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CAPÍTULO 6.04

SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS1

6.04-1 Conceptos fundamentales

Un conjunto de superficies que separan medios de distinto índice de refracción constituyen un sistema óptico.Si, como caso particular, estas superficies son esféricas y tienen sus centro en una recta, forman un sistema ópti-

co centrado.

O’

OLa recta que une los centros de las superficies esféricas se denomina eje del sis-

tema.Objeto e imagen

Si un punto O emite rayos de luz ante un sistema, y después de reflejarse orefractarse en las distintas superficies, lo atraviesan y van a unirse en un puntoO’, a este punto se lo denomina imagen, o punto imagen de O, y al punto O, puntoobjeto.

Si los rayos parten realmente de O, y se cortan realmente en O’, se dice que Oes un punto objeto real, y O’ un punto imagen real. [Fig. 6.03-1]

Puede ocurrir que los rayos sean divergentes después de atravesar el sistema,pero que sus prolongaciones se corten en sentido contrario al de propagación enun punto O’. A este punto se le denomina imagen virtual de O. [Fig. 6.03-2]

Cuando se acoplan dos sistemas la imagen formada por el primero sirve deobjeto para el segundo.

Si hubiera más de dos sistemas acoplados, la imagen formada por cada siste-ma, sea real o virtual, sirve de objeto para el siguiente.

FIG. 6.03-1

O’

O

FIG. 6.03-2

O1

O’1=O2

O’2

(I) (II)

Fig. 6.03-3

Si como ocurre en el caso de la fig. 6.03-3, la imagen O’1 delpunto objeto real O1 no llega a formarse, porque los rayos son des-viados antes de cortarse, se dice que O’1 sirve como objeto virtualO2 para el segundo sistema.

Un objeto virtual solamente puede darse en el caso de un aco-plamiento entre dos sistemas como los de la figura 6.03-3

Espacio objeto y espacio imagen

Se considera como espacio objeto de un sistema todo el espacio geométrico en el que puede haber objetos, tantoreales, como virtuales. Y espacio imagen, el espacio geométrico en el que puede haber imágenes, tanto reales, comovirtuales.

Por consiguiente, todo el espacio es a la vez espacio objeto y espacio imagen.Suele interpretarse como espacio objeto la parte izquierda de un sistema, suponiendo que la luz se propaga de

izquierda a derecha, aunque los objetos virtuales lo prolongan por la derecha, pero entendiendo siempre que aunqueun objeto virtual quede a la derecha, o, aparentemente, dentro de un sistema, se considera sumergido en el mediode la izquierda.

Otro tanto puede decirse del espacio imagen cambiando los términos izquierda y derecha.Puntos conjugados

Si un punto O’ es la imagen que forma un sistema óptico de un punto objeto O, se dice que O y O’ son puntosconjugados.

En general, de las figuras que son la una imagen de la otra, se dice que son figuras conjugadas respecto de unsistema óptico.

Sistema óptico perfecto

Se dice que un sistema óptico es perfecto para dos planos P y P’, perpendiculares al eje del sistema, cuando tie-nen las siguientes propiedades:

a) Todos los rayos que entran en el sistema procedentes de un punto cualquiera A del plano P concurren a lasalida en un punto A’ del plano P’. Esta condición se denomina condición de estigmatismo.

b) A los puntos de una recta r, contenida en el plano P corresponden como imágenes los de otra recta r’, conte-nida en el plano P’.

c) A toda figura contenida en el plano P corresponde como imagen otra figura contenida en el plano P’, seme-jante a la anterior, siendo constante la razón de semejanza para cualquier par de elementos.

Los sistemas a los que nos referiremos de aquí en adelante serán exclusivamente sistemas centrados y supondre-mos que son perfectos.


CAPÍTULO 6.04


Supongamos un sistema óptico centrado ante el cual hay un objeto AB de altura y, tan pequeña como queramos,situado perpendicularmente al eje del sistema, y un diafragma D, con una abertura circular de diámetro asimismomuy pequeño, de modo que las alturas de los puntos de incidencia de todos los rayos que, procedentes del punto A,llegan a la superficie S, serán muy pequeñas.

6.04-2 Óptica paraxial de los sistemas centrados

A

A’

y’

y

D

ε'

σ'h

ε

σvσ

σ'v C

n’n

FIG. 6.03-4

La imagen del punto B se obtiene trazando un rayo cualquiera, como el BV. La intersección de su rayo refracta-do con la perpendicular al eje trazada por A’ es la imagen B’ de B. La imagen del objeto AB es A’B’, de tamañoy’.

