algebra

NOTAS DE MATEMÁTICAS

PARA EL CURSO PROPEDEÚTICO 2011

--MONOGRAFÍA PARA EL ALUMNO --

AUTORES: .

SALVADOR ABURTO BEDOLLA

MOISÉS GARCÍA MONROY

GERARDO HERNÁNDEZ MEDIAN

LEONEL MAGAÑA MENDOZA

LUIS DANTE VÁZQUEZ SANTOYO

El Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez agradece al Instituto Tecnológico de Morelia por su colaboración a través del Departamento de Ciencias Básicas por facilitar el libro “Notas de Matemáticas para el Curso Propedéutico 2011” para el beneficio de la educación de los estudiantes.

“Técnica, progreso de México”

Prefacio

Los principios filosoficos del modelo educativo para el siglo XXI del SistemaNacional de Educacion Superior Tecnologica conciben a laLa educacion integralcomoun proceso continuo de desarrollo de todas las potencialidades del ser hu-manoentre los que destacael aprender a ser, aprender a hacer, aprender a aprender,aprender a emprender y el aprender a comprender. Tambien senala queEl ser hu-mano es el actor fundamental del Proceso Educativo, en su formacion se promueveel aprendizaje significativo.

El aprendizaje significativo surge cuando el alumno, como constructor de su pro-pio conocimiento, relaciona los conceptos a aprender y les da un sentido a partir dela estructura conceptual que ya posee. Dicho de otro modo, construye nuevos cono-cimientos a partir de los conocimientos que ha adquirido anteriormente. Este puedeser por descubrimiento o receptivo. Pero ademas construyesu propio conocimientoporque quiere y esta interesado en ello. El aprendizaje significativo a veces se cons-truye al relacionar los conceptos nuevos con los conceptos que ya posee y otras alrelacionar los conceptos nuevos con la experiencia que ya setiene.

El aprendizaje significativo se da cuando las tareas estan relacionadas de maneracongruente y el alumno decide aprenderlas.

Una de las condiciones esenciales para que se produzca un aprendizaje signifi-cativo, es una actitud positiva y activa por parte del alumno, el aprendizaje sera sig-nificativo si el alumno se compromete personalmente con el aprendizaje, si poneen juego tanto sus aspectos cognitivos como afectivos. El impulso de aprender, dedescubrir, de lograr, de comprender, debe venir del interior del alumno. Donde faltala motivacian para aprender, falta el aprendizaje.

El modelo educativo para el siglo XXI del Sistema Nacional deEducacion Su-perior Tecnologica define la funcion del profesor como unfacilitador, la funcionde esteesta cararcterizada por la actitud de respeto, confianza, colaboracion y la-boriosidad academica, que crea el clima propicio en torno aestrategias didacticasparticipativas, para hacer posible el aprendizaje de los estudiantes, pero sin librar aestos del esfuerzo personal y colectivo que son necesariospara lograrlo.

Asimismo, el modelo educativo concibe a la evaluacioncomo una estrategia paraasegurar e impulsar la construccion del conocimiento.

V

Indice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . V

Parte I Algebra

1. Uso de la calculadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 31.2. El teclado y la pantalla de la calculadora . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31.3. Modos de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 51.4. Precedencia de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 71.5. Calculos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1. Operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 81.5.2. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 91.5.3. Potencias y raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 121.5.4. Logritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 141.5.5. Operaciones con unidades angulares . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 151.5.6. Funciones trigonometricas y trigonometricas inversas . . . . . . 171.5.7. Notacion cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19

2. Operaciones basicas con polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Antecedentes historicos del algebra . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 232.2. Diferencia del algebra con la aritmetica . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 242.3. Notacion y terminologıa algebraicas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 252.4. Evaluacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 262.5. Adicion y sustraccion de polinomios . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 272.6. Signos de agrupacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 282.7. Productos de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 292.8. Division de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 302.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31

VII

VIII Indice general

3. Productos notables y factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 37

3.1.1. El cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 373.1.2. El cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 383.1.3. Producto de binomios conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 383.1.4. Producto de binomios con un termino comun . . . . . . . .. . . . . 39

3.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 403.2.1. Factor comun de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 403.2.2. Factorizacion por agrupamiento . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 403.2.3. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto . . .. . . . . . . . 413.2.4. Factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos. . . . . 423.2.5. Factorizacion de un trinomio, completandolo a trinomio

cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 423.2.6. Factorizacion de un trinomio de la formaax2+bx+ c. . . . . . 433.2.7. Factorizacion de un polinomio por el metodo de

evaluacion (division sintetica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 453.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 45

4. Fracciones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1. Principio fundamental de las fracciones . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 474.2. Simplificacion de fracciones algebraicas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 484.3. Multiplicacion y division de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas . . .. . . . . . . . . . . . . . 504.5. Fracciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 524.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 53

5. Exponentes y radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1. Notacion y leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 57

5.1.1. Simplificacion de fracciones con exponentes de diversostipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58

5.2. Leyes de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 595.3. Adicion y sustraccion de radicales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 605.4. Multiplicacion y division de radicales . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 615.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 63

6. Ecuaciones lineales y cuadraticas en una variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1. Ecuaciones lıneales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 676.2. Aplicaciones de las ecuaciones lineales en una variable . . . . . . . . . . . 696.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 70

6.3.1. Solucion de sistemas de dos ecuaciones lineales en dosvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71

6.4. Ecuaciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 746.4.1. Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 76

6.5. Aplicaciones de las ecuaciones cuadraticas. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 776.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 77

Indice general IX

Parte II Trigonometrıa

7. Losangulos y su medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 87

7.1.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .877.1.2. Clasificacion de los angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 897.1.3. Las unidades de medida de angulos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 907.1.4. Relacion radian-grado sexagesimal . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 937.1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 94

7.2. Conversiones de unidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 947.2.1. Conversiones en grados sexagesimales . . . . . . . . . . . .. . . . . . 947.2.2. Conversiones de grados sexagesimales a radianes . . .. . . . . . 967.2.3. Conversiones de radianes a grados sexagesimales . . .. . . . . . 97

7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 98

8. Tri angulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1038.1. Defincion de Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1038.2. Clasificacion de los triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1038.3. Propiedades de los triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1058.4. El teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 105

8.4.1. Demostracion del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1068.5. El perımetro de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1078.6. El area de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 107

8.6.1. Formula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1078.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 108

9. Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.1. Antecedentes historicos de la trigonometrıa . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1119.2. Razones trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 112

9.2.1. Identidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1149.3. Triangulos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 117

9.3.1. Razones trigonometricas de 45◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.3.2. Razones trigonometricas de 30◦ y 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.4. Razones trigonometricas de angulos generales . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1199.4.1. Razones trigonometricas en el cırculo . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1199.4.2. Razones trigonometricas de los angulos cuadrantales . . . . . . 1229.4.3. Razones trigonometricas de 120◦, 135◦, 150◦, etc. . . . . . . . . . 123

9.5. Reduccion de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1259.5.1. Razones trigonometricas de(−θ ) en terminos deθ . . . . . . . 1259.5.2. Razones trigonometricas de(θ +90◦) en terminos deθ . . . . 1269.5.3. Otras identidades utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 127

9.6. Razones trigonometricas para la suma y diferencia de ´angulos . . . . . 1279.6.1. Razones trigonometricas para la suma de dos angulos . . . . . . 1279.6.2. Razones trigonometricas para la diferencia de dos ´angulos . . 1299.6.3. Otras identidades utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 129

X Indice general

9.7. Inversas de las razones trigonometricas . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1309.8. Solucion de triangulos rectangulos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 131

9.8.1. Dados un lado y un angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1329.8.2. Dados dos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 133

9.9. Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1349.9.1. Caso de ambiguedad en la ley de senos . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1359.9.2. Deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 135

9.10. Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1369.10.1. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 137

9.11. Ley de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1389.11.1. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 139

9.12. Solucion de triangulos oblicuangulos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1399.12.1. Dado un lado y dos angulos cualesquiera . . . . . . . . . .. . . . . . 1409.12.2. Dados dos lados y el angulo comprendido . . . . . . . . . .. . . . . . 1409.12.3. Dados dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos . . .. . . . . 1439.12.4. Dados tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 146

9.13. Formulas para calcular el area de un triangulo oblicuangulo . . . . . . . 1479.13.1. Dados dos lados y el angulo comprendido . . . . . . . . . .. . . . . . 1479.13.2. Dados un lado y los tres angulos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 147

9.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148

Parte III Geometrıa Analıtica

10. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15710.1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 15710.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 15810.3. Division de un segmento en una razon dada . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 159

10.3.1. Punto medio de un segmento de recta . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16010.4. Inclinacion y pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 160

10.4.1. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 16210.5.Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 16310.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 164

11. La recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16711.1. Ecuacion de la recta en la forma punto–pendiente . . . .. . . . . . . . . . . . 16711.2. Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 16811.3. Ecuacion de la recta con pendiente dada y ordenada al origen . . . . . . 16911.4. Ecuacion de la recta en forma simetrica . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 17111.5. Ecuacion general de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 17211.6. Ecuacion normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 17411.7. Distancia mınima de un punto a una recta . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 17711.8. Rectas y puntos notables de un triangulo . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 179

11.8.1. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 18011.8.2. Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18211.8.3. Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 183

usuario

Sello

Parte IAlgebra

Elaborado por:Salvador Aburto BedollaMoises Garcıa MonroyLeonel Magana Mendoza

Capıtulo 1Uso de la calculadora

1.1. Introduccion

Existen en el mercado una infinidad de marcas y modelos de calculadorascientıficas. Sin embargo, en el ambito universitario, lasmas populares por su ba-jo costo y grandes prestaciones son las calculadoras de la marcaCASIO R©.

Estas notas no pretenden ser exhaustivas y solo nos enfocaremos al uso de calcu-ladoras cientıficas basicas (no graficadoras), en particular a los modelosf x–82MS,f x–83MS, f x–85MS, f x–95MS, f x–100MS, f x–115MS, f x–270MS, f x–300MS,f x–350MS, f x–570MS, f x–912MSy f x–991MSdeCASIO R©. El uso de otras cal-culadoras cientıficas basicas (otros modelos deCASIO R© y algunas otras marcas)es muy similar.

Es importante senalar que estas notas no pretenden sustituir al Manual delusuario de su calculadora, y que, debido a la continua aparicion de nuevos mo-delos de calculadoras en el mercado, pueden haber pequenasvariaciones enre loscomandos mencionados en estas notas y los mencionados en elManual del usua-rio de su calculadora.

¡Lea el Manual del usuario de su calculadora!

1.2. El teclado y la pantalla de la calculadora

En la figura 1.1 podemos observar las imagenes de algunos de los modelos decalculadoras cientıficas basicas mencionados en la secci´on anterior. Como se puedeapreciar en estas imagenes, todas tienen una distribucion similar de teclado:

En la parte superior, debajo de la pantalla se encuentran cuatro pequenas teclasblancas y una tecla circular en el centro. Las teclas blancaspequenas, a los lados

3

4 1 Uso de la calculadora

de la tecla circular, corresponden a las funciones1 shift (cambiar)�� SHIFT , alpha�� ALPHA , mode(modo)

�� MODE y on (encender)�� ON . La tecla circular en el

centro es en realidad una tecla multifuncional, ya que incluye los sımbolos arriba�� N , abajo�� H , izquierda�� ◭ y derecha�� ◮ , que son las teclas delcursor

que nos permite navegar (movernos) en la pantalla, y en el centro de la misma, lafuncion�� REPLAY .

En la parte media se encuentran 4 lıneas de teclas (negras) con diversas funcio-nes. La primera lınea tiene teclas de funcion que cambian segun el modelo dela calculadora. Las siguientes tres lıneas incluyen las teclas (de izquierda a de-recha y de arriba a abajo) escribir fracccion

�� ab/c , raız cuadrada�� √ , elevar

al cuadrado�� x2 , elevar a potencia

�� , logaritmo base diez�� log , logaritmo

natural�� ln , numero negativo

�� (-) , grados–minutos–segundos�� ◦ ′ ′′ , funcion

hiperbolica�� hyp , funcion seno

�� sin , funcion coseno�� cos , funcion tangente�� tan , acsesar memoria

�� RCL , notacion cientıfica (conversion en potencias de 10multiplos de 3)�� ENG , parentesis izquierdo

�� ( , parentesis derecho�� ) , coma�� , y anadir a memoria

�� M+ .

En la parte inferior se encuentran las 10 teclas con los dıgitos�� 0 ,�� 1 ,�� 2 , . . . ,

�� 9 , el punto decimal�� • , las cuatro operaciones aritmeticas: suma�� + , resta�� – , multiplicacion�� × y division�� ÷ ; y las teclas: punto deci-

mal�� • , igual�� = , notacion cientıfica (×10n)

�� EXP , memoria de respuesta�� ANS , borrar caracter�� DEL y borrar lınea

�� AC (Teclas grises y rojas).

En la figura 1.2 se muestra un diagrama de la caratula de una calculadora f x–95MSdonde aparecen senalados los tres grupos de teclas mencionados arriba.

Podemos observar tambien, que sobre la caratula de la calculadora, junto a mu-chas de las teclas, aparecen los nombres de otras funciones adicionales. Estas fun-ciones adicionales generalmente son activadas con las teclas

�� SHIFT ,�� ALPHA y�� MODE .

Finalmente, en la parte superior de la cara frontal de la calculadora se encuentrala pantalla, que para los modelos mencionados tiene una presentacion en dos lıneas.

La lınea superior muestra la formula de calculo.La lınea inferior muestra el resultado.

En algunos modelos, en la lınea de resultado se vizualiza unseparador (,) cuando laparte entera de la mantisa tiene mas de tres dıgitos.

Observando con detenimiento la pantalla de la calculadora (ver figura 1.2), po-demos apreciar que ademas de las dos lıneas mencionadas, en la parte superior de lapantalla aparecen dos pequenos indicadores, el primero, ligeramente desplazado delcentro de la pantalla, hacia la derecha es una letra encerrada en un cuadro obscuroque nos indica el tipo deunidad angular que se utilizara en los calculos; el segundoindicador, que aparece a la derecha de la marca de unidad angular es el indicador

1 Aunque tal vez ya se encuentre familiarizado con el funcionamiento de la mayorıa de estas teclas,explicaremos mas adelante su funcionamiento con cierto detalle.

1.3 Modos de operacion 5

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.1 Vista frontal de las calculadorasCASIO R©: (a) f x–95MS, (b) f x–100MS, (c) f x–570MS, y (d) f x–991MS.

demodo de calculo. En la siguiente seccion explicaremos con mayor detalle comofijar los modos de operacion.

1.3. Modos de operacion

Antes de iniciar un calculoes muy importanteasegurarse de que la calculadorase encuentre ajustada en el modo correcto de operacion, ya que la forma en que la


0 • EXP ANS =

1 2 3 + −

4 5 6 × ÷

7 8 9 DEL AC

RCL ENG ( ) , M+

(-) ◦ ′ ′′ hyp sin cos tan

ab/c√

x2 log ln

x−1 nCr Pol( x3

SHIFT ALPHA MODE ON

"!#

N

H

◭ ◮

345+6√ 745,435,439.87

D SCI

Teclas numericas Operacionesaritmeticas

Teclas de funcion

Figura 1.2 Vista esquematica de la calculadoraCASIO R© f x–95MS.

maquina realiza los calculos, y en consecuencia, los resultados, dependen de esteajuste.

Para realizar operaciones aritmeticas basicas, el modo de operacion debe ajustar-se en “COMP”, para lograr esto debe ingresar la secuencia de teclas2

�� MODE�� 1 .

¡Nota! : Para regresar su calculadora a los modos de ajuste iniciales fijados poromision (por default), presione la siguiente secuencia deteclas:�� SHIFT

�� MODE�� 2 �� =

La secuencia anterior fija los siguientes modos de operacion en la calculadoraf x–95MS

Modo de calculo: COMPUnidad angular: DegFormato de presentacion exponencial: Norm 1Formato de presentacion de fraccion: ab/c

Caracter de punto decimal: • (punto)

2 A menos que se indique lo contrario, las secuencias de teclasindicadas en estas notas funcionanpara todos los modelos mencionados en la seccion 1.1. De cualquier manera sugerimos consultarel manual de usuario de su calculadora.

1.4 Precedencia de las operaciones 7

y, adicionalmente, parar los modelosf x–570MS, f x–912MSy f x–991MS

Formato de presentacion de numero complejo: a+ ib

Las opciones de modo de operacion son (dependiendo del modelo de calculado-ra):COMP para calculos basicos,CMPLX para calculos con numeros complejos,EQNpara calculos con ecuaciones,SD para calculos estadısticos (distribucion normal) yREG para calculos de regresion yBASE para calculos con numeros de basen; losmodelos mas avanzados cuentan con funciones de modo de operacion adicionalesque no trataremos en estas notas. Las opciones de ajuste de unidad angular son:Deggrados (sexagesimales),Rad radianes yGra grados centesimales. Ampliaremos ladiscusion del modo de ajuste de unidad angular en la seccion 1.5.5.

1.4. Precedencia de las operaciones

El orden en el que se realizan las operaciones en los modelos de calculadorasmencionados en la seccion 1.1 es el siguiente3:

1. Transformaciones de coordenadas:Pol(x, y), Rec(r, θ )Calculos diferenciales:d/dx4

Integraciones:∫

dx4

Distribucion normal:P(4, Q(4, R(4

2. Funciones de tipo A:Con estas funciones se ingresa el valor y luego se presiona latecla de funcion.x3, x2, x−1, x!, ◦ ′ ′′

Sımbolos de ingenierıa4

Distribucion normal:→ t4

x, x1, x2, yConversiones de unidad angular (DRG◮)Conversiones de unidades de longitud5

3. Potencias y raıces:, (xy), x√

4. ab/c

5. Formato de multiplicacion abreviada enfrente deπ , e (base del logaritmo natu-ral), nombre de memoria o nombre de variable:2π , 3e, 5A, πA, etc.

6. Funciones de tipo B:Con estas funciones se presiona la tecla de funcion y luego se ingresa el valor.√ , 3

√ , log, ln,ex, 10x, sin, cos, tan, sin−1, cos−1, tan−1, sinh, cosh, tanh, sinh−1,

cosh−1, tanh−1, (−), d4, h4, b4, o4, Neg4, Not4, Det5, Trn5, arg4, Abs4, Conj4

7. Formato de multiplicacion abreviada enfrente de las funciones de tipo B:2√

3, Alog2, etc.8. Permutacion y combinacion:nPr, nCr, ∠4

3 Aunque no se tratara el manejo de todas las funciones que aparecen en esta seccion, se incluyecasi la totalidad de funciones que se pueden manipular con estas calculadoras.


9. Punto(•)5

10. ×, ÷11. +, −12. and4

13. xnor4, xor4, or4

Las operaciones con la misma precedencia se realizan de derecha a izquierda.ex ln√ 120→ ex{ln(√ 120)}Las otras operaciones se realizan de izquierda a derecha.Las operaciones entre parentesis se llevan a cabo primero.Cuando un calculo contiene un argumento que es un numero negativo, el numeronegativo debe estar encerrado entre parentesis. El signo negativo(−) es tratadocomo una funcion de tipo B, de manera que se requiere particular atencion cuan-do el calculo incluye una funcion de tipo A de alta prioridad, u operaciones depotencia o raıces.Ejemplo:

(−2)4 = 16

−24 = −16

1.5. Calculos basicos

Los calculos basicos se realizan en el modoCOMP�� MODE�� 1

1.5.1. Operaciones aritmeticas

Las cuatro operaciones aritmeticas (suma, resta, multiplicacion y division) se reali-zan de manera natural.

Ejemplo:

z 305+270+568= 1,143

305�� + 270�� + 568�� = 1,143

z 498.25−725.36=−227.11

498.25 �� – 725.36�� = –227.11

4 f x–100MS, f x–115MS, f x–570MS, f x–912MSy f x–991MSsolamente.5 f x–570MSy f x–991MSsolamente.

1.5 Calculos basicos 9

z 425.17×265.64= 112,942.1588

425.17�� × 265.64�� = 112,942.1588

z 425.17÷265.64= 1.600549616

425.17�� ÷ 265.64�� = 1.600549616

En el caso de operaciones aritmeticas mas complicadas, esnecesario tener en cuentala precedencia de operacionesy el uso de parentesis (ver seccion 1.4), a continua-cion un sencillo ejemplo.

Ejemplo:

z En el siguiente calculo podemos apreciar como funciona la precedencia de lasoperaciones, ya que, aunque aparece primero (mas a la izquierda) el signo desuma, se realiza primero la multiplicacion que tiene mayorprioridad.

27+2×3= 33

27�� + 2�� × 3�� = 33

En la siguiente secuencia insertamos parentesis para “alterar” la precedencia (al-terar entre comillas porque de cualquier modo, la precedencia permanece).

27+(2×3)= 33

27�� + �� ( 2�� × 3�� ) �� = 33

Con estos dos ejemplos podemos ver que respetando la precedencia, podemosomitir el uso de parentesis, aunque al calcular expresiones mas elaboradas no esrecomendable.En la siguiente secuencia, si se ve alterada la precedencia por el uso de losparentesis agrupando la suma.

(27+2)×3= 87 �� ( 27�� + 2�� ) �� × 3�� = 87

1.5.2. Operaciones con fracciones

Para fracciones se emplea la tecla�� ab/c . En el caso de fracciones propias, se

ingresa el numerador, luego la tecla�� ab/c y luego el denominador.

Ejemplo:

z35

3�� ab/c 5


En el caso de fracciones mixtas, primero se ingresa la parte entera, luego la tecla�� ab/c , luego el numerador de la fraccion, nuevamente la tecla�� ab/c y finalmente el

denominador de la fraccion.

Ejemplo:

z 235

2�� ab/c 3�� ab/c 5

Las operaciones aritmeticas con fracciones se realizan dela misma manera quelas operaciones con decimales.

Ejemplo:

z 314+1

23= 4

1112

3�� ab/c 1�� ab/c 4�� + 1�� ab/c 2�� ab/c 3�� = 4 y 11 y 12

Para realizar conversiones de decimal a fraccion (mixta),y viceversa, y/o a frac-cion impropia se emplea la secuencia6:

Ejemplo:

z 2.75⇐⇒ 234

2.75�� = 2.75�� ab/c 2 y 3 y 4�� SHIFT�� ab/c 11 y 4

z12⇐⇒ 0.5 1

�� ab/c 2�� = 1 y 2�� ab/c 0.5�� ab/c 1 y 2

Para convertir de una fraccion mixta a una fraccion impropia puede emplear lasiguiente secuencia:

Ejemplo:

z 123⇐⇒ 5

31�� ab/c 2�� ab/c 3�� = 1 y 2 y 3�� SHIFT�� ab/c 5 y 3�� SHIFT�� ab/c 1 y 2 y 3

Los valores son automaticamente visualizados en el formato decimal, siempreque el numero total de dıgitos de un valor faccionario (entero+ numerador+ de-nominador+ marcas separatorias) excede a 10. Los resultados de calculos que in-volucran fracciones y decimales son siempre decimales.

Ejemplo:

z12+1.6= 2.1 1

�� ab/c 2�� + 1.6�� = 2.1

6 En algunos casos las conversiones pueden llegar a tomar un par de segundos.


A continuacion consideraremos dos ejemplos con secuencias de operaciones queinvolucran numero decimales, fracciones, las operaciones aritmeticas y el uso deparentesis. Es importante senalar que algunos casos la secuencia mostrada no esla unica que arroja un resultado correcto, es decir, puedenexistir varias manerascorrectas de intruducir la operacion en la calculadora y llegar en cualquier caso a unresultado correcto.

Ejemplo:

z 2.78+3.22

[4

12

(16

14−4.1

)−3.2

(2

12+3.25

)]= 119.5855

2.78�� + 3.22�� × �� ( 4�� ab/c 1�� ab/c 2�� × �� ( 16�� ab/c 1�� ab/c 4 �� – 4.1�� )�� – 3.2

�� × �� ( 2�� ab/c 1�� ab/c 2�� + 3.25�� ) �� ) �� =

119.5855

z −51320

[4

12−2.3

(16.78−4

15

)]+12

1120

÷212= 143.7021�� (-) 5

�� ab/c 13�� ab/c 20�� × �� ( 4�� ab/c 1�� ab/c 2 �� – 2.3�� × �� ( 16.78�� – 4�� ab/c 1

�� ab/c 5�� ) �� ) �� + 12

�� ab/c 11�� ab/c 20�� ÷ 2�� ab/c 1�� ab/c 2�� =

143.7021

Ejercicios

Resuelva las siguientes operaciones, primero “a mano”, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia.

1. 14740

[8.94+3

45

(7.68−9

34

)]+18

38÷1

15

2. 1725

[4.2

(−3.6−2

38

)+42

12÷0.25

]

3. 3.24+2.46÷212−2

12

[11.4

(16

25−3.6

)−5

45

]

4.

[4.8÷2

12+

12

(3.6+4

25

)](8

14−3.14

(38

))+8

720

5.8

(4

14

)−111

5 ÷913 −(−21

3

)÷ 5

3

14÷229 +82

5

(12

7

)

6. 0.05−(24

5 −1.9)÷33

4[31

6 − (−1.25)]2.4+(−5.8)

7.30(41

4

)+111

5 ÷535

14÷229 +85

2

(142

3

) ÷ 1÷6+12÷5

212 (15)−413

15

(73

5

)


8.

[2.1÷

(4.5(12

3

)+3.75

)3

135

1−(10

27÷ 56

)]÷2.5

9.

(95 7

30−93 518

)(21

4

)+0.373

0.2

10.

(49 5

24−46 720

)(21

3

)+0.6

0.2

11.

(121

6 −6 127−51

4

)13.5+0.111

0.02

12.

(1 1

12+2 532+

124

)93

5 +2.13

0.4

13.

(25

8

)− 2

3

(25

4

)(3 1

12+4.375)÷(188

9

)

14.

(58 4

15−56 724

)÷0.8+21

9 (0.225)

834

(35

)

15.(2.1−1.965)÷ (1.2×0.045)

0.00325÷0.013− 1÷0.25

1.6×0.625

16. 6÷ 13−0.8÷ 1.5

32(0.4)

50

1+12

+14+

1+ 12

( 10.25

)

6− 461+(2.2)(40)

17.

(7

19−2

1415

)÷(

223+1

35

)−(

34− 1

20

)(57− 5

14

)

18.

(41

2384

−404960

)([4−3

12

(2

17−1

15

)]÷0.16

)

1.5.3. Potencias y raıces

Entre las teclas de funcion, en la parte superior del teclado, se encuentran lasteclas�� √ ,�� x2 ,�� y�� x3 (en algunos modelos). La tecla

�� √ es para obtener

la raız cuadrada de un numero,�� x2 para elevar al cuadrado un numero, la tecla�� para elevar un numerox a una potenciay, y la tecla

�� x3 para elevar unnumero al cubo. En la mayorıa de los modelos de calculadoras mencionados en laseccion 1.1, las teclas

�� y�� x3 cuentan con una segunda funcion, su inversa, que

se activa empleando la tecla�� SHIFT . Mostraremos el uso de estas teclas mediante

los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

z 17.52 = 306.25 17.5�� x2�� = 306.25

z√

32.24= 5.678027827�� √ 32.24�� = 5.678027827

z 3.21.25= 4.279937952 3.2�� 1.25�� = 4.279937952


z4√

3= 1.316074013 4�� SHIFT�� 3�� = 1.316074013

Atenci on : observe el orden en el que se ingresan los numeros para realizar esta operacion.

En este ultimo ejemplo podmos “jugar” con las leyes de los exponentes, dado que

4√

3= 31/4

podemos obtener el mismo resultado con una secuencia diferente:

3�� ( 1�� ab/c 4�� ) �� = 1.316074013

¿Que ocurre si omite los parentesis? ¿Que secuencia emplearıa para obtener el re-

sultado de 3142?

Ejercicios

Resuelva las siguientes operaciones, primero “a mano”, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia.

1.

(1

12

)2

÷(

34

)2

−(

212

)(12

)3

2.

(3

12

)2

÷(

214

)2

+

(4

12

)(−1

2

)3

3.

(−1

110

)2

÷ 1120

+

(4

34

)÷(

112

)3

4.3×24×27×211

5×28

5.4×37×313− 1

2320

12315

6.

(4×53×58

)−(55×5−6

)

2×57

7.3×78×74−710×72

8×75

8.1√

2−1

9.2√

2√2−

√3

10.

√7+4

√3+

√7−4

√3

11.1√

11−6√

2+

1√11+6

√2

12.

1

(√

5+√

3)−2−(

51/2−31/2

53/2−33/2

)−1 1√

15


1.5.4. Logritmos y exponenciales

En la mayorıa de los modelos de calculadoras discutidos en estas notas aparecenlas teclas�� log y�� ln en la parte derecha del teclado de funciones (ver figura 1.2).

Estas teclas nos permiten calcular el logaritmo base 10 (log10 o simplemente log) deun numero y el logaritmo natural (ln) o basee(loge) de un numero, respectivamente.Mediante el uso de la tecla

�� SHIFT y estas mismas teclas, se accede al uso de lasfunciones inversas respectivas (exponenciales).

Para calcular los logaritmos de base distinta ae o 10, es necesario emplear laformula

logax=logbxlogba

(1.1)

Es decir, si queremos calcular el logaritmo del numerox en una base desconocidaa,podemos hacer el calculo empleando logaritmos en una base conocidab (que bienpuede ser 10 oe), de acuerdo con la formula anterior.

Mostraremos el empleo de estas funciones mediante algunos ejemplos.

Ejemplos:

z log1.23= 0.089905111�� log 1.23�� = 0.089905111

z ln1.23= 0.207014169 �� ln 1.23�� = 0.207014169

z lne= 1 �� ln�� ALPHA�� ln�� = 1

En este ejemplo, el uso de la tecla�� ALPHA activa las funciones (o caracteres)

marcados en rojo en el costado superior derecho de las teclas, en este caso seaccesa al valor dee.

z e10 = 22026.46579 �� SHIFT�� ln 10�� = 22026.46579

z 101.5 = 31.6227766 �� SHIFT�� log 1.5�� = 31.6227766

Es importante senalar aquı que a pesar de su “nombre” no debe confundirse latecla�� EXP con las funciones exponencialesex accesada mediante la secuen-

cia�� SHIFT�� ln y 10x accesada mediante la secuencia

�� SHIFT�� log . Para el

empleo de la tecla�� EXP vea la seccion 1.5.7.

z log56= 1.113282753


Empleando la formula (1.1) y logaritmos naturales:�� ln 6�� ÷ �� ln 5�� = 1.113282753

Empleando la formula (1.1) y logaritmos base 10:�� log 6�� ÷ �� log 5�� = 1.113282753

Ejercicios

Resuelva las siguientes operaciones, primero “a mano”, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia. [Suge-rencia: en algunos casos se puede simplificar la expresion mediante las propiedadesde los logaritmos].

1. log17+ log232. ln32+ ln51/3

3. log23√

5

4.log7log32

5.

√

25

1log5+49

1log7

6. 36log6 5+101−log2−3log9 36

7. log21.6+ log210−2log2√

3·log24

8. 7 log5

√5· log7 81· (log535−1)

9. log381log214+√

10log9

10.

