Solucionario Álgebra Elemental Moderna - Tomo 1 y 2 - M. González, J. Mancil
ÁLGEBRA ELEMENTAL
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INSTRUCCIONES
• Cada diapositiva tiene despliegue automático del contenido.
• Espere la instrucción de seguir adelante, antes de presionar cualquier tecla o botón del mouse
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FACTORES DE UNA EXPRESION
• Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión.
x (x + 2)
factor factor
Ejemplos:
factor factor
(x – 2) (x + 1)
x2 + 2x =
x2 – x – 2 =
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FACTORIZACION DE UNA EXPRESION
• Es convertir la expresión en el producto compuesto por sus factores
• Se pueden factorizar tanto los monomios polinomios a través del uso de los productos notables.
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
• Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1.
• Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación.
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
a) Cuando todos los términos tienen un factor común
Ejemplos:
10a + 30ax2 = 10 1 a + 10 3 a x x
10 a ( )1En ambos términos
+ 3 x2=
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2
En todos los términos
y= 18 m x y – 18 318 m x x x y y 18+ m y y
18 m y2 ( )x – 3 x2 + 1
1
= En cada uno de los términos
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
b) Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común
Ejemplos:
factor
(a – 1)(a – 1) (a – 1)
(x + 2)(x + 2) (x + 2)
factor
2x – y = (2x – y)
m + = (m + 1)
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
c) Cuando se agrupan los términos factor común
Ejemplos:
aa aa =x x xx bb b byyyy +++ + + +( () )
factor
= x(a + b) + y(a + b)factor
(a + b)= ( )x y+
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
d) Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable
• Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que:
a2 2ab + b2 = (a b)(a b)
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Ejemplos:
4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 + 25y2 – 20xy
= (2x) (5y)(2x)(5y)2– +
= 2x
2 2
– 5y( )2
Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas.
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
e) Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción.
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Ejemplos:
x4 + x2y2 + y4 Es un cuadrado perfecto
x4 + x2y2 + y4
2
No es un cuadrado perfecto1
2
Para llegar de a :1 2
x4 + x2y2 + y4
x2y2+ – x2y2
x4+ x2y2 + y42 – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto
= ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )
= ( x2 + y2 ) ( xy )–
Se le suma cero
Diferencia de cuadrados xy– +
2 2
xy2 2
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
f) Trinomios de la forma x2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:
Coeficiente del primer termino 1
Primer término es una letra elevada al cuadrado
Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera
Tercer término es independiente (sin letra)
Ej: y2 – 8y +15Presione [enter] para próxima diapositiva
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Ejemplo:
x2 ++ 5 x 6 = ( )( )x x+
5
3
Al multiplicar los signos:
+ + = +
+2
2 + 3 = Se tiene que buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6
2 3 = 6
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
g) Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:
Coeficiente del primer termino distinto de 1
Primer término es una letra elevada al cuadrado
Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera
Tercer término es independiente (sin letra)
Ej: 3a2 + 7a – 6 Presione [enter] para próxima diapositiva
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Ejemplo:
6 x2 – 7 x – 3
Se multiplica por el coeficiente de x2 (6) x2 – 7 x – 36 (6) (6)
(6x) 2 – (6x)7 – 18
Trinomios de la forma x2 bx c
( )6x – 2( )6x9
=+
+
– – La suma y la multiplicación es entre un
número positivo y otro negativo
2 – 9 = – 7
2 - 9 = – 18 Para continuar con el ejemplo presione [enter]
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Aunque ya se factorizo el polinomio hay que recordar que se multiplico por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor.
(6x – 9) (6x – 2)6x2 – 7x – 3 =
6= 3(2x – 3) 2 (3x – 1)
2 3
(2x – 3) (3x – 1)=Presione [enter] para próxima diapositiva
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
h) Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio.
( a + b )3 = a3 + 3 a b2+3 a2 b + b3
ó
( a + b )3 = – a3 – 3 a2 b + 3 a b2 b3
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
Ejemplo:
8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3
(2 x2) (3 y3)– 3 33 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) 2(3 y3) –
= ( )2x2 3y3–3
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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
i) Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos.
Ej:
x3+ 1 = ( )1x + ( )x2 x 1 + 12
cubo ( x3 )
cubo ( 13 )
cuadrado
cuadrado
Signo contrario el que se encuentra
en término anterior
–
a3– 8 = ( )2a – ( )a2 a 2 – 22
Cubo ( a3 )
cubo ( 23 )
cuadrado
cuadrado
Signo contrario el que se encuentra
en término anterior
+
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