En estas condiciones, los ángulos ε y ε’ que forman, respectivamente, los rayos incidente y refractado, con la nor-mal, los ángulos σ y σ’ que forman con el eje, y el ángulo ϕ que forma la normal con el eje, serán muy pequeños, deforma que podremos sustituir sus senos y tangentes por los ángulos medidos en radianes. Esta zona de incidencia sedenomina zona paraxial, o zona de Gauss.

Se puede demostrar que en esta zona todos los sistemas centrados son perfectos para cualquier par de planos.Puede objetarse que, si todas las aberturas de los diafragmas son muy pequeñas, se producirán fenómenos de

difracción que invalidan todas las leyes de la Óptica geométrica. Sin embargo, la Óptica paraxial es de gran utilidadpara resolver los problemas en la zona central que es la que se utiliza para hacer los anteproyectos de los sistemasópticos.

6.04-3 Superficies esféricas

Supongamos un objeto AB situado ante una única superficie esférica de centro C, que separa dos medios de índi-ces n y n’.

Para hallar la imagen A’B’ se sigue el mismo procedimiento que el indicado anteriormente para un sistema cen-trado.

A

A’

y’

y ε'

σ'h

ε

σvσ

σ'v

C

n’n

s’

s

B

B’

I

V

FIG. 6.03-05

B

B’

I

V

σ’

σ’

6.04-4 Convenio de signos

En los diferentes manuales de Óptica geométrica suelen darse diferentes normas, o reglas, referentes al conveniode signos para determinar la posición de los objetos e imágenes respecto de un sistema óptico, así como los signosde los tamaños, y los signos de los ángulos que forman los rayos con el eje, y el ángulo que forma la normal con eleje.

r


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Todos son válidos y es cuestión de criterio personal la decisión de aplicar un convenio u otro.Si se aplican correctamente tales convenios, todos deben conducir al mismo resultado.Normas DIN 1335

En lo que sigue utilizaremos las normas DIN 1335 que establecen lo siguiente:a) Para designar los elementos correspondientes a una imagen se utilizan las mismas letras que para el obje-to pero con tilde.b) Para las distancias medidas sobe el eje se considera como origen el vértice V, y se toma como sentido posi-tivo el de la luz incidente, que, mientra no se indique lo contrario, se considerará que se propaga de izquier-da a derecha. Por consiguiente, en la figura 6.03-5 la distancia s es negativa, y la distancias s’ es positiva.c) Los segmentos normales al eje son positivos si están situados por encima del eje, y negativos en caso con-trario.d) Los ángulos de incidencia y refracción, ε y ε’, son positivos si, al llevar a coincidir los rayos con la normal,girándolos por el camino más corto, el sentido de giro es el de las agujas del reloj.e) Los ángulos que forman los rayos con el eje son positivos si, al llevar a coincidir los rayos con el eje, girán-dolos por el camino más corto, el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj.En la figura 6.03-5

Son magnitudes positivas: σ’, r, h, y, ε, ε’, s’ y el ángulo ϕ.Son magnitudes negativas: y’, s, y los ángulos σv y σ’v, considerados como ángulos de incidencia y refrac-ción.Obsérvese que el ángulo ϕ es positivo, tanto si se considera formado por un rayo que incidiese en la direc-ción de la normal, con el eje, como si se considera formado por un rayo que incide en la dirección del eje,con la normal.

Con estos convenios, cuando se produce la reflexión sobre una superficie, los ángulos de incidencia y reflexión sonde signos contrarios, por tanto, la ley de la reflexión en zona paraxial es:

ε = ε ' [1]de modo que una reflexión se puede interpretar como una refracción en un medio de índice

n ' = −n [2]6.04-5 Invariante de Abbe

Vamos a determinar la posición de la imagen de un objeto, formada por una superficie esférica en zona paraxial,por medio de su distancia s’, cuando se conoce la posición s del objeto, medidas ambas sobre el eje.

h ε’ε

nn’

ϕ σσ’ O

O’V

I

C

r

s’

s

Consideremos el objeto virtual O, hacia el cual sedirigen los rayos IO y VO, que después de refractarse secortan formando la imagen real O’.

Esta figura tiene la ventaja de que, aunque el objetoO sea virtual, lo que no quita generalidad al desarrollo,todas las magnitudes son positivas.

Puesto que estamos considerando la incidencia de losrayos en zona paraxial, los senos y las tangentes de losángulos podemos sustituirlos por los ángulos, de modoque la ley de la refracción se puede escribir en la forma,

FIG. 6.03-06

nε =n 'ε ' [3]Y de la figura se deducen las relaciones:

ε =ϕ −σ , ε ' =ϕ −σ ', ϕ =

hr

, σ =hs, σ ' = h

s '[4]

Sustituyendo las relaciones anteriores en [3], eliminando todos los ángulos y simplificando, se obtiene la relación

n h

r−

hs

=n ' h

r−

hs '

[5]

que demuestra que, una superficie esférica en zona paraxial se comporta estigmáticamente para cualquier par de pun-tos conjugados O y O’, ya que, para una determinada distancia s, es decir, fijada la posición del objeto, la relación[5] proporciona un valor único de s’, independiente de h, ya que figura como factor común.