27

1log23 +5log2549

81

1log49 −8log4 9

3+5

1log1625 ·5log5 3

1.5.5. Operaciones con unidades angulares

Operaciones con grados, minutos y segundosSe pueden realizar calculos con gra-dos sexagesimales empleando grados (horas), minutos y segundos y tambien con-vertir entre valores decimales y sexagesimales. En la mayorıa de las calculadorasmencionadas en estas notas, la tecla

�� ◦ ′ ′′ aparece en la segunda fila del teclado defunciones, y es la segunda tecla de izquierda a derecha.


Mostratremos la manera de realizar las conversiones mediante los siguientesejemplos.

Ejemplos:

z 2.258◦ =⇒ 2◦15′28.8′′

2.258�� = 2.258�� SHIFT�� ◦ ′ ′′ 2◦ 15◦ 28.8�� ◦ ′ ′′ 2.258

z 35◦18′45.3′′ =⇒ 35.31258333

35�� ◦ ′ ′′ 18�� ◦ ′ ′′ 45.3�� ◦ ′ ′′�� = 35◦ 18◦ 45.3�� SHIFT�� ◦ ′ ′′ 35.31258333

Conversion de unidad angularPara visualizar el menu de unidad angular presionela siguiente secuencia:

�� SHIFT�� ANS . En la pantalla debera aparecer el siguiente

menu.

D R G1 2 3

Donde 1, corresponde a grados (D), 2 a radianes (R) y 3 a gradoscentesimales7 (G).Seleccionando�� 1 ,�� 2 o�� 3 se convierte el valor (previamente) visualizado

en pantalla a la unidad angular correspondiente. Ilustraremos las secuencias pararealizar conversiones mediante los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

z Convertir 4.25 radianes a grados.Primero debemos fijar el modo de operacion de la calculadoraen grados presio-nando�� MODE hasta que aparezca el menu

Deg Rad Gra1 2 3

y seleccionamos�� 1 (grados). Ahora se puede realizar la conversion con la

siguiente secuencia:

4.25�� SHIFT�� ANS�� 2 �� = 4.25 r

243.5070629

z Convertir 2◦15′28.8′′ a radianes.Primero fijamos el modo de operacion de la calculadora en radianes con la se-cuencia �� MODE

�� MODE�� 2

7 Dado el poco uso de los grados centesimales, no haremos conversiones que los involucren.


Enseguida, ingresamos la cantidad angular dada en grados, minutos y segundosmediante la siguiente secuencia

2�� ◦ ′ ′′ 15�� ◦ ′ ′′ 28.8�� ◦ ′ ′′

Finalmente, realizamos la conversion mediante la secuencia�� SHIFT�� ANS�� 1 �� = 2� 15� 28.8��

0.039409534

¡Nota! : recuerde que la unidad de medida angular “natural” en matematicasson los radianes.

2π (rad)= 360◦

Ejercicios

Realice las siguientes conversiones, primero “a mano”, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia.

1. Convertir 1◦ a radianes.2. Convertir 1 rad a grados, minutos y segundos.3. Convertir 45◦ a radianes. Exprese su respuesta en terminos deπ .4. Convertirπ/3 rad a grados, minutos y segundos.5. Convertir 60◦ a radianes. Exprese su respuesta en terminos deπ .6. Convertir 0.276342 rad a grados, minutos y segundos.7. Convertir 15◦35′37.2′′ a radianes.8. Convertir 0.017453292 rad a grados, minutos y segundos.

1.5.6. Funciones trigonometricas y trigonometricas inversas

En el capıtulo 7 de estas notas se tratan en detalle los aspectos importantes dela trigonometrıa, en esta seccion nos limitaremos a discutir como hacer operacionesque involucren funciones trigonometricas empleando la calculadora.

En la parte central, al lado derecho del teclado de funcionesse encuentran lasteclas�� sin ,�� cos y�� tan que nos permiten accesar las funciones trigonometricas

seno, coseno y tangente, respectivamente. Empleando la tecla�� SHIFT en combina-

cion con las tres teclas mencionadas accesamos sus funciones inversas.Antes de mostrar el uso de las funciones trigonometricas enla calculadora, es

importante recordar que debe tener cuidado de elegir el modode operacion correctode la calculadora para obtener los resultados correctos deseados.

¡Nota! : Una vez identificadas las unidades de medida angular a utilizar en elproblema en cuestion, debe fijar el correspondiente modo angular de la calcu-ladora como se indica en las secciones 1.3 y 1.5.5.


Ilustraremos el uso de las teclas de funciones trigonometricas mediante los si-guientes ejemplos.

Ejemplos:

z Calcular sin63◦52′41′′

• Fijamos el modo angular de la calculadora en grados mediantela siguientesecuencia. �� MODE

�� MODE�� 1

• Calculamos sin63◦52′41′′ mediante la siguiente secuencia�� sin 63�� ◦ ′ ′′ 52�� ◦ ′ ′′ 41�� ◦ ′ ′′�� = sin 63� 52� 41�

0.897859012

z Calcular cos(π

3

)

• Fijamos el modo angular de la calculadora en radianes mediante la siguientesecuencia. �� MODE

�� MODE�� 2

• Calculamos cos(π/3) mediante la siguiente secuencia�� cos�� ( �� SHIFT�� EXP�� ÷ 3�� ) �� = cos (π ÷3)

0.5

z Calcular tan−10.741 en grados minutos y segundos.

• Fijamos el modo angular de la calculadora en grados mediantela siguientesecuencia. �� MODE

�� MODE�� 1

• Calculamos tan−10.741 mediante la siguiente secuencia�� SHIFT�� tan 0.741�� = tan−1 0.741

36.53844577

• El resultado anterior esta en grados, pero en formato decimal; para convertira grados, minutos y segundos ingresamos la siguiente secuencia�� ◦ ′ ′′ tan−1 0.741

36◦ 32◦ 18.4

Resultado que interpretamos como 36◦ 32’ 18.4”.

z Calcular cos−1

(√2

2

)en radianes

• Fijamos el modo angular de la calculadora en radianes mediante la siguientesecuencia.

1.5 Calculos basicos 19�� MODE�� MODE�� 2

• Calculamos cos−1(√

22

)mediante la siguiente secuencia

�� SHIFT�� cos�� ( �� √ 2�� ÷ 2�� ) �� = cos−1 (√ 2 ÷ 2)

0.785398163

• Para expresar el resultado en terminos deπ ingresamos la seguiente secuencia�� ÷ �� SHIFT�� EXP�� = Ans ÷π

0.25

Resultado que interpretamos comoπ/4 rad.

Ejercicios

Realice los siguientes calculos empleando la calculadoratratando de hacerlo me-diante una sola secuencia.

1. sin(3π/2)2. cos17◦23′15.2′′

3. tanπ/44. sin−10.5 en radianes.5. cos−10.534756 en grados minutos y segundos.6. tan−10.363970234 en radianes. Exprese su resultado en terminos deπ .

1.5.7. Notacion cientıfica

La notacin cientıfica es un modo conciso de representar numeros –ya sean enteroso reales– mediante una tecnica llamadapunto flotanteaplicada al sistema decimal,es decir, potencias de diez. Esta notacion es utilizada en numeros muy grandes omuy pequenos.

La convencion es escribir el numero dejando solo el primer dıgito (el mas sig-nificativo) en el lugar de las unidades y escribiendo el restode los dıgitos comodecimales y multiplicando por una potencia de 10 adecuada.

Por ejemplo, la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por se-gundo. Esto, escrito en la representacion numerica usuales 300,000,000 m/s y ennotacion cientıfica quedarıa como 3×108 m/s.

De esta forma podemos ver que la notacion cientıfica simplifica la escritura y nosda una nocion mas clara de la magnitud de la cifra.

La mayorıa de las calculadoras y programas de computadora presentan resultadosmuy grandes y muy pequenos en notacion cientıfica; los numeros 10 generalmentese omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1.56234 E29. Notese


que esto no esta relacionado con la base del logaritmo natural tambien denotadocomunmente con la letrae.

Para ingresar cantidades en notacion cientıfica en la calculadora se emplea latecla�� EXP 8.

Ejemplos:

z 3.00×108.

3.00�� EXP 8�� = 300,000,000

z 1.602×10−19.

1.602�� EXP�� (-) 19�� = 1.602

-19×10

No esta de mas una observacion respecto al uso de la tecla�� EXP . Para fines

practicos, debemos interpretar esta tecla como la operacion 1×10, es decir, el usode esta tecla incluye un factor de 10, por lo que no es necesario incluir dicho factoral ingresar un numero.

Ilustremos lo anterior con un error muy comun. Al realizar conversiones de uni-dades es frecuente tener que multiplicar por potencias de diez; por ejemplo, paraconvertir 15 km a cm, sabemos que 1 km = 103 m y que 1 cm = 10−2 m, por lotanto, 1 km es igual a 105 cm. Para realizar la conversion, basta pues, sustituir launidad km por su equivalente 105 cm y llevar a cabo las simplifiaciones necesarias:

15 km= 15(1×105 cm) = 15×105 cm= 1.6×106 cm

La secuencia de teclas en la calculadora es como sigue:

15�� × 1�� EXP 5�� = 1,500,000

Sin embargo, es frecuente que el usuario inexperto, introduzca la siguiente secuencia

15�� × 1�� × 10�� EXP 5�� = 15,000,000

lo cual, obviamente, nos lleva a un resultado incorrecto.

8 En algunos modelos de claculadoras de la marca Texas Instruments, la tecla para notacion cientıfi-ca es�� EE .


Ejercicios

Realice los siguientes calculos empleando la calculadoratratando de hacerlo me-diante una sola secuencia.

1. 2×104 ·1.5 ·105

2. 2.7×106÷1.56×103

3. 4.52×10−123.2×1018

0.5×10151.2×106

4. 6.03×10−43×10−4 ·2.7×103

5×10−3

5.6000003 ·0.000024

1002 ·72000000·0.00025

6.54.31×102−651×10+38.5×1000

0.0082−20×10−5

7. (2.25×1022)× (4×10−15)÷ (3×10−3)8. 4.2×10−168.2×10−17+1.8×10−5

9. (1.4×10−7)2÷ (5.2×10−6)10. (9×109) · (1.602×10−19)2÷ (5.29×10−11)2

11. (6.673×10−11) · (1.99×1030) · (6.42×1023)÷ (1.496×1011)2

Capıtulo 2Operaciones basicas con polinomios

2.1. Antecedentes historicos delalgebra

Siglo XVII aC. Los matematicos de Mesopotamia y Babilonia ya sabıan resol-ver ecuaciones de primero y segundo grado. Ademas resolvıan tambien, algunossistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas.

Siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaronpara resolver problemas cotidianos que tenıan que ver con la reparticion de vıveres,de cosechas y de materiales.

Siglo I dC. los matematicos chinos escribieron el libroJiu zhang suan shu(quesignifica El Arte del Calculo), en el que plantearon diversos metodos para resolverecuaciones de primer y de segundo grado, ası como sistemas de dos ecuaciones condos incognitas. Con su abaco (suan zi) tenıan la posibilidad de representar numerospositivos y negativos.

Siglo II . El matematico griego Nicomaco de Gerasa publico suintroduccion a laAritmeticay en ella expuso varias reglas para el buen uso de los numeros.

Siglo III . El matematico griego Diofanato de Alejandrıa publico su Aritmeticaen la cual, por primera vez en la historia de las matematicasgriegas, se trataronde una forma rigurosa no solo las ecuaciones de primer grado, sino tambien las desegundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elementalal designar la incognitacon un signo que es la primera sılaba de la palabra griegaarithmos, que significanumero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo quesiglos mas tarde serıa “la teorıa de ecuaciones”. A pesarde lo rudimentario de sunotacion simbolica y de lo poco elegantes que eran los metodos que usaba, se lepuede considerar como uno de los precursores del algebra moderna.

Siglo VII . Los hindues habıan desarrollado ya las reglas algebraicas fundamen-tales para manejar numeros positivos y negativos.

Siglo IX . Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollodel algebra. Al-Jwarizmi investigo y escribio acerca delos numeros, de los metodosde calculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas

23

24 2 Operaciones basicas con polinomios

de ecuaciones. Su nombrelatinizadodio origen a la palabraalgoritmo que, usa-da primero para referirse a los metodos de calculos numericos en oposicion a losmetodos de calculo con abaco, adquirio finalmente su sentido actual de “procedi-miento sistematico de calculo”. En cuanto a la palabraalgebra, deriva del tıtulo desu obra mas importante, que presenta las reglas fundamentales del algebra, Al-jabrwal muqabala.

Siglo X. El gran algebrista musulman Abu Kamil, continuo los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el algebra serıan aprovechados en el sigloXIII porel matemetico italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matematico mu-sulman, Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto yAl-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron alarithmeticade Diofanto.

Siglo XIII . En 1202, despues de viajar al norte deAfrica y a Oriente, dondeaprendio el manejo del sistema de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa, mejorconocido como Fibonacci, publico elliber abaci (tratado delabaco) obra que enlos siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de laaritmetica y el algebra.

Siglo XV . El matematico frances Nicolas Chuquet introdujo en Europa occiden-tal el uso de los numeros negativos, introdujo ademas una notacion exponencial muyparecida a la que usamos hoy en dıa, en la cual se utilizan indistintamente exponen-tes positivos o negativos. En 1489 el matematico aleman Johann Widmann d’Egerinvento los sımbolos “+” y “-” para sustituir las letras “p” y “m” que a su vez eran lasiniciales de las palabraspiu (mas) yminus(menos) que se utilizaban para expresarla suma y la resta.

SigloXVI . En 1525, el matematico aleman Christoph Rudolff introdujo el sımbo-lo de la raız cuadrada que usamos hoy en dıa: este sımbolo era una forma estilizadade la letra “r” de radical o raız. Entre 1545 y 1560, los matematicos italianos Gi-rolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los numerosimaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo,tercero y cuarto grado. En 1557 el matematico ingles RobertRecorde invento elsımbolo de la igualdad, =. En 1591 el matematico frances Francois Viete desa-rrollo una notacion algebraica muy comoda, representaba las incognitas con vocalesy las constantes con consonantes.

Siglo XVII . En 1637 el matematico frances Rene Descartes fusiono la geometrıay el algebra inventando la “geometrıa analıtica”. Invento la notacion algebraica mo-derna, en la cual las constantes estan representadas por las primeras letras del alfa-betoa, b, c, . . . y las variables o incognitas por las ultimasx, y, z. Introdujo tambienla notacion exponencial que usamos hoy en dıa.

2.2. Diferencia delalgebra con la aritmetica

Mientras que en la aritmetica usamos numeros reales, que son especıficos, enel Algebra se emplean sımbolos, que normalmente son letras del alfabeto, consi-derados como numeros generales o literales. Los numeros literales se utilizan en el

2.3 Notacion y terminologıa algebraicas 25

Algebra para permitirnos considerar propiedades generales de los numeros, y no susatributos.

Definicion 2.1.Algebra es la rama de la Matematica que estudia la cantidad consi-derada del modo mas general posible.

2.3. Notacion y terminologıa algebraicas

Los sımbolos usados enAlgebra para representar las cantidades son los numerosy las letras. Los numeros se emplean para representar cantidades conocidas y deter-minadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya seanconocidas o desconocidas.

Lascantidades conocidasse representan por las primeras letras del alfabeto:a,b, c, d . . .

Lascantidades desconocidasse representan por las ultimas letras del alfabeto:u,v, w, x, y, z.

Los signos empleados en elAlgebra son de tres clases:

1. signos de operacion (suma, resta, multiplicacion, division, potenciaciony radi-cacion).

2. signos de relacion ( =, > y <).3. signos de agrupacion(parentesis ordinario(), corchete[] y llaves{}).

Para representar el producto de un numero determinado y unaliteral, se escribenjuntos, primero el numero seguido de la literal.

Por ejemplo−4a indica el producto del numero−4 y la literal a. El producto dedos literales c y d, se escribe como cd.

Cada elemento en la multiplicacion recibe el nombre defactor.En el producto de dos factores, cualquiera de ellos es llamadocoeficiente. Existen

dos tipos de coeficientes (1)coeficientes numericosy (2) coeficientes literales.Por ejemplo en el producto7a, el 7 es el coeficiente numerico y en el producto

ab, a es el coeficiente literal.Cuando una cantidad no tiene coeficiente numerico, su coeficiente es la unidad.El coeficiente indica el numero de veces que el otro factor setoma como suman-

do.Por ejemplo, en la expresion 7a, el coeficiente numerico 7 indica que a se debe

sumar7 veces, o sea7a= a+a+a+a+a+a+a; en el producto ab, el factor aindica que el factor b se debe tomar a veces como sumando, o seaab= b+b+b+b. . .a veces.

Un termino algebraicopuede ser un numero especıfico, un numero literal, unproducto de ellos, cociente, o una extraccion de raız.

Por ejemplo, las cantidades5, 3a, xy, − 5ba ,

√8x son terminos algebraicos.

Unaexpresion algebraicasimboliza una combinacion de terminos mediante adi-cion y sustraccion.


Las cantidades5, 3a, 4y, 2xy, 1−2x, xy− 1x +

√yz son ejemplos de expresiones

algebraicas.Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo al numero de terminos.Monomioes una expresion algebraica que consta de un solo termino.Son ejemplos de monomios xy, −2a, xy

z , (a+b).Polinomioes una expresion algebraica que consta de mas de un termino. A un

polinomio que consta de dos terminos se le llamabinomioy a un polinomio de tresterminos se le llamatrinomio.

Son ejemplos de polinomios x− y, ab2 − 3m

2n , x3−3xy+4y y ax2+bx+ c.Los primeros dos ejemplos son binomios, el tercer y cuarto son trinomios.Para determinarel grado de un terminose suman los exponentes de la parte literal

del termino.Por ejemplo, (a) el termino−5x2 es de grado2 (b) el termino3xy3 es de grado 4

y (c) el termino56x2z2 es de grado 4.El exponente del coeficiente no define el grado de un termino.El gradode un polinomiopuede serabsolutoy con relacion a una letra.El grado absoluto de un polinomio es el grado de su termino demayor grado.Por ejemplo, el polinomio3x6−5x4+10x2−2x+10es de grado absoluto seis,

ya que el termino de mayor grado es3x6.El grado de un polinomio con relacion a una letra es el mayor exponente con el

que aparece dicha letra en el polinomio.Por ejemplo, el polinomio3x6y− 5x4y3 + 10x2y5− 2xy7 es de sexto grado res-

pecto a la literal x , pero de septimo grado respecto a y.Dosterminos son semejantessi tienen las mismas literales afectadas por los mis-

mos exponentes.Por ejemplo, (a) los terminos3x2z y−7x2z son semejantes, (b) los terminos5xy3

y 5x3y no son semejantes puesto que el exponente de cada literal esdistinto.Los terminos semejantes pueden ser sumados o restados, no ası los terminos

que no son semejantes. A la operacion que tiene por objeto convertir en un solotermino dos o mas terminos semejantes se le da el nombre dereduccion de terminossemejantes.

Ejemplo 2.1.Reducir los terminos semejantes de cada expresion algebraica dada.

1. −a2+3mn2+9a2+7mn2 = 8a2+10mn2

2.12

x3y2+14

x2y3− 16

xy4− 38

x2y3+14

x3y2 =34

x3y2− 18

x2y3− 16

xy4

2.4. Evaluacion de expresiones algebraicas

Se llama evaluacion al proceso de calcular el valor numerico de una expresion.El valor numerico de una expresion puede calcularse cuando a cada numero literalse le asigna un valor especıfico.

Al evaluar una expresion algebraica se debe atender la siguiente jerarquıa pararealizar las operaciones.

2.5 Adicion y sustraccion de polinomios 27

Jerarquıa de las operaciones

1. Efectuar los calculos dentro de los signos de agrupacion.2. Multiplicar y dividir en orden de izquierda a derecha.3. Suma y resta en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo 2.2.Hallar el valor numerico de 4a2bc+ 2a2bc3− 5b paraa = 1, b = 2,c= 3.

4a2bc+2a2bc3−5b = 4 ·12 ·2 ·3+2 ·12·2 ·33−5 ·2= 24+108−10

= 122

Ejemplo 2.3.Hallar el valor numerico de3a2

4− 5ab

x+

bax

paraa= 2,b=13

, x=16

.

3a2

4− 5ab

x+

bax

=3 ·22

4− 5 ·2 · 1

316

+13

2 · 16

= 3−10316

+1313

= 3−20+1=−16

2.5. Adicion y sustraccion de polinomios

En aritmetica, la suma siempre significa aumento, pero en algebra la suma esun concepto mas general, pues puede significar aumento o disminucion, ya que haysumas algebraicas que equivale a una resta en aritmetica. La suma tiene por objetoreunir dos o mas expresiones algebraicas (sumandos) en unasola expresion alge-braica (suma).

Para sumar dos o mas expresiones algebraicas se escriben unas a continuacionde las otras con sus propios signos y se reducen los terminos semejantes.

Para restar dos polinomios se escribe el minuendo con sus propios signos y acontinuacion el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los terminossemejantes, si los hay.

Ejemplo 2.4.Hallar la suma de 3m−2n+ p, 6m+3n−5 y−m+n+4p+3La suma se indica anotando los sumandos dentro de parentesis:

(3m−2n+ p)+ (6m+3n−5)+ (−m+n+4p+3)

A continuacion se colocan todos los terminos de estos polinomios unos a continua-cion de los otros y se reducen los terminos semejantes.


3m−2n+ p+6m+3n−5−m+n+4p+3= 8m+2n+5p−2

En la practica se anotan los polinomios unos debajo de los otros de modo que losterminos semejantes queden en columna; y despues se hace la reduccion.

3m− 2n + p6m+ 3n − 5−m+ n + 4p + 38m+ 2n + 5p − 2

Ejemplo 2.5.De 3x−2y+ zrestar 2x+ y−3zLa sustraccion se indica anotando el sustraendo en un parentesis precedido de

un signo menos. Al sustraendo se le quitan los parentesis y al mismo tiempo se lecambian todos los signos a sus terminos. Se reducen terminos semejantes.

3x−2y+ z− (2x+ y−3z) = 3x−2y+ z−2x−y+3z= x−3y+4z

Al igual que en la adicion, la sustraccion puede hacerse por filas; primero el minuen-do y enseguida el sustraendo con todos sus signos cambiados sin olvidar escribirterminos semejantes en la misma columna.

+3x − 2y + z−2x − y + 3z

x − 3y + 4z

2.6. Signos de agrupacion

Los sımbolos de agrupacion, como son los parentesis( ), llaves{ } y corche-tes[ ], se utilizan para senalar de una manera mas sencilla, masde una operacion.

Cuando se escribe un polinomio dentro de un parentesis, se considera a este comouna sola cantidad.

Por ejemplo, la expresion a− (b+ c) significa que la suma de b y c se va asustraer de a.

Eliminar o suprimir los sımbolos de agrupacion significa efectuar las operacionesindicadas por ellos. Se eliminan los sımbolos de uno en uno,empezando con el queeste situado mas adentro, siguiendo el orden propio de lasoperaciones a efectuar.

Ejemplo 2.6.Suprimir los sımbolos de agrupacion y reducir terminos semejantes:

4x2+[−(x2− xy

)+(−3y2+2xy

)−(3x2+ y2)]

2.7 Productos de monomios y polinomios 29

4x2+[−(x2−xy

)+(−3y2+2xy

)−(3x2+y2)] = 4x2+

[−x2+xy−3y2+2xy−3x2−y2]

= 4x2−x2+xy−3y2+2xy−3x2−y2

=(4x2−x2−3x2)+(xy+2xy)+

(−3y2−y2)

= 3xy−4y2

Ejemplo 2.7.Eliminar los sımbolos de agrupacion y reducir terminos semejantes:

−a+b−2(a−b)+3{− [2a+b−3(a+b−1)]}−3[−a+2(−1+a)]

−a+b−2(a−b)+3{− [2a+b−3(a+b−1)]}−3[−a+2(−1+a)]

=−a+b−2a+2b+3{− [2a+b−3a−3b+3]}−3[−a−2+2a]

=−a+b−2a+2b+3{−2a−b+3a+3b−3}+3a+6−6a

=−a+b−2a+2b−6a−3b+9a+9b−9+3a+6−6a

= (−a−2a−6a+9a+3a−6a)+ (b+2b−3b+9b)+ (−9+6)

=−3a+9b−3

2.7. Productos de monomios y polinomios

Las propiedades de los numeros reales, incluyendo las leyes de los signos y lasleyes de los exponentes, se pueden utilizar para hallar el producto de dos o masmonomios, de un monomio y un polinomio, o bien, de dos polinomios. En los si-guientes ejemplos se muestra el procedimiento para llevar acabo estos productos.

Ley de los exponentes:Para multiplicar potencias de la misma base se escribela misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplo 2.8.Hallar el producto de monomios 5x3y ·2xy·7x2y2

5x3y ·2xy·7x2y2 = 5 ·2 ·7 ·x3 ·x ·x2 ·y ·y ·y2 propiedad conmutativa

= 70x3+1+2y1+1+2 se suman exponentes

= 70x6y4 producto

Ejemplo 2.9.Hallar el producto de un monomio por un binomio(3xy2

)(2xy+ y2

)

(3xy2)(2xy+ y2) = 3xy2 ·2xy+3xy2 ·y2 propiedad distributiva

= 6x2y3+3xy4 se multiplican los monomios

= 3xy4+6x2y3 se ordena el resultado

Ejemplo 2.10.Hallar el siguiente producto de los binomios(3x+ y)(4x−2y)


(3x+ y)(4x−2y) = 3x(4x−2y)+ y(4x−2y) (4x−2y) se considera como un solo termino

y se aplica propiedad distributiva

= 12x2−6xy+4xy−2y2 se realizan los productos

= 12x2−2xy−2y2 se simplifican terminos semejantes

Ejemplo 2.11.Hallar el siguiente producto de polinomios(x2−2xy+2y2)(2x2+ xy−2y2)

(x2 −2xy+2y2)(2x2+ xy−2y2)

se aplica propiedad distributiva

= x2(2x2+ xy−2y2)−2xy(2x2+ xy−2y2)+2y2(2x2+ xy−2y2)

se realizan los productos

= 2x4+ x3y−2x2y2−4x3y−2x2y2+4xy3+4x2y2+2xy3−4y4

se simplifican terminos semejantes

= 2x4−4y4+6xy3−3x3y

2.8. Division de polinomios

Definicion 2.2.Supongase queP y D son polinomios con el grado deP mayor queel grado deD, y D 6= 0. Entonces existe un polinomioQ, denominado cociente, y unpolinomioR, denominado residuo, tales queP= D ·Q+R dondeR tiene un gradomenor que el divisorD, o bien puede ser cero.

Algoritmo para la division de polinomios

1. Disponga los terminos enP y D en potencias decrecientes de la variable. Si alguncoeficiente enP es cero, deje un espacio o inserte un cero.

2. Divida el primer termino enP entre el primer termino enD para obtener el primertermino del cocienteQ.

3. MultipliqueD por el primer termino del cociente y sustraiga este producto deP.4. Dejando el divisor sin cambios, tome el resultado del paso3 como el nuevoP y

luego repita los pasos 2 y 3.5. Continue este proceso hasta obtener un residuo cuyo grado sea menor que el de

D.

2.9 Ejercicios 31

Ejemplo 2.12.Halle el cociente y el residuo, si 6x2+5x−1 se divide entre 2x−1.

3x + 4 6x2/2x= 3x y 8x/2x= 4

2x−1 6x2 + 5x - 16x2 - 3x = (2x−1)3x se resta

8x - 18x - 4 = (2x−1)4 se resta

3

El resultado de la division debe escribirse como:

6x2+5x−12x−1

= 3x+4+3

2x−1

Ejemplo 2.13.Divida 6x4−6x2−3+8x− x3 entre−2+2x2+ x.

3x2 - 2x + 1 6x4/2x2 = 3x2

2x2+ x−2 6x4 - x3 - 6x2 + 8x - 3 −4x3/2x2 =−2x y 2x2/2x2 = 1

6x4 + 3x3 - 6x2 =(2x2+x−2

)3x2

- 4x3 + 8x - 3 se resta

- 4x3 - 2x2 + 4x =(2x2+x−2

)(−2x)

2x2 + 4x - 3 se resta

2x2 + x - 2 =(2x2+x−2

)(+1)

3x - 1 se resta

El resultado de la division debe escribirse como:

6x4− x3−6x2+8x−32x2+ x−2

= 3x2−2x+1+3x−1

2x2+ x−2

2.9. Ejercicios

1. Determine el grado absoluto de los terminos siguientes:

1) 5a 2) −3ab3 3) 12xy24)

23

x3y2 5) 34xyz2

2. Determinar el grado de cada polinomio respecto a la literal indicada.

1) a−2a2b+6ab3−5b respecto a la letraa.2) −2a2b+6ab3−5b respecto a la letrab.3)

√5a3b2+6

√3a2b3−b5 respecto a la letraa.

4)√

5a3b2+6√

3a2b3−b5 respecto a la letrab.5) abcx5−2ax7+14a3bc2x respecto a la letraa.6) abcx5−2ax7+14a3bc2x respecto a la letrax.

3. Determinar el grado absoluto de cada uno de los siguientespolinomios.


1) −2a5b3+2a2b3+3b6

2)√

5a3b2+√

3a2b3−4b5

3) abcx5−2ax7+14a3bc2x

4. Escribir un polinomio que satisfaga las caracterısticas dadas en cada inciso.

1) Trinomio de tercer grado absoluto.2) Binomio de quinto grado absoluto.3) De quinto grado respecto a la letraa.4) De tercer grado respecto a la letrax.

