Algebra Teoria y Ejercicios

PRÓLOGO

La “Comisión de Vinculación de la Facultad de Ingeniería con la Escuela nacional Preparatoria y el Colegio de Ciencias y Humanidades”, tiene como objetivo mejorar el aprendizaje de los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería, fomentando la comprensión de los conocimientos adquiridos en el nivel medio y con la intención de que su ingreso y desarrollo, dentro del nivel superior, sea exitoso. Dentro de las muchas acciones que se han realizado, la obra denominada “Álgebra, Teoría y Ejercicios” es un esfuerzo más para proporcionarle a dicha población los elementos necesarios para que su desarrollo a lo largo de los primeros semestres de ingeniería sea basado en fundamentos teóricos sólidos, que les otorguen la capacidad de adquirir, fielmente, nuevos conocimientos que permitan su firme avance ante los nuevos retos que involucran diferentes métodos y técnicas avanzadas de enseñanza.

Esta obra contiene los conceptos básicos del álgebra, resultado de un análisis entre las tres instituciones y considerando los contenidos que se imparten en el bachillerato y las necesidades de los primeros semestres de la carrera de ingeniería; logrando un mejor desenvolvimiento de los alumnos en asignaturas claves de las Ciencias Básicas, como soporte fundamental en el área de las ingenierías. El libro, por lo tanto, se presenta como una obra esencial para que los alumnos, al egresar del Bachillerato, respondan al perfil del plan de estudios establecido en la Facultad.

Por lo tanto, el ejercicio de vinculación entre las instituciones involucradas en el programa, representa fielmente el trabajo en equipo de los profesores que participaron en la elaboración de esta obra, cuyo objetivo final es formar mejores profesionistas, capaces de tomar decisiones y de ejercer el liderazgo con responsabilidad.

Continuando con la sinergia entre los responsables de las obras que se generen, los participantes en este proyecto lograrán difundir los conocimientos que el alumnado requiere para fomentar su formación y logrando se curse, con altas probabilidades de éxito, el nivel superior en el área de las ingenierías.

ING. JUAN URSUL SOLANES JEFE DE LA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, DE LA UNAM

RECOMENDACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Para obtener un mayor provecho del libro se te sugiere que lleves a cabo las siguientes recomendaciones:

Cuando inicies la lectura de cada capítulo lee los objetivos que se encuentran al inicio y atiende a las diferencias entre los que se refieren a la comprensión y a la aplicación de los temas.

Cuando revises algún problema evita consultar la respuesta que se encuentra en la página http://dcb.fi-c.unam.mx/lalgebra hasta que lo hayas resuelto por ti mismo

Antes de resolver cualquier problema que se te presenta o durante el proceso de solución del mismo toma en cuenta lo siguiente:

I. Lee con atención los problemas que se plantean, es muy importante que comprendas lo que tienes que resolver.

II. Identifica y diferencia cuales son los problemas que te parecen más difíciles de los más fáciles y trata de encontrar la razón de esto.

III. Las reglas no deben aprenderse de memoria sin haberlas comprendido. IV. Expresa en voz alta cada uno de los pasos del procedimiento de

solución. V. Utiliza Mapas Conceptuales para resumir conceptos y elaborar opciones

de solución. VI. Trata de representar gráficamente cada problema. VII. Anota el procedimiento que llevaste a cabo para resolver cada problema

así como cada uno de los pasos. VIII. Cuando leas el problema, elige la fórmula adecuada que vayas a utilizar,

luego sustituye las variables por los valores que se te den y te quedará una o varias incógnitas por despejar. Hazlo con cuidado y repasa los cálculos antes de anotar el resultado final.

IX. Cuando hayas resuelto el problema, trata de encontrar otras maneras de hacerlo y en ese caso, llevarlas a cabo observando si obtienes los mismos resultados en cada caso.

1

CCAAPPÍÍTTUULLOO 11 EEXXPPOONNEENNTTEESS YY RRAADDIICCAALLEESS

1.1 EXPONENTES .......................................................................................................................... 4 1.1.1 PROPIEDADES ........................................................................................................ 5 Ejercicios Resueltos ........................................................................................................... 6 Ejercicios Propuestos ......................................................................................................... 7

1.2 RADICALES .............................................................................................................................. 9 Ejercicios Resueltos de radicales .................................................................................... 10 Ejercicios Propuestos de radicales .................................................................................. 11

1.3 RACIONALIZACIÓN ............................................................................................................... 13 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 13 Ejercicios Propuestos de racionalización ......................................................................... 14

CCAAPPÍÍTTUULLOO 22 OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN PPOOLLIINNOOMMIIOOSS

2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ........................................................................................ 15 Regla para la suma de polinomios ................................................................................... 15 Opuesto o inverso aditivo de un polinomio ...................................................................... 16 Regla para la resta de polinomios .................................................................................... 16 2.1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN ........... 17 Regla para la suma de polinomios con símbolos de agrupación ..................................... 17 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 17 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 19

2.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS .................................................................................... 20 Regla para la multiplicación de monomio por monomio .................................................. 21 Regla para la multiplicación de monomio por polinomio .................................................. 25 Regla para la multiplicación de polinomio por polinomio ................................................. 25 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 26

2.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS ................................................................................................... 28 Regla para la división de monomio entre monomio ......................................................... 28 Regla para la división de polinomio entre monomio ........................................................ 30 Algoritmo de la división .................................................................................................... 31 Regla para dividir polinomio entre polinomio ................................................................... 32

CCAAPPÍÍTTUULLOO 33 PPRROODDUUCCTTOOSS NNOOTTAABBLLEESS YY FFAACCTTOORRIIZZAACCIIÓÓNN

3.1 PRODUCTOS NOTABLES ..................................................................................................... 39 Cuadrado de la suma de dos monomios ......................................................................... 39 Cuadrado de la diferencia de dos monomios ................................................................... 40 Ejercicios del cuadrado de un binomio ............................................................................ 42 Producto de la suma por la diferencia de dos monomios ................................................ 43 Cubo de un binomio ......................................................................................................... 44 Ejercicios del cubo de un binomio .................................................................................... 46

