Algebra Problemes Exercicis Questions

Algebra Lineal

Problemes, exercicis i questions

Rafel Amer Ramon

Francesc Carreras Escobar

Josep Tudurı i Fortuny

Departament de Matematica Aplicada II

Escola Tecnica Superior d’Enginyeries

Industrial i Aeronautica de Terrassa

© 2009 Rafel Amer, Francesc Carreras i Josep Tudurı

Aquesta obra es distribueix sota la llicencia creative-commons amb les condicionsReconeixement-No comercial-Compartir de la versio 2.5 d’aquesta llicencia. Resumint:

Sou lliure de:

copiar, distribuir i comunicar publicament l’obra,

fer-ne obres derivades,

amb les condicions seguents:

Reconeixement. Heu de reconeixer els credits de l’obra de la manera especificadaper l’autor o el llicenciador (pero no d’una manera que suggereixi que us donen suporto rebeu suport per l’us que feu l’obra).

No comercial. No podeu utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials.

Compartir amb la mateixa llicencia. Si altereu o transformeu aquesta obra, oen genereu obres derivades, nomes podeu distribuir l’obra generada amb una llicenciaidentica a aquesta.

� Quan reutilitzeu o distribuıu l’obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicencia del’obra.

� Alguna d’aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permıs del titular delsdrets d’autor.

� No hi ha res en aquesta llicencia que menyscabi o restringeixi els drets morals del’autor.

Podeu trobar el text complet de la llicencia a l’adrecahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/legalcode.ca

Escola Tecnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronautica de TerrassaColom 1108222 Terrassa

[email protected]

Introduccio

Presentem una col.leccio de problemes, exercicis i questions d’algebra lineal que s’ajusta al programaquadrimestral oficial d’aquesta assignatura establert en el Pla 93 de l’Escola Tecnica Superior d’EnginyersIndustrials de Terrassa.

En total hi ha 444 problemes o exercicis i 125 questions. Els primers estan agrupats en 9 capıtols, i alfinal del llibre s’inclouen les solucions numeriques. D’entre ells, els 177 que porten un asterisc han estatproposats en els examens i controls realitzats des de la tardor del 93 fins a la primavera del 97.

El capıtol 10, dividit en seccions que reflecteixen l’estructura dels capıtols anteriors, recull les questions.Tambe moltes d’elles provenen d’examens del pla d’estudis actual.

Tot plegat constitueix un material exhaustiu, pensat per cobrirampliament les diferents necessitats decada estudiant. L’experiencia demostra que en un quadrimestre hi ha temps de resoldre amb detall, a lesclasses de problemes, uns 100 exercicis. Recomanem als alumnes mes interessats que considerin tambeuns altres 50–100 exercicis complementaris. Finalment, a aquells que tinguin dificultats, els suggerim lalectura i l’estudi del “Curs d’Algebra Lineal” [1], on trobaran tots els coneixements teorics necessaris.

Setembre de 2003 R. Amer, F. Carreras i J. Tudurı

4 Introduccio

Index

Introducci o 3

Index 5

1 Sistemes d’equacions lineals 9

1.1 Resolucio pel metode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.2 Resolucio per determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3 Discussio de sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4 Problemes de plantejament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Matrius i determinants 17

2.1 Propietats i calcul dels determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.2 Rang i inversa d’una matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.3 Operacions i equacions amb matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3 Espais vectorials 23

3.1 Dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.2 Bases, components i dimensio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.3 Subespais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.4 Operacions amb subespais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

3.5 Canvis de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

6 Index

4 Estructura euclidiana deRn 31

4.1 Producte escalar, norma i angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.2 Ortogonalitat i metode de Gram–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

4.3 Projeccio ortogonal i simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4.4 Metode dels mınims quadrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4.5 Orientacio i producte vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

5 Transformacions lineals 37

5.1 Imatges i antiimatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

5.2 Canvis de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5.3 Nucli, imatge i classificacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

5.4 Operacions amb transformacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

5.5 Endomorfismes i producte escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

6 Diagonalitzacio 49

6.1 Polinomi caracterıstic i condicions de diagonalitzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Diagonalitzacio ortogonal de matrius simetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

6.3 Classificacio d’isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

6.4 Equacions i sistemes d’equacions diferencials lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

7 Tensors i formes quadratiques 61

7.1 Diagonalitzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

7.2 Classificacio de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7.3 Extrems de les funcions de diverses variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

8 Geometria lineal 65

8.1 Equacions de les varietats lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

8.2 Posicions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

8.3 Projeccions ortogonals i simetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

8.4 Distancies,arees i volums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

8.5 Sistemes de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

9 Corbes i superfıcies de segon grau 77

9.1 Equacions de les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

9.2 Classificacio i elements geometrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

9.3 Problemes de llocs geometrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

9.4 Classificacio de quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

7

10 Questionari 83

10.1 Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

10.2 Matrius i determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

10.3 Espais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

10.4 Estructura euclidiana deRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

10.5 Transformacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88


10.7 Tensors i formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

10.8 Geometria lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

10.9 Corbes i superfıcies de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

11 Solucions dels problemes 95

11.1 Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

11.2 Matrius i determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

11.3 Espais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

11.4 Estructura euclidiana deRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

11.5 Transformacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106


11.7 Tensors i formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

11.8 Geometria lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

11.9 Corbes i superfıcies de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

11.10Questionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

Bibliografia 131

8 Bibliografia

9

1Sistemes d’equacions lineals

1.1 Resolucio pel metode de Gauss

1. Resoleu els sistemes d’equacions seguents i indiqueu en cada cas si son compatibles determinats, compa-tibles indeterminats o incompatibles:

(a)

x + 2y + z = 4

2x − 3y + 4z = 6

3x − y + 5z = 1

; (b)

2x + 3y + z + u = 9

3x + 2y − z − 2u = 4

4x − y − 5z + u = 9

; (c)

3x − y + z + t = 0

2x + y + z + 2t = −2

3x − y + z + 4t = −3

5x + y − z + t = 6

.

2. Resoleu els sistemes d’equacions seguents i indiqueu en cada cas si son compatibles determinats, compa-tibles indeterminats o incompatibles:

(a)

x − 2y + z = 0

3x + y − 2z = 0

−x − 5y + 4z = 0

; (b)

x − 2y + z = 1

3x − y − 2z = 4

−4x + 3y + z = 2

; (c)

2x + 3y + z = 0

x + 3z = 3

x + y + 3z = 5

.

3. Indiqueu si els sistemes d’equacions seguents son compatibles o incompatibles:

(a)

−x + 3y + z − 4t = 1

2x − 6y − 2z + 8t = 0

x + y + z + t = 1

; (b)

x + y + z = 0

2x + y + z = 0

3x + 2y + 2z = 0

.

10 Sistemes d’equacions lineals

En els casos que siguin compatibles, trobeu la solucio general.

4. Feu el mateix que es demana a l’exercici anterior amb els sistemes d’equacions seguents:

(a)

x + 2y − z = 2

x − y + z = 1

2x + y = 3

3y − 2z = 1

; (b)

2x − y − z − t = 0

x + 2y + z − t = 1

3x + y − 2t = 1

6x + 2y − 4t = 1

.

5. Resoleu els sistemes d’equacions seguents pel metode de Gauss–Jordan:

(a)

x − y − z = 6

x + y − z = 2

x + y + z = 12

; (b)

2x − 5y + 3z = −12

3x + 2y − 5z = 1

7x − 4y + 2z = 0

; (c)

x − 2y + z = −4

3x + y − 5z = 1

2x + 3y − 6z = 5

.

6. Resoleu simultaniament pel metode de Gauss–Jordan els tres sistemes d’equacions seguents:

(a)

x + y − z = 3

x + y = 4

3x + 3y − 2z = 7

; (b)

x + y − z = −5

x + y = −2

3x + 3y − 2z = −12

; (c)

x + y − z = 1

x + y = 2

3x + 3y − 2z = 4

.

7. Resoleu simultaniament pel metode de Gauss–Jordan els tres sistemes d’equacions seguents:

(a)

x + y = 1

2x + 3y = 0

x − y = 3

; (b)

x + y = 1

2x + 3y = 4

x − y = 2

; (c)

x + y = 2

2x + 3y = −2

x − y = 14

.

8. Trobeu un sistema homogeni de dues equacions amb quatre incognites tal quex = 1, y = 3, z = −2,t = −1 i x = 3, y = −1, z = 2, t = −2 siguin solucions. Trobeu la solucio general d’aquest sistemad’equacions.

1.2 Resolucio per determinants

9. Apliqueu la regla de Cramer als sistemes seguents:

(a)ax + cy = e

bx + dy = f

}; (b)

cy + bz = 1

cx + az = 0

bx + ay = 0

.

(Suposem quead − bc 6= 0 en el primer cas iabc 6= 0 en el segon.)

11

10. Resoleu els sistemes d’equacions seguents pel metode de Cramer:

(a)

2x − y − z = 4

3x + 4y − 2z = 11

3x − 2y + 4z = 11

; (b)

x + y + 2z = −1

2x − y + 2z = −4

4x + y + 4z = −2

.

11. Resoleu els sistemes homogenis seguents:

(a)

x + y + z − t = 0

x − y + t = 0

x + 5y + 3z − 5t = 0

; (b))

2x + 3y − z = 0

x − y − 3z = 0

x + y − z = 0

4x + 3y − 5z = 0

.

12. Resoleu els sistemes d’equacions seguents:

(a)x − 2y + z + t − u = 0

2x + y − z − t + u = 0

}; (b)

x − 2y + z + t = 1

x − 2y + z − t = −1

x − 2y + z + 5t = 5

; (c)

2x − y + z + t = 1

x + 2y − z + 4t = 2

x + 7y − 4z + 11t = −2

.

13. Resoleu els sistemes d’equacions seguents per determinants:

(a)

x + 2y + z = 4

2x − 3y + 4z = 6

3x − y + 5z = 1

; (b)

2x + 3y + z + u = 9

3x + 2y − z − 2u = 4

4x − y − 5z + u = 9

; (c)

3x − y + z + t = 0

2x + y + z + 2t = −2

3x − y + z + 4t = −3

5x + y − z + t = 6

.

14. Resoleu els sistemes d’equacions seguents per determinants:

(a)

x − 2y + z = 0

3x + y − 2z = 0

−x − 5y + 4z = 0

; (b)

x − 2y + z = 1

3x − y − 2z = 4

−4x + 3y + z = 2

; (c)

2x + 3y + z = 0

x + 3z = 3

x + y + 3z = 5

.

1.3 Discussio de sistemes

15. Calculeua i b de manera que els sistemes d’equacions

x − 2y + 3z − t = 0

2x + 4y + 5z + 3t = 0

}i

x + 6y + 2z + at = 0

x − by + 4z − 6t = 0

}

tinguin les mateixes solucions.


16. Descriviu totes les solucions del sistema

x +y

2− z = 1

2x + y + az = 0

per als diferents valors del nombre reala.

17. Donat el sistema d’equacionsx + y = 1

ty + z = 0

x + (t + 1)y + tz = t + 1

,

determineu el valor det en cada un dels casos seguents:

(a) El sistema te solucio unica.

(b) El sistema te infinites solucions.

(c) El sistema no te solucio.

18. Discutiu segons el valor del parametrea el caracter del sistema d’equacions lineals seguent i resoleu-loen els casos en que sigui compatible:

x + ay + z = 1

ax + y + (a + 1)z = a

x + y + z = a + 1

.

19. Discutiu segons els valors del parametrea el caracter del sistema d’equacions lineals seguent i resoleu-loen els casos en que sigui compatible:

x − y + z = 3

2x + y + 3z = 9

x + 2y + az = 6

3x + 4z = 3a2

.

20. Estudieu segons els valors del parametreα els sistemes d’equacions seguents:

(a)

(α − 2)x − y + z = 0

x + (2α − 1)y − αz = 0

x + αy − z = 0

; (b)

x − 2y + αz = α

x + 4y + α2z = 6α

x − 8y + α2z = −4

; (c)

x + αy − z = −2

−2y + z = 5

−x − 5y + 2z = 7

x + 3y − z = 1 − α

.

21. Estudieu segons els valors dels parametresa i b el sistema d’equacions seguent:

x + by + az = 1

ax + by + z = 1

x + aby+ z = b

.

13

22. Estudieu segons els valors dels parametresa i b el sistema d’equacions seguent:

ax + y + z = 3

2x + y + 2z = 1

5x + 2y + 3z = 4

x − z = b

.

1.4 Problemes de plantejament

23. Trobeu un polinomip(x) de grau 3 tal quep(2) = 3, p′(2) = 1, p′′(2) = 4 i p′′′(2) = −18.

24. Tres productes A, B i C contenen els percentatges seguents de Fe, Zn i Cu:

Fe Zn Cu

A 50% 30% 20%

B 40% 30% 30%

C 30% 70% 0%

Quin percentatge de cada producte hem de combinar per obtenir un compost que contingui el 44% de Fe,el 38% de Zn i el 18% de Cu?

25. Una industria utilitza tres maquines en la fabricacio de quatre productes diferents. En la fabricacio d’unaunitat de cada producte hem d’utilitzar cada maquina el temps que indica la taula seguent (en hores):

Producte 1 Producte 2 Producte 3 Producte 4

Maquina 1 1 2 1 2

Maquina 2 2 0 1 1

Maquina 3 1 2 3 0

Quantes unitats de cada producte es fabriquen en un dia, si totes les maquines s’utilitzen 8 hores?

26. La taula seguent dona el contingut de vitamines A, B i C de tres aliments, I, II i III, en unitats de vitaminaper kg. d’aliment:

I II III

A 1 2 3

B 3 3 0

C 4 5 3

Es busca una combinacio dels aliments que aporti 11 u. de vitamina A, 9 u. de B i 20 u. de C.


(a) Calculeu les quantitats maxima i mınima possibles de cada aliment.

(b) Si el cost dels alimentses de 600, 100 i 150 pts/kg. respectivament, determineu entre quins valorsoscil.la el preu de la combinacio.

27. Disposem d’una col.leccio de monedes distribuıdes en tres piles. Es passen de la tercera pila a la segonatantes monedes com hi havia a la segona, i despres es passen de la segona a la primera tantes monedescom hi havia a la primera. Aleshores, les tres piles tenen el mateix nombre de monedes.

(a) Calculeu el mınim nombre de monedes amb les qualses possible fer aquestes operacions.

(b) Es possible fer-ho amb un nombre parell de monedes? I amb un nombre senar?

28. Despres de 38 jornades, ha acabat la lliga i el Mes subcampio. El seu entrenador manifesta: “Ens haperjudicat el sistema de puntuacio actual; amb el sistema anterior, en comptes dex punts n’haurıem trety, dos mes que el B”. Sabent les quantitatsx i y que ha mencionat l’entrenador, podrıeu determinar quantspartits ha guanyat, empatat i perdut el M?

Nota: abans es donaven 2 punts per victoria, 1 per empat i 0 per derrota; ara es donen 3 punts per victoria,1 per empat i 0 per derrota.

29. Tres patinadors artıstics es mouen en el pla de tal manera que el mes jove es troba sempre en el punt mitjadels altres dos. Quants graus de llibertat te el sistema? I si, a mes, el mes gran segueix sempre una lınearecta?

30. El Joan li explica al Pere un examen de matematiques que acaba de fer. “Havıem de resoldre un sistemade Cramer 3× 3: la primera equacio era 3x + 4y + 5z = 18, la segonax − y + z = 3 i la tercerax + 4y+

un numero perz = 8. Aquest numero era enter positiu, i la solucio la formaven tres nombres positius”.Trobeu quin era el sistema i resoleu-lo.

31. En un diposit hi ha tres aixetes. Si estan obertes la primera i la segona, el diposit s’omple en dues hores;si estan obertes la primera i la tercera, s’omple en tres hores; i, si estan obertes la segona i la tercera,s’omple en dues hores. En quant de temps omple el diposit cada aixeta per separat?

32. En un diposit hi ha quatre aixetes, dues del tipus A i dues del B, i dos desguassos del mateix tipus. Obrintuna aixeta de cada mena i un desguas, el diposit s’omple en 12 hores. Afegint l’altra aixeta A s’omple en3 hores. En canvi, afegint l’aixeta B s’omple en 4 hores. Finalment, amb una aixeta de cada tipus i elsdos desguassos es buida en 4 hores. Determineu, sies possible, quan triguen per separat una aixeta A ouna aixeta B en omplir-lo i un desguas en buidar-lo.

33. Ajusteu un polinomi de grau mınim als punts(−2, 25), (1, −8), (2, −15) i (4, −23).

15

34. Experimentalment hem observat la relacio seguent entre dues variablesx i y:

x 0 0.5 1 1.5 2

y 5 5.15 5.6 6 6.6

(a) Ajusteu un polinomi de segon grau a les dades per ax = 0, x = 1 i x = 2.

(b) Compareu el valor real per ax = 0.5 i x = 1.5 amb el valor que dona el polinomi.

(c) Feu una estimacio del valor dey quanx = 1.8.

(d) Feu una prediccio del valor dey quanx = 2.5.

17

2Matrius i determinants

2.1 Propietats i calcul dels determinants

1. Calculeu els determinants seguents:

(a)

∣∣∣∣ a + b a − ba − b a + b

∣∣∣∣ ; (b)

∣∣∣∣ cosα − sinα

sinα cosα

∣∣∣∣ ; (c)

∣∣∣∣ sinα + sinβ cosα + cosβ− cosα + cosβ sinα − sinβ

∣∣∣∣ .

2. Calculeu els determinants seguents mitjancant la regla de Sarrus:

(a)

∣∣∣∣∣∣2 1 35 3 21 4 3

∣∣∣∣∣∣ ; (b)

∣∣∣∣∣∣3 −4 24 −2 15 −3 2

∣∣∣∣∣∣ ; (c)

∣∣∣∣∣∣5 6 30 1 07 4 5

∣∣∣∣∣∣ .

3. Resoleu les equacions seguents:

(a)

∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 2 41 3 9

∣∣∣∣∣∣ = 0 ; (b)

∣∣∣∣∣∣1 1 11 1− x 11 1 2− x

∣∣∣∣∣∣ = 0 ; (c)

∣∣∣∣∣∣x − 5 3 −2−6 x + 4 −4−4 4 x − 5

∣∣∣∣∣∣ = 0 .

4. Aplicant transformacions elementals o desenvolupant pels coeficients d’una fila o columna, comproveules igualtats seguents:

(a)

∣∣∣∣∣∣1 a bc1 b ca1 c ab

∣∣∣∣∣∣ = (b − a)(c − a)(c − b).

18 Matrius i determinants

(b)

∣∣∣∣∣∣1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣ = (b − a)(c − a)(c − b).

(c)

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b c

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣ = (a + b + c)(b − a)(c − a)(c − b).

5. Calculeu els determinants seguents:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0 20 4 1 31 −1 1 1

−1 2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 41 1 1 2

−1 0 1 32 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 30 −1 1 21 0 1 12 1 −1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

6. Aplicant el metode de Gauss, calculeu els determinants seguents d’ordre 4:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ ;

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −5 4 33 −4 7 54 −9 8 5

−3 2 −5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 2 29 −8 5 105 −8 5 86 −5 4 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

2.2 Rang i inversa d’una matriu

7. Calculeu pel metode de Gauss el rang de les matrius seguents:

(a)

1 −2 0 11 3 5 61 −12 −10 −9

; (b)

2 1 1 83 −2 −1 14 −7 3 0

;

(c)

2 1 −73 −3 35 1 −13

; (d)

1 3 5 −1 21 2 4 0 2

−2 −4 −8 0 −41 −3 −1 5 2

.

8. Calculeu el rang de les matrius seguents, indicant un menor amb determinant no nul d’ordre maxim:

(a)

0 4 10 14 8 18 7

10 18 40 171 7 17 3

; (b)

1 0 0 1 40 1 0 2 50 0 1 3 61 2 3 14 32

;

19

(c)

2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 2

(d)

1 2 −1 22 −1 3 25 0 5 6

.

9. Calculeu el rang de les matrius seguents segons els valors del parametreα:

(a)

1 1 α 11 α 1 α2

α 1 1 α3

; (b)

α 1 − α 2 − α

α 1 1α 1 α

; (c)

3 1 1 4α 4 10 11 7 17 32 2 4 3

.

10. Calculeu el rang de les matrius seguents segons els valors dea i b:

(a)

a b 1 11 ab 1 b1 b a 1

; (b)

1 a a2

1 a abb a2 a2b

.

11. Quines de les matrius seguents son regulars? En cas afirmatiu, calculeu la matriu inversa.

(a)

2 5 −14 −1 26 4 1

; (b)

1 0 1−1 1 1

0 1 0

;

(c)

1 −1 23 2 40 1 −2

; (d)

1 1 0 01 2 −1 −11 1 1 14 6 −2 −1

.

12. Calculeu la inversa de cada una de les matrius seguents:

A =

1 1 11 2 10 1 3

; B =

1 1 11 0 12 1 3

; C =

0 1 21 3 11 1 1

.

13. Calculeu els valors deλ per als quals son regulars les matrius seguents:

(a)

1 + λ λ λ

λ 1 + λ λ

λ λ 1 + λ

; (b)

λ + 3 1 2λ λ − 1 1

3λ + 3 λ λ + 3

; (c)

1 1 λ

1 λ 1λ 1 1

.

14. Aplicarem una matriu de permutacio 4 × 4 a la codificacio i descodificacio de missatges per blocs dequatre sımbols, que poden ser lletres, nombres, signes de puntuacio o espais en blanc (−). Considerem lamatriuC que s’indica i codifiquem, per exemple, l’expressio “ARA, FEM UNA PROVA”.

0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0

A − − − VR F U P AA E N R −

, M A O −

=

, M A 0 −

A − − − VA E N R −

R F U P A

.


La frase codificadaes “,AARM−EFA−NUO−RP−V−A”.

(a) Codifiqueu el missatge “NANO, NO ENTENC RES”.

(b) Descodifiqueu el missatge “OAXIL−OMAAC−DNIT,UIBO −IT −! −−”.

2.3 Operacions i equacions amb matrius

15. Donades les matrius

A =

(2 −13 2

), B =

(1 1

−2 4

)i C =

(0 −13 3

),

calculeu(A + B)C, C AC, AC2 i B3.

16. Sabem que(a + b)2= a2

+ 2ab+ b2 i que(a + b)(a − b) = a2− b2. Donades les matrius

A =

(2 51 3

)i B =

(6 15 1

),

calculeu(A + B)2, A2+ 2AB + B2, (A + B)(A − B) i A2

− B2. Per que no es compleixen lesigualtats corresponents? Quina condicio han de complir les matriusA i B per tal que siguin certes aquestesigualtats?

17. Calculeu la matriuC = 2B2− A−1B sabent que

A =

(2 15 2

)i B =

(1 00 −1

).

18. Calculeu la matriuC = AB−1+ 2A2 sabent que

A =

(2 00 1

)i B =

(5 23 1

).

19. Donada la matriu

A =

(−1 −1

4 3

),

comproveu queA2= 2A − I i a partir d’aquesta igualtat calculeuA10.

Demostreu per induccio queAn tambe es pot posar com a combinacio lineal de les matriusI i A.

20. Sigui A una matriu tal queA2= A + 2I . ExpresseuA12 com a combinacio lineal de les matriusI i A.

Demostreu per induccio queAn tambe es pot posar com a combinacio lineal de les matriusI i A.

21. Sigui A una matriu tal queA2= 3A − 2I . Demostreu queA es regular i queA−1 es una combinacio

lineal deI i A.

21

22. Calculeu(AB)t i Bt At sabent que

A =

1 10 23 −1

i B =

(1 0 −1 12 1 0 1

).

23. (a) Representeu matricialment, en la formaY = AX, el sistema de relacionsy1 = 2x1 + 3x2 − x3 + x4

y2 = x1 + 2x2 + x3

y3 = 3x1 − x2 + 5x3 − 2x4

(b) Analogament, representeu en la formaZ = BY el sistema de relacions{z1 = y1 + y2 − 2y3

z2 = 6y1 + 4y3

(c) Calculeu la matriuB A i feu-la servir per expressarz1 i z2 en funcio dex1, x2, x3 i x4.

24. Trobeu una matriuX tal queAX = B, on

A =

(3 −25 −4

)i B =

(−1 5−5 6

).

25. CalculeuX sabent queAX = B A i que

A =

(1 10 2

)i B =

(0 22 0

).

26. Resoleu l’equacio matricialAX = A si

A =

(1 22 4

).

27. Ailleu la matriu X de la relacio X AB−1= A sabent que la matriuA es regular. CalculeuX si

A =

(2 11 2

)i B =

(1 40 1

).

28. Considereu les matrius

A =

1 −1 23 2 14 1 3

i B =

2 5 46 5 78 10 11

.

(a) Analitzeu si la matriuA es regular o no.


(b) Resoleu l’equacio matricialAX = B.

(c) Trobeu una matriuC tal que l’equacio AX = C no tingui solucio.

29. Resoleu, sies possible, l’equacio AX = B, on

A =

1 4 72 5 83 6 9

i B =

1 1 11 1 −11 −1 −1

.

30. Ailleu X de la relacio A(Xt )−1B = C sabent queA, B i C son regulars, i calculeu-la si

A =

(1 01 2

), B =

(1 23 4

)i C =

(0 11 3

).

23

3Espais vectorials

3.1 Dependencia lineal

1. Determineu els valors dea i b per tal que els vectors(0, 1, a, 1), (2, 1, 5, b) i (1, 2, 1, 0) siguin linealmentdependents.

2. Calculeua i b de manera que els vectorsu = (1, 2, 0, a), v = (3, 2, b, −1) i w = (2, 7, a, −3) siguinlinealment dependents, i expresseu el tercer com a combinacio lineal dels altres dos.

3. Determineu els valors dea per tal que el rang del conjunt format pels vectors(1, 2, a), (2, a, −1) i(1, −1, a + 2) sigui 2.

4. Estudieu la dependencia o independencia lineal dels conjunts de vectors seguents:

(a) (2, −3, 1), (3, −1, 5) i (1, −4, 3).

(b) (4, −5, 2, 6), (2, 2, −1, 3), (6, −3, 3, 9) i (4, −1, 5, 6).

(c) (1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7) i (2, −3, 4, 11, 12).

5. Comproveu que els vectorsa = (1, 7, −1, 0), b = (2, 13, 0, 1), c = (3, 17, 4, 2) i d = (3, 15, 7, 2) deR4 son linealment dependents, i que cada un d’ells es pot posar com a combinacio lineal dels altres tres.

24 Espais vectorials

6. Comproveu que els vectors(2, 3, −1, 5) , (6, 1, 1, 3) , (−3, 5, −1, 9) i (0, 2, −1, 3) son linealment de-pendents pero el tercer vector no es pot posar com a combinacio lineal dels altres tres.Es una contradiccio,aixo?

3.2 Bases, components i dimensio

7. Quins dels conjunts de vectors seguents son bases deR3?

(a) (3, 13, 6), (2, 9, 4) i (12, 56, 25).

(b) (1, 0, 1), (2, 1, 4) i (−3, −2, −7).

(c) (1, −1, −1), (−2, −1, −2) i (0, 1, 1).

(d) (1, 4, −3), (0, 3, −2) i (−2, −12, 9).

(e) (1, 0, 2), (3, 1, 4) i (2, 1, 2),

8. Calculeu les components del vectoru = (3, −2, 3) en les bases de l’exercici anterior.

9. Considereu els vectors(2, 1, 3), (2, 3, 0) i (4, −2, 1) deR3.

(a) Comproveu que formen base deR3.