5. Ordenar los siguientes polinomios respecto a cualquier letra en orden ascendentey, luego, en orden descendente.

1) 2y4+4y5−6y+2y2+5y3

2) y12−4x9y6+ x12y4+5x3y10

3) −3m15n2+14m12n3−8m6n5+10m3n6+n7−7m9n4+m18n

6. Reducir los polinomios con terminos semejantes de la misma clase:

1)12

a+12

a

2) 3ax−1−ax−1

3) −56

a2b− 18

a2b

4)13

xy+16

xy

5) 0.5m+0.6m+0.7m−0.8m6) mx+1+3mx+1+4mx+1+6mx+1

7) −13

ab− 16

ab− 12

ab− 112

ab− 19

ab

8) 25ma−1−32ma−1+16ma−1

9) −24ax+2−15ax+2+39ax+2

10) −35

m+14

m− 12

m

7. Reducir los polinomios con terminos semejantes de distinta clase:

1)12

a+23

b−3a+12

a−2b

2) 5x−11y−9+20x−1−y3) −a+b− c+8+2a+2b−19−2c−3a−3−3b+3c4) 10− x4y− x3y2− y3+ x2y+ x3y2− x2y−4y3+7x3y2−8x4y+21x4y−50

5)325

am−1− 750

bm−2+35

am−1− 125

bm−2−0.2am−1+15

bm−2

6) 0.3a+0.4b+0.5c−0.6a−0.7b−0.9c+3a−3b−3c

7) 0.4x2y+31+38

xy2−0.6y3− 25

x2y−0.2xy2+14

y3−6

8. Hallar el valor numerico de las expresiones siguientes paraa= 1, b= 2, c= 3,

d = 4, m=12

, n=23

, p=14

, x= 0

2.9 Ejercicios 33

1) a−2b+ c2) a−4b+3c−7d3) c− (2a−d)4) 2c−2(3a−2b)5) 3b−b(3−d)

6)5ad+4bc

ac

7)a+2bc−d

8)4d2

2+

16n2

2−1

9)a+b

c− b+m

d

10)√

4b+

√3a3

−√

6m6

11) x+m(ab+dc− ca

)

12)

(8m9n

+16pb

)a

13) (2m+3n)(4p+b2

)

14) 2mx+6(b2+ c2

)−4d2

15) b2+

(1a+

1b

)+

(1b+

1c

)+

(1n+

1m

)2

9. Hallar la suma de los siguientes polinomios:

1) 4x−3y, 2x−6y2) 7a+7b,−3a−4b3) x−3y, 6x−3y,−x+2y4) 2x−3y+ z, 2y− x, 3y−2z−3x5) 5ab−2a+b, ab+2a−3, 5a−ab6) 10b+5bc−6c, 7bc−4b+ c, 9c−8bc7) 8xy−2yz, 2xy− z+6yz, 9yz−7yx−3z8) ax+2−ax+ax+1, −3ax+3−ax−1+ax+2, −ax+4ax+3−5ax+2

9) m3−n3+6m2n, −4m2n+5mn2+n3, m3−n3+6mn2, −2m3−2m2n+n3

10)23

a2+15

ab− 12

b2,56

a2− 110

ab+16

b2,13

a2− 35

ab+14

b2

10. Hallar la resta indicada:

1) Dea+b restara−b2) De 8a+b restar−3a+43) Dea+b+ c−d restar−a−b+ c−d4) Dey5−9y3+6y2−31 restar−11y4+31y3−8y2−19y5) Demn+1−6mn−2+8mn−3−19mn−5 restar 8mn+5mn−2+6mn−3+mn−4+

9mn−5

6) Restar−x+ y− zdex+3y−6z7) Restarm2−n2−3mnde−5m2−n2+6mn


11. ¿Que debe sumarse al primer polinomio para obtener el segundo?

1) 6x−7y−10,−8x+13y−62) 7x−6y−17, 3x+ y−183) 5x− y−4x, 0

12. Efectuar las operaciones indicadas:

1) Sustraer la suma de 5x+ 6y− 8 y 7y− 2x− 3 de la suma de 6x− 2y+ 1 y5x+7y−9.

2) Sustraer la suma de 8x− 7y− 4 y 7x− 4y+ 5 de la suma de 4x− 5y− 9 y−7x+9y−15.

3) De la suma de 3a−b+9c y 2a+3b−5c sustraer la suma de 3a+14b−2c ya−2b+ c.

13. Elimine los sımbolos de agrupacion y reduzca terminos semejantes:

1) 3a+(4−2a)2) 7a− (a+7)3) 5x− (1−3x)4) 6−3(2x−1)5) (2x−3y)−4(x−5y)6) 2(5x−4y)− (7x+ y)7) 8(2a−b)−4(b−a)8) 3a− (2b+3a)+ (b+a)

9) 12x− (12−5x)+2(3x−4)10) 2x+[y− (x− y)]11) 9y+[3x− (y+4x)]12) a− [7−3(4−a)]13) 4x− [9−4(3− x)]14) x− [3x+(4− x)]− [8−3(x−2)]15) 3y− [x−2(3x− y)]− [2y− (x+3y)]16) 6+4[x− (2x+3)]− [7+3(x−2)]

17) 8−3[8+4(x−4)]− [2x−3(2x−3)]18) 2x−{5y− [2x− y+(x− y)]}19) 10+ {x− [y+(x−3)− (y−6)]}20) 2a−{2b+[−4− (3a−2b)+ (6a−b)]}

14. Halle los productos indicados en cada uno de los siguientes problemas:

1)(2x2y3

)(−3xy2

)

2)(5x4y3

)(−3x2y2

)

3)(−7xy4

)(−2x2y

)

4)(−4x2y3

)(−3x5y2

)

5)(2x3)2

6)(3x2)4

7)(4x5)3

8)(5x2)3

9) 2x2y(3xy3−5x2y4

)

10) 3x3y(2xy2−4x2y

)

11) 4x2y3(2xy3−3x2y

)

12) 5xy4(2x2y3−5xy2

)

13) −2x2y3(3xy2−2x2y

)

14) −3xy2y(2x2y3−5x3y

)

15) 5x3y4(2xy2−4x3y

)

16) 7x2y4(3x3y2−2x5y3

)

17) 2x2y(3y−2x)−3xy2(2x− y)18) 3xy

(2x+3x2y

)−2x2y(4− xy)

19) 5xy3(2x2y−3xy3

)−4x2y

(2xy3−7y5

)

20) 7x2y(2xy3−3x2y2

)−4xy3

(3x2y−5x3

)

15. Desarrolle cada uno de los siguientes productos y simplifique el resultado:

2.9 Ejercicios 35

1) (3x+2y)(2x−3y)2) (4x−3y)(2x+3y)3) (5x−3y)(3x−2y)4) (7x−4y)(2x−5y)5) (4x−7)(3x−4)6) (6x−5)(3x−8)7) (5x+4)(4x−5)8) (2x−7)(7x+2)9) (3x+5)

(2x2−3x−5

)

10) (4x+1)(3x2+4x−1

)

11)(4x2−2x+7

)(2x2+3x−2

)

12)(5x2+2x−3

)(x2−3x−3

)

13) (2x−3y)(3x2+2xy− y2

)

14) (3x+7y)(3x2−4xy+2y2

)

15) (4x−3y)(2x2+5xy−3y2

)

16) (5x− y)(3x2−3xy+2y2

)

17)(2x2+3xy−3y2

)(x2−3xy+2y2

)

18)(2x2− xy+3y2

)(3x2− xy−2y2

)

19)(5x2+2xy+ y2

)(2x2− xy+3y2

)

20)(x2−3xy+2y2

)(x2+3xy− y2

)

16. En los siguientes ejercicios, halle el cociente y el residuo, si se divide la primeraexpresion entre la segunda:

1) 6x3+5x2−4x+4, 2x+32) 6x3−5x2+7x−1, 3x−13) 10x3+ x2−8x+2, 2x+14) 15x3−8x2−6x+9, 5x+45) 4x3−2x+3, 2x−16) 4x3− x+11, 2x+37) 6x3−22x+9, 2x−48) 8x3+10x+1, 4x+29) 2x4+3x3+9x−7,x2+2x−1

10) 2x4+7x3+2x−1,x2+3x−111) 3x4−4x2+8x+3, 3x2+6x+212) 6x4+13x3+15x−6, 2x2− x+213) 6x4+ x3+ x2−7x−9, 3x+214) 3x4−7x3−7x2+5x−7,x−315) 4x4−11x2+ x+2, 2x+316) 3x4+11x3−7x−2, 3x+217) 6x3+ x2−11x−6, 3x+218) 10x3+33x2+14x−15, 2x+519) 6x4−5x3−8x2− x−6, 2x−320) 10x4+11x3−26x2+23x−6, 5x−221) x5−5x4y+20x2y3−16xy4, x2−2xy−8y2

22) 22x2y4−5x4y2+ x5y−40xy5, x2y−2xy2−10y3

23) 24x5−52x4y+38x3y2−33x2y3−26xy4+4y5, 8x3−12x2y−6xy2+ y3

24) x3+ y3+ z3−3xyz, x2+ y2+ z2− xy− xz− yz25) x5+ y5, x4− x3y+ x2y2− xy3+ y4

Capıtulo 3Productos notables y factorizacion

3.1. Productos notables

Definicion 3.1.Se llama productos notables a ciertos productos que cumplenreglasfijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspecci´on, es decir, sin verificarla multiplicacion.

3.1.1. El cuadrado de un binomio

La regla para efectuar este producto notable es la siguiente:

“El cuadrado del primer termino mas el doble producto del primer termino por el segundomas el cuadrado del segundo termino”.

La formula de este producto notable es:

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (3.1)

Debe identificarse adecuadamente el signo de cada termino del binomio, paradesarrollar correctamente el producto notable.

Ejemplo 3.1.Desarrolle el producto notable(3x+2)2 por simple inspeccion.

(3x+2)2 si a= 3x y b= 2, entonces:

(3x+2)2 = (3x)2+2(3x) (2)+ (2)2 simplificando

= 9x2+12x+4

Ejemplo 3.2.Desarrolle el producto notable(4−2y2

)2por simple inspeccion.

37

38 3 Productos notables y factorizacion

(4−2y2)2

si a= 4 y b=−2y2, entonces:(4−2y2)2

= (4)2+2(4)(−2y2

)+(−2y2

)2simplificando y ordenando eny

= 4y4−16y2+16

3.1.2. El cubo de un binomio

La regla para elevar un binomio al cubo es la siguiente:

“El cubo del primer termino, mas el triple producto del cuadrado del primero por el se-gundo, mas el triple producto del primero por el cuadrado delsegundo, mas el cubo delsegundo”.


(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (3.2)

Debe identificarse adecuadamente el signo de cada termino del binomio, paradesarrollar correctamente el producto notable.

Ejemplo 3.3.Desarrolle el producto notable(2x+ y)3 por simple inspeccion.

(2x+ y)3 si a= 2x y b= y, entonces:

(2x+ y)3 = (2x)3+3(2x)2 (y)+3(2x)(y)2+(y)3

simplificando y ordenando enx

= 8x3+12x2y+6xy2+ y3

Ejemplo 3.4.Desarrolle el producto notable(x2−2y

)3por simple inspeccion.

(x2−2y

)3si a= x2 y b=−2y, entonces:

(x2−2y

)3=(x2)3

+3(x2)2

(−2y)+3(x2)(−2y)2+(−2y)3

simplificando y ordenando enx

= x6−6x4y+12x2y2−8y3

3.1.3. Producto de binomios conjugados

La regla para este tipo de productos es la siguiente:

“El cuadrado del primer termino, menos el cuadrado del segundo termino”.


3.1 Productos notables 39

(a+b)(a−b) = a2−b2

Ejemplo 3.5.Desarrolle el producto notable(5x+3y)(5x−3y) por simple inspec-cion.

(5x+3y)(5x−3y) si a= 5x y b= 3y, entonces:

(5x+3y)(5x−3y) = (5x)2− (3y)2 simplificando

= 25x2−9y2

Ejemplo 3.6.Desarrolle el producto notable(3mn+4)(3mn−4)por simple inspec-cion.

(3mn+4)(3mn−4) si a= 3mny b= 4, entonces:

(3mn+4)(3mn−4) = (3mn)2− (4)2 simplificando

= 9m2n2−16

3.1.4. Producto de binomios con un termino comun

La regla para este tipo de productos es la siguiente:

“El cuadrado del termino comun, mas la suma algebraica de los terminos no comunesmultiplicada esta por el termino comun, mas el producto de los terminos no comunes”.

La formula es la siguiente:

(a+b)(a+ c) = a2+(b+ c)a+bc

Ejemplo 3.7.Desarrolle el producto notable(x−3y)(x+ y) por simple inspeccion.

(x−3y)(x+ y) si a= x, b=−3y y c= y, entonces:

(x−3y)(x+ y) = (x)2+(−3y+ y)x+(−3y)(y) simplificando

= x2−2xy−3y2

Ejemplo 3.8.Desarrolle el producto notable(5w−4)(5w+2) por simple inspec-cion.

(5w−4)(5w+2) si a= 5w, b=−4 y c= 2, entonces:

(5w−4)(5w+2) = (5w)2+(−4+2)5w+(−4)(2) simplificando

= 25w2−10w−8


3.2. Factorizacion

Definicion 3.2.Factorizar o descomponer en factores una expresion algebraica esconvertirla en el producto indicado de sus factores.

No todos los polinomios se pueden descomponer en dos o mas factores.

3.2.1. Factor comun de un polinomio

Definicion 3.3.El maximo comun divisor (MCD) de dos o mas expresiones alge-braicas, es la expresion algebraica de mayor coeficiente numerico y de mayor gradoque esta contenida exactamente en cada una de ellas.

Esta factorizacion consiste en determinar elMCD de los terminos de un polino-mio. El MCD nos sirve para factorizar el polinomio como un producto de suMCD yotro polinomio mas sencillo que el original.

Ejemplo 3.9.Factorizar la expresion algebraica 20a3b2−45a2b5.El MCD de 20 y 45 es 5.El MCD dea3 y a2 esa2.El MCD deb2 y b5 esb2.El MCD de 20a3b2−45a2b5 es 5a2b2, entonces la factorizacion queda como:

20a3b2−45a2b5 = 5a2b2(4a−9b3)

3.2.2. Factorizacion por agrupamiento

A menudo, los terminos en un polinomio se pueden se pueden agrupar en talforma que cada grupo tiene un factor comun. Para factorizaresos polinomios, secomienza agrupando aquellos terminos que tengan un factorcomun y luego se aplicala ley distributiva para completar la factorizacion.

Ejemplo 3.10.Factorizar la expresion algebraicaax+bx−ay−by.Los dos primeros terminos tienen el factor comunx y los dos ultimos tienen el

factor comuny. Por tanto, se agrupan el primero y el segundo terminos, as´ı comolos dos ultimos, obteniendose

ax+bx−ay−by= (ax+bx)− (ay+by)

= x(a+b)− y(a+b)

= (a+b)(x− y)

3.2 Factorizacion 41

Ejemplo 3.11.Factorizar la expresion algebraica 8xz−4xy−14z+7y.Los dos primeros terminos tienen el factor comun 4x y los dos ultimos tienen el

factor comun−7. Por tanto, se agrupan el primero y el segundo terminos, ası comolos dos ultimos, obteniendose

8xz−4xy−14z+7y= (8xz−4xy)+ (−14z+7y)

= 4x(2z− y)−7(2z− y)

= (4x−7)(2z− y)

3.2.3. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad. Paraextraer la raız cuadrada de un monomio se extrae la raız cuadrada de su coeficientey se divide el exponente de cada letra por 2.

Un trinomio es cuadrado perfecto (TCP) cuando es el cuadrado de un binomio.

Ejemplo 3.12.4x2+12xy+9y2 es unTCP puesto que

(2x+3y)2 = 4x2+12xy+9y2

Para conocer si un trinomio ordenado con respecto a una letraesTCP, primerose verifica si el primero y tercero terminos son cuadrados perfectos y positivos, y elsegundo termino es el doble producto de sus raıces cuadradas.

Regla para factorizar un TCP

Se extrae la raız cuadrada al primero y tercer terminos deltrinomio y se sepa-ran estas raıces por el signo del segundo termino. El binomio obtenido se eleva alcuadrado.

Ejemplo 3.13.Factorizar el trinomiom2+2m+1.Se comprueba si esTCP:La raız cuadrada dem2 esmy la raız cuadrada de 1 es 1. El doble producto dem

y 1 es 2m. Por lo tantom2+2m+1 si es unTCP.A continuacion se aplica la regla y se obtiene:

m2+2m+1= (m+1)2

Ejemplo 3.14.Factorizar el trinomiox2+bx+b2

4.

Se comprueba si esTCP:


La raız cuadrada dex2 esx y la raız cuadrada deb2

4es

b2

. El doble producto dex

yb2

esbx. Por lo tantox2+bx+b2

4si es unTCP.

A continuacion se aplica la regla y se obtiene:

x2+bx+b2

4=

(x+

b2

)2

3.2.4. Factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos

En la seccion 3.1.3 se desarrollo el producto notable(a+b)(a−b)=a2−b2 y demanera recıproca se puede enunciar la siguiente regla parafactorizar una diferenciade cuadrados.

Se extrae la raız cuadrada al minuendo y al sustraendo, a continuacion se escribe el pro-ducto de la suma por la diferencia entre la raız del minuendoy la del sustraendo.

Ejemplo 3.15.Factorizar la diferencia de cuadradosz2−9.La raız cuadrada dez2 esz y la raız cuadrada de 9 es 3. A continuacion se es-

cribe el producto de la suma por la diferencia entre la raız del minuendo y la delsustraendo.

z2−9= (z+3)(z−3)

Ejemplo 3.16.Factorizar la diferencia de cuadrados 4x2− (x+ y)2.La raız cuadrada de 4x2 es 2x y la raız cuadrada de(x+ y)2es(x+ y). A continua-

cion se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raız del minuendo yla del sustraendo.

4x2− (x+ y)2 = [2x+(x+ y)] [2x− (x+ y)]

= (3x+ y)(x− y)

3.2.5. Factorizacion de un trinomio, completandolo a trinomiocuadrado perfecto

Si al intentar factorizar un trinomio, se comprueba que no estrinomio cuadradoperfecto, puede completarse a trinomio cuadrado perfecto,sumando y restando laexpresion algebraica necesaria, lo que permitira su posterior factorizacion.

Ejemplo 3.17.Factorizar el trinomiox4+ x2y2+ y4.Puede observarse que no esTCP ya que el segundo termino del trinomio, no es

equivalente al doble producto de la raız del primer termino con la raız del tercertermino.

3.2 Factorizacion 43

x2y2 6= 2(x2)(y2)

Para completar elTCP, es necesario sumar y restar al trinomio, en este casox2y2:

x4+ x2y2+ y4 = x4+ x2y2+ y4+ x2y2− x2y2

= x4+2x2y2+ y4

︸︷︷︸TCP

−x2y2

=(x2+ y2)2− x2y2

︸︷︷︸diferencia de cuadrados perfectos

=(x2+ y2+ x2y2)(x2+ y2− x2y2)

3.2.6. Factorizacion de un trinomio de la formaax2+bx+c

Ahora se buscaran los factores del polinomioax2+bx+ c que tengan la forma

(px+q)(rx+ s)

y se supondra quetodos los coeficientes son enteros. Para lograr esto en forma efi-ciente, es util escribir los factores dea por pares y los factores dec por pares, yaque debera cumplirse quepr = a, qs= c y (ps+qr) = b.

Tambien es util conocer el patron de signos ya que de esa manera se eliminanalgunas de las posibilidades. Ademas, se puede suponer quea > 0, ya que siem-pre es posible, si se requiere, factorizar un−1. Por ejemplo,−5x2 + 8x+ 4 =−(5x2−8x−4

)

Si c> 0, los signos en cada uno de los factores deax2+bx+ c deben ser seme-jantes:

(+)(+) si b> 0

(−)(−) si b< 0

Sin embargo, sic< 0, los signos en cada factor deben ser diferentes:

(+)(−)o (−)(+)

Ejemplo 3.18.Factorice el trinomiox2+5x+6.

Se deben escribir dos factores de la forma(

x+ b)(

x+ b)

, ya queb = 5 y

c= 6 son positivos.Se buscan las posibles factorizaciones dec= 6→ 1 ·6 y 2·3De estos factores se buscan aquellos cuya suma sea igual ab, o sea 5. Estos

numeros son: 2 y 3.


Se completa la factorizacion, escribiendo en cada espaciolos numeros encontra-dos.

x2+5x+6= (x+3)(x+2)

Ejemplo 3.19.Factorice el trinomiox2+5x−14.

Se deben escribir dos factores de la forma(

x+ b)(

x− b)

, ya queb = 5 y

c=−14.Se buscan las posibles factorizaciones de 14→ 1 ·14 y 2·7.Por prueba y error se concluye que

x2+5x−14= (x+7)(x−2)

ya que 7−2= 5= b y (7)(−2) =−14.

Ejemplo 3.20.Factorice el trinomio 15x2+11x−12.Comoc = −12 es negativo, el arreglo de los signos debe ser(+)(−). Observe

que 15 es 1·15 o 3·5, mientras que 12 es 1·12 o 2·6 o 3·4. Al intentar diversasposibilidades se ve que la factorizacion real es

15x2+11x−12= (3x+4)(5x−3)

Es conveniente poder determinar si un trinomio cuadraticoes factorizable sinconocer los factores. Mas adelante, al trabajar con la formula cuadratica, se mos-trara que, sia, b y c son enteros,ax2+bx+ces factorizable con coeficientes enterossi y solo sib2−4aces un cuadrado perfecto.

En el ejemplo 3.18,a= 1, b= 5 y c= 6, por lo que

b2−4ac= 52−4 ·1 ·6= 25−24= 1

y 1 es un cuadrado perfecto.En el ejemplo 3.19,a= 1, b= 5 y c=−14, por lo que

b2−4ac= 52−4 ·1 · (−14) = 25+56= 81

y 81 es un cuadrado perfecto, su raız es 9.En el ejemplo 3.20,a= 15,b= 11y c=−12, por lo que

b2−4ac= (11)2−4 ·15· (−12) = 121+720= 841

y 841 es un cuadrado perfecto, su raız es 29.

Ejemplo 3.21.¿Es factorizable el trinomio 7x2−12x+4?a= 7,b=−12 yc= 4, por lo queb2−4ac= (12)2−4·7·(4) = 144−112= 32

y√

32 no es exacta, por lo que 32 no es cuadrado perfecto y el trinomio no esfactorizable con coeficientes enteros.

3.3 Ejercicios 45

3.2.7. Factorizacion de un polinomio por el metodo de evaluacion(division sintetica)

Cuando un polinomio entero y racional enx se anula parax = a, entonces elpolinomio es divisible porx−a. Este principio se aplica para la factorizacion de unpolinomio por elmetodo de evaluacion.

Ejemplo 3.22.Factorizar completamente por evaluacion, si es posible, el polinomiox3+2x2− x−2.

Los valores a evaluar enx son los factores del termino independiente−2 que son:−1, 1,−2 y 2. Si el polinomio se anula para alguno de esos valores, el polinomiosera divisible porx menos ese valor. Mediante division sintetica se tiene:

coeficientes del polinomio 1 2 −1 −2 11 ·1= 1 3·1= 3 2·1= 2

1 3 2 0residuo

El residuo es cero, lo que significa que el polinomio dado, se anula parax= 1,entonces es divisible por(x−1);

x3+2x2− x−2 = (x−1)(x2+3x+2

)︸︷︷︸

trinomioax2+bx+c

= (x−1)(x+1)(x+2)

3.3. Ejercicios

1. Escribir, por simple inspeccion, el resultado de:

1) (x+2)2

2) (x+2)(x+3)3) (x+1)(x−1)4) (x−1)2

5) (n+3)(n+5)6) (m+3)(m−3)7) (a+b−1)(a+b+1)8) (1+b)3

9)(a2+4

)(a2−4

)

10)(3ab−5x2

)2

11) (ab+3)(3−ab)

12) (1−4ax)2

13)(a2+8

)(a2−7

)

14) (x+ y+1)(x− y−1)15) (1−a)(a+1)16) (m−8)(m+12)17)

(x2−1

)(x2+3

)

18)(x3+6

)(x3−8

)

19)(5x3+6m4

)2

20)(x4−2

)(x4+5

)

21) (1−a+b)(b−a−1)22) (ax+bn) (ax−bn)

23)(xa+1−8

)(xa+1+9

)

24)(a2b2+ c2

)(a2b2− c2

)

25) (2a+ x)3

26)(x2−11

)(x2−2

)


27)(2a3−5b4

)2

28)(a3+12

)(a3−15

)

29)(m2−m+n

)(n+m+m2

)

30)(x4+7

)(x4−11

)

31) (11−ab)2

32)(x2y3−8

)(x2y3+6

)

33) (a+b)(a−b)(a2−b2

)

34) (x+1)(x−1)(x2−2

)

35) (a+3)(a2+9

)(a−3)

2. Factorice completamente la expresion o, en su defecto, diga por que no puede serfactorizada.

1) 14x2−42xy2) 3x3−6x2+9x3) 9x4−16x6

4) 4x2−12x+9−25y2

5) x4−81y4

6) x2−14x+497) 12x4−13x3+3x2

8) 12x2−13x−39) xy−3x+2y−6

10) x4−10x2+1611) x4− (4x−5)2

12) 14x2−43x−2113) 14x2+53x−3614) 2(3x−5)2+5(3x−5)−3

15) 9(x2+1

)4−16x2

16) 2ac−3bc−6ad+9bd17) 4x4+11x2+2518) 6x4+13x2−519) bx5−by10

20) 9x2−24x+1621) 12x2−13x−422) 12x2−13x23) x3− y3− x2+ y2

24) x4−22x2+925) 3x2+2x−126) 15x2−4x−3227) x2−36

28) 16x2+8xy5

+y2

25

29)x2

4− y6

81

30) 1− 49

a8

31) x6−4x3−48032) ax−bx+b−a−by+ay33) n2+n−4234) 100x4y6−121m4

35) a2−m2−9n2−6mn+4ab+4b2

36) x8+3x4+437) x4−6x2+138) 16m4−25m2n2+9n4

39) 36x4−109x2y2+49y4

40) 4a8−53a4b4+49b8

41) 49x8+76x4y4+100y8

42) 16−9c4+ c8

43) 225+5m2+m4

44) 49c8+75c4m2n2+196m4n4

45) 81a4b8−292a2b4x8+256x16

46) m3−12m+1647) x3+2x2+ x+248) 6x3+23x2+9x−1849) a4−15a2−10a+2450) 8a4−18a3−75a2+46a+12051) x5−21x3+16x2+108x−14452) n5−30n3−25n2−36n−18053) 2a5−8a4+3a−1254) a6−32a4+18a3+247a2−162a−

36055) a6 − 8a5 + 6a4 + 103a3 − 344a2 +

396a−144

Capıtulo 4Fracciones Algebraicas

4.1. Principio fundamental de las fracciones

Las fracciones algebraicas representan numeros reales y,por lo tanto, se puedensumar, restar, multiplicar y dividir. Una expresion fraccionaria es un cociente deexpresiones algebraicas.

Antes de definir las operaciones con fracciones algebraicasrecordemos algunosfundamentos de las fracciones.

Puesto que las fracciones algebraicas representan numeros reales las propiedadesque se aplican a las fracciones son las mismas y, ademas se incluyen algunas nuevas.

Para todos los numeros realesa, b, c y d conb 6= 0 y d 6= 0;

1) Fracciones equivalentes

ab=

cd

si y solo siad= bc

2) Principio fundamental de las fracciones

akbk

=ab

para todak 6= 0

3) Signos de las fracciones

ab

=−a−b

= −−ab

= − a−b

−ab=

−ab

=a−b

= −−a−b

Se debe recordar que la division entre cerono esta definida.Hay tres tipos de signos que se asocian a una fraccion. Son elsigno que precede

al numerador, el signo que precede al denominador y el signo que precede a lafraccion. Si se cambian dos signo cualesquiera, la nueva fraccion es equivalente.

47

48 4 Fracciones Algebraicas

4.2. Simplificacion de fracciones algebraicas

El principio fundamental se puede usar en dos formas. Una fraccion se puedesimplificar eliminando un factor comun tanto del numerador como del denomina-dor. A esto se le llamacancelar, simplificar, o reducir. Por otra parte, en muchassituaciones es preferible introducir un factor comun, mediante la multiplicacion, enel numerador y en el denominador.

Una fraccion esta en su mınima expresion, si el numerador y el denominadorno tienen, a excepcion del 1, factores comunes.El principio fundamental se puedeemplear para reducir una fraccion a su mınima expresion eliminando los factorescomunes, no los terminos comunes que se sumen. Esto ultimo lo podemos ver en elejemplo 4.1.

Ejemplo 4.1.a+b+ ca+b+d

6= cd

pero(a+b)c(a+b)d

=cd

Ejemplo 4.2.Simplifique la fraccion dada a su mınima expresion

1.a2+aba+b

2.x2+5x+6x2+3x+2

3.−3xy+6y2

x−2y

4.3x3−3xy2

x2y− xy2

1. Se obtiene factor comuna y el factor(a+b) se cancela.

a2+aba+b

=a(a+b)

a+b= a

2. Se factoriza numerador y denominador y se elimina el factor (x+2).

x2+5x+6x2+3x+2

=(x+2)(x+3)(x+2)(x+1)

=x+3x+1

3. Se obtiene factor comun−3y y el factor(x−2y) se cancela.

−3xy+6y2

x−2y=

−3y(x−2y)x−2y

=−3y

4. Se factoriza numerador y denominador y se eliminan los factoresx y (x− y).

3x3−3xy2

x2y− xy2 =3x(x2− y2

)

xy(x− y)=

3x(x+ y)(x− y)xy(x− y)

=3(x+ y)

y

4.3 Multiplicacion y division de fracciones algebraicas 49

4.3. Multiplicaci on y division de fracciones algebraicas

Si a/b y c/d son dos fracciones en las queb y d son diferentes de cero, suproducto es

ab· cd=

acbd

El producto de dos o mas fracciones dadas es una fraccion cuyo numerador esigual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominadores igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas.

Ejemplo 4.3.Calcule el producto indicado.

1.3xy2a

· 6ab3xz

· −5z2

10b2x

2.a+1a+2

· a2−4a2+4a+3

· a2−9a2−4a+4

1. Multiplicando en forma directa y cancelando se obtiene:

3xy2a

· 6ab3xz

· −5z2

10b2x=

−90xyabz2

60ax2zb2 =− 3yz2xb

2. Primero se factoriza y luego se cancelan factores iguales:

a+1a+2

· a2−4a2+4a+3

· a2−9a2−4a+4

=a+1a+2

· (a−2)(a+2)(a+1)(a+3)

· (a+3)(a−3)(a−2)(a−2)

=a−3a−2

Para dividira/b entrec/d se escribe

abcd

=

ab· d

ccd· d

c

=

ab· d

c1

=ab· d

c

Para hallar el cociente de dos fracciones, se multiplica el numerador por el recıprocodel denominador.

Ejemplo 4.4.Calcule el cociente indicado.

1.2ab3x

÷ 2a3xy

2.a3+3a2

a2−9÷ a2+2a

a2−5a+6

1. Sabiendo queabcd

=ab· d

cla division se puede escribir como:


2ab3x

÷ 2a3xy

=2ab3x

· 3xy2a

multiplicando directamente y simplificando

=6abxy6ax

= by

2.

se transforma el cociente en un producto

a3+3a2

a2−9÷ a2+2a

a2−5a+6=

a3+3a2

a2−9· a2−5a+6

a2+2ase factoriza y simplifica

=a ·a(a+3)

(a+3)(a−3)· (a−3)(a−2)

a(a+2)=

a(a−2)a+2

4.4. Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas

Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, simplementese reescribe el denominador y se suman o restan los numeradores, segun el caso.

Por ejemplo,

ad+

bd=

a+bd

yad− b

d=

a−bd

Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar no son iguales, pri-mero se cambian las fracciones originales por fracciones equivalentes con el mismodenominador, y luego se suman como se acaba de indicar en el caso anterior.

Definicion 4.1.El mınimo comun multiploMCM (tambien conocido como mınimocomun denominador) de dos o mas expresiones algebraicas,es la expresion alge-braica de menor coeficiente numerico y de menor grado, que esdivisible exacta-mente por cada una de las expresiones algebraicas dadas.

Para determinar elMCM, se comienza factorizando cada uno de los denominado-res en factores primos. Luego se escribe el producto de los distintos factores primosde los denominadores y se da a cada factor primo un exponente igual al maximoexponente de ese factor primo en cualquiera de los denominadores dados. Ası, si losdenominadores sonx2, x4 y x7, el MCM esx7.