Producto de dos binomios de la forma x a x b

.................................................. 47

Ejercicios de producto de dos binomios con un término común ...................................... 47

3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax2 .................................. 50

Ejercicios Propuestos de factorización de trinomios de la forma cbxax2 ............. 51 3.2.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS ........................ 51

2

Ejercicios Propuestos ...................................................................................................... 52 3.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ................................................................................. 53

Ejercicios Propuestos ...................................................................................................... 54

CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN FFRRAACCCCIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS

4.1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ................................................................................................. 55 4.2 ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ........................................................................ 58 4.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................................. 58 4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................... 60

Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 61 4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES .................................................................................................. 62

Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 62 4.6 FRACCIONES COMPLEJAS .................................................................................................. 65

Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 66

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 RRAAZZOONNEESS YY PPRROOPPOORRCCIIOONNEESS

5.1 RAZÓN .................................................................................................................................... 67 5.2 PROPORCIÓN ........................................................................................................................ 70

5.2.1 PROPIEDAD DE UNA PROPORCIÓN ................................................................... 70 Proporción Continua ......................................................................................................... 70 Proporción Directa ............................................................................................................ 72 Proporción Inversa ........................................................................................................... 73 Variación Lineal ................................................................................................................ 76 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 79

CCAAPPÍÍTTUULLOO 66 LLOOGGAARRIITTMMOOSS

6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO.............................................................................................. 82 Ejercicios Resueltos: ........................................................................................................ 83 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 84

6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ............................................................................... 84 6.2.1 PROPIEDADES DE CANCELACIÓN ..................................................................... 84 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 85 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 85 6.2.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS OBTENIDAS A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ....................................................................... 86 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 86 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 89 6.2.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS ............................................................................ 89 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 95

6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS .............................................................................. 95 6.3.1 ANTILOGARITMO ................................................................................................... 95 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 95 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 96

6.4 CÁLCULOS ARITMÉTICOS UTILIZANDO LOGARITMOS .................................................... 96 Cálculo del producto de dos números .............................................................................. 96 Cálculo del cociente de dos números. ............................................................................. 97 Cálculo de potencias ........................................................................................................ 97 Cálculo de raíces .............................................................................................................. 97 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 98 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 99

3

CCAAPPÍÍTTUULLOO 77 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE PPRRIIMMEERR GGRRAADDOO

7.1 NOCIONES BÁSICAS ........................................................................................................... 100 Ecuaciones ..................................................................................................................... 100 Clasificación de ecuaciones ........................................................................................... 100 Soluciones de una ecuación .......................................................................................... 101

7.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................................ 101 Resolución de Ecuaciones ............................................................................................. 101

Propiedades de la igualdad ........................................................................................ 101 Ejercicios Resueltos ....................................................................................................... 102 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 109

7.3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO.............................................................................................. 112 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 113

7.4 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ........................................................................... 114

Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 116

CCAAPPÍÍTTUULLOO 88 SSIISSTTEEMMAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS CCOONN DDOOSS

IINNCCÓÓGGNNIITTAASS

8.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS .......................................... 118 8.2 ECUACIONES SIMULTÁNEAS ........................................................................................... 118 8.3 ECUACIONES EQUIVALENTES ......................................................................................... 119 8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES ...................................................... 119 8.5 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. ............................................................................................................................. 120

8.5.1 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN ..................................................................... 120 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 125 8.5.2 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN .................................................................... 125 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 129 8.5.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN ..................................................................... 130 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 131 8.5.4 SISTEMAS CON ECUACIONES FRACCIONARIAS ........................................... 132 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 135

CCAAPPIITTUULLOO 99 EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE SSEEGGUUNNDDOO GGRRAADDOO

9.1 MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. ............................ 136 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 141

9.2 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN. ......................................................................................... 142 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 145

9.3 FÓRMULA GENERAL ........................................................................................................... 145 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 150

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA .................................................................................................................................................................... 151

4

CAPÍTULO 1 EXPONENTES Y RADICALES

Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos

Nivel Taxonómico

IDENTIFICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

Comprensión

SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES ENTEROS

Aplicación

SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES FRACCIONARIOS

Aplicación

IDENTIFICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Comprensión

SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS

Aplicación

APLICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES PARA EXTRAER O INTRODUCIR FACTORES EN RADICALES

Aplicación

EXPRESARÁ UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA EN DIFERENTES FORMAS RACIONALIZANDO EL NUMERADOR O EL DENOMINADOR

Aplicación

1.1 EXPONENTES

Para iniciar el estudio de los exponentes y radicales, se partirá de algunas

definiciones.

La notación exponencial na , donde n es un natural se define como el producto

del número real “a” multiplicado “n” veces por sí mismo.

na = aaaa

“n” factores

Al natural “ n ” se le llama exponente y al número real “ a ” la base.

Para complementar esta información se citan los siguientes casos:

aa1

aaa2

aaaa3

aaaaaaa6

5

Por definición:

10a

n

n

aa

1

1.1.1 PROPIEDADES

Sean los números reales a y b y los enteros m y n, entonces:

1) nmnm aaa

2) mnnn aa )(

3) nnn baab)(

4) n

nn

b

a

b

a

5) nmn

m

aa

a

Demostración de la propiedad (1)

Si m y n son enteros positivos, entonces

nm factores de a

aaaaaaaaaa nm

m factores de a n

factores de a

6

Por lo tanto

m n m na a a

Ejercicios Resueltos

Exponentes

Simplificar las siguientes expresiones

1) 13364364 xxxxx

2) 30)6)(5(65 )( aaa

3) 4 4 4 4 4 4

4) 3 3 3

32 82

c c c

5) 33

33

3

327

327

ccc

6) 5383

8

xcxcc

xc

7

7) 3

7 7 3 4

1 1z

z z z

8) 2

2 8 2 1 8 2 6

1 1vu

v u v u vu

9) 1

5

2

4

21

54

6

9

6

9

u

y

y

u

yu

yu

5

1

2

4

2

3

y

u

y

u

7

5

2

3

y

u

Ejercicios Propuestos

Exponentes

Simplificar las siguientes expresiones:

1) 362 xaaa

2) 65)(ax

8

3)

4)

3

4a

x

5) 3

8

f

abf

6) 2

4

)2(

)3(

y

y

7) 8

5

yv

v

8) 31

44

8

16

ba

ba

9) 5

4

3

4

2

3

u

w

w

u

9

1.2 RADICALES

El símbolo

se conoce como signo de radical; la expresión dentro del radical se

denomina radicando. Una expresión algebraica que contiene un radical se

conoce como expresión radical.

