Algebra

5/17/2018 Algebra - slidepdf.com

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Presentación

EL CENTRO PREUNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL «FE-

DERICO VILLARREAL» (CEPREVI), ingresa al tercer milenio premunida delespíritu de paz y hermandad entre los peruanos, por ello se permite dedicar

todos sus esfuerzos íntegramente a favor del desarrollo del conocimiento, a

través de la tecnología, las letras, las artes y las humanidades.

La investigación en todos los campos del saber humano permite a nuestra

Institución contribuir a una mejor preparación de todos aquellos jóvenes que

aspiran a convertirse en ESTUDIANTES VILLARREALINOS, a través de

una sólida y efectiva enseñanza acorde con la exigencia de la globalización

mundial.La innovación y el desarrollo nacional es tarea de todos los peruanos y más

aún de los que formamos y forjamos a la juventud estudiosa del mañana en

esta casa de estudios.

Los PROFRESORES de la Asignatura de ALGEBRA entregamos a nuestros

alumnos el presente Libro, Herramienta fundamental en la preparación para

el ingreso a nuestra casa de estudios.

LOS AUTORES



Á L G E B R A

U N F V - C E P R E V I2

UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3UNIDAD 4

UNIDAD 5

UNIDAD 6

UNIDAD 7

UNIDAD 8

UNIDAD 9

UNIDAD 10

UNIDAD 11

UNIDAD 12

UNIDAD 13

UNIDAD 14

UNIDAD 15

UNIDAD 16

Índice

Leyes de exponentes y radicales .......................................... 3

Grados y polinomios.............................................................. 6

Productos Notables ............................................................. 11División de polinomios......................................................... 14

Cocientes Notables ............................................................. 19

Factorización ....................................................................... 23

M.C.D. – M.C.M. – Fracciones ............................................ 30

Binomio de Newton ............................................................. 36

Radicación ........................................................................... 41

Números Complejos ............................................................ 45

Ecuaciones de primer grado ............................................... 51

Ecuaciones de segundo grado ............................................ 59

Desigualdades..................................................................... 64

Funciones ............................................................................ 69

Progresiones ....................................................................... 76

Logarítmos .......................................................................... 83



Á L G E B R A

U N F V - C E P R E V I 3

Denición 1

Si a ∈ R y n ∈ Z:

an = a · a · a · ... · a (n factores)

Denición 2

Si a ∈ R – {0}:

a0 = 1

Denición 3

Si a ∈ R – {0} y n ∈ Z+:

a –n = na

1

Denición 4

Si m/n ∈ Q con n positivo y a ∈ R:

n mn

m

aa ==mn( a)

Teoremas1. am · an = am+n

2.n

m

a

a= am–n ; a ≠ 0

3. (a·b)n = an · bn

4.n

nn

b

a

b

a =

5. (am)n = am·n = (an)m

6. nnn baab ⋅=

7. n

nn

b

a

b

a

=

8.n mcn cm aa =

9. mnm n aa =

10. mnnn m baba =

Ecuaciones exponencialesI. Bases Iguales

Si: Nx = Ny → x = y

Obs.: N ≠ 0 ^ |N| ≠ 1

Ejemplo:

Resolver: 9x–1 = 27x–2

Buscamos bases iguales:

32x–2 = 33x–6

Luego:

2x – 2 = 3x – 6 ⇒ 4 = x

II. Formas análogas

Si: MM = NN → M = N

Obs.: M ≠2

1^ N ≠

4

1

Ejemplo:

Resolver: 3x5 36x5

=

Buscando formas análogas:

32x5 )6()x(5

= ; 6x5 6)x(5

=

Luego: x5 = 6 → x = 5 6

NOTA: Si: af(x) = bf(x) → f(x) = 0

Ejemplo:

Resolver: 3x–4 = 5x–4

x – 4 = 0 → x = 4

Leyes de exponentes y radicales

UNIDAD 1



Á L G E B R A


ProBlemas01. Calcular:

1 11 14 2

S 16 25− −− −

− − = +

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 6

02. Simplicar:

n 4 n 1

n 2

3 3(3)M

3(3 )

+ −

+

−=

Indicar la suma de los términos de lafracción resultante.

a) 107 b) 91 c) 89

d) 76 e) 81

03. Calcular:

11 3 33 5E 64 32

−− −

= −

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

04. Calcular:

1 1 23 2 3 2

F 64 8 16

− − −

= − +a) 8 b) 9 c) 1

d) 3 e) 2

05. Efectuar:

3 2

6 5

a b. abM

ab

=

a) 1 b) a c) b

d) a/b e) ab

06. Efectuar:

5 3 15 3

56

9 3 9Q

9 27

⋅ ⋅=⋅

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

07. Si: ba = 5 y ab = 2

Calcular el valor de:

a 1 b 1b a

R a b+ +

= +

a) 57 b) 50 c) 58

d) 62 e) 64

08. Si: aa – 1 = a, calcular el valor de:a

a (1 a)aE (a 1)+= +

a) 1 b) a c) 2a

d) 1/a e) aa

09. Efectuar:

28K a a a a a−= ⋅ ⋅

a) 1 b) a c) a2

d) 2a e) a3

10. Calcular:

10 5 1

5 6

12 18 16 A

8 54

−⋅ ⋅=⋅

a) 8 b) 9 c) 10

d) 6 e) 7



Á L G E B R A


11. Calcular:

2 2

2

2

a 2 a 1

aa 1

9 9R

90

+ +

+

+=

a) 1/10 b) 1/9 c) 10

d) 1 e) 2

12. Calcular:

a b a b2a 2b

a b a b

7 21 7S

7

− −

− +

+=

a) 1 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4

13. Calcular (n+1)4 en:

n 42 2 2 2=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

14. Hallar el menor valor de “n”

23 n n 14 3a a a−⋅ =

a) 3 b) 1 c) 2

d) -3/4 e) -7/4

15. Resolver e indicar el valor de la ex-presión 2x+1:

9 x

3x 3

3 33

3 3

− =−

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 9

16. Resolver:

xx 2

x 2− =

a) 1/2 b) 1/4 c) 2

d) 1/16 e) 2-8

17. Hallar “n”:

3n 20 nn 1

n

n nn

n n

−−− =

−

a) 20 b) 19 c) 21d) 16 e) 18

18. Calcular x12 al resolver:

6 2xx 2=

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19. Resolver:

x 1 x44x 4x 5 x

+

+ =a) 1 b) 1/4 c) 1/2d) 2 e) 4

20. Resolver:2

( x 2 ) 2 2x 2

x 2+

=

Indicando el valor de:

2 2(x x 1)(x x 1)+ + − +

a) 7 b) 1 c) 2d) 6 e) 8

CLAVES

01d 02a 03c 04e 05b

06c 07a 08b 09a 10b

11a 12b 13a 14e 15c16b 17b 18d 19b 20a



Á L G E B R A


Grado de expresiones algebraicasCaracterísticas de toda expresión algebraica de acuerdo al valor que tendrán

los exponentes que afectan a la parte literal.

Los grados se clasican en:

a) Grado relativo a una variable: es el exponente de la variable menciona-da.

b) Grado absoluto de una expresión: cuando interesan los exponentes de

todas las variables.

regla Para hallar grados

1. PARA MONOMIOS. Su grado relativo es el exponente de dicha variable

y su grado absoluto es la suma de los exponentes de la parte literal.

Ejemplo:M = 85 x3 y2

G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 2 G.A.(M) = 5

2. PARA POLINOMIOS. Es el mayor exponente si se trata de un grado

relativo y es el término de mayor grado si es el grado absoluto.

Ejemplo:

M = 7x5y2 – 2x8y6 + 8x3 y9

G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 9 G.A.(M) = 14

3. PARA PRODUCTOS. El grado absoluto o relativo, según sean el caso de

cada factor se suman.

Ejemplo:

M(x,y) = (3x7 –2y2+8x2y) (xy7 + 8x2)

G.A.(M) = 7 + 8 = 15 G.R.(x) = 7 + 2 = 9 G.R.(y) = 2 + 7 = 9

Grados y polinomios

UNIDAD 2



Á L G E B R A


4. PARA UNA FRACCIÓN. Al grado respectivo del numerador, se le resta

el grado respectivo del denominador.

Ejemplo:

M(x,y) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+−

G.A.(M) = 11–(2+3) = 6 G.R.(x) = 8–(1+2) = 5 G.R.(y)=4–(1+3) = 0

5. PARA UNA POTENCIA. Al grado respectivo de la base se le multiplica

por el exponente.

Ejemplo:

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

−

++

G.A.(M) = 5 · 6 = 30 G.R.(x) = 2 · 6 = 12 G.R.(y) = 5 · 6 = 30

Polinomios importantes1. POLINOMIO HOMOGENEO. Es aquel en el cual todos sus términos son

de igual grado absoluto.

Ejemplo:

P(x,y) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4

P(x,y) es homogéneo de grado 7

2. POLINOMIO ORDENADO. Un polinomio será ordenado con respecto a

una variable. Si los exponentes de dicha variable están aumentando o

disminuyendo a partir del primer término.

Ejemplo:

P(x,y) = x8 + x5 – 2x4 + 5x + 2

3. POLINOMIO COMPLETO. Un polinomio será completo con respecto auna variable, si dicha variable posee todos los exponentes desde el mayor

hasta el exponente cero, inclusive.

Ejemplo:

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 – 2x + 6x0

4. POLINOMIOS IDENTICOS. Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo

valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomiosidénticos los coecientes de sus términos semejantes son iguales.

Es decir, si: ax2 + bx + c ≡ mx2 + nx + p

Se cumple que: a = m ; b = n ; c = p



Á L G E B R A


5. POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO. Es aquel que se anula para cual-

quier valor de sus variables, es decir:

ax2 + bx + c = 0

Se cumple:

a = 0 ; b = 0 ; c = 0

Notación PolinomialEs la representación de un polinomio por medio de diferentes variables o

estructura, cuando la variable adopta un valor constante se obtiene el valor

numérico.

Ejemplo:

P(x) = x3 + 5x2 + 7

P(y) = y3 + 5y2 + 7P(x–1) = (x – 1)3 + 5(x – 1)2 + 7

P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 V.N.