Ejemplo 4.5.Halle elMCM de las fracciones

2x

(x−2)4 (x+1)

3x2+1

(x−2)(x+1)3 (x−1)y

177

(x−2)2 (x−1)2

Para obtener elMCM se escriben los factores primos de los denominadores y acada uno de ellos se le anota el mayor exponente con el que aparece.

4.4 Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas 51

Factores primos:(x−2), (x+1) y (x−1)Los maxmos exponentes son: 4, 3 y 2 respectivamente.Entonces elMCM es:(x−2)4 (x+1)3 (x−1)2

Ejemplo 4.6.Convierta el grupo de fracciones en fracciones equivalentes con undenominador comun.

x−3y(x−2y)(x+ y)

,2x− y

(3x− y)(x+ y)y

x− y(x−2y)(3x− y)

Factores primos:(x−2y), (x+ y) y (3x− y) cada factor aparece con exponente1.Entonces elMCM es:(x−2y)(x+ y)(3x− y)Se multiplica el numerador y denominador por los factores que resulten ser elnuevoMCM en el nuevo denominador:

x−3y(x−2y)(x+ y)

· (3x− y)(3x− y)

=−(3x− y)2

(x−2y)(x+ y)(3x− y)

2x− y(3x− y)(x+ y)

· (x−2y)(x−2y)

=−(x−2y)2

(x−2y)(x+ y)(3x− y)

x− y(x−2y)(3x− y)

· (x+ y)(x+ y)

=(x− y)(x+ y)

(x−2y)(x+ y)(3x− y)=

x2− y2

(x−2y)(x+ y)(3x− y)

Ejemplo 4.7.Efectuar la operacion indicada y simplificar.

43x

+5x− 3

5x2

Los denominadores son diferentes; por lo tanto, se debe determinar elMCM entreellos. ElMCM es 15x2, escribiendo nuevamente cada fraccion con el nuevo denomi-nador, se obtiene:

43x

+5x− 3

5x2 =20x15x2 +

75x15x2 −

915x2 =

20x+75x−915x2 =

95x−915x2

Ejemplo 4.8.Escriba

x−3y(x−2y)(x+ y)

+2x− y

(3x− y)(x+ y)− x− y

(x−2y)(3x− y)

como una sola fraccion.En el ejemplo 4.6 se obtuvieron las fracciones equivalentes, por lo que solamente

se escribira la suma y resta indicadas en el numerador, el denominador es el mismopara todas las fracciones.


−(3x− y)2

(x−2y)(x+ y)(3x− y)+

−(x−2y)2

(x−2y)(x+ y)(3x− y)− x2− y2

(x−2y)(x+ y)(3x− y)=

−(3x− y)2+[−(x−2y)2

]−(x2− y2

)

(x−2y)(x+ y)(3x− y)

Simplificando la fraccion:

−(3x−y)2+[−(x−2y)2

]−(x2−y2

)

(x−2y)(x+y)(3x−y)=

−(9x2−6xy+y2)− (x2−4xy+4y2)−x2+y2

(x−2y)(x+y)(3x−y)

=−9x2+6xy−y2−x2+4xy−4y2−x2+y2

(x−2y) (x+y) (3x−y)

=−11x2+10xy−4y2

(x−2y)(x+y)(3x−y)

4.5. Fracciones complejas

Una fraccion compleja es una fraccion en la que al menos unode los terminos deuno o ambos miembros es una fraccion. Las siguientes expresiones racionales sonfracciones complejas:

3749

3x−5x+13x+6

(x−1)(x+2)x2−41− xx−2

1− x+ yx− y

1− x2−5xy+6y2

x−3y

La transformacion de una fraccion compleja a una fraccion mas simple se puedehacer mediante dos metodos:

1. El primer metodo consiste en calcular elMCM de todas las fracciones de la frac-cion compleja y luego multiplicar el numerador y el denominador de la fraccioncompleja por eseMCM.

2. El segundo metodo consiste en efectuar las operaciones indicadas en el numera-dor y denominador de la fraccion compleja y, luego, dividirel resultado que seobtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador.

Ejemplo 4.9.Simplificar la fraccion compleja

2+3a5b

a+10b3

1. Empleando el primer metodo, se tiene que elMCM es 15b, luego se multiplicanumerador y denominador por eseMCM.

4.6 Ejercicios 53

2+3a5b

a+10b3

· 15b15b

=30b+9a

15ab+50b2 =3(10b+3a)5b(3a+10b)

=35b

2. Por el segundo metodo, se efectuan las operaciones indicadas en numerador ydenominador. A continuacion se hace la division del numerador entre el denomi-nador.

2+3a5b

a+10b3

=

10b+3a5b

3a+10b3

−→ 10b+3a5b

÷ 3a+10b3

=10b+3a

5b· 33a+10b

=35b

Ejemplo 4.10.Simplificar la fraccion compleja

x−1

x+2− x2+2

x− x−2x+1

Las fracciones de esta forma se llaman continuas y se simplifican efectuando lasoperaciones indicadas empezando de abajo hacia arriba.

x−1

x+2− x2+2

x− x−2x+1

=x−1

x+2− x2+2x2+x−x+2

x+1

Se simplifica la fraccionx− x−2x+1

=x−1

x+2−x2+2

1x2+2x+1

Se simplifica la fraccionx2+2

x2+x−x+2x+1

=x−1

x+2− (x+1)(x2+2)x2+2

Se simplifica la fraccionx2+2

1x2+2x+1

=x−1

x+2− (x+1)Se simplifica la fraccion

(x+1)(x2+2

)

x2+2

=x−1

x+2− x−1=

x−11

= x−1

4.6. Ejercicios

1. Reduzca las fracciones dadas a su mınima expresion.

1)x2+ x−6x2+5x+6

2)2h2+3h−23h2+7h+2


3)a2+4a+3a2−a−2

4)3w2−8w+42w2−w−6

5)(x− y)

(2x2+ xy−6y2

)

(x+2y)(3x2− xy−2y2)

6)(2a−b)

(a2−ab−6b2

)

(a+2b)(2a2+3ab−2b2)

7)5x−3

x(5x−3)+5x−3

8)x3− y3

x2− y2

9)x+2

(x+3)x+2

10)

(x2−1

)(y3− y2

)x2

(xy− x2)(x+1)(y+1)

2. Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

1)7a

6m2 ×3m

10n2 ×5n4

14ax

2)2x2+ x

6× 8

4x+2

3)5x+25

14× 7x+7

10x+50

4)m+n

mn−n2 ×n2

m2−n2

5)xy−2y2

x2+ xy× x2+2xy+ y2

x2−2xy

6)x2−4xy+4y2

x2+2xy× x2

x2−4y2

7)2x2+2x

2x2 × x2−3xx2−2x−3

8)a2−ab+a−b

a2+2a+1× 3

6a2−6ab

9)(x− y)3

x3−1× x2+ x+1

(x− y)2

10)2a−2

2a2−50× a2−4a−5

3a+3

11)17a2b3

26x2 ÷ 51a3b13x4

12)14x2y9a3 ÷ 35y3

18a3

13)6a2b3

8x2y6 ÷ 15a4b12xy3

14)28a4b9

22x3y5 ÷ 35a6b9

55xy5

15)4a2b4

9x4y2 ÷ 8a4b9

27x3y6

16)3a2b−ab2

x2 ÷ 6a2−2abx4

17)x

14a3+21a2b÷ x3

6a2+9ab

18)4x3

3x2−3xy÷ x2

x2− y2

19)64x6

16x2−16y2 ÷4x5

3xy+3y2

20)x3+ xx2− x

÷ x3− x2

x2−2x+1

3. Realizar la operacion indicada y reducir el resultado a su mınima expresion.

1)x

x−5− 5

x−5

2)x−12x−3

+1− x2x−3

3)2x−13x−2

+1−2x3x−2

4)3x+22x+3

+x−22x+3

5)2x+13x−7

− x+83x−7

6)14x

7x+2− 7x−2

7x+2

7)x−13x2 +

x+13x2

8)4x−1

5x2 +3x+1

5x2

9)x+26x3 +

3x−26x3

10)5x2−4

8x3 +x2+48x3

11)2x2+1

4x2 − 2x2−14x2

12)9x2+7

6x3 − 7−3x2

6x3

4.6 Ejercicios 55

13)x3−32x4 − 7x3−3

2x4

14)3x2−1

3x3 − 6x2−13x3

15)2x

x−1− 2

x−1

16)6x2

6x−7− 7x

6x−7

17)x2

x2+ x− x

x2+ x

18)3x−42x−5

+x−62x−5

19)4x2+3x5x+2

+x2− x5x+2

20)3x+14x−2

− x+14x−2

21)2x+33x−6

− 3− x3x−6

22)x+4

4x2−8x− x−4

4x2−8x

23)x2−3

x2−8x+12+

2x−1x2−8x+12

− x+2x2−8x+12

24)7x2−20x

16x2−48x+27+

6x2−10x16x2−48x+27

− 6x−3x2

16x2−48x+27

25)x2+4x

4x4−13x2+3+

x2−2x4x4−13x2+3

− 3x4x4−13x2+3

26)x−4x−3

+x−13− x

27)5

t −1+

3t

28)1

x2−16− x+4

x2−3x−4

29)6

9−a2 −3

12+4a

30)4

x2−1− 2

x2−2x+1

31)3

2a+18+

27a2−81

32)x

x2−7x+6− x

x2−2x−24

33)4x

x2−4− 2

x2+ x−6

34)3

(x−1)2(x+1)+

2(x−1)(x+1)2

35)x+4

x2− x−2− 2x+3

x2+2x−8

36)2x−3

x2+8x+7− x−2

(x+1)2

37)1h

(1

x+h− 1

x

)

38)1h

(1

(x+h)2 −1x2

)

4. Simplificar las siguientes expresiones:


1)1+

x+1x−1

1x−1

− 1x+1

2)

1x−1

+2

x+1x−2

x+

2x+6x+1

3)

aa−b

− ba+b

a+ba−b

+ab

4)

x+3x+4

− x+1x+2

x−1x+2

− x−3x+4

5)

m2

n− m2−n2

m+nm−n

n+

nm

6)

1x+ y+ z

− 1x− y+ z

1x− y+ z

− 1x+ y+ z

7)1+

2b+ ca−b− c

1− c−2ba−b+ c

8)

a1−a

+1−a

a1−a

a− a

1−a

9)

x+1− 6x+12x+2

x−5

x−4+11x−22

x−2x+7

10)1

1+1x

Capıtulo 5Exponentes y radicales

5.1. Notacion y leyes de los exponentes

Los exponentes y los radicales proporcionan una notacion conveniente que per-mite tratar con problemas en los que interviene lo muy grande, tal como el tamanode las galaxias, y lo muy pequeno, tal como la distancia entre las celulas.

Definicion 5.1.Si a es un numero real yn es un entero positivo, entoncesan repre-senta al producto den factores cada uno de los cuales esa. Esto es,

an = a ·a ·a ·a. . .a︸︷︷︸n veces

La cantidadan se llama laenesimapotencia dea o biena a lan. El numeroa sedenomina labasey n el exponentede la base. La primera potencia de un numero seexpresa sin escribir un exponente (por ejemplo,a1 = a). Se debe tomar en cuentaquean 6= 0 a menos quea= 0.

Las siguientes cinco leyes de los exponentes son validas para exponentesenterospositivos.

Si a es un numero real ym y n son enteros positivos, entonces

Ley 1. aman = am+n

Ley 2.am

an =

am−n si m> n1 si m= n1

an−m si m< nLey 3. (am)n = amn

Ley 4. (ab)m = ambm

Ley 5.(a

b

)m=

am

bm si b 6= 0

Para exponentes negativos y nulos se tienen las siguientes definiciones.

Definicion 5.2.si a es un numero no nulo, entoncesa0 = 1.

Definicion 5.3.Si n es un entero positivo ya 6= 0, entoncesa−n = 1an .

57


Si los exponentes son fraccionarios se deben considerar lassiguientes definicio-nes.

Definicion 5.4.Si a y b son numeros tales que la enesima potencia deb (n enteropositivo) es igual aa, entoncesb se conoce como una enesima raız dea. Esto es, sibn = a, entoncesb es una raız enesima dea.

Definicion 5.5.Cuandon es un entero par, la enesima raız de un numeroa se llamala enesima raız principal dea. Cuandon es impar, la enesima raız real de un numeropositivo o negativoa se conoce como la enesima raız principal.

Definicion 5.6.Si m/n es un numero racional, dondem y n son enteros positivos,entoncesa

mn = n

√am, a≥ 0 si n es par ya−

mn = 1

amn

, si a 6= 0.

5.1.1. Simplificacion de fracciones con exponentes de diversostipos

Ejemplo 5.1.Simplifique cada expresion al efectuar las operaciones indicadas y de-jando el resultado sin exponentes negativos o nulos.

1.

(5x2y2

)3

(10xy4)2

2.x−2+ y−2

(xy)−2

3.(x1/2−1

)(x1/2+1

)

4.

(x1/2y−3/5

x0y−2/5

)−5

1. Se eleva cada factor del numerador al exponente 3 y cada factor del denominadoral exponente 2 y se simplifica la fraccion.

(5x2y2

)3

(10xy4)2 =125x6y6

100x2y8 =5x4

4y2

2. Se aplicaa−n = 1an para cada termino del numerador y denominador. Se simpli-

fica la fraccion compleja resultante.

x−2+ y−2

(xy)−2 =

1x2 +

1y2

1(xy)2

=

y2+x2

x2y2

1x2y2

= x2+ y2

3. Se multiplican los binomios conjugados

(x1/2−1

)(x1/2+1

)=

((x1/2

)2−12

)= x2/2−1= x−1

5.2 Leyes de los radicales 59

4.(

x1/2y−3/5

x0y−2/5

)−5

=

(x0y−2/5

x1/2y−3/5

)5

=x0y(−2/5)·5

x(1/2)·5y(−3/5)·5 =y−2

x5/2y−3=

y−2+3

x5/2=

y

x5/2

5.2. Leyes de los radicales

Hay cuatro leyes de los radicales que son consecuencia inmediata de las corres-pondientes leyes de los exponentes, dadas tambien para cada caso. Restringiremosa m y n a ser enteros positivos y aa y b a ser no negativos siempre quem o n seapar.

Ley 1. n√

an = ( n√

a)n= a (an)1/n =

(a1/n

)n= a

Ley 2. n√

ab= n√

a n√

b (ab)1/n = a1/nb1/n

Ley 3. n

√ab=

n√

an√

b

(ab

)1/n=

a1/n

b1/nsi b 6= 0

Ley 4. n√

m√

a= nm√

a(a1/m

)1/n= a(1/m)(1/n) = a1/mn

Estas leyes se pueden emplear para hacer cambios en los radicales, siendo lasmas comunes las siguientes:

1. Remover factores del radicando.2. Convertir el radicando en no fraccionario.3. Expresar un radical como un radical de orden mas bajo.4. Incluir un factor dentro del signo radical.

Se dice que un radical esta en su forma mas simple cuando lasoperaciones 1, 2 y3 se han llevado a cabo. La operacion 2 se llamaracionalizacion del denominador.

Observe que sia≥ 0, entonces√

a2 = a. Sin embargo sia< 0, entonces√

a2 =−a.

Por ejemplo,√(−3)2 =

√9= 3=−(−3)

Lo anterior se puede resumir de la siguiente manera

√a2 = |a|

Ejemplo 5.2.Simplifique el radical dado:

1.√

81a4b2

3.6

√64a6

b12 +a

2. 4√

81m4n12

4.

√a2+2a+1a2−2a+1

1.√

81a4b2 =(81a4b2)1/2

= (81)1/2 (a4)1/2(b2)1/2= 9a2b

2.4√

81m4n12=(81m4n12)1/4

=(34)1/4(

m4)1/4(n12)1/4

= 3mn3


3. 6

√64a6

b12 +a =

(64a6

b12

)1/6

+a=(26a6)

1/6

(b12)1/6 +a

6

√64a6

b12 +a =2ab2 +a=

2a+ab2

b2 =a(2+b2

)

b2

4.

√a2+2a+1a2−2a+1

=

(a2+2a+1a2−2a+1

)1/2

=

[(a+1)2

(a−1)2

]1/2

=(a+1)2/2

(a−1)2/2=

(a+1)(a−1)

Ejemplo 5.3.Incluya el coeficiente con la potencia apropiada dentro del signo radi-cal de

2x

√1− 1

4x2

2x

√1− 1

4x2 =

√(2x)2

√4x2−1

4x2 =

√4x2 (4x2−1)

4x2 =√

4x2−1

Ejemplo 5.4.Racionalice el numerador y simplifique la expresion√

x+h+3−√

x+3h

Multiplicamos por el conjugado del numerador y dividimos por el mismo

√x+h+3−

√x+3

h·√

x+h+3+√

x+3√x+h+3+

√x+3

=

(√x+h+3

)2−(√

x+3)2

h(√

x+h+3+√

x+3)

=x+h+3− x−3

h(√

x+h+3+√

x+3)

=h

h(√

x+h+3+√

x+3)

=1√

x+h+3+√

x+3

La tecnica utilizada en el ejemplo 5.4 es muy utilizada en c´alculo diferencial eintegral.

5.3. Adicion y sustraccion de radicales

Los radicales que tienen el mismo orden y el mismo radicando se llaman radi-cales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes se puede expresarcomo un radical sencillo mediante el uso de la ley distributiva. Se pueden convertirradicales no semejantes a radicales semejantes cuando se simplifican. Los radicalesque no es posble expresar como radicales semejantes se pueden sumar y restar indi-cando los signos apropiados, aunque estos resultados no se expresaran mediante unsolo radical.

5.4 Multiplicacion y division de radicales 61

Ejemplo 5.5.Simplifique la expresion

3√

2a4+3 3√

16a−√

2a

3√

2a4+3 3√

16a−√

2a =3√

2a ·a3+33√

23 ·2a−√

2a

= a 3√

2a+6 3√

2a−√

2a

= (a+6) 3√

2a−√

2a

Ejemplo 5.6.Simplifique la expresion radical

√8a3b3+

3√

ab− 3√

8a4b4− 4√

4a2b2

Los radicales no son identicos, sin embargo, algunos de ellos se pueden convertiren otro equivalente

√8a3b3 =

√(2ab)22ab= 2ab

√2ab

3√

ab=3√

ab3√

8a4b4 =3√(2ab)3 ab= 2ab 3

√ab

4√

4a2b2 =2

√2√(2ab)2 =

√2ab

Reescribiendo la expresion, se obtiene:

√8a3b3+

3√

ab− 3√

8a4b4− 4√

4a2b2 = 2ab√

2ab+ 3√

ab−2ab 3√

ab−√

2ab

se agrupan terminos

=(

2ab√

2ab−√

2ab)+(

3√

ab−2ab 3√

ab)

se reescribe la expresion y se factoriza

=√

2ab(2ab−1)+ 3√

ab(1−2ab)

= (2ab−1)(√

2ab− 3√

ab)

5.4. Multiplicaci on y division de radicales

Se pueden multiplicar dos radicales del mismo orden mediante la aplicacion de laley 2 de la seccion 5.2. Para multiplicar dos radicales de ordenes diferentes, primeroes necesario expresarlos como radicales del mismo orden. Elorden de los nuevosradicales debe ser el Maximo Comun Multiplo de los ordenes de los radicales ori-ginales. En esta parte derivamos una ley para elevar el ordende un radical.


n√

a= a1/n = a1/n·c/c = cn√

ac

donden es el orden del radical yc es un entero positivo mayor que 1. Considerandoquea≥ 0 cuandoc es par. En consecuencia tenemos una ley mas de los radicales.

Ley 5. n√

a= cn√

ac si a≥ 0 cuandoc es para1/n = ac/cn

Ejemplo 5.7.Realice las operaciones indicas y simplifique los resultados.

1.√

18x2y·√

2xy3

2.√

x· 3√

x · 4√

x3. 3

√15x4÷ 3

√4x

1. El orden de ambos radicales es igual

√18x2y·

√2xy3 =

√(18x2y)(2xy3)

=√

36x3y4

= 6xy2√x

2. El orden de los radicales es distinto, por lo que se tiene que encontrar elMCM delos tres; el orden correspondiente a cada radical es1

2, 13 y 1

4, por lo que elMCM

es: 112.

Reescribiendo radicales y simplificando tenemos:

√x · 3

√x· 4

√x =

12√

x6 · 12√

x4 · 12√

x3

=12√

x6 ·x4 ·x3 =12√

x13

=12√

x12 ·x= x · 12

√x

3. Reescribiendo la expresion y aplicando la ley 2 de los exponentes.

3√

15x4÷ 3√

4x =

(15x4

)1/3

(4x)1/3

=

(15x4

4x

)1/3

=

(154

x3)1/3

= x

(154

)1/3

5.5 Ejercicios 63

5.5. Ejercicios

1. Efectue las operaciones indicadas y simplifique el resultado en los siguientesproblemas.

1) 3234

2)65

63

3)

(23

)4

4) (22)3

5) (2223)3

6) (5x2y3)(3x0y4)

7)12x4y5

3x2y2

8) (a2b4)2

9) (2a3b2)3

10)(a2b0)4

(a3b2)2

11)

(a3b2

c3

)2(a2c4

b

)3

12)

(8a3b2

c4d3

)3

(4a4b3

c5d4

)2

13)(a2n−1bn+3)2

an−2bn+1

14) 3−2

15)3−1

3−3

16) (3−2)2

17) 2−423

18)a3

b−2

19)a−1b−2

a2b2c3

20)3a−1b−2

2−1a3b−5

21)18x

13 y−

12

6x−13 y

12

22)

(2−3m−2w4−1mw−2

)−1


23)

(a−2

b3

)−3

24) 12513

25) 0.6412

26) 6√

6427) 4

√81

28)√

25a2b6

29)

√8a3

b6

30)

√676a4

b2

31)(

3x14

)(2x

13

)

32)(

5x13

)(3x

15

)

33)(25x2y4

) 12

34)(

64a35 b−3

) 13

35)(8x3y6

) 13(9x2y6

)− 12

36)

(x2a+b

xa+b

) 1a

37) 4(3x+2)12 (2x−3)−

23 +9(2x−3)

13 (3x+2)−

12

38) −3(x+2)(x−1)−4+(x−1)−3

39)√

2740)

√80

41) 3√

4042) 5

√96

43)√

8√

244) 3

√18 3

√12

45) 5√

a5 5√

a4

46) 3√

20x2y4 3√

50xy2

47)√

15x2y√

6x4y3

48) 3

√135x10y−1

320x−2y5

49)a−1b−3−a−3b−1

b−3−a−3

5.5 Ejercicios 65

2. Simplifique la operacion indicada a su mınima expresion.

1) 3√√

92)√

3√

16

3)√

3√

x8

4) 3√√

645) 3

√−12 3

√9

6) 3√−15 3

√−18

7) 3√−14 3

√−49

8) 3√

4 3√

2x9) 3

√6 3√

9x10) 3

√2x 3√

x2

11) 3√

3x2y 3√

9x12) 3

√4xy2 3

√−10y13) 3

√−6x2 3

√18xy

14) 4√

3a3 4√

27a2

15) 4√

6a2 4√

8a3

16) 5√

4a2 5√

8a4

17) 5√

10a4 5√

16a3

18)√

2 3√

419)

√5 3√

520)

√2a 3

√4a

21)√

3a 3√

9a2

22)√

3a 4√

9a23)

√2a 4

√4a3

24)√

2(√

2+√

3)25)

√3(√

3−√

2)26)

√5(√

5−2√

2)27)

√7(2

√7+

√3)

28)√

6(√

6−√

22)29)

√5(3

√10+2

√15)

30)√

14(3√

6+2√

21)31)

√6(5

√30−

√42)

32)√

x(√

x+√

y)33)

√x(2

√x−√

y)34)

√x(√

xy+√

3x)35)

√5x(

√10xy−

√15x)

36)√

10xy(√

5x−√2y)

37)√

21xy(√

14x−√3y)

38) (3+√

2)(3−√

2)39) (2+

√3)(2−

√3)

40) (1+√

2)(1−√

2)41) (2+

√2)(2−

√2)

42) (3+√

5)(3−√

5)

43) (2+√

3)(4−√

3)44) (5+

√2)(7−6

√2)

45) (√

2+√

3)(√

2−√

3)46) (

√5+

√2)(

√5−

√2)

47) (√

5−√

3)(√

5+√

3)48) (

√2−2

√3)(

√2+2

√3)

49) (3√

6+√

2)(√

6−4√

2)50) (3

√2−4)(

√2−3

√3)

51) (√

5+2√

7)(3√

5+√

7)52) (1+

√2)2

53) (2+√

3)2

54) (3−2√

2)2

55) (1+2√

3)2

56) (√

3+5√

2)2

57) (√

3+2√

2)2

58) (2√

6−√

3)2

59) (√

6−2√

5)2

60) (2+√

x)(3−√x)

61) (√

x−3)(√

x+4)62) (

√2+ x)(

√2−3x)

63) (√

3−2x)(2√

3+ x)64) (x+

√2)(x−

√2)

65) (x+√

3)(x−√

3)66) (x+

√y)(x−√

y)67) (2x+

√y)(2x−√

y)68) (x+2

√y)(x−2

√y)

69) (3x+√

2y)(3x−√2y)

70) (√

x−√y)(

√x+

√y)

71) (√

2x+√

3y)(√

2x−√3y)

72) (√

x+3√

y)(2√

x−√y)

73) (√

2x+√

y)(√

2x+3√

y)

74) (√

2+ x)2

75) (x−√

3)2

76) (√

x−√

2)2

77) (√

x−2√

5)2

78) (√

2x+√

3y)2

79) (√

5x−2√

y)2

80) (√

x−1+2)2

81) (√

x+2+4)2

82) (√

x−3−2)2

83) (√

x+9−3)2

84) (3−√

x+1)2


85) (6+√

2x+1)2

86) (4−√

2x−3)287) (

√x+

√x+1)2

Capıtulo 6Ecuaciones lineales y cuadraticas en unavariable

6.1. Ecuaciones lıneales.

Una ecuacion es un enunciado que afirma que dos expresiones algebraicas soniguales. Muchas aplicaciones a situaciones practicas de las matematicas se puedenmanejar haciendo uso de las ecuaciones.

Definicion 6.1.Una ecuacion lineal es aquella que puede escribirse en la formaax+b= 0 siendoa 6= 0.

Definicion 6.2.Una ecuacion cuadratica es aquella que se puede escribir en la for-maax2+bx+ c= 0 siendoa 6= 0.

Las expresiones que aparecen en ambos lados del signo de igualdad reciben elnombre de lados o miembros de la ecuacion.

La ecuacion10x−11= 5x−1

es verdadera six se sustituye por 2 ya que en tal caso cada lado es igual a 9. Alnumero que hace verdadera la ecuacion se le llamasolucion o raız. Al conjunto detodas las soluciones de una ecuacion se le llamaconjunto solucion. Resolver unaecuacion quiere decir hallar todas sus soluciones.

Algunas ecuaciones son validas para todo valor de la variable, o incognita, paralas que esten definidas todas las expresiones. Una identidad es una ecuacion que esvalida para todo valor de la variable, si todas las expresiones estan definidas. Todonumero permisible es una solucion de una identidad.

Si una ecuacion no es una identidad, recibe el nombre deecuacion condicional.La ecuacionx = 5 es una ecuacion condicional ya que es cierta solo six tiene elvalor 5. La ecuacionx+18= x+20 es una ecuacion condicional sin solucion.

Dos ecuaciones sonequivalentessi toda solucion de una de ellas tambien es so-lucion de la otra. El concepto de ecuaciones equivalentes es de gran importanciaen la solucion de ecuaciones. La finalidad es la de sustituiruna ecuacion por ecua-ciones equivalentes mas simples sucesivamente hasta que se obtenga una que se

67


pueda resolver con facilidad. Para lograr esto, se utilizanalgunas propiedades de losnumeros reales.

1. Se puede sumar el mismo numero a ambos lados de una ecuaci´on.2. Sustraer el mismo numero de ambos lados de una ecuacion.3. Multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo numerodiferente de cero.

Ejemplo 6.1.Resuelva la ecuacion

x−5= 4

x−5 = 4

x−5+5 = 4+5 se suma 5 en cada miembro de la ecuacion

x = 9 se simplifica


9x−1= 3x−10

9x−1 = 3x−10 Ecuaciondada

9x−1+1−3x= 3x−10+1−3x Sumando(1−3x)

6x = −9 Agrupando terminos

x = −96

Dividiendo entre 6


3x−4= 5ax+2c

3x−4 = 5ax+2c Ecuacion dada

3x−4−5ax+4= 5ax+2c−5ax+4 Sumando(−5ax+4)

3x−5ax= 2c+4 Agrupando terminos

x =2c+43−5a

Dividiendo entre(3−5a)


x−12x−1

− xx+1

=2− x2

2x2+ x−1

6.2 Aplicaciones de las ecuaciones lineales en una variable 69

x−12x−1

− xx+1

=2− x2

2x2+ x−1Ecuacion dada

(x−1)(x+1)− x(2x−1) = 2− x2 Multiplicando por elMCM (2x−1) (x+1)

x2−1−2x2+ x = 2− x2 Simplificando

−x2+ x−1 = 2− x2

x = 3

6.2. Aplicaciones de las ecuaciones lineales en una variable

Un problema planteado con palabras o problema aplicado es una situacion en laque intervienen cantidades conocidas y desconocidas y relaciones entre ellas. Lassiguientes sugerencias son utiles para resolver estos problemas.

1. Lea el problema cuidadosamente y asegurese de que la situacion se comprendeen todos sus detalles.

2. Identifique las cantidades, tanto las conocidas como las desconocidas, que inter-vengan en el problema. A menudo resulta util hacer un dibujoo diagrama querepresente la situacion.

3. Asigne una letra a la variable desconocida (incognita),y luego exprese las demasincognitas en terminos de esta variable, en caso de ser posible.

4. Busque en el problema, la informacion que diga que cantidades, o combinacionesde ellas, son iguales.

5. Escriba una ecuacion en la que se involucren las expresiones halladas.6. Resuelva la ecuacion obtenida.7. Verifique la solucion delproblema original.

Ejemplo 6.5.La longitud de un rectangulo excede a su ancho en 2 m. Si cada dimen-sion se incrementa en 3 m, entonces el area se incrementar´ıa en 51 m2. Encuentrelas dimensiones originales.

Se desea encontrar las dimensiones de un rectangulo y nos dan informacion acer-ca de otro rectangulo relacionado. Representamos conx el ancho del rectangulo ori-ginal y conx+2 su longitud. Luego,x+3 y x+5 representan el ancho y el largodel rectangulo relacionado, respectivamente (ver figura 6.1).

Las areas de los rectangulos son:

A1 = x(x+2) =(x2+2x

)m2 area del rectangulo original

A2 = (x+3)(x+5) =(x2+8x+15

)m2 area del rectangulo relacionado

Sabiendo queA2 excede en 51 m2 el area 1, obtenemos:


Figura 6.1 Figura para el ejemplo 6.5.