El símbolo

lleva un índice que indica la potencia a la que hay que elevar la raíz

para obtener el radicando. Cuando el radical

no lleva índice entonces se trata

de una raíz cuadrada.

Cuando la raíz cuadrada de un número real no negativo “ a ” se eleva al cuadrado,

el resultado es ese número real positivo, es decir:

2( )a a y 2( )a a

Si “ a ” es negativo, a

no es un número real.

Propiedad de multiplicación de radicales con índice 2:

Si

y

son números no negativos ab a b

Propiedad de división de radicales con índice 2:

Si

y

son números positivos a a

b b

Para cualquier número real “a”, se tiene que 2a a

10

Generalización:

Definición: Sean m, n

; y x

;

mn mnx x

Las propiedades de la multiplicación y la división de radicales con índice 2 pueden

generalizarse como sigue:

n n na b a b

n

nn

a a

b b

Por último puede demostrarse que m n mna a

Ejercicios Resueltos de radicales


1) 2 2

5 5 1 1 1 1 1 1

40 840 8 8 2 2(2) (2) 2 2

2) 4

4 4444

32 3216 2 2

22

3) 3 34 2 3 3 3 3 23 3 3 381 9 (3 )(3 ) (3 )(3 ) 3 3 (3)(3) 3 9

4) 66 73 66 6128 128 2 2 2 2 2

5) 8 9 10 8 9 10 4 8 5 4 4 5 4 4 5a b c a b c a b bc a b bc a b c b

0n

11

6) 3 23 6 63 4 2 3 4 2 9 8 4 9 8 46 6 63 2 3 2 27 4 27 4a a b a a b a a b a a b

6 6 6 617 4 12 5 4 2 5 4108 108 108a b a a b a a b

7)

16 9 16 9 16 98 8488

12 83 2 3 2 48 ( )

x y x y x yx y

x yx y x y

8) 4 7 6 11 3 6 6 11 2 6 11 2 6 2 113 3 3 3x y x y x y y x y xy y x y xy x y y

2 6 13 2 6 12 2 2 2 46 6 6 6xy x y xy x y y xy xy y x y y

9)

56 9153 6 4 30 4515 15 159 18 9 15 3 9 315

21 275 7 9 37 915

22 3232 32 32

a ba b a ba b a b b b a b

a ba b a b

10) 82 3 3 4 3 74 4x x x x x x x x x x x x x

Ejercicios Propuestos de radicales


1) 5 5128 8

2) 3

3

3125

25

3) 7 6 2 34 243 ( )m n q

3 11673 yxyx

5 97

3 962

ba

ba

12

4) 2 175

19 115

256

2

x y

x y

5) 5 7 7 11 1040 10x y z x y z

6) 3 6 7

5 13

m n

m n

7) 2 2x x

8)

3

6 8

12

41

328

x

x

9) 2 3

33 43

(3 ) (2 )

4 (5 )

x y

x y

10) 2 7 2 83 64 128x y x y

13

1.3 RACIONALIZACIÓN


Racionalizar el denominador de:

1) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 2

1 2 2 2 3 2 2

3 2 21 2 1

2) 2 3 5 3 2 52 3 5 2 3 5 3 2 5 6 4 5 9 5 6 5 5

3 2 5 3 2 5 3 2 5 9 6 5 6 5 4 5 53 2 5 3 2 5

6 5 5 6(5) 24 5 5 24 5 5

9 4(5) 11 11 11

3) 5 2 5 25 2 5 2 5 2

5 2 5 2 5 2 5 2 5 2

2 2

2 2

5 5 2 2 5 2

5 5 2 2 5 2

5 10 10 2 7 2 10 7 2 10

5 2 3 3 3

4) 2 1 2 2 1 22 1 2 2 1 2 2 1 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

a a a aa a a a a a

a a a a a a a a a a

2 2

2 2

2 1 2 1 2 2 2 1 2

2 1 2 1 2 2 2 1 2

a a a a a a

a a a a a a

22 1 2 2 (2 1) 2 4 1 2 4 2

2 1 2 1

a a a a a a a

a a

24 1 2 4 2a a a

14

Ejercicios Propuestos de racionalización

Racionalizar el denominador de:

1) 3 3

3 3

2) 6 2 2

1 2

3) 2 7

2 7

4) 2a b

a b

15

CAPÍTULO 2 OPERACIONES CON POLINOMIOS


Nivel Taxonómico

DEFINIRÁ EL INVERSO ADITIVO DE UN POLINOMIO

CONOCIMIENTO

APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA SUMA Y RESTA

DE POLINOMIOS

APLICACIÓN

APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS

APLICACIÓN

APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

APLICACIÓN

2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Regla para la suma de polinomios

Para sumar polinomios se escriben en forma secuencial con sus propios signos,

se agrupan los términos semejantes y se reducen sumándolos o restándolos

según sus signos.

Ejercicio

Calcular la suma de los siguientes polinomios:

3x , 25 6 1x x , 3 24 3 4x x x

Resolución:

Escribirlos en secuencia con sus propios signos: 2 3 23 5 6 1 4 3 4x x x x x x

Agrupar los términos semejantes y reducirlos:

3 2 2 3 24 5 3 6 3 1 4 4 4 6 3x x x x x x x x x

Otra alternativa es alinear verticalmente los términos semejantes y reducirlos:

3x

25 6 1x x

3 24 3 4x x x

3 24 4 6 3x x x

16

Opuesto o inverso aditivo de un polinomio

El opuesto, simétrico o inverso aditivo de un polinomio es otro polinomio que se

obtiene cambiando el signo de cada uno de sus términos.

