lgebra

R.Criado y A.Gallinari 2003

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IntroduccinEn sus orgenes, el lgebra clsica era el arte de resolver ecuaciones (la palabra lgebra proviene de un vocablo rabe que signica reduccin). El lgebra moderna est caracterizada por el estudio de ciertas estructuras abstractas que tienen en comn una gran variedad de objetos matemticos. El calicativo abstracto se reere al resultado de realizar el proceso de abstraccin sobre las propiedades observables de ciertos objetos matemticos, es decir, el proceso consistente en separar la forma del contenido. La estructura principal objeto de estudio en esta publicacin es la de espacio vectorial. Las aplicaciones de esta estructura incluyen virtualmente todas las reas de la ciencia. Se incluye una aplicacin de los espacios vectoriales relacionada estrechamente con el mundo de la informtica y las telecomunicaciones, en concreto a la teora de cdigos y se estudian varias tcnicas y herramientas de inters para otras aplicaciones. Este volumen viene acompaado por un libro de Prcticas y Problemas con el sistema Maple V, disponible en versin digital, que contiene una ampliacin y completa la descripcin de los conceptos tericos. Las prcticas permiten el desarrollo y la experimentacin con los aspectos ms numricos y estn diseada para potenciar el empleo de la notable capacidad de visualizacin grca que ofrece el programa Maple V. A cada tema terico y prctico hemos aadido ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. Los principales objetivos didcticos que intentamos conseguir son que el lector:

aprenda y utilize correctamente tcnicas y mtodos propios del lgebra lineal. vea la descripcin de algunas aplicaciones a la Informtica. comprenda y aplique algunos mtodos numricos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales y de aproximacin de autovalores y autovectores. aprenda a utilizar el programa Maple V (como ejemplo de sistema de computacin simblica) en sus aplicaciones al lgebra lineal.Algunos apartados de esta publicacin (sobre todo en la parte de ejercicios) son una adaptacin del material contenido (unas veces sin modicarlo, otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografa incluida.

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AgradecimientosQueremos agradecer al profesor Luis E. Sol Conde por su participacin en la correccin de estas notas y la elaboracin de los enunciados de varios ejercicios propuestos en este libro. Gracias tambin a los profesores Alejandro J. Garca del Amo Jimnez y Begoa Jimnez Martn por la elaboracin de los enunciados de varios ejercicios propuestos y a los alumnos que han sealado erratas y errores en versiones previas de esta publicacin.

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ndice General1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y estructuras algebraicas 91.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y eliminacin gaussiana 1.1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales . . . 1.1.2 Sistemas homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Transformaciones elementales por las. Introduccin al mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . 1.1.4 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Estrategia para la aplicacin del mtodo de eliminacin gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices y operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Propiedades del producto de matrices . . . . . . . . . . 1.2.4 El producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . 1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn (K) . . . . . . . . . 1.2.6 Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Matrices elementales y un mtodo para hallar A1 . . . Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 El concepto de operacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Introduccin a los Tipos Abstractos de Datos . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

10 10 13 14 18

1.2

1.3

1.4

22 24 26 29 31 33 37 39 40 43 47 47 50 52 57 60 60 64

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2 Espacios vectoriales2.1

Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Producto vectorial y producto mixto . . . . . . . . . . 2.1.2 Rectas en le plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Planos en el espacio tridimensional . . . . . . . . . . . 2.1.4 Rectas en el espacio tridimensional . . . . . . . . . . . 2.2 Espacios vectoriales sobre un cuerpo K . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Propiedades de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Producto cartesiano de espacios vectoriales . . . . . . . 2.2.3 Funciones con codominio en un espacio vectorial . . . . 2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Bases y dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Sistemas generadores y bases . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Equipotencia de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Subespacios vectoriales y dimensin . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Rango de un sistema de vectores y de una matriz . . . . . . . 2.8 El teorema de Rouch-Frbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Mtodo de Gauss y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Transformaciones elementales por columnas y matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Mtodo de Gauss para calcular el rango de una matriz 2.9.3 Algoritmo de extensin de una base . . . . . . . . . . . 2.9.4 Rango y espacio la de una matriz . . . . . . . . . . . 2.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . Ncleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios vectoriales isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones lineales en espacios vectoriales de dimensin nita 3.5.1 Determinacin de funciones lineales en espacios vectoriales de dimensin nita . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Dimensiones del ncleo y de la imagen . . . . . . . . 3.5.3 Matriz asociada a una funcin lineal . . . . . . . . . . . . . .

73 81 83 85 87 89 92 93 96 100 104 112 112 116 120 122 123 130 130 132 138 139 141 141 146

71

3 Funciones lineales

153

154 158 161 165 167

. 167 . 172 . 174

lgebra 3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7

7 Algoritmo para hallar una base del ncleo y de la imagen178 Matriz asociada a la composicin de funciones lineales . 179 Matrices semejantes y cambios de base . . . . . . . . . 183 Ecuaciones paramtricas e implcitas de un subespacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Longitud o norma eucldea de un vector . . . . . . 4.2.1 Propiedades de la norma eucldea . . . . . . Mtodo de ortogonalizacin de Gram-Schmidt . . . 4.3.1 Descomposicin QR de una matriz . . . . . Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Mtodo para hallar una proyeccin ortogonal 4.4.2 Aproximacin ptima de un vector. . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

4 Espacios vectoriales eucldeos4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

197

197 200 200 204 209 211 214 215 217 217 217 219 222 223 224 225 228 229 232 235 235 236

5 Cdigos lineales5.1 5.2 5.3

5.4

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia de Hamming, deteccin y correccin de errores . . . 5.2.1 Cdigo de paridad: deteccin de errores simples . . . . 5.2.2 Cdigo de repeticin: correccin de errores simples . . Cdigos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Paso de una matriz de control a una matriz generadora 5.3.2 Paso de una matriz generadora a una matriz de control 5.3.3 Deteccin y correccin de errores . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

6 Autovalores y autovectores6.1 6.2

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

239

8 6.3 6.4

lgebra Funciones complejas de variable real . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 La exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 La ecuacin de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 La ecuacin de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . La semejanza de matrices y los sistemas de ecuaciones . . . . 6.5.1 Sistemas diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalizacin y triangulacin de matrices . . . . . . . . . 6.6.1 El polinomio caracterstico de una matriz . . . . . . . 6.6.2 Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Triangulacin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales por triangulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Relaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Sistemas de relaciones de recurrencia . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los ejercicios del captulo 1 . . . . . . . Soluciones de los ejercicios del captulo 2 . . . . . . . Soluciones de los ejercicios del captulo 3 . . . . . . . Soluciones de los ejercicios del captulo 4 . . . . . . . Soluciones de los ejercicios del captulo 5 . . . . . . . Soluciones de los ejercicios del captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 244 246 246 249 251 253 255 256 259 259 263 268 271 279 281 286 290 290 291

6.5 6.6

6.7 6.8

7 Soluciones de los ejercicios7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

293. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

A Nuevo mtodo de triangulacin por semejanza

343

Captulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y estructuras algebraicasEste primer captulo comienza con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, de las matrices y de las operaciones con matrices. Estos conceptos estn en la base del lgebra lineal, y se asume que ya se ha tenido un contacto previo con ellos en cursos anteriores. Es conveniente sealar que en este nivel no slo es importante entender los mtodos de clculo de las soluciones de los problemas que se estudiarn, sino tambin el porqu dichos mtodos funcionan. Hablaremos de sistemas de n ecuaciones con m variables, donde n y m en general no son iguales, y de un algoritmo de clculo, el mtodo de eliminacin gaussiana, que nos permitir resolver sistemas de ecuaciones lineales generales. En la segunda parte del captulo, una vez establecidas las propiedades que satisfacen las matrices respecto de la suma y producto, se introducen las estructuras algebraicas de grupo, anillo y cuerpo con el objeto de reunir, bajo una estructura algebraica abstracta, las propiedades que tienen en comn, por ejemplo, los nmeros enteros, reales y complejos, las matrices y los polinomios, y destacar aquellas propiedades que no comparten. En ese sentido, la denicin de una estructura algebraica (por ejemplo, la denicin de grupo) responder a la abstraccin de ciertas propiedades comunes a los objetos anteriores, entendiendo por abstraccin el proceso de separar la forma del contenido. Como colofn del captulo y aplicacin de los conceptos previamente introducidos veremos una introduccin a los tipos abstractos de datos. 9

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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y eliminacin gaussianaAl aplicar la teora de ecuaciones lineales, entre otras disciplinas, a la informtica, aparecen ecuaciones lineales con coecientes enteros, binarios (0 1), reales o incluso complejos. La denicin de la estructura algebraica de cuerpo se introducir ms tarde. Cmo en la mayor parte de los resultados referentes a la teora de ecuaciones lineales no hace falta hacer distincin entre los casos en los que los coecientes son elementos del cuerpo R de los nmeros reales o del cuerpo C de los nmeros complejos, a lo largo del captulo se considerar que los coecientes de las ecuaciones pertenecen a un cuerpo genrico K, donde K = R C, aunque en algunos casos en los que se dir explcitamente, se consideraran tambin coecientes binarios, es decir, del cuerpo Z2 = {0, 1} de los nmeros enteros mdulo 2. Se asume que el estudiante ha trabajado en cursos anteriores con elementos de R2 y R3 , a los que se denominan pares ordenados y ternas. Ambos conceptos son casos particulares del concepto de n tupla o elemento del producto cartesiano de n copias de R, Rn , donde n es un nmero natural, o en general de Kn . As

Kn = {(x1 , ..., xn ) | i {1, ..., n}

xi K}

De este modo, un par ordenado es una 2 tupla (un elemento de K2 ) y una terna es una 3 tupla (un elemento de K3 ).

1.1.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones linealeses una expresin de la forma

Denicin 1.1.1 Una ecuacin lineal en las variables (o incgnitas) x1 , ..., xna1 x1 + ... + an xn = b

A a1 , ..., an K se les denomina coecientes de la ecuacin, y a b K trmino independiente.

Observacin 1 Habitualmente, los coecientes a1 , ..., an y el trmino inde-

pendiente b sern elementos de un cuerpo K (con K = R C). En tal caso se dice que la ecuacin anterior es una ecuacin lineal con coecientes en K.

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Observacin 2 Cuando n 3 es usual utilizar las variables x, y y z enlugar de x1 , x2 y x3

Ejemplo 1.1.2 Si n = 2 y a1 , a2 R, la ecuacin lineala1 x + a2 y = b (I)

representa una recta en el plano R2 , es decir, el conjunto de pares (x, y) que satisfacen la ecuacin (I) constituyen una recta. Por ejemplo, la ecuacin y 2x = 2 representa la recta

T2 & & & &-1 0

&

& & E

&

&

Figura 1.1: La recta y=2x+2 Es importante observar que las operaciones que afectan a las variables que intervienen en las ecuaciones lineales se reducen a multiplicarlas por los coecientes y sumarlas. As por ejemplo,

3x + 4y = 24 x1 x2 + 5x3 ( 2)x4 = 1 (e2 )x1 3x2 + x3 x4 = 0son ecuaciones lineales. Sin embargo NO son ecuaciones lineales

3x2 + 4y = 24 x1 x2 + 5x3 2 x4 = 1 e2x1 3x2 + x3 x4 = 0

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Denicin 1.1.3 Se dice que (1 , ..., n ) Kn es solucin de la ecuacina1 x1 + ... + an xn = bsi

a1 1 + ... + an n = b.

