LdTq = kA = b 2hkt T T

dx I 2B L = 5050 Btu/hr.pie

El peso de la aleta por pie de anchura es (DtL/2)/pie = 6,8 lb/pie Finalmente, q = 5050/6,8 = 744 Btu/hr.lbm Aleta rectangular de lados rectos

De acuerdo con las especificaciones se tiene: Ph

m = kA

= 2 6

La distribución de temperatura es:

1 1 1cosh2 6 x 6 senh2 6 x3 2 3T = 100 + 1000cosh 1,63 +0,204 senh 1,63

La rapidez de flujo de calor de la aleta por pie de anchura será:

0,204 cosh 1,63 6130 senh 1,63

q = 5820cosh 1,63 +0,204 senh 1,63

Btu/hr.pie

El peso de esta aleta es el doble del peso de la aleta piramidal, es decir, 13,6 lb/pie, y la disipación de calor por unidad de peso para la aleta rectangular es 428 Btu/hr.lbm. Por lo tanto, la aleta piramidal puede disipar 75 % más de calor por unidad de peso que la aleta rectangular.

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