(b) Trobeu una base deR3 formada pels vectors(4, 2, 3), (0, 4, −3) i un de la base anterior.

10. Les components d’un vector en la baseB = {e1, e2} son (x, y). Calculeu les seves components en la baseB′

= {e1 + e2, e1 − e2}.

11. Determineu els valors dea i b sabent que les components del vector (5,7) en les bases

B1 = {(1, −1), (1, a)} i B2 = {(7, 5), (2, b)}

son les mateixes.

12. Sabent queB1 = {(1, 2), (4, −1)} i B2 = {(1, 1), (1, −1)} son dues bases deR2, i que el vectoru tecomponents(a, 2) en la baseB1 i components(−3, b) en la baseB2, calculeu els valors dea i b.


A =

(1 −12 0

),

demostreu que el conjunt de matrius

F = {B ∈ M(2 × 2 ; R) tals queAB = B A}

es un subespai vectorial, i trobeu una base deF .

25

14. Sigui F el conjunt de matrius de la forma(a + 2b b−3b a − 2b

)amb a, b ∈ R .

(a) Demostreu queF es un subespai vectorial deM(2 × 2 ; R) i trobeu una base deF .

(b) Si A ∈ F , es cert queAn∈ F per a totn ≥ 1?

15. Trobeu una base deR4 que estigui formada pels vectors(5, 3, −1, 2), (1, 0, 3, 2) i dos mes d’entre elsvectors(7, 6, −11, −2), (2, 1, −2, 4), (1, −2, 0, 3) i (6, 3, 2, 4).

16. Sigui Sel subespai deR4 generat pels vectors

(1, 0, 1, 2), (2, 1, a + 3, 6), (−2, 2, 0, a2− a) i (−1, 3, 2, 4) .

Calculeu la dimensio deSen funcio del parametrea.

3.3 Subespais vectorials

Nota. Les bases i les equacions implıcites d’un subespai no son uniques. Aixı doncs, quan es calculenconve comprovar que els vectors de la base o del sistema de generadors son solucions de les equacionsimplıcites.

17. Quins dels subconjunts deR4 seguents son subespais vectorials?

E1 = {(x, y, z, t) tals que x + y = 1} .

E2 = {(x, y, z, t) tals que x + y = z + t} .

E3 = {(x, y, z, t) tals que xz = 0} .

E4 = {(x, y, z, t) tals que x − y + z − t = 0} .

E5 = {(x, y, z, t) tals que x = y = z} .

En els casos que ho siguin, trobeu una base del subespai.

18. Calculeu les equacions implıcites dels subespais seguents:

(a) F1 = 〈 (1, 2, −3) , (2, 2, −1) 〉.

(b) F2 = 〈 (1, −1, 3, 2) , (2, 3, 4, −1) 〉.

(c) F3 = 〈 (2, −1, 0, 1) , (2, 1, 3, −1) , (1, 0, 2, 1) 〉.

19. Calculeu una base i les equacions implıcites dels subespais seguents:


(a) F1 = 〈 (1, −1, 1, 0) , (1, 1, 0, 1) , (2, 0, 1, 1) 〉 .

(b) F2 = 〈 (2, 3, −1) , (1, 2, 2) , (1, 1, −3) 〉 .

(c) F3 = 〈 (1, 1, 1) , (−2, 1, 2) , (−1, 2, 3) 〉 .

(d) F4 = 〈 (1, −2, −2) , (1, −1, −2) , (1, 0, −1) 〉 .

(e) F5 = 〈 (1, −1, 1, −1, 1) , (1, 1, 0, 0, 3) , (3, 1, 1, −1, 7) 〉 .

20. Trobeu una base dels subespais deR3 seguents, definits per les seves equacions implıcites:

(a) 2x + 3y − z = 0 .

(b) x + 2y + z = 0 , x + y − z = 0 .

(c) 3x + 2y + 5z = 0 , −x + 3y + z = 0 , 2x + 5y + 6z = 0 .

(d) x + y + 2z = 0 , 4x + 5y + 8z = 0 , 6x + 7y + 13z = 0 .

21. Trobeu una base dels subespais deR4 seguents, donats per les seves equacions implıcites:

(a) y + 2z + 3t = 0 , x + 2y + z − t = 0 .

(b) x + 3y + 3z + t = 0 , x + z + t = 0 .

(c) x + 2y − z = 0 , x + t = 0 , 2y − z − t = 0 .

22. (a) Calculeu el rang del conjunt format pels vectorsa = (1, 0, 1, 0), b = (1, 1, 1, −1), c = (2, 1, 2, −1),d = (1, 2, 2, −1) i e = (0, 1, 1, 0).(b) Determineu la dimensio del subespaiSdeR4 definit per les equacions

x + t = 0

y − z = 0

3x − 2y + 2z + 3t = 0

.

(c) Doneu un base deSescollida d’entre els vectors de l’apartata.

23. Considereu el subespaiS deR4 engendrat pels vectors(1, 1, −2, −2) i (0, −1, 1, 1), i considereu tambeels vectorsa = (1, 1, 1, 1), b = (1, −1, 0, 0), c = (1, 0, 0, 0), d = (−2, 1, 1, 1) i e = (1, 2, −3, −3).Trobeu la dimensio deS, les seves equacions implıcites i una base deSescollida entrea, b, c, d i e.

24. Considereu el subespaiH = 〈 a, b, c, d 〉 deR4, on

a = (1, 0, −1, 0), b = (−1, 2, −1, 2), c = (0, 1, −1, 1) i d = (1, 1, −2, 1) .

Digueu quinaes la dimensio deH , doneu una base deH que no contingui cap dels vectorsa, b, c i d nimultiples seus i calculeu les components dea en la base que heu donat.

27

3.4 Operacions amb subespais

25. Siguin S el subespai deR4 generat pels vectors(3, 2, 1, 0), (1, 1, 1, 1) i (0, 1, 2, 3) i T el subespai d’e-quacionsx − y − z + t = 0, x + y − z − t = 0. Trobeu:

(a) La dimensio i una base deS∩ T .

(b) La dimensio i les equacions implıcites deS+ T .

26. En cada un dels casos seguents calculeu una base i les equacions implıcites dels subespaisF , G, F ∩ G iF + G:

(a) F = 〈 (1, −2, 0, 3), (2, 1, −2, 4), (0, 2, −1, 1) 〉 i G = 〈 (1, 0, 2, −1), (2, −3, 0, 1) 〉 .

(b) F = 〈 (1, 2, −1), (1, 1, 0) 〉 i G : x + y − z = 0.

(c) F = 〈 (1, 2, 1, 1), (1, 0, 1, −1) 〉 i G : x − y + t = 0.

(d) F : x − y + z + t = 0, 2x + z = 0 i G : x − 3y + 2z + 3t = 0.

27. Donats els subespais deR4

F = 〈 (−1, 4, −1, 2) , (5, 2, −1, 2) 〉 i G = 〈 (7, 16, −5, 10) , (4, 6, −2, 4) 〉 ,

comproveu queF = G.

28. Donats els subespais deR4 definits per

F = 〈 (2, 0, 5, 2), (3, −1, 9, 3) 〉 i

G = 〈 (3, 1, 6, 3), (3, 2, 5, 7), (2, 1, 4, 6), (1, 1, 1, 1) 〉 ,

comproveu queF ⊂ G i amplieu una base deF fins a obtenir una base deG.

29. SiguinT i Sels subespais deR3 seguents:

S = {(x, y, z) ∈ R3 tals quex − y + 3z = 0} i

T = 〈(1, 0, −1)〉 .

Comproveu queS⊕ T = R3.

30. Donats els subespaisF = 〈 (1, 2, 1), (1, 1, 1) 〉 i G amb equacions implıcites

x + y + 5z = 0

x − y − z = 0

},

comproveu queF + G es suma directa i trobeu vectorsu1 ∈ F i u2 ∈ G tals queu1 + u2 = (6, 8, 3).


31. Considereu les rectes deR3 definides per

R :

{x − 2y − z = 0

3x + y − 2z = 0i S :

{x − y − 4z = 0

x + 4y + 3z = 0 .

(a) Trobeu un generador deR i un generador deS.

(b) Quinaes l’equacio implıcita del pla que conte les dues rectes?

32. Donats aR3 els plansP1 : x + y − z = 0 i P2 : x − 3y − 2z = 0, trobeu una base deP2, una base{ w }

de P1 ∩ P2 i les components del vectorw en la base deP2.

33. Trobeu el valor deα per tal que el pla d’equacio αx − 2y + z = 0 contingui a la recta definida perx + y + z = 0, 3x + y + 2z = 0.

34. Trobeu el valor deα per tal que la suma dels subespaisF i G de R4 tingui dimensio 3, sabent que lesequacions implıcites deF i G son, respectivament,

x + αt = 0

x + y + 2αz = 0

}i

3y + 6αz − t = 0

3y + 6z − t = 0

}.

35. Considerem els plans deR4 definits per

P = 〈 (1, 1, 1, 0), (0, 1, α, 1) 〉

Q :

{x − 2y + z = 0

x − t = 0 .

Trobeu els valors deα per als qualsP i Q no formen suma directa i, per a aquests valors deα, trobeu unabase i la dimensio deP ∩ Q.

36. Considereu el subespai deR4

F = 〈 (−2, 2α − 2, α + 5, α + 3) , (1, 2, −2, −1) , (1, α + 5, 2, 5) , (0, 2, 4, 6) 〉 .

(a) Trobeu l’unic valor deα per al qual dim(F) = 2.

(b) Amb aquest valor trobeu una base i les equacions implıcites del subespaiF ∩ G, sabent queG = 〈 (3, 4, 2, 5), (9, 10, −10, −5) 〉.

37. Els subespaisF i G deR4 tenen equacions implıcites

x + y + z − t = 0

(α − 1)x + (α + 1)z + t = 0

}i

x + y − αz = 0

(2α + 1)x + y + z = 0

}respectivament.

29

(a) Comproveu que dim(F) = dim(G) = 2 per a qualsevol valor deα.

(b) Trobeu els valors deα per als quals dim(F + G) = 3.

38. Sabent queS es el subespai deR3 generat pels vectors(1, 2, −1) i (1, 0, 1) i T es el subespai d’equaciox − y − λz = 0, descriviu els subespaisS∩ T i S+ T segons els valors deλ.

3.5 Canvis de base

39. Si l’equacio d’un pla deR3 en la base canonica es x + z = 0, quinaes la seva equacio en la baseB = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 2)}?

40. Escriviu l’equacio matricial del canvi de base de

B′= {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}

a la base canonica deR4. Apliqueu-la a trobar les equacions implıcites en la baseB′ del subespaiSdefiniten la base canonica per

x + y + z + t = 0

x − y + z − t = 0

}.

41. El subespaiF deR4 te equacions implıcites

2x − y + 3t = 0

3x − 2y − 3z + 5t = 0

}.

El vectoru te components(x1, x2, x3, x4) en la base

B = {(1, 2, 0, 0), (0, 1, −1, 1), (0, 0, −3, 5), (0, 0, 0, 1)} .

Quines relacions han de complirx1, x2, x3, x4 per tal que el vectoru pertanyi al subespaiF?

42. Les components dels vectorsu1, u2 i u3 en la base{e1 = (3, 0, 1), e2 = (4, 3, 2), e3 = (6, 4, 3)} son(3, −2, 1), (2, −1, −1) i (1, −1, 3) respectivament. Comproveu que els vectorsu1, u2, u3 formen basedeR3 i calculeu les components dels vectorse1, e2, e3 en aquesta base.

43. Sigui B = {e1, e2, e3} una base deR3. Les components dels vectorsu1, u2, u3 en aquesta base son,respectivament,(1, 4, 6), (1, 5, 7) i (2, 8, 13). Comproveu queu1, u2, u3 tambe formen una base deR3

i calculeu les components dels vectors de la baseB en aquesta nova base.

44. (a) Demostreu que el conjuntB′= {(1, 1, 3), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} es una base deR3.

(b) Escriviu la relacio entre les components(x, y, z) d’un vector arbitrari en la base canonica i les com-ponents(x′, y′, z′) del mateix vector en la baseB′.(c) Determineu l’equacio implıcita, en la base canonica, del plaSque te per equacio x′

+ 2y′− z′

= 0 enla baseB′.


45. Si l’equacio d’un pla H en la baseB′= {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es 2x′

+ y′+ z′

= 0, quinaesl’equacio deH en la base canonica deR3?

46. Donades les basesB1 = {(1, 3), (2, −1)} i B2 = {(1, 1), (2, −3)} de R2, calculeu les equacions querelacionen les components(x, y) d’un vector en la primera base i les components(x′, y′) del mateixvector en la segona.

47. Sigui {e1, e2, e3} una base de l’espai vectorialE. Calculeu la matriu del canvi de base

(E,B1)C

−−−−−−−−→ (E,B2) ,

onB1 = { e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3 } i B2 = { e1 − e2 − e3, e1 − e2, e1 }.

48. Considereu les bases deR3

B1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (−1, 1, 1)} i

B2 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} .

(a) Calculeu la matriuC del canvi de base

(R3,B2)C

−−−−−−−−→ (R3,B1) .

(b) Si l’equacio d’un subespaiF en la base canonicaesx + y+ z = 0, quines son les seves equacionsen les basesB1 i B2?

49. SiguinB1 = {(−1, −2, 2), (1, −1, 0), (−1, 0, 1)} i B2 = {(1, 4, 6), (1, 5, 7), (2, 8, 13)} dues bases deR3.

(a) Quina relacio hi ha entre les components(x1, x2, x3) d’un vector en la primera base i les sevescomponents(y1, y2, y3) en la segona?

(b) El vectorv te components(1, 1, −1) en la segona base: quines son les seves components en laprimera?

50. L’equacio del plaP en la baseB′= {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} esx′

− y′+ z′

= 0, mentre que lescomponents en la baseB′′

= {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)} d’un generadorv de la rectaR son (1, 2, 0).Esbrineu si la rectaR es o no inclosa en el plaP.

51. Sabent que les components dels vectors(1, 2) i (2, 3) en la baseB = {u1, u2} son (1, 4) i (1, 3) respecti-vament, trobeu els vectorsu1 i u2 expressats en la base canonica.

52. SiguiB = {u1, u2, u3} una base deR3. Sabent que les components dels vectors(1, −2, 2), (−1, 1, 0) i(1, −2, 1) en aquesta base son(4, 2, 5), (−2, −1, −2) i (−3, −2, 1) respectivament, expresseu els vectorsu1, u2, u3 en la base canonica.

31

4Estructura euclidiana deRn

4.1 Producte escalar, norma i angle

1. (a) A partir dels vectorsu = (−2, 4, 4) i v = (3, 0, 4), calculeu‖ u ‖ i α(u, v).(b) Donats els vectorsu1 = (3, 0, 1), u2 = (1, 2, 2) i u3 = (1, −1, 1), calculeu les seves normes i elsangles que formen.

2. Referit R2 a una baseB = {e1, e2} tal que‖ e1 ‖ = 3, ‖ e2 ‖ = 4 i α(e1, e2) = 90◦, es consideren elsvectorsa = e1 + e2 i b = 2e1 − e2. Calculeu‖ a ‖, ‖ b‖ i a · b.

3. (a) Sabent que‖ u1 ‖ = 2, ‖ u2 ‖ = 4 i α(u1, u2) = 60◦, calculeu la longitud del vectoru = 2u1 + 4u2.(b) Sabent que‖ u1 ‖ = 2,‖ u2 ‖ = 3 i α(u1, u2) = 60◦, calculeu l’angle format pels vectorsu1 i 2u1−u2.

4. Els vectors de la baseB = {u1, u2, u3} de R3 compleixen que‖ u1 ‖ = ‖ u2 ‖ = 2, ‖ u3 ‖ = 1,α(u1, u2) = 60◦, α(u1, u3) = 120◦ i α(u2, u3) = 90◦. Comproveu que els vectors que tenen com-ponents(1, −1, 3) i (−2, 2, 1) en la baseB son perpendiculars.

5. Si els vectorsu i v tenen la mateixa norma, comproveu que els vectorsu + v i u − v son perpendiculars.

6. Demostreu les igualtats seguents relatives a la norma i el producte escalar:

(a) ‖ u + v ‖2+ ‖ u − v ‖

2= 2(‖ u ‖

2+ ‖ v ‖

2).

32 Estructura euclidiana de \rnn

(b) u · v =1

2(‖ u + v ‖

2− ‖ u ‖

2− ‖ v ‖

2).

(c) u · v =1

2(‖ u ‖

2+ ‖ v ‖

2− ‖ u − v ‖

2).

(d) u · v =1

4‖ u + v ‖

2−

1

4‖ u − v ‖

2.

7. Siguinu1 i u2 dos vectors deR2 tals que‖ u1 ‖ = ‖ u2 ‖ = 2 i u1 · u2 = 2. Trobeu una base ortonormaldeR2 expressada en termes deu1 i u2.

8. Sigui B = { u, v } una base deR2 tal que‖ u ‖ = 2, ‖ v ‖ = 1 i α(u, v) = 60◦. Busqueu una baseortonormal deR2 expressada en termes deu i v.

9. A partir d’una baseB = { e1, e2, e3 } deR3 tal que‖ e1 ‖ = ‖ e2 ‖ = 2, ‖ e3 ‖ = 3, α(e1, e2) = 120◦,α(e1, e3) = 90◦ i α(e2, e3) = 60◦, determineu una base ortonormal deR3.

10. Trobeu una base ortonormal deR3 expressada en termes dels vectorsu1, u2 i u3 de l’exercici 4..

4.2 Ortogonalitat i metode de Gram–Schmidt

11. Donat el subespai deR3 definit perx + y − z = 0

x − y + z = 0

},

determineu:

(a) La dimensio deS.

(b) Una base deS⊥.

12. Trobeu el valor deβ per tal que la rectaSdeR3 d’equacions

x − y + z = 0

2x + y − z = 0

}estigui inclosa en el plaT d’equacio 4x + y − βz = 0. Per a aquest valor deβ, determineu una baseortogonalB = { v1, v2, v3 } deR3 ambv1 ∈ S i v2 ∈ T .

13. Determineu una base ortonormal del subespaiSdeR4 definit per l’equacio x−y+2z+ t = 0 i amplieu-laa una base ortonormal deR4.

14. Trobeu bases ortonormals dels subespais vectorials seguents:

33

(a) Pla deR3 generat pels vectors(1, 2, 2) i (7, −4, 5).

(b) Subespai deR4 generat pels vectors(1, 2, 0, 1), (−2, 5, 3, −2) i (4, 1, 7, 0).

(c) Pla deR4 generat pels vectors(2, 4, 3, −1) i (2, 5, 3, 1).

15. Sigui S el subespai deR4 generat pels vectors(0, 1, 2, 3), (3, 2, 1, 0) i (1, −1, 1, −1). Trobeu una baseortonormal deS.

16. Trobeu una base ortogonal i una base ortonormal del subespais seguents:

(a) Pla deR3 d’equacio 2x + y − 5z = 0.

(b) Subespai deR4 definit perx + y − z = 0, z − y + t = 0.

17. Trobeu una base ortonormal del subespaiSdeR4 definit perx − y + z + t = 0.

18. Calculeu una base i les equacions implıcites dels ortogonals dels subespais seguents:

(a) Pla deR3 generat pels vectors(1, −2, 3) i (2, 1, 4).

(b) Pla deR4 generat pels vectors(2, 1, 3, −1) i (4, 1, 2, 3).

19. Considereu el subespaiSdeR4 definit per les equacions

x − 2y + z + t = 0

2x − y + z − 2t = 0

}.

(a) Trobeu una base ortogonal deS.

(b) Trobeu una base i les equacions implıcites de l’ortogonal deS.

20. Trobeu bases ortogonals deF i de F⊥, on F es el subespai deR4 definit per les equacionsx +z−2t = 0,y + t = 0.

21. L’equacio d’un pla P en la base canonica es y + 3z = 0, i les equacions d’una rectaR en la baseB′

= {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 2)} son x′+ y′

= 0, x′+ z′

= 0. Decidiu siR es ortogonal aP o estacontinguda en el pla.

22. L’equacio del plaP en la baseB′= {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} esx′

+ y′− 2z′

= 0, mentre que lescomponents en la baseB′′

= {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)} d’un generador de la rectaR son (1, 1, −2).Esbrineu si la rectaR es o no ortogonal al plaP.


4.3 Projeccio ortogonal i simetria

23. Sigui Sel pla d’equacio 2x + y − z = 0. Expresseu el vectoru = (7, 0, 2) com a sumau = u1 + u2 ambu1 ∈ S i u2 ∈ S⊥.

24. Calculeu la projeccio ortogonal del vector(1, 2, −2) sobre els subespais deR3 seguents:

(a) F1 = 〈 (−4, 3, 2), (1, 1, 3) 〉.

(b) F2 = 〈 (1, −2, 0), (−2, 1, 1) 〉.

(c) F3 = 〈 (1, 4, −2) 〉.

25. Calculeu els simetrics del vector(1, 3, −3) respecte als mateixos subespais de l’exercici anterior.

26. Calculeu la projeccio ortogonal i el simetric del vectoru = (1, 0, 1, 1) respecte del pla

F = 〈(1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0)〉 .

27. Trobeu un generadoru de la rectaR definida per

2x − 2y − z = 0

2x − y − 2z = 0

},

la projeccio ortogonal deu sobre el plax + y+3z = 0 i les equacions implıcites de la projeccio ortogonalR′ de R sobre aquest pla.

28. Considereu el plaT deR3 generat pels vectors(0, 1, 2) i (2, 1, 0). Trobeu:

(a) Una base ortogonal deT .

(b) Una base ortonormal deT .

(c) El suplementari ortogonal deT .

(d) La projeccio ortogonal del vectoru = (1, 0, 1) sobreT .

(e) El simetric del vectoru respecte aT .

4.4 Metode dels mınims quadrats

29. Trobeu l’equacio de la recta de regressio dels punts(0, 0), (1, 1) i (5, 4), calculeu l’error quadratic ε idibuixeu en un grafic aquests punts i la recta obtinguda.

30. Donats els punts(0, 0), (1, 1), (2, 1) i (3, 2),

35

(a) Calculeu la recta de regressio.

(b) Escolliu una altra recta proxima a aquests punts i compareu els errors quadratics.

(c) Dibuixeu un grafic de la recta de regressio.

31. Trobeu la parabola que aproxima millor la taula de valors seguent, calculeu l’error quadraticε i dibuixeu-ne un grafic.

x −2 0 1 2

y 3 2 1 2

32. Trobeu el polinomi de segon grauy = ax2+ bx + c que aproxima millor els valors seguents:

x −2 0 1 2 3

y −5 −3 2 1 −4

Dibuixeu els punts i la parabola obtinguda.

33. Trobeu la funcio de la formaz = ax + by + c que aproxima millor la taula de valors seguent:

x 1 0 1 2 1

y 0 1 1 1 2

z 8 4 0 1 1

34. Ajusteu una funcio de la formaz = ax + by + c a la taula de valors seguents pel metode dels mınimsquadrats:

x 1 0 −1 2 1

y 2 1 1 −1 0

z 3 2 3 −2 3

35. Resoleu el sistema d’equacionsx + y − z = 3

2x − y + 2z = 0

3x + z = 2

aplicant el metode dels mınims quadrats i calculeu l’error quadratic ε de qualsevol de les solucions.

36. Trobeu la funcio de la formay = Aekx que aproxima millor la taula de valors seguent:

x 1 2 3 4

y 1.65 2.70 4.50 7.35

Dibuixeu el grafic de la funcio.


4.5 Orientacio i producte vectorial

37. Quines de les bases deR3 seguents tenen orientacio positiva?

(a) {(1, 1, 1), (1, 0, −1), (−1, 1, 0)}.

(b) {(0, 1, −1), (1, 1, 0), (1, 0, 2)}.

(c) {(1, 0, 3), (2, 0, −1), (2, 1, −1)}.

38. Donats els vectorsu1 = (1, −1, 1), u2 = (−2, 3, 1) i u3 = (−1, 1, 2), calculeu els productes vectorialsseguents:

(a) u1 ∧ u2, u1 ∧ (u2 + 2u3) i u2 ∧ 3u2.

(b) u1 ∧ (u2 ∧ u3) i (u1 ∧ u2) ∧ u3.

39. Donada la rectaSd’equacionsx

2=

y

3= z ,

escriviu l’equacio implıcita del plaS⊥ i trobeu un vectoru d’aquest pla que sigui ortogonal al vector(1, −1, 1).

40. (a) Comproveu la identitat de Jacobi: donats tres vectorsu1, u2 i u3 deR3 es compleix que

(u1 ∧ u2) ∧ u3 + (u2 ∧ u3) ∧ u1 + (u3 ∧ u1) ∧ u2 = 0 .

(b) Donats quatre vectorsu1, u2, v1 i v2 deR3, comproveu que es compleix

(u1 ∧ u2) · (v1 ∧ v2) = (u1 · v1)(u2 · v2) − (u1 · v2)(u2 · v1) .

(c) Sigui {e1, e2, e3} una base deR3. Comproveu que els vectorse1 ∧ e2, e1 ∧ e3 i e2 ∧ e3 formen unabase deR3 amb orientacio positiva.

Feu servir el doble producte vectorial.

37

5Transformacions lineals

5.1 Imatges i antiimatges

1. Quines de les transformacions seguents son lineals?

(a) f (x, y, z) = (y + z, 2x + z, 3x − y + z).

(b) f (x, y) = (x, x + y − 1, 2x + 2).

(c) f (x, y, z, t) = (2x − y + 3t, 2x + 3y, xy − 3).

(d) f (x, y, z) = (3x − 2y + 3z, 5x − y + 2z).

(e) f (x, y) = (x2, xy − 2).

2. Digueu quines de les seguents transformacions deR2 aR2 son lineals:

(a) f (x, y) = (x, y − x).

(b) y1 = 2x1 + x2, y2 = x1 − x2 + 2.

(c) g(x, y) = x(1, 3) + y(2, 1).

(d) h(x1, x2) = (x12, x2 + 1).

(e) m(x, y) = x(1, 1) + y(1, 2) + (1, 3).

38 Transformacions lineals

3. La matriu associada a la transformacio lineal f : R3−→ R4 en les bases canoniqueses

4 −3 −11 −1 −11 1 51 0 2

.

Calculeu f (1, 2, −3), f (2, 3, −5), f −1(5, 2, −4, −1) i f −1(−3, 2, −8, 5).

4. Sigui f : R2−→ R3 una transformacio lineal tal que

f (2, 1) = (2, 3, −1)

f (7, 4) = (5, −1, 2)

}.

Calculeu f (2, 5), f (3, 1), f −1(−1, 7, −4) i f −1(3, −4, 2).

5. La matriu de la transformacio lineal f : R3−→ R2 en la baseB = {(3, 0, 1), (4, 3, 2), (6, 4, 3)} deR3 i

la canonica deR2 es (4 5 −4

−1 −1 1

).

Calculeu les imatges dels vectors de la base canonica deR3 i escriviu la matriu associada af en les basescanoniques deR3 i R2.

6. L’endomorfisme f : R2−→ R2 te associada la matriuA en la baseB = {(2, 3), (3, 4)}. Calculeu

f (1, 6), f (−2, 4) i f −1(3, 6) sabent que

A =

(2 −31 5

).

7. La matriu associada a l’endomorfismef : R2−→ R2 en la baseB = {(1, −2), (−1, 3)} es

A =

(3 11 0

).