Regla para la resta de polinomios Para dos polinomios P1 y P2, restar P2 de P1 se calcula sumando el opuesto de P2:

P1 – P2 = P1 + (– P2)

Ejercicio

Obtener la diferencia de 4 3 22 3 9 12 7x x x x

menos 3 25 4 12 3x x x

Resolución

Sumar al polinomio minuendo 4 3 22 3 9 12 7x x x x , el opuesto del polinomio

sustraendo 3 25 4 12 3x x x :

4 3 2 3 2

4 3 2 3 2

2 3 9 12 7 5 4 12 3

2 3 9 12 7 5 4 12 3

x x x x x x x

x x x x x x x


4 3 3 2 2

4 3 2

2 3 5 9 4 12 12 7 3

2 8 13 4

x x x x x x x

x x x

También se puede ejecutar la resta alineando verticalmente los términos

semejantes:

4 3 2

3 2

2 3 9x 12 7

5 4 12 3

x x x

x x x

4 3 2

3 2

4 3 2

2 3 9 12 7

5 4 12 3

2 8 13 4

x x x x

x x x

x x x

17

2.1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Regla para la suma de polinomios con símbolos de agrupación

Para simplificar estas expresiones se eliminan uno a uno los símbolos de

agrupación, suprimiendo cada vez el símbolo que no tiene en su interior otros

símbolos de agrupación. Después se agrupan y reducen los términos semejantes.

Un símbolo de agrupación precedido de un signo positivo se suprime sin alterar el

polinomio contenido en su interior.

Un símbolo de agrupación precedido de un signo negativo se suprime obteniendo

el opuesto del polinomio contenido en su interior.


Ejercicio

Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar la expresión:

3 2 5 7 2 15a a b a b

Resolución

Suprimir en primer lugar el paréntesis precedido de signo positivo:

3 2 5 7 2 15a a b a b

Eliminar el corchete precedido de signo negativo:

3 2 5 7 2 15a a b a b

Suprimir la llave precedida de signo negativo:

3 2 5 7 2 15a a b a b


3 2 5 2 7 15 6 3 8a a a b b a b

Ejercicio

Suprimir los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes de:

4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x

18

Resolución

Suprimir los dos paréntesis en orden de izquierda a derecha según el signo que

les precede:

4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x

Eliminar el corchete precedido de signo negativo:

4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x

Suprimir la llave precedida de signo positivo:

4 5 6 9 7 2 12 5xy y x xy x xy y x

Agrupar términos semejantes y reducirlos:

6 7 5 4 9 2 5 12 8 15 7x x x xy xy xy y y x xy y

Ejercicio Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar la expresión:

2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b

Resolución

Eliminar los paréntesis en orden de izquierda a derecha según el signo que les

precede:

2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b

Suprimir los corchetes de izquierda a derecha según el signo que les precede:

2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b

Eliminar la llave precedida de signo negativo:

2 3 4 2 4 1 3 5a b a b a b a b


2 2 3 4 4 1 3 5 2 13a a a a b b b b a b

19

Ejercicio Simplificar la siguiente suma de polinomios:

2 22 2 2 22 1 1 2

3 53 2 4 3 6

ab b aa b a ab b ab

Resolución

Suprimir símbolos de agrupación según el signo que les precede:

2 22 2 2 22 1 1 2

3 53 2 4 3 6

ab b aa b a ab b ab


2 2

2 2 2 21 2 1 25 3

2 6 3 4 3

a ab ba a ab ab b b

2 22 2 2 23 30 8 3 12 9 3 2

6 6 6 12 12 12 3 3 3

a ab ba a ab ab b b

2 226 7 14

6 12 3a ab b

2 213 7 14

3 12 3a ab b


Sumar los siguientes polinomios:

1) 7x

, 3 215 2 13 8x x x , 4 317 25 11 13x x x

2) 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 37 3 4 5 1 15 116

12 8 3 4 2 4 6a a b b a b a b b a b a

Restar el segundo polinomio del primero:

3) 4 222 11 3 7x x x , 4 313 18 12 3x x x

4) 3 4 2 3 21 5 9

2 4 2a b a b ab , 2 3 4 2 37 4

2 33 5

ab a b a b

20


5) 2 2 218 5 4 3 8 7 3 11a a a a a a

6) 7 8 2 5 4 9 5 12 14x xy x y xy y x xy

7) 2 4 3 8 11 5 6 15 8 13 7a b b a b a b a

2.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

En la multiplicación de polinomios se distinguen tres casos:

La multiplicación de monomio por monomio.

La multiplicación de monomio por polinomio.

La multiplicación de polinomio por polinomio.

En los tres casos suele ser necesaria la aplicación de las siguientes leyes de los

exponentes:

Para cualesquiera números reales “a” y “b” y cualesquiera números enteros

positivos “m” y “n” se cumple que: m n m na a a (Producto de potencias de igual base)

nm mna a (Potencia de potencia)

m m mab a b (Potencia de un producto)

Y la aplicación de las reglas de los signos de la multiplicación:

El producto de dos números de igual signo es positivo y el producto de dos

números de diferente signo es negativo. En general, el producto de un número par

o impar de factores positivos es positivo; el producto de un número par de factores

negativos es positivo y el producto de un número impar de factores negativos es

negativo.

21

Regla para la multiplicación de monomio por monomio

Para multiplicar monomios se calcula el producto de sus coeficientes numéricos

respetando las reglas de los signos y se multiplican las potencias de igual base

empleando las leyes de exponentes.

Ejercicio Calcular el siguiente producto:

2 3 2 2 37 2a bc ab c a c

Resolución

Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias

de igual base:

2 3 2 2 3 2 3 2 3 27 2 7 2 1a bc ab c a c a aa bb c c c

2 1 3 1 2 3 2 114 a b c

6 3 614a b c

Nota: Observar que si una potencia no tiene exponente y coeficiente explícitos, se

debe suponer que son uno: 11x x

Ejercicio Ejecutar el siguiente producto:

4 3 57 68 3 25

15 2 12

x y y zxy z

Resolución


de igual base:

4 3 57 6 4 3 7 5 68 3 25 8 3 25

15 2 12 15 2 12

x y y zxy z x x yy y z z

22

4 1 1 3 7 5 68 3 25

15 2 12x y z

3 2

5 11 11

2

2 3 5

3 5 2 2 3x y z

5 11 115

3x y z

Nota: Observar que es conveniente simplificar las fracciones numéricas, antes de

efectuar su producto.

