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PROBLEMA E-10:

ABCD ES UN CUADRADO DE LADO A; EN A Y C HAY RÓTULAS. LOS ELEMENTOS SON DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR DE DIÁMETRO D, COEFICIENTE DE FORMA u= 1.2, MATERIAL CON G= O.4E. ¿CUÁNTO SE APROXIMAN ENTRE SÍ B Y D POR TODO CONCEPTO?

Tenemos el siguiente esquema al cual puede reducirse el problema:

Si δBD es la aproximación entre

B y D:

δBD=2δ'=2( στσF

)F=0

(1)

En la que:

τ=∫ M 2

2 EI.ds+∫ Q2

2 GΩ. ds+∫ N 2

2 EΩ. ds

O sea, ∂ τ∂ F

= 1EI

∫( A)

(C)

M .∂ M∂ F

. ds+ uGΩ

∫(A )

(C )

Q .∂ Q∂ F

. ds+ 1EΩ

∫( A)

(C)

N .∂ N∂ F

.ds

¿ 2EI

∫( A)

(B )

M .∂ M∂ F

. ds+ u 2GΩ

∫(A )

(B)

Q .∂ Q∂ F

. ds+ 2EΩ

∫(A )

(B )

N .∂ N∂ F

. ds(2)

Donde:

M=(F2

. √22 )x+( P

2. √2

2 )x=√24

( P+F ) x →σMσF

=√24

x

Q=( F2

. √22 )+( P

2. √2

2 )=√24

(P+F ) →σQσF

=√24

(3)

N=( F2

. √22 )−(P

2. √2

2 )=√24

( F−P ) →σNσF

=√24

Para F= 0, reemplazando (3) en (2), tenemos:

δ '= 2EI

∫0

a

(√24

Px)(√24

x) . dx++2uGΩ

∫0

a

(√24

P)(√24 ) . dx+ 2

EΩ∫

0

a

(−√24

P)(√24 ) . dx

δ '= P a3

12 EI+ uPa

4 GΩ− Pa

4 EΩ

TEOREMA DE CASTIGLIANO ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Reemplazando en esta expresión: G=0.4 E, u=1.2, I=π d 4

64 y Ω=π d2

4; y llevando a (1) tenemos

finalmente:

δBD= P a3

6 EI[1+ 3

8 ( da )

2

]

PROBLEMA E-11:

LA BARRA CIRCULAR AB ESTÁ PERFECTAMENTE

EMPOTRADA EN A, SUJETA A LA ACCIÓN DEL PAR T 0 EN

EL EXTREMO B ES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR DE RADIO R. CALCULAR LA DEFORMACIÓN ANGULAR EN B.

De acuerdo con el Teorema de Castigliano, la

deformación angular pedida ϕ B es:

ϕ B=∂ τ

∂ T0

Donde: τ=∫ M 2

2 EI.ds+∫ Mt

2

2 G I 0

. ds

(1)

Para la sección genérica S, ubicada por el parámetro ϕ, las expresiones de los momentos flector y de torsión se obtienen proyectando el vector representativo

de T 0 según los ejes transversal y normal de la sección, respectivamente. Así:

0≤ϕ≤𝞹: M=T 0 senφ →∂ M∂ T0

=senφ

(2)

ds= R.d𝝋 M t=T0 cosφ → ∂ Mt

∂T 0

=cosφ

Derivando respecto de T 0 la expresión (1), tenemos:

ϕ B=1EI

∫M .∂ M∂ T 0

. ds+ 1G I 0

∫ M t .∂ M t

∂ T0

. ds

En la que reemplazamos las igualdades (2):


ϕ B=1EI

∫0

π

(T 0 sen φ ) (sen φ ) ( Rdφ )+ 1G I 0

∫0

π

(T0 cos φ ) (cosφ ) ( Rdφ )

¿R T 0

EI∫0

π

( sen2 φ ) dφ+R T 0

G I 0∫0

π

(cos2 φ ) dφ=¿R T 0 π

2 EI++R T 0 π

2 φ I 0

¿

ϕ B=πR T 0

2( 1

EI+ 1

G I 0

)

