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ETS DE INGENIEROS DE MONTES PRIMER CURSO
GRUPO B EJERCICIOS DEL TEMA 7
Series. Integrales Impropias
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
Ejercicios del Tema 7. Series numéricas. Integrales impropias.
Ejercicio 1.
Estudia el carácter de las siguientes series:
1.1.∞P=1
¡1 + 1
3+ 1
32+ + 1
3
¢(Sol.: Divergente).
1.2.∞P=1
5·6·7···(+1)1·2·3··(+2)·(+3) (Sol.: Convergente).
1.3.∞P=1
− log4√5 (Sol.: Convergente).
1.4.∞P=1
³3p+
23 − 3√´
(Sol.: Divergente).
1.5.∞P=1
(cos(√+1)−cos(√))
sen√
+1+√
2
(Sol.: Divergente).
1.6.∞P=1
1
1+ 1
(Sol.: Divergente).
1.7.∞P=1
3!(Sol.: Convergente).
1.8.∞P=1
tan¡+
¢, con ∈ R y 0
4(Sol.: Convergente).
1.9.∞P=1
3+2
(Sol.: Convergente).
1.10.∞P=2
1(log)log(log)
(Sol.: Divergente).
1.11.∞P=1
3
2 arctan (Sol.: Convergente).
1.12.∞P=1
13145 +1
(Sol.: Divergente).
1.13.∞P=1
1·3·5··(2−3)·(2−1) (Sol.: Divergente).
1.14.∞P=1
³1√− 1´
(Sol.: Divergente).
1.15.∞P=2
³log(+1)
log− 1´
(Sol.: Divergente).
1
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
1.16.∞P=1
1
32 4
¡2
¢(Sol.: Convergente).
1.17.∞P=1
sen 1
(Sol.: Divergente).
1.18.∞P=1
¡1− cos 1
¢(Sol.: Convergente).
1.19.∞P=1
13log
(Sol.: Convergente).
1.20.∞P=1
tan (Sol.: Divergente).
1.21.∞P=3
1
log√(log)2−1
(Sol.: Convergente).
1.22.∞P=1
1(1+(log)2)
(Sol.: Convergente).
1.23.∞P=1
−1+−2 (Sol.: Divergente).
1.24.∞P=1
1cosh
(Sol.: Convergente).
1.25.∞P=1
1cosh2
(Sol.: Convergente).
1.26.∞P=2
1
12 (log)
35
(Sol.: Divergente).
1.27.∞P=2
1 log
(Sol.: Divergente).
1.28.∞P=2
log(log)
log(Sol.: Divergente).
1.29.∞P=3
1 log log(log)
(Sol.: Divergente).
1.30.∞P=1
cos¡+
¢, con ∈ R y 0
2(Sol.: Convergente).
1.31.∞P=1
1
(1+ 12+ 13++ 1
)(Sol.: Divergente).
1.32.∞P=2
1+ 12+ 13++ 1
54 log
(Sol.: Convergente).
2
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
1.33.∞P=1
( √− 1) (Sol.: Convergente).
Ejercicio 2.
Estudia el carácter de las siguientes series, según los valores de los parámetros
y , siendo ∈ R:
2.1.∞P=1
·! , siendo 6= 0 Sol.: Convergente ∀ ∈ R, con 6= 0.
2.2.∞P=1
³+1++1
+
´, siendo 0 y 0.
Sol.:
1) : Si 1, divergente; si 1, convergente; si = 1 (y 1),
convergente.
2) : Si 1, divergente; si 1, convergente; si = 1 (y 1),
convergente.
3) = : Si 1, convergente; si ≥ 1, divergente.
2.3.∞P=0
(+2)(+4)(+2)
(+3)(+5)(+7)(+2+3), siendo ∈ R Sol.: Si − 1,
convergente; si − ≥ 1, divergente.
2.4.∞P=1
, con 6= 0 Sol.: Si || 1, convergente; si || ≤ 1, diver-
gente.
2.5.∞P=1
!√ Sol.: convergente ∀ ∈ R.
2.6.∞P=1
·!
Sol.:
Si || 1, divergente; si || 1, convergente; si = 1, convergente; si
= −1, convergente.
2.7.∞P=1
·! , con 6= 0Sol.:
Si || 1, divergente; si || 1, convergente; si = 1, divergente; si
= −1, divergente.