Determineu :

(a) La imatge del vector(1, 4).

(b) Una antiimatge, si existeix, del vector(−1, 2).

(c) La matriu associada af en la base canonica.

8. D’una transformacio lineal T : R2−→ R3 sabem queT(1, −2) = (0, 0, 0), que el vector(1, −5, 2) te

com a mınim una antiimatge i que la segona component deT(1, 0) en la base canonicaes 10. Determineula matriu deT en les bases canoniques.

39

9. Trobeu un endomorfisme deR2 que transformi la recta 2x − y = 0 en la recta 3x + 2y = 0 i la rectax − y = 0 en la recta 5x + 3y = 0.Podeu trobar-ne dos de diferents que compleixin aquestes condicions?

10. Digueu la matriu en la base canonica deR2 d’un endomorfismeT que transforma la rectax − 2y = 0 enla recta 2x − y = 0 i la rectax + y = 0 en ella mateixa.

11. Trobeu un endomorfisme deR3 que transformi el play = z en el pla 2x − 5y + z = 0 i el plax + 2z = 0en la rectaz = −2x, y = 0.

12. Sigui T : Rn−→ Rm una transformacio lineal i considerem subespais arbitrarisF ⊂ Rn i G ⊂ Rm.

(a) Demostreu que laimatgede F ,

T(F) = { T(u) : u ∈ F } ,

es un subespai vectorial deRm.

(b) Demostreu que l’antiimatgedeG,

T−1(G) = { u ∈ Rn : T(u) ∈ G } ,

es un subespai vectorial deRn.

13. La matriu associada a la transformacio lineal f : R4−→ R3 en les bases canoniqueses 1 6 3 2

−2 −2 −1 11 2 1 0

.

Donats el subespaiF : x − 2y − 2t = 0 deR4 i el subespaiG = 〈 (2, −1, 1), (1, −1, 1) 〉 deR3, calculeuuna base i les equacions implıcites dels subespaisf (F) i f −1(G).

14. La matriu associada a la transformacio lineal f : R4−→ R3 en les bases canoniqueses 2 1 3 2

1 1 2 33 2 5 5

.

Trobeu dos subespaisF i G deR4 de dimensio 3 que compleixin dimf (F) = 2 i dim f (G) = 1.

5.2 Canvis de base

15. Sigui f l’endomorfisme deR2 tal que f (x, y) = (2x − y, x + y). Trobeu la matriu associada af en labaseB′

= {(1, 1), (1, −1)}.


16. L’endomorfismef : R3−→ R3 ve donat per

f (x, y, z) = (3x − 2y + z, x + 6y + 2z, −3x + 7z) .

(a) Calculeu la matriu associada af en la base canonica.

(b) Calculeu la matriu associada af en la baseB = {(1, 0, 1), (2, 1, 4), (−2, −1, −3)}, indicantclarament quinaes la matriu del canvi de base.

17. La transformacio lineal f : R3−→ R2 ve donada per

f (x, y, z) = (2x + y − 3z, x + 3y − 7z) .

Calculeu la matriu def en les basesB1 = {(1, 0, 1), (7, 2, 4), (6, 1, 4)} deR3 i B2 = {(4, 5), (3, 4)} deR2.

18. La matriu associada a l’endomorfismef : R3−→ R3 en la baseB = {u1, u2, u3} deR3 es

A =

1 3 52 −3 10 2 −2

.

(a) Calculeu la matriu associada af en la baseB′= {u3, u2, u1}.

(b) Feu el mateix en la baseB′′= {u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3}.

19. Considereu les bases

B1 = {(−1, 0, 1, −2), (0, 1, 1, −1), (2, 1, 0, 1), (1, 1, 1, −2)} i

B2 = {(1, −1, 2), (0, 1, −1), (1, 0, −1)} .

La matriu associada a la transformacio lineal f : R4−→ R3 en les basesB1 deR4 i B2 deR3 es 1 4 0 1

0 3 1 21 2 1 7

.

Calculeu la matriu associada af en les bases canoniques deR4 i R3. Quines matrius de canvi de baseheu fet servir?

20. Sabent que l’endomorfismef : R2−→ R2 compleix

f (1, 1) = (−6, −8)

f (1, 2) = (11, 15)

},

calculeu la matriu associada af en la base canonica.

41

21. L’endomorfismef : R3−→ R3 compleix que

f (0, 1, 1) = (0, 1, 2)

f (1, 1, 0) = (1, 2, 0)

f (0, 1, 0) = (1, 0, 1)

.

Calculeu la matriu def en la baseB = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 0)}.

22. Sabem que la transformacio lineal f : R3−→ R4 compleix

f (1, 0, −1) = (0, −2, −1, 0)

f (1, 1, 0) = (3, 1, 0, 1)

f (0, 1, 2) = (5, 4, 1, 1)

.

(a) Calculeu la matriu associada af en les bases canoniques deR3 i R4.

(b) Calculeu la matriu associada af en les basesB1 = {(3, −2, 1), (2, −1, −1), (1, −1, 3)} deR3 iB2 = {(1, 0, 0, 2), (−4, 1, 1, −2), (0, 0, 1, 4), (1, 0, 0, 1)} deR4.

23. Considereu els vectorse1 = (1, 1, 1), e2 = (−1, 2, 1) i e3 = (0, 1, 1) i l’endomorfisme f : R3−→ R3

definit perf (e1 − e2) = 0

f (e1 + e2 + e3) = 4e2 + 5e3

f (e2 + e3) = 3e2 + 3e3

.

(a) Calculeu la matriu associada af en la baseB = {e1, e2, e3}.

(b) Calculeu la matriu associada af en la base canonica deR3.

24. SiguinB1 = {e1, e2} i B2 = {v1, v2} dues bases deR2 ambv1 = −e1 + 2e2 i v2 = e1 − 3e2. Donatl’endomorfisme deR2 definit per

f (v1) = 2v1

f (v2) = −v2

},

trobeu la matriu def en la baseB1.


f (u) = u per a totu ∈ F i

f (v) = −2v per a totv ∈ G ,

on F es el subespai generat pels vectors(1, 0, 1) i (2, −1, 3) i G te equacions implıcites x − y = 0,x + 3y + z = 0.

(a) Determineu la matriu def en la base obtinguda en reunir una base deF i una base deG.


(b) Determineu la matriu def en la base canonica.

26. La matriu associada a la transformacio lineal T : R2−→ R3 en les basesB1 = {(1, 2), (1, 3)} deR2 i

B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, −1, −1)} deR3 es

A =

1 10 −12 2

.

(a) Calculeu la imatge del vector(−1, 2).

(b) Calculeu la matriu deT en les basesB′

1 = {(1, 2), (0, 1)} deR2 i canonica deR3.

5.3 Nucli, imatge i classificacio

27. La matriu associada a l’endomorfismef : R4−→ R4 en la base canonicaes

2 −1 1 0−1 1 0 −1−1 0 1 −1

0 −1 −1 2

.

(a) Trobeu una base i les equacions implıcites de Nucf i de Im f . (Expresseu les equacions implıcitesdel Nuc f amb el menor nombre possible d’equacions.)

(b) Classifiqueu aquest endomorfisme,es a dir, indiqueu sies injectiu, exhaustiu o bijectiu.

28. Determineu una base i les equacions implıcites del nucli i de la imatge de l’endomorfismef deR3 definitper

f (x, y, z) = (2x − 3y + z, x − 2y + 3z, y − 5z) .

29. Trobeu una base del nucli i les equacions implıcites de la imatge de l’endomorfisme deR4 que en la basecanonica te per matriu associada

A =

2 1 0 1

−1 2 3 03 1 2 40 0 4 4

.

30. Calculeu bases dels nuclis i de les imatges i classifiqueu les transformacions lineals que tenen associadesles matrius seguents en les bases canoniques:

(a)

1 −1 35 6 47 4 −2

; (b)

(4 1 5 21 2 3 0

); (c)

1 4 5 0 93 −2 1 0 −1

−1 0 −1 0 −12 3 5 1 8

.

43

31. Considereu la transformacio linealT : R3−→ R2 definida per

T(1, 1, 1) = (2, 1)

T(1, 1, 0) = (1, −2)

T(0, 1, 0) = (0, 0)

.

(a) Determineu la imatge d’un vector arbitrari(x, y, z) ∈ R3.

(b) Descriviu NucT i Im T .

32. Trobeu les equacions implıcites de Nucf i de Im f , on f es l’endomorfisme deR2 que compleix

f (1, −2) = (−4, −2)

f (2, −1) = (4, 2)

}.

33. Trobeu les equacions implıcites de Imf i de Nuc f i la matriu de f en la base canonica sabent quef : R3

−→ R3 compleixf (2, 1, 1) = (0, −1, 0)

f (1, 1, 0) = (1, 0, 0)

f (1, 2, 1) = (1, 0, 0)

.

34. La transformacio linealT : R4−→ R3 definida en les bases canoniques per la matriu

A =

1 0 1 11 1 2 22 0 2 1

transforma el subespai d’equacio x + y+2z− t = 0 en un pla deR3. Trobeu l’equacio implıcita d’aquestpla i una base de NucT .

35. Si T : R3−→ R3 es l’endomorfisme definit en la base canonica per la matriu

A =

0 2 61 2 31 1 0

,

trobeu la projeccio ortogonal del vectoru = (1, 6, 1) sobre el subespai ImT .

36. Estudieu la injectivitat, exhaustivitat i bijectivitat de la transformacio lineal deR4 enR3 que en les basescanoniques te per matriu

A =

1 1 3 33 5 4 52 −1 1 0

.


37. Sabent quef : R2−→ R3 es lineal i compleix que

f (1, −1) = (3, −3, 6) i f (2, 1) = (9, 3, 0) ,

trobeu les equacions de Imf i digueu si f es injectiva o exhaustiva.

38. La matriu associada a l’endomorfismef : R3−→ R3 en la base canonicaes α − 2 2 −1

2 α 22α 2α + 2 α + 1

.

Classifiqueuf segons els valors del parametreα, i en els casos que no sigui bijectiu trobeu bases deNuc f i Im f .

39. Classifiqueu segons els valors dels parametres que hi apareixen les transformacions lineals que tenenassociades les matrius seguents en les bases canoniques:

(a)

−a 1 2 01 0 1 ba 2 ab a

; (b)

1 b aa b 11 ab 1

; (c)

α −α 23 −α α

−9 α 2

;

(d)

a2 1 11 a2 11 1 a2

3 4− a 2 + a2

; (e)

t −1 2t3 −1 t

−9 t 2

.

40. Sigui f l’endomorfisme deR3 que en la base canonica te per matriu associada

A =

−1 2 −2α −1 20 −1 α − 1

.

Estudieu sif es injectiu, exhaustiu o bijectiu en funcio del parametreα i calculeu una base del seu nuclii la dimensio de la seva imatge per aα = 1.

41. Trobeu la matriu d’un endomorfismeT : R3−→ R3 en la base canonica, sabent que les equacions de

NucT son x + y + z = 0, 2x − y − 4z = 0 i queT(1, 1, −1) = (1, 0, 1) i T(1, 1, 0) = (0, −1, −1).

42. Siguin F = 〈 (3, 2, −9), (4, 3, −12), (1, 0, −3) 〉 i G: 7x − 2y + z = 0, 3x + z = 0. Trobeu unendomorfismef : R3

−→ R3 tal que Nucf = G i Im f = F . Esunic aquest endomorfisme?

5.4 Operacions amb transformacions lineals

43. Les transformacions linealsf : R3−→ R4 i g : R4

−→ R2 venen donades per

f (x, y, z) = (x − 2y + z, −x + y + 3z, x + z, 2x − y + z)

g(x, y, z, t) = (2x − 3y + 4z − t, x + y − 3z + 2t) .

45

Calculeu la matriu associada ag B f en les bases canoniques.

44. La matriu de l’endomorfismef : R3−→ R3 en la baseB = {(1, 0, −1), (1, 1, −2), (−1, −1, 3)} es 3 2 1

−2 −1 −11 −1 3

,

i l’endomorfismeg : R3−→ R3 ve donat per

g(x, y, z) = (x − y + z, −y + 2z, x − z) .

Classifiqueu els endomorfismesf B g, g B f i f + g.

45. De les transformacions linealsf : R3−→ R2 i g : R2

−→ R4 sabem que

f (1, 0, −1) = (2, 1)

f (1, 1, −1) = (3, −2)

f (−2, 0, 1) = (1, 4)

ig(2, 3) = (1, −2, 3, 1)

g(3, 4) = (−2, 0, 3, 1)

}.

Calculeu la matriu associada a la transformacio linealgB f en les bases canoniques, trobeu bases del nuclii de la imatge deg B f i classifiqueu aquesta transformacio.

46. La transformacio lineal f : R2−→ R3 te associada la matriu 1 2

0 11 −1

en les basesB1 = {(1, 2), (2, 3)} deR2 i B2 = {(1, 0, −1), (1, −1, 0), (1, 1, 1)} deR3.

(a) Calculeu la matriu associada af en les bases canoniques.

(b) Trobeu una aplicacio linealg : R3−→ R2 tal queg B f = I .

47. La matriu associada a l’endomorfismef : R2−→ R2 en la baseB = {(3, −1), (−8, 3)} es(−2 7

3 −10

).

Calculeu la matriu associada af −1 en la base canonica deR2.

48. Sigui f : R3−→ R3 l’endomorfisme donat per

f (x, y, z) = (x, x + y − 2z, −z) .

Comproveu de dues maneres diferents quef 3− f 2

− f = −I .


5.5 Endomorfismes i producte escalar

49. Calculeu la matriu associada en la base canonica a la projeccio ortogonal deR3 sobre el pla d’equaciox − y + z = 0.

50. Calculeu la matriu en la base canonica de la projeccio ortogonal deR3 sobre el pla definit per l’equaciox + 2y + 2z = 0.

51. Una projeccio ortogonal deR2 transforma el vector(1, 8) en el vector(4, 6). Calculeu la matriu associadaa aquesta projeccio en la base canonica.

52. Trobeu una base del nucli de la projeccio ortogonal deR3 sobre el pla 2x+y+z = 0 i tambe les equacionsimplıcites de la projeccio ortogonal de la recta 2x = y = z sobre aquest pla.

53. Un gir G deR2 compleix queG(5, 10) = (2, 11). Calculeu la matriu associada a aquest gir en la basecanonica.

54. Trobeu la matriu en la base canonica deR3 de la simetria respecte al pla d’equacio x + 2y + 3z = 0.

55. Calculeu les matrius associades en la base canonica a les simetries respecte als subespais seguents:

(a) Pla deR3 generat pels vectors(1, 2, −3) i (3, 4, −1).

(b) Pla deR4 generat pels vectors(1, 2, 1, −3) i (3, 1, 10, −5).

(c) Recta deR3 generada pel vector(1, 2, −3).

56. Una simetria deR2 transforma el vector(−1, 7) en el vector(5, −5). Calculeu la matriu associada aaquesta simetria en la base canonica.

57. Calculeu la matriu associada a la rotacio de 120◦ al voltant del vector(0, 1, 0).

58. Calculeu la matriu associada a la rotacio de 90◦ al voltant del vector(0, 0, −1).

59. Calculeu la matriu associada en la base canonica a les rotacions d’angleα al voltant del vectorw en cadaun dels casos seguents:

(a) α = 120◦ i w = (−1, −1, 1).

(b) α = 90◦ i w = (1, 2, −1).

(c) α = 45◦ i w = (1, 0, 1).

(d) α = 143.13◦ i w = (1, 0, −2). (Nota: preneu sinα = 3/5 i cosα = -4/5.)

47

60. En una rotacio al voltant de l’eix definit perx − y = 0, x − y − 2z = 0, la imatge del vector(1, 1, 1)

pertany al plax + y − 4z = 0. Trobeu els possibles angles de rotacio i, en un dels casos, la seva matriuen la base canonica.

61. Quin angle hem de fer girar el vector(1, 2, 1) al voltant de(1, 0, 1) per obtenir un vector perpendicular al’inicial?

62. En una rotacio al voltant del vector(1, −1, 1), el vector(1, 0, 0) es transforma en el vector(0, 0, 1).Calculeu l’angle de rotacio i la seva matriu en la base canonica.

63. Els vectors(4, −7) i (8, −1) son simetrics respecte a un eixF deR2. Trobeu una base deF i la matriuen la base canonica de la simetria respecte a aquest eix.

64. En una rotacio de 180◦ el vector(2, 7, −4) es transforma en el vector(2, 1, −8). Calculeu la matriuassociada a la rotacio en la base canonica.

65. Siguin P : R3−→ R3 la projeccio ortogonal sobre el plax + 2y + z = 0 i S : R3

−→ R3 la simetriaaxial respecte a l’eixO Z.

(a) Calculeu la matriu de la transformacio compostaP B Sen la base canonica.

(b) Doneu una base del nucli d’aquesta transformacio i comproveu que aquest subespaies el simetricdel nucli deP respecte a l’eixO Z.

66. Siguin f i g les rotacions d’angleα al voltant dels vectors(0, 1, 0) i (0, 0, −1), respectivament. Calculeula matriu associada af B g en la base canonica i comproveu quees una isometria.

67. La matriu associada af : R2−→ R2 en la baseB = {(1, 2), (1, 3)} es

1

5

(−25 −40

20 31

).

Comproveu quef es una isometria.

68. La matriu associada a l’endomorfismef : R3−→ R3 en la base canonicaes

1

3

1 −2 −2−2 1 −2−2 −2 1

.

Comproveu quef es una isometria.

69. La matriu de l’endomorfismef : R3−→ R3 en la baseB′

= {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} es

A′=

0 0 10 1 0

−1 0 0

.


(a) Es una isometria?

(b) Calculeu la matriuA de f en la base canonica.

70. Comproveu que les matrius seguents representen isometries en la base canonica:

(a)1

3

2 1 21 2 −22 −2 −1

; (b)1

15

5 6√

5 2√

510 −3

√5 4

√5

−10 0 5√

5

;

(c)

(cosα sinα

− sinα cosα

); (d)

cosα cosβ sinβ sinα cosβcosα sinβ − cosβ sinα sinβ

sinα 0 − cosα

.

71. Trobeu una isometria deR3 que transformi el pla d’equacio x − 2y + z = 0 en el plax + y − 2z = 0.

72. En una isometria deR3 el vector(1, 2, −1) queda invariant i el vector(2, 0, 3) es transforma en el vector(−3, 0, −2). Quinaes la imatge del vector(−7, 3, 4)?

49

6Diagonalitzacio

6.1 Polinomi caracterıstic i condicions de diagonalitzacio

1. Considerem els endomorfismes deR2 que en la base canonica tenen per matrius respectives

A =

(4 10

−3 −7

)i B =

(2 12 2

).

Estudieu-ne la possible diagonalitzacio i, en cas de ser diagonalitzables, indiqueu la matriuC del canvide base, la matriu diagonal i la relacio amb la matriu donada.

2. Calculeu el polinomi caracterıstic de les matrius seguents:

(a)

1 1 −2−1 2 1

0 1 −1

; (b)

3 0 1−5 −1 −1−8 −1 −2

; (c)

0 −2 −3−3 1 −3−2 2 1

;

(d)

2 −1 −10 1 −1

−1 1 2

; (e)

8 −1 112 0 3

−6 1 −8

; (f)

7 5 81 3 1

−6 −6 −7

;

(g)

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

; (h)

8 −27 −12 33 −10 −4 1

−3 9 3 −1−5 15 0 4

.

50 Diagonalitzacio

3. Estudieu si les matrius de l’exercici anterior son diagonalitzables. En cas que ho siguin, trobeu una basede vectors propis.

4. Estudieu si son diagonalitzables sobreR o C les matrius seguents:

(a)

1 0 00 2 01 0 1

; (b)

2 0 00 0 10 −1 0

; (c)

2 1 11 2 11 1 2

.

5. Comproveu que les tres matrius seguents no son diagonalitzables, tot i que els seus polinomis caracterısticses descomponen totalment sobreR:

(a)

1 0 01 1 00 0 3

; (b)

0 0 01 0 00 0 −1

; (c)

1 0 00 1 00 1 1

.

6. A cadascuna de les matrius seguents trobeu-li tants vectors propis linealment independents com pugueu,indicant a quin valor propi esta associat cada vector propi (si cal, feu servir complexos):

(a)

1 1 11 1 11 1 1

; (b)

2 0 01 2 00 0 1

; (c)

0 −1 01 0 00 0 3

;

7. Indiqueu quines de les matrius seguents son diagonalitzables. En cas afirmatiu, trobeu una base de vectorspropis.

(a)

5 −8 10−4 9 −10−4 11 −12

; (b)

−4 −4 −21 0 10 0 −2

; (c)

0 −1 10 −2 2

−2 −1 2

;

(d)

8 −3 018 −7 012 −6 2

; (e)

−1 4 −41 0 12 −3 4

; (f)

1 −1 −11 3 1

−1 −1 1

.

8. Analitzeu si son diagonalitzables o no els endomorfismes deR3 que en la base canonica tenen per matriusassociades

A =

2 −1 −10 1 −1

−1 1 2

i B =

1 3 1−2 −4 −1

2 3 0

.

En cas afirmatiu, indiqueu la matriuC del canvi de base, la matriu diagonal i la relacio amb la matriuoriginal.

9. Diagonalitzeu sobre els nombres complexos les matrius seguents:

(a)

3 8 11 −3 1

−2 −16 0

; (b)

−3 10 −21 −5 14 −20 3

; (c)

0 5 1 −2

−1 −2 −1 10 −10 −3 5

−2 −10 −4 5

.

51

10. A R3 es considera la base constituıda pels vectorse1 = (0, 0, 1), e2 = (1, −1, 0) i e3 = (1, 1, 0), il’endomorfismef deR3 que compleix

f (e1) = e1 − 3e3

f (e2) = −3e1 + e2

f (e3) = 4e3

.

Estudieu sies possible la diagonalitzacio de f . En cas que ho sigui, trobeu una base en la qual la matriude f sigui diagonal. (Indiqueu clarament la base en la qual expresseu els resultats.)

11. Diagonalitzeu les matrius

A =

(1 22 1

)i B =

(−3 2−2 2

)tot indicant, per a cada una d’elles, la matriuC del canvi de base i la matriu diagonalD. Calculeu laformula general deAn i Bn.

12. Diagonalitzeu la matriu

A =

3 2 22 3 22 2 3

.

Indiqueu la matriuC del canvi de base i la matriu diagonalD i calculeu la formula general deAn.

13. Comproveu que la matriu

A =

5 1 −14 3 −2

10 3 −2

es diagonalitzable i calculeuAn.


A =

2 1 11 2 11 1 2

,

comproveu quees diagonalitzable i trobeu una matriuB tal queB2= A. Quantes matrius hi ha que

compleixen aquesta igualtat?

15. Estudieu segons els valor del parametreα ∈ R si son diagonalitzables o no les matrius seguents:

(a)

1 + α −α α

2 + α −α α − 12 −1 0

; (b)

2 −2 60 α 4 − α

0 α −α

.

52 Diagonalitzacio

16. Trobeu els valors dea per als qualses diagonalitzable la matriu 2 0 01 1 00 1 a

.

17. Estudieu segons els valors dels parametresa, b ∈ R si es diagonalitzable o no la matriu

A =

a 0 01 3 12 0 b

.

18. Estudieu, segons els valors dels parametresa, b ∈ R, si es diagonalitzable o no la matriu

A =

1 2 0−a a a

1 − b 2 b

.

19. Trobeu els valors deα per als quals la matriu 2 1 0−1 α 1

1 + α 1 1− α

te valors propis multiples, i estudieu en cada cas sies diagonalitzable. En cas que ho sigui, trobeu unabase de vectors propis.

20. Trobeu la matriu en la base canonica d’un endomorfismeT de R2 sabent que diagonalitza en la baseB = {(1, 1), (1, −1)} i queT(1, 2) = (1, −1).

21. L’endomorfisme f : R2−→ R2 diagonalitza en la baseB = {(1, 1), (2, 1)} i en la base canonica te

associada la matriu

A =

(a 10b 7

).

Calculeu:

(a) Els valors propis def .

(b) Els coeficientsa i b.

(c) Una base de vectors propis.

22. L’endomorfismeg : R3−→ R3 te associada en la base canonica la matriu a b c

1 0 1d e 0

i diagonalitza en la baseB = {(1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1)}. Calculeua, b, c, d, e i els valors propisd’aquesta matriu.

53

23. L’endomorfisme f de R3 diagonalitza en la baseB = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} i compleix quef (1, 2, 6) = (1, −2, 17). Calculeu la matriu associada af en la base canonica.

24. L’endomorfisme f : R3−→ R3 te polinomi caracterıstic p(x) = x3

− 3x − 2 i els vectors(1, 0, 1),(0, 1, 0), (1, 1, 0) i (1, −2, 3) son vectors propis def . Calculeu la matriu associada af en la basecanonica.

25. L’endomorfismef : R2−→ R2 diagonalitza en la baseB = {(1, 1), (3, 2)}, i f (3, 1) = (9, 7). Trobeu

la seva matriuA en la base canonica i l’expressio deAn.


A =

(2 1

−3 −2

)i B =

(5 2

−12 −5

),

comproveu que son diagonalitzables i que les matrius diagonals coincideixen, i trobeu una matriu regularC tal queB = C−1AC.

6.2 Diagonalitzacio ortogonal de matrius simetriques

27. Trobeu una base ortonormal de vectors propis i la matriu diagonal corresponent a partir de la matriu

A =

(a 22 a

).


A =

(1 33 1

),

determineu una matriu regularC tal queA′= Ct AC sigui diagonal. Quinaes la matriuA′?

29. Per a cada una de les matrius seguents calculeu una matriu ortogonalP tal queA′= Pt AP sigui diagonal.

(Comproveu els resultats.)

(a) A =

(0 11 0

); (b) A =

(3 44 −3

); (c) A =

(1 11 1

).

30. Considereu l’endomorfismeT deR3 definit per la seva matriu

A = M(T,Bc) =

1 0 20 −1 02 0 1

.

(a) Demostreu queT es diagonalitzable.

(b) Trobeu una base ortonormal de vectors propis deT .

54 Diagonalitzacio

(c) Escriviu la matriuT en la base de l’apartat anterior.

31. Diagonalitzeu les matrius simetriques seguents i trobeu una base ortonormal de vectors propis:

(a)

8 4 −14 −7 4

−1 4 8

; (b)

6 −2 −2−2 5 0−2 0 7

.

32. Considereu la matriu

A =

1 1 11 1 11 1 1

.

(a) Diagonalitzeu aquesta matriu, indicant la matriu diagonalA′ i la matriu de canviC corresponent.

(b) Diagonalitzeu ortogonalment la matriuA, indicant tambe la matriu diagonalD i la matriu ortogo-nal de canviP.

33. Diagonalitzeu les matrius

A =

0 1 11 0 11 1 0

i B =

1 0 00 0 −10 −1 0

.

Indiqueu en cada cas la matriu del canvi, la matriu diagonal i una base ortogonal de vectors propis.

34. Es considera un endomorfismeT : R3−→ R3 que en la base canonica te per matriu

A =

0 1 11 0 −11 −1 0

.

Trobeu una base ortonormal de vectors propis deT i la matriu deT en aquesta base.


A =

3 0 40 1 04 0 −3

i B =

3 4 04 3 00 0 1

,

trobeu matrius regularsC i D tals queA′= Ct AC i B′

= Dt B D siguin diagonals.