Como para la sección transversal circular I=12

I 0=π4

r4, la última expresión también se puede

presentar así:

ϕ B=R T 0

r4 ( 2E

+ 1G )

PROBLEMA E-12:

LA ESTRUCTURA ABC ESTÁ FORMADA POR DOS TRAMOS EN ARCOS DE CIRCUNFERENCIA, UNIDOS EN B MEDIANTE UNA RÓTULA. ES DE EI= CONSTANTE. DETERMINAR EL DESPLAZAMIENTO DE B.

No pudiendo afirmar a priori si existirá o no desplazamiento vertical de la rótula B, consideremos el caso más general: la fuerza P inclinada, con componentes H y V que se repartan hacia las partes AB y BC de la estructura:

Condiciones:

1) u1=u2

(a)

2) v1=v2

H 1+H 2=H(b)

V 1+V 2=V

Cálculo de los desplazamientos: - En general, δ= ∂ τ∂ P

u1=REI

∫0

π /2

M .∂ M∂ H 1

dφ v1=REI

∫0

π /2

M .∂ M∂ V 1

dφ


M=H 1 Rcosφ−V 1 R (1−senφ ) → ∂ M∂ H1

=Rcosφ∂ M∂ V 1

=−R (1−senφ)

u1=R3

EI∫0

π /2

[H 1 cos2φ−¿V 1 (1−senφ ) cosφ]dφ= R3

2 EI( π

2H 1−−V 1)¿

(1)

v1=R3

EI

∫0

π /2

[−H 1 cosφ¿ (1−senφ )+V 1(1−senφ)2]dφ= R3

2 EI[( 3 π

2−4¿V ¿¿1−H 1)]¿ (2)

u2=REI

∫0

π /2

M .∂ M∂ H 2

dφ v2=REI

∫0

π /2

M .∂ M∂ V 2

dφ

M=−H 2 R (1−cosφ )−V 2 RRsenφ→∂ M∂ H 2

=−R (1−cosφ ) ∂ M∂ V 2

=−Rsenφ

u2=R3

EI ∫0

π2

[H 2 (1−cosφ )2+¿V 2 senφ (1−cosφ)]dφ= R3

2 EI[( 3 π

2−4)H 2+V 1]¿

(3)

v2=R3

EI∫0

π /2

[H 2 senφ¿ (1−cosφ )+V 2 sen2 φ]dφ= R3

2 EI(H 2+

π2

V 2)¿

(4)

Empleando las ecuaciones de condición (a), sustituyendo H 2 y V 2 según (b):

(a), 1]: π2

H 1−V 1=(3 π2

−4)( H−H 1 )+(V −V 1 )→ H 1=(3π−B ) H+2V

4 (π−2)

, 2]: ( 3π2

−4)V 1−H 1=( H−H 1 )+ π2

(V−V 1 ) → V 1=2 H+πV4 (π−2)

Llevando estos resultados a (1) y (2), obtenemos:

u= R3

16 EI.3 π2−Bπ−4

π−2. H v= R3

16 EI.3 π2−Bπ−4

π−2.V

O sea queuv= H

V;

Lo que quiere decir que, en general, el desplazamiento total tiene la misma dirección que P.

En el caso particular propuesto: H=P, V=0 (carga horizontal únicamente). Luego:


u= PR3

16 EI.3 π2−Bπ−4

π−2y v=0

PROBLEMA E-13:

LA PIEZA ABC (SOBRE UN PLANO VERTICAL) ESTÁ EMPOTRADA EN A Y DESCANSA SOBRE LA VIGA DE, LA CUAL ESTÁ ARTICULADA EN E Y SIMPLEMENTE APOYADA EN D, SOBRE UN PLANO HORIZONTAL. LAS PARTES AB Y DE ESTÁN EN UN MISMO PLANO HORIZONTAL, Y FORMAN ENTRE SÍ ÁNGULOS DE

90º. PARA AMBAS EI=400 Tn2. CONSIDERANDO SOLO LOS

EFECTOS DE LA FLEXIÓN, RESOLVER ESTE SISTEMA ESTRUCTURAL.