Ejercicio

Simplificar: 7 23 4 23 30 3

4 3

a b c a bc

Resolución


de igual base:

7 23 4 27 2 3 4 23 30 3 1 30

3 34 3 4 3

a b c a bca a b b c c

7 2 3 1 4 230

34 3

a b c

9 4 6

2

2 3 53

2 3a b c

9 4 65

32

a b c

23

Ejercicio

Simplificar la siguiente expresión:

32 2 4 23 4 2 5 33 4 x y y x

Resolución

Ejecutar primero las potencias de potencias, después calcular el producto de los

coeficientes y multiplicar las potencias de igual base:

32 2 4 23 4 2 3 2 2 5 4 3 24 2 5 33 4 3 64x y y x x y y x

24 4 20 6192 x y y x

30 24192x y

Nota: Observar que 34 4 3 , porque 3

4 4 4 4 64

Ejercicio

Calcular la siguiente expresión:

23 22 3 32 2 2 22 1 1 45 1 1

5 36

a b a b

24

Resolución

Ejecutar primero las potencias de un producto, después las potencias de potencias

y al final calcular el producto de los coeficientes y multiplicar las potencias de igual

base:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Nota: Observar que es conveniente expresar las fracciones numéricas en

potencias de bases primas para simplificar sus productos. Y que para todo

número real “a” y cualquier número entero positivo “n” se cumple que: n na a , si “n” es par

n na a , si “n” es impar

25

Regla para la multiplicación de monomio por polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, utilizando la propiedad distributiva.

Ejercicio

Calcular el producto: 2 28 2 7 5ab a ab

Resolución

Multiplicar el monomio por cada término del polinomio:

2 2 2 2 2 28 2 7 5 8 2 8 7 8 5ab a ab ab a ab ab ab

3 2 2 3 216 56 40a b a b ab

Otra alternativa es multiplicar en forma vertical:

2

2

3 2 2 3 2

2 7 5

8

16 56 +40

a ab

ab

a b a b ab

Nota: Observar que la propiedad distributiva reduce el proceso a la suma de

multiplicaciones de monomios.

Regla para la multiplicación de polinomio por polinomio

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada uno de los términos del primer

polinomio por el segundo polinomio, utilizando la propiedad distributiva.

Ejercicio

Calcular el producto: 2 2 2 29 5 7 2 3x xy y y xy x

Resolución

26

Multiplicar cada término del primer polinomio por el segundo polinomio, con lo que se reduce el proceso a la suma de multiplicaciones de monomios por polinomios:

2 2 2 2 2 2 2 29 2 3 5 2 3 7 2 3x y xy x xy y xy x y y xy x

Ahora ejecutar en cada sumando el producto del monomio por cada término del

polinomio, con lo que se reduce el proceso a una suma de productos de

monomios: 2 2 3 4 2 2 2 3 4 3 2 218 27 9 10 15 5 14 21 7x y x y x xy x y x y y xy x y

Reducir los términos semejantes: 4 3 2 2 3 49 32 10 31 14x x y x y xy y

Otra alternativa es multiplicar en forma vertical ordenando los términos de los

polinomios en forma descendente respecto al grado de una de sus variables.

Escribiendo los polinomios en orden descendente respecto a “x”: 2 2

2 2

4 3 2 2

3 2 2 3

2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

9 5 7

3 2

9 5 7

27 15 21

18 10 14

9 32 10 31 14

x xy y

x xy y

x x y x y

x y x y xy

x y xy y

x x y x y xy y


Ejecutar las siguientes multiplicaciones:

1) 5 3 7 3 5 55 3 12a b c a c b c d

2) 4 3 2 6

3 518 4 21

35 3 16

x yz y zx y

27

3)

3 23 5 3 7 99 3 2 39 3 2

26 27

a bc a b c

4)

4 23 2 3 22 43 4 22 x y x y

5) 3 23 2 22 2 3 4 49 2 3x y xy x z y z

6)

2 32 3 4 22 2 2 26 3 4 20 3 4

24 28

a b a b

7) 5 4 3 2 2 2 312 3 4 2 7a b c a b b c c

8) 3 2 8 6 4 3 24 15 5 1 25

5 4 8 6 32x y x y x y x

9) 2 2 2 212 5 2 6 3 7a ab b b ab a

10) 3 2 2 3 3 2 2 310 5 15 1224 12

3 2 4 5x y x y xy xy x y x y


11) 3 2 2 25 2 21 7 19 3 4 6 14 8 12

3 7 2 6 4

xx x x x x x x

12) 2 27 3 2 4 8 5 2 6 8 9 3 4a b a b a a a b b a b

28

2.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS

En la división de polinomios se distinguen tres casos:

La división de monomio entre monomio.

La división de polinomio entre monomio.

La división de polinomio entre polinomio.

En los tres casos suele ser necesaria la aplicación de las siguientes leyes de los

exponentes:

Para cualesquiera números reales “ 0a ” y “ 0b ” y cualesquiera números

enteros positivos “m” y “n” se cumple que:

0

1

1

mm n

n

m

n

m

n n m

am n a

a

am n a

a

am n

a a

Si

Si

Si

(Cociente de potencias de igual base)

n m

n

a a

b b

(Potencia de un cociente)

Y las reglas de los signos de la división:

El cociente de dos números de igual signo es positivo y el cociente de dos

números de diferente signo es negativo.

Regla para la división de monomio entre monomio

Para dividir monomios se calcula el cociente de sus coeficientes numéricos

respetando las reglas de los signos y se dividen las potencias de igual base

usando las leyes de exponentes.