36. Calculeu una base ortonormal de vectors propis de les matrius seguents:

(a)

0 1 −3 01 0 0 −3

−3 0 0 10 −3 1 0

; (b)1

2

5 −3 −3 3

−3 5 −3 3−3 −3 5 3

3 3 3 5

.

55

37. Determineu els valors del parametreb que fan diagonalitzable la matriu

A =

b 0 00 0 b0 b 0

.

Per a algunb 6= 0 determineu una base ortogonal de vectors propis deA i els respectius valors propis.

38. Si S es la simetria deR3 respecte al pla 2x − y − z = 0, trobeu una base ortonormalB de vectors propisdeS i la matriu A deSen aquesta base.

39. D’un endomorfisme simetric f deR3 sabem que el determinantes 18 i quef (u) = 3u per a tot vectorudel pla〈(0, 1, −1), (−1, 0, 1)〉. Trobeu la matriu def en la base canonica.

40. D’un endomorfismef deR3 sabem que tots els vectors del plax + 2y+ 2z = 0 son propis de valor propi2 i que els ortogonals a ells son propis de valor propi−1. Determineu una base ortonormal positiva deR3

en la qual la matriu associada af sigui diagonal.

41. Si T es un endomorfisme deR3 tal que els vectors del plax + y − z = 0 son propis de valor propi 1 i elsde la recta perpendicular a aquest pla son propis de valor propi 2, determineu la matriu deT en la basecanonica.

42. Demostreu que existeix alguna matriu regularC tal queCt AC = B, on

A =

(3

√3

√3 5

)i B =

(4 22 4

).

Indicacio: no cal que calculeuC.

6.3 Classificacio d’isometries

43. Classifiqueu les isometries deR2 que en la base canonica tenen associades les matrius seguents:

(a)1

2

(1 −

√3

√3 1

); (b)

1

3

(2√

2 11 −2

√2

); (c)

1

5

(3 44 −3

); (d)

1

5

(4 −33 4

).

44. Classifiqueu i estudieu les isometries del pla definides en la base canonica per les matrius

A =

(0 −1

−1 0

)i B =

(0 1

−1 0

).

45. Classifiqueu les isometries deR3 que en la base canonica tenen associades les matrius seguents:

(a)1

3

−1 2 22 −1 22 2 −1

; (b)1

11

9 −6 2−6 −7 6

2 6 9

; (c)1

9

−1 8 48 −1 44 4 −7

;

56 Diagonalitzacio

(d)1

25

9 20 −12−20 0 −15−12 15 16

; (e)1

45

37 20 16−16 40 −13−20 5 40

; (f)1

3

1 −2 −22 −1 22 2 −1

.

46. (a) Si A es la matriu en la base canonica d’un endomorfismeT deR3, expliqueu quines condicions ha decomplir A per tal queT sigui una rotacio.(b) Trobeu el resultat d’aplicar al vector(1, 0, 0) una rotacio R de 90◦ al voltant del vector(1, 2, 2).(c) La mateixa questio, pero ara amb un angle de 180◦.

47. Es considera l’endomorfismef deR3 que en una base ortonormalB = {e1, e2, e3} queda descrit per lesequacions

x′=

x − 2y − 2z

3

y′=

−2x + y − 2z

3

z′=

−2x − 2y + z

3

.

(a) Escriviu la matriuA de f en la baseB i proveu queA es ortogonal.

(b) Calculeu els vectorsv ∈ R3 tals quef (v) = v.

(c) Interpreteu geometricamentf .

48. Comproveu que les matrius seguents defineixen isometries deR3:

A =1

3

1 2 22 1 −22 −2 1

, B =1

3

−1 2 22 −1 22 2 −1

i C =1

3

1 −2 2−2 1 2

2 2 1

.

Classifiqueu aquestes isometries i descriviu-ne els elements geometrics caracterıstics.

49. La matriu

A =

−1 0 00 0 10 1 0

defineix una isometria deR3. Classifiqueu-la i indiqueu-ne els elements geometrics.

50. La matriu

A =

1 0 00 0 10 1 0

defineix un endomorfismeT deR3 en la base canonica. Classifiqueu l’endomorfismeT , digueu quin tipusd’isometria representa i indiqueu-ne els elements geometrics.

57

51. La matriu de l’endomorfismef : R2−→ R2 en la baseB′

= {(2, 1), (1, 1)} es

A′=

(0 −30 1

).

Calculeu la matriuA de f en la base canonica i digueu de quin tipuses aquest endomorfisme:

(a) Gir.

(b) Simetria axial.

(c) Un altre tipus d’isometria.

(d) Projeccio ortogonal.

(e) Cap dels anteriors.


f (0, 1, 1) = (0, 1, 1)

f (1, 1, 0) = (1, 0, 1)

f (1, 0, 1) = (1, 1, 0)

.

Comproveu quees una isometria i classifiqueu-la.

53. La isometriaf : R3−→ R3 compleix

f (1, 1, 0) = (0, 1, 1)

f (1, 0, −1) = (−1, 0, 1)

f (0, 3, 0) = (2, 1, 2)

.

Calculeu-ne la matriu en la base canonica i digueu de quin tipuses la isometria.

54. La matriu associada a un endomorfismeT deR3 en la baseB′= {(1, −1, 0), (1, 0, 1), (0, −1, 0)} es

A′=

1 0 00 0 −10 1 0

.

(a) Trobeu la matriu deT en la base canonica.

(b) Digueu siT es una isometria.

(c) En cas afirmatiu, classifiqueu-la i doneu els seus elements geometrics. En cas negatiu, trobeul’equacio implıcita de la imatge segonsT del pla d’equacio x + y − z = 0.

55. Siguin f la rotacio d’angle 270◦ al voltant del vector(0, 0, −1) i g la simetria respecte al pla generat pelsvectors(1, 0, 0) i (0, 1, 1). Classifiqueu la isometriaf B g.

58 Diagonalitzacio

56. Determineu la matriu en la base canonica de la rotacio de 90◦ al voltant del vectorw = (1, 1, 1). Calculeuel quadrat i la inversa d’aquesta matriu i expliqueu quines isometries defineixen.

57. Les matrius de dos endomorfismesf i g deR3 en la base canonica son

A =

a 0 00 0 −10 a 0

i B =

1 b 0b 0 10 1 0

.

(a) Determineu els valors dea i b per tal quef i g siguin isometries.

(b) Per a cadascun d’ells, classifiqueu les isometries i indiqueu els seus elements geometrics.

58. La matriu de l’endomorfismef : R3−→ R3 en la base canonicaes

A =1

3

1 −2 22 −1 a2 2 b

.

(a) Determineu els valors dea i b per tal quef sigui una isometria i classifiqueu-la.

(b) Determineu l’equacio del pla obtingut aplicantf al pla d’equacio 2x − y + 3z = 0.

59. Trobeu totes les isometries deR2 que transformen la recta 3x + 4y = 0 en la rectax = 0.

60. Doneu les matrius en la base canonica deR2 d’una isometria directa, una isometria inversa i un endomor-fisme no isometric que transformin l’eixO X en l’eix OY. Detalleu raonadament quantes isometries decada un dels dos tipus duen a terme aquesta transformacio.

61. Digueu la matriu en la base canonica d’una de les isometries deR3 que transformen l’eixO X en l’eixOY i deixen invariant l’eixO Z. Classifiqueu la isometria.

62. Trobeu totes les isometries deR3 que transformen els vectors de la base canonica en vectors de la basecanonica i classifiqueu-les.

63. Sigui f : R3−→ R3 la composicio de la rotacio d’angleα al voltant del vector unitariw amb la simetria

respecte al pla< w >⊥. Demostreu que per a totu ∈ R3 es compleix que

f (u) = u cosα − (u · w)(1 + cosα)w + (w ∧ u) sinα .

64. Trobeu les dues isometries deR3 que compleixen

f (1, 2, 2) = (2, 1, 2)

f (2, 1, 0) = (0, 2, 1)

}i classifiqueu-les.

59

6.4 Equacions i sistemes d’equacions diferencials lineals

65. Escriviu la solucio general de les equacions diferencials seguents:

(a) y′= 3y.

(b) dy + ydx = 0.

(c) y′= y ln 5.

66. Calculeu la solucio general de les equacions diferencials no homogenies seguents:

(a) y′− y = ex.

(b) y′= x + y.

(c) y′= 2y + cosx.

67. Resoleu les equacions seguents, determinant la solucio particular que correspon a les condicions inicialsindicades:

(a) y′+ 4y = ex amby(0) = −3.

(b) y′+ y − x3

= 0 amby(3) = 12.

(c) y′− 2y = x2

+ x + 1 amby(0) = 3.

(d) y′= abe−ax

− cy (a, b, c constants ia 6= c) amby(0) = 0.

68. Resoleu els sistemes d’equacions diferencials de primer ordre seguents:

(a)x = −y

y = x

}; (b)

x = −x + 3y

y = 3x − y

}; (c)

x = 4x − 5y

y = x

}.

En el cas (c), imposeu les condicions inicialsx(0) = 0 i y(0) = 1.

69. Resoleu els sistemes d’equacions diferencials de primer ordre seguents:

(a)

x = 3x − y + z

y = −x + 5y − z

z = x − y + 3z

; (b)

x = y + z

y = x + z

z = x + y

.

70. Resoleu els sistemes no homogenis seguents:

(a)x = y + 6t

y = 4x − 2

}ambx(0) = 0, y(0) = −2 ; (b)

dx

dt= x + et

dy

dt= 2x − y + 1

.

60 Diagonalitzacio

71. Trobeu les solucions generals del sistema d’equacions diferencials no homogeni

x = 2x + y − 2z − t + 2

y = −x + 1

z = x + y − z − t + 1

.

72. Trobeu les solucions dels sistemes d’equacions diferencials no homogenis seguents:

(a)x = 2x − y + 2t

y = 3x − 2y + 4t

}; (b)

x = −2x − 4y + 4t + 1

y = y − x +3t2

2

.

Imposeu les condicions inicialsx(0) = 1 i y(0) = 1 en el cas (a) ix(0) = 2 i y(0) = 2 en el cas (b).

61

7Tensors i formes quadratiques

7.1 Diagonalitzacio

1. Escriviu la forma hessiana de les funcions seguents en els punts indicats:

(a) f (x, y) = ex siny + ex cosy en el punt(0, π/2).

(b) z = x3y2− 2xy4 en el punt(−1, 1).

(c) g(x, y, z) = xey sinz en el punt(1, 0, π).

(d) u = x2− yz+ 2yt2 en el punt(0, 1, 1, 1).

2. (a) Aplicant la formula del doble producte vectorial, demostreu que si una partıcula de massam gira ambvelocitat angular‖ w ‖ al voltant de l’eix〈w〉, el seu moment cinetic quan es troba a la posicio r es

M = m‖ r ‖2w − m(r · w)r .

(b) Si r = (1, 1, 3), w = (1, 2, 2) i m = 5, calculeuM i tambe l’energia cinetica de la partıcula en aquellpunt.

3. Un tensorT : R2× R2

−→ R queda definit en la base canonicaBc = {e1, e2} per

T(e1, e1) = 1 , T(e1, e2) = T(e2, e1) = 2 i T(e2, e2) = 1 .

Expliqueu mitjancant les formules corresponents com actuaT sobre un parell de vectorsu = (x1, y1),v = (x2, y2) i com actua sobre un vectorw = (x, y) la forma quadraticaq associada aT .

62 Tensors i formes quadratiques

4. La matriu d’un tensorT en la base canonicaes

A = M(T,Bc) =

−1 1 −11 2 −2

−1 −2 3

.

Calculeu la matriu deT en la baseB = {(2, 1, 1), (−1, 0, 1), (2, −1, 0)}.

5. Expresseu la forma quadraticaq(x, y, z) = 2x2− y2

+ 2xz− 4yzen termes de(x′, y′, z′) sabent que

x = x′+ y′

− 2z′

y = −2x′+ y′

z = y′+ z′

.

6. Donada la forma quadraticaq(x, y, z) = x2+ y2

+ 4z2+ 4xz + 2yz, calculeu la seva restriccio als

subespais seguents, indicant quina base feu servir a cada subespai:

(a) La recta generada peru = (1, 2, 1).

(b) El pla d’equacio x + y − z = 0.

7. Expresseu com a combinacio lineal de quadrats les formes seguents i digueu quin canvi ortogonal heuaplicat:

(a) q(x, y) = 8x2+ 8xy + 2y2.

(b) q(x, y) = 2xy.

8. Calculeu l’expressio euclidiana canonica de les formes seguents. Expliqueu en cada cas el canvi ortogonalque permet obtenir aquesta expressio:

(a) q(x, y, z) = 3x2+ y2

+ 2z2− 4xz− 4yz.

(b) q(x, y, z) = 3x2+ 3y2

+ 6z2− 8xy − 4xz− 4yz.

7.2 Classificacio de formes

9. Classifiqueu les formes quadratiques seguents i calculeu els seusındexs d’inercia:

(a) q(x, y) = 2x2+ 8xy + 8y2.

(b) q(x, y) = x2− 4xy + y2.

10. Feu el mateix que es demana a l’exercici anterior amb les formes seguents:

63

(a) q(x, y, z) = 3x2+ 11y2

+ 3z2− 6xy + 2xz+ 6yz.

(b) q(x, y, z) = −x2− 7y2

− z2− 10xy + 6xz+ 6yz.

(c) q(x, y, z) = −5x2− 4y2

− 10z2+ 2xy − 6xz− 8yz.

11. Classifiqueu i calculeu elsındexs d’inercia de la formaq definida per la matriu−1 −2 1 −1−2 −4 2 −2

1 2 −4 4−1 −2 4 −4

.

12. Classifiqueu i calculeu elsındexs d’inercia de les formes seguents:

(a) q(x, y, z) = x2+ 3y2

+ 2z2+ 2xy + 4xz.

(b) q(x, y, z) = 3x2+ 11y2

+ 3z2− 6xy + 2xz+ 6yz.

13. Trobeu una base en la que la forma quadratica

q(x, y, z) = 2x2+ 2y2

+ 2z2+ 2xy + 2xz+ 2yz

sigui diagonal i classifiqueu aquesta forma.

14. Classifiqueu les formes quadratiques definides per les matrius seguents:

(a)

1 1 11 2 21 2 3

; (b)

1 1 11 3 01 0 3

; (c)

1 0 00 0 10 1 0

.

15. Considereu la forma quadraticaq(x, y, z) = 2axy+ 2bxz+ 2cyz, ona, b i c representen el nombre delletres del nom, primer cognom i segon cognom, respectivament, del vostre millor amic.

(a) Determineu els indexs d’inercia de la formaq.

(b) Classifiqueu aquesta forma.

16. Expresseu com a combinacio lineal de quadrats la forma quadratica

q(x, y, z) = 5x2+ 5y2

+ 8z2− 8xy + 4yz

mitjancant un canvi ortogonal i classifiqueu-la.

17. Considereu les formes quadratiques seguents definides en la base canonica:

(a) q(x, y, z) = 2x2+ 2y2

+ 2z2+ 2xy + 2xz+ 2yz.

64 Tensors i formes quadratiques

(b) q(x, y, z) = 2xy + 2xz− 2yz.

(c) q(x, y, z) = −2x2− 2y2

− 2z2+ 2xy + 2xz+ 2yz.

Classifiqueu aquestes formes i trobeu per a cada una una base ortonormal en la que la forma adopti la sevaexpressio euclidiana canonica.

18. Classifiqueu la forma quadratica

q(x, y, z) = x2+ y2

− 2z2+ 2xy + 4xz.

7.3 Extrems de les funcions de diverses variables

19. Determineu els extrems locals de la funcio

f (x, y) = x3+ 3xy2

− 15x − 12y .

20. Trobeu els extrems locals de les funcions seguents:

(a) f (x, y) = (x − 1)2+ 2y2.

(b) g(x, y) = (x − 1)2− 2y2.

21. Trobeu els extrems locals de la funcio f (x, y) = x3y2(6 − x − y) en el quadrantx > 0, y > 0.

22. Calculeu els extrems locals de la funcio de tres variables

f (x, y, z) = x2+ y2

+ z2− xy + x − 2z .

65

8Geometria lineal

8.1 Equacions de les varietats lineals

1. Trobeu l’equacio de les rectes que passen pel punt d’interseccio de les rectesx − 3 = 0 i 2x + y − 5 = 0i formen un angle de 30◦ amb la primera.

2. Trobeu les equacions de les dues rectes que passen pel punt(2, −3) i formen un angle de 45◦ amb la recta5x − 2y + 1 = 0.

3. Trobeu les equacions de la recta que passa pels punts(5, −2, 3) i (4, 1, 2) i l’equacio implıcita del pla quepassa pels punts(5, 1, −2), (−2, 1, 3) i (−1, −2, 3).

4. Calculeu l’equacio implıcita del pla que conte les rectesx = 0, y = z i x + y = 0, z = 0.

5. En cada un dels casos seguents, calculeu l’equacio implıcita del pla que passa pel puntP i conte la rectaR:

(a) P = (−1, 2, 0) i R: x − 2y + z = 3, y + 3z = 5.

(b) P = (−2, 1, −5) i

R :x − 1

2=

y − 1

3=

z − 1

4.

66 Geometria lineal

6. Calculeu l’equacio contınua de la recta que passa pel punt(0, 1, 2) i talla les rectes

x − 3

−2= y + 1 =

z + 4

3i

2x + y − z = 15

x + y + z = 1

}.

7. Trobeu el valor dea per al qual les rectesR1 i R2 d’equacions

x − 2y = 1

y − z = 2

}i

x + y + z = 1

x − 2y − z = a

}

son coplanaries, i escriviu l’equacio implıcita del plaP que defineixen.

8. Determineu el valor dea per tal que es tallin les rectes

x − 1

2= y =

z + 2

2i

x + y + z = 0

ax − y − z = 0

}.

9. Calculeuα de manera que les rectes d’equacions

x + 2y − z − α = 0

2x − y − z + 2 = 0

}i

x − 1

2=

y + 1

3=

z − 4

5

es tallin en un punt i calculeu-lo.

10. Calculeuα de manera que els plans d’equacionsx + y + z = 2, 2x + 3y + z = 3 i αx + 10y + 4z = 11tinguin una recta en comu. Quines el vector director d’aquesta recta?

8.2 Posicions relatives

11. Determineu l’equacio de la recta que passa pel punt d’interseccio de les rectes 4x − 3y + 1 = 0 i2x + y − 7 = 0 i es perpendicular a la recta que passa pels punts(8, 0) i (0, 5).

12. Trobeu les equacions de la recta que passa pel punt(5, −1, 6) i es paral.lela a la recta

2x + 5y − z = 1

x − 2y + z = 6

}.

13. Trobeu l’equacio del pla que passa pel punt(1, 1, 2) i es paral.lel a les rectes

3x + 4y = 0

4x + z = 0

}i

2x − 2y = 4

y − z = −3

}.

67

14. Calculeu l’equacio implıcita del pla que conte la recta

x − 1

2=

y − 1

3= z

i es paral.lel a la recta que passa pels punts(2, 0, 0) i (0, 1, 0).

15. Calculeu l’equacio del pla que conte la recta d’equacions

x = 1 − λ

y = 2 + λ

z = −1 + 2λ

i es paral.lel a la recta

x − 1

2=

y − 3

1=

z + 1

2.

16. Calculeu l’equacio contınua i les equacions implıcites de la recta que passa pel punt(1, 0, −1) i es paral-lela als plans 3x + 2y − z = 1 i x − y + z = 0.

17. Calculeu l’equacio del pla que conte la recta

x − 1 =y − 2

3=

z

−1

i es paral.lel a la recta

x + z = 1

2y − z = 3

}.

18. Calculeu l’equacio contınua i les equacions implıcites de la recta que passa pel punt(1, 1, 2) i es perpen-dicular al pla que passa per aquest punt i conte la recta

x − 1

2=

y

3=

z + 1

2.

19. Calculeu l’equacio contınua i les equacions implıcites de la recta que passa pel punt(1, 2, −1), es paral-lela al pla 2x + y − z = 3 i es perpendicular a la recta

x = 3 − λ

y = 2 + λ

z = 1 − 3λ

.

20. Calculeu l’equacio contınua i les equacions implıcites de la recta que passa pel punt(−1, 1, 0) i es per-pendicular a les rectesy = 0, x = z i x + 3y = 2, y = z + 1.

68 Geometria lineal

21. Calculeu l’equacio contınua i les equacions implıcites de la recta que, passant pel punt(1, 1, 0), es per-pendicular al pla que passa per aquest punt i conte la recta

x =y − 1

3= z + 1 .

22. Calculeu l’equacio contınua de la recta que passa pel punt(1, −2, 2), es paralel.la al plax + y − 2z = 4 ies perpendicular a la recta

x + z = 3

y − 2z = 0

}.

23. Escriviu l’equacio del pla que conte a la recta definida perx+ y+z = 2, 2x− y+z = 0 i es perpendicularal pla d’equacio 2x + 2y − z =

√3.

24. Calculeua i b per tal que la rectaR d’equacio

x + a =y − 3

b=

z

3

estigui continguda en el plax + y + z = 2b. Amb aquests valors dea i b trobeu l’equacio contınua de larecta que passa pel punt(0, 0, −8), es perpendicular aR i esta continguda en el pla.

25. Calculeua i b per tal que la rectaR d’equacio

x − 2

a= y + b =

z

3

estigui continguda en el plaP d’equacio x + y − z = 2a. Amb aquests valors dea i b trobeu l’equaciocontınua de la recta que passa pel punt(2, 3, 1), es perpendicular aR i esta continguda en el plaP.

26. Estudieu la posicio relativa dels parells de rectes seguents (interseccio, paral.lelisme i angle que formen):

(a)x = z − 1

y = 2 − 3z

}i

x = 5z + 4

y = 4z − 3

}.

(b) x − 2 =y + 9

3=

z + 8

4i x − 1 = y + 2 = 13− z.

(c)x − 1

2=

y − 2

2=

z + 2

3i

x − 3

−2= 3 − y =

z + 1

2.

(d)x + 2y − 3z = 1

2x − z = 2

}i

3x + 2y − 4z = 4

x + 6y − 8z = 12

}.

27. Estudieu la posicio relativa dels parells de plans seguents:

69

(a) 2x + 3y − 5z = 7 i 3x + 2y + 3z = 1.

(b) 2x + 3y − 5z = 7 i x + y + z = −2.

(c) 3x + 2y + 3z = 1 i 6x + 4y + 6z = −5.

28. Estudieu la posicio relativa de la rectax = 3λ − 1

y = λ + 2

z = 2λ

i el pla que passa pels punts(1, 3, 2), (2, 0, 1) i (1, 4, 3).

29. Considereu la rectaR d’equacionsx + 2y − 2z = 1

x + 5y − z = 0

}i el pla P d’equacio 2x + y+αz = β. Per a quins valors deα i deβ es dona cada un dels casos seguents?

(a) La rectaR i la pla P es tallen en un punt.

(b) La recta esta continguda en el pla.

(c) La rectaes paral.lela (i exterior) al pla.

30. Considereu la famılia de plans que tenen equacio

(m − 1)x − 3my+ (2m + 2)z − m + 3 = 0 amb m ∈ R .

(a) Comproveu que tots els plans tenen una recta en comu.

(b) Calculeu l’equacio del pla perpendicular a aquesta recta que passa per(1, 2, −3).

31. (a) Trobeu el valor dea per tal que la rectaR definida per

x − y + a = 0

ax − z + 2 = 0

}sigui perpendicular a l’eixO Z.(b) Amb aquest valor dea, escriviu l’equacio contınua de la perpendicular comuna (secant) aR i a l’eixO Z.

32. Dos plans variables que passen per la recta definida per les equacionsx − y − 4 = 0, 2x − z − 7 = 0 esmantenen perpendiculars entre ells. Quan un d’ells passa per l’origen de coordenades, quinaes l’equaciode l’altre?

33. Siguin R1 i R2 les rectes definides per les equacions

x − 2

3=

y + 1

2=

z

ai

x − y + z = 1

2x + y − z = 2

}.

70 Geometria lineal

(a) Estudieu la posicio relativa deR1 i R2 en funcio del parametrea.

(b) Trobeu els valors del parametrea per als quals existeix un pla que conte aR1 i es perpendicular aR2 i, en cada cas, calculeu l’equacio d’aquest pla.

34. Estudieu en funcio del parametrea la posicio relativa de les rectes d’equacions

x − 3 =y

−2=

z − 1

ai

x − y + z = 1

2x + y − z = 2

}.

8.3 Projeccions ortogonals i simetries

35. Calculeu l’equacio de la recta que passa pel punt(4, −2) i pel simetric del punt(8, 3) respecte a la rectaR: 3x − y − 1 = 0.

36. Calculeu el simetric del punt(1, −1, 3) respecte a la recta

x = y − 1 =−z

3.

37. En cada un dels casos seguents calculeu el simetric del puntp respecte al plaP:

(a) p = (3, 4, −3) i P te equacio x + 3y − 2z + 7 = 0.

(b) P te equacio x + y + 2z − 6 = 0 i p es l’origen de coordenades.

38. Calculeu l’equacio contınua de la recta simetrica de la recta d’equacio

x − 1

2= −y + 3 =

z − 2

3

respecte al pla 2x − y + z − 1 = 0.

39. Calculeu la projeccio ortogonal de la recta

−x + 2 =y

2=

z − 2

1

sobre el plax − 2y + 5z + 18 = 0.

40. Els punts(2, −1, 3) i (−4, 3, 1) son simetrics respecte al plaP. Calculeu l’equacio deP.

41. Les rectes d’equacions

x − 1

5=

y

0=

z

2i

x + 2

3=

y − 2

−2=

z + 4

4

son simetriques respecte al plaP. Calculeu l’equacio d’aquest pla.

71

42. (a) Demostreu que siEu i Ev tenen la mateixa norma, el vectorEu + Ev forma el mateix angle ambEu que ambEv.(b) Comproveu que les rectes

x − 1

0= y =

z + 2

0i

2x − z − 4 = 0

2x − 2y + z + 6 = 0

}

es tallen i trobeu-ne les rectes bisectrius en forma contınua.

43. Establiu un criteri per determinar si dos punts donats es troben o no en el mateix semiespai dels dos quedefineix un pla. Apliqueu-lo als puntsp = (1, 1, 2) i q = (0, 1, 4) i al pla 2x + y − z + 2 = 0.

44. Una gota de mercuri de 2 mg. de massa cau verticalment,es a dir, paral.lelament a l’eixO Z, des del punt(2, 1, 20) fins a tocar el plax + y + z = 15, per on rellisca seguint la recta de maxim pendent. Trobeu elpunt on la gota arriba al plaO XY i l’equacio de la seva trajectoria en aquest darrer pla.Dades: gravetatg = 9.8 m/s2 i densitat del mercuri 13.6 g/cm3.

8.4 Distancies,arees i volums

45. Donats el puntp = (5, −7, 2), la rectaR d’equacionsx − 2 = y + 3 = −z i el pla P d’equacio2x + y + 3z = 0, calculeud(p, R), d(p, P) i d(R, P).

46. Considereu el puntp d’interseccio de les rectes

x = 2 + t

y = 2 + t

z = 4 + t

i3x − y + z = 5

x + y + z = 5

}

i el pla P que passa pel punt(3, 0, 0) i per la recta definida per les equacionsx + y − z + 1 = 0,2x + 3y + z − 2 = 0. Calculeu la distancia del puntp al pla P.