El sistema dado se puede analizar según los esquemas siguientes:

Ec. de condición:

δ I+δ II=0(1)

En I: para 0 ≤ x≤ 2.0 0m, M=+9→∂ M∂ P

=0

Para 2.00 ≤ x≤ 6.0 0m, M=+9−P ( x−2 ) → ∂ M∂ P

=−(x−2)

Según el teorema de Castigliano:

δ= ∂ τ∂ P

= ∂∂ P [∫ M 2

2 EI. ds]=∫ M

EI.

∂ M∂ P

.ds

O sea, en nuestro caso:

δ( I)= 1EI ∫

0

2

(+9 ) (0 ) dx+∫2

6

[ 9−P ( x−2 ) ] [−( x−2 ) ] dx= 1EI

[ 13

P ( x−2 )3−92(x−2)2]

2

6

δ( I)= 1EI

( 643

P−72) (2)


En II: para 0 ≤ x≤ 3.0 0m, M=−P2

x →∂ M∂ P

=−x2

Por simetría, en este caso:

δ( II)=2∫0

3MEI

.∂ M∂ P

.dx= 2EI

∫0

3

(−P2

x)(−x2

)dx= P2 EI

[ 13

x3]0

3

δ( II)= 9 P2 EI

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):

1EI ( 64

3P−72)+ 9 P

2 EI=0 → P=432

155=2,79 P=2.79T .

Las expresiones de los momentos flectores son:

M (I)=+9 (válida para 0 ≤ x≤ 2.0 0m )

M (I)=+9−2.79 ( x−2 )=14.58−2.79 x (válida para 2.00 ≤ x≤ 6.0 0m)

Para x=6, M (I)=−2.14 Tm

M (II)=−1.39x (válida para 0 ≤ x≤ 3.0 0m )

Para x=3, M (II)=−4.18T m

Momentos

Flectores

Esfuerzos cortantes

Y reacciones de apoyos


PROBLEMA E-14:

LA BARRA AB ESTÁ SOBRE UN PLANO HORIZONTAL Y OCUPA UN CUADRANTE DE RADIO R. EN B HAY APLICADA UNA FUERZA VERTICAL P. DETERMINAR LA COMPONENTE VERTICAL DE LA DEFLEXIÓN, ASÍ COMO LA DEFORMACIÓN ANGULAR EN EL PLANO VERTICAL TANGENTE A LA BARRA EN EL EXTREMO B.

Aplicamos un par ficticio m’ perpendicular al plano tangente en el extremo B. De acuerdo con el Teorema de Castigliano, aplicado al sistema indicado, tendremos:

( ∂ τ∂ P )

m'=0

=δBy ( ∂ τ

∂ m' )m'=0

=θB

Siendo δB y θB

las deformaciones solicitadas. En el caso que se estudia,

para una sección geométrica S, definida por el ángulo 𝝋, hay flexión y torsión; así:

M=−PRsenφ−m' cosφ→∂ M∂ P

=−Rsenφ y∂ M∂ m'

=−cosφ

M t=PR (1−cosφ )+m' senφ→∂ M t

∂ P=R (1−cosφ ) y

∂ Mt

∂ m '=senφ

La expresión del trabajo es: τ=τ flex+τ torsión

O sea τ=∫ M 2

2 EI.ds+∫ M t

2 G I 0

. ds

De la que, derivando:

( ∂ τ∂ P )

m'=0

=∫ MEI

.∂ M∂ P

. ds m'=0+∫M t

G I 0

.∂ M t

∂ P. ds m'=0y

( ∂ τ∂ P )

m'=0

=∫ MEI

.∂ M∂ m'

. ds m'=0+∫M t

G I0

.∂ M t

∂ m'. ds m'=0

En nuestro caso:

∫ MEI

.∂ M∂ P

. ds m'=0=REI

∫0

π /2

(−PRsenφ)(−Rsenφ). d φ=π4

.P R3

EI

∫ M t

G I 0

.∂ M t

∂ P. ds m'=0=

RG I 0

∫0

π /2

[ PR (1−cosφ )]¿ ¿


∫ MEI

.∂ M∂ m'

. ds m'=0=REI

∫0

π /2

(−PRsenφ)(−cosφ ). d φ= P R2

2EI

∫ M t

G I 0

.∂ M t

∂ P. ds m'=0=

RG I 0

∫0

π /2

[ PR (1−cosφ )] (senφ ). d φ= P R2

2 G I 0

Llevando a las igualdades anteriores, y haciendo: EI

G I 0

=E,

Obtenemos: δB=P R3

EI[ π

4+E ( 3 π

4−2)] θB=

P R2

2 EI(1+E)

PROBLEMA E-15:

EL ANILLO ABC, DE RADIO MEDIO R, ES DE SECCIÓN CONSTANTE; ESTÁ PERFECTAMENTE EMPOTRADO EN C, Y LIBRE EN A (CONSIDERESE QUE ES UN ANILLO TOTAL); EN EL EXTREMO A HAY APLICADA UNA FUERZA P PERPENDICULAR AL PLANO DEL ANILLO. DETERMINAR EL DESPLAZAMIENTO DE A EN LA DIRECCIÓN DE P.

De acuerdo con el Teorema de Castigliano, el deplazamiento pedido es: δ A=∂ τ∂ P

Donde: τ=∫ M 2

2 EI.ds+∫ Mt

2

2 G I 0

. ds

O sea que: δ A=1

EI∫ M .

∂ M∂ P

. ds+ 1G I 0

∫M t .∂ M t

∂ P. ds

Para la sección genérica S ubicada por el parámetro 𝝋 (0 ≤ φ ≤ 2π):M=−PRsenφ →

∂ M∂ P

=−Rsenφ

M t=P ( R−Rcosφ )=PR(1−cosφ) →∂ Mt

∂ P=R(1−cosφ)

Luego, reemplazando:

δ A=1

EI∫0

2 π

(−PRsenφ)(−Rsenφ) . Rd φ+ 1G I 0

∫0

2π

[ PR (1−cosφ )][ R (1−cosφ )] . R d φ


δ A=π ( 1EI

+ 3G I 0

) P R3

Si la sección transversal del anillo fuera circular: I=12

I 0=π r 4

4 siendo r el radio de la sección.

Reemplazando tendríamos:

δ A=2

r 4( 2

E+ 3

G)P R3

PROBLEMA E-16:

UN ARCO SEMICIRCULAR AB, EMPOTRADO EN A, Y LIBRE EN B, TIENE 16m. DE LUZ, LA QUE COINCIDE CON EL DIÁMETRO, QUE ES HORIZONTAL, EL ARCO ES DE SECCIÓN RECTANGULAR, CON MÓDULO DE

SECCIÓN S=120cm3, MOMENTO DE INERCIA I=480 cm4 Y MÓDULO DE ELASTICIDAD

E=2 x 106 kg /cm2. DETERMINAR: a) ¿QUÉ FUERZA DEBE APLICARSE HORIZONTALMENTE EN B, PARA AUMENTAR LA LUZ EN 14 cm?, b) ¿CUÁL ES LA SECCIÓN MÁS CASTIGADA?, c) ¿CUÁL ES EL MÁXIMO ESFUERZO UNITARIO ENGENDRADO EN EL ARCO POR ESTA FUERZA, Y CUÁL ES SU SIGNO (COMPRESIÓN O TRACCIÓN)?

a) El desplazamiento horizontal del extremo B (en la dirección de la fuerza incógnita H), según el Teorema de Castigliano, es:

δ B=∂ τ∂ H

=∂

∂ H [∫(B )

( A )M 2

2 EI. ds]= 1

EI ∫( B )

( A )