2.8.∞P=3
1 log(log(log))
Sol.: si 1, convergente; si ≤ 1, diver-gente.
2.9.∞P=1
(!)2
(2)!2 Sol.: si || 2, convergente; si || ≥ 2, divergente.
3
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
2.10.∞P=2
1− , siendo 0 Sol.: si 1, convergente; si ≤ 1,
divergente.
2.11.∞P=1
, siendo 0 Sol.: si 0 1, convergente; si ≥ 1,divergente.
Ejercicio 3.
Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series:
3.1.∞P=1
(−1)+1 1√
Sol.: No es absolutamente convergente, y no es
convergente.
3.2.∞P=1
(−1) sen2
Sol.: Es absolutamente convergente (y por tanto
convergente).
3.3.∞P=1
(−1)−1 1
(log)32
Sol.: No es absolutamente convergente, pero
si es convergente.
3.4.∞P=1
(−1)−1−2 Sol.: Es absolutamente convergente (y por tanto
convergente).
3.5.∞P=1
(−1)−1 !
Sol.: Es absolutamente convergente (y por tanto
convergente).
3.6.∞P=1
(−1)+1 11+ 1
2+ 13++ 1
Sol.: No es absolutamente convergente,
pero si es convergente.
3.7.∞P=1
(−1)−1 1√(+1)(+2)
Sol.: Es absolutamente convergente (y
por tanto convergente).
3.8.∞P=1
(−1) sen
Sol.: No es absolutamente convergente, pero si es
convergente.
3.9.∞P=1
(−1) cos
Sol.: No es absolutamente convergente, y no es
convergente.
3.10.∞P=1
(−1)−1 1cosh
Sol.: Es absolutamente convergente (y por tanto
convergente).
4
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
3.11.∞P=1
(−1) ¡√+ 1−√¢ Sol.: No es absolutamente convergente,
pero si es convergente.
Ejercicio 4.
Prueba que las series siguientes son convergentes, obtén una aproximación
a su suma con un error menor que 10−3, e indica si dicho error es por exceso opor defecto:
4.1.∞P=1
(−1)−1 12
Sol.: Para obtener una aproximación a la suma de
esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros 31términos, mediante la cuál es ' 0822971. Una cota del error cometidoes || ≤ 1
322 10−3. El error es por exceso.
4.2.∞P=1
(−1) 2!
Sol.: Para obtener una aproximación a la suma de
esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros 9términos, mediante la cuál es ' −0864903. Una cota del error cometidoes || ≤ 210
10! 10−3. El error es por defecto.
4.3.∞P=1
(−1)−1 !
Sol.: Para obtener una aproximación a la suma de
esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros 8términos, mediante la cuál es ' 0655157. Una cota del error cometidoes || ≤ 9!
99 10−3. El error es por defecto.
4.4.∞P=1
(−1) sen
Sol.: Para obtener una aproximación a la suma de
esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros3141 términos, mediante la cuál es ' 0521521. Una cota del error
cometido es || ≤ sen 3142
10−3. El error es por defecto.
4.5.∞P=1
(−1)−1 1cosh
Sol.: Para obtener una aproximación a la suma
de esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros7 términos, mediante la cuál es ' 0455303. Una cota del error cometidoes || ≤ 1
cosh 8 10−3. El error es por exceso.
Ejercicio 5.
Estudia el carácter de las siguientes series, sumándolas en caso de conver-
gentes:
5
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5.1.∞P=1
1(+1)(+2)
Sol.: Telescópica. = 14− 1
2(+1)(+2). Por
tanto, = 14.
5.2.∞P=1
24+32+4
Sol.: Telescópica. =12− 1
2++2. Por tanto,
= 12.
5.3.∞P=1
(−1) 22+44+32+4
Sol.: Telescópica. = −12 − (−1)2++2
. Por
tanto, = −12.
5.4.∞P=2
log¡1− 1
2
¢Sol.: Telescópica. = − log 2 − log
+1. Por
tanto, = − log 2.
5.5.∞P=4
2(−1)2!
Sol.: Exponencial. = 7− 8.
5.6.∞P=
1
(), con ∈ R y 1. Sol.: Hipergeométrica. =
−1 .
5.7.∞P=0
(+1)(+2)(+)
(+1)(+2)(+), con ∈ R y 6= . Sol.: Hiperge-
ométrica. Converge sii +1. En caso de convergente, =(+1)
(−−1)+.