El mismo razonamiento se puede aplicar a un sistema formado por varios dioptrios esféricos.


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n 1

r−

1s

=n ' 1

r−

1s '

[6]

Simplificando [5], se obtiene

La expresión

n 1

r−

1s

[7]

cuyo valor no varía al aplicarla al espacio objeto o al espacio imagen, recibe el nombre de invariante de Abbe enhonor de ERNST KARL ABBE (1840– 1905), físico y óptico alemán.

Posición de la imagen

r =∞Haciendo en [8] se obtiene

1s '

Despejando en [6], se obtiene la relación

Reflexión en un espejo esférico

que permite hallar s’ suponiendo conocidos los restantes valores.Casos particulares

Superficie plana

1s '=

nn '

1s+

n '−nn '

1r

[8]

s ' = n '

ns [9]

r =∞Haciendo en [10] se obtiene

n ' = −nHaciendo en [8] se obtiene

1s '+

1s=

2r

[10]

Reflexión en un espejo plano

s ' = − s [11]

6.04-6 Ecuación de Lagrange-Helmholtz

Esta ecuación relaciona en zona paraxial el índice n, del espacio objeto, el tamaño y, del objeto y el ángulo σque forma con el eje un rayo que parte del pie A del objeto, con las magnitudes correspondientes del espacio ima-gen.

Si consideramos un sistema óptico formado por una sola superficie esférica, [Fig.6.03-05], aplicando la ley de larefracción a los ángulos σv y σ’v

nσ

v=n 'σ '

v [12]y de la figura se obtienen las relaciones

σ =hs

σv

σ=

yh

[13]

Dividiendo las anteriores igualdades miembro a miembro, y despejando σv

σ

v=

yhσ [14]

Procediendo de forma similar para el ángulo σ'v:

σ '

v=

y 'hσ ' [15]


CAPÍTULO 6.04


Sustituyendo [14] y [15] en [12], se obtiene

nyσ =n 'y 'σ ' [16]

Si se aplica esta ecuación a un sistema formado por varias superficies, se puede escribir para cada una de ellaslas siguientes relaciones:

y1

y’1 = y2y’2 = y3

y’3

n1 n’1 = n2 n’2 = n3 n’3 = n4

σ1 σ'1σ2

σ3

σ'2

σ'3

FIG. 6.03-07

n1y

1σ

1=n '

1y '

1σ '

1

n2y

2σ

2=n '

2y '

2σ '

2

..................................

..................................n

ky

kσ

k=n '

ky '

kσ '

k

de un sistema, así como la imagen y el ángulo con el eje, son, respectivamente, el índice de refracción del espacioobjeto, el objeto y el ángulo con el eje del siguiente sistema, sumando miembro a miembro las igualdades [17], y sim-plificando, se obtiene la denominad ecuación de Lagrange-Helmholtz para un sistema de varias superficies:

y teniendo en cuenta que el segundomiembro de cada una de ellas es igualal primero de la siguiente, ya que elíndice de refracción del espacio imagen

[17]

n

1y

1σ

1=n '

ky '

kσ '

k [18]

que expresa que el producto nyσ es invariante a través de dicho sistema.

6.04-7 Aumentos de un sistema óptico

Aumento lateral

Si colocamos un objeto lineal de altura y, ante un sistema, perpendicularmente a su eje, producirá una imagende tamaño y’k.

σ1σ'k

y1 y’k

Se define el aumento lateral β, como el cociente entre el tamaño vertical dela imagen final que produce el sistema y el tamaño vertical del objeto:

β ' =

y 'k

y1

Si del pie del objeto parte un rayo formando con el eje un ángulo σ1, el rayoemergente irá a parar al pie de la imagen formando con el eje un ángulo σ'k.FIG. 6.03-08

Aumento angular

Se define el aumento angular γ, como el cociente entre los ángulos σ'k y σ1:

[19]

γ ' =

σ 'k

σ1

De la ecuación de Lagrange-Helmholtz [18] se deducen las siguientes relaciones entre los aumentos lateral y angu-lar:

β ' =

y 'k

y1

=n

1

n 'k

σ1

σ 'k

=n

1

n 'k

1γ '

[20]

[21]

En el caso particular de que el índice de salida n1 sea igual al de entrada n’k, la relación es:

β ' = 1

γ '

6.04-8 Elementos cardinales de un sistema óptico

En los sistemas ópticos hay tres pares de puntos, y otros tres de planos, que tienen una especial importancia.Son los focos y planos focales, los puntos y planos principales y los puntos y planos nodales.