M∂ M∂ H

. ds

En la que: M=H . Rsenφ →∂ M∂ H

=Rsenφ

ds=R . dφ

Entonces: δB=1

EI∫0

π

(HRsenφ)(Rsenφ)(Rdφ)=πH R3

2 EI

De donde: H=2 EI δB

π R3 =2 ( 2x 106 ) (480 ) (14 )

π (800 )3=16.7 H=16.7 kg→


b) El momento flector M=H . Rsenφ tiene un máximo para φ=π2

:

M máx.=HR=(16.7 ) (800 )=13.360 kg . cm

La sección más castigada es, pues, la C, con el momento de 13.360 kg.cm que produce tracción en las fibras interiores.

c) Debido a la flexión las máximas tensiones unitarias ocurren en C:

σ máx.=M máx.

S− ¿

+¿= 13.360120

− ¿

+¿= 111.3

− ¿+¿ kg/ cm2¿ ¿¿

¿

¿

¿

La fuerza H=16.7 kg produce en C tensiones unitarias de tracción:

σ=−HΩ

, en la que si: S=16

a b2=120 cm3Ω=ab=90 cm2

¿−16.790

=−0.2 kg/cm2 I= 112

a b3=480 cm4

Luego las tensiones finales son: σ 1=−0.2+111.3=+111.1 kg /cm2(comp.)

σ 2=−0.2−111.3=−111.5 kg/cm2 (tracción)

PROBLEMA E-17:

SABIENDO QUE UN PAR T 0 APLICADO (VECTORIALMENTE

COLINEAL CON EL EJE DE LA VIGA) GENERA PARES TORSORES REACCIONES EN LOS EMPOTRAMIENTOS DE VALORES INVERSAMENTE PROPORCIONALES A SUS DISTANCIAS A LOS EXTREMOS, Y CON SENTIDOS OPUESTOS AL PAR APLICADO (VER DEMOSTRACIÓN EN EL PROBLEMA H-21), DETERMINAR LA EXPRESIÓN DEL GIRO EN UNA SECCIÓN CUALQUIERA, A DISTANCIA C DE UNO DE LOS EXTREMOS.

De acuerdo con el enunciado del problema, el par T 0 genera pares reacción en A y en B:

T ' A=−T0bl

T 'B=−T0al

El giro de la sección genérica ϕC, según el Teorema de Castigliano, es:

ϕC=∂ τ

∂ T 'T '=0=

∂∂ T '

∫( A)

(B) M t2

2 G I 0

. dx T '=0=1

G I 0∫(A )

(B )

M t

∂ M t

∂ T '. dx T '=0


Siendo T’ un par ficticio, de valor igual a cero, aplicado en la sección genérica. Según el enunciado del problema, para

los dos pares aplicados, el par torsor reacción T A será:

T A=−T 0bl−T '

l−cl

Tenemos las siguientes expresiones para los momentos torsores en las diversas secciones de la viga:

0 ≤ x≤ c, M t=−T0bl−T '

l−cl

→M t

∂ T '=−l−c

l

c ≤ x ≤ a , M t=−T0bl−T ' l−c

l+T '

¿−T0bl+T ' c

l→

M t

∂ T '=+c

l

a ≤ x≤ l , M t=−T0bl+T ' c

l+T 0

¿T 0al+T ' c

l→

M t

∂ T '=+c

l

Haciendo T '=0 en las siguientes expresiones y reemplazando en (i):

ϕC=1

G I0

∫x=0

c

(−T 0bl )(−l−c

l )dx+∫x=c

a

(−T 0bl )(+c

l )dx+ ∫x=a

l

(T 0al)( +c

l)dx

¿ 1G I 0

.T 0

l2 b ( l−c ) c−bc (a−c )+ac (l−a) ϕC=T 0

G I0

.bcl

El resultado es positivo; significa que el giro es del mismo sentido del par ficticio T’, tomado del mismo

sentido del par aplicado T 0; es decir que ϕC es del mismo sentido del par aplicado T 0.