Ejercicio

Calcular la siguiente división: 8 5 2

3 4 6

45

63

a b c

a b c

29

Resolución

Simplificar calculando el cociente de los coeficientes los coeficientes y dividiendo

las potencias de igual base:

8 5 2 8 5 2

3 4 6 3 4 6

45 45

6363

a b c a b c

a b c a b c

2

8 3 5 46 22

3 5 1

3 7a b

c

5

4

5

7

a b

c

Nota: Observar que es conveniente expresar la fracción numérica en potencias de

bases primas para simplificarla.

Y que si “a”, “b” son números reales positivos con b 0, entonces:

a a

b b y

a a a

b b b

Ejercicio

Ejecutar el siguiente cociente:

2 4 3 7

2 2 8

15

821

28

w x y z

w x y

Resolución

Simplificar calculando el cociente de los coeficientes y dividiendo las potencias de

igual base:

2 4 3 72 4 3

72 2 8

2 2 8

1515 288

21 8 2128

w x y zw x y

zw x yw x y

30

2

4 2 73 8 3

2 73 5 11

3 72x z

y

2 7

5

5

2

x z

y

Nota: Observar que para cualesquiera números reales “ 0a ”, “ 0b ”, “ 0c ” y

“ 0d ” se cumple que:

ac a c

bd b d

ac c aa c

b b b

1aa

b b, tal que “

1

b” es el recíproco de “b”

a c a d

b d b c, tal que “

d

c” es el recíproco de “

c

d”

Regla para la división de polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del

polinomio entre el monomio, utilizando la propiedad distributiva, las reglas de los

signos y las leyes de exponentes correspondientes.

Ejercicio

Calcular el siguiente cociente: 4 2 3 3 2 4

2 2

48 36 9

12

x y x y x y

x y

Resolución

Dividir cada término del polinomio entre el monomio:

4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2

48 36 9 48 36 9

12 12 12 12

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y

2 234 3

4x xy y

31

Nota: Observar que la división de un monomio entre un polinomio no es

simplificable porque la propiedad distributiva no es aplicable:

a a a aa b c d

b c d b c d

Ejercicio Verificar en la siguiente expresión numérica que no es aplicable la propiedad

distributiva:

120

20 40 30

Resolución

Simultáneamente simplificar la fracción y aplicar la “propiedad distributiva” para

mostrar que los resultados son diferentes:

120 120 120 120

20 40 30 20 40 30

1206 3 4

30

4 5

Algoritmo de la división

Un algoritmo es simplemente un procedimiento ordenado de cálculo que se

describe paso a paso.

Para la división el algoritmo establece:

dividendo residuocociente

divisor divisor, si divisor 0

El cual puede expresarse también como:

dividendo divisor cociente residuo

Que se utiliza para la comprobación de la división.

32

Si la división no es exacta, el residuo es diferente de cero porque el dividendo no

es múltiplo del divisor.

La aplicación sistemática de este algoritmo a la división de dos polinomios se

describe en seguida:

Regla para dividir polinomio entre polinomio

1. Ordenar los términos de los polinomios dividendo y divisor en potencias

decrecientes respecto al grado de una de sus variables (agregando con

coeficiente cero cualquier término de grado intermedio que falte en el

dividendo); y se colocan en el lugar que les corresponde de la galera o llave

de división.

divisor dividendo

2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y

escribir el resultado como el primer término del cociente.

3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el

divisor, para obtener el residuo.

4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo.

5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor,

y escribir el resultado como el siguiente término del cociente.

6. Repetir los pasos 3, 4 y 5, hasta que el residuo sea cero o de grado inferior

al grado del divisor.

7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por

el cociente más el residuo.

Ejercicio

Dividir: 34 9 4x x

entre 3 2x

Resolución

33

1. Escribir los polinomios dividendo y divisor en la galera o llave de división en

orden decreciente respecto al grado de la variable, agregando en caso

necesario con coeficiente cero los términos de grado intermedio que falten en

el dividendo:

3 22 3 4 0 9 4x x x x

2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para

obtener el primer término del cociente.

2

3 2

22 3 4 0 9 4

x x x x x


divisor, para obtener el primer residuo.

2

3 2

3 2

2

22 3 4 0 9 4

4 6

6

x x x x x

x x

x


2

3 2

3 2

2

22 3 4 0 9 4

4 6

6 9

x x x x x

x x

x x


para obtener el segundo término del cociente.

34 2

x x Calcular

22 2 3

x x Restar

Primer residuo

9

x Bajar

26 2

x x Restar

34

2

3 2

3 2

2

2 32 3 4 0 9 4

4 6

6 9

x x x x x x

x x

x x

6. Restar del residuo parcial el resultado de multiplicar el segundo término del

cociente por el divisor, para obtener el segundo residuo.

2

3 2

3 2

2

2

2 32 3 4 0 9 4

4 6

6 9

6 9

0 4

x x x x x x

x x

x x

x x

x

El grado del residuo “– 4” es cero y es menor que el grado uno del divisor

“ 3 2x ”, así que el proceso de la división ha terminado.

7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el

cociente más el residuo.

2 32 3 2 3 4 4 9 4x x x x x

3 2 2 34 6 6 9 4 4 9 4x x x x x x

3 34 9 4 4 9 4x x x x

3 2 3

x x Restar

Segundo residuo

35

Ejercicio

Dividir: 221 5 3 2 5 3 8 7 5 3 4a b a b a b

Resolución

Ejecutar un cambio de variable para simplificar la división:

Sea 5 3z a b , entonces la división es: 221 2 8 7 4z z z

1. Escribir los polinomios dividendo y divisor en la galera o llave de división en

orden decreciente respecto al grado de la variable, agregando en caso

necesario con coeficiente cero los términos de grado intermedio que falten en

el dividendo:

27 4 21 2 8z z z

2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para

obtener el primer término del cociente.

2

37 4 21 2 8

z z z z


divisor, para obtener el primer residuo.

2

2

3 7 4 21 2 8

21 12

14

z z z z

z z

z

221 7

z z Calcular

3 7 4

z z Restar

Primer residuo

36


2

2

3 7 4 21 2 8

21 12

14 8

z z z z

z z

z


para obtener el segundo término del cociente.