5.8.∞P=1
2+33+3
Sol.: Aritmético-geométrica. = 19.
5.9.∞P=1
(+1)(+2)
2Sol.: Aritmético-geométrica. = 48.
5.10.∞P=1
¡12+ +1
¢Sol.: Geométrica + Aritmético-geométrica. =
2
(−1)2 .
Ejercicio 6.
En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, responder razonadamente a las siguientes preguntas:
6.1. ¿Son convergentes las series∞P=1
2 y∞P=1
2? Razona la veracidad o
falsedad de la proposición recíproca.
6.2. ¿Es convergente la serie∞P=1
( + )?
6
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
6.3. ¿Es convergente la serie∞P=1
√?
6.4. ¿Es convergente la serie∞P=1
?
6.5. ¿Son convergentes las series∞P=1
( · +1) 12 y∞P=1
( · +1) 12 ?
6.6. Si, además, la sucesión () es monótona decreciente ¿Es convergente la
serie∞P=1
?
6.7. ¿Es convergente la serie∞P=1
2?
6.8. ¿Son convergentes las series∞P=1
12( + +1) y
∞P=1
12( + +1)?
Una solución.
6.1. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, las series∞P=1
2 y∞P=1
2 también son convergentes. En
efecto, aplicando el criterio de comparación por paso al límite, dado que
lim2= lim = 0 (al ser
∞P=1
convergente, observa que necesaria-
mente es lim = 0) y que la serie∞P=1
es convergente, resulta que la
serie∞P=1
2 también es convergente (Id. para∞P=1
2 en relación a∞P=1
).
Observa que esta propiedad no se verifica si las series son de términos
cualesquiera. En efecto, la serie∞P=1
(−1) 1√es convergente, pero la serie
∞P=1
³(−1) 1√
´2=∞P=1
1es divergente.
La proposición recíproca es la siguiente: "Supongamos que las series de
números reales positivos∞P=1
y∞P=1
verifican que las series∞P=1
2 y
∞P=1
2 son convergentes. Entonces, las series∞P=1
y∞P=1
son conver-
gentes". Es evidente que la proposición es falsa (un contraejemplo: la
serie armónica∞P=1
1).
7
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
6.2. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, vimos en la parte de teoría que la serie∞P=1
( + )
es convergente, y su suma es +, donde =∞P=1
y =∞P=1
.
6.3. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, hemos visto que la serie∞P=1
( + ) es convergente.
Aplicando la desigualdad existente entre la media aritmética y la media
geométrica, probada en la parte práctica del tema 1, dep · ≤ +
2
se sigue, aplicando el criterio de la mayorante convergente, que la serie∞P=1
√ es convergente.
6.4. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, sabemos que las series∞P=1
( + ),∞P=1
2,∞P=1
2 y
∞P=1
( + )2también son convergentes, por lo que de
· = 1
2
³( + )
2 − 2 − 2
´se sigue que la serie
∞P=1
también es convergente.
Observa que esta propiedad no se verifica si las series son de términos
cualesquiera. En efecto, la serie∞P=1
(−1) 1√es convergente, pero la serie
∞X=1
µ(−1) 1√
¶µ(−1) 1√
¶=
∞X=1
1
es divergente.
6.5. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, es evidente que las series∞P=1
+1 y∞P=1
+1, también
son convergentes, por lo que del apartado 6.4. se sigue que las series∞P=1
( · +1) 12 y∞P=1
( · +1) 12 también son convergentes.
8
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
6.6. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y
∞P=1
sean convergentes, y que la sucesión () sea monótona decreciente,
veamos en primer lugar que la sucesión () está acotada. En efecto, dado
que ∀ ∈ N es +1 ≤ , de
(+ 1)+1 ≤ (+ 1) = + ,
dando valores a y sumando ordenadamente, se sigue que
(+ 1) ≤ 1 + 1 +,
donde y representan, respectivamente, el término -ésimo de la
sucesión de sumas parciales de la serie∞P=1
y la suma de dicha serie.
Por tanto, existe un número real positivo tal que ∀ ∈ N es
≤ ,
por lo que la serie∞P=1
, al estar mayorada por la serie∞P=1
=
∞P=1
, es convergente.
6.7. En general, la serie∞P=1
2 no es convergente, como se puede ver con el
contraejemplo de las series∞P=1
1
32
y∞P=1
1
32
, que son ambas convergentes,
pero la serie∞X=1
21
32
1
32
=
∞X=1
1
no es convergente.