47. Calculeu la distancia entre els plansx − 3y + 4z = 2 i x − 3y + 4z = −4.

48. Calculeu la distancia entre les rectes

x − 1

2=

y + 2

3= z − 4 i x + 1 =

y − 1

2=

z

5.

49. Calculeu la distancia entre la rectax − 1

2=

y − 3

2=

z + 2

−3

i la recta que passa pels punts(0, 3, −1) i (1, 5, 1). Calculeu tambe l’equacio de la perpendicular comunaque les talla.

72 Geometria lineal

50. Donats el puntp = (1, 1, 2) i la rectaR d’equacio

x − 1

2=

y

3=

z + 1

2,

considereu el plaP determinat perp i R, i tambe la rectaSque passa perp i es perpendicular aP.

(a) Doneu l’equacio contınua deS.

(b) Calculeu la distancia deR a S.

51. Trobeu el valor dea per al qual la distancia entre les rectes

ax + y = 2a

(a + 2)x + y + 2z = 2a + 2

}i

x − 3

−1= y = z + 1

es maxima. Quinaes aquesta distancia?

52. Una avio es dirigeix a la pista d’aterratgez = 0 seguint la trajectoriax = 3 + t

y = 5 + 3t

z = 16− 2t

durant un cert interval de temps. Determineu l’instantt en que l’avio es troba mes a prop d’una carreterad’equacionsx + y − 10 = 0, z = 0 i calculeu a quina distancia de la carretera passa.

53. Trobeu els dos plans que passen per la recta definida per

x − 6 = 0

y − z = 0

}

i es troben a 2 unitats de distancia de l’origen de coordenades.

54. Els punts que equidisten de dos plans formen els anomenatsplans bisectors. Trobeu les equacions delsplans bisectors dex − 2y + z = 0 i 2x + y − z = 0.

55. Els punts(2, 3) i (−1, 4) son vertexs d’un triangle que te area de 4’5 unitats. Calculeu l’altre vertex sabentque esta situat sobre la rectay = −x + 8.

56. Calculeu l’area del triangle que s’obte en fer la interseccio del pla 2x − 3y + z = 0 amb el tetraedre quete els vertexs en els punts(1, −2, 1), (1, 2, −5), (4, −11, −5) i (1, −4, 1).

57. Els punts(5, 1, 5), (4, 3, 2) i (−3, −2, 1) son els vertexs d’un triangle rectangle. Calculeu la sevaarea ila longitud de la hipotenusa.

73

58. Calculeu l’area del triangle determinat per les projeccions ortogonals del punt(1, 5, −2) sobre els plans2x − y + z − 1 = 0, x + 2y + 3z + 23 = 0 i x − 2y + 5z = 41.

59. Els punts(2, −1, 0), (0, −1, −1), (1, 1, −3) i (3, 1, −2) son els vertexs d’un rectangle. Calculeu la sevaarea, el seu perımetre i la longitud de les diagonals.

60. Sabem que els punts(1, 1, 1), (7, 7, −2), (6, 9, 0) i (0, 3, 3) son vertexs consecutius d’un quadrilater.

(a) Demostreu que es tracta d’un rectangle.

(b) Trobeu-ne l’area, el perımetre i la longitud de les diagonals.

61. Donada la piramide de base el quadrat de vertexs en els punts(3, 3, −9), (7, 5, −5), (−1, 7, −7) i(3, 9, −3) i vertex superior(0, 0, 0), trobeu l’equacio del pla paral.lel a la base tal que la seva interseccioamb la piramidees un quadrat d’area 4.

62. Un tetraedre te els vertexs en els punts(1, 1, 1), (−2, 1, 0), (2, 3, −1) i (4, 6, −5). Calculeu el seu volumi la distancia del punt(−2, 1, 0) al pla determinat pels altres tres.

63. Els cinc vertexs d’una piramide estan situats en els punts(0, 3, 2), (1, 1, 6), (0, 0, 0), (2, 4, 0) i (2, 7, 2).

(a) Quins d’aquests cinc punts corresponen a la base, sabent que aquestaes un paral.lelogram?

(b) Calculeu el volum de la piramide.

64. D’entre tots els plans que contenen la recta

x + 2y = 6

z = 0

}

trobeu:

(a) Un pla que formi amb els eixos de coordenades un tetraedre de volum 9.

(b) El pla mes allunyat de l’origen de coordenades.

65. Determineu el volum d’un cub que te dues cares oposades situades en els plansx + 2y + 2z + 5 = 0 ix + 2y + 2z = 4.

66. Trobeu l’equacio d’un pla que passi per la recta definida perx + y = 3, z = 0 i talli els eixos decoordenades formant un tetraedre de volum 18.

74 Geometria lineal

8.5 Sistemes de referencia

67. Donats dos sistemes de referencia en el pla,

S1 = {p; Eu1, Eu2} i S2 = {q; Ev1, Ev2} ,

on p = (1, −2), Eu1 = (1, −1), Eu2 = (1, 1), q = (−3, 0), Ev1 = (2, 1) i Ev2 = (−1, 2), calculeu l’expressiodel canvi de coordenades deS1 aS2.

68. Calculeu l’equacio de la recta 2x − 3y = 2 en el sistema de referenciaS = {p; Eu1, Eu2}, on p = (2, 1),Eu1 =

15(3, 4) i Eu2 =

15(−4, 3).

69. Siguin p, q i r tres punts del pla no alineats. Donats els sistemes de referenciaS1 = {p;−→pq,

−→pr} iS2 = {r ;

−→rp,−→rq}, calculeu l’expressio del canvi de coordenades deS2 aS1.

70. Siguin p, q i r els vertexs d’un triangle en el pla. Trobeu les equacions de les tres medianes del triangleen el sistema de referenciaS = {p;

−→pq,−→pr}.

71. Siguin p, q, r i s els quatre vertexs d’un paral.lelogram en el pla, situats de manera que el segmentps esuna diagonal. Calculeu les equacions de les dues diagonals en el sistema de referenciaS = {p;

−→pq,−→pr}.

72. Demostreu, escollint un sistema de referencia adequat, que les tres altures d’un triangle es tallen en unpunt.

73. Calculeu les coordenades del puntq = (2, 1, −3) en el sistema de referenciaS = {p; Eu1, Eu2, Eu3}, onp = (−2, 1, 1), Eu1 = (2, 1, −1), Eu2 = (3, 2, 1) i Eu3 = (1, −1, −7).

74. Calculeu l’equacio del pla 2x + y + 3z = 2 en el sistema de referenciaS = {p; Eu1, Eu2, Eu3}, on p =

(1, 3, 1), Eu1 = (1, 3, 2), Eu2 = (−7, 1, −1) i Eu3 = (−1, 2, 1).

75. L’equacio d’un plaesx + y + z = 1. Calculeu l’equacio d’aquest pla en la referencia determinada pelpunt(1, 1, 1) i la baseB = {(−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1)}.

76. Siguin p, q, r i s els vertexs d’un tetraedre. Trobeu l’equacio del pla que passa pels puntsq, r i s en elsistema de referenciaS = {p;

−→pq,−→pr , −→ps}.

77. (a) Estudieu la posicio relativa del plax + 2y + 2z − 5 = 0 i la recta

x − 3 =y − 6

2=

z − 4

2.

(b) Trobeu un nou sistema de referenciaS = {p; Eu1, Eu2, Eu3} tal que p pertanyi a la recta anterior il’equacio del pla passi a serz′

= 0.

75

78. Considereu un cub de 6 m. de costat. Adapteu una referencia rectangular a la figura i calculeu la distanciaentre una diagonal del cub i la diagonal no concurrent amb ella d’una de les seves cares.

76 Geometria lineal

77

9Corbes i superfıcies de segon grau

9.1 Equacions de les coniques

1. Calculeu l’equacio de la parabola que te per focus el punt(2, −3) i per directriu la recta d’equacio 3x −

y + 2 = 0. Representeu-la graficament i escriviu la seva equacio canonica.

2. Calculeu l’equacio de l’el.lipse que te els focus en els punts(−2, −1) i (4, 1) i el semieix major igual a 4.Representeu-la graficament i escriviu la seva equacio canonica.

3. Calculeu l’equacio de la hiperbola que te els focus en els punts(2, 0) i (−2, 4) i el semieix real igual a 2.Representeu-la graficament i escriviu la seva equacio canonica.

4. Les rectes 2x + y = 3 i x − y = 0 son les asımptotes d’una hiperbola. Calculeu la seva equacio sabentque passa pel punt(1, −1).

9.2 Classificacio i elements geometrics

En els exercicis 5. a 8. d’aquesta seccio, indiqueu el tipus de conica i, en cada cas, calculeu els seus ele-ments caracterıstics (centre, vertex, eixos, equacio reduıda, asımptotes, etc.). Si la conicaes degenerada,calculeu les equacions de les rectes que la formen.

78 Corbes i superfıcies de segon grau

5. Estudieu les coniques seguents:

(a) x2+ 4xy + 4y2

− 54x − 8y + 129= 0.

(b) 4x2− 6xy − 4y2

− 14x − 2y + 1 = 0.

(c) x2− xy − 2y2

+ x + 7y − 6 = 0.

(d) 3x2+ 4xy − 6x − 4y − 1 = 0.


(a) 3x2− 2xy + 3y2

− 12x + 4y + 4 = 0.

(b) 4xy − 3y2+ 4x − 14y + 15 = 0.

(c) x2+ 2xy + y2

− 4x − 4y + 13 = 0.

(d) x2− 6xy + 9y2

− 126x − 22y − 31 = 0.


(a) x2+ 2xy + y2

− 4x − 4y + 4 = 0.

(b) 3x2+ 10xy − 8y2

+ 8x + 4y + 4 = 0.

(c) x2− 2xy + y2

− 4x − 12y + 20 = 0.

(d) x2+ 8xy + 16y2

+ 8x + 32y + 15 = 0.


(a) 5x2− 4xy + 8y2

+ 10x − 4y − 31 = 0.

(b) 16x2− 24xy + 9y2

+ 5x − 10y + 19 = 0.

(c) xy − x − 2 = 0.

(d) 10x2+ 6xy + y2

− 6x − 4y + 13 = 0.

(e) 3x2+ 2xy + 3y2

− 32 = 0.

9. Classifiqueu les coniques seguents:

(a) x2+ 2xy + y2

− 6x − 2 = 0.

(b) xy + 2x + y − 1 = 0.

10. Digueu quins parells de rectes formen cadascuna de les coniques degenerades seguents:

(a) x2+ 2xy + y2

− x − y = 0.

(b) x2− y2

− x − y = 0.

79

11. Classifiqueu segons els valors deλ les coniques d’equacio

λx2+ 2λxy + y2

− 2x − 2y + λ = 0 .

12. Classifiqueu segons els valors deλ les coniques d’equacio

(2 + λ)x2− y2

+ 4y − (1 + 3λ) = 0 .

13. Calculeu els valors det per als quals la conica d’equacio

x2+ 2t xy + y2

+ 2x + 2(1 + t)y + 1 = 0

es una parabola i, en cada cas, trobeu la seva equacio reduıda.

14. Trobeu els punts d’interseccio de la conica 2x2+ 9xy + 18y2

− 26x − 45y + 8 = 0 i la recta d’equacio2x + 3y − 4 = 0.

15. Trobeu els quatre vertexs de l’el.lipse 17x2+ 12xy + 8y2

+ 104x + 72y + 112= 0 i els dos vertexs dela hiperbolax2

− 6xy + y2− 2x + 6y + 17 = 0.

16. Calculeu l’equacio de la recta tangent a la conicax2− 3xy + 2y2

− 2x + 4y − 9 = 0 en el punt(1, 2).

17. Trobeu les tangents a la conicax2− 2xy + y2

+ 4x − 5y + 6 = 0 que passen pel punt(2, 7).

18. Trobeu les tangents a la conica 4x2− 3xy − 2y2

+ 2x − 3y − 10 = 0 que son paral.leles a la rectax − y + 5 = 0.

9.3 Problemes de llocs geometrics

En tots els exercicis d’aquesta seccio, si el lloc geometric obtingutes una conica, classifiqueu-la.

19. Siguin p = (2, 1) i q un punt variable sobre la rectay = 2x + 1. Calculeu l’equacio del lloc geometricde les interseccions de la recta que passa perp i q i la perpendicular apq que passa per l’origen.

20. Calculeu l’equacio del lloc geometric dels centres de les coniques

(1 + λ)x2− 2λy2

+ 6xy + 2λy − 1 = 0 .

21. Una circumferencia de radi variablees tangent a la rectay = 0 en el punt(−1, 0). Si R es la recta tangenta la circumferencia paral.lela a l’eix O X i S es la recta tangent a la circumferencia que passa per(1, 0),calculeu l’equacio del lloc geometric de les interseccions de les rectesR i S.


22. Calculeu l’equacio del lloc geometric dels punts tals que la seva distancia al punt(1, −3) es igual al doblede la seva distancia a la rectax + 2y − 1 = 0.

23. Calculeu l’equacio del lloc geometric dels baricentres dels triangles que tenen dos vertexs en els punts(−4, −2) i (6, 8) i el tercer sobre la circumferencia de centre(1, 3) i radi 4.

24. Siguin p un punt sobre la rectaR d’equacio x + 2y = 3 i p′ la seva projeccio ortogonal sobre l’eix de lesx. Calculeu l’equacio del lloc geometric de les interseccions de la recta perpendicular aR que passa perp i la circumferencia de centrep′ que passa per l’origen de coordenades.

25. Donats els puntsp = (−4, 0), q = (4, 0) i r sobre la circumferencia d’equacio x2+ y2

= 16, siguinm elpunt mitja del segmentqr i s el punt mitja del segmentpm. Calculeu l’equacio del lloc geometric formatpels puntss.

26. Sigui R una recta variable amb pendent igual al doble de l’ordenada a l’origen. Calculeu l’equacio dellloc geometric de les projeccions ortogonals del punt(−2, 3) sobre les rectesR.

27. Calculeu l’equacio del lloc geometric de les projeccions ortogonals del punt(3, 0) sobre les tangents a laparabolay = x2.

28. Trobeu l’equacio del lloc geometric dels centres de les el.lipses que tenen un vertex de l’eix principal al’origen de coordenades i un vertex de l’eix secundari en el punt(a, b).

9.4 Classificacio de quadriques

29. Calculeu l’equacio de l’esfera de centre(1, 2, 2) i radi 3.

30. Calculeu el centre i el radi de l’esfera d’equacio

x2+ y2

+ z2+ 4x − 2y + 1 = 0 .

31. Trobeu el centre i el radi de la circumferencia que resulta d’intersecar el plax +2y+2z = 8 amb l’esferax2

+ y2+ z2

− 2x + 2z = 16.

32. Estudieu les quadriques seguents:

(a) xy + xz− 1 = 0.

(b) 2xy + 2xz+ 2yz− 1 = 0.


81

(a) 5x2+ 5y2

+ 8z2− 4xy − 2xz+ 2yz− 8x + 2y − 14z + 5 = 0.

(b) x2+ y2

+ z2− 4xz− 4y + 2 = 0.


(a) 3y2+ 2xz+ 4x − 6y + 2z + 7 = 0.

(b) 8x2+ 5y2

+ 5z2− 4xy − 4xz+ 10yz− 36x − 6y + 42z + 21 = 0.

35. Comproveu que la quadrica d’equacio

x2+ 2xy − 2xz+ y2

− 2yz+ z2− 4 = 0

esta formada per plans i calculeu les equacions d’aquests plans.

36. Classifiqueu la quadrica d’equacio

x2− 2y2

+ αz2− 2xz+ 2yz+ 2x + 1 = 0

segons els valors del parametreα.

37. Classifiqueu la quadrica d’equacio

x2+ (a + 1)y2

− 2az+ 4(a − 1)y + 3 = 0

segons els valors del parametrea.

38. Donades l’esfera d’equacio x2+ y2

+ z2− 2x − 6y + 4z − 11 = 0 i la recta

x − 2

9=

y + 4

12=

z + 3

16,

trobeu els plans tangents a l’esfera que contenen la recta.

39. La circumferenciaC te centre(1, 1, 1) i radi 3 i esta situada en el pla d’equacio x + y + z − 3 = 0.Calculeu l’equacio del lloc geometric format per les rectes que passen pel punt(0, 0, 0) i per un punt dela circumferenciaC i classifiqueu la figura obtinguda.

40. Calculeu l’equacio del lloc geometric format pels punts de l’espai que equidisten de les rectesy = 0,z = 0 i z = 3, 2x − 3y = 0. Classifiqueu la figura.

41. Calculeu l’equacio del lloc geometric de les rectes tangents a una esfera de radiλ i centre(0, 0, 0) quepassen pel punt(0, 0, 5). Classifiqueu la quadrica obtinguda segons els valors deλ.

42. Calculeu l’equacio de la quadrica que s’obte fent girar la rectax = y = z al voltant de l’eix O X.Classifiqueu-la.


43. Calculeu l’equacio del cilindre engendrat per la rotacio de la recta d’equacionsx = 1, y = 2 al voltant del’eix O Z.

44. Calculeu l’equacio del lloc geometric dels centres de les esferes que passen pel punt(1, 2, −1) i son talsque la seva interseccio amb el plax − z + 2 = 0 es un circumferencia de radi donatλ. Classifiqueu laquadrica obtinguda.

83

10Questionari

Aquest questionari ha estat dissenyat amb la intencio de recordar als alumnes una serie de punts basics dela teoria als quals dediquen sovint menys atencio de la necessaria. Pensem que una bona comprensio delsfonaments teorics de l’assignaturaes la millor garantia per atacar i resoldre correctament els problemes.

Bona part de les questions provenen d’examens de l’actual Pla 93. Moltes d’elles nomes requereixenlocalitzar un o diversos punts de la teoria, mentre que les restants demanen uns moments addicionals dereflexio. Confiem que totes plegades constituiran un bon material complementari per als problemes i exer-cicis proposats en aquest llibre, pero hem cregut convenient no incloure les respostes perque desvirtuarienla intencio del questionari.

10.1 Sistemes d’equacions lineals

1. Enuncieu i demostreu el teorema principal dels sistemes homogenis.

2. De quins tipus pot ser un sistema d’equacions lineals amb tantes incognites com equacions? I un sistemaamb mes equacions que incognites?

3. Enuncieu i demostreu el teorema de Rouche-Frobenius.

4. Com pot variar el tipus d’un sistema d’equacions lineals canviant nomes els termes independents? I si estracta d’un sistema amb tantes incognites com equacions?

84 Questionari

5. Es possible que un sistema d’equacions lineals amb tots els coeficients i termes independents reals tinguisolucions complexes? I quenomestingui solucions complexes? (Entenem persolucio complexaaquellaon no totes les incognitesxi tenen valors reals.)

10.2 Matrius i determinants

6. Expliqueu quins son els tres defectes principals del producte de matrius quadrades. Poseu exemples 2×2per il.lustrar-los.

7. Definiu matriu regular i digueu que sabem del seu rang i del seu determinant.

8. Demostreu que siA, B i C son matrius quadrades tals queAB = C, i C es regular, aleshoresA tambe esregular. Es pot dir el mateix deB?

9. Demostreu que siA es regular iAB = AC aleshoresB = C.

10. Si A i B son matrius regulars del mateix ordre, demostreu queAB es regular i que(AB)−1= B−1A−1.

11. Escriviu dues matrius 2× 2 no nul.les, A i B, tals queAB = 0.

12. Existeix alguna matriu quadrada no nul.la A tal queAAt= 0?

13. Aplicant la propietat(AB)t= Bt At , demostreu que tota matriu de la formaAAt es simetrica, i que siA

es simetrica aleshoresCt AC tambe es simetrica.

14. Una matriu quadradaA esantisimetrica si At= −A. Demostreu que siA es antisimetrica i d’ordre 3

aleshores det(A) = 0. Generalitzeu aquesta afirmacio.

15. Determineu quantes arrels quadrades admeten la matriu unitatI i la matriu nul.la 0 d’ordre 2 (A es unaarrel quadradade B si A2

= B). Preciseu en cada cas quantes son diagonals.

16. Definiu matriu ortogonal i digueu que sabem del seu determinant i de la seva inversa. Quinaes la inversad’una matriu ortogonal i simetrica?

17. Enuncieu les propietats dels determinants relatives al producte i a la transposicio de matrius.

18. Si A i B son matrius 2× 2 tals que det(A) = 4 i det(B) = 2, calculeu det(3A−1B2).

19. Si B es una matriu regular iAt B A = B, determineu quins valors pot tenir det(A).

85

20. Citeu tres aplicacions interessants dels determinants.

21. Sabent quea, b, c i d son nombres reals diferents de zero, determineu el rang de la matriu

A =

(ab

) (c d

).

10.3 Espais vectorials

22. Si uns quants vectors son linealment dependents, en quin cas es pot assegurar quecadascun d’ellsescombinacio lineal dels altres? En quin casnomes un d’ellsho es?

23. Donat un conjunt de vectors, n’hi ha prou amb veure que un d’ells noes combinacio lineal dels altres perassegurar que tots plegats son linealment independents?

24. Es cert que donatsn + 1 vectors deRn sempre podem escollir-nen que formin base?

25. Com son els vectors columna d’una matriu regular? I els vectors fila?

26. Definiu sistema de generadors deRn. Definiu conjunt de vectors linealment independents.

27. Poseu un exemple de sistema de generadors deR3 linealment dependents i un exemple de conjunt lineal-ment independent de vectors deR3 que no generinR3.

28. Enuncieu i demostreu el teorema de les bases.

29. Definiu els conceptes de dimensio d’un espai vectorial, rang d’un conjunt de vectors i rang d’una matriu.

30. Definiu subespai vectorial.

31. Si un subespaiS deR5 queda definit per un sistema de 4 equacions lineals homogenies de rang 3, quinaes la dimensio deS?

32. Si un subespaiSdeRn admet un sistema de generadors ambk vectors, i el rang de la matriu formada peraquestsk vectorsesr , quinaes la dimensio deS?

33. Si un subespaiSdeRn esta definit per un sistema dem equacions lineals homogenies, i el rang del sistemaesr , quinaes la dimensio deS?

34. Si S es un subespai deRn definit per un sistema dem equacions lineals homogenies, id es la dimensiodeS, digueu quines el rang del sistema.

86 Questionari

35. Demostreu que siS es un subespai deT i dim(S) = dim(T) aleshoresS = T .

36. (a) Les matrius quadrades d’ordre 6 tals que la suma dels coeficients de cada columnaes 0 formen unsubespaiSde M6×6(R). Calculeu la dimensio deS.(b) Feu el mateix amb les que tenen zeros a tota la diagonal principal i amb les de traca nul.la (la tracad’una matriu quadradaes la suma dels coeficients de la diagonal principal).

37. (a) Calculeu la dimensio de l’espai vectorial format per les matrius quadrades simetriques d’ordre 5.(b) Calculeu la dimensio de l’espai vectorial format per les matrius antisimetriques d’ordre 4.(c) Generalitzeu els resultats anteriors al casn × n.

38. (a) Buscant la dimensio d’un espai vectorial, un company vostre ha trobat 4 vectors linealment indepen-dents, i un altre company ha trobat un sistema de generadors amb 5 vectors. Que els podeu dir?(b) I si el primer ha trobat 5 vectors linealment independents que no formen sistema de generadors i elsegon un sistema de generadors format per 7 vectors linealment dependents?(c) I si l’un ha trobat 5 vectors linealment independents i l’altre ha trobat un sistema de generadors amb 4vectors?

39. Definiu la interseccio i la suma de dos subespais vectorials. Expliqueu en quines condicions diem que lasuma de dos subespaises directa.

40. Escriviu la formula de Grassmann. Expliqueu que se’n dedueix en el cas de suma directa.

41. Si S i T son subespais tals que dim(S) = dim(S+ T), que podem dir deT i S∩ T?

42. Si S i T son subespais deR5 de dimensions respectives 3 i 4, quines son les possibles dimensions deS∩ T?

43. Digueu tots els casos en els que dos subespais no trivials deR3 formen suma directa. En quins d’aquestscasos son suplementaris?

44. Expliqueu el significat de la matriu d’un canvi de base

(Rn,B′)C

−−−−−−−−→ (Rn,B)

i preciseu de quina manera relaciona els dos sistemes de components d’un vector generic.

45. Suposem queB1 = {u1, u2, u3} i B2 = {v1, v2, v3} son bases deR3 i que el canvi de basees

(Rn,B2)C

−−−−−−−−→ (Rn,B1) C =

1 2 12 0 −1

−1 1 0

.

Indiqueu les components deu1 en la baseB2 i les components dev2 en la baseB1.

87

46. No es difıcil que un vector tingui les mateixes components en dues bases diferents (per exemple, el vector0 te les mateixes components en totes les bases). Si aR2 cadascun dels vectorsu1 i u2 te les mateixescomponents en les basesB1 i B2, en quin cas podem afirmar queB1 = B2?

47. Si coneixem les matrius dels canvis de base

(Rn,B1)C1

−−−−−−−−→ (Rn,B) i (Rn,B2)C2

−−−−−−−−→ (Rn,B)

expliqueu com trobem la matriu del canvi de base

(Rn,B2)C

−−−−−−−−→ (Rn,B1) .

10.4 Estructura euclidiana deRn

48. Definiu angle no orientat entre vectors no nuls deRn.

49. Enuncieu i demostreu el teorema de Pitagores aRn.

50. Enuncieu la desigualtat de Schwarz.

51. Demostreu que siu i v tenen la mateixa norma aleshores aquests vectors formen el mateix angle ambu + v.

52. Existeix algun vectoru ∈ R3 que formi amb els vectors de la base canonica angles de 60◦, 60◦ i 45◦

respectivament? En cas afirmatiu, trobeu-ne un amb‖ u ‖ = 2.

53. Quines son les propietats caracterıstiques del producte vectorial de dos vectors linealment independentsui v?

54. Calculeu un vector unitariw ortogonal au = (1, 1, −1) i v = (0, 1, 1). Quantes solucions hi ha?

55. Demostreu que tot subespai no nul deRn admet bases ortonormals.

56. Demostreu que els vectors ortogonals a un subespaiSdeRn formen un subespaiS⊥ quees suplementarideS. Demostreu tambe que(S⊥)⊥ = S.

57. Si u ∈ Rn i H es un subespai deRn, que ha de complir un vectoru′∈ H per ser la projeccio ortogonal

deu sobreH? Expliqueu en quin sentit es diu que la projeccio ortogonalu′ es la millor aproximacio audins deH .

58. Conservant les notacions de la questio anterior, siu′′ es la projeccio ortogonal deu sobreH⊥, relacioneuels vectorsu, u′ i u′′. I si u∗ es el simetric deu respecte al subespaiH , relacioneu els vectorsu, u′ i u∗.

88 Questionari

59. Si u′ es la projeccio ortogonal d’un vectoru ∈ Rn sobre un subespaiH deRn, digueu on ha de trobar-seu en les casos seguents:

(a) Si u′= 0.

(b) Si u′= u.

60. Quina condicio satisfan els vectors columna d’una matriu ortogonal? La compleixen tambe els vectorsfila?

61. Expliqueu breument el metode dels mınims quadrats. A partir de les dades, com sabem si la solucio esunica?Expliqueu que es l’error quadratic i especifiqueu quina relacio hi ha entre els errors quadratics de lessolucions quan n’hi ha mes d’una.

62. Si un sistema d’equacions linealses compatible, quina relacio hi ha entre les seves solucions (exactes) iles que surten en aplicar el metode dels mınims quadrats (aproximades)?