[22]


CAPÍTULO 6.04


Foco imagen y plano focal imagen

Si consideramos un objeto muy alejado de un sistema óptico, los rayos luminosos llegan al sistema paralelos a sueje. Se dice, en ese caso, que el objeto se encuentra en el infinito.

F’

La imagen de Ο∞, si la luz se propaga de izquierda a derecha, es un punto F’ del eje que se denomina foco ima-gen.

El plano normal al eje trazado por F’ es el plano focal imagen. [Fig. 6.03-9 (A)]De la definición se deduce que

El plano focal imagen es la imagen del plano del infinito.

Es decir, queTodo haz de rayos paralelos que penetre en el sistema en cualquier dirección irá a parar a la salida a un puntoPʼ del plano focal imagen.

Foco imagen y plano focal imagen

Análogamente, hay un punto F sobre el eje, tal, que todos los rayos que parten de él y atraviesan el sistema, pro-pagándose de izquierda a derecha, salen paralelos al eje formando una imagen en un punto Ο'∞ infinitamente aleja-do. O bien, si entran por la derecha, concurren en dicho punto.

El punto F es el foco objeto, y el plano normal al eje trazado por F es el plano focal objeto.De la definición se deduce que

El plano focal objeto tiene su imagen en el plano del infinito.

Es decir, queTodo haz de rayos paralelos que penetre en el sistema procedente de un punto P del plano focal objeto irá a parara la salida a un punto Pʼ∞ del infinito.

Tanto el foco objeto como el foco imagen pueden ser reales o virtuales.Planos y puntos principales

Se llaman planos principales, dos planos conjugados, (uno, imagen del otro),cuyo aumento lateral β’ es +1.

Ο∞

F

Ο'∞

FIG. 6.03-09 (A)

FIG. 6.03-10 (A)

FIG. 6.03-09 (B)

F’

Ο∞

P’

FIG. 6.03-10 (B)

F

P

P'∞

F’F

a’

a b’

b

FIG. 6.03-11

Sus puntos de intersección con el eje, H, y H’, son los puntos prin-cipales, que, de la misma forma que ocurre con los focos, pueden serreales o virtuales.

De la definición se deduce que todo haz de rayos que parta de unpunto P del plano principal objeto y penetre en el sistema, o bien,que penetre apuntando hacia el punto P, saldrá del sistema concu-rriendo real, o virtualmente, en un punto P’ del plano principal ima-gen, de tal forma que el punto P’ está a la misma distancia del ejeque el punto P y en el mismo sentido.

La obtención gráfica de estos planos principales por métodos grá-ficos es sencilla. Basta trazar un rayo cualquiera a, paralelo al eje,que saldrá según el rayo a’ pasando por el foco imagen F’.

P P’


CAPÍTULO 6.04


El punto P’ donde se cortan las prolongaciones de los rayos a y a’ pertenece al plano principal imagen, que es unplano perpendicular al eje trazado por el punto P’, y cuya intersección con el eje determina el punto principal ima-gen Hʼ.

Análogamente, si trazamos el rayo emergente b’ paralelo al eje, de forma que su prolongación pase por el puntoP’, deberá proceder de un rayo incidente b, que pase por el foco objeto F, y que deberá dirigirse hacia el punto P.

El punto de intersección de las prolongaciones de los rayos b y b’ determinan el punto P, que pertenece al planoprincipal objeto, que es un plano perpendicular al eje trazado por el punto P, y cuya intersección con el eje deter-mina el punto principal objeto H.

Se puede comprobar que los planos principales están determinados correctamente, porque si se trazan los rayosa y b dirigidos hacia el punto P del plano principal objeto, saldrán según a’ y b’, cuyas prolongaciones se cortan enel punto P’, y por tanto, es la imagen del punto P, y el plano P’H’ es la imagen del plano PH.

Los planos focales y los planos principales sólo tienen sentido físico en la zona paraxial de un sistema óptico.Casos particulares

Superficie esférica

a

a’

F’F

b

b’P = P’

H = H’V

FIG. 6.03-12

Si se traza el rayo a, paralelo al eje, e incide en el punto P de la superfi-cie esférica, su refractado a’ pasa por el foco imagen F’.

Y el rayo b que pasa por el foco objeto F, e incide igualmente en en elpunto P sale paralelo al eje.

Por tanto, el punto P es a la vez el punto P’.Los planos principales coinciden con la superficie esférica, y los puntosprincipales coinciden con el vértice V.

No debe olvidarse que estamos considerando que los rayos inciden en lazona paraxial.