6.8. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1
y∞P=1
sean convergentes, es evidente que las series∞P=1
+1 y∞P=1
+1, también
son convergentes, por lo que del apartado 6.2. se sigue que las series∞P=1
12( + +1) y
∞P=1
12( + +1) también son convergentes.
Ejercicio 7.
Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
7.1. Si lim = 0, entonces la serie∞P=1
es convergente.
9
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
7.2. Si la serie∞P=1
es divergente, entonces la serie∞P=1
|| es divergente.
7.3. Si es () la sucesión de sumas parciales de la serie∞P=1
, y () está
acotada, entonces la serie∞P=1
es convergente.
7.4. Si se verifica que 0 ≤ ≤ , ∀ ∈ N, y la serie∞P=1
es divergente,
entonces la serie∞P=1
también es divergente.
7.5. La serie∞P=1
− cosh es convergente ∀ ∈ R.
7.6. Si 0∀ ∈ N, y la serie∞P=1
es convergente, entonces la serie
∞P=1
(−1) también es convergente.
7.7. Si 0∀ ∈ N, y la serie∞P=1
1+
es convergente, entonces la serie
∞P=1
también es convergente.
7.8. Si son ∈ R y : [+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R,con ≥ , tal que lim
→+∞() = +∞, entonces la integral R +∞
() es
divergente.
7.9. La integralR +∞1
− cosh es divergente ∀ ∈ R.7.10. Si son ∈ R y : [+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R,
con ≥ , tal que la integralR +∞
() es divergente, entonces la integralR +∞
|()| también es divergente.
7.11. La integral impropiaR +∞1
− cosh 1 1(log )
es convergente ∀ ∈ R.
7.12. Si son ∈ R y : [+∞)→ R una función continua en [+∞) tal quelim
→+∞() = 0, entonces la integral
R +∞
() es convergente.
7.13. Si las integrales impropiasR +∞
() yR +∞
() son ambas conver-
gentes, entoncesR +∞
( + )() también es convergente.
7.14. Si son ∈ R y : [+∞)→ R dos funciones continuas en [+∞) talesque () ≤ ()∀ ∈ [+∞) y que R +∞
() es convergente, entonces
la integralR +∞
() es también convergente.
10
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7.15. Si son ∈ R y : [+∞)→ R dos funciones continuas en [+∞) talesque () ≤ ()∀ ∈ [+∞) y que R +∞
() es divergente, entonces
la integralR +∞
() es también divergente.
Una solución.
7.1. Falso. Se puede poner como contraejemplo la serie∞P=1
1, que es divergente
siendo lim 1= 0.
7.2. Verdadero. Se trata de la proposición contrarecíproca de "Si una serie es
absolutamente convergente, entonces es convergente".
7.3. Falso. Se puede poner como contraejemplo la serie∞P=1
(−1), cuya suce-sión de sumas parciales está acotada, pero no es convergente.
7.4. Falso. Se puede poner como contraejemplo las series∞P=1
1(divergente) y
∞P=1
12(convergente), que verifican la condición de que ∀ ∈ N,
0 ≤ 1
2≤ 1
.
7.5. Falso. Es evidente que la serie∞P=1
− cosh =∞P=1
1cosh
converge ∀ ∈ Rtal que 6= 0.
7.6. Verdadero, ya que, si 0∀ ∈ N, y la serie∞P=1
es convergente,
entonces la serie∞P=1
(−1) es absolutamente convergente, y por tantoconvergente.
7.7. Verdadero. Dado que 0∀ ∈ N y que, al ser∞P=1
1+
convergente,
se verifica que lim 1+
= 0, se sigue (al ser 1 + 1∀ ∈ N) quelim = 0, por lo que de
lim1+
= lim(1 + ) = 1,
resulta (aplicando el criterio de comparación por paso al límite) que∞P=1
también es convergente.
7.8. Verdadero. Se sigue de la definición de integral impropia de Tipo I.
11
© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
7.9. Falso. La integralR +∞0
− cosh es convergente ∀ ∈ R tal que 6= 0.7.10. Verdadero. Se trata de la proposición contrarecíproca de "Si una integral
impropia es absolutamente convergente, entonces es convergente".