Ejemplo:

Si: P(x) = 3x + 5

Hallar:

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20

b) E = P(–2) + P(3) P(–2) = 3(–2) + 5 = –1

P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = –1 + 14 = 13



Á L G E B R A


ProBlemas01. Sea el monomio:

2n 4 3n 1 5n 8(x,y,z)M 5x y z

− + −=

Hallar su grado absoluto, sabiendoque GR(z)=12

a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02. Hallar el valor de “n” para que elgrado de:

3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

03. Calcular el coeciente de:

2 2 5a 3b 3 2b(x,y)M (a b )x y

− += +

Sabiendo que GA=16 y GR(y)=7

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04. Dado el monomio:

2a 2 3b(x,y)M (a b)x y

−= +

Hallar “ab”, si se sabe que:

Coeciente (M)=GR(x) y GA=27

a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32

05. Se sabe que el grado absoluto delpolinomio “F” es 11, hallar el valor de “n”:

3n 1 n 2n 2 2n n 3 3n(x,y)F x y x y x y

− − −= − +

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

06. En el siguiente polinomio:

a 3 b 2 a 2 b 3(x,y)P 7x y 5x y

+ − + −= +

Hallar “a+b” sabiendo que: GA=12

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

07. Si el polinomio P(x) es completo,

hallar “n”:

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4

08. Hallar (m+n+p), si se sabe que elpolinomio:

m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x

− − + − += + +

Es completo y ordenado descenden-temente.

a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09. Si el polinomio:

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+

Es completo, hallar (2m-3n)

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

10. Sabiendo que el polinomio es homo-géneo. Calcular “mn” :

3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

− + +− +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Á L G E B R A


11. El grado del polinomio homogéneoes 10:

3 a 2 b 6 cax y z bx y z cxyz+ −

Hallar la suma de sus coecientes

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12. Dado el polinomio homogéneo:

3 5 m n 4p(x,y)P x y 3x y 7y= − +

Se sabe que: GR(x) = 6. Hallar el valor de (m+n+p)

a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4

13. Calcular (a2 + b2) Si:

a(x 2) b(x 3) 2x 21− + + ≡ +

a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38

14. Determinar “m2 – n2” en la siguiente

identidad de polinomios:

m(x 2005) n(x 2003) x 2007− + − ≡ −a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15. Hallar “mn” si el polinomio es idénti-camente nulo:

2 2 2(m n 18)xy 2x y (n m)x y 0+ − + + − ≡

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16. Si: P(x+1) = P(x) + x ; P(2) = 5

Calcular el valor de: P(4)

a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12

17. Si P(2x-3) = x+5; Calcular el valor deP(4x+1)

a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18. Sabiendo que:

2 3 2n(x)P 1 x x x ... x= + + + + +

Calcular: S=P (1)+P (-1) -2n

a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4

19. Si: P(x) = ax+b ; Q(x) = bx+a

Además. P(3)=3 y Q(1)=1

Calcular el valor de: P(Q(2007))

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20. Sabiendo que:

(x)P 1 2 3 4 ... x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

−

−

=⋅

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Á L G E B R A


1. CUADRADO DE UN BINOMIO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2. CUBO DE UN BINOMIO(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

3. CUADRADO DE UN TRINOMIO

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

4. CUBO DE UN TRINOMIO

(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

5. MULTIPLICACIÓN DE 2 BINOMIOSCON TÉRMINOS COMUNES

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab

6. MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIOS

SUMA POR SU DIFERENCIA

(a+b)(a–b) = a2 – b2

7. MULTIPLICACIONES DE UN

BINOMIO POR TRINOMIO

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2

+ ab + b2

) = a3

– b3

8. IDENTIDADES DE LEGENDRE

(x + a)2 + (x – a)2 = 2(x2 + a2)

(x + a)2 – (x – a)2 = 4xa

9. IDENTIDAD DE ARGAN'D

(x2m + xmyn+y2n)(x2m – xmyn + y2n) =

= x4m + x2my2n + y4n

10. IDENTIDAD DE GAUSS

a3 + b3 + c3 – 3abc ≡

≡(a + b + c)(a2+b2+c2 –ab–ac – bc)

11. IDENTIDAD CONDICIONAL

Si: a + b + c = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

⇒ a2 + b2 + c2 = –2(ab+bc+ac)

Productos Notables

UNIDAD 3



Á L G E B R A


ProBlemas01. Si: a+b=7 y ab=4.

Calcular el valor de “a2 + b2 ”

a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02. Si: a-b=3 y ab=2.

Indicar el valor de “a3 – b3 “

a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03. Si: a-b=3 y ab=1.

Calcular el valor de (a+b)2

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04. Si: x2+3x+1=0

Determinar el valor de: x4 + x-4a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05. Si: x2+1= 6 x

Hallar el valor de: x6 + x-6

a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06. Si: a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07. Si: 1 1 4

x y x y+ =

+

Encontrar el valor de:

2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08. Si:a b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= −

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5

09. Se sabe que: a b 7b a+ =

Indicar el valor de:

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10. Si: a=b+1

Reducir la expresión:

2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Á L G E B R A


11. Evaluar la expresión:

2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12. Si: a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140

13. Si: a,b,c∈R; además

a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de:

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8

14. Sabiendo que: a,b,c∈R; tal que:

(a+b+c)2=3(ab+bc+ac)

Determine el valor de:

8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15. Si: a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16. Si: a+b+c=0

Calcular el valor de:2 2 2

(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2

17. Si: a 2b a 2b 4b+ + − =Calcule el valor de:

a 2b a 2b+ − −

a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18. Sabiendo que:

2 2 2 2 2m n m n n+ − − =


2 2 2 2m n m n+ + −

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19. Si: x2+y2+17=2x+8y

Calcular el valor de: “xy”

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

20. Sabiendo que: x2+y2=2y-6x-10

Indicar el valor de: x4+y4

a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Á L G E B R A


División AlgebraicaOperación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos poli-

nomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios

denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la re-

lación:

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Donde: D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor

q(x) : Cociente

r(x) : Residuo o Resto

ProPIedades de la dIvIsIón

Gdo. (D(x)) ≥ Gdo. (d(x))Gdo. (q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo.(d(x))

Gdo. (r(x)) < Gdo. (d(x))

Además:

Máximo Gdo. (r(x)) = Gdo. (d(x)) – 1

Principales metodos de división

metodo de WIllIam g. horner

Pasos a seguir:

1. Coeciente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable,

completo o completado.

2. Coecientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable,

completo o completado, con signo contrario salvo el primero.

3. Coecientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los ele-

mentos de cada columna entre el primer coeciente del divisor. Cadacoeciente del cociente se multiplica por los demás coecientes del divisor

División de polinomios

UNIDAD 4



Á L G E B R A


2

1

3 4

divisorialínea

para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma

horizontal.

4. Coecientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas nales

una vez obtenidos todos los coecientes del cociente.

esquema general

oBservacIón:La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte nal del

dividendo como grado del divisor.

Método de Paolo RuniSe utiliza cuando el divisor es de primer grado.

Pasos a seguir:

1. Coecientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o com-pletado, con respecto a una variable.

2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.

3. Coecientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, lue-

go que el coeciente anterior se ha multiplicado por (2) y colocado en la

siguiente columna.

4. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.



Á L G E B R A


esquema general

2 1

3 4

oBservacIón:

Si el coeciente principal del divisor es diferente de la unidad, el cocienteobtenido se deberá dividir entre este valor.

Teorema del restoSe utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al

divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada

en el dividendo.

oBservacIón:Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del poli-

nomio obtenido sea menor que el grado del divisor.



Á L G E B R A


ProBlemas1. Dividir:

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + − +

+ +

Indicando el resto.

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1

2. Indicar el término independiente delcociente en la división:

4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ − + −

− +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5

3. Dividir: Hallar (p+q) si la división:

x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ − + +

+ +

( )

Es exacta:

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8

4. Calcular “a+b” si la división es exacta:

4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

− + −

− +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45

5. Determinar “a+b” si la división:

4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

− + + −

− +Deja como resto x+8.

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

6. Dividir: Hallar (a + b) si la división:

x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

− + − + + +

+ +

( )

Deja por resto: -27x - 11

a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2

7. Determinar la suma de coecientes del

cociente de la siguiente división:

5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2

− + − + −−

a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

8. Hallar el resto en la siguiente división:

5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ − +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10

9. Calcular la suma de coecientes del

cociente al dividir:

13

2586 23

−++−

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Hallar el resto en:

15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

− − + +−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Á L G E B R A


11. Calcular el resto de la siguiente di-visión:

4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ − + −

−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

12. Hallar el resto al dividir:

23

7222222 356

+−

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

13. El residuo de la división:

6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

− − + −

+ −

Es igual a: (-16)

Cuando “y” es igual a:

a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3

14. Determinar (a+b) para que el poli-nomio:

P(x) = x4 – 3x3 + ax + b

Sea divisible por (x2 – 2x + 4)

a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16

15. Calcular “a”:

3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

− + + − + +

−

Si el resto de la división es “2a - 4”

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16. Hallar el resto:

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ −

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257

17. Calcular el resto:

2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2

+ − + − + −

+ −

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5

18. Hallar el resto en:

( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15

− − − − −

+ − +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25

19. Calcular el resto en la división:

10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30

− + − +− +

a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5

20. Calcular el resto en la división:

16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x x

x 3x 3x 2+ + + + +

+ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Á L G E B R A


ConceptoSon aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad

de efectuar la operación de división.

condIcIones que deBen cumPlIr: m mx a

x a

±±

Donde: x ; a bases iguales

m ∈ Z+ ; m ≥ 2

casos

1. Si: R = 0 ⇒ m mx a

x a

±±

= q(x) ⇒ cociente notable

2. Si: R ≠ 0 ⇒ m mx a

x a

±± = q(x) +

ax

)x(R

± ⇒ cociente completo

También según la combinación de signos se puede analizar 3 casos, dando

en cada caso un C.N.

Deducción de los C.N.

División indicada Cocientes Notables

según su forma n ∈ z +

ax

ax nn

−−

= xn–1 + xn–2a + xn–3a2 + ... +an–1 ; ∀ n

ax

ax nn

++

= xn–1 –xn–2a+xn–3a2 – ... +an–1 ; ∀ n (n: impar)

ax

ax nn

+

−= xn–1 – xn–2a + xn–3a2 – ... – an–1 ; ∀ n (n: par)

Cocientes Notables

UNIDAD 5



Á L G E B R A


condIcIón necesarIa y suFIcIente Para oBtener un c.n.

De:qp

nm

ax

ax

±

±se debe cumplir: r

q

n

p

m == ; r ∈ Z+

Además: r → indica el número de términos de q(x).

Fórmula del término general de un C.N.Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualqiera en el desarrollo

de los C.N., sin necesidad de conocer los demás.

De la división:

ax

ax nn

±±

un término de lugar k, (término cualquiera de q(x)); viene dado por la fórmula:1kkn

signo

taxk −−= →

Donde:

x → 1er. término del divisor.

a → 2do. término del divisor

n → número de términos de q(x)

Reglas para determinar el signoa) Si d(x) = x – a → todos los términos del C.N. son (+)

b) Si d(x) = x + a → se tiene:

i) Términos del lugar impar son (+)

ii) Términos del lugar par son (–)

Además:

kn1k

signo

taxk −−= ←

tk → término de lugar k contado del término nal.



Á L G E B R A


ProBlemas1. Determinar el valor de “m” en el co-

ciente notable exacto:

5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

− −

− −

−

− A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12

2. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del

cociente notable:

160 280

4 7

x y

x y

−

−

el término en grado absoluto 252?

A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3. Si:

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

− −

+

+Es un cociente notable. Hallar el valor de “n”

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

4. Si la expresión:13

623

−−

++

−−

mm

mm

y x

y x

Es un cociente notable. Hallar el nú-mero de términos.

A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7

5. Sabiendo que: n2 – 31n + 234 = 0;

hallar el número de términos de lasiguiente división exacta:

n 1 n

2

x y y

x y y

− −

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15

6. Hallar el valor numérico del términode lugar 29 del cociente notable

( )36 36

x 3 – x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6

7. El número de términos de:

a b

3 5

x – y

x – y

es ocho; ¿Cuál es el quinto término? A) x20y9 B) x8y18 C) x9y20

D) x18y8 E) x12y20

8. El cociente deba

nm

y x

y x

+−

tiene 12términos.

Si el cuarto término contiene un x degrado 16 y a + b = 5, hallar “n”

A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48

9. Calcular (n-m), si el décimo séptimo

término de: 75 y x

y x nm

−−

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50

10. Hallar el coeciente del tercer término

del desarrollo de:

12

3

x – 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Á L G E B R A


11. Hallar el valor de (m + n), si el t60 deldesarrollo de:

148m 296n

2m 4n

x – y

x – y

es x140 y1416, si el cociente es no-table

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

12. Reducir aplicando cocientes notables,indicando el número de términos del

cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1

+ + + …… + +

+ + + …… + + A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

13. En el cociente notable:

3m m

3 1

x – x

x – x

−

−

El cuarto término de su desarrollo es in-dependiente de x. Halle el valor de “m”

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

14. Hallar el valor numérico del cuarto

término en el desarrollo del cocientenotable, para x = 1

( ) ( )6 62x 1 – x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72

15. Hallar el término idéntico en el desa-

rrollo de los cocientes notables:

75 100

3 4

x – y

x – y

y 102 68

3 2

x – y

x – y A) x45y36 B) xy C) xy4

D) x36y45 E) xy2

16. Indicar cuántos términos tiene el si-guiente desarrollo de:

n p p

n

x – y

x y−Si los grados absolutos de todos lostérminos van disminuyendo de 3 en3, y si además el t40 de su desarrollotiene G.A.= 87

A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57

17. Calcular: E = a + b + c ; si el término

central del desarrollo52 y x

y x ba

−+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392D) 393 E) 394

18. Hallar el número de términos delsiguiente cociente notable

……+ x195y140 – x190y147 +……..