Ejemplo 1.1.4 (x, y, z) = (3, 2, 1) es solucin de x + y + z = 4. Por otraparte (x, y, z) = (4, 0, 0) tambin es solucin de dicha ecuacin.Un sistema de ecuaciones lineales es una sucesin nita de ecuaciones lineales. Es usual representar los sistemas de ecuaciones lineales verticalmente (i.e., colocando la sucesin de ecuaciones lineales en columna). As, un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas se representara por a11 x1 + ... + a1n xn = b1 . . . a x + ... + a x = b m1 1 mn n m

Ejemplo 1.1.5 El sistema

x2 + x3 = 1 2x1 x3 = 2 x2 + x3 = 4

es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas.

Denicin 1.1.6 Se dice que (1 , ..., n ) Kn es solucin del sistema deecuaciones

a11 x1 + ... + a1n xn = b1 . . . a x + ... + a x = b m1 1 mn n m i {1, ..., m} ai1 1 + ... + ain n = bi

si o, lo que es lo mismo,

a11 1 + ... + a1n n = b1 . . . a + ... + a = b m1 1 mn n m

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Es importante tener presente que los sistemas de ecuaciones lineales pueden no tener soluciones, o tener ms de una. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales con coecientes en R

x1 x2 = 1 x1 x2 = 4no tiene solucin, ya que contiene las ecuaciones de dos rectas distintas y paralelas. Los sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solucin, como el del ejemplo anterior, se denominan sistemas incompatibles. Los que tienen al menos una solucin, esto es, los sistemas compatibles, pueden tener una nica solucin, en cuyo caso se denominan compatibles determinados, o ms de una solucin, en cuyo caso, si los coecientes del sistema son nmeros reales o complejos, el sistema tiene innitas soluciones (como se ver por el teorema 1.2.14), y los sistemas correspondientes se denominan compatibles indeterminados.

cientes en R con dos incgnitas, uno compatible determinado, otro compatible indeterminado y un tercero incompatible y representar el conjunto solucin de cada una de las dos ecuaciones lineales que lo forman en el plano R2 . Extraer conclusiones.

Ejercicio 1.1.1 Encontrar tres sistemas de dos ecuaciones lineales con coe-

1.1.2 Sistemas homogneosDenicin 1.1.7 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogneo si los trminos independientes de todas las ecuaciones que lo constituyen son iguales a 0.

Ejemplo 1.1.8

x1 + x3 = 0 2x1 x2 + x3 = 0

es un sistema homogneo de 2 ecuaciones con 3 incgnitas.

Observacin 3 Cualquier sistema de ecuaciones lineales homogneo a11 x1 + ... + a1n xn = 0 . . . a x + ... + a x = 0 m1 1 mn n

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es compatible, puesto que (0, ..., 0) Kn es siempre una solucin de dicho sistema. A esta solucin se la conoce como solucin trivial. Si un sistema homogneo tiene soluciones distintas de la trivial, a cualquiera de dichas soluciones la denominaremos solucin no trivial.En el captulo 2 demostraremos que un sistema homogneo de ecuaciones lineales con coecientes en R C satisface exactamente una de las siguientes proposiciones:

El sistema homogneo slo tiene la solucin trivial. El sistema homogneo tiene innitas soluciones adems de la trivial.En particular, demostraremos que todo sistema homogneo con coecientes en R C que tenga ms incgnitas que ecuaciones tiene innitas soluciones. Se pueden comprender e interiorizar los resultados anteriores a travs de la resolucin de los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1.1.2 Comprobar que el sistema homogneox1 + x3 = 0 2x1 x2 + x3 = 0tiene innitas soluciones en R3 , despejando las variables x1 y x2 en funcin de x3 , y obtener una solucin del sistema para cada valor de x3 considerado.

Ejercicio 1.1.3 Vericar que el sistemax1 + x2 = 0 2x1 x2 = 0slo tiene la solucin trivial.

1.1.3 Transformaciones elementales por las. Introduccin al mtodo de Gauss-JordanEn esta seccin haremos una primera descripcin del mtodo de GaussJordan para encontrar las soluciones (si es que existen) de un sistema de ecuaciones lineales. La justicacin del mtodo y su descripcin precisa se

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realizar en las dos siguientes secciones. En esta seccin tambin daremos una primera justicacin de la denicin del producto de matrices (i.e., de porqu el producto de matrices se dene tal y como se dene). Al proceso de clculo de las soluciones de un sistema de ecuaciones compatible se le denomina resolucin del sistema. Si consideramos el sistema de ecuaciones lineales: x1 x2 + x3 = 1 2x1 + x2 x3 = 2 x1 + 2x2 + x3 = 4 podemos resolverlo eliminando sucesvamente una de las incgnitas de dos de las ecuaciones, despus otra de las restantes y as sucesivamente hasta conocer el valor de una incgnita, y a partir de ella el de las dems. En este caso, multiplicando la primera ecuacin por 2 y restndosela a la segunda, y restando la primera ecuacin a la tercera, obtenemos: x1 x2 + x3 = 1 3x2 3x3 = 0 3x2 = 3. A partir de aqu, de la tercera ecuacin se obtiene x2 = 1. Sustituyendo hacia atrs vamos obteniendo sucesvamente el valor del resto de las incgnitas. En este caso, de la segunda ecuacin obtenemos que x3 = 1, y, conocidos los valores de x2 y x3 , de la primera ecuacin obtenemos que x1 = 1. El mtodo descrito, consistente en ir eliminando las incgnitas de las ecuaciones una a una mediante el proceso de sumar a una ecuacin otra multiplicada por un nmero, para, una vez obtenido el valor de una de las variables, ir sustituyendo hacia atrs, se conoce como eliminacin gaussia-

na.

Si una vez obtenido el valor de una de las variables, en lugar de sustituir hacia atrs, seguimos sumando a una ecuacin otra multiplicada por un nmero, multiplicando ambos miembros de la ecuacin por nmeros adecuados e intercambiando ecuaciones con el objeto de obtener un sistema de ecuaciones escalonado en el que en cada ecuacin aparezca nicamente una incgnita, estaremos aplicando el mtodo conocido como mtodo de Gauss-Jordan. Una forma de representar sistemas de ecuaciones lineales consiste en utilizar matrices, esto es, tablas de coecientes ordenadas segn un nmero determinado de las y columnas. De hecho, el mtodo de Gauss-Jordan se

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aplica ms fcilmente sobre la que se denomina matriz ampliada asociada al sistema que sobre el propio sistema. La matriz asociada al sistema x1 x2 + x3 = 1 2x1 + x2 x3 = 2 x1 + 2x2 + x3 = 4 es por denicin la matriz

1 1 1 2 1 1 1 2 1 y la matriz ampliada asociada a dicho 1 1 1 2 1 1 1 2 1

sistema es 1 2 4

La aplicacin del mtodo de Gauss-Jordan sobre dicha matriz para obtener la solucin del sistema de ecuaciones que representa nos dara sucesvamente: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 F2 = F2 2F1 0 3 3 0 F2 F3 F3 = F3 F1 0 3 0 3 1 2 1 4

1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 0 3 F2 = 1 F2 0 1 0 1 F3 = F3 3F2 3 0 3 3 0 0 3 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 F3 = 1 F3 0 1 0 1 F1 = F1 F3 3 0 0 1 1 0 0 3 3 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 F1 = F1 + F2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

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La ltima matriz representa, obviamente, que x1 = 1, x2 = 1 y x3 = 1. En la resolucin del sistema anterior hemos aplicado sobre la matriz ampliada del sistema lo que se denominan transformaciones elementales por las. Estas son las siguientes: 1. Sumar a una la otra multiplicada por un nmero: Fi = Fi + Fj 2. Multiplicar una la por un nmero distinto de cero: Fi = Fi 3. Intercambiar dos las: Fi Fj En cualquier caso, no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solucin. Por ejemplo, si consideramos el sistema

x1 x2 = 1 2x1 2x2 = 4la aplicacin de las transformaciones elementales correspondientes sobre la matriz ampliada asociada al sistema nos lleva a

1 1 1 2 2 4

F2 = F2 2F1

1 1 1 0 0 2

es decir, 0x1 + 0x2 = 2. As pues, el sistema anterior es un sistema incompatible. Un ejemplo de sistema compatible indeterminado sera el siguiente: x1 x2 + x3 = 1 2x1 + x2 x3 = 2 2x1 2x2 + 2x3 = 2 Al resolverlo por el mtodo de Gauss-Jordan obtenemos:

1 1 1 1 2 1 1 2 F2 = F2 2F1 F3 = F3 2F1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 0 F1 = F1 + F2 0 0 0 0

1 1 1 1 0 3 3 0 F2 = 1 F2 3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

es decir, x1 = 1 y x2 x3 = 0, o lo que es lo mismo, x2 = x3 , con lo que, si escribimos x3 = t, para cada valor de t tenemos una solucin del sistema. Sera solucin del sistema (1, 1, 1), (1, 2, 2), ... en total tendramos innitas soluciones, tantas como posibles valores del parmetro t; esto ocurre porque estamos trabajando sobre el cuerpo de los nmeros reales, luego t toma valores en R, que es innito.

18

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1.1.4 Sistemas equivalentesLa aplicacin sucesiva de transformaciones elementales por las sobre un sistema de ecuaciones lineales (o sobre su matriz ampliada) permite pasar de un sistema de ecuaciones lineales a otro que, teniendo las mismas soluciones que el planteado, es ms sencillo de resolver. En esta seccin demostraremos con todo detalle que esto es efectivamente as. Por otra parte, las transformaciones elementales son reversibles, es decir, si realizando transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones lineales S obtenemos un sistema de ecuaciones lineales S , podemos recuperar S a partir de S realizando las transformaciones elementales inversas en el orden adecuado (el orden inverso del que se ha seguido para pasar de S a S ). TRASFORMACIN Fi = Fi + Fj TRANSFORMACIN INVERSA Fi = Fi Fj 1 Fi = Fi Fi Fj

Fi = Fi ( = 0) Fi Fj

Ejercicio 1.1.4 Realizar las transformaciones F3 = F3 F1 , F3 F1 ,1 F2 = F2 sobre la matriz ampliada asociada al sistema. 2 x1 x2 + x3 = 1 2x1 + 2x2 2x3 = 2 x1 + 2x2 + x3 = 4

para obtener la matriz A . Realizar sobre A las transformaciones inversas de las anteriores en el orden adecuado y comprobar que se obtiene la matriz ampliada asociada al sistema dado.

Denicin 1.1.9 Se dice que dos sistemas de m ecuaciones lineales con nincgnitas son equivalentes si uno de ellos puede obtenerse a partir del otro realizando sobre el primero una sucesin nita de transformaciones elementales por las.

Observacin 4 Como ya hemos sealado, habitualmente representaremos aun sistema de ecuaciones lineales 11 x1 + ... + 1n xn = 1 . . . x + ... + x = m1 1 mn n m

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por su matriz ampliada:

11 ... 1n 1 . . . M . . Am = . m(n+1) (K), . . . m1 ... mn m

con lo que las transformaciones elementales se realizan sobre las las de esta matriz.A la vista de la observacin anterior tiene sentido establecer la siguiente denicin:

Denicin 1.1.10 Si una matriz A se obtiene realizando transformaciones elementales por las sobre una matriz A, diremos que las matrices A y A son equivalentes por las. Observacin 5 A las transformaciones elementales por las, realizadas, biendirectamente sobre las ecuaciones del sistema, bien sobre las las de su matriz ampliada las denotaremos del mismo modo.