A1+51= A2

x2+2x+51= x2+8x+15 Sustituyendo

−6x = −36 Simplificando

x = 6 Dividiendo entre -6

Ası, las dimensiones del rectangulo original son:

Ancho = 6 m y largo= 8 m

Estos resultados se pueden verificar.

A1 = x(x+2) =(x2+2x

)m2 area del rectangulo original

Si x= 6, entoncesA1 =

(62+2 ·6

)m2 = 48 m2

A2 = (x+3)(x+5) =(x2+8x+15

)m2 area del rectangulo relacionado

Si x= 6, entoncesA2 =

(62+8 ·6+15

)m2 = 99 m2

por lo queA2 = A1+51 m2

6.3. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones consiste en un conjunto de dos o masecuaciones,simultaneas en una o mas variables. La solucion de un sistema de ecuaciones es

6.3 Sistemas de ecuaciones lineales 71

un conjunto de valores de las variables, que al ser sustituidos en cualquiera de lasecuaciones, se convierten en una proposicion verdadera.

El proceso de determinar la solucion de un sistema se llamaresolver el siste-ma. Si dos o mas sistemas de ecuaciones tienen el mismoconjunto solucion, se lesdenominasistemas equivalentes.

Definicion 6.3.Una ecuacion lineal en dos variables es escrita de la forma:

ax+by= c

dondea,b y c son constantes.

Si todas las ecuaciones de un sistema, son de esta forma, entonces el sistema esllamadosistema de ecuaciones linealeso simplementesistema lineal. Entonces unsistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, es de laforma:

ax+by= cdx+ey= f

dondea, b, c, d, e y f son constantes.Es posible determinar un sistema de ecuaciones equivalentea otro, si se realizan

alguna de las siguientes operaciones:

1. Intercambiando dos ecuaciones.2. Reemplazando una ecuacion por un multiplo (diferente de cero) de la misma.3. Reemplazando una ecuacion por el resultado de la suma de la misma con un

multiplo de otra ecuacion.

6.3.1. Solucion de sistemas de dos ecuaciones lineales en dosvariables

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican de la siguiente manera:

1. Consistentes e independientes. Tales sistemas tienen exactamente una solucion.2. Inconsistentes. Tales sistemas no tienen solucion.3. Dependientes. Tales sistemas tienen infinidad de soluciones.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, es necesarioobtener de las dos ecuaciones dadas, una sola ecuacion con una incognita. A estaoperacion se le denominaeliminacion.

Existen varios metodos de solucion, de los cuales, solo seconsideraran tres:

1. Eliminacion por igualacion.2. Eliminacion por sustitucion.3. Eliminacion por reduccion (tambien llamado suma y resta).


Ejemplo 6.6.Resolver por el metodo de eliminacion por igualacion, elsistema

7x+4y= 13 (6.1)

5x−2y= 19 (6.2)

Se despeja cualquiera de las incognitas; por ejemplox, en ambas ecuaciones.Despejandox en (6.1)

7x = 13−4y

x =13−4y

7

Despejandox en (6.2)

5x = 19+2y

x =19+2y

5

Ahora seigualan las dos ecuaciones obtenidas y se resuelve paray la ecuacionresultante

13−4y7

=19+2y

55(13−4y) = 7(19+2y)

65−20y = 133+14y

−20y−14y = 133−65

−34y = 68

y = −2

Sustituyendo este valor dey en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemploen (6.1), se tiene

7x+4(−2) = 13

7x−8 = 13

7x = 21

x = 3

Sustituyendo los valores obtenidosx= 3, y=−2 en las ecuaciones (6.1) y (6.2),ambas se convierten en proposiciones verdaderas.

Ejemplo 6.7.Resolver por el metodo de eliminacion por sustitucion, el sistema

6.3 Sistemas de ecuaciones lineales 73

2x+5y=−24 (6.3)

8x−3y= 19 (6.4)

Se despeja cualquiera de las incognitas; por ejemplox, en una de las ecuaciones.Despejandox en (6.3)

2x = −24−5y

x =−24−5y

2

Este valor dex sesustituyeen la ecuacion (6.4) y se resuelve paray la ecuacionresultante

8

(−24−5y2

)−3y = 19

4(−24−5y)−3y = 19

−96−20y−3y= 19

−20y−3y = 19+96

−23y = 115

y = −5

Sustituyendo este valor dey en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemploen (6.3), se tiene

2x+4(−5) = −24

2x−25= −24

2x = 1

x =12

Puede comprobarse que al sustituir los valores obtenidosx = 12, y = −5 en las

ecuaciones (6.3) y (6.4), ambas se convierten en proposiciones verdaderas.

Ejemplo 6.8.Resolver por el metodo de eliminacion por reduccion, el sistema

5x+6y= 20 (6.5)

4x−3y=−23 (6.6)

En este metodo, se busca igualar los coeficientes de la mismavariable en ambasecuaciones. En este ejemplo, se busca igualar los coeficientes dey.


El MCM de los coeficientes dey, 6 y 3, es el 6. Entonces se multiplica la ecuacion(6.6) por 2, para que los coeficientes sean iguales, obteniendo ası, un sistema deecuacionesequivalenteal original

5x+6y = 20

8x−6y = −46

Ahora, los coeficientes dey en ambas ecuaciones son iguales, pero de signosopuestos, lo que permitirareducir el sistema de ecuaciones a una sola ecuacion, alsumarlas algebraicamente

5x + 6y = 208x − 6y = − 46

13x = − 26x = − 26

13x = − 2

Sustituyendo el valor obtenido dex, en cualquiera de las ecuaciones dadas, porejemplo en (6.5), se tiene

5(−2)+6y = 20

−10+6y = 20

6y = 30

y = 5

Si se sustituyen los valores obtenidosx = −2, y = 5 en las ecuaciones (6.5) y(6.6), ambas se convierten en proposiciones verdaderas.

6.4. Ecuaciones cuadraticas

Definicion 6.4.Una ecuacion de la formaax2+ bx+ c= 0 en la quea, b y c sonconstantes,a 6= 0, recibe el nombre deecuacion cuadratica.

La ecuacionax2 + bx+ c = 0 representa laforma estandar de una ecuacioncuadratica. Las ecuaciones

4x2+3x+1 = 0

9x2−5x = 2x+8

2x2+5x+6 = 7x2−2x

2x+x4− x2 = 7+5x

6.4 Ecuaciones cuadraticas 75

son ecuaciones cuadraticas, pero solo la primera tiene laforma estandar.Si ax2 + bx+ c = 0 se puede factorizar, se utilizara la siguiente propiedaddel

factor cero para resolver la ecuacionax2+bx+ c= 0.Seanp y q numeros reales. Entoncespq= 0 si y solo sip= 0 o q= 0 o ambas

cosas.Existen varios metodos para resolver una ecuacion cuadr´atica. El primero es el

de la solucion por factorizacion. Para emplearlo, es absolutamente esencial que:

Uno de los lados de la ecuacion sea igual a cero.

Ejemplo 6.9.Resuelva, por factorizacion, la siguiente ecuacion cuadratica:

12x2+23x=−5

Se hace uno de los miembros igual a cero y se factoriza.

12x2+23x=−5

12x2+23x+5= 0

(3x+5)(4x+1) = 0

Empleando la propiedad del factor cero

(3x+5) = 0 o bien (4x+1) = 0

Esto ocurre cuando

x=−35

o bien x=−14

Ejemplo 6.10.Resuelva la ecuacion cuadratica:

x2−6x+2= 0

En este caso no existen factores enteros para el trinomio dado, por lo que sepuede hacer uso del metodo de completar el trinomio cuadrado perfecto.

x2−6x+2 = 0 Ecuacion dada

x2−6x = -2 Se resta 2

x2−6x+9 = -2+9 Se suma 9 y se completa elTCP

(x−3)2 = 7 Se factoriza

(x−3) = ±√

7 Se aplica la propiedad de las raıces cuadradas

x = 3±√

7 Se resuelve para x

En este caso el trinomio dado es de la formaax2+bx+c= 0 dondea= 1. En elcaso de quea 6= 0, la ecuacion se divide entrea y ası el coeficiente dex2 se convierteen 1.

La forma estandarax2 + bx+ c = 0 de la ecuacion cuadratica se puede resol-ver tambien completando el trinomio cuadrado perfecto, como en el ejemplo 6.10,


obteniendo como resultado laformula generalpara la solucion de este tipo de ecua-ciones.

ax2+bx+ c = 0 a 6= 0

ax2+bx= −c Se suma−c

x2+ba

x = − ca

Se divide entrea

x2+ba

x+

(b2a

)2

= − ca+

(b2a

)2

Se suma

(b2a

)2

(x+

b2a

)2

=

(b2a

)2

− ca

Se factoriza el primer miembro

(x+

b2a

)2

=

(√b2−4ac

2a

)2 Se resuelve el lado derecho yse escribe como un cuadradoperfecto

x = − b2a

±√

b2−4ac2a

Se resuelve parax

x =−b±

√b2−4ac

2aSe simplifica la expresion

Ejemplo 6.11.Resuelva, por la formula general, la ecuacion cuadratica

2x2−6x+4= 0

Seana= 2, b=−6 y c= 4; entonces

x =−(−6)±

√(−6)2−4(2)(4)

2(2)se sustituyen los valores dea, b y c

x =6±

√4

4=

32± 1

2se simplifica

x1 = 2 y x2 = 1

6.4.1. Discriminante

En la formula cuadratica, la expresionb2−4acocurre dentro del signo radical yse le llamadiscriminante. Su signo da informacion de las raıces deax2+bx+c= 0,si a, b y c son numeros reales.

Supongase queax2+bx+ c= 0 y a, b y c son reales.

1. Sib2−4ac> 0, entonces hay dos raıces reales y distintas.2. Sib2−4ac= 0, entonces hay dos raıces iguales al numero real−b/2a.

6.6 Ejercicios 77

3. Sib2−4ac< 0, entonces existen dos raıces que son numeros complejos,conju-gados el uno del otro.

6.5. Aplicaciones de las ecuaciones cuadraticas.

Ası como existen muchos problemas que se pueden resolver mediante las ecua-ciones lineales, hay muchos otros que se pueden resolver empleando ecuacionescuadraticas. Se pueden utilizar los mismos procedimientos basicos que los utiliza-dos para resolver ecuaciones lineales.

Ejemplo 6.12.Un carro viaja 10 km/h mas rapido que un camion. El camionrecorre600 km en 2 h menos que lo que tarda el camion en recorrer esa misma distancia.Encuentre la rapidez de cada vehıculo en kilometros por hora.

En este problema debemos utilizar la ecuacion de cinematica que nos dice que

distancia= rapidez multiplicada por tiempo

Si x km/h es la rapidez del camion, entoncesx+10 es la rapidez del carro. Entonces600/x es el tiempo del camion y 600/(x+10) es el tiempo del carro. Puesto que ladiferencia de los tiempos es 2 h, escribimos

600x

− 600x+10

= 2

la ecuacion se multiplica porx(x+10) y se obtiene:

600(x+10)−600x= 2(x2+10x)

600x+6000−600x= 2x2+20x

2x2+20x−6000= 0

x2+10x−3000= 0

(x+60)(x−50) = 0

de donde:x1 =−60 y x2 = 50

Eliminando el valor negativo, encontramos que la rapidez del camion es de 50 km/hy que la del carro es de 60 km/h.

6.6. Ejercicios

1. Encuentre la solucion de cada una de las siguientes ecuaciones.


1) 2x+3x= 52) 2x+5x−3x= 323) 5x+9x−8x= 114) x−6x+10x= 15) 6x−8x+15x=−266) 9x−6x−8x= 207) 3x− x−12x= 308) 4x−2x+6x= 09) 2x−10x+5x= 8

10) 13x+4x−2x=−20

11)13

x+56

x= 14

12)23

x− 12

x=−6

13)34

x− 23

x= 1

14)47

x− 13

x= 2

15)711

x− 522

x=922

16)37

x− 49

x=221

17)45

x− 78

x=920

18)32

x−2x=38

19)57

x−2x=− 314

20)512

x− x=−78

21)32

x+16=

23

x− 23

22)23

x− 52= 1− x

2

23)34

x− 43=

x2− 1

3

24)x3− 1

4=

13− x

4

25)x4− x

12=

x2+

12

26)5x4+

112

=2x3− 1

2

27)2x3− 1

4=

56+

3x4

28)7x8− 1

6=

2x3+

14

29)5x6− 3

8=

7x4− 2

3

30)3x4− 7

8=

5x3− 5

12

31)2x3+

29=

3x4+

718

32)7x12

− 34=

29− 7x

18

33)3x5− 1

15=

5x9+

15

34)11x16

+98=

x3+

512

35)5x6+

34=

2x15

+25

36)7x12

− 54=

3x5− 2

3

37)2x7+

49=

2x9+

13

38)2x9− 1

4=

3x8+

118

39) 214

x+7=12− x

40) 312

x−10=13−1

23

x

41) 216

x+213=

x2−2

42) 334

x−123

x= x−413

2. Resuelva las ecuaciones siguientes.

1) x− 8x= 2

2) 12x− 15x+8= 0

3)x2+1=

1x

4) x+3=1x

5) 4x− 7x−2

= 5

6) 6x− 15xx+3

= 4

7)x−154x−3

= 2x+9

8)7

2−3x= 3x+8

6.6 Ejercicios 79

9)9

x−3= 2x+1

10)7

x+2+

5x−4

= 6

11)2x

x−1+

4x+2

= 5

12)5x

2x−1+

2x3x+2

= 3

13)45x

3x−4− 40x

2x−3= 1

14)2x

3x−1− 3

2x+1= 1

15)21

x−4+

17x2x+3

+8= 0

16)3x

x2+ x−2− 22

x2+5x+6=

2x2+2x−3

17)5x

x2− x−6+

2x2+ x−2

=2

x2+4x+3

18)x

x2+ x−2+

2x2+3x+2

=2

x2−1

19)9x

x2+ x−12− 11x

3x2+11x−4=

83x2+10x+3

20)13

2x2−3x−20+

7xx2− x−12

+38x

2x2+11x+15= 0

3. En los siguientes problemas escriba una ecuacion linealque represente el proble-ma, y resuelva dicha ecuacion.

1) Halle tres enteros consecutivos cuya suma sea igual a 75.2) En un inicio de clases, los Hooking gastaron $224 en la nueva ropa escolar de

sus hijos. Si la ropa del mayor de sus hijos costo 113 del costo de la ropa para

el menor, ¿cuanto gastaron por cada nino?3) La poblacion de Mattville era de 41 209 en 1984. Si dicha poblacion fue 5015

menos que el doble de la poblacion de Mattville en 1978, ¿cu´al fue el aumentode la poblacion en esos anos?

4) El Dr. Dixit corrio un total de 6600 yardas en tres noches.Si cada noche elaumento la distancia recorrida 440 yardas, ¿que tanto corrio la primera noche?

5) La familia Kitchen gasto $625 en la compra de intrumentosmusicales paracada uno de sus hijos. Si uno de los instrumentos costo $195 mas que el otro,¿cuanto costo cada instrumento?

6) El candidato ganador para presidente en una escuela recibio 2898 votos. Si esacantidad fue 210 mas que la mitad de los votos emitidos, ¿cuantos estudiantesvotaron?

7) Ellen se dio cuenta de que ya habıa resuelto la tercera parte de los problemasde su tarea de matematicas, y que cuando ella hubiera resuelto dos problemasmas estarıa a la mitad de los problemas. ¿Cuantos problemas tenıa la tarea deEllen?

8) John convino trabajar en el rancho de su tıo tres meses por$650 y un au-tomovil usado. Al cabo de 2 meses se requerıa su presencia en la casa de suspadres, por lo que su tıo solo le pago $200 y el automovil. ¿Cuanto valıa elautomovil?

9) Sal tiene en su coleccion 316 estampillas mas que Bruce,y en total tienen2736 estampillas. ¿Cuantas estampillas tiene cada uno?


10) La mitad menos ocho de los estudiantes de cierto grado en una escuela tienenautomovil propio. Si el numero de automoviles es 258, ¿ cuantos estudianteshay en ese grado?

11) Un estudiante tiene calificaciones de 75, 83, 68, 71 y 58 enexamenes parcia-les. Si el final cuenta13 de la calificacion del curso y las calificaciones parcia-les determinan los otros23, ¿que calificacion debera obtener el estudiante enel examen final para tener un promedio de 75 en el curso?

12) La ecuacionC = 5(F − 32)/9 da la relacion entre las escalas Fahrenheit yCelsius de temperatura. Calcule la temperatura a la cual ambas escalas indicanel mismo valor numerico.

13) El coeficiente de inteligencia se representa porIQ y esta dado porIQ =100m/c, siendom la edad mental yc la edad cronologica. Calcule la edadmental de un nino de 10 anos si tiene unIQ de 120.

14) Si un feto tiene mas de 12 semanas, entoncesL = 1.53t −6.7, dondeL es lalongitud, en centımetros, yt es la edad, en semanas. Calcule la edad de unfeto que tiene la longitud de 17.78 cm.

15) Gordon calculo que cuando hubiese ahorrado $21 mas, tendrıa la cuarta partedel dinero necesario para comprar la camara que desea. ¿Cu´anto cuesta lacamara, si ya ha ahorrado la sexta parte del dinero necesario?

16) Durante unas vacaciones, Sara y Raquel ganaron $160 por cuidar el patiode un vecino y alimentar el perro de otro vecino. ¿Cuanto ganaron por loscuidados del patio, si esa cantidad fue $40 mas que lo que ganaron por cuidarel perro?

17) Durante un viaje, Jennifer observo que su automovil tenıa un rendimiento de21 mi/gal de gasolina excepto los dıas en los que utilizaba el aire acondicio-nado, ya que en ese caso el rendimiento era apenas de 17 mi/gal. Si utilizo 91galones de gasolina para viajar 1751 millas, ¿a lo largo de cuantas millas uti-lizo el aire acondicionado?

18) Marıa invirtio una parte de $31750 a 9% y el resto a 10%. Si la ganancia totalque obtuvo fue de $3020, ¿que cantidad invirtio a cada tasa de interes?

19) Los Chant gastaron $1488 en alfombrar su nueva casa. La alfombra utilizadaen la sala costo $13 por yarda cuadrada y la empleada en las habitacionescosto $10 por yarda cuadrada. Si en las habitaciones se utilizaron 20 yardascuadradas mas que en la sala, ¿cuanto gastaron los Chant encada tipo dealfombra?

20) Ellis gano $8200 en un ano dando en renta dos departamentos. Calcule la rentaque cobraba por cada uno, si uno de ellos era $50 por mes mas caro que elotro, y si el mas caro estuvo vacante durante 2 meses.

21) Sarah tiene ingresos por $30000 de los negocios que heredo. Paga impues-tos por un total de 28% e invierte parte de lo que queda a 10% y elresto a12%. ¿Que cantidad esta a cada tasa, si los ingresos totales debido a estasinversiones son de $2360?

22) Una empresa desea invertir $50 000. Parte de ellos se invierten en un fondoque paga 12.5%, y el resto en otro que paga 14%. Halle la suma a cada tasa,si el ingreso anual por las dos es de $6640.

6.6 Ejercicios 81

23) Fred es 3 anos mayor que su hermana Mary. Dentro de 7 anos, ella tendra seisseptimos de la edad de el. ¿Cuales son sus edades?

4. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

1)8x−5 = 7y−9

6x = 3y+6

2)3(x+2) = 2y

2(y+5) = 7x

3)30− (8− x) = 2y+30

5x−29= x− (5−4y)

4)6 =

12−4yx

2 =6−3x

y

5)2x = 1−3y

6y = −4x+2

6)x+ y =

35

x2+

y2= 1

7)

5x12

− y = 9

x− 3y4

= 15

8)

x5=

y4

y3=

x3−1

9)

x7+

y8= 0

x7− 3y

4= 7

10)12x+5y+6= 0

5x3− 7y

6= −12

11)

x−24

− y− x2

= x−7

3x− y8

− 3y− x6

= y−13

12)y(x−4) = x(y−6)

5x−3

− 11y−1

= 0

13)

x− y−1x+ y+1

= − 317

x+ y−1x− y+1

= −15

14)

3x+2yx+ y−15

= −9

4x3− 5(y−1)

8= −1

15)

72x−3y+6

= − 73x−2y−1

6x− y+4

=10

y+2

16)

x+ y+ z= 6

x− y+2z= 5

x− y−3z= −10


17)

x− y+ z= 2

x+ y+ z= 4

2x+2y− z= −4

18)

2x+4y+3z= 3

10x−8y−9z= 0

4x+4y−3z= 2

19)

2x− y+3z= 4

3x+2y− z= 3

x+3y−4z= −1

20)

−x +3y −z = 4

x +4y = 5

2x −6y +2z= 3

5. Resuelva la ecuacion dada

1) 16x2 = 12) 16x2 = x3) 6x2−5x−4= 04) 9x2+18x+2= 05) x2−4x+1= 06) 4x2+12x+3= 0

7) x2−4x+7= 08) 4x2−20x+34= 09) 16x2+8x+5= 0

10) 24x2−2x−15= 011) 7(x−5)2+189= 012) x4−10x2+9= 0

13) 2(x2−4x)2−5(x2−4x)−3= 0

6. En los problemas siguientes escriba una ecuacion cuadr´atica que represente elproblema y luego resuelva la ecuacion

1) Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea igual a su suma mas19.

2) Halle dos enteros impares consecutivos cuyo producto seaigual al triple de susuma mas 15.

3) Encuentre dos numeros cuya diferencia sea 8 y cuyo producto sea igual a 273.4) Divida 67 en dos partes cuyo producto sea igual a 1120.5) La diferencia entre el cuadrado de un numero positivo y 7 veces ese numero

es igual a 18. Calcule el numero.6) Encuentre un numero negativo tal que la suma de su cuadrado y el quintuplo

del numero sea igual a 14.7) Si la longitud del lado de un cuadrado aumenta 6 unidades, su area se multi-

plica por 4. Calcule la longitud del lado original.8) Dos numeros tienen una diferencia de 9 y la suma de sus rec´ıprocos es 5/12.

Calcule los numeros.9) El dıgito de las decenas de cierto numero es 3 mas que el dıgito de las uni-

dades. La suma de los cuadrados de los dos dıgitos es igual a 117. Halle elnumero.

6.6 Ejercicios 83

10) El dıgito de las decenas de cierto numero es 4 mas que eldıgito de las uni-dades. La suma de los cuadrados de los dos dıgitos es igual a 26. Halle elnumero.

11) Wesley compro algunas acciones en $1560. Despues, cuando el precio habıaaumentado $24 por accion, vendio todas sus acciones excepto 10, en $1520.¿Cuantas acciones habıa comprado?.

12) Dorothy maneja 10 mi, luego aumenta la velocidad en 10 mi/h y maneja otras25 mi. Calcule la velocidad original si manejo durante 45 min.

13) Dos hermanos lavan el automovil familiar en 24 min. Si cada uno de elloslava el automovil por separado, el hermano menor tarda 20 min mas que elhermano mayor. ¿En que tiempo lava el automovil el hermanomayor?

14) En cierto ano, el senor Billings recibio $72 por concepto de dividendos deuna acciones. La senora Billings recibio $50 de otras acciones, cuyo precioera $200 menos y con una tasa menor en 1%. Calcule la tasa mayor.

Parte IITrigonometr ıa

Elaborado por:Leonel Magana MendozaLuis Dante Vazquez Santoyo

Capıtulo 7Los angulos y su medida

7.1. Conceptos preliminares

7.1.1. Angulos

En geometrıa, unangulo se define como el conjunto de puntos determinadospor dos rayos, o semirrectas,l1 y l2, que tienen el mismo punto extremoO. Si Ay B son puntos enl1 y l2, nos referimos alangulo AOBcomo∡AOBo ∠AOB. Unangulo tambien se puede considerar como dos segmentos de recta finitos con unpunto extremo comun como se muestra en la figura 7.1.

O

B

A

l2

l1

Figura 7.1 Definicion de angulo.

En trigonometrıa, con frecuencia se interpretan los angulos como rotaciones delıneas. Se comienza con un rayo fijol1 cuyo punto extremo esO, y se hace giraralrededor deO en un plano hasta una posicion especificada por la lıneal2. A l1se le llamalado inicial, l2 es el lado final o lado terminaly O es elvertice de∠AOB. La cantidad y direccion de rotacion no esta restringidaen modo alguno. Esposible quel1 haga varias revoluciones en cualquier direccion alrededor deO antesde llegar a la posicion del2, como lo ilustran las flechas curvas de la figura 7.2; por

87

88 7 Los angulos y su medida

lo tanto muchos angulos diferentes tienen los mismos ladosiniciales y terminales.Dos angulos cualesquiera de este tipo se llamanangulos coterminales.

l2

l1lado inicial

lado terminal

l2

l1lado inicial

lado terminal

Figura 7.2 Angulos coterminales.

Si se introduce un sistema de coordenadas rectangulares, entonces laposicionestandar de un angulo se obtiene al colocar el vertice en el origen y hacer que el ladoinicial l1 coincida con el ejex positivo. Sil1 se hace girar en direccioncontraria algiro de las manecillas de un reloj hasta la posicion terminal l2, el angulo se considerapositivo. Si l1 gira en direccion de las manecillas del reloj, el angulo esnegativo.Los angulos se denotan muchas veces con letras griegas min´usculas comoα (alfa),β (beta),γ (gamma),θ (theta),φ (fi) y ası sucesivamente.

x

yIII

III IV

l1

l2

αx

yIII

III IV

l1

l2

βx

yIII

III IV

l1

l2

γ

Figura 7.3 Cuadrantes y angulos en un sistema de coordenadas.

En el sistema coordenado rectangular, los sectores que forman la lınea recta enla direccion dex perpendicular a la lınea recta en la direccion dey, forman loscua-drantesdel sistema coordenado, denotandolos en el sentido contrario a las maneci-llas de un reloj como primer cuadrante “I”, segundo cuadrante “II” tercer cuadrante“III” y cuarto cuadrante “IV” a partir del ejex positivo. La figura 7.3 contiene trazosde dos angulos positivosα y β , y un angulo negativoγ. Si el lado terminal de unangulo en posicion estandar esta en cierto cuadrante, se dice que el angulo se hallaen ese cuadrante. Un angulo se llamaangulo cuadrantalsi su lado terminal esta en

7.1 Conceptos preliminares 89

un eje coordenado. En la figura 7.3,α esta en el tercer cuadrante,β en el primero yγ en el segundo.

7.1.2. Clasificacion de losangulos

Los angulos se clasifican segun su magnitud, segun sus caracterısticas y segun suposicion.Segun su magnitud

1. Angulos Nulos: son aquellos iguales a 0◦.2. Angulos Convexos: son aquellos mayores que 0◦ pero menores que 180◦. Los

angulos convexos a su vez son de tres clases:

a) Angulos Agudos: son aquellos menores que 90◦.b) Angulos Rectos: son aquellos iguales a 90◦. Sus lados son dos rectas perpen-

diculares.c) Angulos Obtusos: son aquellos mayores que 90◦.

3. Angulos Llanos: son aquellos iguales a 180◦. Sus lados forman una lınea recta.4. Angulos Concavos: son aquellos mayores que 180◦ y menores que 360◦.5. Angulos completos (o de vuelta). Son aquellos que miden 360◦.

(a) (b) (c)

Figura 7.4 Clasificacion de los angulos segun su magnitud: (a) angulo agudo, (b) angulo recto y(c) angulo obtuso.

(a) (b) (c)

Figura 7.5 Clasificacion de los angulos segun su magnitud: (a) angulo convexo, (b) angulo llanoy (c) angulo concavo.


Segun sus caracterısticas

1. Angulos Complementarios: son dos angulos cuya suma es 90◦.2. Angulos Suplementarios: son dos angulos cuya suma es 180◦.

αβ

αβ

(a) (b)

Figura 7.6 Clasificacion de los angulos segun sus caracterısticas: (a) angulos complementarios y(b) angulos suplementarios.

Segun su posicion

1. Angulos consecutivos: son aquellos que teniendo el mismo v´ertice y un ladocomun, se encuentran a uno y otro lado del lado comun.

2. Angulos adyacentes: son dos angulos consecutivos cuyos lados no comunes sonrayos opuestos. Son aquellos que tienen el vertice y un ladocomun, y los otroslados situados uno en prolongacion del otro.

3. Angulos opuestos por el vertice: son aquellos cuyos lados de uno son las prolon-gaciones en sentido contrario de los lados del otro.

αβ

αβ

α

α

ββ

(a) (b) (c)

Figura 7.7 Clasificacion de los angulos segun su posicion: (a) angulos consecutivos, (b) angulosadyacentes y (c) angulos opuestos por el vertice.

7.1.3. Las unidades de medida deangulos

Las unidades utilizadas para la medida de los angulos en el plano son:


Grado centesimalGrado sexagesimalRadian

Las dos mas comunes son el grado sexagesimal que se emplea comunmente en lavida diaria y el radian que es la unidad de medida angular empleada en matematicas.

7.1.3.1. Grado centesimal

El grado centesimalo gradian (plural: gradianes), originalmente denominadogon, gradeo centıgrado1, resulta de dividir un angulo recto en cien unidades. La cir-cunferencia se divide ası, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivalea nueve decimos de grado sexagesimal. En las calculadoras suele usarse la abrevia-turagrad. Se representa como una g minuscula en superındice colocada tras la cifra.Por ejemplo: 12.4574g.

Sus divisores son:

1angulo recto= 100g(grados centesimales) .

1grado centesimal= 100′(minutos centesimales)

1minuto centesimal= 100′′(segundos centesimales)

No se emplearan estas unidades de medida angular dado su limitado uso en general.

7.1.3.2. Grado sexagesimal

El grado sexagesimal(o simplemente grado) se define suponiendo que un angu-lo recto tiene 90◦ (90 grados sexagesimales). Este sistema es el mas empleadoenla vida diaria y en las calculadoras suele representarse conla abreviaturadeg (pordegreeen ingles).

Sus divisores son el minuto sexagesimal (o simplemente minuto), y el segundosexagesimal (o simplemente segundo), y estan definidos delsiguiente modo:

1 angulo recto= 90◦ (grados sexagesimales). (7.1a)

1 grado sexagesimal= 60′ (minutos sexagesimales). (7.1b)

1 minuto sexagesimal= 60′′ (segundos sexagesimales). (7.1c)

Notacion decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parteentera de la decimal con un punto decimal, en la forma normal de expresar cantida-des decimales, por ejemplo:

1 Para evitar confusiones, en 1948 la unidad homonima de temperatura conocida como gradocentıgrado paso a denominarse oficialmente grado Celsius.


23.2345◦ 12.32◦ −50.265◦ 123.696◦

Notacion sexagesimal

Se puede expresar una cantidad angular en grados minutos y segundos, las partesde grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12◦34′34.2′′ 13◦3′23.8′′ 124◦45′34.70′′ −2◦34′10′′

Teniendo cuidado como norma de notacion, de no dejar espacio entre las cifras, esdecir, escribir 12◦34′34.2′′ y no 12◦ 34′ 34.2′′.