A) 7 B) 21 C) 30D) 42 E) 60

CLAVES

1. D 2. D 3. C 4. D 5. B

6. A 7. C 8. B 9. C 10. A

11. E 12. D 13. D 14. E 15. A

16. D 17. B 18. E



Á L G E B R A


Es el proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión

algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más

factores algebraicos.

FACTOR O DIVISOR.- Un polinomio no constante de otro cuando lo divide

exactamente, por lo cual también es llamado divisor.FACTOR PRIMO RACIONAL.– Llamamos así a aquel polinomio que no se

puede descomponer en otros factores Racionales dentro del mismo cam-

po.

Ejemplo:

El proceso:

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +ab ; es una multiplicación

En cambio el proceso:

x2 + (a+b)x +ab = (x+a)(x+b) ; es una Factorización

Donde: (x+a),(x+b) son factores primos

Métodos de actorización

I. método de Factor común – agruPacIón

Factor Común MonomioConsiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual

se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente. Ejemplo:Factorizar: E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2

El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los tér-

minos entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luego

de dicho proceso se tendrá:

E = x2y2(7x3y3 – 2xy + 1)

Factores Primos

Factorización

UNIDAD 6

Factores primos:xy

x3y3 – 2xy + 1



Á L G E B R A


Factor común polinomioSe usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más

términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los

siguientes criterios:

– De acuerdo al número de términos:Ejm: Si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

– De acuerdo a los coecientes de los términos:

Ejm: Factorizar:

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12

Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2

en 2 y en forma ordenada.

En cada uno de los grupos:E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)

Factor Común Polinomio (x4+y4). Ahora dividimos cada agrupación entre el

factor común polinomio.

E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo

Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tienen

un único divisor que es si mismo. Esta expresión tendrá 2 factores primos.

II. método de las IdentIdades

Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.

Recordemos los siguientes:

A) trInomIo cuadrado PerFecto (T.C.P.)

A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2

Observación:El trinomio o cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado,

se caracteriza porque el doble del producto de la raíz de dos de sus términos

es igual al tercer término.

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.

Ejemplo:

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego, es T.C.P.



Á L G E B R A


B) dIFerencIa de cuadrados

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

Ejemplos: (1)

Factorizar: x4 – 4b2

Solución:

Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b)(x2 – 2b)

Ejemplo: (2)

Factorizar: x2 + 2xy +y2 – z6

Solución:

x2 + 2xy + y2 – z6 → (x + y)2 – (z3)2

= (x + y + z3)(x + y – z3)

C) suma o dIFerencIa de cuBos:

A3 ± B3 = (A ± B) (A2 ∈ AB + B2)Ejemplo:

Factorizar: 27x3 –8

Solución: (3x)3 – 23 = (3x – 2)(9x2+6x+4)

III. asPa sImPle

Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aquéllas que adopten esa

forma:

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo:

Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab – 28

(a+b)2 + 3(a+b) – 28

a+b 7a+b –4

Iv. asPa doBle

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax2+Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F

Ejemplo 1:

Factorizar:

20x2 + 22yx + 6y2 – 33x – 17y + 75x 3y –7

4x 2y –1

Luego: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab – 28 = (a+b+7)(a+b–4)



Á L G E B R A


La expresión factorizada es:

(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)

Ejemplo 2 :

Factorizar:

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z

La expresión factorizada es:

(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)

v. asPa doBle esPecIal

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E.

REGLA:1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente;

se calcula la suma del producto en aspa.

2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el

término central. La expresión agregada es la que se descompone para

comprobar los otros terminos del polinomio.Ejemplo (1):

Factorizar:

P (x) = x4 + 5x3 + 4x2 – x – 15

x2 3x –5

x2 2x 3

– 2x2

(4x2) – (–2x2) = 6x2

∴ P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3)

vI. método de los dIvIsores BInomIos

Con este método se busca uno o más factores binomios primos.



Á L G E B R A


consIderacIones:1. Si P(x0) = 0 ; entonces: (x–x0) es un factor primo de P(x).

2. Los demás factores se encuentran al efectuar:0xx

)x(P

−3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

=Posiblesceros P(x)dePrincipalCoef.Div isores

P(x)deindep.T.Div isoresx0 =

Ejm.: Factorizar:

P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6

Posibles ceros =1deDivisor 6Divisores±

Posibles ceros = ± {1, 2, 3, 6}

Probando con uno de ellos; para x = 1 por Rufni.

0651

6511

61161

−

−↓

−−

R = 0 lo que signica que x = 1 es un cero luego un factor es (x-1).

Luego: P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3x -2

∴ P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Á L G E B R A


ProBlemas1. Factorizar e indicar la suma de sus

coecientes de uno de sus factores

primos.

x6 – x4 + 2x2 – 1

a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5

2. Factorizar e indicar un factor

Primo.

b2 + c2 – a2 – d2 +2ad +2bc

a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)

c) (a-b-c+d) d) (a+b+c+d)

e) ( a-b+c+d )

3. Hallar un factor primo al factorizar.

abx2 + ( a2 + b2)x + ab

a) ax+b b) ax-b c) b-ax

d) bx-a e) x+a

4. Factorizar e indicar la suma de los co-

ecientes de los factores primos.

3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12

5. Factorizar e hallar el factor primo que

se repite.F(x) = x4 – 4x2- 12x – 5

a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3

6. factorizar e indicar la suma de los co-

ecientes de un factor primo,

( x – y )m + 2m + (y – x)n –zn

a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4

7. Factorizar e indicar la suma de los coe-cientes del factor primo cuadrático

x5 + x + 1.

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5

8. Factorizar e indicar el número de fac-tores primos.

F(x) = x3 -11x2 +31x – 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5

9. Uno de los factores de:

x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x3-x+4

10. Uno de los factores de:

x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3

11. Factorizar e indicar la suma de susfactores primos.

x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2

12. Factorizar e indicar el término inde-pendiente de uno de sus factoresprimos.

F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Señale un factor primox(x-2) + y(y-2) +2xy +1

a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1

14. Factorizar e indicar la suma de los tér-minos independientes de los factoresprimos.

x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4



Á L G E B R A


15. Factorizar e indicar el término

Independiente de un factor primo.

M = -a2-b2+c2+2a-2b+ 2c+2ab

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Factorizar

x2 – m2+2xz + z2

calcular uno de sus términos de susfactores primos.

a.) 3x b) x c)2z d)xz e) m

17. Factorizar e indicar el producto delos términos independientes de losfactores primos.

(x2+x+1)

2+3x

2+3x -15

a) 14 b)-12 c) 14 d) 15 e )-15

18 Factorizar e indicar un factor primo.

x3 + 5x2 -2x – 24

a) x+2 b)x-4 c)x-3

d) x+3 e)x+5

19. Factorizar e indicar el producto de

los términos de uno de sus factoresprimos

16x4 + 31x2 + 25

a) 60x3 b) 30x3 c) 20x3

d)10x3 e) 40x3

CLAVES

1A 2A 3A 4A 5B 6A 7A

8C 9D 10B 11A 12 13B 14A

15B 16E 17C 18D 19A



Á L G E B R A


Máximo Común Divisor M.C.D.El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene

la característica de estar conteido en cada uno de los polinomios. Se obtie-

ne factorizando los polinomios y viene expresado por la multilicación de los

factores primos comunes afectados de sus menores exponentes.

Mínimo Común Múltiplo M.C.M.El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro polinomios que tiene

la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene facto-

rizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores

primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

Ejm. Hallar el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios:

A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3

Rpta.: Como ya están factorizados el:

M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)2 (x–2)2

M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)6 (x–2)4 (x+3)4 (x+7)6 (x+5)6

ProPIedad

Sólo para 2 polinomios: A(x), B(x).

Se cumple:

M.C.D.(A,B) · M.C.M.(A,B) = A(x) · B(x)

M.C.D. – M.C.M. – Fracciones

UNIDAD 7



Á L G E B R A


Fracciones Algebraicas

I. FraccIón algeBraIca

Una fracción algebraica, se obtiene como la división indicada de dos

polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomios no constante.

Denotado: )x(D)x(N

Donde:

N(x): polinomio numerador (no nulo)

D(x): polinomio denominador (no constante)

Ejm.:

2x

1x2

−

+;

2x

1x7

4

−

+;

4x

48x2x2

−

++

II. Signos de una raccióna) Signo del Numerador

b) Signo del Denominador

c) Signo de la Fracción propiamente dicha.

yxF

+++=

Si intercambiamos un par de signos por un mismo signo el valor de la fracciónno se altera en el ejemplo anterior, es decir:

yx

yx

yx

yxF

−+−=

−−+=

+−−=

+++=

También:

B A

B A

B A −=−=−

Ejm: Sumar: x ≠ y

xyy

yxxS

−+

−=

yxx−

= –)yx(

y−

yxyx

S−−= = 1



Á L G E B R A


III. Regla para simplifcar raccionesDebemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar

los factores comunes.

Ejm:

Simplicar:

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

−+−

−−=

Solución:

Factorizando y Simplicando:

)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(

F−−−−−+=

2x3x

−+=

IV. Operaciones con racciones

1. adIcIón o sustraccIón

Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.

Se presentan los siguientes casos:

A) Para fracciones homogénea:

Ejm.: 2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+−=+

++

−+

B) Para fracciones heterogéneas

Ejm: bdf bdebfcadf

f e

dc

ba −+=−+

C) Para 2 fracciones.

Regla practica: ywyzxw

wz

yx +=+

2. multIPlIcacIón:En este caso se multiplican numeradores entre si y los mismo se hace

con los denominadores. Debe tenerse en cuenta que antes de efectuar laoperación puede simplicarse cualquier numerador con cualquier denomina-

dor (siempre que sean iguales).

Ejm: f dbeca

f e

dc

ba

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

−+=

−+⋅−⋅

−+⋅



Á L G E B R A


3. dIvIsIón

En este caso, se invierte la segunda Fracción y luego se efectúa como

una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremos entre

el producto de medios.

Ejm: cd

ba

dc

ba

⋅=÷ ... invirtiendo

bcad

dcba

=

V. Fracción independiente o Cte.:

F(x,y) = 211

21

22

ycxybxacybxyax

++++

Es independiente de x e y.

⇒ kcc

bb

aa

111=== ; k → cte.



Á L G E B R A


ProBlemas1. Hallar el M.C.D. de:

P(x) = x3 – 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)x–1

D) x2 –x+1 E) x2 –1

2. Hallar el número de factores primosen que se descompone el M.C.M. delos polinomios

P(x) = x2 – 3x + 2

Q(x) = x2 – 5x + 6

R(x) = x2 – 4x + 3

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. El M.C.D. de:

x4 + 2x3 – px2 + qx + r

x3 + 7x2 – qx + 20

es (x2+3x+5), hallar: pqr.