Ejercicio 1.1.5 Vericar que la relacin de equivalencia de matrices en

Mmn (K) es una relacin binaria reexiva, simtrica y transitiva (es decir, es una relacin de equivalencia en el sentido general).tienen exactamente las mismas soluciones. En otras palabras, si S y S son equivalentes,

Teorema 1.1.11 Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces

(1 , ..., n ) es solucin de S (1 , ..., n ) es solucin de S . o o

Demostracin Para demostrar el teorema, es suciente con estudiar elcaso en el que un sistema se obtiene a partir de otro mediante la aplicacin de una nica transformacin elemental por las. Supongamos que el sistema considerado es 11 x1 + ... + 1n xn = 1 21 x1 + ... + 2n xn = 2 S . . . x + ... + x = m1 1 mn n m

20

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Es obvio que el intercambio de lugar entre dos ecuaciones del sistema no altera el conjunto solucin del mismo. Por consiguiente la aplicacin de una transformacin del tipo Fi Fj no altera el conjunto solucin. Adems, teniendo esto presente, podemos restringir el estudio al caso en el que las transformaciones elementales se aplican nicamente sobre la primera y la segunda ecuacin, dejando el resto inalteradas. Sea = 0, y supongamos que 11 x1 + ... + 1n xn = 1 21 x1 + ... + 2n xn = 2 S . . . x + ... + x = m1 1 mn n m

Veamos que (s1 , ..., sn ) solucin de S (s1 , ..., sn ) solucin de S . o o Si (s1 , ..., sn ) es solucin de S, tendremos que

11 s1 + ... + 1n sn = 1 21 s1 + ... + 2n sn = 2 . . . s + ... + s = m1 1 mn n mcon lo que, multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por , obtenemos que 11 s1 + ... + 1n sn = 1 21 s1 + ... + 2n sn = 2 . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

es decir, que (s1 , ..., sn ) es solucin de S . Veamos ahora el recproco, i.e., que (s1 , ..., sn ) solucin de S (s1 , ..., sn ) solucin de S. o o Si (s1 , ..., sn ) es solucin de S , tendremos que

11 s1 + ... + 1n sn = 1 21 s1 + ... + 2n sn = 2 . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

lgebra con lo que, multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por obtenemos que 11 s1 + ... + 1n sn = 1 21 s1 + ... + 2n sn = 2 . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

211 ,

es decir, que (s1 , ..., sn ) es solucin de S. Supongamos ahora que 11 x1 + ... + 1n xn = 1 (21 + 11 )x1 + ... + (2n + 1n )xn = (2 + 1 ) S . . . x + ... + x = m1 1 mn n m

Veamos que (s1 , ..., sn ) solucin de S (s1 , ..., sn ) solucin de S . o o Si (s1 , ..., sn ) es solucin de S, tendremos que 11 s1 + ... + 1n sn = 1 21 s1 + ... + 2n sn = 2 . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

con lo que, multiplicando los dos miembros de la primera ecuacin por , y sumando miembro a miembro la primera ecuacin a la segunda obtendremos 11 s1 + ... + 1n sn = 1 (21 + 11 )s1 + ... + (2n + 1n )sn = (2 + 1 ) . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

Recprocamente, veamos que (s1 , ..., sn ) solucin de S (s1 , ..., sn ) solucin o o de S. Si (s1 , ..., sn ) es solucin de S , tendremos que 11 s1 + ... + 1n sn = 1 (21 + 11 )s1 + ... + (2n + 1n )sn = (2 + 1 ) . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

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Multiplicando la primera igualdad por y restndosela a la segunda obtenemos que 11 s1 + ... + 1n sn = 1 21 s1 + ... + 2n sn = 2 . . . s + ... + s = m1 1 mn n m

con lo que (s1 , ..., sn ) es solucin de S. Esto completa la demostracin del teorema. 2

1.1.5 Estrategia para la aplicacin del mtodo de eliminacin gaussiana1. Reordenar las ecuaciones para que en la primera ecuacin la primera variable x1 tenga un coeciente no nulo, y multiplicar ambos miembros de dicha ecuacin para que el coeciente de dicha variable sea 1. 2. Restar la primera ecuacin multiplicada por un escalar adecuado a las dems ecuaciones con el objeto de que la primera variable aparezca solamente en la primera ecuacin. 3. En el caso de que sea posible, reordenar las ecuaciones de la segunda en adelante con el objeto de que la segunda variable x2 aparezca con un coeciente no nulo y multiplicar ambos miembros de dicha ecuacin para que el coeciente de dicha variable sea 1. Si la variable x2 no aparece ms que en la primera ecuacin, hacer la operacin anterior con la variable x3 o con la primera variable que aparezca con un coeciente no nulo en alguna de las ecuaciones restantes (todas salvo la primera). 4. Restar la segunda ecuacin multiplicada por un escalar adecuado a las ecuaciones situadas bajo la misma con el objeto de que la segunda variable (o la que corresponda) no aparezca en ninguna ecuacin situada por debajo de la segunda. 5. Operando anlogamente con el resto de las ecuaciones, el sistema as obtenido ser un sistema escalonado, es decir, un sistema que se ajusta a la siguiente denicin.

Denicin 1.1.12 Se dice que un sistema de ecuaciones es escalonado si

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(E.1)

(E.2)

La primera variable de cada ecuacin tiene 1 como coeciente (a esta variable la denominaremos variable principal de dicha ecuacin). La variable principal de cualquier ecuacin siempre aparece situada a la derecha de las variables principales de las ecuaciones previas, y todas las ecuaciones sin variable principal aparecen colocadas al nal.

La ltima frase de (E.2) puede parecer algo misteriosa. Sin embargo, al llevar a cabo la estrategia anterior sobre un sistema concreto, podramos obtener una ecuacin de la forma

0x1 + ... + 0xn = kcon k = 0 o k = 0 (en este ltimo caso el sistema es incompatible). Este tipo de ecuaciones debern aparecer siempre en las ltimas las del sistema.

Ejemplo 1.1.13 Los siguientes sistemas de ecuaciones son escalonados: x1 + x2 + 3x3 = 9 x2 + 6x3 = 24 x3 = 4 x1 + x2 + x3 5x4 = 4 x3 2x4 = 6.Las matrices ampliadas asociadas a estos 1 1 3 0 1 6 0 0 1 y 1 1 1 0 0 1 sistemas son 9 24 4

5 4 2 6

El conjunto de soluciones de un sistema escalonado es razonablemente sencillo de obtener. Un sistema de ecuaciones escalonado ser compatible en todos los casos en los que no aparezca una ecuacin de la forma

0x1 + ... + 0xn = k,

con

k = 0.

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Suponiendo que el sistema es compatible, a cualquier variable que no sea la variable principal de una ecuacin la denominaremos variable libre. Si una variable es variable principal de un sistema de ecuaciones escalonado, diremos que dicha variable no es libre (o tambin que est determinada). El siguiente proceso, conocido como sustitucin hacia atrs o remonte, obtiene todas las soluciones del sistema asignando parmetros a las variables libres.

Sustitucin hacia atrs en el mtodo de eliminacin gaussianaSuponiendo que no aparece ninguna ecuacin de la forma

0x1 + ... + 0xn = kcon k = 0 en el sistema escalonado obtenido, comenzamos con la ltima ecuacin del sistema asignado un parmetro diferente a cada variable libre y expresando la variable determinada por la ltima ecuacin en trminos de estos parmetros. Despus, operaremos anlogamente con la penltima ecuacin, asignando diferentes parmetros a cada una de las nuevas variables libres, y obteniendo el valor de la variable determinada por la penltima ecuacin. Realizando las mismas operaciones con el resto de las ecuaciones hasta llegar a la primera, al nal del proceso todas las variables libres tendrn asignado un parmetro diferente, y todas las variables determinadas estarn expresadas en trminos de estos parmetros.

Ejercicio 1.1.6 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales porel mtodo de eliminacin gaussiana.: 2x1 + x2 + 3x3 = 9 5x1 + 4x2 + 6x3 = 24 x1 + 3x2 2x3 = 4

3x1 + x2 + x3 5x4 = 4 5x1 + 2x2 + 4x3 2x4 = 6

1.1.6 Mtodo de Gauss-JordanEl mtodo de Gauss-Jordan es una extensin del mtodo de eliminacin gaussiana, que consiste en eliminar la variable principal de la ecuacin correspondiente no solamente en las ecuaciones que aparecen situadas por debajo de

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25

la misma, sino en todas las ecuaciones del sistema. Por ello, la estrategia es la misma que la del mtodo de eliminacin de Gauss, con la adicin de las siguientes instrucciones en el lugar correspondiente: 4. Sustraer adems la segunda ecuacin multiplicada por un escalar adecuado de la primera ecuacin, con el objeto de eliminar la segunda variable de la primera ecuacin. 5. En cada paso sustraer la ecuacin correspondiente multiplicada por un escalar adecuado tanto de las ecuaciones situadas por debajo de la misma como de las situadas por encima, con el objeto de que la variable principal de cada ecuacin aparezca nicamente en la ecuacin de la que es variable principal. Los sistemas de ecuaciones que resultan de la aplicacin del mtodo de Gauss-Jordan se dice que tienen forma escalonada reducida, es decir:

Denicin 1.1.14 Se dice que un sistema de ecuaciones est en forma escalonada reducida si La primera variable de cada ecuacin tiene 1 como coeciente (a esta variable la denominaremos variable (E.R.1) principal de dicha ecuacin). La variable principal de cualquier ecuacin siempre aparece situada a la derecha de las variables (E.R.2) principales de las ecuaciones previas, y todas las ecuaciones sin variable principal aparecen colocadas al nal. La variable principal de cada ecuacin aparece solamente (E.R.3) en la ecuacin de la que es variable principal.

Ejemplo 1.1.15 Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por elmtodo de Gauss Jordan, es decir, obteniendo una forma escalonada reducida de dicho sistema x1 4x2 + x3 = 2 x1 + 3x2 x3 = 1 x1 + 2x3 = 3Para ello, trabajamos directamente sobre la matriz ampliada asociada al sistema, teniendo presente en todo momento qu es lo que representan los coecientes de dicha matriz: 1 4 1 2 1 3 1 1 F2 = F2 + F1 F3 = F3 F1 1 0 2 3

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1 4 1 2 F2 = (1)F2 0 1 0 3 F1 = F1 + 4F2 0 4 1 1 F3 = F3 4F2 1 0 1 10 1 0 0 23 0 1 0 3 F1 = F1 F3 0 1 0 3 . 0 0 1 13 0 0 1 13La ltima matriz ampliada representa el sistema en forma escalonada reducida. El sistema es, por tanto, compatible determinado y su solucin es (23, 3, 13).