6.04-9 Utilidad de los planos principales y focos

Si se conoce la posición de los planos principales y de los focos de un sistema óptico, se pueden resolver todoslos problemas que se pueden plantear en la Óptica paraxial.

Supongamos, por ejemplo, un sistema del cual se conocen F, F’, H y H’.Vamos a determinar cuál es el rayo emergente que corresponde al rayo incidente a.

aa’

b’

b

P’P

H’H F’F

FIG. 6.03-13

Vamos a determinar cuál es el rayo emergente que correspondeal rayo incidente a.

Una vez que el rayo entra en el sistema, desconocemos la trayec-toria que seguirá, pero sabemos que, si apunta hacia el punto P delplano principal objeto, el rayo emergente, o su prolongación, pasa-rá por el punto P’ a la misma altura que el punto P.

Para hallar su dirección basta trazar un rayo b, paralelo al a, quesaldrá según el rayo b’, paralelo al eje; y como los rayos a y b sonparalelos, a la salida se cortarán en un punto D’ del plano focal ima-gen. Por tanto, el rayo b’ pasará por P’ y por D’.

D’

6.04-10 Distancias focales y potencia de un sistema

Se llama distancia focal objeto f, de un sistema, a la distancia HF desde el punto principal objeto hasta el focoobjeto medida en el sentido de H hacia F.

Se llama distancia focal imagen f ’, de un sistema, a la distancia H’F’ desde elpunto principal imagen hasta el foco imagen medida en el sentido de H hacia F.

Si estas distancias focales, medidas siempre con origen en los puntos principales,tienen el sentido de la luz incidente, son positivas. En caso contrario, son negativas.

Los sistemas de las figuras 6.03-13 y 6.03-14, tienen la distancia focal objeto,negativa, y la distancia focal imagen, positiva.

F F’H H’

FIG. 6.03-14


CAPÍTULO 6.04


Potencia de un sistema

Se define la potencia objeto de un sistema como la inversa de la distancia focal objeto:

ϕ =

1f

[23]

y la potencia imagen, como la inversa de la distancia focal imagen:

ϕ ' = 1

f ' [24]

Si las distancias focales se miden en metros, las potencias se miden en dioptrías.

1.6.03-10 Distancias focales y potencias de un dioptrio esférico

La distancia focal objeto y la potencia objeto de un dioptrio esférico, como el de la figura 6.03-06, se obtienen,teniendo en cuenta que los planos principales coinciden con la superficie esférica, y los puntos principales coincidencon el vértice V, sustituyendo en la [8], s’ = ∞:

f = − n

n '−nr ϕ = −

n '−nnr

[25]

La distancia focal imagen y la potencia imagen de un dioptrio esférico, como el de la figura 6.03-06, se obtienen,teniendo en cuenta la propiedad mencionada anteriormente, sustituyendo en la [8], s = ∞:

f ' = n '

n '−nr ϕ ' = n '−n

n 'r[26]

6.04-11 Distancias focales y potencias de un espejo esférico

Sustituyendo en la [10], s = ∞, o bien s’ = ∞, se obtiene:

f = f ' = r

2En general, se procura escribir todas las ecuaciones de un sistema óptico de modo que intervengan la distancia

focal imagen y la potencia imagen.

6.04-12 Relación entre las distancias focales objeto e imagen de un sistema

Supongamos que conocemos los focos y los puntos principales de un sistema como el de la figura 6.03-15.

FH

P P’

F’H’

A’∞

A

f

f’σH

σ'H

FIG. 6.03-15

Vamos a determinar la imagen un objeto HP, de altura y,situado en el plano principal objeto.

Para ello, se traza por el punto A, situado en el plano focalobjeto a una distancia del eje FA igual a HP, un rayo paralelo aleje, que, por haber pasado por un punto del plano focalo objeto,saldrá por el punto P’ del plano principal imagen, a una distan-cia del eje, tal que H’P’ sea igual a PH, y por haber entrado para-lelo al eje, saldrá pasando por foco imagen F’.

Todos los rayos que parten de A y atraviesan el sistema, cuyoslímites no están representados, saldrán paralelos entre sí.

El rayo AH saldrá por H’, paralelo a P’F’, y la imagen se for-mará en el infinito.

Aplicando a los puntos H y H’ la ecuación de Lagrange-Helmholtz:

nyHσ

H=n 'y '

Hσ '

H

y’H’yH

[28]

[27]

pero,

σ

H= −

yH

fσ '

H= −

y 'H

f 'y

H= y '

H [29]

y sustituyendo las relaciones anteriores en [28], se obtiene

ff '= −

nn '

[30]


CAPÍTULO 6.04


Para sistemas en aire, o sumergidos en medios del mismo índice de refracción,

f = −f ' [31

6.04-13 Puntos nodales

Se llaman puntos nodales dos puntos del eje, N y N’, conjugados, para los cuales aumento angular es

γ ' = σ '

σ=+1 [32]

De la definición se deduce que todo rayo que entre en el sistema pasando por el punto nodal objeto, formandocon el eje un ángulo σ, saldrá por el punto nodal imagen formando con el eje un ángulo σ’ = σ.