A) –340 B) 340 C) 680

D) –680 E) 170

4. Hallar el valor de E en la expresión:

b a x

b a x

b x

a x E

2

23

−++−

−

−−

=

Para:2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (a–b)3 E) 0

5. Simplicar:

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

ab x y xy a b 4abxyM

a axy bx by b xy

+ + + −=

+ + +

A) ax+by B) ax-by C)ax by

ax by

+

−D) ax byax by

−+

E) 1

6. Efectuar el siguiente producto:

1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+B) x

1x +C)

x

11x +

D)x

1E)

x

2

7. Reducir:2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ −= +−

A) a/b B) –b/a C) a/bD) b/a E) 1

8. Efectuar:

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

−−

++

−+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9. Efectuar:

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x

x 7x 6x 8 x 10x 21− + + − += ÷

−− + − +

A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10. Si:x y z w

10x y z w

+ −+ =− +


wz

z

yx

xE

++

−=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6

11. Hallar el M.C.D de los polinomios:

P(x) = x3 + x2 – 4x – 4

Q(x) = x3

+ 3x2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Á L G E B R A


12. Si los polinomios:

P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n

Rx) = 2mx3 + 2nx2 + px – q

Admiten como M.C.D. a 2x2 + 2x + 1,hallar un divisor de R(x).

A) x2+2x–1 B) x-3 C) x2+x+1D) 3x-1 E) 2x+1

13. Calcular: (A+B) en la identidad:

3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 −

++

≡−+

−

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14. Simplicar:

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

−++

−++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15. Si se cumple que:

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular: ∫ +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

16. Hallar la suma de los términos delM.C.D. de los polinomios:

P(x,y) = x3 –xy2 + x2y – y3

Q(x,y) = x3 – xy2 – x2y + y3

R(x,y) = x4 – 2x2y2 + y4

A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17. Efectuar:

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

− −

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

18. El producto de dos polinomios es:

(x6 – 2x3 + 1) y e l coc ien-te de su M.C.M. y su M.C.D. es(x–1)2. Hallar el número de términosdel M.C.D.

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

19. Hallar la suma de coecientes del

M.C.M. de:

P(x) = x4 – 11x2 – 18x – 8

Q(x) = x4 – 1

R(x) = x3 – 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

20. Si la fracción:

3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1);

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

− + + + − +

− + + + − +

Admite simplificación. ¿Cuál es eldenominador que se obtiene si seefectúa dicha simplicación?

A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D



Á L G E B R A


deFInIcIón

Dado un número entero positivo "n", se dene su factorial al producto de los

factores consecutivos desde la unidad hasta dicho número propuesto.

notacIónExisten dos notaciones: n! y n

Ejemplos:

1! = 1 = 1

2! = 2 = 1 × 2 = 2

3! = 3 = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 4 = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

En general:

n! = n = 1 × 2 × 3 × ... × n n ∈ N

Coefciente Binómico

concePto

Es un operador matemático que se utiliza para representar los coecientes

que se obtienen al desarrollar la potencia de un binomio.

notacIón

Un coeciente binómico se representa (mn ) que se lee: "coeciente binómico

m sobre n".

elementos

1) Indice superior o base.- es el número que se ha representado con "m"

y que tiene valor arbitrario.

2) Indice inferior u orden.- es el número entero y positivo, designado con"n", que indica el total de factores que hay en el desarrollo.

Binomio de Newton

UNIDAD 8



Á L G E B R A


Desarrollo general del Coefciente Binomico

1)...2n)(1n(n)1nm)...(2m)(1m(m

)(mn −−+−−−=

Ejemplo:

79212345

89101112)(125 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

Propiedades del Coefciente Binomico1) Si el índice es cero, el coeciente vale uno.

1m0 =

2) Si el índice inferior es la unidad, el coeciente es igual al índice supe-

rior.

mm1 =

3) Suma de coecientes binómicos:

=

+

+

++1m1n

m1n

mn

4) Las propiedades siguiente se cumplen cuando los elementos son números

naturales, debiendo ser la base mayor o igual que el orden. Estos opera-

dores también se les denomina números combinatorios y se les representapor:

mnC )(mn=

a))!nm(!n

!m)(C mn

mn −

==

b) mnm

mn CC −= )()(ó m

nmmn −=

c) mnC 1)(mm ==

d) mnC nmsi;0)(mn <==

Binomio de NewtonconcePto

Se dá este nombre a la potencia indicada de un binomio.

Ejemplo:

(a+b)5 ; (a–b) –2 ; (1+x) –1/3



Á L G E B R A


desarrollo del BInomIo a+bn

Regla práctica.- Un coeciente cualquiera del desarrollo se obtiene multipli-cando el coeciente anterior al que deseamos calcular, por el exponente de

"a" y luego dividiendo entre el exponente de "b" aumentado en la unidad.

Ejemplo:(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+b) –2 = a –2 – 2a –3b + 3a –4b2 – 4a –5b3 + ...

Observación:

Si el exponente es entero negativo o fraccionario el desarrollo admite innidad

de términos.

térmIno general del desarrollo de a+bn:

kknnk1k baT −

+

=

en donde: (k+1) es la posición del término.

ProPIedades del desarrollo de a+bn , n ∈ Z+

1. El número de términos que resultan es: n + 1

2. Los signos de los términos se denen del esquema:

(a+b)n : +, +, +, + , ... , +

(a–b)n : +, –, +, –, + ..., ±

(–a–b)n : +++++

–,... –, –, –,:impar n Si

...,,,,,:par n Si

3. La suma de los coecientes del desarrollo de:

(α a + b β)n es S = (α + β)n (en el particular a = b = 1) resulta S = 2n)

4. La suma de los exponentes del desarrollo de: (aα + bβ)n es:

2)1n(n)(

S .exp+β+α=

5. La posición del término central o medio del desarrollo se calculará con las

relaciones:

a) Si n par: 22n +

b) Si n impar:2

1n + ;2

3n +



Á L G E B R A


ProBlemas1. Hallar el valor de “n”

(2n 1)!(2n)!99 (2n 2)

(2n 1)! (2n)!

+= −

+ −

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2. Hallar x en:

(2x-1)!=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3. Siendo:

10! 42a!b! =

Calcular: ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4. Calcular (n +m)

Si:8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5. Dado el binomio:

2 19

9

12

(x y) Calcular :

T?

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42

6. Calcular el valor de “n” para que eldécimo Término del desarrollo de:

n3 15

2

1x , contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

7. Dado el binomio (x + a)4.

Calcular:42 T.T

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4e) 4xa

8. En el desarrollo del binomio

(x5+x3) 10

Calcular el séptimo término.

a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32

9. ¿Qué lugar ocupa el término cuyasuma de exponentes de x e y sea 48

en el desarrollo del binomio.

(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14

10. Dado el binomion14 )xx( −+ .

Hallar “n” para que el 5to término.

Resulte de1er grado.

a) 12 b) 16c) 18 d) 20

e) 24

11. Calcular el quinto términosdel desarrollo de:

8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Á L G E B R A


e) 19

12. Indicar el término independientede “x” en el desarrollo de:

92

2 5,05,0

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112

13. Indicar el valor de “m” en (x7+ ym) 25 si el término de lugar 14 es de laforma:

84 39

x y .αa) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14. Dado el binomio

n

2x

x

1

+ el

término de lugar 17 es de la forman 2

17 16T C x .=

Calcular n.

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

15. Si en el desarrollo del binomio(3x3 + 2x-1y2) n existe un término cu-yas potencias de “x” e “y” son respec-tivamente 5 y 8 encontrar el númerode términos del desarrollo.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

16. ¿Qué lugar ocupa el Término que

tiene como grado absoluto 17 ; en eldesarrollo de:

2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6

17. Si los coecientes de los Términos

3ro y 2do del desarrollo de (a+b)n Suman 78.

Calcular el número de términos del

desarrollo.a) 7 b) 8 c) 9

d) 13 e) 6

18. Hallar (n+k1,) si T3= 405XK1 al d e -sarrollar :

n2 )3x( −

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26

19. Halla el valor de “n”

1 + 2 2 + 3 3 + ... + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Á L G E B R A


Recordar :

Indice →R An =

← Raíz

↓Radicando

transFormacIon de radIcales doBles a sImPles

Regla Práctica:

baab2)ba( ±=±+

Donde: (a > b)

Ejemplos:

Transformar: 23625 +=+ ↑↑

3+2 3·2

Fórmula general de transFormacIón

2C A

2C AB A −±+=±

Donde: B AC 2 −= ; C ∈Q

Ejemplo:

Transformar: 608 −

Solución: A = 8 ; B = 60

2608C 2 =−=

Luego: 2 282 28608 −−+=−

35608 −=−

Radicación

UNIDAD 9



Á L G E B R A


RacionalizaciónracIonalIzacIón

Llamamos así a la transformación de una expresión irracional en otra que sea

completamente racional haciendo uso para ello del factor racionalizante.

Factor racIonalIzante (F.r.)Llamamos así a aquella expresion irracional tal que al multiplicar a otra que

también es irracional la convierte en una expresión racional.

casos:

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn; A A1

Racional

Expresión

)FR(

anteRacionalizFactor

Irracional

Expresión

3 233 233

3 233 233

n knn k

−++−

++−+

−±

>−

NOTA:

Por lo general en la mayoría de los ejercicios o problemas lo que se racionaliza

son los denominadores, esto no necesariamente es así pudiendo racionali-

zarse también numeradores.



Á L G E B R A


ProBlemas

1. Simplificar:2

72 50 8+ −se ob-

tiene:

a) 1/3 b) 1/9 c) 2/9d) 4/9 e) 18/99

2. Simplicar:

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. Calcular:

79 30 6 3 6+ −

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4. Hallar:

28 16 3 2

3

+ +

a) 2 12− b) 322 −

c) 12 d) 2 12+

e)342 +

5. Hallar: “x”

16 2 48 2(x 1)− = −

a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

6. Hallar “M”:

61 24 5 2 5M

21 8 5

+ −=+

a) -1 b) 1/2 c) 1/4

d) 1 e) 2

7. Hallar:

3 2 2 2

2

+ −

a) 1/2 b) ¼ c) 1/3

d) 2 e) 1

8. Resolver:

2 11 6 2 9 4 2

10

+ − +

a) 2 b) 1 c) 1/3

d) ½ e) ¼

9. Determinar “M”:

261183M −++=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

10. Determinar:

39 12 3 4 2 3− + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Á L G E B R A


11. Hallar “n”:

(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8

12. La expresión:

2

2 2

b

a b a+ +es:

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2

b a b− − d) ab a+

e)2 2

a b a+ −

13. Racionalizar:3

5 2−

a) 5 2− b)5 2

2

−c)

5 2

3

−

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

−

14.. Efectuar:

3 2 7 4 3

2 3 3 2

+ +÷− −

a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2−

d) 2 3− e) 3 1−

15. Racionalizar:

3 3

4

9 3 1− +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16. Racionalizar:

x 1 x 1

x 1 x 1

− − +

− + +

a)2

x 1 1− + b)2

x 1 x+ +

c)2

x 1 x− + d) x 1 x 1+ − −

e)2

x 1 x− −

17. Simplicar:

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + − + − +

a) 2 b) ½ c) 1/4d) 1/3 e) 4

18.

Si:2

28 (n 1) 3 5 n− + = −

a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

19. Hallar “E”:

251 14 2 29 10 2 E E+ + − = −

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

20. El valor de la suma del término

Racional se obtiene al efectuar:

3

3

16 4 8 2

4 2

−−

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c



Á L G E B R A


unIdad ImagInarIa

El número complejo (0;1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación

i = (0;i).

teoremasi2 = –1 ; i = (0;i) ∀ y ∈ R (0;y) = yi

Según la notación de Gauss: i1 =−

PotencIas enteras de la unIdad ImagInarIa

Estudiaremos el comportamiento del número in; ∀ n∈ Z; teniendo en cuentala siguiente denición:

i0

= 1 ; i1

= ii1 = i

i2 = –1

i3 = i2 · i = –i

i4 = i2 · i2 = (–1)(–1) = 1

i5 = i4 · i = i

i6 = i4 · i2 = –1

i7 = i4 · i3 = –i

i8 = i4 · i4 = 1

ProPIedades

Se observa principalmente que:

i4 = 1 ; i8 = 1 ; i12 = 1 ; etc.

Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un múltiplo de cuatro es

igual a la unidad.

En general: 4i±

= 1

Números Complejos

UNIDAD 10



Á L G E B R A


Luego deducimos que:

ii 14 =+

; 1i 24 −=+

; ii 34 −=+

Generalizando:

kk4 ii =+

; ∀ k ∈ Z

Números ComplejosdeFInIcIón

Se llama número complejo a todo par ordenado (x,y) de componentes rea-

les.

notacIón

Z = x + yi o Z = (x,y)

El conjunto cumple con todos los axiomas de R con excepción de la relación

de orden.

Donde:

x : se le llama parte real de Z (Re(Z)=x)

y : se le llama parte imaginaria de Z (im(Z)=y)

i : es la unidad imaginaria establecido por: 1ii12

−=⇒=−Z : es la variable compleja

x+yi : es el número complejo

(x;y): es el número o par complejo

Tipos de números complejosLuego de algunas deniciones necesarias tenemos los tipos de complejos:

1. comPlejo real o Puramente real

Es aquel número complejo que carece de la parte imaginaria; es decir

su parte imaginaria es cero.

Notación:

z = (x,0) = x ; ∀ x ∈ R

2. comPlejo ImagInarIo Puro

Es aquel número complejo que carece de la parte real; es decir su parte

real es cero; además su parte imaginaria siempre es diferente de cero.

Notación:

z = (0;y) = yi ; ∀ y ∈ R – {0}



Á L G E B R A


3. comPlejo nulo

Es aquel número complejo que presenta la parte real e imaginaria igual

al número cero; es decir las dos componentes son nulas.

Notación:

z = (0; 0)

deFInIcIones

1. Dado el complejo z = (x,y) = x+yi se dene el conjugado de z denotado

por z; tal que:

z = (x; –y) = x – yi

2. Dado el complejo z = (x;y) = x+yi se dene el opuesto de z denotado por

z*; tal que:

z* = (–x; –y) = –x – yi

Ejemplo I

Sea: z = (4; –5) ⇒

−=

=−

)5;4(*z

)5;4(z

Álgebra de los números complejosSe realizan mediante los axiomas del conjunto R.

Ejemplo:

Adición:

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustracción:

(5+7i) – (9+2i) = (5–9) + (7–2)i = –4 + 5i

Multiplicación:

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = –25+50i

División:

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i

− + −+ −+ = = = + + + − −

Raíz cuadrada:

2

x2

xyix

−ρ±+ρ=+ i



Á L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(x,y)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ

Elementos geométricos del Número ComplejoSi: Z = x + yi es un complejo, se denen:

1º) Módulo de un número complejo:

22

yx|Z| +==ρ ; x, y ∈ R |Z| ≥ 0

2º) Argumento de un número complejo:

θ

=xy

tgarc ; x ≠ 0 α ∈ R

3º) Representación geométrica.

Todo número complejo se puede representar por puntos en el plano

llamado Plano Complejo o Diagrama de Argand.

Sea: Z = x+yi ; x ^ y ∈ R

Forma Polar o trIgonométrIca de un comPlejo

z = ρ(Cosθ+iSenθ) = ρCisθ

Forma exPonencIal de un comPlejo

z = ρeθi



Á L G E B R A


ProBlemas

01. Efectuar:

1 2 3 4 2009E i i i i ... i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) –i e) 0

02. Halle: Re(Z)+Im(Z), sabiendo que:

2 6 32

Z (1 i) i i= + + −

a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03. Calcular 16 16

G (1 i) (1 i)= + + −

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0

04. Calcular: a + b ; si:

4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + −

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05. Calcular:

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ −= + − +

a) 2i b) -2i c) i

d) –i e) 0

06. Calcular:

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+−

+−−

a) 1 b) -1 c) i

d) –i e) 0

07. Reducir:

E 2 i 2i= −

a) 1+i b) 1-i c) i

d) –i e) 0

08. Simplicar:

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i ... i= + + + +

a) 12i b) 13i c) 14i

d) –i e) 0

09. Reducir:

2 5M

1 i 2 i= +

+ −

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10. Simplicar:

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ − −

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) –i



Á L G E B R A


11. Reducir:

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +− −

a) 1 b) 2i c) i

d) –i e) 0

12. Hallar el módulo:

2(2 i)Z

2 i

+=

−

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4

13. Indicar el módulo:

(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ −

a) 1 b) -1 c) i

d) –i e) 0

14. Calcular: Z en:

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

− −

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15. Obtener: Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

−=−+

−++

a) 1 b) -1 c) i

d) –i e) 0

16. Reducir:

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i

− − −= + + − +

a) 1/4 b) 1 c) 4

d) -1/4 e) -1

17. Calcular “n” real si:

4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=

+Es un complejo real.a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

18. Hallar “b” para que el complejo:

6 2iZ

1 bi

+=+

Sea imaginario puro.a) 1 b) -1 c) 2d) –2 e) -3

19. calcular:

E 3 4i 3 4i= + + −a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20. Si: 5 x yi 7 24i+ = − ; hallar elvalor de:

2 210 (x y) (y x)

M2

+ + −=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Á L G E B R A


Igualdad

Es la relación que existe entre cantidades que tienen el mismo valor.

ecuacIón

Es una igualdad relativa que se verica sólo para determinado(s) valor(es)de su incógnita.

Ejemplo:

La ecuación: x – 7 = 3

Se verica sólo para: x = 10

solucIón de una ecuacIón

Se llama así al valor de la incógnita que reemplazando en la ecuación verica

la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución también sele denomina raíz.

Ejemplo:

x2 = 9 → soluciones o raíces: x=3 ó x=–3

Clasifcación de las ecuaciones

I. ecuacIones comPatIBles

Son aquellas que aceptan por lo menos una sola solución. A su vez sedividen en:

A. ECUACIONES DETERMINADAS

Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones.

Ejemplo:x2 – 1 = 24 → tiene dos soluciones:

x = 5 ó x = –5

Ecuaciones de primer grado

UNIDAD 11



Á L G E B R A


B. ECUACIONES INDETERMINADAS

Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo:

x + y = 7 → tiene ∞ soluciones.

II. ecuacIones IncomPatIBles

Son aquellas que no tienen solución, también se les denominan ab-

surdas o imposibles.

Ejemplo:x + 4 = x + 7 → 4 = 7 (absurdo)

No existe valor de “x” que verique la igualdad.

oBservacIones1. Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión

que contenga a la incógnita, entonces se perderá soluciones. Esto sepuede evitar si la expresión que se divide (simplica) se iguala a cero.

Ejemplo:

Resolver: (x+3)(x–2) = 4(x–2)

Solución:

Simplicando: (x–2) → x – 2 = 0 → x = 2 (para no perder solucio-

nes)

Tendremos:

La ecuación tiene 2 soluciones x = 2 y x = 1 (de no haber igualado a cero,

hubiéramos perdido la solución x = 2).

2. Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una misma expre-

sión que contenga a la incógnita, entonces se puede producir solucionesextrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplica por separado

cada miembro de la ecuación.

Ejemplo:

Resolver:

2x)2x)(3x(

−−+

= 4

Primero simplicamos (x–2), y tendremos: x+3=4 ; x = 1

oBservacIón

Si hubiésemos trasladado (x–2) a multiplicar, tendríamos que una soluciónsería x = 2, que es una solución extraña, pues no verica la igualdad.



Á L G E B R A


3. Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente,

entonces se puede introducir soluciones extrañas.

Ejemplo:Resolver:

7x2

+ = x – 7Solución:

Elevando al cuadrado:2

22 )7x(7x −=

+

x2 + 7 = x2 – 14x + 49

14x = 42 → x = 3

Pero si reemplazamos: x = 3 en la ecuación dada tendremos:

73732 −=+ → 416 −=

4 = –4 (no cumple)

Luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues

no tiene solución.

oBservacIón

Siempre que se potencie los 2 miembros de una ecuación, el valor o valores

obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación dada pues pueden noser soluciones verdaderas.

Ecuaciones de primer grado o lineales Con una solaincógnitaLa ecuación lineal con una incógnita:

ax + b = 0 ; a ≠ 0

Tiene solución única:x = a

b−

Por tanto, para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se

transponen todos los términos que contienen a la incógnita a un miembro

de la ecuación y todos los términos que no la contiene al otro miembro de la

ecuación y se realizan las operaciones para el despeje de la incógnita.



Á L G E B R A


Ejemplo:

Resolver la ecuación:

ax + b2 = a2 + bx ; a ≠ b

Solución

Por supuesto, aquí se sobre entiende que la incógnita es x, y que por tanto,todas las letras representan constantes conocidas. Entonces procederemos

como sigue:

Por transposición: ax – bx = a2 – b2

Factorizando: (a–b)x = a2 – b2

Dividiendo entre (a – b) si a ≠ b ; x = a + b

Comprobaremos nuestra solución por sustitución directa de la raíz (a+b) en

la ecuación original, así obtenemos:a(a+b) + b2 = a2 + b(a+b)

O sea la identidad:

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2

dIscusIón de la raíz:

x =ab− ; de: ax + b = 0

1. Si: a = 0 ; b = 0 → La ecuación es indeterminada.

2. Si: a = 0 ; b ≠ 0 → La ecuación es incompatible.

3. Si: a ≠ 0 ; b ≠ 0 → La ecuación es determinada.

Sistema de ecuaciones linealesUNA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS (o variables) x e y, es de

la forma ax+by = c; en donde a, b, c son constantes y a, b distintos de cero.

Dos ecuaciones de este tipo:

a2x + b2y = c2

constituyen un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuacio-

nes con dos incógnitas. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas

ecuaciones, simultáneamente recibe el nombre de solución del sistema.

Por ejemplo, la solución del sistema: x + y = 7 y x – y = 3 es x = 5 , y = 2.

a1x + b1y = c1



Á L G E B R A


SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS. A conti-

nuación, se exponen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones

lineales.

a. metodo de reduccIón

Cuando sea necesario, se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por

números, de manera que los coecientes de una de las incógnitas en ambas

ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeciente

son distintos, se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan. Consi-

deremos:

(1) 2x – y = 4

(2) x + 2y = –3

Para eliminar y, se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniéndo:

2 × (1) 4x – 2y = 8

(2) x + 2y = –3

Suma 5x = 5 ; o sea x = 1.

Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene: 2 – y = 4, o sea y = –2.

Por tanto, la solución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1 ; y = –2.

Comprobación:

Sustituyendo x = 1 ; y = –2 en (2) se obtiene 1 + 2(–2) = –3 ; –3 = –3.

B. método de sustItucIón

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir

su valor en la otra.

Por ejemplo, consideremos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)

anteriores. De (1) se obtiene y = 2x – 4 y sustituyendo este valor en (2) resulta

x + 2(2x – 4) = 3, de la que se deduce la solución x = 1. Sustituyendo x = 1

en (1), o en (2), se obtiene y = –2.

c. método de IgualacIón

Consiste en de cada ecuación despejar la misma incógnita para luego

igualar. Sea el sistema.

2x – y = 4 ... (1)

x + 2y = –3 ... (2)

De (1) despejamos x: 2

4y

x

+

= ... (α)De (2) despejamos x: x = –3 – 2y ... (β)



Á L G E B R A


Luego: (α) = (β): y232

4y −−=+

Resolviendo: y + 4 = –6 – 4y

5y = –10

y = –2Reemplazando en α: x = 1

Clasifcacion de los sistemas de ecuaciones(de acuerdo a su solucIón)

a. sIstemas comPatIBles

Aquellos que tienen solución, se subdividen en: A1) Determinado: Número de soluciones limitado.

A2) Indeterminados: Número de soluciones ilimitado.

B. sIstemas IncomPatIBles, ImPosIBles o aBsurdos

Aquellos que no tienen solución.