Ejercicio 1.1.7 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales porel mtodo de Gauss-Jordan:

x1 x2 x3 + x4 = 5 x2 x3 + 2x4 = 8 2x1 x2 3x3 + 4x4 = 18 x1 + 5x2 2x3 = 0 x1 3x2 + x3 = 0 x1 + 5x2 x3 = 0

1.2 Matrices y operaciones con matricesAl realizar una primera lectura de los epgrafes siguientes, hasta completar la totalidad del captulo, se puede pensar que K = R C aunque los resultados obtenidos sern vlidos para cualquier cuerpo K. Como hemos visto en la seccin anterior, las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones lineales. Veamos una denicin precisa de lo que es una matriz:

Denicin 1.2.1 Una matriz de orden m n con coecientes en un cuerpoK (por ejemplo K = R C) es una funcin: A : {1, ..., m} {1, ..., n} K (i, j) ; A(i, j)Se dice entonces que A es una matriz con m las y n columnas. Es usual representar el coeciente A(i, j) de la matriz A por su correspondiente

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minscula con dos subndices, en este caso aij , y a la matriz completa A por una tabla en la que en la la `i y en la columna j aparece el elemento aij : a11 a1n . . . . A= . aij . . am1 anm As por ejemplo, la matriz A de dos las y dos columnas determinada por

A(1, 1) = 0, A(1, 2) = 1, A(2, 1) = 1, A(2, 2) = 4se representar por

0 1 . 1 4 Al conjunto de matrices de m las y n columnas con coecientes en K lo denotaremos por Mmn (K).

iguales si son iguales como funciones, es decir, si son del mismo orden (i.e.,

Es obvio que de la denicin anterior se sigue que dos matrices A, B son

si tienen el mismo nmero de las y de columnas, o lo que es lo mismo A, B Mmn (K) para algn m y n) y (i, j) {1, ..., m}{1, ..., n} A(i, j) = B(i, j).

funcional:

Ejemplo 1.2.2 Veamos algunos ejemplos de matrices denidas con notacin1. A M33 (K) denida por (A(i, i) = 1, i = 1, 2, 3) (A(i, j) = 0, i, j {1, 2, 3}, i = j) es la matriz: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2. Podemos utilizar tambin congruencias mdulo un nmero entero sobre i y j para denir la matriz; por ejemplo B M33 (R) dada por (A(i, j) = 1 i + j 1 mod 2) (A(i, j) = 0 i + j 0 mod 2) se representa por 0 1 0 1 0 1 0 1 0

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3. Otro ejemplo es la matriz C M33 (R) dada por (A(i, j) = 2i1 3j1 ), que es 1 3 9 2 6 18 4 12 36Recordemos ahora algunas deniciones y veamos otras nuevas:

Si A Mmn (K) se dice que A es una matriz de orden mn. Si m = n, en lugar de escribir Mnn (K), escribiremos Mn (K), y si A Mn (K) diremos que A es una matriz cuadrada de orden n. Si A Mmn (K), utilizaremos indistintamente la notacin usual aij o la funcional A(i, j) para referirnos al elemento de la matriz A situado en la la i esima y en la columna j esima. Por ello escribiremos en ocasiones A = (aij ) Mmn (K) para referirnos a una matriz genrica de orden m n. (Obsrvese que a es la minscula de A). Si A Mm1 (K) se dice que A es una matriz columna (de m las). Si A M1n (K) se dice que A es una matriz la (de n columnas). Si A Mmn (K), i {1, ..., m} llamaremos la i-sima de A a la matriz la de n columnas Ai = (ai1 ... ain ).Anlogamente, llamaremos columna j-sima de A a la matriz columna de m las a1j . Aj = . . . amj

Una matriz de particular inters es la matriz identidad a la que denotaremos por In (hay una para cada valor natural de n). As por ejemplo, 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 e I4 = 0 1 0 0 . I2 = , I3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

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En general la matriz In = (aij ) Mn (K) se dene por la condicin i, j {1, ...n}, aii = 1 (i = j aij = 0). Utilizando la notacin funcional, In Mn (K) quedara determinada por las condiciones: (i {1, ..., n} In (i, i) = 1) (i, j {1, ..., n} (i = j In (i, j) = 0)).

Si A Mmn (K) se denomina matriz traspuesta de A a la matriz t A Mnm (K) tal que (i, j) {1, ..., n} {1, ..., m}t

A(i, j) = A(j, i)

(empleando la notacin no funcional, si t A = (bij ), entonces

(i, j) {1, ..., n} {1, ..., m}As por ejemplo, si

bij = aji ).

1 2 A = 2 0 M32 (R), 3 1su traspuesta est

A=

1 2 3 2 0 1

M23 (R).

Un mtodo sistemtico para obtener la matriz traspuesta de una matriz dada consiste en ir leyendo los coecientes por las para sistemticamente escribirlos por columnas.

1.2.1 Suma de matricesLa denicin de suma de matrices es muy natural:

Denicin 1.2.3 Si A, B Mmn (K), la suma de A y B es la matrizA + B Mmn (K) denida por las condiciones (i, j) {1, ..., m} {1, ..., n} (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j) 1 1 1 3 2 2 Ejemplo 1.2.4 3 0 + 2 0 = 5 0 1 2 0 2 1 0

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Observacin 6 De la denicin anterior se sigue que para que dos matricesse puedan sumar deben ser del mismo orden.Se denomina matriz nula de orden m n a la matriz (0) Mmn (K) denida por las condiciones

(i, j) {1, ..., m} {1, ..., n}As por ejemplo,

(0)(i, j) = 0

(0) M23 (C) es la matriz

0 0 0 0 0 0

.

Observacin 7 En lo sucesivo tambin escribiremos (0) Mmn (K) pararepresentar a la matriz nula de orden m n.

Denicin 1.2.5 Si A Mmn (K) se denomina matriz opuesta de A a lamatriz (A) Mmn (K) denida por las condiciones

(i, j) {1, ..., m} {1, ..., n}As por ejemplo,

(A)(i, j) = A(i, j) K

1 1 1 1 3 0 = 3 0 1 2 1 2 y

2 1 0 1 1 3

=

2 1 0 1 1 3

.

Proposicin 1.2.6 Si A, B, C Mmn (K), se verica que:1. 2. 3. 4.

A + B = B + A (propiedad conmutativa de la suma de matrices) A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + (0) = A, (0) + A = A ((0) es el elemento neutro para +) A + (A) = (0), (A) + A = (0) ((A) es la opuesta de A)

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Demostracin Se trata de comprobar, en cada caso, que las matrices situadas a ambos lados de la igualdad son efectivamente iguales. Demostraremos la primera propiedad y el resto se propone como ejercicio. Hay que comprobar que

(i, j) {1, ..., m} {1, ..., n}

(A + B)(i, j) = (B + A)(i, j)

Sea (i, j) {1, ..., m} {1, ..., n}. (A + B)(i, j)= (por denicin)= =A(i, j) + B(i, j)=(puesto que la suma de nmeros reales o complejos y, en general, de los elementos de un cuerpo, satisface la propiedad conmutativa) =B(i, j) + A(i, j)= (por denicin) =(B + A)(i, j). 2 Por satisfacer las 4 propiedades de la proposicin anterior se dice que las matrices de orden m n con coecientes en K tienen estructura de grupo abeliano respecto de la suma. De la matriz (0) se dice que es el elemento neutro del grupo abeliano, y de la matriz (A) se dice que es la matriz opuesta de A.

1.2.2 Producto de matricesEn captulos venideros veremos que la siguiente denicin del producto de matrices permitir representar la actuacin de una funcin lineal sobre un elemento como un producto de matrices, hecho que a su vez tendr como consecuencia el que la composicin de funciones lineales se exprese como un producto de matrices. Si consideramos una ecuacin lineal, por ejemplo

2x1 + x2 + 6x3 = 3,es posible considerar la parte izquierda de la igualdad como el producto de la matriz de coecientes (2 1 6) por la matriz de incgnitas

x1 x2 x3

y escribir

x1 (2 1 6) x2 = (3) x3

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Si la ecuacin anterior forma parte de un sistema, por ejemplo del sistema 2x1 + x2 + 6x3 = 3 5x1 + 4x2 + 6x3 = 24 x1 + 3x2 2x3 = 4 teniendo en cuenta que de la denicin de matriz se sigue que dos matrices son iguales si tienen el mismo nmero de las y de columnas y los mismos coecientes en cada la y columna, resulta que, utilizando la denicin de producto de matrices anterior, podemos representar el sistema de ecuaciones mediante un producto de matrices, esto es: x1 3 2 1 6 5 4 6 x2 = 24 . x3 4 1 3 2 En general, el sistema de ecuaciones a11 x1 + ... + a1n xn = b1 . . . a x + ... + a x = b m1 1 mn n m puede representarse mediante el producto denido por la expresin: x1 b1 . . A . = . . . . xn bm Claro est que podemos considerar sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coecientes y distinto trmino independiente. Por ejemplo: 2x1 + x2 + 6x3 = 3 2x1 + x2 + 6x3 = 1 5x1 + 4x2 + 6x3 = 24 y 5x1 + 4x2 + 6x3 = 1 . x1 + 3x2 2x3 = 4 x1 + 3x2 2x3 = 1 En ese caso, teniendo en cuenta, por una parte, que las soluciones de uno no tienen porqu coincidir con las del otro, por lo que denotamos por y1 , y2 e y3 a las incgnitas del segundo sistema, y por otra, cuando dos matrices son iguales, podemos representarlos matricialmente de forma simultnea, mediante la expresin: 2 1 6 3 1 x1 y 1 5 4 6 x2 y2 = 24 1 . x3 y 3 1 3 2 4 1

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Esto nos lleva a la denicin de producto de dos matrices. Como observacin previa a la denicin, ntese que en los ejemplos anteriores, para poder multiplicar la matriz de coecientes por la de incgnitas, era preciso que el nmero de las de la matriz de coecientes coincidiese con el nmero de columnas de la matriz de incgnitas.

Denicin 1.2.7 Dadas las matrices A Mmn (K) y B Mnp (K) se denomina matriz producto de A y B , y se denota por A B a la matrizA B Mmp (K) tal quen

(i, j) {1, ..., m} {1, ..., p} A B(i, j) =k=1

A(i, k) B(k, j)

1 2 1 2 Ejemplo 1.2.8 Dadas las matrices 1 1 0 4 M32 (R), su producto es la matriz 1 2 0 1 1 1 2 1 3 0 = 1 1 0 1 2 0 4 3

0 1 1 1 M43 (R) y 3 0 0 1 2 3 7 1 6 3 M42 (R) 4 1 15 6

1.2.3 Propiedades del producto de matricesEl producto de matrices no es conmutativo, pues por ejemplo

1 1 1 1y sin embargo

1 1 1 1 1 1 1 1

=

2 2 2 2 0 0 0 0

1 1 1 1

=

.

dades:

Proposicin 1.2.9 El producto de matrices satisface las siguientes propie-

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1. Es asociativo: A Mmn (K), B Mnp (K) y C Mpq (K),

(A B) C = A (B C)(y por tanto podemos omitir los parntesis para denotar cualquiera de estos productos y escribir A B C ).

2. Es distributivo respecto de la suma:

A Mmn (K), B, C Mnp (K)

A (B + C) = A B + A C

A Mmn (K), B, C Mpn (K)

(B + C) A = B A + C A

3.