Vamos a determinar la imagen del punto A del plano focal objeto, de la figura 6.03-16.

A’∞

A

B’B

F’F

P’Pf’f

H’H N’N

σ’

σ

Todos los rayos que parten de A saldrán parale-los formando una imagen en el infinito.

Si trazamos el rayo AP, paralelo al eje, saldrásegún el rayo P’F’.

Y el rayo AB, paralelo al P’F’, saldrá por B’,paralelo a sí mismo, ya que, como se ha indicadoanteriormente, todos los rayos que parten de A sal-drán paralelos formando una imagen en el infinito.

De modo que el rayo AB y la prolongación delrayo que sale por B’ determinan los punto nodalesN y N’, ya que los ángulos σ y σ’ son iguales.

De la figura 6.03-16 se deduce, por paralelismo e igualdad de triángulos, que

FIG. 6.03-16

NH =N 'H ' NN ' =HH ' FN =H 'F ' = f ' F 'N ' =FH = fya que, los triángulos NHB y N’H’B’ son iguales, así como los triángulos AFN y P’H’F’.

De donde se deduce que La distancia entre los puntos nodales es igual a la distancia entre los puntos principales.

Y queEn sistemas con índices extremos iguales los puntos nodales coinciden con los puntos principales.

ya que,

[33]

FN = f ' = −f [34]luego N coincide con H, y N’ con H’, y en consecuencia,

Todo rayo que se dirige hacia el punto principal objeto H, sale por el punto principal imagen Hʼ paralelamente alrayo incidente.

6.04-14 Ecuaciones de correspondencia

Supongamos un sistema definido por sus focos F y F’, y puntos principales, H y H’.Vamos a determinar las relaciones que existen entre la posición de un objeto de altura y, y la de su imagen y’,

así como la relación entre sus respectivos tamaños.Orígenes en los focos

A’

A

B’

B P’

F’

P

F

f’fz z’

Q Q’

y

y’

H H’

a a’

FIG. 6.03.17

y FHQ, y de los P’H’F’ y F’A’B’, se deducen, teniendo en cuenta los signos, los siguientes sistemas de ecuaciones:

Designamos por z y z’ las distanciasFA y F’A’, medidas en esos sentidos, ypor a y a’, las distancias HA y H’A’.

Las distancias focales se miden siem-pre desde los puntos principales a losfocos, cualquiera que sea el origen que setome para otras distancias.

Si se tiene en cuenta que HP = AB = y

y que H’P’ = A’B’ = y’

de la semejanza de los triángulos ABF


CAPÍTULO 6.04


Estas ecuaciones resuelven todos los problemas que suelen plantearse.Por ejemplo: si se conoce la distancia focal f y la posición z del objeto respecto del foco objeto, o la distancia

focal f ’ y la posición z’ de la imagen respecto del foco imagen, se calcula inmediatamente el aumento lateral β’ apartir de los terceros miembros de las ecuaciones [35] o [36], y de esta forma se determina el tamaño de la imagenrespecto del objeto, y si es derecha o invertida.

Ecuación de Newton

Igualando los terceros miembros de [35] y [36], y quitando denominadores, se obtiene

β ' = y '

y= −

fz= −

fa − f [35]

que es la denominada ecuación de Newton.Si los índices de refracción de los medios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es

β ' = y '

y= −

z 'f '= −

a '− f 'f '

[36]

zz ' = ff ' [37]

f = −f ' [38]y la ecuación de Newton para tales sistemas es:

zz ' = −f 2 [39]ecuación que permite conocer z’, es decir la distancia del foco imagen a la imagen, y por tanto, su posición, cuandose conoce z.

De la ecuación [38] se deduce que, por ser negativo su segundo miembro, A y A’ están siempre a distinto lado deF y F’, lo que significa que z y z’ son siempre de signo contrario.

Orígenes en los puntos principales

Si designamos por a y a’ a las distancias de los puntos principales objeto e imagen, al objeto e imagen, respec-tivamente, igualando los cuartos miembros de las ecuaciones [35] y [36], se obtiene

fa − f

=a '− f '

f 'de donde, operando, se obtiene fácilmente,

fa+

f 'a '=1 [40]

y teniendo en cuenta la relación [30], se obtiene

−

na+

n 'a '=

n 'f ' [41]

Si los índices de refracción de los medios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es

−

1a+

1a '=

1f '

que es la ecuación que se aplica normalmente a las lentes delgadas, siendo a y a’, las distancias de la lente al obje-to e imagen, respectivamente, ya que sus planos principales coinciden con la propia lente.