2

2

3 2 7 4 21 2 8

21 12

14 8

z z z z

z z

z

6. Restar del residuo parcial el resultado de multiplicar el segundo término del

cociente por el divisor, para obtener el segundo residuo.

2

2

3 2 7 4 21 2 8

21 12

14 8

14 8

0

z z z z

z z

z

z

7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el


27 4 3 2 0 21 2 8z z z z

2 221 14 12 8 21 2 8z z z z z

2 221 2 8 21 2 8z z z z

8 Bajar

14 7

z z Calcular

2 7 4

z Restar

Segundo residuo

37

8. Obtener la solución de la división sustituyendo el valor de “z”:

Si 221 2 8 7 4 3 2z z z z y 5 3z a b , entonces:

221 5 3 2 5 3 8 7 5 3 4 3 5 3 2a b a b a b a b

Ejercicio

Dividir: 5 4 2 3 3 2 4 5 615 14 51 30 32 48a b a b a b a b ab b

entre 3 2 2 36 2 5b ab a b a

Resolución

Ordenar los polinomios en forma descendente respecto al grado de la variable “a”

y efectuar la división:

3 2 2 3 5 4 2 3 3 2 4 5 6

5 4 2 3 3 2 4

4 2 3 3 2 4 5

4 2 3 3 2 4 5

3 3 2

5 2 6 15 14 51 30 32 48

15 6 3 18

20 48 12 32

20 8 4 24

40 16

a a b ab b a b a b a b a b ab b

a b a b a b a b

a b a b a b ab

a b a b a b ab

a b a

2 2 3

4 5 6

3 3 2 4 5 6

3 4 8

8 48

40 16 8 48

0

a b ab b

b ab b

a b a b ab b

Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el


3 2 2 3

2 2 3

5 4 2 3 3 2 4

4 2 3 3 2 4 5

3 3 2 4 5 6

5 4 2 3 3 2 4 5 6

5 2 6

3 4 8

15 6 3 18

20 8 4 24

40 16 8 48

15 14 51 30 32 48

a a b ab b

a b ab b

a b a b a b a b

a b a b a b ab

a b a b ab b

a b a b a b a b ab b

Se ha verificado que la solución es correcta.

38


Efectuar las siguientes divisiones:

1) 6 3 8

2 5 6

42

54

x y z

x y z

2)

5 2 6

2 4 3

35

1810

27

a b c

a b c

3)

23 32 7 5

4 52 4 3

3

28

12

35

a b c d

a b c d

4)

7 3 5 6 3 9

3 3

20 5 1

9 18 275

54

x y x y x y

x y

5) 3 3 4 4

2 2

5 3 3

2

ab a b a b

b ab a

6) 2

2 5 2 5 5 2 12

2 5 2 3

x y x y

x y

39

CAPÍTULO 3 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos: Objetivos

Nivel Taxonómico

DESARROLLARÁ EL CUADRADO Y EL CUBO DE UN BINOMIO

Aplicación

EXPRESARÁ UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IGUALES

Aplicación

IDENTIFICARÁ TRINOMIOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Aplicación

EXPRESARÁ UN TRINOMIO DE LA FORMA a

x 2

+ b

x + c

COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS

Aplicación

IDENTIFICARÁ EL PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS COMO UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Conocimiento

EXPRESARÁ

LA DIFERENCIA DE CUADRADOS COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS

Aplicación

OPERARÁ CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUYA FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ES IGUAL AL PRODUCTO DE DOS O MÁS FACTORES

Aplicación

IDENTIFICARÁ TÉRMINOS SEMEJANTES PARA REDUCIR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Comprensión

ELIMINARÁ SÍMBOLOS DE AGRUPAMIENTO EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Comprensión

3.1 PRODUCTOS NOTABLES

Los Productos Notables son un conjunto de reglas cuya aplicación simplifica la

obtención de algunos productos algebraicos.

Cuadrado de la suma de dos monomios

Elevar al cuadrado a b

equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y

tendremos: 2 2 22a b a ab b

Demostración: 2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b

Regla con palabras:

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término

más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Ejercicio

2

3 5x

40

a) El cuadrado del primer término es: 23 3 9x x x

b) El doble producto de ambos términos es: 2 3 5 6 5 30x x x

c) El cuadrado del segundo término es: 5 5 25

Entonces: 2 23 5 9 30 25x x x

Cuadrado de la diferencia de dos monomios

Elevar a b

al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma,

luego:

2 2 22a b a ab b

Demostración:

2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b

Regla con palabras:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer

término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo

término.

Ejercicio

222 7x y


b) El doble producto de ambos términos es: 2 2 22 2 7 4 7 28x y x y xy

41

c) El cuadrado del segundo término es: 2 2 47 7 49y y y

Entonces:

22 2 2 42 7 4 28 49x y x xy y

42

Ejercicios del cuadrado de un binomio

1) 232322222322 )5()5)(9(2)9()59( babaababbaab

645342 259081 bababa

2) 2 2 2

3 2 3 3 2 25 3 5 5 3 32

6 5 6 6 5 5x xy x x xy xy

6 4 2 2 4 6 4 2 2 425 30 9 25 9

36 30 25 36 25x x y x y x x y x y

3) 2 2 23 2 3 3 2 24 4 4

28 7 8 8 7 7

a a a a a a

b b b

6 5 4 6 5 4

2 2

8 16 16

64 56 64 749 49

a a a a a a

b bb b

4) 2 222 2 2 8 4

6 6 6 125 5 5 5 10

3 4 3 3 4 4 9 24 162

8 8 8 649 9 9 72 81

a a a a aa a a a

b b b b b

12 8 4

5 10

9 16

64 3 81

a a a

b b

43

Producto de la suma por la diferencia de dos monomios

Sea el producto a b a b :

2 2a b a b a b

Demostración: 2 2 2 2a b a b a ab ab b a b

Regla con palabras:

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del

primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejercicio

3 5 3 5x y x y


b) El cuadrado del segundo término es: 25 5 25y y y

Entonces: 2 23 5 3 5 9 25x y x y x y

44

Cubo de un binomio

1) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Demostración:

3 2 2 2 3 2 2 2 2 32 2 2a b a b a b a ab b a b a a b a b ab ab b

3 2 2 33 3a a b ab b

Regla con palabras:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el

triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del

primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo

término.