A Mmn (K),

A (0) = A y

(0) A = (0)

Demostracin Antes de dar la demostracin debemos sealar que es usualemplear el smbolo sumatorion

que tiene sentido puesto que la suma considerada es asociativa.

i=1

ai en lugar de la expresin a1 + ... + an , lo

1. Sean A Mmn (K) ,B Mnp (K) y C Mpq (K). Las dos matrices A(B C) y (AB)C tienen el mismo orden, ya que ambas pertenecen a Mmq (K). Veamos que (i, j) {1, ..., m}{1, ..., q} (A(B C))(i, j) = ((A B) C)(i, j) :

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35

n

(A (B C))(i, j) =k=1 n

A(i, k) (B C) (k, j) =p

=k=1 n(prop. distributiva en K)

A(i, k) s=1 p

B(k, s) C(s, j)

= = =

=k=1 n s=1 p

A(i, k) (B(k, s) C(s, j)) (A(i, k) B(k, s)) C(s, j)k=1 p s=1 n

(prop. asociativa en K)

= =s=1 p k=1

(prop. distributiva en K)

A(i, k) B(k, s) (A B) (i, s) C(s, j) =s=1

C(s, j) =

=

= ((A B) C)(i, j)2. Se demuestra razonando de forma similar al apartado anterior. 3. Ejercicio.

2

Observacin 8 Demostraciones como la anterior se incluyen para que

puedan ser consultadas por los alumnos interesados. En cualquier caso, es conveniente conocer algunos hechos relativos a la notacin, y a los resultados derivados del uso de la misma. Por ejemplo, en la proposicin anterior hemos utilizado la igualdadn p p n

A(i, k) B(k, s) C(s, j)k=1 s=1

=s=1 k=1

A(i, k) B(k, s)

C(s, j)

que intuitivamente es evidente, puesto que tanto el producto de nmeros reales como el de nmeros complejos es conmutativo y distributivo respecto de la suma. La demostracin de que esta igualdad es vlida es consecuencia de las siguientes propiedades relacionadas con el smbolo sumatorio, cuya demostracin tambin se puede hacer por induccin:

36

lgebra

Si {ai }i{1,...,n} y {bj }j{1,...,p} son dos familias de nmeros reales o complejos, se verica que n N, p N,n p n p

ai bji=1 j=1

=i=1

ai j=1

bj

Es decir, quen i=1

(ai b1 + + ai bp ) =

= (a1 b1 + + a1 bp ) + + (an b1 + + an bp ) = = a1 (b1 + + bp ) + + an (b1 + + bp ) .Para demostrar la identidad anterior, razonamos por induccin sobre n. Base de induccin: hay que probar que si n = 1,1 p 1 p

p Ni=1 j=1

ai bj

=i=1

ai j=1

bj

o lo que es lo mismo, quep p

p Nj=1

a 1 bj

= a1 j=1

bj

.

Esta propiedad se demuestra razonando por induccin sobre p : si

p = 1 es obvio queentonces cierto quep+1

p

a1 bjj=1 p

= a1 b1 = a1 p

1 j=1

bj

. Suponiendo

a1 bjj=1 p

= a1 j=1

bj

, resulta que

a1 bjj=1

=j=1

a 1 bj

+ a1 bp+1 =

= (por hiptesis de induccin) = o op

= a1 j=1 p+1

bj bjj=1

+ a1 bp+1 = .

= a1

lgebra

37

La demostracin del paso de induccin sobre n se propone como ejercicio para todo aquel alumno interesado en hacerla.

Si {aik }(i,k){1,...,n}{1,...,p} es una familia de nmeros reales o complejos,se verica quen p p

aikk=1

=k=1

n

aik

i=1

i=1

o, lo que es lo mismo,

(a11 + + a1p ) + + (an1 + + anp ) = (a11 + + a1n ) + + (a1p + + anp ) .La demostracin es similar a la del punto anterior.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que la trasposicin de matrices satisface las siguientes propiedades: 1. A Mmn (K)t t

( A) = At

2. A, B Mmn (K)

(A + B) =t A +t Bt

3. A Mmn (K), B Mnp (K),

(A B) =t B t A

Ejercicio 1.2.2 Demostrar que A Mmn (K) y B Mnm (K)A In = A In B = B(es decir, In deja invariante por el producto a cualquier matriz por la que se pueda multiplicar, sea o no cuadrada).

1.2.4 El producto de una matriz por un escalarDenicin 1.2.10 Si K y A Mmn (K) se dene la matriz A por las siguientes condiciones(i, j) {1, ..., m} {1, ..., n} (A)(i, j) = A(i, j) 1 2 3 6 Ejemplo 1.2.11 (3) 2 0 = 6 0 3 1 9 3

38

lgebra

Ejemplo 1.2.12 Siendo K (In ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . .. . . . . . . . . . . 0 0 0 Mn (K)

Proposicin 1.2.13 , K A Mmn (K) se verica que1.B Mnp (K) A (B) = (A) B = (A B) 2.B Mmn (K) (A + B) = A + B 3. ()(A) = ()(A) = (A) 4. ( + )A = A + A 5. ()A = (A)

Demostracin Ejercicio.

2

Teorema 1.2.14 Todo sistema de ecuaciones lineales con coecientes realeso complejos o bien no tiene soluciones, o bien tiene exactamente una solucin o bien tiene una innidad de soluciones.

una solucin, entonces tiene innitas soluciones. Sea AX = B el sistema dado y s1 , s2 dos soluciones distintas (s1 = s2 ). Entonces,

Demostracin Necesitamos comprobar que si un sistema tiene ms que

As1 = B = As2

y As1 As2 = A(s1 s2 ) = (0).

Se sigue que s1 s2 es solucin del sistema homogneo AX = 0 y que para todo K, s3 s1 + (s1 s2 ) es solucin de AX = B :

As3 = A(s1 + (s1 s2 )) = As1 + A((s1 s2 )) = = As1 + A(s1 s2 ) = As1 = B.Hemos hallado tantas soluciones como elementos en K. Como K es, por hiptesis, R o C (que son innitos), obtenemos innitas soluciones. 2

lgebra

39

1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn (K)Segn hemos visto, el conjunto Mmn (K) de las matrices de m las y n columnas sobre un cuerpo K tiene estructura de grupo abeliano respecto de la suma habitual de matrices. En este apartado vamos a estudiar la estructura algebraica que tiene el conjunto de las matrices cuadradas, Mnn (K), respecto de las operaciones de suma y producto, ya que el producto de matrices es una operacin en Mnn (K) (el producto de dos matrices cuadradas de dimensin n es una matriz cuadrada de dimensin n).

Propiedades del producto en Mn (K) Proposicin 1.2.15 Si A, B, C Mn (K), se verica que:1. A (B C) = (A B) C (propiedad asociativa del producto de matrices) 2. A (B + C) = A B + A C (propiedad distributiva de + respecto de ) 3. A In = A, In A = A (la matriz In es elemento neutro para ).

Demostracin La demostracin de las propiedades 1 y 2 se ha hecho en un

caso ms general. La demostracin de la propiedad 3 se deja como ejercicio (se trata de ver que las matrices A In y A son iguales y lo mismo con la otra igualdad). 2

de la suma de matrices y satisfacer las propiedades de la proposicin anterior se dice que el conjunto de matrices cuadradas de orden n, Mn (K), tiene estructura de anillo unitario respecto de la suma y producto de matrices habituales y elemento unidad la matriz In .La operacin de producto en Mn (K) permite denir potencias enteras no negativas de una matriz cuadrada:

Observacin 9 Por tener Mn (K) estructura de grupo conmutativo respecto

Denicin 1.2.16 Si A es una matriz cuadrada, A Mn (K), se denem N Am = (Am1 ) Adonde, por convenio de notacin, se asume que A0 = In .

40

lgebra

Observacin 10 No es difcil comprobar que m, r N A Mn (K) sesatisfacen las siguientes propiedades: 1. Am+r = Am Ar 2. (Am )r = Amr

Observacin 11 Ntese que como consecuencia de la no conmutatividad delproducto de matrices, si A, B Mn (K) en general tendremos que

(A + B)2 = A2 + B 2 + A B + B A = A2 + B 2 + 2A BSin embargo, si A y B conmutan para el producto, es decir, si AB = BA, entonces es obvio que (A + B)2 = A2 + B 2 + 2A B y, en general, asumiendo por convenio de notacin que A0 = B 0 = In , se verica que m N

(A + B)m =

m 0

Am B 0 +

m 1

Am1 B + ... +

m m

A0 B m .

Teniendo ahora en cuenta que, 0 0 (In ) = 0 0 . . . . . . 0 0

siendo K 0 0 0 0 0 Mn (K) . .. . . . . . . 0

y que toda matriz conmuta con la identidad, podemos obtener la siguiente frmula, vlida A Mn (K), m N :

(A + In )m =

m 0

Am +

m 1

(In ) Am1 + ... +

m m

(In )m

1.2.6 Matrices invertiblesDenicin 1.2.17 Se dice que A Mn (K) es invertible si B Mn (K) talque

A B = In B A = In .Obviamente, si B y B satisfacen las condiciones de la denicin anterior, es decir, si A B = In B A = In

lgebra y

41

A B = In B A = Inresulta que

B = B In = B (A B ) = (B A) B = In B = Bpor lo que dada A Mn (K) a lo sumo hay una matriz B que satisface las condiciones de la denicin anterior.

Denicin 1.2.18 Si A Mn (K) es invertible, yA B = In B A = In .se dice que B es la matriz inversa de A y a dicha matriz la denotaremos por A1 .

Observacin 12 En la denicin de matriz invertible, imponemos que el

producto de A por un cierta matriz B , por ambos lados, sea el elemento neutro. Hemos de hacerlo as porque el producto de matrices no es conmutativo. Sin embargo, veremos en el teorema 1.2.22 que es suciente comprobarlo por uno slo de los dos lados.

Ejemplo 1.2.19 La matriz inversa de la matriz A =triz A1 =

2 1/2 2 1

es la ma-

1 1/2 2 2

.

Proposicin 1.2.20 Sean A, B, A1 , , Ap Mn (K). Se verica que :1. si A, B Mn (K) son invertibles, entonces A B es invertible y

(A B)1 = B 1 A1 ,2. si A1 , , Ap son invertibles, entonces el producto A1 A2 Ap es invertible y (A1 A2 Ap )1 = Ap 1 A2 1 A1 1 , 3. si A Mn (K) es invertible, entonces (A) Mn (K) es invertible y (A)1 = (A1 ),

42

lgebra

4. si A Mn (K) es invertible, entoncest

(A) Mn (K)1

es invertible y

t

(A1 ) = (t A)1

.

Corolario 1.2.21 Si A Mn (K) es una matriz invertible, se verica que1. A1 es invertible y (A1 ) = A 2. m N Am es invertible y (Am )1 = (A1 )m 3. K, = 0 se verica que A es invertible, y (A)1 = 1 A1El siguiente teorema arma que si una matriz cuadrada tiene una matriz inversa a la derecha o a la izquierda, entonces es invertible:

Teorema 1.2.22 Si A, B Mn (K) se verica que:1. A B = In B = A1 . 2. B A = In B = A1 .

Demostracin Probemos 2: suponemos que B A = In , y debemos probar

que A B = In . Si B A = In , todo sistema que tenga como matriz asociada A tiene una nica solucin: dado un sistema A X = C , donde C es una matriz columna, multiplicando a ambos lados de la igualdad por B se obtiene:

B (A X) = B CPor la asociatividad del producto de matrices

(B A) X = B CY usando nuestra hiptesis inicial

X = In X = B CEs decir, que si X verica la ecuacin A X = C , necesariamente X = B C . j En concreto, denotando con In la columna j -sima de In , el sistema A j j X = In tiene una nica solucin B In , que es la columna j -esima de B , que denotamos B j , para cada j {1, . . . , n}. Es decir, hemos obtenido que j AB j = In para cada j {1, . . . , n}. Entonces tambin AB = In y podemos escribir B = A1 . Para probar 1 suponemos que A B = In . Aplicamos 2 a la matriz B y obtenemos que B A = In . 2

lgebra

43

1.2.7 Matrices elementales y un mtodo para hallar A1Denicin 1.2.23 Se dice que una matriz A Mn (K) es una matriz elemental si es el resultado de realizar una nica transformacin elemental por las sobre la matriz In .