Aumento lateral en función de las distancias a y aʼ, de los puntos principales al objeto e imagen, respectivamente.

Del primero y cuarto miembros de la ecuación [36] se obtiene,

β ' = −a '− f '

f '=1− a '

f '

y de la [41], multiplicando lo dos miembros por a’ y dividiéndolos por n’, se obtiene,

a 'f '=1− n

n 'a 'a

[42]

[43]

[44]

y sustituyendo en la [43],

β ' =1− a '

f '=1− 1− n

n 'a 'a

=

nn '

a 'a

[45]


CAPÍTULO 6.04


Si los índices de refracción de los medios extremos en los que se encuentra el sistema son iguales, es

β ' = a '

a[46]

6.04-15 Sistemas compuestos

Supongamos que acoplamos dos sistemas (I) y (II), como muestra la figura 6.03-18, de los que conocemos susfocos y puntos principales.

A’A

A

F’F F’1

F2

FIG. 6.03.18

H’1 H’2H1 H2H H’

e

d

La distancia d = F’1F2, denominada intervalo óptico, es la distancia de acoplamiento entre el foco imagen F’1 delsistema (I) y el foco objeto del sistema (II) medida en el sentido de F’1 hacia F2.

Supongamos que conocemos la posición de los focos F y F’ del sistema total.Para hallar la posición del plano principal imagen del sistema total se traza un rayo r1, paralelo al eje del siste-

ma, a una altura h, tal como el que pasa por el punto A. Este rayo saldrá del sistema (I) pasando por el foco ima-gen, F’1, y emergerá del sistema (II) pasando por el foco imagen F’ del sistema total, puesto que ha entrado para-lelo al eje del sistema total.

El punto A’ en que corta la prolongación del rayo r1 al r’1 pertenece al plano principal imagen del sistema total,que determina el punto principal imagen H’.

Análogamente, si se traza un rayo r2, en sentido inverso, paralelo al eje del sistema a la misma altura h, tal comoel que pasa por el punto A’, saldrá del sistema (II) pasando por el foco F2, y emergerá del sistema (I) pasando porel foco imagen F’ del sistema total, puesto que ha entrado paralelo al eje del sistema total.

Se debe tener en cuenta que al haber invertido el sentido de la luz incidente, el foco F2 es ahora el foco imagendel sistema (II), y el foco F es el foco imagen del sistema total.

El punto A en que corta la prolongación del rayo r2 al r’2 pertenece al plano principal objeto del sistema total,que determina el punto principal objeto H.

De la construcción efectuada se deduce que los focos F y F2 son puntos conjugados respecto del sistema (I), yF’1 y F’, son conjugados respecto del sistema (II).

Si llamamos z1 = F1F, y z’2 = F’2F’ y aplicamos la ecuación de Newton a F y F2 como puntos conjugados res-pecto del sistema (I), se tiene:

r1

r’1

r2

r’2

z1d = f

1f '

1 [47]y procediendo de igual forma, con los puntos F’1 y F’, como puntos conjugados respecto del sistema (II), se tiene:

(−d)z '2= f

2f '

2 [48]De las relaciones [47] y [48] se obtienen:

z

1=

f1f '

1

dz '

2= −

f2f '

2

d[49]

Y de la figura 6.03-18 se obtiene para la focal f ’, del sistema total:


CAPÍTULO 6.04


f ' =

h1

σ '2

=h

1

σ '1

σ2

σ '2

[50]

ya que

σ '1=σ

2 [51]

pero

σ2

σ '1

es el valor recíproco del aumento angular γ’2 que poduciría el sistema (II) de un objeto situado en F’1.

Teniendo en cuenta esto y las propiedades de la figura podemos escribir las siguientes relaciones:

h1

σ '1

= f '1 [52]

siendo β’2 el aumento lateral que produciría el sistema (II) de un objeto situado en F’1.Por otra parte, según la [36],

β '

2=−f

2

z=−f

2

dy las focales f2 y f ’2 están relacionadas por

f2= −

n2

n '2

f '2

[54]

[55]

Sustituyendo las [52] y [56] en la [50]

f ' = −

f '1f '

2

d

De la [53], [54] y [55] se deduce por simple sustitución que:

σ2

σ '2

=1γ '

2

=n '

2

n2

β '2=

n '2

n2

(−f2)

d= −

n '2

n2d

f2= −

n '2

n2d

(−n

2

n '2

f '2)=

f '2

d [56]

σ2

σ '2

=1γ '

2

=n '

2

n2

β '2 [53]

[57]

Análogamente, se obtiene para la focal objeto:

f =

f1f2

d[58]

Una vez conocidas las distancias focales del sistema total, basta llevarlas, teniendo en cuenta los signos, a partirde los focos para tener las posiciones de los planos focales.

