4. Base y dimensión de un espacio vectorialUn conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.* S genera a V.* S es linealmente independienteUna base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

BaseEn términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn. Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvnRestar 2-1 0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vnEjemplo: demostrar si S = {v1, v2,…, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4)Proponer vector arbitrario, combinación linealb = c1v1+ c2v2+ c3v3(b1, b2, b3) = c1(1,2,1)+ c2(2,9,0)+ c3(3,3,4)(b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3c1 + 2c2 + 3c3 = b1 det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]2c1 + 9c2 + 3c3 = b2 = [36+6]-[27+16] c1 + 4c3 = b3 = -1 Si genera a R3

Unicidad representación de la base

Si S = {v1, v2,…, vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector en V puede escribirse de una y solo una forma como combinación lineal de vectores en S.Para demostrar la unicidad (que en un vector dado puede representarse sólo de una manera), se supone que u tiene otra representación u= b1v1 + b2v2+…+bnvn. Al restar la segunda representación de la primera se obtiene:

u-u = (c1-b1)v1 + (c2-b2)v2 +… + (cn-bn)vn = 0.

Sin embargo como S es linealmente independiente, entonces la única solución de esta ecuación es la trivial,

c1-b1=0 c2-b2=0, …, cn-bn=0.

Ejemplo: Unicidad de la Representación de la Base

Sea u = (u1, u2, u3) cualquier vector en R3. Demuestre que la ecuación u= c1v1+ c2v2 + c3v3 tiene solución única para la base S= {v1, v2, v3}= {(1,2,3),(0,1,2), (-2,0,1).Solución: Con base en la ecuación

(u1, u2, u3)= c1(1,2,3) + c2(0,1,2)+c3(-2,0,1)= (c1-2c, 2c1 + c2, 3c1 + 2c2 + c3),

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

C1 -2c3= u12C1 + C2 = u23C1 + 2C2 + C3= u3

A C U

Como la matriz A es invertible, se sabe que este sistema tiene una solución única dada por C=A-1U. Al despejar A-1 se obtiene

Lo cual implica que

c1= -u1 + 4u2 – 2u3c2= 2u1 – 7u2 + 4u3c3= -u1 + 2u2 – u3

Por ejemplo, el vector u = (1,0,0) puede representarse de manera única como una combinación lineal de v1, v2 y v3 en la forma siguiente.

(1,0,0) = -v1 + 2v2 – v3

DimensiónSe llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).

La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.

Ejemplo: Determinación de la dimensión de un subespacio

Sea W el subespacio de todas las matrices simétricas en M2,2 ¿Cuál es la dimensión de W?

Solución: Toda matriz simétrica 2 X 2 es de la forma

Por consiguiente, el conjunto

Genera a W. Además puede demostrarse que S es linealmente independiente, y se concluye que la dimensión de W es 3.

Para concluir que un conjunto S= { v1, v2, …, vn} es una base de un espacio vectorial V es necesario saber que S satisface dos condiciones: que S genera a V y es linealmente independiente.

Definición de Espacio Renglón y Espacio Columna de una matriz

Sea A una matriz m x n.

El espacio renglón de A es el subespacio de Rn generado por los vectores renglón de A.El espacio columna de A es el subespacio de Rn generado por los vectores columna de A.

Estos dos comparten muchas propiedades, pero debido al conocimiento que se tiene sobre las operaciones elementales en los renglones se empieza por considerar el espacio renglón de una matriz. Cabe recordar que dos matrices son equivalentes por renglones si una puede obtenerse a partir de la otra al aplicar operaciones elementales en los renglones. El siguiente teorema establece que las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio renglón.

Base para el Espacio Renglón de una Matriz

Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que está en forma escalonada, entonces los vectores renglón de B diferentes de cero forman una base del espacio renglón de A.

Ejemplo: Determinación de una base para un espacio renglón

Encuentre una base para el espacio renglón de

Solución: Mediante las operaciones elementales en los renglones, A vuelve a escribirse en forma escalonada como se muestra a continuación

Los vectores renglón diferente de cero, w1=(1,3,1,3), w2=(0,1,2,0), w3= (0,0,1,-1), forman una base del espacio renglón de A.

Ejemplo: Determinación de una base del espacio columna de una Matriz

Determine una base del espacio columna de la matriz A

Se empieza considerando la traspuesta de A, y luego aplicar las operaciones elementales en los renglones para volver a escribir A´ en forma escalonada.

Así w1=(1,0,-3,3,2), w2= (0,1,9,-5,-6), y w3 =(0,0,1,-1,-1) forman una base del espacio renglón de At, lo que equivale a afirmar que forman una base del espacio columna de A.

Definición del Rango de una Matriz

La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se denota por rango (A).

Ejemplo: Determinación del Rango de una Matriz Encuentre el rango de la matriz

Solución: La matriz dada se convierte a la forma escalonada como sigue:

Como B tiene tres renglones diferentes de cero, entonces el rango de A es 3.