Ejemplo 1.2.24

1 0 0 2

es una matriz elemental, pues

1 0 F2 = (2)F2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 0 5 0 0 0 1 0 1 0 son matrices elementales, pues Igualmente 0 0 1 0 y 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 F2 F4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 5 0 1 0 F1 = F1 + 5F3 0 1 0 . 0 0 1 0 0 1 Es obvio que si A es una matriz elemental de orden n, la matriz In se puede obtener realizando una nica transformacin elemental sobre la matriz A (la transformacin elemental inversa).El siguiente resultado quedar sucientemente vericado tras la realizacin de la prctica 2 en el aula informtica:

Teorema 1.2.25 Si E es la matriz elemental de orden m que se obtiene al

realizar la transformacin elemental t sobre las las de Im , y A Mmn (K), entonces la matriz resultante de realizar la transformacin t sobre las las de A es la matriz producto E A.

elemental F3 = F3 + 3F1 sobre la matriz 1 4 6 0 2 1 . 0 0 1

Ejercicio 1.2.3 Vericar el resultado anterior realizando la transformacin

44

lgebra

Teniendo ahora en cuenta que, segn hemos visto, cualquier transformacin elemental es reversible, y que la inversa de una transformacin elemental es una transformacin elemental, segn el cuadro que ya establecimos en su momento TRANSFORMACIN Fi = Fi + Fj TRANSFORMACIN INVERSA Fi = Fi Fj 1 Fi = Fi Fi Fj

Fi = Fi ( = 0) Fi Fj

resulta que, si denotamos por Pi () a la matriz elemental asociada a la transformacin Fi = Fi ( = 0), por Sij () a la matriz elemental asociada a la transformacin Fi = Fi + Fj y por Eij a la matriz elemental asociada a la transformacin Fi Fj , tenemos el siguiente corolario del teorema anterior:

Corolario 1.2.26 Toda matriz elemental es invertible, y su inversa tambin es una matriz elemental. Concretamente,(Sij ())1 = Sij () 1 (Pi ())1 = Pi ( ) 1 (Eij ) = Eji

Ejercicio 1.2.4 Verifquese el resultado recogido en el corolario anterior,multiplicando las matrices

P2 (5) =

1 0 4 S13 (4) = 0 1 0 0 0 1y

1 0 0 5

E24

1 0 = 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

por sus correspondientes inversas y observando que en cada caso el resultado es la matriz identidad del orden correspondiente.

lgebra

45

Teorema 1.2.27 Si A Mn (K) las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. A es invertible 2. La ecuacin A X = (0) slo tiene la solucin trivial 3. A es equivalente por las a la matriz In , es decir, su forma escalonada reducida es la matriz identidad In 4. El sistema A X = b es compatible determinado para toda matriz columna b Mn1 (K) y su nica solucin es X = A1 B.

Ejemplo 1.2.28 Si A Mn (K) y b Mn1 (K), entonces el sistema A X = b es compatible determinado para toda matriz columna si y solo si A es invertible. Si A no es invertible o si A no es una matriz cuadrada, podemos todava determinar condiciones sobre la matriz b tales que el sistema AX = b sea consistente. Por ejemplo, aplicando el mtodo de Gauss-Jordan a la matriz ampliada del sistema se obtiene que x1 + x2 + 2x3 = b1 x1 + x3 = b2 2x1 + x2 + 3x3 = b3 1 1 2 b1 F2 = F2 F1 1 1 2 b1 1 0 1 b2 F3 = F3 F1 0 1 1 b2 b1 2 1 3 b3 2 1 3 b3 2b1 F1 = F1 + F2 1 0 1 b2 F3 = F3 F2 0 1 1 b2 + b1 . F2 = F2 0 0 0 b3 b2 b1 Si b3 b2 b1 = 0 el sistema no es compatible y si b3 b2 b1 = 0 el x1 = x3 + b2 , que tiene innitas sistema es equivalente al sistema x2 = x3 b2 + b1 soluciones de la forma {(t + b2 , t b2 + b1 , t) : t R} .

Mtodo para determinar la matriz inversaEl teorema anterior permite establecer un mtodo para determinar la inversa de una matriz invertible. Pues si A es invertible, A es equivalente por las a la matriz In y existen m matrices elementales E1 , E2 , , Em tales que

Em Em1 ... E1 A = In .Se sigue que, por el teorema 1.2.22,

46

lgebra

Em Em1 E1 = A1 .es decir, recogiendo las dos igualdades anteriores,

A

In 1

= Em Em1 ... E1 A = Em Em1 ... E1 In

En otras palabras, la sucesin de transformaciones elementales que transforma la matriz A en la matriz In , tambin transforma la matriz In en la matriz A1 , con lo que, siendo t1 , ..., tm las transformaciones elementales por las que permiten obtener In a partir de A, el esquema

A In t1 , ..., tm In

A1

nos da un mtodo para la obtencin de la inversa de una matriz invertible A por transformaciones elementales .

1 1 0 Ejemplo 1.2.29 Para calcular la inversa de la matriz 2 1 0 pro2 1 1 cederamos del siguiente modo 1 1 0 2 1 0 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 2 0 1 F2 = F2 + 2F1 F3 = F3 + 2F1 = F1 F2 = F3 F2 = (1)F1 = (1)F2

F1 F 3 F1 F2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 obteniendo, por tanto que 2 2 1

1 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 = 2 1 0 . 1 0 1 1

lgebra

47

Observacin 13 Ntese teniendo cuenta el resultado obtenido en que, en

1 1 0 1 0 invertible, el sistema homogneo el teorema 1.2.27, al ser 2 2 1 1 x y = 0 2x + y = 0 slo tiene la solucin trivial. 2x + y + z = 0

1.3

Estructuras algebraicas

El lgebra moderna est caracterizada por el estudio de ciertas estructuras abstractas que tienen en comn una gran variedad de objetos matemticos, entendiendo por abstraccin el proceso de separar la forma del contenido. Lo importante del estudio de estas estructuras es que, una vez establecidas las propiedades que satisfacen, dichas propiedades son satisfechas por todos los objetos que comparten dicha estructura. En este apartado estudiaremos algunas de estas estructuras, en particular las de grupo, anillo y cuerpo, como paso previo al estudio de la principal estructura sobre la que trabajaremos este curso, la estructura de espacio vectorial, y echaremos una breve mirada hacia las algebras multignero o tipos abstractos de datos. Este tipo de lgebras sern objeto de estudio con mayor nivel de profundidad en la asignatura de segundo curso Estructuras de datos y de la informacin.

1.3.1 El concepto de operacinHablando de manera aproximada, se puede decir que el origen del lgebra se encuentra en el arte de sumar, multiplicar y elevar a potencias nmeros enteros. La sustitucin de nmeros por letras y de las operaciones aritmticas por el concepto ms general de operacin permite operar con reglas anlogas a las vistas para los nmeros enteros en el contexto de objetos matemticos ms generales, como por ejemplo las matrices. Bajo la envoltura abstracta de la mayora de las teoras axiomticas del lgebra (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, mdulos, ...) se ocultan problemas concretos cuya resolucin di lugar a dichas deniciones abstractas, y algunas generalizaciones de gran aplicacin. Entre estas aplicaciones se encuentran dos de los pilares bsicos de la ingeniera de software: las tcnicas

48 de especicacin formal y de vericacin de programas.

lgebra

Denicin 1.3.1 Siendo A un conjunto no vaco, llamaremos operacin oley de composicin interna sobre A a cualquier funcin

: A A A . (x, y) ; (x, y)La imagen (a, b) representa el resultado de operar a con b en ese orden. Ntese, pues, que lo que es fundamental en la denicin anterior es que a cada par de objetos de A se le asigna un unico elemento de A : dicho elemento es el resultado que se obtiene al operar dichos objetos.

Observacin 14 Para denotar operaciones normalmente se emplean smbo-

los no alfabticos del estilo de +, , , , , , , 2, ,etc..., y se utiliza con ellos notacin inja, es decir:notacion funcional notacion infija

+(a, b) (a, b) (a, b)

a+b ab ab

As, en lugar de escribir, por ejemplo, +(a, +(a, b)) escribiremos a+(a+b). Es importante insistir de nuevo en que para poder realizar el producto de matrices A B, el nmero de columnas de A debe coincidir con el nmero de las de B. Por consiguiente, para poder realizar los dos productos A B y B A, donde A Mmn (K) y B Mqp (K), el nmero de columnas de A debe coincidir con el de las de B y recprocamente, esto es, para poder realizar el producto A B, n = q, y para poder realizar el producto B A, p = m, es decir, A Mmn (K) y B Mnm (K). Si queremos adems que el producto sea una operacin en el sentido de la denicin anterior, slo tendr sentido hablar del producto de matrices como operacin cuando consideramos matrices en Mnn (K).

Denicin 1.3.2 Siendo : A A A una operacin, diremos que: es asociativa si x, y, z A x (y z) = (x y) z

lgebra

49

es conmutativa si x, y A

xy =yx

e A es un elemento neutro de la operacin si x A x e = x e x = x a A es un elemento idempotente de la operacin si a a = aEs evidente que si e, e A son elementos neutros de A para la operacin , entonces e = e (es decir, si una operacin tiene elemento neutro, ste es nico), pues: e e = e, por ser e elemento neutro y e e = e por ser e un elemento neutro, de donde e = e . Por otra parte tambin es evidente que si e es el elemento neutro de una operacin , e es idempotente, puesto que e e = e por ser e elemento neutro de .

Denicin 1.3.3 Si : A A A es una operacin con elemento neutro e, diremos que a es un elemento simtrico de a siaa =e a a=e

Proposicin 1.3.4 Siendo : A A A una operacin asociativa y conelemento neutro e, si a, a , a A son tales que a y a son simtricos de a entonces a = a .

Demostracin Si a y a son elementos simtricos de a, entonces se vericaque a = e a = (a a) a = a (a a ) = a e = a

2

de X, es decir, el conjunto cuyos elementos son las operaciones : P (X) P (X) (A, B) ; y : P (X) P (X) (A, B) ;

Ejemplo 1.3.5 Si X es un conjunto, y P (X) es el conjunto de las partesP (X) AB P (X) AB

todos los subconjuntos de X,

50

lgebra

satisfacen las propiedades asociativa y conmutativa. El conjunto vaco es el elemento neutro de la operacin , y X es el elemento neutro de la operacin . Obsrvese que para ninguna de estas dos operaciones existe el elemento simtrico de un elemento dado.

1.3.2 GruposDenicin 1.3.6 Sea G = y : G G G una operacin. Diremosque G tiene estructura de grupo respecto de , o tambin que el par (G, ) es un grupo, si se verica que: 1. es asociativa 2. e G que es elemento neutro para 3. Todo elemento a G tiene simtrico respecto de la operacin .Si adems satisface la propiedad conmutativa, entonces se dice que (G, ) es un grupo abeliano. De G se dice que es el conjunto subyacente del grupo (G, ).

uno de estos conjuntos, los siguientes pares son grupos abelianos:(R, +), (R {0}, ), (C, +), (C {0}, ), (R+ , ), (Z, +), (Q {0}, ) y (Q, +) donde R+ = {x R |x > 0 }, Z es el conjunto de los nmeros enteros y Q es el conjunto de los nmeros racionales.