Se puede tambien representar en forma decimal la medida de un angulo en re-presentacion sexagesimal teniendo en cuenta que:

1′ =

(160

)◦≈ 0.01666667◦ (7.2a)

1′′ =

(160

)′≈ 0.01666667′ (7.2b)

=

(1

3600

)◦≈ 0.00027778◦ (7.2c)

7.1.3.3. Radian

El radi an se define como el angulo que limita un arco de circunferenciacuyalongitud es igual al radio de la circunferencia (ver figura 7.8).

αcircunferencia=Lcircunferencia

r=

2πrr

= 2π (7.3)

Una definicion mas general, indica que el angulo formado por dos radios de unacircunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco formado sobre elradio, es decir,

θ =sr

(7.4)

dondeθ es el angulo,ses la longitud del arco yr es el radio.Su sımbolo es rad. Sin embargo, el radian es considerado matematicamente co-

mo un numero puro que no necesita sımbolo de unidades, por lo que en matematicasel sımbolo rad es generalmente omitido. En ausencia de cualquier sımbolo se debeasumir que se esta tratando con radianes, y cuando se trate con grados (sexagesima-les) se emplea el sımbolo◦.

Notacion decimal

Una cantidad en radianes se puede expresar en forma decimal,separando la parteentera de la decimal con un punto decimal, en la forma normal de expresar cantida-des decimales, por ejemplo:

3.1218 rad −0.72469 rad 0.2693 rad −1.0000 rad


θ = 1 rad

1

1

Figura 7.8 Definicion de radian.

Notacion en terminos de π

Dado que un angulo recto equivale aπ/2 radianes, es comun expresar los angulosmedidos en radianes en terminos deπ , generalmente como una fraccion, siempreque esto sea posible. Por ejemplo, un angulo de 10◦ es la novena parte de un angulorecto, por lo tanto

10◦ =90◦

9=

π/29

=π18

rad

de manera similar

15◦ =90◦

6=

π/26

=π12

rad 45◦ =90◦

2=

π/22

=π4

rad

30◦ =90◦

3=

π/23

=π6

rad 60◦ =180◦

3=

π3

rad

7.1.4. Relacion radian-grado sexagesimal

Partiendo del hecho que una circunferencia completa tiene 2π radianes, y queuna circunferencia tiene 360◦, es decir:

360◦ = 2π rad

se tiene que:

1 rad=180◦

π≈ 57. 295 779 51◦ (7.5)

o bien

1◦ =π rad180

≈ 0. 017 453 29 rad (7.6)

Ejemplo 7.1.Un angulo centralθ intercepta un arco de 3 cm a lo largo de una cir-cunferencia de 7 cm de radio. Aproxime la medida deθ en radianes.


Empleando la ecuacion (7.4), se identificas= 3 cm yr = 7 cm, por lo tanto

θ =sr=

3 cm7 cm

= 0.428571

7.1.5. Ejercicios

1. Expresar cada uno de los siguientes angulos dados en radianes:

a) 135◦

b) 25◦30′

c) -3.85◦

2. Expresar cada uno de los siguientes angulos dados en grados sexagesimales:

a) π/3 radb) 2/5 radc) -1/3 rad

3. El minutero de un reloj mide 30 cm de largo. ¿Cuanto se muevela punta durante20 minutos?

4. Un angulo central de 30 cm de radio intercepta un arco de 6 cm. Exprese elangulo central en radianes y en grados decimales.

5. Se quiere hacer una vıa de tren curva que casi coincida conuna circunferencia.¿Que radio debe ser usado para la vıa si se quiere cambiar ladireccion 25◦ enuna distancia de 120 m?

6. Un tren se mueve a razon de 8 mph sobre una pista circular de 2500 ft de radio.¿Sobre que angulo se mueve si da una vuelta en un minuto?

7.2. Conversiones de unidades angulares

7.2.1. Conversiones en grados sexagesimales

7.2.1.1. Conversiones en grados, minutos y segundos

En ocasiones es necesario realizar la conversion de una cantidad angular expresa-da en grados, minutos y segundos a una cantidad expresada unicamente en minutosy segundos o bien unicamente en segundos. Recordando los factores de conversion(7.1) es muy facil realizar estas conversiones empleando una simple multiplicaciono division. En general, es necesario realizar estas conversiones por partes, comen-zando con los grados y terminando en los segundos, o bien al contrario, comenzandocon los segundos y terminando con los grados, dependiendo dela naturaleza de laconversion.

7.2 Conversiones de unidades angulares 95

Ejemplo 7.2.Convertir 18◦20′15′′ a minutos y segundos.Comenzar convirtiendo los grados a minutos: como un grado esigual a 60 minu-

tos, simplemente multiplicar

18◦×60= 1080′

la parte restante de la cantidad original son 20′15′′ (que ya estan en las unidadessolicitadas) por lo tanto, sumar

1080′+20′15′′ = 1100′15′′

Ejemplo 7.3.Convertir 18◦20′15′′ a segundos.Se convierten los 18◦ a segundos recordando que 1◦ = 3600′′, por lo tanto

18◦ = 18◦×3600= 64800′′

Se convierten los 20′ a segundos recordando que 1′ = 60′′, por lo tanto

20′ = 20′×60= 1200′′

Se suman los dos resultados anteriores con los 15′′ restantes para obtener

64800′′+1200′′+15′′ = 66015′′

De manera alternativa, se puede emplear el resultado del ejemplo anterior, se tieneque 18◦20′15′′ = 1100′15′′, por lo que resta unicamente convertir los minutos asegundos, nuevamente, como 1′ = 60′′, se multiplican los 1100′ por 60 y se obtiene66000′′, para finalizar la conversion, sumar los 15′′ restantes para obtener 66015′′.

7.2.1.2. Conversiones de grados, minutos y segundos a formato decimal

Empleando los factores de conversion (7.2) se puede facilmente llevar una canti-dad en grados sexagesimales en formato de minutos y segundosal formato decimal,como se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.4.Convertir 12◦15′23′′ a formato decimal.Empleando los factores de conversion (7.2) se puede escribir

12◦15′23′′ = 12◦+15

(160

)◦+23

(1

3600

)◦

= 12◦+15×0.016667◦+23×0.000278◦

= 12◦+0.250005◦+0.006394◦

≈ 12.256399◦


7.2.1.3. Conversiones de formato decimal a grados, minutosy segundos

Para convertir una cantidad angular sexagesimal en formatodecimal al formatode grados minutos y segundos se debe seguir el siguiente algoritmo:

1. Tomar la parte entera de la cantidad angular sexagesimal en formato decimal yesta corresponde a los grados.

2. Multiplicar por 60 la parte decimal, la parte entera del resultado de dicha multi-plicacion corresponde a los minutos.

3. Multiplicar por 60 la parte decimal del resultado anterior, el resultado de dichamultiplicacion corresponde a los segundos (incluyendo suparte decimal).

Se ilustra el empleo del algoritmo anterior con el siguienteejemplo.

Ejemplo 7.5.Convertir 47.23523◦ a grados, minutos y segundos.Siguiendo los pasos del algoritmo anterior se tiene:

1. La parte entera de 47.23523◦ es 47, por tanto se tiene 47◦.2. La parte decimal de 47.23523◦ es 0.23523, multiplicando por 60 se obtiene

0.23523×60= 14.1138

la parte entera es 14, por lo tanto se tiene 14′.3. La parte decimal del resultado de la multiplicacion anterior es 0.1138, multipli-

cando por 60 se obtiene0.1138×60= 6.828

que corresponde a los segundos, por lo tanto 47.23523◦ = 47◦14′6.828′′

7.2.2. Conversiones de grados sexagesimales a radianes

Para convertir grados sexagesimales a radianes primero se deben convertir losgrados sexagesimales a su formato decimal (ver seccion 7.2.1.2) en caso de queestos se encuentren en formato de grados, minutos y segundos y enseguida em-plear el factor de conversion (7.6). En general, es mas comodo recordar la relacionπ rad= 180◦, que el factor de conversion 1◦ ≈ 0. 017 453 29 rad, ademas, el uso dela relacion en terminos deπ permite, de ser posible, expresar el angulo en radianesen terminos deπ , en caso de que no se requiera expresar el resultado de esta manera,basta con sustituir el valor numerico deπ y realizar la multiplicacion para obtenerel resultado de la conversion a radianes en formato decimal. En general, cuando serealiza una conversion de grados sexagesimales a radianes, el resultado se expresaen terminos deπ solo cuando el resultado de dicha conversion puede expresarsemediante una fracion facil de manejar.

Ejemplo 7.6.Convertir 78◦ a radianes.Se emplea ahora la relacionπ rad= 180◦ mediante una regla de tres:

7.2 Conversiones de unidades angulares 97

180◦

78◦=

πx

rad

de donde

x =78◦

180◦π rad

=1330

π rad

= 1.361324 rad

EL resultado final en formato decimal se obtuvo sustituyendoel valor deπ =3.141516 en la expresion(13/30)π .

Ejemplo 7.7.Convertir 12◦15′23′′ a radianes.En el ejemplo 7.4 se realizo la conversion de 12◦15′23′′ al formato decimal,

encontrando que 12◦15′23′′ ≈ 12.256399◦. Se emplea ahora la relacionπ rad=180◦ mediante una regla de tres:

180◦

12.256399◦=

πx

rad

de donde

x =12.256399◦

180◦π rad

= 0.213915 rad

por lo tanto 12◦15′23′′ = 0.213915 rad

7.2.3. Conversiones de radianes a grados sexagesimales

Para convertir una cantidad angular expresada en radianes agrados sexagesima-les se emplea la relacion (7.5) con lo que se obtiene una cantidad en grados sexage-simales expresados en forma decimal, si es necesario, se puede convertir despues alformato de grados, minutos y segundos (ver seccion 7.2.1.3).

Ejemplo 7.8.Convertir 0.78539816 rad a grados sexagesimales.Empleando la relacion (7.5) se tiene

0.78539816 rad= 0.78539816

(180◦

π

)= 45◦

Ejemplo 7.9.Convertir(17/25)π rad a grados sexagesimales en formato de grados,minutos y segundos.

Empleando la relacion (7.5) se tiene


1725

π rad=

(17π25

)(180◦

π

)=

612◦

5= 122.4◦

Se convierte ahora a grados, minutos y segundos: la parte entera es 122, por lo tantose tiene 122◦. Multiplicando por 60 la parte decimal

60×0.4= 24.0

Por lo que se tiene 24′, y como la parte decimal es cero se tiene finalmente que(17/25)π rad= 122◦24′.

Ejemplo 7.10.Las ciudades de Quito, en Ecuador y Pontianak, en Indonesia,se en-cuentran practicamente sobre la lınea del ecuador terrestre. La ciudad de Quito selocaliza a 78◦35′ de longitud oeste y Pontianak a 109◦20′ de longitud este. Sabiendoque el diametro ecuatorial de la Tierra es de 12,756.28 km, ¿a que distancia sobre lasuperficie de la Tierra se encuentran estas dos ciudades?

Para resolver este problema se puede emplear la ecuacion (7.4), ya que se co-noce el angulo de separacion entre ambas ciudades y el radio de la circunferenciaecuatorial de la Tierra.

Como ambas ciudades se encuentran sobre el ecuador y a ambos lados del me-ridiano de Greenwich, el angulo de separacion entre ambasciudades es 78◦35′+109◦20′ = 187◦55′, como el angulo resultante es mayor que 180◦ se emplea sucomplemento, es decir 360◦− 187◦55′ = 172◦5′. Para poder emplear la ecuacion(7.4) se debe convertir este angulo a radianes.

Primero se convierte a formato decimal

172◦5′ = 172◦+5

(160

)◦= 172.083◦

Enseguida, se convierte a radianes empleando la ecuacion 7.6

180◦

172.083◦=

πx

rad

por lo tanto

x=172.083◦

180◦π rad= 3.00341 rad

Como el diametro de la Tierra es de 12,756.28 km, su radio es de 6,378.14 km. Seemplea ahora la formula (7.4), de donde

s= r ·θ = (6,378.14 km) · (3.00341 rad) = 19,156.17 km

7.3. Ejercicios

1. A que cuadrante pertenece un angulo de?

7.3 Ejercicios 99

a) 500◦

b) 1000◦c) 786◦

d) −120◦e) −786◦

f ) 2428◦

2. A que cuadrante pertenece la mitad de un angulo de?

a) 450◦

b) 800◦c) 650◦

d) −200◦e) −500◦

f ) 1765◦

3. Exprese cada uno de los siguientes angulos en grados en formato decimal.

a) 28◦10′

b) 72◦45′

c) 45◦36′′

d) 38◦29′′

e) 53◦16′50′′

f ) 170◦36′50′′

g) 276◦9′7′′

h) −87◦25′32′′

i) 67◦37′25′′

j) −248◦52′17′′

k) 87◦65′43′′

l) 96◦42′23′′

4. Exprese cada uno de los siguientes angulos en minutos (enformato decimal).

a) 45◦10′

b) 82◦18′′c) 16◦29′32′′

d) 148◦19′27′′e) 123◦45′54′′

f ) 43◦27′52′′

5. Exprese cada uno de los siguientes angulos en segundos.

a) 35◦19′43′′

b) 72◦40′c) 180◦19′′

d) 342◦18′56′′e) 245◦27′35′′

f ) 7◦55′23′′

6. Exprese cada uno de los siguientes angulos en grados, minutos y segundos.

a) 38.466◦

b) 126.03334◦c) 136.44′

d) 362.62′e) 40436′′

f ) 68367′′

7. Reduzca cada uno de los siguientes angulos al sistema circular (radianes). Con-sidereπ = 3.1416.

a) 150◦

b) 270◦

c) 184.68′

d) 58348′′

e) 36◦18′

f ) 146◦36′

g) 49◦29′36′′

h) 72◦35′47′′

i) 234◦19′15′′

8. Reduzca cada uno de los siguientes angulos al sistema sexagesimal.

a) 1.36 rad

b) 0.28 rad

c)32

π rad

d)34

π rad

e)25

π rad

f )37

π rad

g)59

π rad

h)1112

π rad

i) −23

π rad


9. En los siguientes problemas,s denota la longitud del arco de un cırculo de radior subtendido por el angulo centralθ . Encuentre la cantidad que falta. Redondeesu respuesta a cuatro decimales.

a) r = 15 m,θ =34

rad,s= ?

b) θ =16

rad,s= 3 ft, r = ?

c) r = 4 millas,s= 2.5 millas,θ = ?d) r = 7 in, θ = 30◦, s= ?e) s= 7 m,θ = 0.55 rad,r = ?

f ) θ =13

π rad,s= 7 m, r = ?

g) r = 5 m,s= 7 m,θ = ?h) r = 2.5 km,θ = 60◦, s= ?i) s= 52 µm, θ = 127◦, r = ?

j) r = 6 cm,θ =29

π , s= ?

10. Un angulo centralθ intercepta un arco de 3 cm de largo en una circunferencia de20 cm de radio. Aproxime la medida deθ en (a) radianes; (b) grados.

11. Aproxime la longitud de un arco que subtiende un angulo central que mide 50◦

en una circunferencia de 4 m de radio.12. Aproxime la longitud de un arco que subtiende un angulo central de 2.2 radianes

en una circunferencia de 50 cm de radio.13. Si un angulo centralθ que mide 20◦ intercepta un arco circular de longitud 2 km;

determine el radio de la circunferencia.14. Si un angulo centralθ que mide 4 radianes intercepta un arco circular de 10 mm

de longitud, encuentre el radio del cırculo.15. La distancia entre dos puntosA y B en la Tierra, se mide sobre un cırculo con

centroC en el centro de la Tierra y radio igual a la distanca deC a la superficie.Si el diametro terrestre es de 8 000 millas aproximadamente, calcule la distanciaentreA y B cuando el anguloACBmide(a) 60◦; (b) 45◦; (c) 30◦; (d) 10◦; (e) 1◦.

16. Refierase al Ejercicio 15. Si el anguloACBmide 1′, entonces a la distancia en-tre A y B se le llama milla nautica. Encuentre el numero aproximadode millasordinarias (terrestres) que hay en una milla nautica.

17. Refierase al Ejercicio 15. Si la distancia entre dos puntosA y B es de 500 millas,calcule el anguloACBmedido en grados y tambien en radianes.

18. El pendulo de un reloj de piso tiene 5 pie de largo y oscilasobre un arco de 4 pulg.Calcule el angulo (en grados) que describe el pendulo durante una oscilacion.

19. Para subir carga a los vagones de un tren se usa un montacargas grande que tieneun tambor con diametro de 5 pie (vease la figura 7.9).

a) Calcule la distancia en que se eleva la carga si el montacargas gira un angulode 6π/5 radianes.

b) Calcule el angulo (en radianes) que debe girar el montacargas para levantar lacarga una alturad.

20. El engranaje de rueda y cadena de una bicicleta se muestraen la figura 7.10.Si la rueda dentada de radior1 gira un angulo deθ1 radianes, halle el angulocorrespondiente de rotacion para el pinon de radior2.

21. El minutero de un reloj tiene 5 cm de largo. ¿Que distancia recorre la punta delminutero en 20 min? ¿Cuantos cm se mueve la punta del minutero en 35 min?

7.3 Ejercicios 101

Figura 7.9 Figura para el ejercicio 19.

Figura 7.10 Figura para el ejercicio 20.

22. Un pendulo describe un angulo de 25◦ cada segundo. Si el pendulo tiene 35 cmde largo, ¿cuanto se mueve la punta del pendulo cada segundo?

Capıtulo 8Tri angulos

8.1. Defincion de Triangulo

El triangulo es una de las figuras basicas en geometrıa; untri angulo plano se Definicion detriangulodefine a partir de tres puntos no colineales que forman losverticesdel triangulo y

tres segmentos de recta que unen los vertices y definen losladosdel triangulo.

Figura 8.1 Definicion detriangulo.

En general, se suele denotar con letras mayusculas a los puntos que forman losvertices de un triangulo, con letras minusculas a los lados opuestos a los verticesy con letras griegas minusculas a los angulos formados en los vertices, como seilustra en la figura 8.1. En algunos casos, se emplea indistintamente la notacion conletras griegas minusculas para los angulos o con letras romanas mayusculas para losvertices.

8.2. Clasificacion de los triangulos

Por la longitud de sus lados se pueden clasificar en:

103

104 8 Triangulos

Tri angulo equilatero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los angulos desus vertices miden lo mismo (60 grados oπ/3 radianes).Tri angulo isosceles: Tiene dos lados y dos angulos iguales. Los lados igualesson opuestos a los angulos iguales.Tri angulo escaleno: Todos sus lados y todos sus angulos son distintos.

(a) (b) (c)

Figura 8.2 Clasificacion de los triangulos segun sus lados: (a) tri´angulo equilatero, (b) trianguloisosceles y (c) triangulo escaleno.

Por la medida de sus angulos:

Tri angulo rectangulo: Tiene un angulo recto (90◦). A los dos lados que formanun angulo recto se les denominacatetosy al lado restantehipotenusa.Tri angulo oblicuangulo: Cuando ninguno de sus angulos interiores es recto.

• Tri angulo obtusangulo: cuando uno de sus angulos es obtuso (mayor de 90◦)y los otros dos son agudos (menor de 90◦).

• Tri angulo acutangulo: Sus tres angulos son menores a 90◦. En particular, eltriangulo equilatero es un ejemplo de triangulo acutangulo.

(a) (b) (c)

Figura 8.3 Clasificacion de los triangulos segun sus angulos: (a) triangulo rectangulo, (b) triangu-lo obtusangulo y (c) triangulo acutangulo.

8.4 El teorema de Pitagoras 105

8.3. Propiedades de los triangulos

Las siguientes propiedades de los triangulos se derivan deresultados de la geo-metrıa euclidiana, se enuncian a continuacion sin dar unademostracion formal deninguno de ellos.

z En todo triangulo, a mayor angulo se opone mayor lado, y viceversa.z La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un tri´angulo es mayor

que la longitud del tercer lado.z En todo triangulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados pero,

mayor que su diferencia.z En un triangulo no puede haber mas de un angulo recto u obtuso.z La suma de los tres angulos interiores de todo triangulo esigual a 180◦, emplean-

do notacion algebraicaα +β + γ = 180◦ (8.1)

z Todo angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los dos angulos inte-riores no adyacentes.

Figura 8.4 Angulo exteriorde un triangulo.

8.4. El teorema de Pitagoras

El teorema de Pitagoras, uno de los mas conocidos y estudiados en todo el mun-do, establece lo siguiente:

En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado delos catetos.

Pitagoras de Samos (582-507 AC)

En terminos algbraicos, si un triangulo tiene catetos de longituda y b, entoncesel valorc de la hipotenusa esta determinado por:

106 8 Triangulos

a2+b2 = c2 (8.2)

Figura 8.5 Ilustracion delteorema de Pitagoras.

8.4.1. Demostracion del teorema

Existen muchas maneras de demostrar formalmente el teoremade Pitagoras, acontinuacion se presenta una variante de la demostracionalgebraica.

En la figura 8.6 se muestra un cuadrado grande con triangulosrectangulos identi-cos en sus esquinas, el area de cada uno de estos cuatro triangulos esta dada por

12

AB

Los angulosA y B son angulos complementarios, por lo que cada uno de los angulosdel area en el centro es un angulo recto, de manera que esta figura es un cuadradode ladoC. El area de este cuadrado esC2, por lo que el area de toda la figura es

4

(12

AB

)+C2

Sin embargo, como el cuadrado exterior tiene lados de longitud A+B, podemoscalcular su area como(A+B)2, que es igual aA2+2AB+B2, por lo tanto

A2+2AB+B2 = 4

(12

AB

)+C2

A2+B2 = C2

8.6 El area de un triangulo 107

Figura 8.6 Demostracion delteorema de Pitagoras.

8.5. El perımetro de un tri angulo

El perımetroP de un triangulo es la suma de las longitudes de sus lados, es decir

P= a+b+ c (8.3)

8.6. El area de un triangulo

El area1 (o superficie) de un triangulo esta dada por el producto de la longitudlde cualquiera de sus lados (al que se llamarabase) por su alturah correspondiente,dividido entre dos. En lenguaje algebraico

S=l ×h

2(8.4)

8.6.1. Formula de Heron

La formula deHeron2 establece que la superficie de un triangulo de ladosa, b,c viene dada por:

S=√

p(p−a)(p−b)(p− c) (8.5)

dondep es el semiperımetro

1 Se emplea la variableS, en lugar deA, para denotar el area para evitar confusiones, ya que engeneral se empleara la variableA para referirnos a alguno de los vertices de un triangulo2 Heron (o Hero) de Alejandrıa (c. 1070 AC) fue un matematico e ingeniero que destaco en Ale-jandrıa (en la provincia romana de Egipto), se dice que fue un gran experimentalista en la an-tiguedad.

Entre sus inventos mas famosos se encuentran el primer dispositivo de vapor documentado, co-nocido comoeolıpilay la fuente de Heron. Es autor de numerosos tratados de mecanica. Estudio lareflexion de la luz en espejos de distinta forma. Tambien demostro la ley de la reflexion.

108 8 Triangulos

p=a+b+ c

2La formula puede ser reescrita de la siguiente forma:

S=

√(a+b+ c)(a+b−c)(b+ c−a)(c+a−b)

4

8.7. Ejercicios

1. En los ejercicios siguientes, indique si las tripletas dadas pueden ser las longitu-des de los lados de un triangulo rectangulo.

a) 10, 24 y 26.b) 7, 25 y

√674

c) 20, 21 y 2d) 2, 1,sqrt3e) 7, 25, 24f ) 123, 120, 27g) 18, 24, 20h) 287, 280, 63

i) 2.5, 2 y 1.5j) 3.6, 1.2 y 2.8k)

√10,

√5 y

√15

l) 5, 13 y√

195m) 8, 15 y 17n) 5, 12 y 13n) 35,47, 10o) 3, 3 y 3

√3

p) 1, 1 y√

2

q) 2√

13, 4 y 6

r)√

3,√

5 y√

2

s) 6, 1.75 y 6.25

t) 0.06, 0.05 y 0.011

u)√

247,√

392 y√

145

2. Si en un triangulo rectangulo la medida de la hipotenusaes 32 cm y la de uno delos catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.

3. Hallar la longitud de la diagonal de un rectangulo cuyos lados miden 42 m y 144m.

4. El largo de un rectangulo mide 5√

3 cm y su diagonal 10 cm. Hallar la medidacorrespondiente al ancho del rectangulo.

5. Determine la altura de un triangulo equilatero cuyo lado mide 24√

7.6. El hueco de una ventana mide 41 pulgadas de ancho y 26 pulgadas de altura.

¿Puede introducirse por la ventana un mesa de ping-pong de 48pulgadas deancho?

7. Una escalera de 4.5 metros se coloca contra una pared con labase de la escalera a2 metros de la pared. ¿A que altura del suelo esta la parte m´as alta de la escalera?

8. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuantomide cada uno de los lados? Calcule el area del rombo.

9. El area de un triangulo equilatero es igual a 13 cm2. Encontrar el valor del lado.10. La diagonal de un cuadrado mide 6 cm. Hallar su area.11. El area de un pentagono es igual a 23 cm2. Encontrar el valor de su lado.12. Encuentre el area de los triangulos siguientes, cuyoslados son:

a) 3, 5 y√

34

b) 2, 2 y 3

c) 9, 10 y 12

d) 1, 1 y√

2

e) 2, 3 y 4

f ) 5.6, 4.3 y 4.9

8.7 Ejercicios 109

g) 0.0291, 0.0184 y 0.0358h) 5, 6 y 7

i) 10, 9 y 8j) 705, 562 y 639

Capıtulo 9Trigonometr ıa

9.1. Antecedentes historicos de la trigonometrıa

El origen de la palabra trigonometrıa proviene del griego.Es la composicion delas palabras griegasτριγωνo (trigono = triangulo) yµετρoν (metron= medida).La trigonometrıa es entonces la medida de los triangulos.

Se considera aHiparco (190-120 a.C.) como el padre de la trigonometrıa debidoprincipalmente a su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los angu-los de un triangulo. Tambien contribuyeron a la consolidacion de la trigonometrıaClaudio Ptolomeoy Aristarco de Samosquienes la aplicaron en sus estudios as-tronomicos. En el ano 1595, el profesor de matematicas deHeidelberg (la univer-sidad mas antigua de Alemania)Bartholemaus Pitiscus(1561-1613), publico untexto con el tıtulo deTrigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus bre-vis et perspicuus, en el que desarrolla metodos para la resolucion de triangulos. Elmatematico francesFrancois Viete(1540-1603) hizo importantes aportes hallandoformulas trigonometricas de angulos multiples. Los c´alculos trigonometricos reci-bieron un gran impulso gracias al matematico escocesJohn Neper (1550-1617),quien invento los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el ma-tematico suizoLeonhard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometrıa una cienciaaparte de la astronomıa, para convertirla en una nueva ramade las matematicas.

Originalmente, la trigonometrıa es la ciencia cuyo objetoes la resolucion numeri-ca (algebraica) de los triangulos, los seis elementos principales en todo triangulo.Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos seaun lado, la trigonometrıa ensena a solucionar el triangulo, esto es, a encontrar losotros tres elementos. En este estado de la trigonometrıa sedefinen las funcionestrigonometricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un angulo agudo en un triangulorectangulo, como las razones entre dos de los lados del tri´angulo.

Sin embargo, el estudio de la trigonometrıa no limita sus aplicaciones a lostriangulos: en geometrıa, navegacion, agrimensura, astronomıa; sino tambien, parael tratamiento matematico en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibracio-

111

112 9 Trigonometrıa

nes, el sonido, la corriente alterna, la termodinamica y lainvestigacion atomica entreotras muchas.

9.2. Razones trigonometricas

Considere un triangulo rectangulo como se muestra en la figura 9.1, llamamoshipotenusacateto adyacentecateto opuesto

hipotenusaal lado opuesto al angulo recto,cateto adyacenteal lado adyacente alanguloθ y cateto opuestoal lado restante.

Figura 9.1 Triangulorectangulo.

Se definen lasrazones trigonometricaspara el anguloθ :Definicion de las razo-nes trigonometricas

Seno

senθ =cateto opuesto

hipotenusa(9.1a)

Coseno

cosθ =cateto adyacente

hipotenusa(9.1b)

Tangente

tanθ =cateto opuesto

cateto adyacente(9.1c)

Cotangente

cotθ =cateto adyacentecateto opuesto

(9.1d)

Secante

secθ =hipotenusa

cateto adyacente(9.1e)

Cosecante

cscθ =hipotenusa

cateto opuesto(9.1f)

Ejemplo 9.1.Considere el triangulo rectangulo de catetos 3 y 4, e hipotenusa 5 mos-trado en la figura 9.2. Sustituyendo valores numericos en las ecuaciones (9.1), lasrazones trigonometricas para el anguloθ son:

9.2 Razones trigonometricas 113

senθ =35

cotθ =43

cosθ =45

secθ =54

tanθ =34

cscθ =53

Figura 9.2 Figura del ejem-plo 9.1.

Ejemplo 9.2.Considere un triangulo rectangulo, de hipotenusa 13 y cateto adyacen-te al anguloα, 5. Calcule los valores de las 6 razones trigonometricas.

Empleando el teorema de Pitagoras (8.2) se puede calcular el cateto opuesto:

(c. ady.)2+(c. op.)2 = (hip.)2

(c. op.)2 = (hip.)2− (c. ady.)2

= 132−52 = 169−25= 144

c. op.=√

144= 12

Una vez conocidos los valores de los tres lados del triangulo rectangulo, se pue-den calcular los valores de las seis razones trigonometricas empleando las ecuacio-nes (9.1)

senα =1213

cotα =512

cosα =513

secα =135

tanα =125

cscα =1312

Ejemplo 9.3.Sabiendo que senβ = 9/16, calcular las cinco razones trigonometricasrestantes.

Empleando la definicion del seno (9.1a) se sabe que c. op.= 9 e hip.= 16. Em-pleando el teorema de Pitagoras, se puede calcular el cateto adyacente:


(c. ady.)2+(c. op.)2 = (hip.)2

(c. ady.)2 = (hip.)2− (c. op.)2

= 162−92 = 256−81= 175

c. ady.=√

175=√

25·7= 5√

7

Una vez conocidos los valores de los tres lados del triangulo rectangulo, se pue-den calcular los valores de las cinco razones trigonometricas restantes empleandolas ecuaciones (9.1)

cotβ =5√

79

cosβ =5√

716

secβ =16

5√

7

tanβ =9

5√

7cscβ =

169

9.2.1. Identidades fundamentales

Analizando cuidadosamente las ecuaciones (9.1), se puede observar que existenrelaciones entre ellas, por ejemplo

tanθ =cateto opuesto

cateto adyacente=

1cateto adyacentecateto opuesto

=1

cotθ

De manera similar, se pueden encontrar las siguientes identidades, conocidascomoidentidades recıprocas:

senθ =1

cscθ(9.2a)

cosθ =1

secθ(9.2b)

tanθ =1

cotθ(9.2c)

Tambien es facil encontrar lasidentidades cociente:

tanθ =senθcosθ

(9.3a)

cotθ =cosθsenθ

(9.3b)

Es posible obtener un tercer conjunto de identidades partiendo del teorema dePitagoras,

9.2 Razones trigonometricas 115

(c. ady.)2+(c. op.)2 = (hip.)2

dividiendo entre la hipotenusa

(c. ady.hip.