PROBLEMA E-18:

ABC ES UNA ESTRUCTURA PLANA DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE Y DE RADIO MEDIO R. SI A LA ESTRUCTURA SE LE UBICA EN UN PLANO HORIZONTAL, EMPOTRANDOLA EN A Y CARGANDOLA EN LA LINEA A’B’C’, CON UNA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA A LO LARGO DE A’B’C’ Y DE INTENSIDAD ω POR UNIDAD LINEAL, ENCONTRAR EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL DEL EXTREMO LIBRE C TENIENDO EN


CUENTA LAS DEFORMACIONES POR FLEXION, TORSION Y FUERZA CORTANTE. SUPONGASE CONOCIDAS TODAS LAS CONSTANTES DE LA SECCION Y DEL MATERIAL.

Considerando una carga encontrada P=0 en el extremo C en el que se pide determinar el desplazamiento, tenemos:

δC=∂ τ∂ P

P=0

Como en este caso: τ=∫(C )

( A )M 2

2 EI. ds+u∫

(C)

( A)Q2

2 GΩ. ds+∫

(C )

(A ) M t2

2G I 0

. ds

Tendremos: δC=1EI

∫(C)

( A)

M∂ M∂ P

.ds+ uGΩ

∫(C)

( A)

Q∂ Q∂ P

. ds+ 1G I0

∫(C)

( A )

M t

M t

∂ P. ds P=0 (1)

En la que ds=R . d φ Para la sección genérica S (0 ≤ φ ≤π2

):

M=−P ( Rsenφ )− ∫α=0

α=φ

( dF )(R+ R8

)sen(φ−α), siendo dF=ω(R+ R8 )dα

M=−PRsen φ−8164

ω R2(1−cos φ) →∂ M∂ P

=−R senφ

M P=0=−8164

ωR2(1−cos φ)

M t=+P ( R−Rcosφ )−∫α=0

α=φ

( dF )[(R+ R8 )cos (φ−α )−R]

M t=+PR (1−cosφ )−98

ω R2( 98

sen φ−φ) →∂ Mt

∂ P=R(1−cosφ)

M t P=0=−9

8ω R2( 9

8sen φ−φ)

Q=+P+ ∫α=0

α=φ

dF Q=+P+ 98

ωR φ →∂ Q∂ P

=1

Q P=0=98

ωRφ

Reemplazando estas expresiones en (i) tenemos:

δC=1EI

∫φ=0

φ=π2

[−8164

ωR2(1−cos φ)] (−Rsen φ ) (Rdφ )+ uGΩ

∫φ=0

φ= π2

( 98

ωR φ)(1 ) ( Rdφ )+ 1G I 0

∫φ=0

φ=π2

[ 98

ω R2( 98

sen φ−φ)] [R (1−cos φ)]( Rdφ )


δC=81 ω R4

128 EI+ 9uωR2 π2

64 GΩ+ 9ω R4

128 G I 0

(7+2 π2−8 π )

PROBLEMA E-19:

APLICANDO EL TEOREMA DE CASTIGLIANO, DETERMINAR LA FLECHA EN EL PUNTO B DE LA ESTRUCTURA MOSTRADA. CONSIDERAR LOS EFECTOS DE FLEXION Y CORTE.

I=10,000 cm4 ; Ω=100 cm2;

E=2.1 x 106 kg /cm2;

G=0.84 x106 kg /cm2; u=1

La estructura es isostática. Para los efectos de calcular la deflexión de B, el problema se reduce a determinar la flecha en B de la viga en voladizo AB bajo la acción de la carga P, originada esta por la carga repartida, es decir:

P=(3 Tml ) (2m ) x 2.00

3.00=4T

Según el Teorema de Castigliano:

δB=∂ τ∂ P

, siendo: τ=∫(B)

( A )M 2

2 EI. dx+u∫

(B)

( A )Q2

2 GΩ. dx

O sea que: δB=1

EI∫x=0

x=2

M∂ M∂ P

. dx+ uGΩ

∫x=0

x=2

Q∂ Q∂ P

.dx

En esta expresión:

0 ≤ x≤ 2m: M=−Px →∂ M∂ P

=−x

Q=+P →∂ Q∂ P

=+1

Luego, reemplazando:

δB=1

EI∫0

2

(¿−Px)(−x )dx+ uGΩ

∫0

2

(¿+P)(+1)dx= 8 P3 EI

+ 2 uPGΩ

¿¿

Donde, EI=(2.1 x 106 kgcm

2) (10,000 cm7 )=2.1 x1010kg . cm2=2,100 T .m2

GΩ=(0.84 x106 kgcm

2)(100 cm2 )=84,000 T


Luego, δB=8 x 4

3 x 2 x 100+ 2 x1 x4

84000=(5.079+0.095 ) x10−3 m

¿5.174 x 10−3 m δB=5.2mm↓

PROBLEMA E-20:

POR APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO, DETERMINAR EL DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DEL PUNTO B DE LA ESTRUCTURA PLANA MOSTRADA. CARACTERÍSTICAS DE LA SECCIÓN TRASVERSAL (CONSTANTE): I ,Ω, u; CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL: E, G. CONSIDERAR TODOS LOS EFECTOS EXISTENTES.

Por simetría del sistema, las componentes horizontales de las reacciones en A y C tienen que ser iguales entre sí, y sumadas contrarrestar la acción P aplicada en B. Aplicando en seguida la

ecuación de equilibrio estático ∑0

M =0,

obtenemos las componentes verticales de las reacciones de apoyos tal como se indica.

El desplazamiento solicitado δ h , B es, según el

Teorema de Castigliano: δ h , B=∂ τ∂ P

Siendo: τ=∫( A )

(C )M 2

2 EI. ds+u∫

( A )

(C )Q2

2GΩ.ds+∫

( A )

( C )N2

2 EΩ. ds

En la figura se indican los sentidos positivos para la flexión cortante y normal (para estos dos últimos, considerando las fuerzas a la izquierda, o sea antes, de la sección).

O sea que: δ h , B=1EI

∫( A)

(B )

M∂ M∂ P

. ds+ uGΩ

∫( A)

(C)

Q∂ Q∂ P

. ds+ 1EΩ

∫( A )

(C )

N∂ N∂ P

. ds

(1)

Para la sección genérica S tenemos:


0 ≤ ϴ≤π2

: M=+P2

. Rsenϴ− P2

( R−Rcosϴ )=PR2

(senϴ+cosϴ−1)

Q=+P2

. cosϴ− P2

senϴ= P2

(cosϴ−senϴ)

N=−P2

. senϴ− P2

cosϴ=−P2

(senϴ+cosϴ)

De las que:

∂ M∂ P

= R2

(senϴ+cosϴ−1) ∂ Q∂ P

=12(cosϴ−senϴ)

∂ N∂ P

=−12

(senϴ+cosϴ)

π2

≤ϴ ≤ π :

M= PR2

( senϴ+cosϴ−1 )+P[ R−Rcos (ϴ−90 ° )]=PR2

(−senϴ+cosϴ+1)

Q= P2

( cosϴ−senϴ )+Pcos (180 °−ϴ )=−P2

(senϴ+cosϴ)

N=−P2

(senϴ+cosϴ )+Psen (180°−ϴ )=+P2

( senϴ−cosϴ )

De las que:

∂ M∂ P

= R2

(−senϴ+cosϴ+1) ∂ Q∂ P

=−12

(senϴ+cosϴ)

∂ N∂ P

=12(senϴ−cosϴ)

Las integrales de (i) serán, reemplazando estas expresiones, siendo, además, ds=R . dϴ:

∫( A)

(C)

M .∂ M∂ P

.ds=∫0

π /2PR2

( senϴ+cosϴ−1 )2

.R2

2dϴ+∫

π /2

πPR2

(−senϴ+cosϴ+1 ) . R2

2dϴ

¿ PR3

2(π−3)

∫( A)

(C)