Si referimos las ecuaciones anteriores a la distancia e, de acoplamiento entre los puntos principales H’1 y H2, yteniendo en cuenta a partir de la figura, que:

d =e − f '1+ f

2

se deduce, sustituyendo en [57]:

f ' = −

f '1f '

2

d= −

f '1f '

2

e − f '1+ f

2

[59]

La potencia de un sistema compuesto es la inversa de su distancia focal imagen f ’:

6.04-16 Potencia de un sistema compuesto

ϕ ' = 1

f '= −

e − f '1+ f

2

f '1f '

2

= −e

2

f '1f '

2

+1f '

2

−f2

f '1f '

2

= −e2

1f '

1

1f '

2

+1f '

2

−

−n

2

n '2

f '2

f '1f '

2

= −−e ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2+

n2

n '2

ϕ '1

[60]

Si los sistemas se acoplan en el aire,

n2=n n '

2=1 [61]


CAPÍTULO 6.04


ϕ ' = 1

f '=ϕ '

1+ϕ '

2−e ϕ '

1ϕ '

2 [66]

6.04-17 Lentes

Una lente es un sistema compuesto, ya que las dos superficies esféricas de radios r1 y r2 son dos sistemas simplesen los que sus puntos principales coinciden con los vértices.

Por consiguiente, su potencia se puede expresar por medio de la relación [62].Y si los medios de entrada y salida son el aire, n1 = n’2, y el índice de refracción de la lente es n, son válidas las

relaciones [64] y [65], con lo cual sustituyéndolas en en la [62], y teniendo en cuenta que ahora es e = d, que es elespesor de la lente:

ϕ ' = 1f '= −d ϕ '

1ϕ '

2+ϕ '

2+

nf '

1

= −d ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2+n ϕ '

1= −d (n −1

nr1

)(1−nr2

)+ 1−nr2

+n n −1n r

1

=

=d (n −1nr

1

)(n −1r2

)+ 1−nr2

+n −1r1

=d (n −1)2

nr1r2

+(n −1) 1r1

−1r2

[67]

Se dice que una lente es delgada cuando su espesor d es despreciable comparado con cada uno de sus radios decurvatura.

6.04-18 Lentes delgadas

d (n −1)2

nr1r2

Su potencia se calcula anulando en la [67] el término

ϕ ' = 1

f '= (n −1) 1

r1

−1r2

La distancia focal es la inversa de [69].

[68]

6.04-19 Acoplamiento de lentes delgadas en aire

La potencia de dos lentes delgadas acopladas en aire se obtiene a partir de la [66] sustituyendo las potencias delas lentes, y e por la distancia entre ellas.

Sustituyendo [61] en [60],

ϕ ' = 1

f '= −e ϕ '

1ϕ '

2+ϕ '

2+n ϕ '

1 [62]

la potencia ϕ'1 es,

ϕ '

2=

1−nr2

Teniendo en cuenta la segunda relación de las [26], y que, para el primer sistema son,

n '1=n n

1=1

ϕ '

1=

n −1n r

1

[63]

[64]

y teniendo en cuenta que para el segundo sistema son,

n '2=1 n

2=n

[65]

sustituyendo [64] y [65] en [62], y teniendo en cuenta la [30]:

ϕ ' = 1f '= −

e − f '1+ f

2

f '1f '

2

= −e

2

f '1f '

2

+1f '

2

−f2

f '1f '

2

= −e ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2−

−n

2

n '2

f '2

f '1f '

2

= −−e ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2+

−n

2

n '2

f '1

= −e ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2+

n1f '

1

=

= −e ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2+

nf '

1

= −e ϕ '1ϕ '

2+ϕ '

2+n ϕ '

1

con lo que, finalmente, queda:


CAPÍTULO 6.04


6.04-20 Sistemas convergentes y divergentes

Se dice que un sistema es convergente cuando un haz de rayos incidentes, paralelo al eje del sistema, convergea la salida en el foco imagen, es decir, cuando el foco imagen es real.

Se dice que un sistema es divergente cuando un haz de rayos incidentes, paralelo al eje del sistema, diverge a lasalida pasando sus prolongaciones por el foco imagen, es decir, cuando el foco imagen es virtual.

Algunos autores asignan el carácter de convergencia o divergencia al hecho de que el sistema tenga su focal ima-gen f ’, positiva o negativa, respectivamente, lo cual no indica nada acerca de su comportamiento.

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