)2

+

(c. op.hip.

)2

=

(hip.hip.

)2

empleando las definciones del seno y el coseno [ecuaciones (9.1a) y (9.1b)] encon-tramos,

(senθ )2+(cosθ )2 = 1 (9.4a)

dividiendo la ecuacion anterior entre(cosθ )2 y (senθ )2 obtenemos

(tanθ )2+1 = (secθ )2 (9.4b)

1+(cotθ )2 = (cscθ )2 (9.4c)

debido a su origen, a las ecuaciones (9.4) se les conoce comoidentidades pitagori-cas.

Estas identidades tambien pueden emplearse para encontrar los valores de razo-nes trigonometricas desconocidas.

Ejemplo 9.4.Sabiendo que senβ = 9/16, calcule las cinco razones trigonometricasrestantes.

Se resolvio este problema en el ejemplo 9.3 empleando el teorema de Pitagorasy las definiciones de las razones trigonometricas (ecuaciones (9.1)). Se procede aresolver el problema empleando las identidades fundamentales.

Como el valor de senβ es conocido, se puede emplear la identidad (9.4a) paracalcular el cosβ

(senβ )2+(cosβ )2 = 1(

916

)2

+(cosβ )2 = 1

(cosβ )2 = 1− 81256

=175256

cosβ =

√175256

=5√

716

Conocidos los valores de senβ y cosβ , se puede emplear la identidad (9.3a)

tanβ =senβcosβ

=9/16

5√

7/16=

9

5√

7

El valor de cotβ se puede calcular empleando la identidad (9.3b),

cotβ =cosβsenβ

=5√

7/169/16

=5√

79


o bien la identidad (9.2c)

cotβ =1

tanβ=

1

9/5√

7=

5√

79

Para calcular los valores de las razones restantes, secβ y cscβ se pueden em-plear las dos identidades pitagoricas restantes (9.4b) y (9.4c), o bien las identidadesrecıprocas (9.2b) y (9.2a). Se emplea la identidad (9.4b) para calcular el valor desecβ

1+(cotβ )2 = (cscβ )2

1+

(5√

79

)2

=

1+17581

=

25681

=

cscβ =

√25681

=169

y la identidad (9.2a) para calcular el valor de cscβ

cscβ =1

senβ=

19/16

=169

Se puede resumir lo aprendido a partir de los ejemplos 9.3 y 9.4 en los siguien-tes metodos para calcular las razones trigonometricas desconocidas a partir de unaconocida.

Metodo 1

1. Se obtienen los valores de dos de los lados del triangulo rectangulo empleando ladefinicion de la razon trigonometrica conocida mediantealguna de las ecuaciones(9.1).

2. Se encuentra el lado faltante del triangulo empleando elteorema de Pitagoras(8.2).

3. Se calculan los valores de las razones trigonometricas restantes empleando ladefinicion de las mismas (ecuaciones (9.1)).

9.3 Triangulos notables 117

Metodo 2

1. Se emplean directamente las identidades fundamentales adecuadas (ecuaciones(9.4), (9.3) y (9.2)) se puede calcular el valor de las razones trigonometricasrestantes.

9.3. Triangulos notables

Hasta ahora se ha enfocado en conocer los valores de las razones trigonometricasde un angulo conocidos los lados del triangulo, o bien los valores de alguna de lasrazones trigonometricas. Esta seccion se ocupara del c´alculo de las razones trigo-nometricas cuando el angulo es conocido. Por el momento setrataran unicamentetres angulos en particular.

9.3.1. Razones trigonometricas de45◦

Considerar un triangulo rectangulo e isosceles con catetos de longitud 1 (verfigura 9.3).

Figura 9.3 Triangulorectangulo e isosceles conangulos de 45◦.

Como la suma de los angulos internos de un triangulo es igual a 180◦ y el triangu-lo en cuestion es rectangulo la suma de los dos angulos restantes debe ser 90◦, y co-mo el triangulo es isosceles cada uno de los angulos restantes debe ser de 45◦. Porotra parte, como los catetos tienen longitud 1, empleando elteorema de Pitagoras(8.2),

a2+b2 = c2

1+1 = c2

c =√

2


se encuentra que la hipotenusa tiene una longitud√

2, (ver figura 9.3).Empleando la definicion de las razones trigonometricas (ecuaciones (9.1)) se

pueden obtener los valores mostrados en la tabla 9.1.

sen45◦ =1√2

tan45◦ = 1 sec45◦ =√

2

cos45◦ =1√2

cot45◦ = 1 csc45◦ =√

2

Cuadro 9.1 Razones trigonometricas del angulo de 45◦.

9.3.2. Razones trigonometricas de30◦ y 60◦

Para calcular las razones trigonometricas de 30◦ y 60◦, se considera un trianguloequilatero de lados de longitud 2; sus tres angulos son iguales y miden 60◦. Si setraza una perpendicular desde uno de los angulos al lado opuesto, esta recta sera lamediana del lado opuesto y mediatriz del angulo, por lo que se forman dos triangu-los rectangulos iguales, con angulos agudos de 30◦ y 60◦, hipotenusa 2 y catetoadyacente al angulo de 60◦ de longitud 1, ver la figura 9.4.

Figura 9.4 Construccion deun triangulo para calcular lasrazones trigonometricas de30◦ y 60◦.

Empleando el teorema de Pitagoras se encuentra que la longitud del cateto res-tante de los triangulos es 3. Conociendo los valores de los tres lados de los triangulosrectangulos, y empleando la definicion de las razones trigonometricas (ecuaciones(9.1)) se tiene que

9.4 Razones trigonometricas de angulos generales 119

sen30◦ =12

tan30◦ =1√3

sec30◦ =2√3

cos30◦ =

√3

2cot30◦ =

√3 csc30◦ = 2


sen60◦ =

√3

2tan60◦ =

√3 sec60◦ = 2

cos60◦ =12

cot60◦ =1√3

csc60◦ =2√3


9.4. Razones trigonometricas deangulos generales

Hasta ahora se estaba limitado a calcular las razones trigonometricas de angulosagudos, ya que la definicion de estas mediante las ecuaciones (9.1) en la seccion 9.2,se obtuvieron a partir de un triangulo rectangulo y dado que la suma de los angulosinternos de un triangulo es igual a 180◦ (ecuacion (8.1)) los angulos no rectos de untrıangulo rectangulo son necesariamente agudos.

9.4.1. Razones trigonometricas en el cırculo

Considere una circunferencia de radior, con su centro coincidiendo con el ori-gen. Agregar un radio que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y queal ir girando va generando triangulos rectangulos como semuestra en la figura 9.5.El cateto adyacente se encuentra siempre sobre el ejex y el cateto opuesto se en-cuentra sobre la recta perpendicular al eje de lasx, que cierra el triangulo a partirdel extremo del radio (que corresponde a la hipotenusa).

A partir de esta construccion se pueden calcular los valores de las razones tri-gonometricas para cualquier angulo, ya sea positivo o negativo (girando el radio ensentido de las manecillas del reloj). Considerando las definiciones de las razonestrigonometricas de las ecuaciones (9.1) se tiene ahora

senθ =ar

(9.5a)

cosθ =br

(9.5b)

tanθ =ab

(9.5c)

cotθ =ba

(9.5d)

secθ =rb

(9.5e)

cscθ =ra

(9.5f)

Es necesario ser muy cuidadosos con los signos de los catetosa y b en estasecuaciones, ya que dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el anguloθ ,


Figura 9.5 Las razones trigo-nometricas en el cırculo.

los catetosa y b pueden ser positivos o negativos. El valor de la hipotenusa (o radio)siempre es positivo.

Desde un enfoque diferente, se puede ver que a partir de las coordenadas de unpunto(x, y) en un plano cartesiano, es posible construir un triangulo rectangulo, alconsiderar el valor de la coordenadax como el cateto adyacente, a la coordenadaycomo el cateto opuesto y al radio, cuyo valor se puede obtenermediante el teoremade Pitagoras como la hipotenusa.

Ejemplo 9.5.Calcule los valores de las seis razones trigonometricas para un anguloen el segundo cuadrante, cuyo cateto adyacente es 2 y su hipotenusa es 3.

Empleando el teorema de Pitagoras (8.2) se encuentra el valor del cateto opuesto

a2+b2 = c2

a2 = c2−b2

a2 = 32−22 = 9−4= 5

a =√

5

Se construye el triangulo como se muestra en la figura 9.6. Como el angulo seencuentra en el segundo cuadrante, el valor del cateto adyacente es negativo.

Figura 9.6 Construccionpara el ejemplo 9.5.

Teniendo los valores de los dos catetos y la hipotenusa del triangulo, se empleanlas definiciones de las razones trigonometricas (9.5) y conesto se tiene:


senθ =

√5

3tanθ =−

√5

3secθ =−3

2

cosθ =−23

cotθ =− 2√5

cscθ =3√5

Ejemplo 9.6.El punto (7, −4) define el extremo del lado terminal del anguloα.Encuentre los valores de las seis razones trigonometricas.

Localizamos el punto en un sistema de coordenadas cartesianas y construimosel triangulo como se muestra en la figura 9.7. El angulo se encuentra en el cuartocuadrante, por lo que el valor del cateto opuesto es negativo.

Calculamos el valor de la hipotenusa (radio) empleando el teorema de Pitagoras(8.2)

a2+b2 = c2

72+(−4)2 = 49+16= c2

c2 = 65

c =√

65

Figura 9.7 Construccionpara el ejemplo 9.6.

Teniendo los valores de los dos catetos y la hipotenusa del triangulo, se empleanlas definiciones de las razones trigonometricas (9.5) y conesto se tiene:

senθ =− 4√65

tanθ =−47

secθ =

√657

cosθ =7√65

cotθ =−74

cscθ =−√

654


9.4.2. Razones trigonometricas de losangulos cuadrantales

Siguiendo el enfoque presentado en la seccion anterior, sepueden calcular las ra-zones trigonometricas de los angulos cuadrantales, 0◦, 90◦, 180◦, 270◦, 360◦, etcete-ra.

Considerar por ejemplo un punto de coordenadas(1, 0); al localizar este puntoen el plano cartesiano se puede apreciar que, estrictamentehablando, no se formaningun triangulo (ver figura 9.8), sin embargo, es posibleaplicar los mismos ar-gumentos que se han aplicado hasta ahora. Mediante el teorema de Pitagoras, seencuentra que el radio tiene un valor de 1:

a2+b2 = c2

12+02 = c2

c = 1

Figura 9.8 Construccionpara calcular las razonestrigonometricas de un angulode 0◦.

Es posible ahora aplicar las definiciones de las razones trigonometricas (9.5), conlo que se tiene:

sen0◦ =01= 0 tan0◦ =

01= 0 sec0◦ =

11= 1

cos0◦ =11= 1 cot0◦ =

10= ∞ csc0◦ =

10= ∞

Estos calculos tambien son validos para el angulo de 360◦.



Para calcular las razones trigonometricas de un angulo de90◦ se considera unpunto de coordenadas(0, 1). Aplicando el teorema de Pitagoras, se encuentra queel radio tiene un valor de 1:

a2+b2 = c2

02+12 = c2

c = 1

Es posible ahora aplicar las definiciones de las razones trigonometricas (9.5), con loque se tiene:

sen90◦ =11= 1 tan90◦ =

10= ∞ sec90◦ =

10= ∞

cos90◦ =01= 0 cot90◦ =

01= 0 csc90◦ =

11= 1

Las razones trigonometricas para otros angulos cuadrantales se pueden calcularmediante construcciones similares. En la siguiente tabla se presentan los valores delas razones trigonometricas de los principales angulos cuadrantales.

Angulo sen cos tan cot sec csc

0◦ 0 1 0 ∞ 1 ∞

90◦ 1 0 ∞ 0 ∞ 1

180◦ 0 -1 0 ∞ -1 ∞

270◦ -1 0 ∞ 0 ∞ -1

360◦ 0 1 0 ∞ 1 ∞

Cuadro 9.4 Razones trigonometricas de los angulos cuadrantales, 0◦, 90◦, 180◦, 270◦ y 360◦.

9.4.3. Razones trigonometricas de120◦, 135◦, 150◦, etc.

Se pueden emplear las ideas de la seccion 9.4.1 y los triangulos construidos enlas secciones 9.3.1 y 9.3.2 para calcular las razones trigonometricas para angulos de120◦, 135◦, 150◦, etc.

Si se apoya el triangulo rectangulo empleado para calcular las razones trigo-nometricas del angulo de 60◦ (ver figura 9.4) sobre el ejex negativo, como se mues-tra en la figura 9.10 y se aplican las definiciones de las razones trigonometricas paraangulos generales (ecuaciones (9.5)) se pueden calcular las razones trigonometricaspara el angulo de 120◦.


sen120◦ =

√3

2tan120◦ =−

√3 sec120◦ =−2

cos120◦ =−12

cot120◦ =− 1√3

csc120◦ =2√3


De manera similar se pueden construir triangulos orientados apropiadamente pa-ra calcular otras razones trigonometricas para angulos de 135◦, 150◦, etc. En latabla 9.5 se muestran los valores de las razones trigonometricas para algunos deestos angulos.

Angulo sen cos tan cot sec csc

120◦√

32

−12

−√

3 − 1√3

-22√3

135◦1√2

− 1√2

-1 -1 −√

2√

2

150◦12

−√

32

− 1√3

−√

3 − 2√3

2

210◦ −12

−√

32

1√3

√3 − 2√

3-2

225◦ − 1√2

− 1√2

1 1 −√

2 −√

2

240◦ −√

32

−12

√3

1√3

-2 − 2√3

300◦ − 2√3

12

−√

3 − 1√3

2 − 2√3

315◦ − 1√2

1√2

-1 -1√

2 −√

2

330◦ −12

√3

2− 1√

3−√

32√3

-2

Cuadro 9.5 Razones trigonometricas de 120◦, 135◦, 150◦, etc.

9.5 Reduccion de angulos 125

9.5. Reduccion deangulos

En la seccion 9.2.1 se encuentran algunas identidades fundamentales entre lasrazones trigonometricas. Las identidades recıprocas y las identidades cociente seobtuvieron practicamente a partir de una simple inspecci´on de las definciones delas razones trigonometricas, en tanto que las identidadespitagoricas se obtuvierona partir del teorema de Pitagoras y algunos manejos algebraicos. En esta seccion seobtienen algunas identidades adicionales empleando las ideas de la seccion 9.4 quepermiten obtener las razones trigonometricas para cualquier angulo. Las identidadesque se obtienen en las secciones siguientes permitiran reducir cualquier angulo, po-sitivo o negativo, sin importar el cuadrante en que se encuentre, a un angulo positivoen el primer cuadrante.

9.5.1. Razones trigonometricas de(−θ) en terminos deθ

Considerar un angulo positivoθ en la posicion estandar y su imagen especular,−θ tambien en la posicion estandar, como se muestra en la construccion de la figura9.11.

Figura 9.11 Construccionpara calcular las razonestrigonometricas de(−θ ) enterminos deθ .

Aplicando las definiciones de las razones trigonometricas(9.5) a ambos angulos,se encuentra que

sen(−θ ) =(−b)

r=−b

r=−senθ (9.6a)

cos(−θ ) =ar= cosθ (9.6b)

tan(−θ ) =(−b)

a=−b

a=− tanθ (9.6c)


cot(−θ ) =a

(−b)=−a

b=−cotθ (9.6d)

sec(−θ ) =ra= secθ (9.6e)

csc(−θ ) =r

(−b)=− r

b=−cscθ (9.6f)

Aunque se ilustran estas identidades para un angulo positivo en el primer cua-drante, la construccion para angulos en los demas cuadrantes es similar y los argu-mentos son los mismos que los que aquı presentamos.

9.5.2. Razones trigonometricas de(θ +90◦) en terminos deθ

Considerar el anguloθ definido por el punto(a, b) y el anguloθ +90◦ definidopor el punto(−b, a) como se muestra en la figura 9.12. Es facil ver que se cumplela relacion entre los angulosθ y θ +90◦ empleando, por ejemplo, el triangulo cons-truido para calcular las razones trigonometricas de 30◦ y 60◦, en este casoa=

√3,

b= 1 y c= 2, ya que el angulo definido por el punto(a=√

3, b= 1) es de 30◦ y elangulo definido por el punto(−b=−1, a=

√3) es de 120◦ = 30◦+90◦.

Figura 9.12 Construccionpara calcular las razonestrigonometricas deθ +90◦ enterminos deθ .

Aplicando las definiciones de las razones trigonometricas(9.5) al anguloθ +90◦

tendremos

sen(θ +90◦) =ar= cosθ (9.7a)

cos(θ +90◦) =−br

=−br=−senθ (9.7b)

tan(θ +90◦) =a−b

=−ab=−cotθ (9.7c)

cot(θ +90◦) =−ba

=−ba=− tanθ (9.7d)

sec(θ +90◦) =r−b

=− rb=−cscθ (9.7e)

csc(θ +90◦) =ra= secθ (9.7f)

9.6 Razones trigonometricas para la suma y diferencia de angulos 127

9.5.3. Otras identidadesutiles

En la tabla 9.6 se encuentran resumidas las identidades de las secciones anterioresy algunas identidades adicionales que se pueden obtener de manera similar.

−θ 90◦±θ 180◦±θ 270◦±θ k(360◦)±θk= entero

sen −senθ cosθ ∓senθ −cosθ ±senθ

cos cosθ ∓senθ −cosθ ±senθ cosθ

tan − tanθ ∓cotθ ± tanθ ∓cotθ ± tanθ

cot −cotθ ∓ tanθ ±cotθ ∓ tanθ ±cotθ

sec secθ ∓cscθ −secθ ±cscθ secθ

csc −cscθ secθ ∓cscθ −secθ ±cscθ

Cuadro 9.6 Razones trigonometricas de angulos en cualquier cuadrante reducidas al primer cua-drante.

9.6. Razones trigonometricas para la suma y diferencia deangulos

9.6.1. Razones trigonometricas para la suma de dosangulos

Para obtener una formula que nos permita calcular la suma dedos angulosθ +φ en funcion de las razones trigonometricas de cada uno de los angulosθ y φ ,consideremos la figura 9.13.

El anguloθ esta formado por las rectasOA y OB, el anguloφ esta formado porlas rectasOB y OC y la sumaθ +φ esta formada por las rectasOA y OC. Desde elpuntoC se traza la rectaAC perpendicular aOA y la rectaCB perpendicular aOB.Tambien se trazan las rectasBD perpendicular aOA y BE perpendicular aAC.

El anguloOFA es igual al anguloCFB por ser opuestos por el vertice, por lotanto, el anguloECBes igual al anguloθ .

Ahora,

sen(θ +φ) =ACOC

=AE+EC

OC=

BDOC

+CEOC

peroBDOC

=BDOC

· OBOB

=BDOB

· OBOC

= senθ cosφ


Figura 9.13 Construccionpara calcular la suma de dosangulos en funcion de lasrazones trigonometricas delos dos angulos.

yCEOC

=CEOC

· BCBC

=CEBC

· BCOC

= cosθ senφ

por lo tantosen(θ +φ) = senθ cosφ + cosθ senφ (9.8a)

Para el coseno de(θ +φ) se tiene que

cos(θ +φ) =OAOC

=OD−AD

OC=

OD−EBOC

=ODOC

− EBOC

peroODOC

=ODOC

· OBOB

=ODOB

· OBOC

= cosθ cosφ

yEBOC

=EBOC

· BCBC

=EBBC

· BCOC

= senθ senφ

de dondecos(θ +φ) = cosθ cosφ − senθ senφ (9.8b)

Para obtener una formula para calcular tan(θ +φ) se puede emplear la identidadcociente (9.3a) y las formulas que se acaban de obtener parael seno y el coseno deθ +φ , ecuaciones (9.8a) y (9.8b)

tan(θ +φ) =sen(θ +φ)cos(θ +φ)

=senθ cosφ + cosθ senφcosθ cosφ − senθ senφ

dividiendo cada termino de la fraccion por cosθ cosφ

tan(θ +φ) =

senθ cosφcosθ cosφ

+cosθ senφcosθ cosφ

cosθ cosφcosθ cosφ

− senθ senφcosθ cosφ

9.6 Razones trigonometricas para la suma y diferencia de angulos 129

=tanθ + tanφ

1− tanθ tanφ(9.8c)

9.6.2. Razones trigonometricas para la diferencia de dosangulos

Para obtener formulas para calcular las razones trigonom´etricas de la diferenciade dos angulosθ −φ en terminos de las razones trigonometricas deθ y φ se puedenemplear las ecuaciones para la suma de angulos (9.8) junto con las identidades paraangulos negativos (9.6).

sen(θ −φ) = sen(θ +(−φ)) = senθ cos(−φ)+ cosθ sen(−φ)= senθ cosφ + cosθ (−senφ)= senθ cosφ − cosθ senφ (9.9a)

cos(θ −φ) = cos(θ +(−φ)) = cosθ cos(−φ)− senθ sen(−φ)= cosθ cosφ + senθ senφ (9.9b)

tan(θ −φ) = tan(θ +(−φ)) =tanθ + tan(−φ)

1− tanθ tan(−φ)

=tanθ − tanφ

1+ tanθ tanφ(9.9c)

9.6.3. Otras identidadesutiles

Empleando las identidades obtenidas en las secciones anteriores es posible obte-ner otras identidades que suelen ser de utilidad. La deduccion de estas identidades esmuy simple ya que solo requiere de algunos pasos algebraicos. Se limita a presentardichas identidades sin elaborar su deduccion.

Razones trigonometricas delangulo doble

sen2θ = 2senθ cosθ (9.10a)

cos2θ = cos2 θ − sen2 θ = 1−2sen2 θ = 2cos2−1 (9.10b)


tan2θ =2tanθ

1− tan2 θ(9.10c)

Razones trigonometricas delangulo mitad

sen

(12

θ)

=

√1− cosθ

2(9.11a)

cos

(12

θ)

=

√1+ cosθ

2(9.11b)

tan

(12

θ)

=1− cosθ

senθ(9.11c)

Suma, diferencia y producto de las razones trigonometricas

senθ + senφ = 2sen

[12(θ +φ)

]cos

[12(θ −φ)

](9.12a)

senθ − senφ = 2cos

[12(θ +φ)

]sen

[12(θ −φ)

](9.12b)

cosθ + cosφ = 2cos

[12(θ +φ)

]cos

[12(θ −φ)

](9.12c)

cosθ − cosφ = 2sen

[12(θ +φ)

]sen

[12(θ −φ)

](9.12d)

senθ senφ =12[cos(θ −φ)− cos(θ +φ)] (9.12e)

senθ cosφ =12[cos(θ −φ)+ cos(θ +φ)] (9.12f)

cosθ cosφ =12[sen(θ −φ)+ sen(θ +φ)] (9.12g)

9.7. Inversas de las razones trigonometricas

Hasta ahora se han obtenido los valores de las razones trigonometricas a partir delos valores de los catetos y se ha obtenido una variedad de identidades o relacionesentre las razones trigonometricas sin preocuparse en realidad de los angulos. Estaseccion se ocupara de responder la siguiente pregunta: dado el valor de una razontrigonometrica, ¿es posible saber a que angulo corresponde?

9.8 Solucion de triangulos rectangulos 131

La respuesta a esta pregunta es sı, si es posible saber a queangulo correspondeel valor de una razon trigonometrica dada. Sin embargo, selimitara a una visionlimitada de esta respuesta, ya que para encontrar la inversade las razones trigo-nometricas, estas deben ser estudiadas desde el punto de vista de funciones, cosaque no se hara en este curso, por lo tanto, se limita a un puntode vista puramenteoperacional y desafortunadamente, a partir de este momento, se va a depender engran medida del uso de la calculadora, cosa que se habıa logrado evitar.

Considerar comoarco (arc) de una razon trigonometrica al inverso de dicharazon, es decir arcsenx representa al angulo cuyo seno esx; de igual manera,arccosx representa al angulo cuyo coseno esx y arctanx representa al angulo cuyatangente esx.

En las calculadoras cientıficas se emplea la notacion sen−1 para representararcsen, y de manera similar cos−1 y tan−1 representan arccos y arctan respecti-vamente.

Es necesario tener cuidado con la notacion sen−1, cos−1, tan−1 ya que de acuerdocon la notacion algebraica, sen−1x puede ser interpretado como sen−1x= 1/senx;para evitar confusiones, siempre que se requiera emplear 1/senx emplearemos lanotacion(senx)−1, y de manera similar para cosx y tanx.

9.8. Solucion de triangulos rectangulos

Se sabe por geometrıa que un triangulo queda completamente determinado cuan-do se conocen tres de sus elementos siempre que uno de ellos, por lo menos, seaun lado. Resolver un triangulo consiste en las operacionesque es preciso realizarpara determinar los tres elementos restantes dados los treselementos conocidos. Pa-ra resolver un triangulo rectangulo es necesario conocerdos elementos, ademas delangulo recto, y uno de esos dos elementos, forzosamente debe ser un lado.

En general, es posible resolver un triangulo rectangulo empleando el teorema dePitagoras, la propiedad de los triangulos que dice que la suma de los angulos inter-nos de un triangulo es igual a 180◦ y las definiciones de las razones trigonometricas.Es recomendable elaborar un diagrama del triangulo donde se puedan localizar loselementos conocidos del mismo, e identificar la o las razonestrigonometricas a em-plear para resolver los elementos desconocidos.

Emplear como notacion estandar letras griegas, o letras latinas mayusculas paralos angulos y letras latinas minusculas para los lados como se muestra en la figura9.14.

En la resolucion de triangulos rectangulos se presentandos casos que se anali-zaran a continuacion mediante ejemplos.


Figura 9.14 Notacionestandar empleada en la reso-lucion de triangulos rectangu-los.

9.8.1. Dados un lado y unangulo

Ejemplo 9.7.Dadosc= 68 yB= 21◦42′39′′; hallar los elementos restantes.


Como se trata de un triangulo rectangulo se debe suponer queC= 90◦, el angulorestanteA se obtiene mediante

A+B+C = 180◦

A = 180◦−B−C

= 180◦−21◦42′39′′−90◦

= 68◦17′21′′

Para encontrar los ladosa y b emplear las definiciones del coseno y del seno respec-tivamente

senB=bc

cosB=ac

b= csenB a= ccosB

b= 68sen21◦42′39′′ a= 68cos21◦42′39′′

b= 25.155 a= 63.176

9.8 Solucion de triangulos rectangulos 133

Note que en los calculos se ha empleado el angulo conocido.Si bien es posibleemplear el anguloA que se calcula en la primera parte, no es recomendable hacerlo,ya que si se cometio un error en el calculo, este se propagara a los demas elementoscalculados.

Ejemplo 9.8.Dadosa= 0.235867 yA= 67◦9′23′′ encontrar los elementos restantesdel triangulo.


El anguloB se calcula empleando la suma de los angulos internos del triangulo

A+B+C = 180◦

B = 180◦−A−C

= 180◦−67◦9′23′′−90◦

= 22◦50′37′′

para calcular los ladosb y c se pueden emplear las definiciones de tangente y senorespectivamente

tanA=ab

senA=ac

b=a

tanAc=

asenA

b=0.235867

tan67◦9′23′′c=

0.235867sen67◦9′23′′

b= 0.0993607 c= 0.255941

9.8.2. Dados dos lados

Ejemplo 9.9.Dadosb = 0.15124 yc = 0.30807 encontrar los elementos restantesdel triangulo rectangulo.

Se puede encontrar el ladoa empleando el teorema de Pitagoras



a2+b2 = c2

a =√

c2−b2

=√

0.308072−0.151242

= 0.268391

Para calcular los angulosA y B se pueden emplear las definiciones de cosA y senBrespectivamente

cosA=bc

senB=bc

A= arccosbc

B= arcsenbc

A= arccos0.151240.30807

B= arcsen0.151240.30807

A= 60◦35′54.4′′ B= 29◦24′5.6′′

9.9. Ley de los senos

La ley de senos establece que para todo triangulo de ladosa, b y c y angulosopuestosA, B y C respectivamente, se cumple

asenA

=b

senB=

csenC

(9.13)

Esta ley es util para calcular los lados restantes de un tri´angulo si se conocen dos desus angulos y un lado, lo cual es un problema comun en tecnicas de triangulacion.Tambien puede emplearse cuando se conocen dos lados y el angulo opuesto a unode dichos lados; en este caso, la formula puede dar lugar a dos posibles valores parael angulo comprendido entre los lados conocidos. Cuando esto pasa, frecuentementesolo uno de los angulos resultantes cumplira la propiedad de suma de los angulosinternos del triangulo, en otros casos, las dos son soluciones validas.

9.9 Ley de los senos 135

9.9.1. Caso de ambiguedad en la ley de senos

Al emplear la ley de senos para resolver triangulos rectangulos, bajo ciertas con-diciones especiales existe un caso de ambiguedad donde pueden construirse dostriangulos distintos como solucion del triangulo.

Figura 9.18 Ambiguedad enla ley de senos.

Dado el triangulo general de angulosA, B y C, y lados opuestosa, b y c, respec-tivamente, bajo las siguientes condiciones se tendra un caso de ambiguedad:

La unica informacion conocida acerca del triangulo es elanguloA y los ladosay b.El anguloA es agudo, es decirA< 90◦.El ladoa es mas corto que el ladob, es decira< b.El ladoa es mayor que la altura del triangulo rectangulo con angulo A e hipote-nusab, es decira> bsenA.

Si todas las premisas anteriores son ciertas, el anguloB puede ser agudo u obtuso,lo cual significa que se satisface alguno de los siguientes enunciados:

B= arcsen

(ba

senA

)

o

B= 180◦−arcsen

(ba

senA

)

9.9.2. Deduccion

Considerar un triangulo de ladosa, b y c y angulos opuestosA, B y C respecti-vamente. Construyamos la alturah del triangulo, desde el anguloC hasta el ladoc;observar que el triangulo original queda dividido en dos triangulos rectangulos.

Se puede ver que

senA=hb

y senB=ha

por lo tanto


Figura 9.19 Construcciongeometrica para deducir la leyde senos.

h= bsenA= asenB

y de aquıa

senA=

bsenB

Repitiendo el proceso con una altura trazada desde el angulo A hasta el ladoa seencuentra que

bsenB

=c

senC

de donde, se obtiene finalmente

asenA

=b

senB=

csenC

9.10. Ley de los cosenos

En trigonometrıa, la ley de cosenos (tambien conocida como ley de Al-Kashi1)enuncia una relacion valida para cualquier triangulo plano, que relaciona la longitudde sus lados con el coseno de uno de sus angulos.

Empleando la notacion usual, la ley de cosenos establece que

c2 = a2+b2−2abcosC (9.14a)

o, de manera equivalente

b2 = a2+ c2−2accosB (9.14b)

a2 = b2+ c2−2bccosA (9.14c)

1 Ghiy ath al-D ın Jamsh ıd ibn Mas’ ud al-K ash ı (o Jamsh¯ıd K ash an ı) (c. 1380 Kashan, Iran – 1429Samarkanda, Uzbekistan) fue un astronomo y matematico Persa, conocido tambien como el Se-gundo Ptolomeo.