7.11. Verdadero. Dado queZ +∞
1
− cosh 11
(log ) =
Z +∞
1
1
cosh 1(log ),
y que cosh 1 1, la integral impropia es convergente ∀ ∈ R (ver el
ejemplo 5.4.1.2. de la parte teórica de integrales impropias).
7.12. Falso. Como contraejemplo, se puede tomar la función : [1+∞) → Rdefinida mediante () = 1
, que es continua en [+∞) y verifica que
lim→+∞
() = 0, pero la integralR +∞1
1 es divergente.
7.13. Verdadero. Se sigue de la definición de integral impropia de Tipo I.
7.14. Falso. Como contraejemplo, se pueden tomar las funciones : [1+∞)→R definidas mediante () = 1
2, () = −, que son ambas continuas en
[1+∞), cumplen que () ≤ ()∀ ∈ [1+∞) y verifican que la integralR +∞1
12 es convergente, pero la integral
R +∞1
(−) es divergente.7.15. Falso. Como contraejemplo, se pueden tomar las funciones : [1+∞)→
R definidas mediante () = 12, () = − 1
, que son ambas continuas en
[1+∞), cumplen que () ≤ ()∀ ∈ [1+∞) y verifican que la integralR +∞1
12 es convergente, pero la integral
R +∞1−1
es divergente.
Ejercicio 8.
Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
8.0.R +∞1
2+12(+1)2
(Sol.: Convergente, y su valor es 12).
8.1.R +∞0
(1+2)√2+1
(Sol.: Convergente, y su valor es 1).
8.2.R +∞1
√2+1
(Sol.: Convergente, y su valor es arg tanh√22).
8.3.R −√+√−, con ∈ R y 0 (Sol.: Convergente, y su valor es
).
8.4.R +∞2
1+−22 (Sol.: Convergente, y su valor es 1
3(log 2− log 5)).
8.5.R 10
1+−22 (Sol.: Divergente).
8.6.R +∞0
(2+2+2)2
(Sol.: Convergente, y su valor es 18 − 1
4)
12
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8.7.R +∞0
+1
(Sol.: Convergente, y su valor es log 2).
8.8.R +∞0
242+25
(Sol.: Divergente).
8.9.R +∞2
log
(Sol.: Divergente).
8.10.R +∞2
√3 log
(Sol.: Convergente).
8.11.R 7−1(+ 1)
− 13 (Sol.: Convergente, y su valor es 6).
8.12.R +∞1
− cosh 2 (Convergente, y su valor es 1cosh 2−1).
8.13.R 21
√
log (Sol.: Divergente).
8.14.R 10
log
(Sol.: Divergente).
8.15.R 4−1
√4+3−2 (Sol.: Convergente, y su valor es ).
8.16.R +∞0
− cos , siendo ∈ R y 0 (Sol.: Convergente,
y su valor es 2+2
).
8.17.R +∞1
−2
(Sol.: Convergente).
8.18.R +∞1
sen2 2
(Sol.: Convergente).
8.19.R +∞0
sen3√2 (Sol.: Convergente).
8.20.R +∞−∞ −
2
(Sol.: Convergente, y su valor es√).
8.21.R +∞0
senh (Sol.: Divergente).
8.22.R +∞0
cosh
(Sol.: Convergente, y su valor es 2).
8.23.R −
√2−2 , con ∈ R y 0 (Sol.: Convergente, y su valor es
).
8.24.R +∞0
sen2
, con ∈ R (Sol.: Convergente para 1 3).
8.25.R
2
0sen2√cos
(Sol.: Convergente, y su valor es 1).
8.26.R
2
0
sen·√cos (Sol.: Divergente).
Ejercicio 9.
Partiendo del resultado Z +∞
0
sen
=
2
13
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(cuya demostración no se pide), estudia la convergencia y, en caso de conver-
gente, obtén el valor de las integrales siguientes:
9.1. 1 =R +∞0
sen cos
.
9.2. 2 =R +∞0
sen2 2
.
9.3. 3 =R +∞0
sen2 cos2 2
.
9.4. 4 =R +∞0
sen4 2
.
9.5. 5 =R +∞0
sen4 4
.
9.6. 6 =R +∞0
(1−cos )24
.
9.7. 7 =R +∞0
1−cos2 2
.
9.8. 8 =R +∞0
sen2 3
.
Una solución.
9.1.
1 =
Z +∞
0
sen cos
=
1
2
Z +∞
0
sen 2
(1)=1
2
Z +∞
0
sen
=
4
En (1) se ha aplicado el cambio de variable 2 = .