10.5 Transformacions lineals

63. La revista “Trafico” de marc de 1994 deia que un Seat Ibiza costava a Alemanya un 23% mes que aEspanya, i que a Portugal costava un 18% menys que a Espanya. La revista deduıa que un Seat Ibizacostava a Alemanya un 41% mes que a Portugal. Es correcta aquesta deduccio? Quina relacio te aquestapregunta amb les transformacions lineals?

64. Definiu transformacio lineal.

65. Enuncieu el teorema de caracteritzacio de les transformacions lineals.

66. Es cert que la imatge d’un conjunt de vectors linealment independentses un conjunt linealment indepen-dent?

67. Es cert que les imatges dels vectors d’una base del primer espai formen una base del segon espai? Formenuna base del subespai imatge?

68. Enuncieu la relacio fonamental entre dimensions per a qualsevol transformacio linealT : Rn−→ Rm.

69. Si T es un endomorfisme deRn, demostreu que Nuc(T) es un subespai de Nuc(T2), mentre que Im(T2)

es un subespai de Im(T).

70. Demostreu que siT es un endomorfisme tal queT2= 0 aleshores Im(T) es un subespai de Nuc(T).

89

71. Quina condicio ha de complir l’endomorfismeT : R4−→ R4 per tal que existeixi un subespaiH de

dimensio 3 tal que dimT(H) = 1?

72. Demostreu que si Nuc(T) = {0}, aleshores la transformacio linealT es injectiva.

73. Si u1, u2, . . . , ur son vectors linealment independents deRn i tenim una transformacio lineal injectivaT : Rn

−→ Rm, que es pot dir dels vectorsT(u1), T(u2), . . . , T(ur )?

74. Si T : Rn−→ Rp es una transformacio lineal injectiva, que es pot dir de les dimensionsn i p? I si T es

exhaustiva?

75. Si T es una transformacio lineal bijectiva deRn a Rm, determineu les dimensions de Nuc(T) i de Im(T)

i demostreu quen = m.

76. Demostreu que un endomorfismees una transformacio injectiva si, i nomes si,es exhaustiva.

77. Si T : R4−→ R3 es una transformacio lineal, A es la seva matriu en les bases canoniques i sabem

que rang(A) = 3, digueu si la transformacio T es injectiva o exhaustiva. La mateixa pregunta siesT : R3

−→ R4 i rang(A) = 3.

78. Si A i B son matrius quadrades d’ordren, relacioneu rang(AB) amb rang(A) i rang(B). (Indicacio:penseu queA, B i AB representen endomorfismes deRn.)

79. Suposem queA i B son matrius quadrades d’ordren tals queAB = 0. Si rang(A) = r , quins valors pottenir el rang deB? I si A es regular? (La mateixa indicacio que a la questio anterior.)

80. Si T es un endomorfisme iH un subespai deRn, en general tenim dimT(H) 6= dim(H). Poseu exemplesno trivials on es compleixin la igualtat i la desigualtat estricta, i relacioneu la dimensio deT(H) amb lesdimensions deH i de H ∩ Nuc(T).

81. Definiu matriu associada a una transformacio lineal respecte de dues bases donades.

82. Escriviu la formula del canvi de base de la matriu d’un endomorfisme explicant el significat de cadascunade les matrius que hi intervenen.

83. Si T : Rn−→ Rn es un endomorfisme del que coneixem la matriuA′ en una baseB′ i

(Rn,B′)C

−−−−−−−−→ (Rn,Bc)

es la matriu del canvi deB′ a la base canonica, escriviu la matriuA deT en la base canonica en funcio deA′ i C.

90 Questionari

84. Demostreu que el determinant de la matriu d’un endomorfisme no varia quan fem un canvi de base.

85. Expliqueu les dues situacions on apareixen matrius ortogonals.

86. Demostreu que el determinant de la matriu d’una isometria nomes pot ser±1.

10.6 Diagonalitzacio

87. Demostreu que el polinomi caracterıstic d’una matriu no varia en fer un canvi de base.

88. Definiu vector propi i valor propi d’un endomorfisme.

89. Demostreu que tota combinacio lineal de dos vectors propis del mateix valor propies tambe un vectorpropi. Amb quin valor propi?

90. Demostreu que siv es vector propi tant de l’endomorfismeT com de l’endomorfismeS, aleshoresv tambees vector propi de l’endomorfisme compostSB T . Amb quin valor propi?

91. Si α es un valor propi de l’endomorfismeT amb multiplicitatm, que podem dir del nombre de vectorspropis independents de valor propiα?

92. Demostreu que si dos vectors no nulsu i v son vectors propis d’un endomorfismeT amb valors propisrespectiusα 6= β aleshoresu i v son linealment independents.

93. Si α es un valor propi d’un endomorfismeT , demostreu queα2 es valor propi de l’endomorfismeT2.

94. Quins son elsunics valors propis possibles d’una isometria? Descriviu els valors propis de cada isometriadel pla i de l’espai tridimensional.

95. Definiu matriu simetrica i digueu en quines condicionses diagonalitzable.

96. Sigui w = (a, b, c) un vector no nul deR3. Escriviu la matriu en la base canonica de l’endomorfismeTdeR3 definit perT(u) = w ∧ u i digueu siT es diagonalitzable.

97. Demostreu que tota matriu real simetrica 2× 2 admet dos valors propis reals diferents o be es multiple dela matriu unitatI . Deduıu-ne el teorema espectral per an = 2.

98. Enuncieu el teorema espectral. Expliqueu en que consisteix la diagonalitzacio ortogonal d’una matriusimetrica.

91

99. Sigui P una projeccio ortogonal sobre un pla deR3. Quins son els seus valors propis? Quina multiplicitatte cada valor propi? I siP es una projeccio ortogonal sobre una recta deR3?

100. (a) Poseu un exemple de matriu 3×3 amb coeficients reals no diagonalitzable sobreR pero sı sobreC.(b) Poseu un altre exemple de matriu 3×3 que no sigui diagonalitzable sobre els reals ni sobre els com-plexos.

101. Que podem dir de dos vectors propis de valor propi diferent d’una matriu de coeficients reals? I si lamatriu es simetrica?

102. Digueu totes les isometries del pla que admeten vectors propis no nuls. Per a cada una, descriviu elsvectors propis i els corresponents valors propis.

103. Digueu una condicio necessaria pero no suficient per tal que una matriuA ∈ Mn×n(R) sigui diagonalit-zable sobreR. Digueu tambe una condicio suficient pero no necessaria.

104. Determineu els girs deR2 que son endomorfismes diagonalitzables sobreR.

105. Expliqueu les dues causes que poden fer que una matriuA de coeficients reals no sigui diagonalitzablesobreR.

106. Digueu sies cert el raonament seguent: tota matriu diagonalitzable admet una base ortonormal de vectorspropis; per obtenir aquesta basees suficient aplicar el metode de Gram-Schmidt a una base qualsevol devectors propis.

107. Si A es la matriu en la base canonica d’una simetria plana deR3, expliqueu quin tipus d’isometria repre-senta la matriu−A.

108. Si G es un gir del pla iSuna simetria axial, quin tipus d’isometriaesSB G?

109. Quins son els dos tipus d’isometries del plaR2 i com es distingeixen segons la seva matriu en la basecanonica?

110. Si Sx i Sy son les simetries axials deR3 d’eixos O X i OY, escriviu la matriu deSy B Sx i digueu quinaisometria representa.

111. Si A es la matriu d’un endomorfismeT de R3 en la base canonica, expliqueu quines condicions ha decomplir A per tal queT sigui:

(a) Una rotacio.

(b) Una simetria plana.

92 Questionari

(c) Una simetria axial.

112. Si T es una isometria deR3 i A es la seva matriu en la base canonica, digueu quin tipus d’isometriaesTen cada un dels casos seguents:

(a) A es simetrica i det(A) = 1.

(b) A no es simetrica i det(A) = 1.

(c) A es simetrica i det(A) = −1.

10.7 Tensors i formes quadratiques

113. Que diu la llei d’inercia? Expliqueu que son elsındexs d’inercia d’una forma quadratica i quinaes lamanera de calcular-los.

114. Per a que serveixen elsındexs d’inercia?

115. Enuncieu el teorema de caracteritzacio matricial dels tensors.

116. Enuncieu el criteri de Sylvester.

117. Demostreu que dos tensors diferents no poden definir la mateixa forma quadratica.

10.8 Geometria lineal

118. Amb les equacions de dos plans que defineixen una rectaR i la d’un tercer plaP formem un sistemad’equacions lineals 3×3. Descriviu la posicio relativa deR i P segons el rang del sistema.

119. Ajuntem les equacions de dues parelles de plans que defineixen respectivament les rectesR i R′, formantun sistema de quatre equacions lineals amb tres incognites. Descriviu la posicio relativa deR i R′ segonsel rang del sistema.

120. Definiu paral.lelisme i perpendicularitat entre varietats lineals.

121. Si la distancia entre dues varietats linealses 0, que podem dir de la seva interseccio?

10.9 Corbes i superfıcies de segon grau

122. Definiu com a lloc geometric l’el.lipse, la hiperbola i la parabola.

93

123. Quines condicions han de complir els coeficients de la conica

ax2+ 2bxy+ cy2

+ 2dx + 2ey+ f = 0

per tal que sigui una circumferencia?

124. Que es una conica degenerada? Com es coneix a partir de l’equacio?

125. Definiu esfera com a lloc geometric. Com son entre si el pla tangent a una esfera en un dels seus punts iel vector que uneix el centre amb aquest punt?

94 Questionari

95

11Solucions dels problemes

11.1 Sistemes d’equacions lineals

1. a) Incompatible.b) Compatible indeterminat,x = z + 2, y = −z + 1, u = 2.c) Compatible determinat,x = 1, y = 0, z = −2, t = −1.

2. a) Compatible indeterminat,x =3z

7, y =

5z

7.

b) Incompatible.

c) Compatible determinat,x = −21

5, y = 2, z =

12

5.

3. a) Incompatible.b) Compatible indeterminat,x = 0, y = −z.

4. a) Compatible indeterminat,x =4 − z

3, y =

2z + 1

3.

b) Incompatible.

5. a) Compatible determinat,x = 9, y = −2, z = 5.b) Compatible determinat,x = 2, y = 5, z = 3.

c) Compatible indeterminat,x =9z − 2

7, y =

8z + 13

7.

6. a) Incompatible.b) Compatible indeterminat,x = −y − 2, z = 3.c) Compatible indeterminat,x = −y + 2, z = 1.

96 Solucions dels problemes

7. a) Incompatible.b) Incompatible.c) Compatible determinat,x = 8, y = −6.

8. Un possible sistema i la seva solucio general son

7x + y + 10t = 0

−6x + z − 8t = 0

}i y = −7x − 10t, z = 6x + 8t .

9. a) x =ed− f c

ad − bc, y =

a f − be

ad − bc.

b) x = −a

2bc, y =

1

2c, z =

1

2b.

10. a) Compatible determinat,x = 3, y = 1, z = 1.b) Compatible determinat,x = 1, y = 2, z = −2.

11. a) Compatible indeterminat.x = y − t , z = −2y + 2t .b) Compatible indeterminat.x = 2z, y = −z.

12. a) Compatible indeterminat,x =z + t − u

5, y =

3z + 3t − 3u

5.

b) Compatible indeterminat,x = 2y − z, t = 1.c) Incompatible.

13. a) Incompatible.b) Compatible indeterminat,x = z + 2, y = −z + 1, u = 2.c) Compatible determinat,x = 1, y = 0, z = −2, t = −1.

14. a) Compatible indeterminat,x =3z

7, y =

5z

7.

b) Incompatible.

c) Compatible determinat,x = −21

5, y = 2, z =

12

5.

15. a = 4, b = 10.

16. Si a = −2, el sistemaes incompatible. Sia 6= −2, es compatible indeterminat i la solucio es

x = −(a + 2)y − 2a

2(a + 2), z =

−2

a + 2.

17. a) t 6= 0 i 1. La solucio esx =t

t − 1, y =

1

1 − t, z =

t

t − 1.

b) t = 0. La solucio generalesx = 1 − y, z = 0.c) t = 1.

18. Si a = 1 es incompatible. Sia 6= 1 es compatible determinat, i la solucio es

x =a3

+ a2− 1

a − 1, y =

a

1 − a, z = −a2

− a .

19. Si a 6= ±2 es incompatible. Sia = 2 es compatible indeterminat, i la solucio esx =12−4z

3 , y =3−z

3 .Finalment, sia = −2 es compatible determinat, i la solucio esx = 4, y = 1, z = 0.

20. a) Si α 6= 1 i 2, compatible determinat. La solucio es x = 0, y = 0, z = 0. Si α = 1, compatibleindeterminat. La solucio esx = −y + z. Si α = 2, compatible indeterminat. La solucio esx = −z,

97

y = z.b) Siα 6= 0 i 1, compatible determinat. La solucio es

x =2α2

− 3α + 2

α − 1, y =

α + 1

2, z =

2α − 3

α2 − α.

Si α = 0, incompatible. Siα = 1, compatible indeterminat. La solucio esx =8

3− z, y =

5

6.

c) Siα 6= 3, incompatible. Siα = 3, compatible indeterminat. La solucio esx =−z + 11

2, y =

z − 5

2.

21. a) Sia 6= −2 i 1, i b 6= 0, compatible determinat. La solucio es

x =a − b

(a + 2)(a − 1), y =

ab+ b − 2

b(a + 2)(a − 1), z =

a − b

(a + 2)(a − 1).

b) Sib = 0, incompatible.c) Sia = −2 i b 6= −2, incompatible.

d) Sia = −2 i b = −2, compatible indeterminat. La solucio esx = z, y =−z − 1

2.

e) Sia = 1 i b 6= 1, incompatible.f) Si a = 1 i b = 1, compatible indeterminat. La solucio esx = 1 − y − z.

22. a) Sia = 3 i b = 2, compatible indeterminat. La solucio esx = 2 + z, y = −3 − 4z.b) Sia 6= 3 i b = 2, compatible determinat. La solucio esx = 0, y = 5, z = −2.c) Sib 6= 2, incompatible.

23. p(x) = −3x3+ 20x2

− 43x + 33 .

24. S’ha de combinar el 60% de A, el 20% de B i el 20% de C.

25. Es fabriquen 3 unitats del primer producte i 1 unitat de cada un dels altres tres productes.

26. a) 0≤ x ≤ 3, 0≤ y ≤ 3 i 5/3 ≤ z ≤ 8/3, onx, y i z representen els kg. de I, II i III, respectivament.b) Entre 550 i 2200 pts/kg.

27. a) Amb 12 monedes, 2 a la primera pila, 3 a la segona i 7 a la tercera.b) El nombre total de monedes ha de ser multiple de 12.

28. Si a, b i c son els partits guanyats, empatats i perduts, respectivament, tenim quea = x − y, b = 3y − 2xi c = 38+ x − 2y.

29. 4 i 3.

30. El nombre era 1 i la solucio x = 3, y = 1, z = 1.

31. La primera aixeta en 6 hores, la segona en 3 i la tercera en 6.

32. Una aixeta A l’omple en 4 hores, una B en 6 i un desguas el buida en 3 hores.

33. p(x) = x2− 10x + 1.

34. a) y = p(x) = 0.2x2+ 0.4x + 5.

b) p(0.5) = 5.25 i p(1.5) = 6.05.c) y = 6.368 quanx = 1.8.c) y = 7.25 quanx = 2.5.


11.2 Matrius i determinants

1. a) 4ab. b) 1. c) 0.

2. a) 40. b) 5. c) 4.

3. a) x = 2, x = 3. b)x = 0, x = 1. c)x = 1, x = 2, x = 3.

5. a) 4. b) 0. c) 12.

6. a)−8. b)−3. c) 4. d)−6.

7. a) 2. b) 3. c) 2. d) 2.

8. a) 2. El menor format per les files 1 i 2 i les columnes 1 i 2.b) 3. El menor format per les files 1, 2 i 3 i les columnes 1, 2 i 3.c) 2. El menor format per les files 1 i 2 i les columnes 2 i 3.d) 2. El menor format per les files 1 i 2 i les columnes 1 i 2.

9. a) Siα 6= 1, el ranges 3. Siα = 1, el ranges 1.b) Siα 6= 0 i 1, el ranges 3. Siα = 0 o 1, el ranges 2.c) a) Siα 6= 0, el ranges 3. Siα = 0, el ranges 2.

10. a) Sia 6= −2 i 1, el ranges 3. Sia = −2 i b 6= −2, el ranges 3. Sia = −2 i b = −2, el ranges 2. Sia = 1 i b 6= 1, el ranges 2. Sia = 1 i b = 1, el ranges 1.b) Si 0 6= a 6= b i 0, el ranges 3. Sia = b, el ranges 1. Sia = 0, el ranges 1.

11. Son regulars les matriusb, c, i d. Les seves inverses son:

b)1

2

1 −1 10 0 21 1 −1

; c)1

8

8 0 8−6 2 −2−3 1 −5

; d)

3 −1 −1 0

−2 1 1 01 2 1 −1

−2 −2 0 1

.

12. Les inverses son:

A−1=

1

3

5 −2 −1−3 3 0

1 −1 1

; B−1=

1 2 −11 −1 0

−1 −1 1

; C−1=

1

4

−2 −1 50 2 −22 −1 1

.

13. a)λ 6= −1/3. b)λ 6= 0 i 1. c)λ 6= −2 i 1.

14. a) “ONNAO,N−T−NE−ECN−RSE”.b) “AIX O MOLA CANTIDUBI, TIO! ”.

15. (A + B)C =

(0 −3

18 17

), C AC =

(−6 −3

9 −6

), AC2

=

(−15 −12

9 3

), B3

=

(−11 19−38 46

).

16. En general,(A+ B)2= A2

+ AB+ B A+ B2 i (A+ B)(A− B) = A2− AB+ B A− B2. Es compleixen

les igualtats de l’enunciat si, i nomes si,A i B commuten, es a dir,AB = B A.

17. C =

(4 1

−5 0

).

18. C =

(6 43 −3

).

99

19. A10=

(−19 −10

40 21

).

20. A12= 1365A + 1366I .

21. A−1=

3

2I −

1

2A.

22. (AB)t= Bt At

=

3 4 11 2 −1

−1 0 −32 2 2

.

23. a)

y1y2y3

=

2 3 −1 11 2 1 03 −1 5 −2

x1x2x3x4

.

b)

(z1z2

)=

(1 1 −26 0 4

) y1y2y3

.

c)

{z1 = −3x1 + 7x2 − 10x3 + 5x4

z2 = 24x1 + 14x2 + 14x3 − 2x4

24. X =1

2

(6 8

10 7

).

25. X =

(−1 3

1 1

).

26. X =

(1 − 2α 2 − 2β

α β

), ambα , β ∈ R arbitraris.

27. En general,X = AB A−1. Amb les matrius de l’enunciat,

X =1

3

(−5 16−4 11

).

28. a) Noes regular perque det(A) = 0.

b) X =

2 − x 3 − y 3 − zx −2 + y −1 + zx y z

, ambx, y, z ∈ R arbitraris.

c) Com queA no es regular, podem prendreC = I .

29. No te solucio.

30. X = At (C−1)t Bt=

(0 −22 6

).

11.3 Espais vectorials

1. a = −1 i b = −3.


2. a =−1517 , b =

2017. Aleshores,w =

174 u −

34v.

3. a = −11

4.

4. a i c linealment independents.b linealment dependents.

5. Es compleix quea − 2b + 2c − d = 0. D’aquesta relacio es pot aıllar qualsevol dels quatre vectors.

6. No es una contradiccio, ja que si quatre vectors son linealment dependents un, com a mınim, es potposar com a combinacio lineal dels altres, pero no es cert en general que cada un es pugui posar com acombinacio lineal dels altres.

7. a, c i d son bases deR3.

8. En la basea esu = (19, −9, −3), en la basec esu = (−7, −5, −14) i en lad esu = (19, 6, 8).

9. Els vectors(4, 2, 3), (0, 4, −3) i (4, −2, 1) formen base deR3.

10. Les components son (x + y

2,

x − y

2).

11. a = 1 i b = 2.

12. a = −4 i b = 7.

13. F =

⟨ (1 00 1

),

(1 −12 0

) ⟩.

14. a) F =

⟨ (1 00 1

),

(2 1

−3 −2

) ⟩.

b) Sı, per induccio.

15. {(5, 3, −1, 2), (1, 0, 3, 2), (2, 1, −2, 4), (1, −2, 0, 3)}.

16. Si a 6= 0, 1,S te dimensio 4. Sia = 0, la dimensio es 2 i, sia = 1, la dimensio es 3.

17. Son subespaisE2, E4 i E5. Aleshores:E2 = 〈(−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)〉.E4 = 〈(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)〉.E5 = 〈(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)〉.

18. a) 4x − 5y − 2z = 0.b) 13x − 2y − 5z = 0, x − y − t = 0.c) 3x + 11y − 4z + 5t = 0.

19. a) F1 = 〈 (1, −1, 1, 0), (1, 1, 0, 1) 〉. x − z − t = 0 i x + y − 2t = 0.b) F2 = 〈 (2, 3, −1), (1, 2, 2) 〉. 8x − 5y + z = 0.c) F3 = 〈 (1, 1, 1), (−2, 1, 2) 〉. x − 4y + 3z = 0.d) F4 = 〈 (1, −2, −2), (1, −1, −2), (1, 0, −1) 〉 = R3. No te equacions implıcites.e) F5 = 〈 (1, −1, 1, −1, 1), (1, 1, 0, 0, 3) 〉. Equacions:

x − y − 2z = 0

x − y + 2t = 0

2x + y − u = 0

.

101

20. a) 〈 (1, 0, 2), (0, 1, 3) 〉.b) 〈 (3, −2, 1) 〉.c) 〈 (13, 8, −11) 〉.d) El subespaies{ E0} i no hi ha base.

21. a) 〈 (3, −2, 1, 0), (7, −3, 0, 1) 〉.b) 〈 (−3, −2, 3, 0), (−1, 0, 0, 1) 〉,c) 〈 (0, 1, 2, 0), (−2, 1, 0, 2) 〉.

22. a) 3. b) 2. c)S = 〈b, d〉 = 〈b, e〉 = 〈d, e〉.

23. dim(S) = 2, {b, d}, {b, e} i {d, e} son bases deS i les seves equacions implıcites son

x + y + z = 0

x + y + t = 0

}.

24. dim(H) = 2. Siu1 = 2a + b i u2 = a − b, B = {u1, u2} es una base deH i a =13 u1 +

13 u2.

25. a) dim(S∩ T) = 1 i S∩ T = 〈(1, 1, 1, 1)〉.b) dim(S+ T) = 3 i S+ T : x − y − z + t = 0.

26. a) F = 〈 (1, −2, 0, 3), (2, 1, −2, 4), (0, 2, −1, 1) 〉 i te equacio implıcita 5x + 4y + 9z + t = 0.G = 〈 (1, 0, 2, −1), (2, −3, 0, 1) 〉 i te equacions implıcites 6x+4y−3z = 0, x+y+t = 0. Les equacionsimplıcites deF ∩ G son la reunio de les equacions implıcites deF i G. F ∩ G = 〈 (45, −66, 2, 21) 〉.F + G = R4.b) F te equacio implıcita x − y − z = 0 i G = 〈 (1, 0, 1), (0, 1, 1) 〉. F + G = R3. F ∩ G = 〈(1, 0, 1)〉 ite equacions implıcitesx = z, y = 0.c) F+G = G = 〈 (0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) 〉. F∩G = F i te equacions implıcitesx−y+t = 0,x − z = 0.d) F = 〈 (−1, 1, 2, 0), (1, 0, −2, 1) 〉. G = 〈 (3, 1, 0, 0), (−2, 0, 1, 0), (−3, 0, 0, 1) 〉. F ∩ G = F iF + G = G.

28. G = 〈 (2, 0, 5, 2), (3, −1, 9, 3), (3, 2, 5, 7) 〉.

29. Com queS∩ T = { 0}, dim(S) = 2 i dim(T) = 1, resulta queS⊕ T = R3.

30. u1 = (4, 5, 4) i u2 = (2, 3, −1).

31. a) R = 〈 (5, −1, 7) 〉 i S = 〈 (13, −7, 5) 〉.b) 2x + 3y − z = 0.

32. {u1 = (3, 1, 0), u2 = (2, 0, 1)} es una base deP2, w = (5, −1, 4) i w = −u1 + 4u2.

33. α = 4.

34. α =1

3.

35. Nomes siα = 2. Aleshores,P ∩ Q = 〈(1, 2, 3, 1)〉 i dim(P ∩ Q) = 1.

36. a)α = −1.b) F ∩ G = 〈 (3, 2, −14, −15) 〉 i te equacions implıcites 2x − 3y = 0, 14x + 3z = 0, 5x + t = 0.

37. b) α = −1 i α = -1/3.

38. Si λ = 1, S = T = S∩ T = S+ T .Si λ 6= 1, S∩ T = 〈(1, 1, 0)〉 i S+ T = R3.


39. 2x′+ y′

+ 3z′= 0.

40. L’expressio matricial del canviesxyzt

=

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

x′

y′

z′

t ′

i les equacions deSen la nova basex′

+ 2y′+ 3z′

+ 4t ′ = 0, x′+ z′

= 0.

41. Han de complir les equacions2x2 + 15x3 + 3x4 = 0

−x1 + 6x2 + 34x3 + 5x4 = 0

}.

42. e1 = −4u1 + 5u2 + 3u3, e2 = −7u1 + 8u2 + 5u3 i e3 = −u1 + u2 + u3.

43. e1 = 9u1 − 4u2 − 2u3, e2 = u1 + u2 − u3 i e3 = −2u1 + u3.

44. b)

xyz

=

1 1 21 0 13 1 0

x′

y′

z′

.

c) x − 3y + z = 0.

45. x + y = 0.

46. Les equacions son(x′

y′

)=

1

5

(9 4

−2 3

) (xy

)o be

(xy

)=

1

7

(3 −42 9

) (x′

y′

).

47. C =

0 0 −10 −1 01 2 2

.

48. a)C =1

3

2 0 12 3 11 0 −1

.

b) 2x′+ 2y′

+ z′= 0 i 3x′′

+ 2y′′+ z′′

= 0 respectivament.

49. a) La relacio es

x1 = −11y1 − 13y2 − 23y3

x2 = 18y1 + 21y2 + 38y3

x3 = 28y1 + 33y2 + 59y3

o be

y1 = −15x1 + 8x2 − 11x3

y2 = 2x1 − 5x2 + 4x3

y3 = 6x1 − x2 + 3x3

.

b) (−1, 1, 2).

50. R esta inclosa en el pla.

51. u1 = (5, 6) i u2 = (−1, −1).

52. u1 = (8, −4, −9), u2 = (−13, 7, 14) i u3 = (−1, 0, 2).

103

11.4 Estructura euclidiana de\rnn

1. a)‖ u ‖ = 6 i α(u, v) = 70◦ 31′ 44′′.b) ‖ u1 ‖ =

√10,‖ u2 ‖ = 3, ‖ u3 ‖ =

√3.

α(u1, u2) = 58.193◦, α(u1, u3) = 43.088◦ i α(u2, u3) = 78.904◦.

2. ‖ a ‖ = 5, ‖ b‖ =√

52 i a · b = 2.

3. a)‖ u ‖ = 4√

21.b) α = 46.102◦.

7. B = {12u1,

1√

12(−u1 + 2u2) }.