Ejemplo 1.3.7 Si consideramos la suma y producto habituales sobre cada

Ejemplo 1.3.8 Otro ejemplo de inters especial para nosotros es el grupo(Z2 , +), donde Z2 = {0, 1} y la operacin + se dene mediante la tabla: + 0 1 0 1 0 1 1 0

es decir, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0. Es obvio que el elemento neutro es el 0, y que el opuesto de 1 es el propio 1, y que el grupo es abeliano, pues 1 + 0 = 1 = 0 + 1.

Ejemplo 1.3.9 El conjunto de matrices invertibles de orden n con coe-

cientes en K tiene estructura de grupo (no abeliano en general) respecto del producto usual de matrices. A dicho grupo se le denomina grupo lineal de orden n con coecientes en K.

lgebra

51

Ejemplo 1.3.10 Los conjuntos (R, ),(C, ),(Q, ), (Z {0}, ),(N, +), y(Mn (K) {0}, ) no son grupos.

Propiedades de los grupos.Si (G, ) es un grupo se verica que: 1. Se puede simplicar a derecha e izquierda, es decir:

a, x, y G (x a = y a) x = y a, x, y G (a x = a y) x = y2. Las ecuaciones de la forma x a = b y a x = b tienen solucin nica. Concretamente:

a, b G !x G..a x = b a, b G !x G..x a = b3. El nico elemento idempotente de (G, ) es el elemento neutro e :

a G(a a = a a = e)4. a, b G a b = e b = a 5. a G a donde a es el elemento simtrico de a

=a

6. a, b G (a b) = b a

Demostracin1. Siendo a, x, y G, si xa = ya, necesariamente (xa)a = (ya)a ,es decir, x(aa ) = y(aa ) , o lo que es lo mismo, xe = ye, con lo que concluimos que x = y. La otra propiedad se demuestra anlogamente. 2. Siendo a, b, x G, a x = b a (a x) = a b, es decir, (a a) x = a b , y esto es equivalente a que e x = a b, o lo que es lo mismo, a que x = a b.La otra propiedad se demuestra anlogamente.

52

lgebra 3. Esta equivalencia la probaremos demostrando que la dos implicaciones son V, es decir, probando que para cualquier elemento a G,

((a a = a a = e) (a = e a a = a)) . Sea a G tal que a a = a. En ese caso a (a a) = a a, es decir, (a a) a = e con lo que e a = e, es decir, a = e. La implicacin recproca es evidente, pues si a = e, entonces a a = e e = e.4. Siendo a, b G tales que a b = e, necesariamente a (a b) = a e, es decir, (a a) b = a con lo que e b = a , o lo que es lo mismo, b=a. 5. Siendo a G, de a a = e a a = e se sigue que a

= a.

6. Siendo a, b G, (a b) (b a ) = ((a b) b ) a = (a (b b )) a = a a = e, por lo que, teniendo en cuenta la propiedad 4 que acabamos de ver, b a = (a b) . 2

Observacin 15 Ntese que, como caso particular de los resultados ante-

riores, para el caso en que las operaciones + y sean las operaciones de un grupo, se tendr que, siendo x e y dos elementos genricos:

(x + x = x) x = 0 (x y = 1) y = x1 1 (x1 ) = x 1 (x y) = y 1 x1es decir,

(( = +) e = 0 x = (x)) (( = ) e = 1 x = (x1 )).

1.3.3 Anillos y cuerposDenicin 1.3.11 Se dice que un conjunto A = tiene estructura de anillorespecto de las operaciones + y , o tambin que la 3-tupla (A, +, ) es un anillo si se verica que:

lgebra

53

1. (A, +) es un grupo abeliano 2. satisface la propiedad asociativa 3. es distributiva respecto de + , es decir:

x, y, z A ((x (y + z) = x y + x z) ((y + z) x = y x + z x))Si adems satisface la propiedad conmutativa, se dice que el anillo (A, +, ). es un anillo conmutativo. Finalmente, si tiene elemento neutro 1 A, y 1 = 0, se dice que el anillo (A, +, ) es un anillo unitario.

son la suma y producto habituales de los nmeros enteros.

Ejemplo 1.3.12 (Z, +, ) es un anillo conmutativo y unitario, donde + y

cientes en C, es decir, al conjunto formado por todas las funciones p : C C tales que n N{0} y (a0 , ..., an ) Cn+1 de manera que x C se verica que p(x) = an xn + ... + a1 x + a0 con la suma + y el producto de polinomios habituales, resulta que (C[x], +, ) es un anillo conmutativo y unitario. Con vistas a recordar las operaciones, si por ejemplo consideramos los polinomios p, q C[x] ,tales que x C p(x) = 2x2 + x 5 y q(x) = 3x 4, tendremos que

Ejemplo 1.3.13 Si denotamos por C[x] al conjunto de polinomios con coe-

(p + q)(x) = p(x) + q(x) = 2x2 + x 5 + (3x 4) = 2x2 + 4x 9y

(p q)(x) = p(x) q(x) = 2x2 + x 5 (3x 4) = 6x3 5x2 19x + 20.

Ejemplo 1.3.14 Segn hemos visto, (Mn (K), +, ) es un anillo no conmutativo y con elemento unidad In , siendo + y la suma y producto de matrices habituales.

Denicin 1.3.15 Siendo (A, +, ) un anillo, se dice que a A {0} es un divisor de cero si b A {0} tal que a b = 0 b a = 0.

54

lgebra

Ejemplo 1.3.16 Es fcil comprobar que (Mn (K), +, ) tiene divisores de cero. As por ejemplo

1 1 1 1

1 1 1 1

=

0 0 0 0

Denicin 1.3.17 Siendo (A, +, ) un anillo unitario, se dice que a A es invertible (o inversible) si existe un elemento b A tal que (a b = 1 b a = 1). En tal caso, es obvio que b es el elemento inverso de a, y por tanto escribiremos b = a1 . Propiedades de los anillosSi (A, +, ) es un anillo se verica que: 1. a A (a 0 = 0 0 a = 0) 2. a, b A (a (b) = (a b) (a) b = (a b)) Si adems (A, +, ) es unitario, tambin se verica que: 3. Si a,b A son inversibles, entonces ab es inversible y (a b)1 = b1 a1 4. Si a A es inversible, entonces (a) es inversible y (a)1 = (a1 ) 5. Si a A es un divisor de cero, entonces a no es inversible.

Demostracin1. Demostramos la primera de las dos propiedades: dado a A, a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0, y puesto que al ser (A, +) un grupo, el nico elemento idempotente es el 0, conclumos que a 0 = 0 2. Demostramos la primera de las dos propiedades: siendo a, b A,

0 = a 0 = a (b + (b)) = a b + a (b)

y en consecuencia a(b) = (a b) por la propiedad 4 de los grupos,aplicada a la operacin de suma.

lgebra 3.

55

(a b) (b1 a1 ) = ((a b) b1 ) a1 = = a (b b1 ) a1 = a a1 = 1 y (b1 a1 ) (a b) = ((b1 a1 ) a) b = = b1 (a1 a) b = b1 b = 1

4. Por la propiedad 2,

(a) ((a1 )) = ((a) (a1 )) = ((a a1 )) = (1) = 1 (a1 ) (a) = (((a1 )) a) = ((a1 a)) = (1) = 15. Razonamos por reduccin al absurdo: si a A es un divisor de cero, existir un elemento b = 0 tal que a b = 0 o tal que b a = 0. Pero puesto que a tiene inverso, si a b = 0, entonces por una parte a1 (a b) = a1 0 = 0, pero tambin a1 (a b) = (a1 a) b = b, es decir, b = 0 (contradiccin). Si b a = 0 se razona anlogamente. 2

Observacin 16 Las matrices invertibles son los elementos invertibles del

anillo Mn (K). As pues, todas las propiedades vistas para los elementos invertibles de un anillo genrico, son vlidas para el anillo considerado (Mn (K), +, ). En particular, si A, B Mn (K) son invertibles, entonces AB es invertible y (A B)1 = B 1 A1 , y si A Mn (K) es invertible, entonces (A) Mn (K) es invertible y (A)1 = (A1 ).

Ejercicio 1.3.1 Probar que si (A, +, ) es un anillo unitario, y a, b, c Ason tales que a b = 1 y c a = 1, entonces necesariamente b = c. (Indicacin: desarrllese la igualdad b = 1 b = ...)

Proposicin 1.3.18 Si (A, +, ) es un anillo sin divisores de cero se vericaque

a, b, c A ((a b = a c a = 0) (b = c))y

a, b, c A ((b a = c a a = 0) (b = c))

56

lgebra

Demostracin Si a, b, c A son tales que a b = a c con a = 0, tendremos

que a b + ((a c)) = 0, o lo que es lo mismo, a b + (a (c)) = 0, con lo que, por la propiedad distributiva, a (b + (c)) = 0, y puesto que a = 0, necesariamente (b + (c)) = 0, es decir, b = c. 2

Denicin 1.3.19 Se dice que una terna (K, +, ) es un cuerpo, o tambin

que K tiene estructura de cuerpo respecto de las operaciones + y si (K, +, ) es un anillo conmutativo y unitario y adems todos los elementos de K {0} son inversibles.

Ejemplo 1.3.20 (R, +, ), (C, +, ) y (Q, +, ) son cuerpos, siendo en cada caso las operaciones + y la suma y el producto habituales considerados sobre cada uno de esos conjuntos. Ejemplo 1.3.21 Otro ejemplo de inters especial para nosotros es el cuerpo (Z2 , +, ), donde Z2 = {0, 1}, y las operaciones + y se denen mediante las siguientes tablas. + 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1Es decir, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0, y 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1.

Proposicin 1.3.22 Si (K, +, ) es un cuerpo, y a, b K son tales quea b = 0, necesariamente a = 0 b = 0 (un cuerpo no tiene divisores de lo cero).

tiene inverso por lo que, por una parte a1 (a b) = a1 0 = 0, y por otra a1 (a b) = (a1 a) b = 1 b = b, con lo que b = 0 2

Demostracin Si a b = 0 y a = 0, entonces, puesto que a K {0}, a

Observacin 17 Como consecuencia de la proposicin anterior, si (K, +, )es un cuerpo, entonces (K, +, ) no tiene divisores de cero. El recproco obviamente no es cierto. (Z, +, ) es un ejemplo de anillo sin divisores de cero que no es cuerpo.