9.10 Ley de los cosenos 137

Notar quec es el lado opuesto al anguloC, y quea y b son los dos lados queconforman al anguloC. En realidad, las tres ecuaciones anteriores establecen elmismo hecho, pero las consideramos de manera individual porque al resolver untriangulo, dados sus tres lados, uno puede aplicar la identidad tres veces, permutandolos lados.

La ley de cosenos generaliza el teorema de Pitagoras, que esvalido solo paratriangulos rectangulos: si el anguloC es recto (de 90◦, o π/2 radianes), entonces,cosC= 0, y la ley de cosenos se reduce a

c2 = a2+b2

que es el teorema de Pitagoras.La ley de cosenos es util para calcular el tercer lado de un triangulo cuando se

conocen dos de sus lados y el angulo comprendido entre ellos, y en el calculo de losangulos de un triangulo cuando se conocen los tres lados.

9.10.1. Demostracion

Considere un triangulo de ladosa, b y c y angulos opuestosA, B y C respec-tivamente. Construya la alturah del triangulo, desde el anguloC hasta el ladoc;observar que el triangulo original queda dividido en dos triangulos rectangulos, co-mo se muestra en la figura 9.20

Figura 9.20 Construcciongeometrica para deducir la leyde cosenos.

observar quec= acosB+bcosA

multiplicando porc se obtene

c2 = accosB+bccosA

considerando las otras perpendiculares se obtiene


a2 = accosB+abcosC

b2 = bccosA+abcosC

sumando estas dos ultimas ecuaciones se tiene

a2+b2 = accosB+bccosA+2abcosC

reorganizando terminos

accosB+bccosA= a2+b2−2abcosC

sustituyendo esto en la primera ecuacion parac2 se obtiene la ley de cosenos

c2 = a2+b2−2abcosC

9.11. Ley de la tangente

La ley de tangentes es un enunciado que establece una relaci´on entre las longitu-des de los tres lados de un triangulo y las tangentes de sus angulos.

Figura 9.21 Construcciongeometrica para deducir la leyde la tangente.

A

a

B

b

C

c

En la figura 9.21,a, b y c son las longitudes de los lados yA, B y C sus angulosopuestos respectivamente.

La ley de tangentes establece que

a−ba+b

=tan[

12 (A−B)

]

tan[

12 (A+B)

] (9.15a)

de manera similar,

9.12 Solucion de triangulos oblicuangulos 139

b− cb+ c

=tan[ 1

2 (B−C)]

tan[ 1

2 (B+C)] (9.15b)

c−ac+a

=tan[ 1

2 (C−A)]

tan[

12 (C+A)

] (9.15c)

La ley de tangentes, aunque no es tan conocida como la ley de senos o la leyde cosenos, es igualmente util, y puede ser empleada en cualquier caso, donde doslados y un angulo, o dos angulos y un lado son conocidos.

9.11.1. Demostracion

Para demostrar la ley de tangentes se comienza con la ley de senos

asenA

=b

senB

se puede decir que esto es igual a una constante de proporcionalidadq

q=a

senA=

bsenB

resolviendo paraa y b, se tiene

a= qsenA b= qsenB

Sustituyendoa y b en la ecuacion original

a−ba+b

=qsenA−qsenBqsenA+qsenB

=senA− senBsenA+ senB

y empleando la identidad trigonometrica

senθ + senφ = 2sen

(θ +φ

2

)cos

(θ −φ

2

)

paraθ = A y φ =±B se obtiene

a−ba+b

=2sen

(A−B

2

)cos(

A+B2

)

2sen(

A+B2

)cos(

A−B2

) =tan[

12 (A−B)

]

tan[

12 (A+B)

]

9.12. Solucion de triangulos oblicuangulos

En la resolucion de triangulos oblicuangulos se consideran cuatro casos.


9.12.1. Dado un lado y dosangulos cualesquiera

En este caso es posible encontrar el tercer angulo empleando

A+B+C= 180◦

y despues emplear ley de senos para calcular los lados restantes. En este caso, eltriangulo existe siempre que la suma de los angulos proporcionados sea menor que180◦.

Ejemplo 9.10.Dadosb = 20.24, A = 103◦36′ y B = 19◦21′, hallar los elementosrestantes del triangulo.

Se tiene que

A+B+C= 180◦

C= 180◦−A−B

= 180◦−103◦36′−19◦21′

= 57◦3′

Para calcular los lados restantes se emplea la ley de senos

asenA

=b

senB

a= bsenAsenB

= 20.24sen103◦36′

sen19◦21′

= 59.3730

bsenB

=c

senC

c= bsenCsenB

= 20.24sen57◦3′

sen19◦21′

= 51.2598

9.12.2. Dados dos lados y elangulo comprendido

En este caso, se puede encontrar el tercer lado empleando la ley de cosenos(9.14), utilizando la forma correspondiente para encontrar el lado opuesto al angu-lo dado; una vez conocidos los tres lados, se puede emplear nuevamente la ley decosenos para encontrar cualquiera de los dos angulos restantes y el tercer angulo sepuede calcular empleando la suma de angulos internos de un triangulo (8.1).

Otra opcion de solucion es emplear la ley de cosenos (9.14), utilizando la formacorrespondiente para encontrar el lado opuesto al angulo dado y una vez conocidos


los tres lados y un angulo, emplear la ley de senos (9.13) para obtener un angulomas; sin embargo, esta opcion nos puede llevar al caso de ambiguedad que se pre-senta en la ley de senos. Una manera de evitar la ambiguedad de la ley de senos esempleando la ley de tangentes (9.15), dado que conocemos un ´angulo, la suma delos dos angulos restantes es igual a 180◦ menos la suma de los angulos desconoci-dos, mediante la ley de tangentes podemos calcular su diferencia y luego resolver elsistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas paraencontrar los dos angulosfaltantes.

Ejemplo 9.11.Dadosa = 2, b = 3 y C = 60◦, hallar los elementos restantes deltriangulo.

Empleando ley de cosenos


= (2)2+(3)2−2(2)(3)cos60◦

= 4+9−6= 7

c =√

7

Empleando nuevamente la ley de cosenos

a2 = b2+ c2−2bccosA

cosA =b2+ c2−a2

2bc

=(3)2+(

√7)2− (2)2

2(3)(√

7)

=9+7−4

6√

7= 0.755929

A = arccos0.755929= 40.89◦ = 40◦53′24′′

Finalmente

A+B+C = 180◦

B = 180◦−A−C

= 180◦−40◦53′24′′−60◦

= 79◦6′36′′

La solucion alternativa implica el uso de la ley de senos, una vez conocidos lostres lados,a= 2, b= 3, c=

√7 y el anguloC= 60◦.

asenA

=b

senB=

csenC

asenA

=c

senC


senA =asenC

c

=2sen60◦√

7= 0.654654

A = arcsen(0.654654)

= 40.89◦ = 40◦53′24′′

Conocidos dos de los angulos, el tercero se puede obtener dela misma manera queantes

A+B+C = 180◦

B = 180◦−A−C

= 180◦−40◦53′24′′−60◦

= 79◦6′36′′

Ejemplo 9.12.Dadosa= 82, c= 167 yB= 98◦14′, hallar los elementos restantesdel triangulo.

Dado queA+B+C= 180◦,

C+A = 180◦−B

= 81◦46′

empleando la ley de tangentes (9.15c)

c+ac−a

=tan1

2(C+A)

tan12(C−A)

tan12(C−A) =

c−ac+a

tan12(C+A)

=167−82167+82

tan12(81◦46′)

= 0.29552612(C−A) = arctan(0.295526) = 16.46◦ = 16◦27′36′′

Se tiene ahora

12(C+A) =

12(81◦46′)

12(C−A) = 16.46◦ = 16◦27′36′′

Por lo tanto


C =12(C+A)+

12(C−A)

= 40◦53′+16◦27′36′′

= 57◦20′36′′

A =12(C+A)− 1

2(C−A)

= 40◦53′−16◦27′36′′

= 24◦25′24′′

Para encontrar los lados restantes se emplea la ley de senos (9.13)

asenA

=b

senB

b =asenBsenA

=82sen98◦14′

sen24◦25′24′′

= 196.2751

9.12.3. Dados dos lados y elangulo opuesto a uno de ellos

En este caso es posible encontrar el segundo angulo empleando la ley de senos(9.13), se debe tener presente de nuevo que existe la posibilidad de que se presenteambiguedad al emplear dicha ley. El tercer angulo se puedeencontrar empleandola suma de angulos internos de un triangulo (8.1) y el tercer lado se puede obtenerempleando nuevamente la ley de senos (9.13) o la ley de cosenos (9.14). Nuevamen-te se puede evitar la ambiguedad de la ley de senos empleandola ley de tangentes(9.15), dado que se conoce un angulo, la suma de los dos angulos restantes es iguala 180◦ menos la suma de los angulos desconocidos, mediante la ley de tangentes sepuede calcular su diferencia y luego resolver el sistema de dos ecuaciones linealescon dos incognitas para encontrar los dos angulos faltantes.

Ejemplo 9.13.Dadosa = 3, b = 2 y A = 40◦, hallar los elementos restantes deltriangulo.

Se puede calcular el anguloB empleando la ley de senos

senAa

=senB

b

senB=bsenA

a=

2sen40◦

3

=2(0.642788)

3= 0.428525


B= arcsen(0.428525) = 25.373989◦

= 25◦22′26.36′′

El tercer angulo se calcula mediante

A+B+C= 180◦

C= 180◦−A−B

= 180◦−40◦−25◦22′26.36′′

= 114◦37′33.64′′

El tercer lado se puede calcular empleando nuevamente la leyde senos

senAa

=senC

c

c=asenCsenA

=3sen114◦37′33.64′′

sen40◦

=3(0.909047)

0.642788= 4.24267566

Ejemplo 9.14.Dadosa = 6, b = 8 y A = 35◦, hallar los elementos restantes deltriangulo.

Figura 9.22 Figura para elejemplo 9.14.

Con los elementos dados se puede emplear la ley de senos para encontrar elanguloB

senAa

=senB

b

senB=bsenA

a=

8sen35◦

6

=8(0.573576)

6= 0.764768

B= arcsen(0.764768)

Aquı es donde se debe tener cuidado con la ambiguedad en la ley de senos, ya que

arcsen(0.764768) = 49.886357◦ = 49◦53′10.89′′


= 130.113643◦= 130◦6′49.11′′

Se deben considerar las dos soluciones

B1 = 49◦53′10.89′′

B2 = 130◦6′49.11′′

El tercer angulo se obtiene a partir de la suma de los angulos internos del triangulo

A+B+C= 180◦

C1 = 180◦−A−B1 C2 = 180◦−A−B2

= 180◦−35◦−49◦53′10.89′′ C2 = 180◦−35◦−130◦6′49.11′′

= 95◦6′49.11′′ = 14◦53′10.89′′

Finalmente, el tercer lado se obtiene mediante la ley de senos

senAa

=senC

c

c1 =asenC1

senAc2 =

asenC2

senA

=6sen95◦6′49.11′′

sen35◦=

6sen14◦53′10.89′′

sen35◦

= 10.419045 = 2.687377

La figura 9.22 muestra los dos triangulos solucion para losdatos dados.

Ejemplo 9.15.Dadosa = 2, c = 1 y C = 50◦, hallar los elementos restantes deltriangulo.

A partir de los elementos conocidos se puede emplear la ley desenos para calcu-lar el anguloA

senAa

=senC

c

senA=asenC

c=

(2)sen50◦

1= 1.532089

Como no hay un anguloθ para el cual senθ > 1, no existe un triangulo con losdatos proporcionados, es decir, el problema no tiene solucion.


9.12.4. Dados tres lados

Cuando se conocen los tres lados de un triangulo, es posibleemplear las tresformas de la ley de cosenos (9.14) para calcular los tres angulos. En general esmas conveniente calcular de esta manera los tres angulos,ya que su suma sirvecomo comprobacion. En la practica, se puede calcular el primer angulo con ley decosenos, el segundo con ley de senos y el tercero con la suma delos angulos internosdel triangulo.

Dados los valores de los tres lados de un triangulo, el triangulo es posible (existe)para cualesquiera valores de los datos siempre que ningun lado sea mayor que lasuma de los otros dos.

Ejemplo 9.16.Dadosa= 2.51,b= 2.79 yc= 2.33, hallar los angulos del triangulo.Como se conocen los tres lados del triangulo, se pueden emplear las ecuaciones

(9.14) para encontrar los angulos.


cosC=a2+b2− c2

2ab

=(2.51)2+(2.79)2− (2.33)2

2(2.51)(2.79)= 0.61798

C= arccos(0.61798) = 51.831227◦

= 51◦49′52.42′′

De la misma manera

cosA=b2+ c2−a2

2bc

=(2.79)2+(2.33)2− (2.51)2

2(2.79)(2.33)= 0.5317

A= arccos(0.5317) = 57.879611◦

= 57◦52′46.6′′

cosB=a2+ c2−b2

2ac

=(2.51)2+(2.33)2− (2.79)2

2(2.51)(2.33)= 0.33727

B= arccos(0.33727) = 70.289365◦

= 70◦17′21.71′′

A modo de comprobacion se suman los angulos obtenidos

9.13 Formulas para calcular el area de un triangulo oblicuangulo 147

A+B+C= 57◦52′46.6′′+70◦17′21.71′′+51◦49′52.42′′

= 180◦0′0.73′′

La diferencia de 0.73′′ se debe al error por redondeo debido al numero finito dedıgitos empleados en los calculos.

9.13. Formulas para calcular el area de un triangulooblicuangulo

En la seccion 8.6 se estudiaron algunas formulas elementales para calcular elarea de un triangulo, en esta seccion se revisaran algunas formulas adicionales parael calculo de areas de triangulos, que incluyen resultados de trigonometrıa obtenidosen las secciones anteriores.

9.13.1. Dados dos lados y elangulo comprendido

Cuando los elementos dados sonb, c y A, se trazaCD perpendicular aAB; cla-ramente,CD es la altura del triangulo, entonces, llamandoK al area del triangulo

K =c×CD

2

=c(bsenA)

2

=bcsenA

2(9.16a)

permutando los elementos dados se tiene,

K =casenB

2(9.16b)

=absenC

2(9.16c)

9.13.2. Dados un lado y los tresangulos

Cuando los elementos dados sona, A, B y C, de la eucacion (9.16c)

K =absenC

2


Figura 9.23 Construccionpara calcular el area de untriangulo oblicuangulo da-dos dos lados y el angulocomprendido.

A

a

B

b

C

c D

pero por la ley de senos (9.13)

b=asenBsenA

entonces

K =a2× asenB

senA× senC

=a2senBsenC

senA(9.17a)

de la misma manera, permutando los elementos dados

K =b2senCsenA

senB(9.17b)

=c2senAsenB

senC(9.17c)

9.14. Ejercicios

1. Determinar los valores de las razones trigonometricas del anguloθ (el mas pe-queno angulo positivo en la posicion estandar) siP es un punto en el lado delterminal deθ y las coordenadas deP son:(a)P(3,4) (b) P(−3,4) (c) P(−1,−3)

2. ¿En cual cuadrante terminaraθ?, si:

a) sinθ y cosθ son negativos.b) sinθ y tanθ son positivos.c) sinθ es positivo y secθ es negativo.d) secθ es negativo y tanθ es negativo.

3. Encontrar los valores de cosθ y tanθ , dado sinθ = 817 y θ se encuentra en el

cuadranteI .4. Encontrar los valores de sinθ y tanθ , dado cosθ = 5

6.

9.14 Ejercicios 149

5. Encontrar los valores de sinθ y cosθ , dado tanθ =− 34.

6. Determinar el valor de sinθ , dado cosθ =− 45 si la tanθ es positiva.

7. Encontrar los valores de las razones trigonometricas restantes deθ , dado sinθ =√32 y cosθ =− 1

2.

8. Determine los valores de cosθ y tanθ si sinθ = mn , es una fraccion negativa.

9. En los problemas siguientes, use un angulo coterminal para encontrar el valorexacto de cada expresion en terminos del angulo de referencia (el angulo positivomas pequeno en la posicion estandar). No use calculadora.

a) sen405◦

b) cot390◦

c) cos420◦

d) sec420◦

e) tan405◦

f ) cos33π

4g) sen390◦

h) sen9π4

i) csc450◦

j) tan21πk) sec540◦

l) csc9π2

10. En los problemas siguientes, use las formulas de reduccion de angulos para en-contrar el valor exacto de cada expresion en terminos del ´angulo de referencia (elangulo positivo mas pequeno en la posicion estandar).No use calculadora.

1) sen150◦

2) cos(−45◦)

3) sen3π4

4) sen

(−2π

3

)

5) cos210◦

6) sen(−240◦)

7) cos2π3

8) cot(−π

6

)

9) cos(−2π)10) cos315◦

11) sec240◦

12) cot7π6

13) tan14π

314) tan7π15) sen120◦

16) csc300◦

17) csc7π4

18) sec11π

419) cot5π20) sen510◦

21) cot330◦

22) cos13π

4

23) csc(−315◦)24) sec(−3π)25) cos600◦

26) tan225◦

27) tan8π3

28) sec(−225◦)29) sen(8π)

30) csc

(−5π

2

)

11. Resolver los siguientes triangulos rectangulos.

1) DadoA= 15◦ y c= 7.2) DadoB= 67◦ y a= 5.3) DadoB= 50◦ y b= 20.4) Dadoa= 0.35 yc= 0.62.5) Dadoa= 273,b= 418.6) DadoA= 38◦ y a= 8.09.7) DadoB= 75◦ y c= 0.014.8) Dadob= 58.6 y c= 76.3.

9) DadoA= 9◦ y b= 937.10) Dadoa= 3.414 yb= 2.875.11) DadoA= 84◦16′ y a= 0.0033503.12) DadoA= 46◦23′ y c= 5278.6.13) Dadoa= 529.3 y c= 902.7.14) DadoB= 23◦9′ y b= 75.48.15) DadoA= 72◦52′ y b= 6306.16) DadoB= 18◦38′, c= 2.5432.

17) Dadoa= 0.0001689 yb= 0.0004761.18) DadoA= 31◦45′ y a= 48.0408.19) Dadob= 617.576 yc= 729.59.20) DadoB= 82◦6′18′′ y a= 89.32.21) DadoA= 55◦43′29′′ y c= 41518.


22) DadoB= 31◦47′7′′ y a= 7.23246.23) Dadoa= 99.464 yc= 156.819.24) DadoA= 43◦21′36′′ y b= 0.00261751.25) DadoB= 82◦6′18′′ y a= 89.32.26) DadoB= 67◦39′53′′ y c= 9537514.27) Dadob= 5789.72 yc= 24916.45.28) DadoA= 26◦12′24′′ y c= 469422.7.29) DadoB= 14◦55′42′′ y b= 0.1353371.30) Dadoa= 672.3853 yb= 384.5038.

12. Resolver los siguientes triangulos isosceles, en loscualesA y B son los angulosiguales, ya, b y son los lados respectivamente opuestos a los angulosA, B y C

1) DadoA= 68◦57′ y b= 350.94.2) DadoB= 27◦8′ y c= 3.0892.3) DadoC= 84◦47′ y b= 91032.7.4) Dadoa= 79.2434 yc= 106.6362.5) DadoA= 35◦19′47′′ y b= 0.56235.6) DadoC= 151◦28′52′′ y c= 9547.12.

13. Hallar la longitud del lado de un pentagono regular inscrito en un cırculo cuyodiametro es 35.

14. A una distancia de 105 pies de la base de una torre, se observa que el angulo deelevacion a su cuspide es de 38◦25′. Hallese su altura.¿Cual es el angulo de elevacion del Sol cuando una torre de103.74 pies de alturaproyecta una sombra de 167.38 pies de largo?

15. El diametro de un cırculo es 32689; hallese el angulocentral, siendo la cuerdadel arco que abraza con sus lados 10273.

16. Si el diametro de la Tierra es de 7912 millas, ¿cual es elpunto de su superficiemas lejanamente visible desde la cumbre de una montana de 11

4 millas de altura?17. Hallese la longitud de la diagonal de un pentagono regular cuyo lado mide

6.3257.18. Hallar el angulo de elevacion de la ladera de una monta˜na que en una distancia

horizontal de16 de milla alcanza una elevacion de 238 pies.

19. Desde la cuspide de un faro de 146 pies de altura sobre el nivel del mar, seobserva que el angulo de depresion a una boya es de 21◦46′. Hallese la distanciahorizontal del faro a la boya.

20. Si un asta proyecta una sombra cuya longitud es23 de la altura del asta, ¿cual es

el angulo de elevacion del Sol?21. Una embarcacion navega al este con una velocidad de 7.8 millas por hora. Se

observa un cabo al norte a las 10:37A .M ., y a 33◦ al noroeste, a las 12:43P.M .Hallese la distancia del cabo a cada uno de los puntos de observacion.

22. Si una cuerda cuya longitud es 41.368 subtiende un arco de145◦37′, ¿cual es elradio del cırculo?

23. La longitud de un octagono regular es 12. Hallense los radios de los cırculosinscrito y circunscrito en el.

9.14 Ejercicios 151

24. ¿A que distancia del pie de un asta de bandera de 110 pies de altura habra decolocarse un observador para que el angulo de elevacion altope del asta sea 12◦?

25. Si una diagonal de un pentagono regular es 32.835, ¿cual es el radio del cırculocircunsrito?

26. Desde la cuspide de una torre el angulo de depresion alextremo de una lıneahorizontal que pasa por la base de una torre es de 18◦36′29′′ y la longitud de lalınea 1250 pies. Hallese la altura de la torre.

27. Si el radio de un cırculo es 723.294, ¿cual es la longitud de la cuerda de un arcode 35◦13′?

28. Hallar la longitud del lado de un exagono regular circunscrito en un cırculo cuyodiametro es 18.

29. Desde la cuspide de un faro de 200 pies de altura sobre el nivel del mar, seobserva un angulo de depresion a dos botes situados en lınea con el faro son de14◦ y 32◦, respectivamente. Hallese la distancia entre ambos botes.

30. Una ambarcacion navega con una velocidad uniforme. A las 7 A .M . se observaun faro a 10.326 millas al norte; a las 7 y 30A .M . el faro se halla a 18◦13′

al noroeste. Hallese el promedio de velocidad de navegaci´on y el rumbo a queestara el faro a las 10A .M .

31. Resolver los siguientes triangulos oblicuangulos:

1) Dadoa= 180,A= 38◦, B= 75◦43′.2) Dadob= 0.82,B= 51◦42′37′′, C= 109◦17′23′′.3) Dadoc= 24.637,A= 83◦39′, B= 38◦56′.4) Dadob= 0.06708,A= 26◦10′45′′, C= 44◦35′12′′.5) Dadoa= 5.0454,B= 98◦8′26′′, C= 21◦51′34′′.6) Dadoc= 4592.36,A= 74◦27′, C= 61◦.7) Dadoc= 0.93109,A= 15◦34′9′′, C= 123◦29′46′′.8) Dadob= 3.67683,A= 67◦21′54′′, B= 57◦48′8′′.9) Dadoa= 71396.72,B= 42◦55′13′′, C= 16◦4′57′′.


1) Dadoa= 67,c= 33,B= 36◦.2) Dadoa= 886,b= 747,C= 71◦54′.3) Dadob= 4.102,c= 4.549,A= 62◦9′38′′.4) Dadoa= 0.5953,b= 0.9639,C= 134◦.5) Dadob= 1292.1,c= 286.3, A= 27◦13′.6) Dadoa= 7.48,c= 12.409,B= 83◦26′52′′.7) Dadoa= 93.273,b= 81.512,C= 58◦.8) Dadob= 0.0261579,c= 0.0608657,A= 115◦42′.9) Dadoa= 35384.82,c= 57946.34,B= 19◦37′25′′.


1) Dadoa= 2, b= 3, c= 4.2) Dadoa= 5, b= 7, c= 6.3) Dadoa= 10,b= 9, c= 8.


4) Dadoa= 5.6, b= 4.3, c= 4.9.5) Dadoa= 0.85,b= 0.92,c= 0.78.6) Dadoa= 61.3, b= 84.7, c= 47.6.7) Dadoa= 705,b= 562,c= 639; hallarA.8) Dadoa= 0.0291,b= 0.0184,c= 0.0358; hallarB.9) Dadoa= 3019,b= 6731,c= 4228; hallarC.


1) Dadoa= 5.98,b= 3.59,A= 63◦50′.2) Dadob= 74.1, c= 64.2,C= 27◦18′.3) Dadob= 0.2337,c= 0.0982,B= 108◦.4) Dadoa= 4.254,c= 4.536,C= 37◦9′.5) Dadoa= 0.2789,b= 0.2271,B= 65◦38′.6) Dadoa= 60.935,c= 76.097,A= 133◦41′.7) Dadob= 74.8067,c= 98.7385,C= 81◦47′.8) Dadoa= 9.51987,c= 11,A= 59◦56′.9) Dadob= 4.521,c= 5.03,B= 40◦32′7′′.

10) Dadoa= 186.82,b= 394.2,B= 114◦29′51′′.11) Dadob= 5143.4,c= 4795.56,C= 72◦53′38′′.12) Dadoa= 0.860619,c= 0.635761,A= 19◦12′43′′.13) Dadoa= 139.27,b= 195.9716,A= 45◦17′20′′.14) Dadoa= 0.32163,c= 0.27083,C= 52◦24′16′′.15) Dadob= 91139.04,c= 80640.37,B= 126◦5′34′′.

35. Hallar las areas de los siguientes triangulos:

1) Dadoa= 38.09,c= 11.2, B= 67◦55′.2) Dadoa= 5, b= 8, c= 6.3) Dadob= 6.074,A= 70◦39′, B= 56◦23′.4) Dadob= 761.86,c= 526.02,A= 124◦6′13′′.5) Dadoa= 97,b= 83,c= 71.6) Dadoa= 1.9375,A= 43◦18′, B= 29◦47′36′′.7) Dadob= 0.439592,A= 62◦40′8′′, C= 54◦32′25′′.8) Dadoa= 39.5, b= 44.8, c= 52.3.9) Dadoa= 0.804639,c= 0.357173,B= 18◦11′49′′.

10) Dadoc= 95.86157,B= 115◦24′52′′, C= 32◦57′21′′.11) Dadoa= 0.02409481,b= 0.02763834,C= 81◦9′34′′.12) Dadoa= 7.825,b= 6.592,c= 9.643.

36. Desde un punto situado en el plano horizontal que pasa porla base de una torre,el angulo de elevacion a su cuspide es de 52◦39′, y desde otro punto situadoa 100 pies del anterior y mas distante que el del pie de la torre, es de 35◦16′.Hallese la altura de la torre y las distancias a ella desde cada uno de los puntosde observacion.

37. Un lado de un paralelogramo es 56, y los angulos comprendidos entre este lado ylas diagonales son 31◦14′ y 45◦37′. Hallense todos los lados del paralelogramo.

9.14 Ejercicios 153

38. En un campoABCD, los ladosAB, BC, CD y DA miden 155, 236, 252 y 105varas respectivamente, y la diagonalAC, 311 varas. Hallese el area del campo.

39. El area de un triangulo es 1356, y dos de sus lados 53 y 69.Hallese el angulocomprendido entre ellos.

40. Desde la cima de un farallon, los angulos de depresiona dos postes situados enun plano mas bajo, en lınea con el observador y distante unodel otro 1000 pies,son 27◦40′ y 9◦33′ respectivamente. Hallese la altura del farallon sobre elplanoque ocupan los postes.

41. Los lados paralelos de un trapezoide son 86 y 138, y los angulos en los extre-mos del ultimo de dichos lados son de 53◦49′ y 67◦55′. Hallense los lados noparalelos.

42. Dos trenes parten de un mismo punto y a la misma hora, movi´endose a lo largode vıas ferreas rectas que se cortan en un angulo de 74◦30′, con velocidades de30 y 45 millas por hora, respectivamente. ¿ A que distancia se hallara uno delotro a los 45 minutos de marcha?

43. Dos lados de un triangulo son 0.5623 y 0.4977, y la diferencia entre los angulosopuestos a estos lados es de 15◦48′32′′. Resolver el triangulo.

44. Dos yachts parten de un mismo punto a una misma hora, uno rumbo al nortecon una velocidad de 10.44 millas por hora, y el otro rumbo al noreste con unavelocidad de 7.71 millas por hora. ¿ Cual sera el rumbo del primero con relacional segundo a la media hora de marcha?

45. Una embarcacion navega rumbo al suroeste a razon de 8 millas por hora. A las10 y 30 A.M. observa un faro en direccion 30◦ al noroeste, y a las 12 y 15 P.M.lo observa a 15◦ al noreste. Hallense las distancias del faro a cada una de lasposiciones de la embarcacion.

46. Dos lados de un paralelogramo son 65 y 133, y una de las diagonales es 159.Hallense los angulos del paralelogramo y la otra diagonal.

47. Para encontrar la distancia de un objeto inaccesibleA, desde una posicionE,mido una lıneaEC de 208.3 pies de largo. Mido los angulosAECy ACEy halloque son de 126◦35′ y 31◦48′ respectivamente. Hallese la distanciaAE.

48. Las diagonales de un paralelogramo miden 81 y 106, y el angulo formado porellas es de 29◦18′. Hallar los lados y angulos del paralelogramo.

49. Un asta de bandera de 40 pies de altura esta situada en lo alto de una torre.Desde un punto situado cerca de la base de la torre se observa que los angulosde elevacion al tope y al pie del asta, son de 38◦53′ y 20◦18′ respectivamente.Hallese la distancia del punto a la torre y la altura de esta.

50. AD y ECson los lados paralelos de un trapezoideAECD; los ladosAE y EC son7.8 y 9.4 respectivamente, y los angulosE y C son 113◦47′ y 125◦34′ respecti-vamente. HallarAD y CD.

51. Un agrimensor observa que su posicionA se encuentra exactamente en lınea condos objetos inaccesiblesE y C. Mide una lıneaAD de 500 pies de largo, la cualforma un anguloEAD= 60◦, y desdeD observa que los angulosADE y EDCson de 40◦ y 60◦ respectivamente. Hallese la distanciaEC.


52. Un lado de un paralelogramo es 48, una diagonal 73, y el angulo comprendidoentre las diagonales y opuesto al lado dado es 98◦6′. Hallar la otra diagonal y elotro lado.

53. Para hallar la distancia entre dos boyasA y E, mido una lınea baseCD en lacosta, de 150 pies de largo. Desde el puntoC mido los angulosACD y ECD yresultan ser de 95◦ y 70◦ respectivamente; y desde el puntoD mido los angulosEDC y ADC, los cuales miden 83◦ y 30◦ respectivamente. Hallese la distanciaentre las boyas.

54. Los ladosAE, EC y CD de un cuadrilateroAECD son 38, 55 y 42 respectiva-mente; y los angulosE y C son de 132◦56′ y 98◦29′ respectivamente. Hallese elladoAD y los angulosA y D.

55. Los ladosAE, EC y DA de un campoAECDson de 37, 63 y 20 varas respectiva-mente, y las diagonalesAC y ED son de 75 y 42 varas respectivamente. Halleseel area del campo.

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