9.2.
2 =
Z +∞
0
sen2
2
(2)= lim
→+∞
µ−sen
2
¶+ lim
→0+
µ−sen
2
¶+ 21 =
2
En (2) se ha integrado por partes con = sen2 y = 2.
9.3.
3 =
Z +∞
0
sen2 cos2
2 =
1
4
Z +∞
0
sen2 2
2
(3)=1
2
Z +∞
0
sen2
2 =
4
En (3) se ha aplicado el cambio de variable 2 = .
9.4.
4 =
Z +∞
0
sen4
2 =
Z +∞
0
sen2 (1− cos2 )2
= 2 − 3 =
4
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9.5.
5 =
Z +∞
0
sen4
4
(4)= lim
→+∞
µ−sen
4
33
¶+ lim
→0+
µ−sen
4
33
¶+
+4
3
Z +∞
0
sen3 cos
3
En (4) se ha integrado por partes con = sen4 y = 4. Los dos
límites son 0, y la integralR +∞0
sen3 cos 3
se puede resolver por partes
tomando = sen3 cos, y = 3. Finalmente, se obtiene
5 =4
3(3
23 − 1
24) =
3
9.6.
6 =
Z +∞
0
(1− cos)24
= 4
Z +∞
0
sen4 2
4
(5)=1
2
Z +∞
0
sen4
4 =
1
25 =
=
6.
9.7. Evidentemente, 7 = 2 =2. No obstante, observa que
7 =
Z +∞
0
1− cos2 2
=
Z +∞
0
1
2−
Z +∞
0
cos2
2,
donde las integralesR +∞0
12 y
R +∞0
cos2 2
son ambas divergentes.
9.8. Del ejercicio 8.24. se deduce que 8 es divergente.
Ejercicio 10.
10.1. Prueba que la serie∞P=1
(−1)−1 12−1 es convergente.
10.2. Prueba que la serie∞P=1
(−1)−1 12es convergente.
10.3. Para cada ∈ N, se define =R
4
0tan . Obtén una fórmula
recurrente que exprese +2 en términos de y de (Sugerencia: Integra
en la identidad tan+2 = (1 + tan2 ) tan − tan ). Deduce que lasucesión () es convergente, y calcula lim
→+∞.
10.4. Sustituye sucesivamente en la fórmula anterior = 0 2 4 6 2 − 2,para obtener la suma parcial -ésima de la serie
∞P=1
(−1)−1 12−1 . Deduce
de dicha expresión la suma de esta serie.
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10.5. Sustituye sucesivamente en la fórmula anterior = 1 3 5 7 2 − 1,para obtener la suma parcial -ésima de la serie
∞P=1
(−1)−1 12. Deduce
de dicha expresión la suma de esta serie.
Una solución.
10.1. Aplicando el criterio de Leibniz, dado que 12−1 0∀ ∈ N, que
³1
2−1´
es una sucesión monótona decreciente, y que lim 12−1 = 0, resulta que la
serie∞P=1
(−1)−1 12−1 es convergente.
10.2. Aplicando el criterio de Leibniz, dado que 12
0∀ ∈ N, que ¡ 12
¢es
una sucesión monótona decreciente, y que lim 12= 0, resulta que la serie
∞P=1
(−1)−1 12es convergente.
10.3. Integrando en la identidad dada en el intervalo [0 4], fácilmente se llega
a
+2 =1
+ 1− .
Pasando al límite en esta expresión, observamos que, en caso de que la
sucesión () sea convergente, su límite es lim = 0. Por otra parte, de
0 ≤¯̄̄̄¯Z
4
0
tan
¯̄̄̄¯ ≤
Z 4
0
tan =1
2log 2,
se deduce que () está acotada. Dado que () es también monótona
decreciente, se deduce que () es convergente.
10.4. Dando los valores = 0 2 4 6 2 − 2, y sumando y restando alterna-tivamente miembro a miembro, se llega fácilmente a
2 =
X=1
(−1)−1 1
2− 1 − 0,
de donde se sigue pasando al límite que
∞X=1
(−1)−1 1
2− 1 = 0 =
4.
10.5. Dando los valores = 1 3 5 7 2 − 1, y sumando y restando alterna-tivamente miembro a miembro, se llega fácilmente a
2+1 =
X=1
(−1)−1 12− 1,
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