Analisis del sistema particular

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

El sistema será:

A. Compatible Determinado

b

b

a

a 11 ≠

B. Compatible Indeterminado

c

c

b

b

a

a 111 ==

C. Incompatible o Absurdo

c

c

b

b

a

a 111 ≠=



Á L G E B R A


ProBlemas01. Resolver:

3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14

− −− = +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3/4 e) 0

02. Si la ecuación:

2 2ax ax 7 3x x 5a+ + = − +Es de 1er grado, el valor de “x”

es:

a) 3/2 b) 2 c) -1/2

d) 1 e) 1/2

03. Resolver:

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+− =

− − +a) 2 b) 3 c) 4

d) -2 e) Incompatible

04. Hallar “n” para que la ecuación seaincompatible:

2nx 5 n 8x 3n+ − = +

a) 4 b) -4 c) 5/4

d) 1 e) 0

05. Resolver:

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16

− + − +=+ + + +

a) 2 b) 1 c) 1/2

d) –1/2 e) -1/4

06. Resolver la ecuación:

a a b b1 1 1

b x a x

− + − =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0

07. Hallar el valor de “x”:

2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2

+ −+ = − −

− −

a) R b) Ø c) 1/3

d) R-{ 2 } e) 3/2


3x 10 3x 2 6+ − − =a) 2 b) 3 c) 10

d) 4 e) Ø

09. Resolver:

x 5 2 x 9 2 4x 36− + − = + −

a) 7 b) 9 c) R

d) -7 e) incompatible

1 0 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n :2 2 2

mx (m 5m 5)x 5m 9 x− + − + − =

Si es de primer grado.

a) 1 b) 3 c) -4

d) -4/3 e) –374

11. Resolver:

x a b x b c x c a3

c a b

− − − − − −+ + =

a) a+b+c b) a+b-c c) 1

d) a-b+c e) 0



Á L G E B R A


12. Hallar “x”:

2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12

13. Hallar “x” en la siguiente ecuación:

2(x 1) (x 2) (x 3) ... (x n) n+ + + + + + + + =

Donde: 2007≥∧∈ n Z n

a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21−n

14. Resolver para “x”:

x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -9/2 b) 2/9 c) 1/3

d) 5 e) 1

15. Resolver:

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6

+ − + = − − + + =

a) (1;4) b) (1;-12) c) (3;4)

d) (1;5) e) (2;5)

16. Indicar “x+y” en:

2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

− =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -1/4 e) -1

17. Que valor debe tener “n” para que elsiguiente sistema sea incompatible:

(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

− + = − + =

a) 5/7 b) 8/7 c) 16/7d) 6 e) 5

18. Calcular el valor de “m+n” si el siguien-

te sistema tiene innitas soluciones:

(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5

− − − = − =

a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121

19. Hallar “x+y”:

3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

− =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20. Resolver:

3 3 3a x a x 5a+ + − =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Á L G E B R A


Forma general:

ax2 + bx + c = 0

a, b y c : Coecientes, a ≠ 0

ax2 : Término cuadrático

bx : Término lineal

c : Término independiente

Resolución de la Ecuación de Segundo GradoI. POR FACTORIZACIÓN. Consiste en factorizar el 1er. término de la ecua-

ción empleando aspa simple o completando cuadrados, enseguida, se

iguala a cero cada uno de los factores obtenidos.Ejemplo:

Resolver: 2x2 – 5x – 3 = 0

Solución: 2x2 – 5x – 3 = 0

2x +1

1x –3

(2x+1)(x–3) = 0 ⇒

=

−=

3x

2

1x

2

1

II. POR FÓRMULA. Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 se obtiene

mediante la fórmula:

a2

ac4bbx

2 −±−=

las raíces x1 y x2 de la ecuación son:

a2

ac4bb

x

2

1

−+−

= a2

ac4bb

x

2

2

−−−

=

Ecuaciones de segundo grado

UNIDAD 12



Á L G E B R A


O expresando de otro modo, la solución es:

2 2b b 4ac b b 4ac

;2a 2a

− + − − − +

Ejemplo:Resolver: x2 + x + 3 = 0

Solución:a = 1 ; b = 1 ; c = 3

Reemplazando en la fórmula:

)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=−±−

= 1 11 i

2

− ±

x1 =1 11 i

2

− +; x2 =

1 11 i

2

− −

Propiedades de las raíces1. SUMA DE RAÍCES. Se obtiene dividiendo el coeciente del término lineal

con el signo cambiado entre el coeciente del término cuadrático.

a

bxx 21 −=+

2. PRODUCTO DE RAÍCES. Se determina dividiendo el término indepen-

diente entre el coeciente del término cuadrático.

x1 · x2 a

c=

3. DIFERENCIA DE RAÍCES. Se calcula con la siguiente fórmula.

Donde: ∆ = b2 – 4ac

|x1 – x2| =a

∆



Á L G E B R A


Naturaleza de las raícesPara conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática se analiza

el valor que toma la siguiente relación:

∆ = b2 – 4ac (discriminante)

Se presentan los siguientes casos:

1. ∆ > 0 ; se tienen 2 raíces reales y diferentes.

2. ∆ = 0 ; se obtiene 2 raíces reales e iguales.

3. ∆ < 0 ; se obtienen 2 raíces complejas conjugadas.

oBservacIón:∆≥ 0 ; Raíces Reales

Formación de la ecuación de segundo gradoExisten 2 procedimientos para formar una ecuación:

1. Se forma un producto de 2do. grado a partir de sus raíces de dos binomios

cuyo primer término es la incógnita, siendo los segundos las raíces con

signos cambiados, nalmente se iguala a cero dicho producto.

2. Consiste en calcular la suma "s" y el producto "P" de la raíces luego se

reemplaza estos dos valores en la siguiente fórmula:

x2 – Sx + P = 0



Á L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +− =+ +

Y dar la diferencia entre el producto yla suma de las soluciones:

a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02. Resolver:

22x 9 2x 3− = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1

03. Determinar el valor de “k” si una de lasraíces de la ecuación es igual a 3:

2x 7x k 0− + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

04. Si a y b son las raíces de la ecuación:2

x 6x 5 0− + =

Calcular:

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6/5 e) 5/2

05. Hallar la menor raíz de la siguienteecuación Mónica de segundo grado:

2(m 2)x (3m 8)x m 9− − − + =

a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3

06. La diferencia de las raíces de laecuación:

2x mx 2 0− + = es 1

Hallar: m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4

07. Hallar “k” para que las raíces de laecuación :

2x kx 8 k+ + = sean iguales (k>0)

a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13

08. Para que valor de “a” la ecuación:

2x (3a 1)x 5a 1 0− − + + = , admiteraíces iguales.

a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0

09. Hallar “n” para que las raíces de laecuación:

2(n 1)x (2n 8)x 2 2n+ − − + =Sean simétricas

a) 7 b) 9 c) Rd) -7 e) incompatible

10. Calcular el valor de “n”, si las raíces de

la ecuación:2

(n 1)x 5x 3n 7− − + =

Son reciprocas.

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Á L G E B R A


11. Hallar “n”, en la ecuación :

29x 18(n 1)x 8n 24 0− − − + =Si una raíz es el doble de la otra

a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3

12. Construir una ecuación cuadrática

sabiendo que una de las raíces es:

1x 3 2i= +

a) x2 -6x+13=0 b) x2 -6x-13=0c) x2 +6x+13=0 d) x2 -6x+12=0e) x2 -6x+5=0

13. Formar una ecuación de segundo

grado sabiendo que una de las raí-ces es:

1x 7 2= +a) x2 -14x+47=0 b) x2-14x-47=0c) x2+14x+47=0 d) x2-14x+47=0e) x2 -14x+51=0

14. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecua-

ción: 012 =−− x x ; Hallar el

valor de:

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -3/2

d) 5 e) 1

15. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecua-

ción: 0172 =+− x x ; Hallar elvalor de:

1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4

16. Calcular el valor de “m” en la ecua-ción:

2(m 1)x (3m 12)x (3m 6) 0− + + − + =

Si sus raíces son opuestas.

a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17. Resolver:

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

− −=

− −

a) 7 b) 8 c) 1/7d) -3/2 e) 5

18. Dada la ecuación:

2x 2mx 3x 5m 1− − = −

¿Para que valor de “m” la suma desus raíces sea igual al producto delas mismas?

a) 11 b) -2/7 c) 2/7

d) 0 e) 2

19. Calcular Un valor de “m” en la ecua-ción:

2x 2mx 2m 3 0− + + =

Si admite una raíz doble.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

CLAVES01b 02c 03d 04d 05b06a 07b 08c 09a 10c11a 12b 13d 14a 15e16d 17b 18c 19a 20c



Á L G E B R A


deFInIcIones

Una desigualdad expresa que una cantidad real, o una expresión, es mayor

o menor que otra.

A continuación se indica el signicado de los signos de desigualdad.

1) a > b signica que "a es mayor que b" (o bien que a – b es un númeropositivo).

2) a < b signica que "a es menor que b" (o bien que a – b es un número

negativo).

3) a ≥ b signica que "a es mayor o igual que b".

4) a ≤ b signica que "a es menor o igual que b".

5) 0 < a < 2 signica que "a es mayor que cero, pero menor que 2"

6) –2 ≤ x < 2 signica que x "es mayor o igual que –2, pero menor que 2".

Una desigualdad absoluta es aquella que se verica para todos los valores

reales de las letras que intervienen en ella. Por ejemplo (a–b)2 > –1 es cierta

para todos los valores reales de a y b ya que el cuadrado de todo número

real es un número positivo o cero.

Una desigualdad condicional es aquella que solo es cierta para determinados

valores de las letras. Por ejemplo: x – 5 > 3 sólo es verdad para x mayor

que 8.

Las desigualdades a > b y c > d son del mismos sentido. Las desigualdadesa > b y x < y son de sentido contrario.

Teoremas de las Desigualdades1) El sentido de una desigualdad no se modica si se suma o se resta, un

mismo número real a sus dos miembros. Por consiguiente, para pasar

un término de un miembro a otro de una desigualdad, no hay más que

cambiarle de signo.

Por ejemplo: si a>b se tiene a+c>b+c y a–c>b–c y a–b>0.

Desigualdades

UNIDAD 13



Á L G E B R A


2) El sentido de una desigualdad no se altera si se multiplica, o divide, por

un mismo número real sus dos miembros.

Por ejemplo: si a > b y k > 0 ; se tiene: ka > kb y kb

ka > .

3) El sentido de una desigualdad se invierte cuando se multiplica o divide

por un mismo número negativo sus dos miembros.

Por ejemplo: si a > b y k < 0, se tiene ka < kb ykb

ka < .

4) Si: a > b y a, b, n son positivos se tiene an > bn. Pero a –n < b –n.

Ejemplos:

5 > 4 ; se tiene 53 > 43 ó 125 > 64, pero 5 –3 < 4 –3 ó 641

1251 < .

16 > 9 ; se tiene 161/2 > 91/2 ó 4>3, pero 16 –1/2 < 9 –1/2 ó 1/4 < 1/3.

5) Si: a > b y c > d , se tiene (a+c) > (b+d).

6) Si: a>b>0 y c>d>0 , se tiene ac > bd.

También:

Desigualdades Estrictas

> : Mayor que

< : Menor que

Desigualdades No Estrictas

≥ : Mayor o Igual que

≤ : Menor o igual que

Intervalo Cerrado [ ]: Cuando intervienen los extremos: a < b.

Luego: a ≤ x ≤ b

Intervalo Abierto ][: < > ; cuando no intervienen los extremos.

Luego: a < x < b

Observación:

El +∞ y el –∞ se escribirán como intervalos abiertos por no conocer su valor.

Ejemplo: x ∈ [2; ∞⟩

ax

b

ax

b

20x

–∞ ∞



Á L G E B R A


Inecuaciones de 1er. GradoSon aquellos inecuaciones que presentan la siguiente forma:

ax + b > 0 ; (< ; ≥ ; ≤)

Una inecuación de este tipo se resuelve agrupando los términos que contienen

a la incógnita en un sólo miembro y los términos que no la contienen en el

otro para luego realizar un despeje.