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1.3.4 Introduccin a los Tipos Abstractos de DatosLas estructuras de datos y los tipos de datos son conceptos fundamentales en el mundo de la programacin y de la especicacin de sistemas de software. El concepto de estructura de datos se usa comnmente para referirse a un conjunto de datos organizados de un cierto modo, como por ejemplo, colocados en una secuencia o en una tabla. Junto con el conjunto de datos hay que considerar denidas una serie de operaciones necesarias para obtener la informacin y actualizarla. Pero estas operaciones no estn necesariamente denidas sobre objetos de la misma naturaleza; por ejemplo, entendiendo por pila un dispositivo que almacena datos, caracterizado por el hecho de que el primer dato que se puede extraer es el ltimo que se ha almacenado, resulta que la operacin almacenar un elemento en una pila est denida del siguiente modo

push : P ila Dato P ilasen el sentido de que el par formado por una pila y un dato (P, d) nos da como resultado de aplicarle la operacin push una nueva pila obtenida aadiendo el dato d a la pila p. De forma anloga, la operacin extraer el ltimo elemento almacenado de una pila (operacin que habitualmente se denota por pop) es la funcin

pop : P ila P ilatal que pop(P ) es la pila obtenida a partir de P eliminando el ltimo dato almacenado en P. En esta seccin el concepto de operacin no ser, pues, equivalente al de ley de composicin interna, pues en principio nos podemos referir a operaciones entre objetos de distinta naturaleza. As pues, las operaciones a las que nos referimos en este apartado sern operaciones generalizadas, entendidas como funciones de un producto cartesiano de conjuntos a otro conjunto. En ciertas ocasiones, por ejemplo, para disear un algoritmo o un sistema de software, resulta ms cmodo e interesante trabajar con una representacin abstracta de los datos que sea independiente de la forma en la que estn, o van a ser, implementados en el ordenador. Una forma de representar las propiedades abstractas de un conjunto de datos consiste en utilizar ecuaciones a modo de axiomas, de manera que dos

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tipos de datos diferentes son considerados como iguales (o si se preere, con la misma estructura) si ambos satisfacen las mismas ecuaciones. Desde ese punto de vista abstracto, ambos tipos de datos se diferenciaran nicamente en el nombre de los datos bsicos y de las operaciones. La bsqueda de una representacin abstracta comn para tipos de datos similares nos lleva a la denicin del concepto de tipo abstracto de datos :

Denicin 1.3.23 Un tipo abstracto de datos (TAD) es una cudrupla(T ip, Cons, Op, Ec)en la que Tip es el conjunto de tipos de datos del TAD, Cons es el conjunto de constantes o datos bsicos del TAD, Op es el conjunto de operaciones (generalizadas) y Ec el conjunto de las ecuaciones.A los tipos abstractos de datos tambin se les conoce en la literatura como lgebras multignero o lgebras multitipo.

Observacin 18 La mayora de los lenguajes de programacin tratan lasvariables y las constantes de un programa como instancias de un tipo de dato.

Ejemplo 1.3.24 Como ya hemos dicho, una pila, en el mbito de la infor-

mtica o las ciencias de la computacin es un dispositivo en el que los datos son almacenados en secuencia, de manera que en cada paso nicamente es posible acceder al ltimo dato almacenado (top) (este modo de acceso a los datos que caracteriza al dispositivo de almacenamiento pila es conocido como lifo, abreviatura de last in-rst out). Este tipo de dispositivo aparece en muchas ocasiones, por ejemplo, en el almacenamiento de informacin en variables que aparecen en programas con bucles anidados, en la evaluacin de expresiones e incluso en la ejecucin de procedimientos recursivos. Las operaciones consideradas sobre una pila son la de almacenamiento (push), que coloca un nuevo dato encima de la pila, la extraccin del ltimo dato almacenado (pop) y la visualizacin del elemento situado en la parte superior de la pila (top). La constante newstack representa la pila vaca y que es del tipo PILA, y la constante error del tipo ERROR, nos permitir representar la situacin (mensaje de error) que se produce cuando miramos cual es el elemento situado en la parte superior de la pila vaca. Por consiguiente, el

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modelo PILA queda especicado como tipo abstracto de datos del siguiente modo: P ILA = 1. Tipos : P ILA, DAT O, ERROR error ERROR, 2. Constantes : newstack P ILA push : P ILA DAT O P ILA pop : P ILA P ILA 3. Operaciones : top : P ILA DAT O ERROR p P ILA, a DAT O pop(push(p, a)) = p pop(newstack) = newstack 4. Ecuaciones: top(push(p, a)) = a top(newstack) = error As por ejemplo, la pila

a3 a3 a1

se representara en este modelo por:

push(push(push(newstack, a1 ), a3 ), a3 ).tado de una ley de composicin interna asociativa, y que un monoide es un semigrupo con elemento neutro, sus especicaciones como tipos abstractos de datos seran las siguientes:

Ejemplo 1.3.25 Teniendo en cuenta que un semigrupo es un conjunto do-

SEM IGRU P O = 1. Tipos: ELEM 2. Constantes: 3. Operaciones: : ELEM ELEM ELEM x, y, z ELEM 4. Ecuaciones: x (y z) = (x y) z M ON OIDE = SEM IGRU P O Constantes:Ecuaciones:

+ e ELEM x ELEM xe=x ex=x

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Ejercicio 1.3.2 En el mbito de las ciencias de la computacin una cadena

o string es una secuencia de items (datos) de algn conjunto (o dominio) de datos. En trminos matemticos una cadena es una palabra a1 ...an de longitud n 0 formada con letras de un alfabeto dado. Para n = 0 se trata de la cadena vaca (a la que en su momento denotamos por ) y para n 1 los elementos a1 , ..., an pertenecen al mismo conjunto o alfabeto A. El ejercicio consiste en construir un modelo de tipo abstracto de datos al que denominaremos cadena o string, teniendo en cuenta que hay que considerar los datos y las cadenas de datos de un conjunto A = {a1 , ..., ak }, que las cadenas son elementos del conjunto A (conjunto de todas las cadenas o palabras denidas sobre el alfabeto A o lenguaje universal sobre A), que hay que considerar la palabra vaca como una constante. Como operaciones sobre las cadenas consideramos las siguientes: construye, que a partir de un elemento de A construye una lista de longitud 1, la operacin concat, denida sobre pares de palabras por concat(a1 ...an , b1 ...bm ) = a1 ...an b1 ...bm , y las operaciones iaade (iadd) y daade (dadd) que aaden, respectivamente, un elemento a la izquierda o a la derecha de una cadena dada.(Nota: Son sucientes 5 ecuaciones).

1.4 Ejercicios1.4.1 Ejercicios resueltos1. Representar por su matriz ampliada y resolver por el mtodo de GaussJordan cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales : 2x1 + x2 + 3x3 = 9 5x1 + 4x2 + 6x3 = 24 x1 + 3x2 2x3 = 4 ,

3x1 + x2 + x3 5x4 = 4 5x1 + 2x2 + 4x3 2x4 = 6 x1 x2 + x3 x4 = 0 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0 x1 x2 + 2x3 2x4 = 0 5x1 + 5x2 + 9x3 + 9x4 = 0

lgebra 2. Considere el sistema de ecuaciones x + y + 2z = a x+z =b 2x + y + 3z = c

61

Demuestre que para que este sistema sea compatible, a, b y c deben satisfacer c = a+b. 3. Resuelva cada uno de los sistemas siguientes por eliminacin de GaussJordan: a)

2x1 3x2 = 2 2x1 + x2 = 1 3x1 + 2x2 = 1 3x1 + 2x2 x3 = 15 5x1 + 3x2 + 2x3 = 0 3x1 + x2 + 3x3 = 11 11x1 + 7x2 = 30

b)

c)

4x1 8x2 = 12 3x1 6x2 = 9 2x1 + 4x2 = 6

4. Para qu valores de a el sistema que sigue no tiene soluciones? Tiene exactamente una solucin? Tiene innidad de soluciones? x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a2 14)z = a + 2 5. Calcular las inversas de la siguientes matrices:

A=

3 1 5 2

B=

2 3 4 4

C=

2 0 0 3

62

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6. Verique que las matrices A y B del ejercicio 5) satisfacen la relacin (AB)1 = B 1 A1 . 7. Sea A una matriz invertible y suponga que la inversa de 7A es 1 2 . Encuentre la matriz A. 4 7 8. Sea AX = B un cualquier sistema consistente de ecuaciones lineales y supngase que X1 es una solucin ja. Demuestre que toda solucin para el sistema se puede escribir en la forma X = X1 + X0 , en donde X0 es una solucin para AX = 0. Demuestre tambin que toda matriz de esta forma es una solucin. 9. Encontrar 3 a) A = 1 2 1 c) C = 0 1 la inversa de la matriz dada, si la 4 1 3 1 0 3 b) B = 2 4 5 4 4 2 0 1 1 1 1 0 matriz es invertible: 5 1 9

10. Efecte las operaciones sobre las 3 2 A= 3

las que siguen sobre 1 0 1 4 5 5

multiplicando por una matriz elemental apropiada. En cada caso, verique la respuesta llevando a cabo la operacin sobre las las directamente sobre A. a)Intercambie la primera y tercera las. b)Multiplique la segunda la por 1/3. c)Sume el doble de la segunda la a la primera. 11. Una caja que contiene monedas con las denominaciones de un centavo, cinco centavos y diez centavos tiene 13 de ellas con un valor total de 83 centavos. Cuntas monedas de cada tipo hay en la caja ?

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63

12. Para cul valor, o cules valores, de a el sistema siguiente tiene cero, una y una innidad de soluciones? x1 + x2 + x3 = 4 x3 = 2 2 (a 4)x3 = a 2 13. Demostrar que la trasposicin de matrices satisface las siguientes propiedades. a) A Mmn (K) t (t A) = A. b) A, B Mmn (K) t (A + B) =t A +t B. c)A Mmn (K), B Mnp (K), t (A B) =t B t A. 14. Demostrar que si A Mn (K) es invertible, entoncest

(A) Mn (K)1

es invertible y t (A1 ) = (t A)

.

15. Si A = (aij ) Mn (K), se denomina traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal de A, es decir,n

T r(A) = a11 + ... + ann =i=1

aii .

Demostrar que A, B, C Mn (K): a) T r(A + B) = T r(A) + T r(B). b) T r(AB) = T r(BA). Poner un contraejemplo que ponga de maniesto que

T r(A.B) = T r(A) T r(B).c) Siendo C = At A,n n

T r(At A) =i=1 k=1

a2 . ik

16. Se dice que una matriz A Mn (K) es simtrica si t A = A. Demostrar que una condicin necesaria y suciente para que el producto de dos matrices

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simtricas A, B Mn (K) d como resultado una matriz simtrica es que AB = BA. 17. Determinar C y C para que la matriz A =

2 1 1 2

M2 (C) satisfaga la ecuacin A2 + A + I2 = (0).18. Se dice que una matriz A Mn (K) es idempotente si A2 = A. Demostrar que si A Mn (K) es idempotente, entonces B = In A es idempotente. Demostrar tambin que AB = (0) y que BA = (0). 19. En una feria de ganado un granjero compr pollos, conejos y terneros. Los pollos los compr a 50 pts., los conejos a 1000 pts. y los terneros a 5000pts. Compr 100 animales y gast 100.000 pts. Sabiendo que compr animales de las 3 clases, averiguar el nmero de animales que compr de cada clase. 20. En el mbito de las ciencias de la computacin una cadena o string es una secuencia de items (datos) de algn conjunto (o dominio) de datos dado. En trminos matemticos una cadena es una palabra a1 ...an de longitud n 0. Para n = 0 se trata de la cadena vaca (a la que en su momento denotamos por ) y para n 1 los elementos a1 , ..., an pertenecen al mismo conjunto o alfabeto A. El ejercicio consiste en construir un modelo de tipo abstracto de datos al que denominaremos cadena o string, teniendo en cuenta que hay que considerar los datos y las cadenas de datos de un conjunto A = {a1 , ..., ak }, que las cadenas son elementos del conjunto A (conjunto de todas las cadenas o palabras denidas sobre el alfabeto A o lenguaje universal sobre A), que hay que considerar la palabra vaca como una constante, y que como operaciones sobre las cadenas consideramos las siguientes: construye, que a partir de