8. B = {12 u, −

1√

12u +

4√

12v }.

9. B′= { v1, v2, v3 }, onv1 =

12 e1, v2 =

13 e3 i v3 =

√2

4 e1 +

√2

2 e2 −

√2

2 e3.

10. B′= {

12 u1,

1√

12(−u1 + 2u2),

1√

24(2u1 − u2 + 6u3) }.

11. a) dim(S) = 1.b) S⊥

= 〈(1, 0, 0), (0, −1, 1)〉.

12. β = 1. v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, −2, 2) i v3 = (−4, −1, 1).

13. B′= {

1√

2(1, 0, 0, −1), 1

√6(1, 2, 0, 1), 1

√21

(−2, 2, 3, −2)} es una base ortonormal deS.

B = {1

√2(1, 0, 0, −1), 1

√6(1, 2, 0, 1), 1

√21

(−2, 2, 3, −2), 1√

7(1, −1, 2, 1)} es una base ortonormal deR4.

14. a) {13(1, 2, 2), 1

3(2, −2, 1)}.b) {

1√

6(1, 2, 0, 1), 1

2(−1, 1, 1, −1), 1√

14(2, −1, 3, 0)}.

c) {1

√30

(2, 4, 3, −1), 1√

1095(−2, 11, −3, 31)}.

15. {1

√14

(0, 1, 2, 3), 1√

70(7, 4, 1, −2), 1

√20

(1, −3, 3, 1)}.

16. a) B1 = {(1, −2, 0), (2, 1, 1)} es una base ortogonal del pla iB′

1 = {1

√5(1, −2, 0), 1

√6(2, 1, 1)} es una

base ortonormal.b)B2 = {(−1, 1, 0, 1), (1, 2, 3, −1)} es una base ortogonal del subespai.B′

2 = {1

√3(−1, 1, 0, 1), 1

√15

(1, 2, 3, −1)} es base ortonormal del subespai.

17. B = {1

√2(1, 1, 0, 0), 1

√6(−1, 1, 2, 0), 1

√12

(1, −1, 1, −3)}.

18. a) F⊥

1 = 〈 (−11, 2, 5) 〉 i te equacions implıcitesx − 2y + 3z = 0, 2x + y + 4z = 0.b) F⊥

2 = 〈 (1, −8, 2, 0), (−2, 5, 0, 1) 〉 i te equacions implıcites 2x+ y+3z− t = 0, 4x+ y+2z+3t = 0.

19. a)B = {(−1, 1, 3, 0), (18, 15, 1, 11)}. b) S⊥= 〈 (1, −2, 1, 1), (2, −1, 1, −2) 〉 i te equacions implıcites

−x + y + 3z = 0, 5x + 4y + 3t = 0.

20. F = 〈(1, 0, −1, 0), (1, −1, 1, 1)〉 i F⊥= 〈(0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, −1)〉.

21. La rectaes ortogonal al pla.

22. R no es ortogonal al plaP.

23. u1 = (3, −2, 4) i u2 = (4, 2, −2).


24. a) P1(1, 2, −2) =−16 (1, 2, 5).

b) P2(1, 2, −2) =17(9, 15, −11).

c) P3(1, 2, −2) =1321(1, 4, −2).

25. a) S1(1, 3, −3) =13(−7, −11, 1).

b) S2(1, 3, −3) =17(15, 25, −9).

c) S3(1, 3, −3) =121(17, 89, −13).

26. La projeccio ortogonales(1, 0, 0, 1) i el simetric (1, 0, −1, 1).

27. u = (3, 2, 2). La projeccio ortogonal deu sobre el plaes (2, 1, −1) i R′ te equacionsx − 2y = 0,x + 2z = 0.

28. a) T = 〈(0, 1, 2), (5, 2, −1)〉.

b) T = 〈1

√5(0, 1, 2), 1

√30

(5, 2, −1)〉.

c) T⊥= 〈(1, −2, 1)〉.

d) 23(1, 1, 1).

e) 13(1, 4, 1).

29. La recta de regressio esy =142(33x + 4), l’error quadratic esε =

√42

42 i el grafic

−2 2 4 6

−2

2

4

6

30. a) y =110(6x + 1).

b) L’error quadratic de la recta de regressio esε =

√5

5 , i el de la rectay = x/2, que passa pels punts(0, 0)

i (2, 1), es√

22 .

c) El grafic es

105

−2 2 4 6

−2

2

4

6

31. y =1

220(45x2− 69x + 356), ε =

7√

110110 .

−3 −2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

5

32. y = −0.70987x2+ 1.27393x − 0.26362.

−2 −1 1 2 3 4 5

−6

−4

−2

2

33. z =110(−15x − 35y + 78).


34. z =18(−5x + 9y + 12).

35. x =7 − 3z

9, y =

12z + 17

9. L’error quadratic esε =

√3

3 per a totes les solucions.

36. y = 1.000051e0.499260x.

−2 2 4 6

2

4

6

8

37. Tenen orientacio positiva les basesa i c.

38. a) (−4, −3, 1), (−10, −9, 1) i (0, 0, 0).b) (−4, 4, 8) i (−7, 7, −7).

39. S⊥ te equacio 2x + 3y + z = 0.u = (−4, 1, 5).

11.5 Transformacions lineals

1. Son transformacions linealsa i d.

2. Son linealsa i c.

3. f (1, 2, −3) = (1, 2, −12, −5). f (2, 3, −5) = (4, 4, −20, −8). (−3, 2, −8, 5) no te antiimatge.f −1(5, 2, −4, −1) = { (−2λ − 1, −3λ − 3, λ) : λ ∈ R }.

4. f (2, 5) = (−14, −89, 43). f (3, 1) = (5, 16, −7). f −1(−1, 7, −4) = (−3, −2). (3, −4, 2) no teantiimatge.

5. f (1, 0, 0) = (36, −8). f (0, 1, 0) = (23, −5). f (0, 0, 1) = (−104, 23). La matriu associada af en lesbases canoniqueses (

36 23 −104−8 −5 23

)6. f (1, 6) = (17, 41). f (−2, 4) = (14, 46). f −1(3, 6) = ( 6

13,1513).

7. a) f (1, 4) = (20, −33).b) f −1(−1, 2) = (1, −3).

c) M( f,Bc) =

(8 3

−13 −5

).

107

8. A =

−2 −110 5−4 −2

.

9. L’endomorfismef : R2−→ R2 definit en la base canonica per la matriu(

−4 17 −2

).

En general, tots els endomorfismes que tenen associada en la base canonica una matriu de la forma(2a − 6b 3b − 2a10b − 3a 3a − 5b

)(amb a, b ∈ R) .

10. Una de les possibleses1

3

(2 −11 4

),

i, en general, (a b

a + b 2a

)amba, b ∈ R i determinant no nul.

11. L’endomorfismef : R3−→ R3 que te associada la matriu 0 1 0

1 0 25 −2 10

en la base canonica.

13. f (F) = 〈(3, −1, 1), (4, −3, 2)〉 i te equacio x − 2y − 5z = 0.f −1(G) = 〈 (1, 0, −1, 1), (0, 1, −2, 0), (0, 0, 1, 0) 〉 i te equacio implıcita x − t = 0.

14. F = 〈 (1, 0, 0, 0), (1, 1, −1, 0), (0, 1, 0, 0) 〉.G = 〈 (1, 0, 0, 0), (1, 1, −1, 0), (1, −4, 0, 1) 〉.

Aquests subespais no son elsunics que compleixen aquestes propietats.

15. M( f,B′) =12

(3 3

−1 3

).

16. a) A =

3 −2 11 6 2

−3 0 7

.

b) B =

−2 −24 21−3 −2 6−6 −18 20

, onC =

1 2 −20 1 −11 4 −3

i B = C−1AC.

17. A =

(14 61 61

−19 −80 −81

).

18. a) A′=

−2 2 01 −3 25 3 1

. b) A′′=

−1 5 92 −3 00 2 0

.


19. A =

−3 12 −11 −51 0 −2 −1

−4 0 9 6

.

20. A =

(−23 17−31 23

).

21. M( f,B) =

2 0 10 1 1

−1 1 −2

.

22. a) A =

2 1 2

−1 2 1−1 1 0

0 1 0

. b) B =

0 0 0

−6 −5 01 2 −2

−18 −19 7

.

23. a) A =

0 0 01 1 22 2 1

. b) B =

1 2 −4−1 −2 7

0 0 3

.

24. M( f,B1) =

(8 3

−18 −7

).

25. a) La matriu def en la base{(1, 0, 1), (2, −1, 3), (1, 1, −4)} es 1 0 00 1 00 0 −2

.

b) La matriu def en la base canonicaes

1

4

1 3 3−3 7 312 −12 −8

.

26. a) T(−1, 2) = (−3, −2, −3).

b) M(T,B′

1,Bc) =

3 0−2 −1−1 −1

.

27. Nuc f = 〈 (0, 1, 1, 1) 〉 i te equacions implıcitesx = 0, y = t , z = t .Im f = 〈 (2, −1, −1, 0), (−1, 1, 0, −1), (1, 0, 1, −1) 〉 i te equacio implıcita x + 2y + t = 0.b) No es injectiu ni exhaustiu.

28. Nuc f = 〈(7, 5, 1)〉 i te equacions implıcitesx

7=

y

5= z.

Im f = 〈(2, 1, 0), (−3, −2, 1)〉 i te equacio x − 2y − z = 0.

29. Nuc f = 〈(−1, 1, −1, 1)〉 i Im f te equacio 28x − 4y − 20z + 13t = 0.

30. a) Nuc f = { 0}, Im f = R3 i es bijectiva.b) Nuc f = 〈 (−1, −1, 1, 0), (−4, 2, 0, 7) 〉, Im f = R2, es exhaustiva i noes injectiva.c) Nuc f = 〈 (1, 1, −1, 0, 0), (0, −1, −1, 0, 1) 〉.Im f = 〈 (1, 3, −1, 2), (4, −2, 0, 3), (0, 0, 0, 1) 〉. No es injectiva ni exhaustiva.

109

31. a) T(x, y, z) = (x + z, −2x + 3z).b) NucT = 〈(0, 1, 0)〉 i Im T = R2.

32. Nuc f te equacio x + y = 0 i Im f te equacio x − 2y = 0.

33. Im f te equacio z = 0 i Nuc f equacionsx = 0, y − z = 0.

M( f,Bc) =1

2

0 2 −2−1 1 −1

0 0 0

.

34. L’equacio del plaes 6x − y − 3z = 0 i NucT = 〈(1, 1, −1, 0)〉.

35. La projeccio es(2, 4, 3).

36. En ser el rang igual a 3, la transformacio es exhaustiva, pero no injectiva.

37. Im f te equacio x − 3y − 2z = 0. Es injectiva pero no exhaustiva.

38. Si a 6= 0, 1 i 2, f es bijectiu. Sia = 0, 1 o 2, f no es injectiu ni exhaustiu.Si a = 0, Nuc f = 〈 (2, 1, −2) 〉 i Im f = 〈 (−2, 2, 0), (2, 0, 2) 〉.Si a = 1, Nuc f = 〈 (1, 0, −1) 〉 i Im f = 〈 (−1, 2, 2), (2, 1, 4) 〉.Si a = 2, Nuc f = 〈 (−3, 1, 2) 〉 i Im f = 〈 (0, 2, 4), (2, 2, 6) 〉.

39. a) Noes injectiva per a cap valor dea i b. Si a = −3/2 i b = 1/3 noes exhaustiva. Per als altres valorsdea i b es exhaustiva.b) Sib 6= 0 i a 6= −2 i 1, es bijectiva. Per als altres valors dea i b no es injectiva ni exhaustiva.c) Siα 6= 0, 1 i 6,es bijectiva. Per als altres valors deα no es injectiva ni exhaustiva.d) No es exhaustiva per a cap valor dea. Si a 6= −1 i 1, es injectiva. Sia = −1 o 1, noes injectiva.e) Sit 6= 1, 2 i 3,es bijectiva. Per als altres valors det no es injectiva ni exhaustiva.

40. Si α = 1 o 3/2, f no es bijectiu. Per als altres valors deα es bijectiu.Per aα = 1, Nuc f = 〈(2, 0, −1)〉 i dim Im f = 2.

41. M(T,Bc) =1

3

1 −1 −3−1 −2 −3

0 −3 −6

.

42. L’endomorfismef : R3−→ R3 que te associada la matriu 9 3 5

6 0 2−27 −9 −15

en la base canonica. Hi ha infinites solucions.

43. A =

(7 −6 41 −3 3

).

44. Les matrius associades als endomorfismesf B g, g B f i f + g en la base canonica son −2 0 2−11 8 −5

18 −11 4

,

17 2 1029 1 18

−12 1 −8

i

0 0 0−7 −2 −212 0 6

respectivament. Cap d’aquests endomorfismeses injectiu ni exhaustiu.


45. La matriues

A =

−5 −31 8

6 26 −4−6 −12 −3−2 −4 −1

.

Nuc(g B f ) = 〈 (3, −1, −2) 〉 i Im(g B f ) = 〈 (5, −6, 6, 2), (−8, 4, 3, 1) 〉. Per tant, la transformacio noes injectiva ni exhaustiva.

46. a) A =

−2 2−7 4−6 3

.

b) L’aplicacio linealg : R3−→ R2 que te associada la matriu

1

6

(7 −8 6

10 −8 6

)en les bases canoniques.

47. A =

(23 63−4 −11

).

49. M(P,Bc) =1

3

2 1 −11 2 1

−1 1 2

.

50. M(P,Bc) =1

9

8 −2 −2−2 5 −4−2 −4 5

.

51. M(P,Bc) =1

13

(4 66 9

).

52. Nuc P = 〈(2, 1, 1)〉 i la projeccio de la recta te equacionsx + y = 0, x + z = 0.

53. M(G,Bc) =1

25

(24 −77 24

).

54. M(S,Bc) =1

7

6 −2 −3−2 3 −6−3 −6 −2

.

55. a)1

21

−4 20 520 5 −45 −4 20

. b)1

75

−63 14 26 −28

14 −17 −28 −6626 −28 63 −14

−28 −66 −14 17

. c)1

7

−6 2 −32 −3 −6

−3 −6 2

.

56. M(S,Bc) =1

5

(3 44 −3

).

57. M(R,Bc) =1

2

−1 0√

30 2 0

−√

3 0 −1

.

111

58. M(R,Bc) =

0 1 0−1 0 0

0 0 1

.

59. a) M(R,Bc) =

0 0 −11 0 00 −1 0

. b) M(R,Bc) =1

6

1 2+√

6 −1 + 2√

62 −

√6 4 −2 −

√6

−1 − 2√

6 −2 +√

6 1

.

c) M(R,Bc) =1

4

2 +√

2 −2 2−√

22 2

√2 −2

2 −√

2 2 2+√

2

. d) M(R,Bc) =1

25

−11 6√

5 −18−6

√5 −20 −3

√5

−18 3√

5 16

.

60. Els possibles angles sonα = 60◦ i α = 300◦.Les matrius corresponents son

1

4

3 1√

61 3 −

√6

−√

6√

6 2

i1

4

3 1 −√

61 3

√6

√6 −

√6 2

.

61. Un angle de 120◦ o de 240◦.

62. L’angle es de 120◦, i la matriu de la rotacio en la base canonicaes 0 −1 00 0 −11 0 0

.

63. F = 〈(3, −2)〉 i la matriu de la simetriaes

M(S,Bc) =1

13

(5 −12

−12 −5

).

64. M(R,Bc) =1

7

−6 2 −32 −3 −6

−3 −6 2

.

65. a) M(P B S,Bc) =1

6

−5 2 −12 −2 −21 2 5

.

b) Nuc(P B S) = 〈(1, 2, −1)〉 es el simetric de NucP = 〈(1, 2, 1)〉 respecte a l’eixO Z.

66. La matriu associada af B g en la base canonicaes

A =

cos2 α sinα cosα sinα

− sinα cosα 0− sinα cosα − sin2 α cosα

.

Per veure quef B g es una isometria,es suficient comprovar queAt A = I .

67. Indicacio: calculeu en primer lloc la matriu def en la base canonica.

69. a) No.

b) A =

1 −1 10 0 10 −1 1

.


71. La isometria deR3 que te associada la matriu 1 0 00 0 10 1 0

en la base canonica.

72. Hi ha dues possibilitats: a)f (−7, 3, 4) = (−4, 3, 7).b) f (−7, 3, 4) =

177(276, −499, −337).

11.6 Diagonalitzacio

1. Els dos endomorfismes son diagonalitzables. Per a la matriuA, tenim que

C =

(2 −5

−1 3

), A′

=

(−1 0

0 −2

)i A′

= C−1AC .

La diagonalitzacio deB dona les matrius

C =

(1 −1

√2

√2

)i B′

=

(2 +

√2 0

0 2−√

2

), amb B′

= C−1BC .

2. a) p(x) = x3− 2x2

− x + 2.b) p(x) = x3.c) p(x) = x3

− 2x2− 5x + 6.

d) p(x) = x3− 5x2

+ 8x − 4.e) p(x) = x3

+ x.f) p(x) = x3

− 3x2+ 4.

g) p(x) = x4− 4x3.

h) p(x) = x4− 5x3

− x2+ 17x + 12.

3. Les matriusa, c, g i h son diagonalitzables sobre els reals. La matriue es diagonalitzable sobre elscomplexos, pero no hoes sobre els reals. Les matriusb, d i f no son diagonalitzables. A continuacio hi hauna base de vectors propis i la matriu diagonal corresponent en cada cas:

a)B = { (1, 0, 1), (3, 2, 1), (1, 3, 1) }. D =

−1 0 00 1 00 0 2

.

c)B = { (1, 1, 0), (1, 1, −1), (1, 0, −1) }. D =

−2 0 00 1 00 0 3

.

e)B = { (3, 2, −2), (7 + i, 2 + i, −5), (7 − i, 2 − i, −5) }. D =

0 0 00 i 00 0 −i

.

g)B = { (−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1) }. D =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 4

.

113

h)B = { (1, 0, 1, 1), (0, −1, 3, 3), (3, 1, −1, 0), (3, 1, −1, 1) }. D =

−1 0 0 0

0 −1 0 00 0 3 00 0 0 4

.

4. a) Noes diagonalitzable.b) Es diagonalitzable sobre els complexos, pero no sobre els reals.c) Es diagonalitzable sobre els reals.

6. a) Els vectors(1, −1, 0) i (1, 0, −1) son vectors propis amb valor valor propi 0 i el vector propi(1, 1, 1)

te valor propi 3.b) El vector(0, 0, 1) es de valor propi 1 i el(0, 1, 0) es de valor propi 2.c) El vector(0, 0, 1) te valor propi 3,(i, 1, 0) te valor propii i (−i, 1, 0) te valor propi−i .

7. Les matriusa, d i f son diagonalitzables. A continuacio hi ha una base de vectors propis i la matriudiagonal corresponent:

a)B = { (1, −2, −2), (−2, 2, 3), (−1, 1, 1) }. D =

1 0 00 −2 00 0 3

.

d)B = { (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 2) }. D =

2 0 00 2 00 0 −1

.

f) B = { (1, −1, 0), (0, 1, −1), (1, −1, 1) }. D =

2 0 00 2 00 0 1

.

8. No son diagonalitzables.

9. a) La baseesB = {(1, 0, −1), (−4, 1 − i, 8), (−4, 1 + i, 8)}, i la matriu

D =

2 0 00 −1 + 2i 00 0 −1 − 2i

.

b) La baseesB = {(1, 0, −1), (−3 − i, 1, 6 + 2i ), (−3 + i, 1, 6 − 2i )}, i la matriu

D =

−1 0 00 −2 + i 00 0 −2 − i

.

c) La baseesB = {(−1, 0, 2+ i, 1+ i ), (0, 1, 1− 2i, 3− i ), (−1, 0, 2− i, 1− i ), (0, 1, 1+ 2i, 3+ i )}, ila matriu

D =

i 0 0 00 i 0 00 0 −i 00 0 0 −i

.

10. f diagonalitza en la baseB = {(1, 1, 0), (−1, 1, 1), (1, −1, 1)}, es a dir,B = {e3, e1 − e2, e1 + e2}. Lamatriu de f en la baseB es

M( f,B) =

4 0 00 4 00 0 −4

.


11. a)C =

(1 11 −1

), D =

(3 00 −1

)i An

=12

(3n

+ (−1)n 3n− (−1)n

3n− (−1)n 3n

+ (−1)n

).

b) C =

(1 22 1

), D =

(1 00 −2

)i Bn

=1

3

(−1 2−2 4

)+

(−2)n

3

(4 −22 −1

).

12. C =

1 1 1−1 0 1

0 −1 1

, D =

1 0 00 1 00 0 7

i An=

1

3

7n+ 2 7n

− 1 7n− 1

7n− 1 7n

+ 2 7n− 1

7n− 1 7n

− 1 7n+ 2

.

13. An= 3n

3 1 −10 0 06 2 −2

+ 2n

−2 −1 14 2 −2

−2 −1 1

+

0 0 0−4 −1 2−4 −1 2

.

14. B =1

3

4 1 11 4 11 1 4

. N’hi ha infinites.

15. a) Siα = 0, es diagonalitzable. Siα 6= 0, no hoes.b) Siα < 0, es diagonalitzable sobreC, pero no hoes sobreR. Siα = 0, noes diagonalitzable. Siα > 0,es diagonalitzable sobre els reals.

16. a 6= 1, 2.

17. Es diagonalitzable en dos casos: i)a 6= 3, b 6= 3 i a 6= b. ii) a = 3 i b = 5.

18. Es diagonalitzable en tres casos: i)a 6= 1, b 6= 1 i a 6= b. ii) a = 0 i b = 0. iii) a = 0 i b = 1.

19. α = −1, α = 1/2 i α = 2. En cap dels tres casoses diagonalitzable.

20. M(T,Bc) =

(−1 1

1 −1

).

21. a) Els valors propis sonα = 2 i β = −3.b) a = −8 i b = −5.c)B = {(1, 1), (2, 1)}.

22. a = 0, b = 1, c = 1, d = 1 i e = 1. Els valors propis sonλ1 = −1 amb multiplicitat 2 iλ2 = 2.

23. A =

5 1 −12 4 −21 −1 3

.

24. A =

−1 0 0−3 2 3

0 0 −1

.

25. A =

(5 −64 −5

)i An

=

(3 −32 −2

)+ (−1)n

(−2 3−2 3

).

26. A diagonalitza en la baseB1 = {(1, −1), (1, −3)}, B diagonalitza en la baseB2 = {(1, −2), (1, −3)} ien els dos casos la matriu diagonales(

1 00 −1

), mentre que C =

(1 03 2

).

115

27. B = {1

√2(1, 1), 1

√2(−1, 1)}. A′

=

(a + 2 0

0 a − 2

).

28. C =1

√2

(1 −11 1

)i A′

=

(4 00 −2

).

29. a) P =1

√2

(1 −11 1

)i A′

= Pt AP =

(1 00 −1

).

b) P =1

√5

(2 −11 2

)i A′

= Pt AP =

(5 00 −5

).

c) P =1

√2

(1 1

−1 1

)i A′

= Pt AP =

(0 00 2

).

30. b)B = {(0, 1, 0), 1√

2(1, 0, −1), 1

√2(1, 0, 1)}.

c) A′= M(T,B) =

−1 0 00 −1 00 0 3

.

31. a)B = {1

√2(−1, 0, 1),

1

3(2, 1, 2),

1√

18(1, −4, 1)}. D =

9 0 00 9 00 0 −9

.

b)B = {1

3(2, 2, 1),

1

3(1, −2, 2),

1

3(−2, 1, 2)}. D =

3 0 00 6 00 0 9

.

32. a) A′=

0 0 00 0 00 0 3

i C =

1 1 1−1 0 1

0 −1 1

.

b) D = A′ i P =1

√6

√

3 1√

2−

√3 1

√2

0 −2√

2

.

33. a)B′= {(1, −1, 0), (1, 1, −2), (1, 1, 1)} es base ortogonal de vectors propis deA. A mes,

C =

1 1 1−1 1 1

0 −2 1

i A′=

−1 0 00 −1 00 0 2

.

b)B′= {(1, 0, 0), (0, 1, −1), (0, 1, 1)} es base ortogonal de vectors propis deB. A mes,

C =

1 0 00 1 10 −1 1

i B′=

1 0 00 1 00 0 −1

.

34. B = {1

√2(1, 1, 0), 1

√6(1, −1, 2), 1

3(−1, 1, 1)} i A′=

1 0 00 1 00 0 −2

.

35. a)C =1

√5

0 2 1√

5 0 00 1 −2

i A′=

1 0 00 5 00 0 −5

.


b) D =1

√2

0 1 10 1 −1

√2 0 0

i B′=

1 0 00 −1 00 0 7

.

36. a)B = {1

2(1, −1, 1, −1),

1

2(1, 1, 1, 1),

1

2(1, −1, −1, 1),

1

2(1, 1, −1, −1)}.

b)B = {1

√2(1, 0, 0, 1),

1√

6(−1, 2, 0, 1),

1√

12(−1, −1, 3, 1),

1

2(1, 1, 1, −1)}.

37. Com queA es simetrica,es diagonalitzable per a totb ∈ R. A mes,B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1 − 1)}

es una base de vectors propis deA per a quasevolb ∈ R, amb valors propisb (doble) i−b (simple) sib 6= 0 ob = 0 triple.

38. B = {1

√5(1, 2, 0), 1

√30

(2, 5, −1), 1√

6(−2, 1, 1) i A =

1 0 00 1 00 0 −1

.

39. M( f,Bc) =1

3

8 −1 −1−1 8 −1−1 −1 8

.

40. B′= {

13(1, 2, 2), 1

√2(0, 1, −1),

√2

6 (−4, 1, 1)} i M( f,B′) =

−1 0 00 2 00 0 2

.

41. M(T,Bc) =1

3

4 1 −11 4 −1

−1 −1 4

.

43. a) Gir d’angle 60◦.b) Simetria respecte a la rectaF = 〈(1, 3 − 2

√2)〉.

c) Simetria respecte a la rectaF = 〈(2, 1)〉.d) Gir d’angle 36.869◦.

44. A representa una simetria axial d’eixx + y = 0.B representa un gir d’angle 270◦.

45. a) Simetria axial respecte al subespaiF = 〈(1, 1, 1)〉.b) Simetria plana respecte al subespaiF = 〈(1, 0, 1), (−3, 1, 0)〉.c) Simetria axial respecte al subespaiF = 〈(2, 2, 1)〉.d) Rotacio d’angle 270◦ al voltant del vector(−3, 0, 4).e) Rotacio d’angle 36.869◦ al voltant del vector(1, 2, −2).f) Composicio de la rotacio d’angle 70.52◦ al voltant del vector(0, −1, 1) amb la simetria respecte al pla−y + z = 0.

46. a) At A = I i det(A) = 1.b) R(u) =

113(1, 8, −4).

c) R(u) =19(−7, 4, 4).

47. a) A = M( f,B) =1

3

1 −2 −2−2 1 −2−2 −2 1

i es immediat queAt A = I .

b) Formen el pla d’equacio x + y + z = 0.

117

c) Es la simetria plana respecte al subespai d’equacio x + y + z = 0 (equacio expressada en la baseB).

48. Les tres matrius son ortogonals.a) Simetria plana respecte al subespai d’equacio x − y − z = 0.

b) Simetria axial respecte a la rectax = y = z.c) Simetria plana respecte al subespai d’equacio x + y − z = 0.