Inecuación de 2do. Grado con una incógnitaFORMA:

ax2 + bx + c > 0 ; (< ; ≥ ; ≤)

métodos de resolucIón

1. POR FACTORIZACION (ptos. críticos)

a. Se factoriza el poliomio mediante un aspa simple.

a1. Se hallan los puntos críticos igualando cada factor a cero y se ubican

en la recta numérica o eje lineal de coordenadas.

a2. De derecha izquierda se ubican los signos (+) y menos (–) en forma

alternada en cada intervalo.

a3. Luego, si P(x) ≥ 0 se tomarán los intervalos (+) positivos y si P(x) ≤ 0se tomarán los intervalos (–) negativos.

Ejemplo:

Resolver: x2 – x – 6 ≤ 0

1er. Paso: Factorizar: x2 – x + 6 ≤ 0

x –3

x 2 ⇒ (x–3)(x+2) ≤ 0

2do. Paso: Ptos. críticos: x – 3 = 0 ^ x + 2 = 0

{3; –2}

3er. Paso: Ubicamos los puntos críticos en la recta numérica y hacemos la

distribución de signos.

4to. Paso: Como P(x) ≤ 0 tomamos el intervalo negativo.

x ∈ [–2; 3]



Á L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ≥

Señale un valor que la verifcaa) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -3

02. Resolver; siendo a<b:

2 2a(x b) b(x a) a b− − − ≤ −

Señale el menor valor que puedetomar “x”

a) a b) a+b c) 0d) –a e) -b


12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

− + ≥ − +

Indique la menor solución entera queasume “x”

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

04. Determinar el número de solucionesenteras que verican la inecuación:

3x 12 4

2

+< <

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05. Resolver: x 7 3x 1 x 15− ≤ + < +

Indique la suma de las solucionesenteras

a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6

06. Determinar el menor valor entero de“x” si:

1 1 1

7 2x 1 3≤ <+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

07. Si x ∈ [7;9∈ , calcule el mayor valor de “x”:

x 3

x 2

+−

a) 1 b) 0 c) 2d) 12/7 e) 3

08. Resolver:

2

x x 20 0− − <

a) x ∈R b) 5;4− c) 4;5−

d) x∈f e) ∞− ;4

09. Resolver:

2

x x 72 0+ − ≥

Indique el menor valor entero positivo

que se verica.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10. Resolver:

2

x 8x 20 0+ + ≤

a) x∈R b) 1;∞− c) 1;1−

d) x∈f e) ∞;4

11. Resolver:

2x 10x 27 0+ + ≥

a) x∈R b) 2;∞− c) 2;2−

d) x∈f e) ∞;2



Á L G E B R A


12. Resolver:

4 2

x x 12 0− − <

Indique la suma de las solucionesenteras.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

13. Resolver:

2

10

x 25>

−

Indique la mayor solución enteranegativa.

a) -4 b) -5 c) -6

d) -7 e) -8

14. Resolver:

2

x0

x 16≤

−

Indique la mayor solución entera.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 0 e) 3

15. Si " x ∈ R:

2

x bx 4 0+ + >

El mayor valor natural de “b” es:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

16. Resolver:

4 2x 8x 9 0− − ≥

El menor valor positivo de “x” es:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

17. Indicar el menor valor natural que pue-de tomar “n” para que la inecuación:

2

x 5x (n 3) 0− + − >

Se verique para todo valor real de

“x”.

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

18. Hallar la suma de todos los valoresenteros obtenidos al resolver:

x 5 34

8 16 64+≤ <

a) 71 b) 72 c) 73d) 74 e) 75

19. Resolver:

2x 3 6− ≤

Dar como respuesta la suma de losvalores enteros que se verican.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 419. Calcular el menor valor de “n”:

24x x 10 n− − ≤ ; Si R x∈∀

a) -4 b) -5 c) -6

d) -7 e) -8

CLAVES

01c 02b 03d 04a 05b

06b 07c 08b 09d 10d11a 12a 13a 14a 15d

16d 17b 18e 19a 20c



Á L G E B R A


Par ordenado

Conjunto de dos elementos en donde el orden en que estén ubicados (los

elementos), indica una característica de los mismos.

(a; b)

1º componente (abcisa) 2º componente (ordenada)

Luego: Si (a; b) = (m; n)

Entonces: a = m ^ b = n

Producto cartesianoEs un conjunto que genera pares ordenados.

Si A y B son conjuntos no vacíos:

A×B = {(a;b) / a ∈ A ^ b ∈ B}

Esta notación indica que en los pares ordenados generados las 1ras. compo-

nentes pertenecen al conjunto A y las 2das. componentes al conjunto B.

Ejemplo:

A = {1; 2; 3} B = {7; 8}

A×B = {(1;7), (1;8), (2;7), (2;8), (3;7), (3,8)}

B×A = {(7;1), (7;2), (7;3), (8;1), (8;2), (8;3)}

Luego: A × B ≠ B × A

Plano CartesianoEs aquel donde se ubican los puntos generados por los pares ordenados.

Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(+;+)

(+;–)

(–;+)

(–;–)

Funciones

UNIDAD 14



Á L G E B R A


Función

deFInIcIón

Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función denida en A con

valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspodencia f que

asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento, y ∈ B.

Notaciónf:A→B ∨ A

f →B

Se lee f es función de A en B.

Ejemplo:

F = {(2;3), (4;7), (8;9), (5;0)} Función

G = {(3;8), (5;1), (3;2), (7;–3)} Relación

No es función

I = {(1;6), (3;2), (4; 5), (1;6)} Función

es la misma

NOTA:Si (a; b) ∈ F entonces F(a) = b

Es la imagen de "a" en F.

Ejemplo:F = {(4;0), (6;–1), (8;2)}

F(4) = 0 ; F(6) = –1 ; F(8) = 2

Regla de Correspondencia:

y = F(x)

Variable Variable

dependiente independiente

Ejemplo: y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = {(1;5), (3;9), (5;13), (0;3)}

Del proceso anterior podemos decir que una relación algebraica entre la

abcisa (x) y la ordenada (y) generan pares ordenados.



Á L G E B R A


DominioEs el conjunto de valores que puede tomar la 1ra. componente (abcisa)

considerando las restricciones.

0D

N;0n2

≠≥

RangoEs el conjunto de valores que asume la 2da. componente (ordenada), de

acuerdo al dominio.Ejemplo:

F: {(2;5), (3;7), (8;4), (0;4)}

Dom. F = {2;3 ; 8;0} ; Ran. F = {5; 7 ; 4}

Funciones Especiales

y

x

f

y

x

f

funciónesNofunciónesNo

teorema

Si f es una función de R en R ⇔ toda recta paralela al eje "y" corta la gráca

a los más en un punto.

y

x

f

funciónEs

y

C>0

C=0

C<0

x

1. FuncIón constante:Regla de correspondencia:

f(x)=C

Df = R ; Rf = {C}

2. FuncIón IdentIdad:Regla de correspondencia:

f(x)=x o I(x)=x

Df = R ; Rf = R

y

45°

f

x



Á L G E B R A


y

x

3. FuncIón valor aBsoluto:Regla de correspondencia:

f(x)=|x|=

<−

≥

0xx

0xx

Df = R ; Rf = R0+

4. FuncIón lIneal:Regla de correspondencia:

f(x)=ax+b ; a ≠ 0

Df = R ; Rf = R

y

45°45°

f

x

y

b

a>0a<0

ba

x

5. FuncIón cuadrátIca:Regla de correspondencia:

f(x)=x2

Df = R ; Rf = R+

0

6. FuncIón raíz cuadrada:Regla de correspodencia:

f(x)= x

Df = R+0 ; Rf = R+

0

y

x



Á L G E B R A


ProBlemas1. Hallar “ab”, si el conjunto de pares

ordenados representa una función:

F = { }(2;3),(3;a b),(2;a b),(3;1)− +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. De la función:

F = { }2(2;2a) (2;a ),(a;b),(a 2;b),(4;4), +

Hallar “a + b”

a) 0 b) 3 c) 5

d) 6 e) 7

3. Dado:

F = { }(2;3),(3;4),(4;1)

Calcular:

A =(2) (3)(F ) (F )F F+

a) 1 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

4. Dado:

F = { }(0;1),(1;2),(2;3)

Hallar:

(1) (2) (0)F F F

(0) (1) (2)F F F+ +

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 16

5. Hallar el dominio de la función

(x)7x 1

Fx 7

+=−

a) R x∈

b) { }x R 7∈ −

c) { }x R 1∈ −

d) { }x R 8∈ −

e) { }x R 7∈ − −

6. Hallar el dominio de la función:

(x)4x 2

Fx 4

−=+

a) R x∈ b) { }2−∈ R x

c) { }4−−∈ R x d) { }4−∈ R x

e) { }1−∈ R x

7. Hallar el rango de la función:

(x)4x 1

Fx 2

−=+

a){ }4−−∈ R y

b){ }4−∈ R y

c){ }2−∈ R y

d){ }2−−∈ R y

e) f ∈ y

8. Hallar el rango de la función:

(x)

5x 1F

2x 3

+=−

a)

−−∈ 2

5

R y

b)

−∈2

5 R y

c)

−∈3

2 R y

d)

−∈2

3 R y

e)

−−∈

2

3 R y



Á L G E B R A


9. Hallar “ 3a -2b” Si :

{ } A (2;6),( 1;3),(2;2a b),(0;9),( 1;b a)= − − − −

Representa una función:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Hallar el dominio de:

(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +− −

a) <0;5> b)] { }25;0 −<

c){ }25;0 −><

d){ }25;5 −><

e){ }[ 25;0 −>

11. ¿Cuáles de los siguientes grácos no

representa una función?

a) Solo I b) II y III c) I, IV y V

d) IV y V e) I y III

12. Hallar el valor mínimo que tiene laordenada en la siguiente función:

2F(x) x x 3= − +

a) -1/2 b) 3 c) 11/4

d) 1/2 e) -11/4

13. Dadas las funciones:

x 1f(x)

x 2

+=−

;2

g(x) x 1= −

Calcule: g f D R∩

a) ∈ 0; +∞∈

b) ∈ –∞; 0∈

c) [–1; 1∈

d) ∈ –1; 1]

e) ∈ –∞; –1] ∈ ∈1; +∞∈

14. Hallar el dominio de:

x 1f(x)

x 2

−=+

a) ∈ –∞; –2∈ ∈ [–1; +∞∈

b) ∈ –∞; –2∈ ∈ [1; +∞∈c) ∈ –∞; –1∈ ∈ [2; +∞∈

d) ∈ –∞; –2∈ ∈ [–1; +∞∈

e) ∈ –∞; –2∈ ∈ [–1; 9∈

15. Sea:

23x 1;x 3F(x)2x 5;x 3

+ <= − ≥

Hallar: )3()2()5( F F F −+

a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17



Á L G E B R A


16. Hallar el rango de la siguiente función:

2f(x) 4 x ;x 2;2= − ∈< − >

a) ∈0,2] b) ∈-2,2∈

c) [0; +∞∈ d) ∈ –2; 0]

e) ∈0; +∞∈

17. S i : 25)3( 2 −+=− x x x f ,

uno de los valores de k tal que

1)( += k k f es:

a) -7 b) -4 c) -1

d) 3 e) 6

18. La función 33)( 2 ++= x x x f alcanza su valor mínimo “b” cuandox=a. Hallar “a+b”

a) -2 b) -

2

3c) -

2

9

d) 0 e) -4

3

19. Si 0,)( ≠= x x

x x f entonces el

rango de f

es:

a) {0, 1} b) {–1, 1} c) {–2, 0}

d) {–2, 2} e) R –{1} f(4) = 18

20. Una función lineal f(x) = ax + b; es talque f(1) = 6 y f(4) = 18, hallar: f(3)

a) 16 b) 12 c) 14

d) -12 e) -14

CLAVES

1b 2d 3b 4d 5b

6c 7b 8b 9c 10e

11c 12c 13e 14b 15e

16a 17a 18e 19b 20c



Á L G E B R A


Progresiones AritméticasEs una sucesión de números que se generan mediante la siguiente ley de

formación: cada término es igual a su precedente más una cantidad constante

nombrada razón o diferencia de la progresión.

elementos

Primer término : a

Ultimo término : u

Razón o diferencia : r

Término de lugar k : TkNúmero de términos: n

Suma de términos : S

clases

1. CRECIENTES. Cuando la razón es una cantidad positiva.

Ejemplo:

÷ 4, 9, 14, 19, 24, ... (r = 9 – 4 = 5)

2. DECRECIENTES. Cuando la razón es una cantidad negativa.

Ejemplo:÷ 25, 22, 19, 16, 13, ... (r = 22 – 25 –3)

Formas de representar una P.A.1. Cuando no se conoce el número de términos.