Q .∂Q∂ P

. ds=∫0

π /2P2

(cosϴ−senϴ )2

.R2

dϴ+∫π2

π

[−P2

( senϴ+cosϴ )2](−R2

)dϴ

¿ PR4

(π−2)


∫( A)

(C)

N .∂ N∂ P

. ds=∫0

π2

[− P2

( senϴ+cosϴ )2](−R

2)dϴ+∫

π2

π

[ P2

(senϴ−cosϴ)2]( R2

)dϴ

¿ PR4

(π+2)

Reemplazando estos resultados en (i) tenemos:

δ h , B=PR3

2 EI( π−3 )+ PR

4 GΩ(π−2 )+ PR

4 EΩ(π+2)

El desplazamiento solicitado.

PROBLEMA E-21:

APLICANDO EL TEOREMA DE CASTIGLIANO, DETERMINAR LAS REACCIONES EN LA ESTRUCTURA QUE SE MUESTRA. CONSIDERAR SOLAMENTE LOS EFECTOS DE LA FLEXIÓN. TODOS LOS ELEMENTOS SON DEL MISMO MATERIAL. SE TIENE,

ADEMÁS, LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS: I 2=1.5 I1,

a=4m, b=1m, c=0.50m, h=5m, l=4m, P=50T.


Se trata de una estructura hiperestática de 1° grado. Tomamos como incógnita redundante la componente horizontal de la reacción en A (que tiene que ser igual a la del apoyo E por la

condición ∑ Fh=0). Como estos apoyos no pueden tener

desplazamiento horizontal, de acuerdo con el Teorema de

Castigliano deberá tenerse:∂ τ∂ X

=0

Es decir, considerando únicamente los efectos de la flexión:

∂∂ X [∫ M 2

2 EIds]=0 →

1I∫ M .

∂ M∂ X

. ds=0 (i)

(para toda la estructura)

Las componentes verticales de las reacciones son:

∑( A)

M =0: Pc−V E l=0 → V E=Pcl

↑

∑ FV =0: V A+V E−P=0 → V A=P(1− cl)↑

Las expresiones de los momentos flectores para cada tramo de estructura, y sus correspondientes derivadas respecto de la incógnita hiperestática X, son:

AB: 0 ≤ y≤ a, M=−xy →∂ M∂ X

=− y

BC: a ≤ y ≤h M=−xy+Pc →∂ M∂ X

=− y

ED: 0 ≤ y≤ h M=−xy →∂ M∂ X

=− y

DC: 0 ≤ y≤ l M=−xh+V E x= Pcl

x−xh →∂ M∂ X

=−h

Reemplazando estas ecuaciones en la ecuación (i):

1I 1∫0

a

(¿−xy )(− y )dy+ 1I 1∫a

h

(¿−xy+Pc)(− y)dy1I 1∫

0

h

(¿−xy )(− y)dy+ 1I2∫0

h

(¿ Pcl

x−xh)(−h)d x=0¿¿¿¿

13

.I 2

I 1

X [ y3]0a+ 1

3.

I 2

I 1

X [ y3]ah−1

2.I 2

I 1

Pc [ y2 ]ah+ 1

3.

I 2

I 1

X [ y3 ]0h+[−Pch

lx2+xh2 x ]

0

l

=0


x h2( 23

.I 2

I 1

h+l)= Pc2

[I 2

I 1

(h2−a2 )+hl ]

Haciendo: α=ah

Ԑ=I2/ lI 1/h

=I 2

I 1

.hl

Tenemos, finalmente: X=3 Pc2h

.1+Ԑ(1−α 2)

2 Ԑ+3

Para el caso particular dado se tiene:

Ԑ=1.5 I 1

I i

.54=15

8α=4

5=0.8

Luego, X=3 (50 ) (0.50 )

2 (5 ).1+ 15

8(1−0.642 )

2( 158 )+3

=6736

=1.8 6T .X=1.8 6T .

V A=50(1−0.504 )=50( 7

8 )=41.25T .V A=41.2 5T .

V E=50( 0.504 )=50

8=6.2 5T .

V E=6.2 5T .


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