49. Simetria axial respecte a la recta d’equacio x = 0, y = z.

50. T es un endomorfisme bijectiu, ies una simetria respecte al pla d’equacio y − z = 0.

51. A =

(3 −6

−1 2

)i l’apartat correcteese.

52. La matriu associada af en la base canonicaes 1 0 00 0 10 1 0

.

Es la simetria plana respecte al subespaiF = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 1)〉.

53. M( f,Bc) =1

3

−2 2 12 1 21 2 −2

i es una simetria axial d’eix〈(1, 2, 1)〉.

54. a) A = M(T,Bc) =

2 1 −2−1 0 0

1 1 −1

.

b) No.c) El plaz = 0.

55. La matriu associada af B g en la base canonicaes 0 0 −11 0 00 1 0

.

Es tracta de la composicio de la rotacio de 60◦ al voltant del vector(1, −1, 1) amb la simetria respecte alpla x − y + z = 0.

56. A = M(R, Bc) =1

3

1 1−√

3 1+√

31 +

√3 1 1−

√3

1 −√

3 1+√

3 1

, A2=

1

3

−1 2 22 −1 22 2 −1

i A−1= At .

A2 representa la rotacio de 180◦ al voltant del mateix vectorw = (1, 1, 1), es a dir, la simetria axial d’eixx = y = z. La inversaA−1 representa la rotacio de 270◦ al voltant de(1, 1, 1).

57. a)a = ±1 i b = 0.b) Si a = 1, f es la rotacio de 90◦ al voltant del vector(1, 0, 0); si a = −1, f es la simetria axial d’eixx = 0, y + z = 0. Per ab = 0, g es la simetria respecte al pla d’equacio y − z = 0.

58. a)a = −2 i b = 1. Aleshores,f es una rotacio.b) 10x − y + 5z = 0.


59. Hi ha quatre isometries deR2 que compleixen aquesta condicio. Les seves matrius en la base canonicason:

a)1

5

(3 44 −3

); b)

1

5

(3 4

−4 3

); c)

1

5

(−3 −4

4 −3

); d)

1

5

(−3 −4−4 3

).

60. Isometria directa:

(0 −11 0

).

Isometria inversa:

(0 11 0

).

Endomorfisme no isometric:

(0 11 2

).

Hi ha quatre isometries que transformen l’eixO X en l’eix OY, dues directes i dues inverses.

61. Hi ha vuit isometries que compleixen les condicions de l’enunciat. Una d’elleses

A =

0 1 01 0 00 0 1

,

que representa una simetria plana. Les matrius de les vuit isometries son 0 ±1 0±1 0 0

0 0 ±1

.

62. Hi ha sis isometries, i les seves matrius respecte a la base canonica son:

a)

1 0 00 1 00 0 1

; b)

1 0 00 0 10 1 0

; c)

0 1 01 0 00 0 1

;

d)

0 0 11 0 00 1 0

; e)

0 0 10 1 01 0 0

; f)

0 1 00 0 11 0 0

.

a) Identitat.b) Simetria respecte al plaF = 〈(1, 0, 0), (0, 1, 1)〉.c) Simetria respecte al plaF = 〈(0, 0, 1), (1, 1, 0)〉.d) Rotacio de 120◦ al voltant del vector(1, 1, 1).e) Simetria respecte al plaF = 〈(0, 1, 0), (1, 0, 1)〉.f) Rotacio de 240◦ al voltant del vector(1, 1, 1).

64. Les matrius d’aquestes isometries respecte a la base canonica son:

a)

0 0 11 0 00 1 0

; b)1

29

−12 24 1121 16 −1216 −3 24

.

a) Rotacio de 120◦ al voltant del vector(1, 1, 1).b) Composicio de la rotacio de 10.654◦ al voltant del vector(9, −5, −3) amb la simetria respecte al pla9x − 5y − 3z = 0.

119

65. a) y = Ce3x. b) y = Ce−x. c) y = C5x.

66. a) y = xex+ Cex. b) y = Cex

− x − 1. c) y = Ce2x+

15e−2x(sinx − 2 cosx).

67. a) y =ex

− 16e−4x

5.

b) y = x3− 3x2

+ 6x − 6.

c) y = 4e2x−

x2+ 2x + 2

2.

d) y =ab(e−ax

− e−cx)

c − a.

68. a)

{x(t) = Acost + B sint

y(t) = Asint − B cost

b)

{x(t) = Ae−4t

+ Be2t

y(t) = −Ae−4t+ Be2t

c)

{x(t) = −5e2t sint

y(t) = e2t (cost − 2 sint)

69. a)

x(t) = Ae6t

+ Be3t+ Ce2t

y(t) = Be3t− 2Ae6t

z(t) = Ae6t+ Be3t

− Ce2t

b)

x(t) = Ae−t

+ Be2t

y(t) = Ce−t+ Be2t

z(t) = −(A + C)e−t+ Be2t

70. a) x(t) = e−2t− 1, y(t) = −2e−2t

− 6t .

b) x(t) = (A + t)et , y(t) = 1 + (A + t −12)et

+ Be−t .

71.

x(t) = A1et

+ B1 sint + B2 cost

y(t) = −A1et+ B1 cost − B2 sint + t

z(t) = B1 sint + B2 cost + 1

72. a)

{x(t) = 2et

+ e−t− 2

y(t) = 2et+ 3e−t

+ 2t − 4

b)

x(t) = 2e−3t

+ t2+ t

y(t) =e−3t

− t2

2


11.7 Tensors i formes quadratiques

1. a)q(x, y) = x2− 2xy − y2.

b) q(x, y) = −6x2− 4xy + 22y2.

c) q(x, y, z) = −2xz− 2yz.d) q(x, y, z, t) = 2x2

+ 4y2− 2yz+ 8yt.

2. M = (10, 65, −25) i E = 45.

3. T(u, v) =(

x1 y1) (

1 22 1

) (x2y2

)= x1x2 + 2(x1y2 + x2y1) + y1y2.

q(w) = T(w, w) = x2+ 4xy + y2.

4. M(T,B) =

−3 1 −61 4 3

−6 3 −6

.

5. q(x′, y′, z′) = −2x′2− y′2

+ 4z′2+ 18x′y′

+ 2x′z′− 14y′z′.

6. a)q(t) = 17t2 en la base{u}.b) q(x′, y′) = 9x′2

+ 14x′y′+ 7y′2 en la base{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

7. a)q(x′, y′) = 10x′2, on

x =1

√5(2x′

− y′)

y =1

√5(x′

+ 2y′)

.

b) q(x′, y′) = 2x′2− 2y′2, on

x =1

√2(x′

− y′)

y =1

√2(x′

+ y′)

.

8. a)q(x′, y′, z′) = 2x′2+ 5y′2

− z′2, on xyz

=1

3

2 2 1−2 1 2

1 −2 2

x′

y′

z′

.

b) q(x′, y′, z′) = 7x′2+ 7y′2

− 2z′2, on xyz

=1

3√

2

3 1 2√

2−3 1 2

√2

0 −4√

2

x′

y′

z′

.

9. a) Semidefinida positiva ambındexs d’inercia 1 i 0.b) No definida ambındexs 1 i 1.

10. a) Definida positiva ambındexs 3 i 0.b) No definida ambındexs 1 i 1.c) Semidefinida negativa ambındexs 0 i 2.

121

11. Semidefinida negativa ambındexs 0 i 3.

12. a) No definida ambındexs 2 i 1.b) Definida positiva ambındexs 3 i 0.

13. B = {(1, −1, 0), (1, 1, −2), (1, 1, 1)} i la formaes definida positiva.

14. a) Definida positiva.b) Definida positiva.c) No definida.

15. a) Elsındexs d’inercia son 2 i 1.b) La formaes no definida.

16. q(x′, y′, z′) = 9x′2+ 9y′2 on x

yz

=1

3

−1 2 22 −1 22 2 −1

x′

y′

z′

.

La formaes semidefinida positiva.

17. a) Definida positiva:q(x′, y′, z′) = x′2+ y′2

+ z′2 en la base

B = {1

√2(1, −1, 0),

1√

6(1, 1, −2),

1√

3(1, 1, 1)} .

b) No definida:q(x′, y′, z′) = x′2+ y′2

− 2z′2 en la base

B = {1

√2(1, 1, 0),

1√

6(1, −1, 2),

1√

3(−1, 1, 1)} .

c) Semidefinida negativa:q(x′, y′, z′) = −3x′2− 3y′2 en la base

B = {1

√2(1, −1, 0),

1√

6(1, 1, −2),

1√

3(1, 1, 1)} .

18. La formaes no definida.

19. f te un mınim en el punt(2, 1) i un maxim en el punt(−2, −1), amb f (2, 1) = −28 i f (−2, −1) = 28.

20. a) f te un mınim en el punt(1, 0) amb f (1, 0) = 0.b) g no te extrems locals.

21. f te un mınim en el punt(3, 2) amb f (3, 2) = 108.

22. f te un mınim en el punt( -2/3, -1/3, 1) amb f ( -2/3, -1/3, 1) = −4/3.

11.8 Geometria lineal

1. Hi ha dues rectes: a)√

3x − y = 3√

3 + 1. b)√

3x + y = 3√

3 − 1.

2. Les dues rectes son: a) 3x − 7y = 27. b) 7x + 3y = 5.


3. a) Equacions de la recta. Equacio vectorial:(x, y, z) = (5, −2, 3) + λ(−1, 3, −1).

Equacions parametriques:

x = 5 − λ

y = −2 + 3λ

z = 3 − λ

.

Equacio contınua:x − 5

−1=

y + 2

3=

z − 3

−1.

Equacions cartesianes:3x + y = 13

y + 3z = 7

}.

b) Equacio del pla: 15x + 5y + 21z = 38.

4. x + y − z = 0.

5. a) 3x − 14y − 21z + 31 = 0.b) 2x − z = 1.

6.x

3=

y − 1

−1=

z − 2

−3.

7. a = 5/2 i 5x − 7y − 3z = 11.

8. a = −1.

9. α = −17

4i es tallen en el punt(3/2, −1/4, 21/4).

10. α = 7 i Eu = (2, −1, −1).

11. 8x − 5y = 1.

12. Equacio vectorial:(x, y, z) = (5, −1, 6) + λ(1, −1, −3).

Equacions parametriques:

x = 5 + λ

y = −1 − λ

z = 6 − 3λ

.

Equacio contınua:x − 5 =y + 1

−1=

z − 6

−3.

Equacions implıcites:x + y = 4

3y − z = −9

}.

13. 13x − 20y + 7z = 7.

14. x + 2y − 8z = 3.

15. 2y − z = 5.

16. x − 1 =y

−4=

z + 1

−5i

4x + y = 4

5y − 4z = 4

}.

17. x + z − 1 = 0.

18.x − 1

7=

y − 1

−6=

z − 2

2i

6x + 7y = 13

y + 3z = 7

}.

123

19.x − 1

−2=

y − 2

7=

z + 1

3i

7x + 2y = 11

3y − 7z = 13

}.

20. x + 1 =y − 1

4= −z i

4x − y = −5

y + 4z = 1

}.

21. x − 1 =y − 1

0=

z

−1i

x + z = 1

y = 1

}.

22.x − 1

5= y − 1 =

z

3.

23. 5x − 4y + 2z + 2 = 0.

24. a = 11 i b = −4.x

−7=

y

2=

z + 8

5.

25. a = 2, b = −2 ix − 2

−4=

y − 3

5=

z − 1

1.

26. a) S’encreuen i formen un angle de 73.790◦.b) Es tallen en el punt(6, 3, 8) i son perpendiculars.c) S’encreuen i son perpendiculars.d) Son paral.leles.

27. a) Es tallen en una recta i formen un angle de 84.044◦.b) Es tallen en una recta i son perpendiculars.c) Son paral.lels.

28. Es tallen en el punt(4/5, 13/5, 6/5) i formen un angle de 33.061◦.

29. a)α 6= −5 i β qualsevol.b) α = −5 i β = 3.c) α = −5 i β 6= 3.

30. a) La rectax − 5

6=

y − 2

4=

z − 1

3.

b) 6x + 4y + 3z = 5.

31. a)a = 0.

b)x

1=

y

−1=

z − 2

0.

32. 3x − y − z − 11 = 0.

33. a) Si a = 5, es tallen formant un angle de 36◦35′12′′. Si a 6= 5, s’encreuen, i son perpendiculars sia = −2.b) a = 2 i l’equacio del plaesy + z + 1 = 0.

34. Si a = −3/2, es tallen formant un angle de 23◦11′55′′. Si a 6= −3/2 s’encreuen, i son perpendiculars sia = 2.

35. 9x + 8y = 20.

36. (−31/11, 13/11, 27/11).


37. a) (−1, −8, 5).b) (2, 2, 4).

38.x − 1

−10=

y − 3

5= z − 2.

39. Es la rectax − 1

−1=

y − 2

2= z + 3.

40. P te equacio 3x − 2y + z + 3 = 0.

41. Existeixen dos plans que compleixen aquesta condicio: x + y − z = 1 i 4x − y + 3z = 4.

42. b) Les rectes es tallen en el punt(1, 3, −2) i les seves bisectrius son

x − 1 =y − 3

5=

z + 2

2i x − 1 =

y − 3

−1=

z + 2

2.

43. El pla separa els puntsp i q.

44. Arriba al punt(8, 7, 0) i, en el plaz = 0, segueix la trajectoria definida per la rectax − y = 1.

45. d(p, R) =√

26,d(p, P) =9√

1414 i d(R, P) =

√14

14 .

46. p = (1, 1, 3), P te equacio x + 2y + 2z − 3 = 0 i d(p, P) = 2.

47. d =3√

2613 .

48. d =57

√251

251.

49. d =8√

17

51i

x + 2y + 2z = 3

2x + 2y − 3z = 9

}.

50. a)x − 1

7=

y − 1

−6=

z − 2

2.

b) d(R, S) =

√1513

17.

51. a = 1 i la distanciaesd =

√6

3.

52. t = 3 i d = 5√

6.

53. x + 2y − 2z − 6 = 0 i x − 2y + 2z − 6 = 0.

54. x + 3y − 2z + 2 = 0 i 3x − y + 2 = 0.

55. Hi ha dues possibilitats. a)(11, −3). b) (2, 6).

56. A =3√

14

40.

57. A =5√

42

2i l =

√89.

58. A = 6√

26.

125

59. A = 3√

5, p = 6 + 2√

5 i l =√

14.

60. b) A = 27, p = 24 i l = 3√

10.

61. x + 2y − 2z = 9.

62. V =7

6i d =

7√

5

5.

63. a) Els punts de la base son (0, 3, 2), (0, 0, 0), (2, 4, 0) i (2, 7, 2).

b) V =40

3.

64. a) N’hi ha dos:x + 2y + 2z − 6 = 0 i x + 2y − 2z − 6 = 0.b) x + 2y − 6 = 0.

65. V = 27.

66. Hi ha dues possibilitats: 4x + 4y ± z − 12 = 0.

67. Si (x′, y′) son les coordenades en el sistemaS1 i (x′′, y′′) en el sistemaS2, aleshores

(x′′

y′′

)=

1

5

(12−6

)+

1

5

(1 3

−3 1

) (x′

y′

).

68. 6x′+ 17y′

+ 5 = 0.

69. Si (x′, y′) son les coordenades en el sistemaS1 i (x′′, y′′) en el sistemaS2, aleshores

(x′

y′

)=

(01

)+

(0 1

−1 −1

) (x′′

y′′

).

70. Les tres rectes son x − y = 0, x + 2y = 1 i 2x + y = 1.

71. Les equacions son x − y = 0 i x + y = 1.

73. (−32, 20, 8).

74. 11x′− 16y′

+ 3z′+ 6 = 0.

75. x′+ y′

+ z′+ 2 = 0.

76. x + y + z = 1.

77. a) Son perpendiculars i es tallen en el punt(1, 2, 0).b) Una possibilitates p = (1, 2, 0), Eu1 = (2, −1, 0) , Eu2 = (2, 4, −5) i Eu3 = (1, 2, 2).

78. d =√

6 m.

11.9 Corbes i superfıcies de segon grau

1. x2+ 6xy + 9y2

− 52x + 64y + 126= 0. L’equacio canonicaesy′=

√10x2

22.


−8

−6

−4

−2

24

68

−4

−2

2

4

6

8

10

−2 4 6 8

−10

−8

−6

−2

2

4

2. 7x2− 6xy + 15y2

− 14x + 6y − 89 = 0. L’equacio canonicaesx′2

16+

y′2

6= 1. La seva graficaes

−6−4

−2

24

6

−6

−4

−2

4

6

−6 −4 −2 2 4 6

−6

−4

−2

2

6

3. xy − 2x + 2 = 0. L’equacio canonicaesx′2

4−

y′2

4= 1. La seva gr’aficaes

127

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−10

−5

5

10

4. 2x2− xy − y2

− 3x + 3y + 4 = 0.

5. a) Parabola. Vertex:(3, 2). Equacio reduıda: 5x′2+ 20

√5 y′

= 0.Eix x′: 2x − y = 4. Eix y′: x + 2y = 7.

Canvi de coordenades:

(xy

)=

(32

)+

1√

5

(1 −22 1

) (x′

y′

).

b) Hiperbola. Centre:(1, −1). Equacio reduıda: x′2− y′2

+ 1 = 0.Eix x′: 3x − y = 4. Eix y′: x + 3y = −2.Asımptotes:x − 2y = 3 i 2x + y = 1.


(xy

)=

(1

−1

)+

1√

10

(1 −33 1

) (x′

y′

).

c) Parell de rectes secants. Les seves equacions son x + y − 2 = 0 i x − 2y + 3 = 0.d) Hiperbola. Centre:(1, 0). Equacio reduıda: 4x′2

− y′2− 4 = 0.

Eix x′: x − 2y = 1. Eix y′: 2x + y = 2.Asımptotes:x = 1 i 3x + 4y = 3.


(xy

)=

(10

)+

1√

5

(2 −11 2

) (x′

y′

).

6. a) El.lipse. Centre:(2, 0). Equacio reduıda: 2x′2+ 4y′2

− 8 = 0.Eix x′: x − y = 2. Eix y′: x + y = 2.


(xy

)=

(20

)+

1√

2

(1 −11 1

) (x′

y′

).

b) Hiperbola. Centre:(2, −1). Equacio reduıda: x′2− 4y′2

+ 26 = 0.Eix x′: x − 2y = 4. Eix y′: 2x + y = 3.Asımptotes:y = −1 i 4x − 3y = 11.


(xy

)=

(2

−1

)+

1√

5

(2 −11 2

) (x′

y′

).

c) Parell de rectes paral.leles imaginaries. Les seves equacions son

x + y − 2 + 3i = 0 i x + y − 2 − 3i = 0 .


d) Parabola. Vertex:(0, −1). Equacio reduıda: x′2− 4

√10y′

= 0.Eix x′: 3x + y = −1. Eix y′: x − 3y = 3.


(xy

)=

(0

−1

)+

1√

10

(1 3

−3 1

) (x′

y′

).

7. a) Recta doble. La seva equacio esx + y − 2 = 0.

b) Parell de rectes secants. Les seves equacions son

x + 4y + 2 = 0 i 3x − 2y + 2 = 0 .

c) Parabola. Vertex:(0, 2). Equacio reduıda: x′2− 4

√2 y′

= 0.Eix x′: x + y = 2. Eix y′: x − y = −2.


(xy

)=

(02

)+

1√

2

(1 1

−1 1

) (x′

y′

).

d) Parell de rectes paral.leles. Les seves equacions son

x + 4y + 3 = 0 i x + 4y + 5 = 0 .

8. a) El.lipse. Centre:(−1, 0). Equacio reduıda: 4x′2+ 9y′2

− 36 = 0.Eix x′: x − 2y = −1. Eix y′: 2x + y = −2.


(xy

)=

(−1

0

)+

1√

5

(2 −11 2

) (x′

y′

).

b) Parabola. Vertex:(2, 3). Equacio reduıda: 5x′2− y′

= 0.Eix x′: 3x + 4y = 18. Eix y′: 4x − 3y = −1.


(xy

)=

(23

)+

1

5

(4 3

−3 4

) (x′

y′

).

c) Hiperbola. Centre:(0, 1). Equacio reduıda: x′2− y′2

− 4 = 0.Eix x′: x − y = −1. Eix y′: x + y = 1.Asımptotes:x = 0 i y = 1.


(xy

)=

(01

)+

1√

2

(1 −11 1

) (x′

y′

).

d) Parell de rectes imaginaries amb vertex real. Les seves equacions son

y = −(3 + i )x + 2 − 3i i y = (−3 + i )x + 2 + 3i .

El vertexes el punt(−3, 11).

e) El.lipse. Centre:(0, 0). Equacio reduıda: x′2+ 2y′2

− 16 = 0.Eix x′: x + y = 0. Eix y′: x − y = 0.


(xy

)=

1√

2

(−1 1

1 1

) (x′

y′

).

9. a) Parabola.b) Hiperbola.

10. a) y = 1 − x i y = −x.b) y = −x i y = x − 1.

11. Si λ < −1, −1 < λ < 0 o λ > 1, la conicaes una hiperbola. Si 0< λ < 1, es una el.lipse real. Siλ = −1, es un parell de rectes secants. Siλ = 0, es una parabola. Siλ = 1, es una recta doble.

129

12. Si λ < −2, es una el.lipse real. Si−2 < λ < 1 o λ > 1, es una hiperbola. Siλ = −2, es un parell derectes reals paral.leles. Siλ = 1, es un parell de rectes reals secants.

13. t = 1 i t = −1.En els dos casos, l’equacio reduıdaes 2x′2

±√

2 y′= 0. (El signe depen del sentit dels vectors del canvi

de coordenades.)

14. (5, −2) i (−1, 2).

15. Els vertexs de l’el.lipse son (0, −2), (−4, −4), (0, −7) i (−4, 1).Els vertexs de la hiperbola son (3, 2) i (−1, −2).

16. 2x − 3y + 4 = 0.

17. 2x − y + 3 = 0 i 10x − 9y + 43 = 0.

18. x − y − 1 = 0 i 41x − 41y + 39 = 0.

19. x2+ y2

− 2x − y = 0. Es una circumferencia.

20. 3x2+ 2xy + 6y2

− x − 3y = 0. Es una el.lipse real.

21. y2− 8x − 8 = 0. Es una parabola.

22. x2− 16xy − 11y2

− 2x + 46y + 46 = 0. Es una hiperbola.

23. 9x2+ 9y2

− 18x − 54y + 74 = 0. Es una circumferencia.

24. 3x2− 4xy − 5y2

+ 6x = 0. Es una hiperbola.

25. x2+ y2

+ 2x = 0. Es una circumferencia.

26. 2x2+ 2y2

+ 5x − 6y + 2 = 0. Es una circumferencia.

27. 4y3+ 4x2y + x2

− 12xy − 6x + 9 = 0.

28. x2+ y2

− ax − by = 0. Es una circumferencia.

29. x2+ y2

+ z2− 2x − 4y − 4z = 0.

30. El centrees(−2, 1, 0) i el radi 2.

31. El centrees(2, 2, 1) i el radi 3.

32. a) Cilindre hiperbolic. Equacio reduıda:√

2x′2−

√2 y′2

− 2 = 0.

Eix x′:x

√2

= y = z. Eix y′:x

−√

2= y = z. Eix z′:

x

0= −y = z.

b) Hiperboloide de dos fulls. Centre:(0, 0, 0). Equacio reduıda:−x′2− y′2

+ 2z′2− 1 = 0.

Eix x′: x = −y =z

0. Eix y′: x = y =

z

−2. Eix z′: x = y = z.

33. a) El.lipsoide real. Centre:(1, 0, 1). Equacio reduıda: x′2+ 2y′2

+ 3z′2− 2 = 0.

Eix x′: x − 1 = y =z − 1

0. Eix y′: x − 1 = −y = z − 1. Eix z′: x − 1 = −y =

z − 1

−2.

b) Hiperboloide d’un full. Centre:(0, 2, 0). Equacio reduıda: 3x′2+ y′2

− z′2− 2 = 0.

Eix x′: x =y − 2

0= −z. Eix y′:

x

0= y − 2 =

z

0. Eix z′: x =

y − 2

0= z.


34. a) Con real. Vertex:(−1, 1, −2). Equacio reduıda: 3x′2+ y′2

− z′2= 0.

Eix x′:x + 1

0= y − 1 =

z + 2

0. Eix y′: x + 1 =

y − 1

0= z + 2. Eix z′: x + 1 =

y − 1

0=

z + 2

−1.

b) Paraboloide el.lıptic. Vertex:(2, −1, 0). Equacio reduıda: 2x′2+ y′2

− 4√

2z′= 0.

Eix x′: (x, y, z) = (2, −1, 0) + λ(1, −1, −1). Eix y′: (x, y, z) = (2, −1, 0) + λ(2, 1, 1). Eix z′:(x, y, z) = (2, −1, 0) + λ(0, 1, −1).

35. La quadrica esta formada pels plans paral.lels d’equacionsx + y − z + 2 = 0 i x + y − z − 2 = 0.

36. Si α =12, es un paraboloide hiperbolic. Si α 6=

12, es un hiperboloide d’un full.

37. Si a < −1, es un paraboloide hiperbolic. Si a = −1, es un cilindre parabolic. Si −1 < a < 0 o a > 0,es un paraboloide el.lıptic. Sia = 0, es un cilindre el.lıptic real.

38. 4y − 3z + 7 = 0 i 4x − 3y − 20 = 0.

39. x2+ y2

+ z2+ 8xy + 8xz+ 8yz = 0. Es un con real.

40. 4x2− 4y2

− 12xy − 78z + 117= 0. Es un paraboloide hiperbolic.

41. λ2(x2+ y2

+ z2− 10z + 25) − 25(x2

+ y2) = 0.Si λ = 0, es un parell de plans imaginaris amb recta secant real. Si 0< λ < 5, es un con real. Siλ = 5,es un pla doble. Siλ > 5, es un con imaginari.

42. 2x2− y2

− z2= 0. Es un con real.

43. x2+ y2

− 5 = 0.

44. x2+ 2y2

+ z2+ 2xz− 8x − 8y + 8z − 2λ2

+ 8 = 0. Es un paraboloide el.lıptic.

11.10 Questionari

Bibliografia

[1] Amer, R. i Carreras, F.Curs d’Algebra Lineal.Ed. Cardellach Copies. Terrassa. 1997.

[2] Amer, R.Algebra Lineal. Problemes resolts.http://ruth.upc.es/algebra/probelemes_resolts.pdf

[3] Anton, H.Introduccion al algebra lineal.Ed. Limusa. Mexico. 1989.

[4] Burgos, J. deAlgebra Lineal.Ed. McGraw Hill. Madrid. 1993.

[5] Castellet, M. i Llerena, I.Algebra lineal i geometria.Publicacions de la Universitat Autonoma de Barcelona. 1988.

[6] Granero, F.Algebra y geometrıa analıtica.Ed. McGraw. Madrid. 1985.

[7] Lang, S.Algebra lineal.Ed. Addison–Wesley. Mexico. 1986.

[8] Moreno, J. M.Una introduccion al algebra lineal elemental.Dep. de Matematicas. U.A.B. Bellaterra. 1988.

132 Bibliografia

[9] Xambo, S.Algebra lineal y geometrıas lineales (Tomos I y II).Ed. Eunibar. Barcelona. 1977.

Algebra Problemes Exercicis Questions

Documents

Transcript of Algebra Problemes Exercicis Questions