÷ a · a+r · a+2r · a+3r · ...

2. Cuando el número de término es impar.

... a–3r · a–2r · a–r · a · a+r · a+2r · a+3r · ...

NOTA:Se comienza por los dos términos marcados, luego se agregan en ambos lados

la misma cantidad de términos hasta completar los términos requeridos.

Progresiones

UNIDAD 15



Á L G E B R A


3. Cuando el número de términos es par.

...· a–5r · a–3r · a–r · a+r · a+3r · a+5r · ...

Término general de una P.A.Tk = a + (k – 1)r

Último término de la P.A.Si la P.A. admite "n" términos, el último ocupa la posición "n", es decir:

Tn = u; luego:

u = a + (n – 1)r

teoremaEn toda P.A. nita se verica que la suma de dos términos equidistantes de

los extremos es constante e igual a la suma de los extremos.

Sea la P.A.: ÷ a · b · c · d · ... · p · q · t · u

Luego:

b + t = c + q = d + p = ... = a + u

consecuencIa

Si la P.A. tiene un número impar de términos, el término central (TC) es lamedia aritmética de los extremos.

2

uaTc

+=

Suma de términos de la P.A.

S = n2

ua

+

Además al sustituir en esta relación:

u = a + (n–1)r ; resultará:

[2a (n 1)r]nS

2

+ −=



Á L G E B R A


Interpolación de medios aritméticosInterpolar "m" medios aritméticos o diferenciales entre dos números dados a

y b es formar una P.A. con (m+2) términos cuyos extremos sean los números

propuestos a y b. De lo expuesto se tiene:

÷a

lesdiferenciaosaritméticomediosm""............................... b

1m

abr

+−=

r : razón de interpolación

Progresiones GeométricasdeFInIcIón

Es una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero

y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando su precedente por

na cantidad constante, diferente de cero, nombrada razón o cociente de la

progresión.

elementosPrimer término : a

Ultimo término : u

Razón o cociente : q

Término de lugar k : TkNúmero de términos : n

Suma de términos : S

Producto de términos : P

Clases1. CRECIENTES. Aquellas cuya razón en mayor que la unidad.

Ejemplo:

÷ 2 : 6 : 18 : 54 : ... (q =2

6= 3)

2. DECRECIENTES. Cuando su razón es un número positivo menor que la

unidad.

Ejemplo:÷ 48 : 24 : 12 : 6 : ... (q =

4824

=21

)



Á L G E B R A


3. ALTERNADAS U OSCILANTES. Se caracteriza porque su razón es un

número negativo.

Ejemplo:

÷÷ 1 : –3 : 9 : –27 ... (q =1

3−= –3)

Formas de representar una P.G.1. Cuando no se conoce el número de términos.

÷ a : aq : aq2 : aq3 : ....

2. Cuando el número de términos es impar.

...2q

a :q

a : a : aq : aq2

3. Cuando el número de términos es par.

qa:

q

a:q

a...35

: a q : aq3 : aq5

teorema

En toda progresión geométrica nita, el producto de los términos equidistantes

de sus extremos es constante e igual al producto de los extremos.

Sea la P.G.: ÷÷ a : b : c : ... : p : t : ubt = cp = ... = au

consecuencIa

Si la P.G. admite un número impar de términos, el término central (TC) es la

media geométrica de los términos extremos.

auTC =

termIno general de una ProgresIón geométrIca

Tk = a qk–1

ultImo térmIno

Si la P.G. tiene "n" términos el último ocupa la posición "n", es decir, u = Tn.

u = a qn–1



Á L G E B R A


Producto de térmInos

n)au(P =

suma de térmInos de una P.g. FInIta

1q)1q(a

Sn

−−= ó 1q

auqS

−−=

Límite de una Serie GeométricaLa suma de un conjunto innito de términos de una P.G. admite límite sola-

mente si el valor absoluto de su razón "q" verica |q| < 1; este tipo de series

se nombran innitamente decreciente y en ellas cuando n →∞, el último: u

→ 0.

Al sustituir en la fórmula:

1qauq

S−−=

; 1qa

1qaq0

S−

−=−

−⋅=

multiplicando ambos términos por –1:

q1aS−

= ; |q| < 1

InterPolacIón de medIos geométrIcosInterpolar "m" medios geométricos o proporcionales entre dos cantidades

propuestas a y b es formar una P.G. que contiene (m + 2) términos, siendo

además los extremos, las cantidades propuestas. De lo expuesto se tiene:

÷÷ a

alesproporcionosgeométricomediosm""

.................................. b

1mabq +=

q : razón de interpolación



Á L G E B R A


ProBlemas

01. El tercer término de una progresiónaritmética es 8 y el décimo sexto tér-mino es 47. Encuentre la razón.

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

02. Hallar el primer término de una

progresión aritmética cuya suma delos 4 primeros términos es 20 y surazón 6.

a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6

03. La suma de los “n” primeros tér-

minos de una progresión aritmética es117; la razón 2 y el primer término 5.Hallar el valor de “n”.

a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9

04. Hallar el primer término y la razón de

la progresión aritmética, cuyo últimotérmino es 16 y la suma de sus 10términos es igual a 70. Indicar la sumade ellos.

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

05. En una progresión aritmética el térmi-no de lugar 53 es 5 y el de lugar 17 es-58. Hallar la razón.

a) 9/4 b) 3/4 c) 7/4

d) 11/2 e) 3/8

06. La suma de los 57 términos de unaprogresión aritmética es 228; hallar eltérmino central de la misma.

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

07. En una progresión aritmética de 25términos se sabe:

3 23t t 56+ =

Hallar la suma de todos sus térmi-nos.

a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540

08. Interpolar 3 medios aritméticos en-tre 13 y 21. Hallar el cuarto términoobtenido.

a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16

09. Interpolar 4 medios diferenciales en-tre -8 y 12. Indicar el tercer términoobtenido.

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0

10. El número de términos de la siguienteprogresión geométrica:

÷÷ 2 : 8 : ….. 8192 es

a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Á L G E B R A


11. Si el quinto término de una progresióngeométrica es 48 y el primero es 3.calcular la suma de los tres primerosde lugares impares.

a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70

12. En una progresión geométrica la razónes 0,5 y el decimosegundo término es72. Calcular el octavo término.

a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456

13. Hallar el producto de los 11 primerostérminos de una progresión geomé-trica, sabiendo que el término centrales 2.

a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120

14. Interpolar 6 medios geométricos entre1/3 y 729. Halar el segundo término.

a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

15. La suma de tres números en P.A. es21; si a los dos primeros se les suma3 y al último 8, los nuevos númerosforman una progresión geométrica.Hallar el valor del mayor de los tér-

minos.a) 20 b) 12 c)7

d) 9 e) 15

16. Calcular:

2 3 41 1 1 1

S ...3 3 3 3

= + + + +

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1 e) 1/6

17. Hallar la suma limite:

2 3

1 2 1S ...

7 7 7= + + +

a) 21/16 b) 1/8 c) 3/16

d) 1/4 e) 1/5

18. Calcular la suma limite:

2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 ...3 3 3 3

= + + + +

a) 36/25 b) 25/36 c) 1/4d) 4 e) 20

19. Se deja caer una pelota desde unaaltura de 17 m. En cada rebote alcan-za los 2/3 de la altura anterior. ¿Quédistancia recorre hasta detenerse?

a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20. Calcular :

2 4 6

3 7 15S ..

2 2 2= + + +

a) 5/3 b) 5/4 c)7/3

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Á L G E B R A


El logaritmo de un número real positivo, en una base positiva y diferente de la

unidad, es el exponente al cual hay que elevar al número denominado base

para que nos reproduzca el número dado.

LogbN = α → N = bα

Siendo: N > 0 ; b > 0 ^ b ≠ 1

Ejemplos:

Log525 = 2 → 25 = 52

Log31 = 0 → 1 = 3°

Principales relacionesSe sabe: LogbN = α ... (1)

N = bα ... (2)

De (1) en (2):

De (2) en (1):

Ejemplo:

(m > 0 ^ m ≠ 1)

Propiedades

1. logarItmo de un Producto

LogbM + LogbN = Logb(MN)

2. logarItmo de una FraccIón

Logarítmos

UNIDAD 16



Á L G E B R A


3. logarItmo de una PotencIa

nLogbN = LogbNn

4. camBIo de Base

5. regla de la cadena

Logab · Logbc · Logcm = Logam Logab · Logba = 1

6. adIcIonales

CologaritmosCologbN = = –LogbN

Ejemplos:

Colog525 = Log5

1

25

= –2

Antilogaritmo

Ejemplo:

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

ProPIedades

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Á L G E B R A


ProBlemas01. Efectuar:

5 2M log 125 log100 log 64= − +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02. Calcular:

4 9 5R log 8 log 27 log 25= − +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03. Efectuar:

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04. Calcular:

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05. Calcular:

155

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06. Resolver:

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07. Resolver:

5 3 72log x 2log 2 log 4x

5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08. Calcular:

2 3 2 3log 6 log 6 log 3 log 2⋅ − −

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09. Resolver:

1logx loga 2logb

2= −

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10. Calcular:

2 4 5E 1 colog antilog log 625= −

a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11. Calcular:

4 2 2 2M colog antilog log antilog 4= −

a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7



Á L G E B R A


12. Calcular “x”:

x x4log 3log 5logx log27

2 3

+ = −

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 0

13. Calcular:

3 13

log (2x 1) log (x 8) 0+ + + =

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

14. Resolver:

x1 log ( x 2)

x 3+ +

=

a) -3 b) 1 c) Incompatibled) 1 y -3 e) Indeterminado.

15. Resolver:

2x xlog (x 3x 5) log 10

10 3− + =

a) 2 b) 1 c) 1 y 2

d) 6 e) Incompatible

16. Resolver:

2 3log log (x 2) 2− =a) 83 b) 94 c) 72

d) 76 e) 81

17. Resolver:

0))ln(ln(ln = x

a)

2eb)

3ec)

e2

d)ee e) e3

18. Dado el sistema:

x y10 10 a

a b

x y log a b

+ = +

− = −

Calcular: 10x – 10y

a) 2a b) a c) 2b

d) b e) a+b

19. Si:

a 1 2 2 2......

b 3 6 6 6......

= +

= +

Calcular: a M blog=a) 3 b) 4 c) 1/2

d) 6 e) 3/2

20. Calcular:

1 1logx log 1 log 11 2

1 1log 1 ... log 1

3 2005

= + + + + + + + + +

a) 32 b) 4 c) 1

d) 2006 e) 2007

CLAVES

01e 02b 03e 04c 05e

06e 07a 08c 09b 10a

11a 12b 13e 14c 15a

16a 17d 18d 19c 20d

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