Ejercicio

3 3 2 2 32 6 2 3 2 6 3 2 6 6x y x x y x y y

a) El cubo del primer término es: 32 2 2 8x x x x

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término es:

2 23 2 2 6 6 2 6 12 6 72x x y x x y x y x y

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término es:

23 2 6 6 6 6 6 36 6 216x y y x x y xy y xy

d) El cubo del segundo término es: 36 6 6 216y y y y

Entonces: 3 3 2 2 32 6 8 72 216 216x y x x y xy y

45

2) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Demostración:

3 2 2 2 3 2 2 2 2 32 2 2a b a b a b a ab b a b a a b a b ab ab b

3 2 2 33 3a a b ab b

Regla con palabras:

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos

el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del

primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo

término.

Ejercicio

3 3 2 2 37 7 3 7 3 7x y x x y x y y

a) El cubo del primer término es: 37 7 7 343x x x x

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término es:

2 23 7 7 21 7 147 147x x y x x y x y x y

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término es:

23 7 21 21 21x y y x y y xy y xy

d) El cubo del segundo término es: 3y y y y

Entonces: 3 3 2 2 37 343 147 21x y x x y xy y

46

Ejercicios del cubo de un binomio

11)) 3 3 2 2 3 3 2 2 32 3 2 3 2 3 3 2 3 3 8 36 54 27a b a a b a b b a a b ab b

2) 3 3 2 2 34 2 3 4 4 2 3 4 2 3 2 37 5 7 3 7 5 3 7 5 5a a b a a a b a a b a b

12 10 3 8 6 6 9343 735 525 125a a b a b a b

3) 3 3 2 2 3

2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 4 3 4 43 3

4 5 4 4 5 4 5 5a b a a b a b b

6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 627 108 144 64 27 27 36 64

64 80 100 125 64 20 25 125

a a b a b b a a b a b b

4) 3 3 2 2 32 2 2 2

4 4 4 45 3 5 5 3 5 3 33 3

6 10 6 6 10 6 10 10

a b a b a b a bb b b b

6 3 4 6 2 9 12125 225 135 27

216 360 600 1000

a b a b a b b

6 3 4 6 2 9 12125 25 9 27

216 40 40 1000

a b a b a b b

5) 3 3 2 2 3

2 2 2 2

3 3 3 33 3

2 2 2 2

x y x x y x y y

y y y yx x x x

3 2 2 3 3 3

3 2 2 4 6 3 3 6

9 27 27 9 27 27

48 4 2 8 2

x x y xy y x y y

yy x y x y x y x x

47

Producto de dos binomios de la forma x a x b

El resultado de multiplicar x a x b es:

2x a x b x a b x ab

Regla con palabras:

El producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado

del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el

término común, más el producto de los términos no comunes.

Ejercicio

2

2 6 2 6 2 6x x x x

1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de

los binomios: 2x x x

2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de

los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a

un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término

del producto: 2 6 8x x

3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de

los binomios: 2 6 12

Entonces 22 6 8 12x x x x

Ejercicios de producto de dos binomios con un término común

1) 2 23 5 3 5 3 5 2 15x x x x x x

2) 2 22 2 2 3 4 2 3 2 2 3 4 10 6x x x x x x

3) 2

4 2 4 3 4 2 3 4 2 3xy a xy b xy a b xy a b

2 216 8 12 6x y a b xy ab

48

4) 2

16 4 16 2 16 4 2 16 4 2 16 2 16 8x x x x x x

16 8 8x x

Efectuar los siguientes productos:

1) 2 2 21 1 1 2 1 2 22 2x x x x x x x x x xa b a a b b a a b b

2) 2 2m n m n m n

3) 222 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z x y z

222222 2424 zyzyxzyzyx

Diferencia de cuadrados

Ejercicios

1) 2 2(2 )(2 ) 4y a y a y a

2) 2( 7 )( 7 ) 49x a x a x a

3) 2 2 24 4( 4 8)( 4 8) 4 64 2 64x x x x

4) 22422 49)23)(23( xbaxbaxba

Producto de dos binomios con un término común

Ejercicios

1) 152)5)(3( 2 xxxx

2) 6104)32)(22( 2 xxxx

3) 2 2 2 2(4 2 )(4 3 ) 16 (2 3 )(4 ) (2 )(3 ) 16 (8 12 ) 6xy a xy b x y a b xy a b x y a b xy ab

4) ( 25 6)( 25 4) 25 2 25 8 16 10 24x x x x x x

49

Desarrollar:

1) 96)3( 22 mmm

2) 8436243 64489)83( bbaaba

3) 422122221 )(2)( mmnnmn yyxxyx

4) 221221 2)( xxxxxx bbaaba

5) 222 9124)32( bababa

6) 102546253 81180100)910( yxyxxxyx

7) 22))(( nmnmnm

8) 442222 ))(( axaxax

9) mnnmmn yxxyyx 22 259)35)(53(

10) 222 44)2)(2( cbabacbacba

11) 22 )(4)2)(2( zyxzyxzyx

12) 32233 6128)2( xaxxaaxa

13) 86)4)(2( 2 xxxx

14) 454)9)(5( 2422 aaaa

15) 222422 2))(( mnnmmmmnnmm

16) 1803)15)(12( 3633 aaaa

17) 3613)3)(2)(3)(2( 24 aaaaaa

18) 632)9)(7( 61266 aaaa

50

3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax2

Ejercicios de factorización de trinomios de la forma cbxax2 :

1) 22

26 6 19 15 6 19 6 90 6 9 6 10

6 19 156 6 6

x x x x x xx x

3 2 3 2 3 5

2 3 3 56

x xx x

2) 22

24 4 11 20 4 11 4 80 4 16 4 5

4 11 204 4 4

x x x x x xx x

3) 22

2 22 2 3 2 2 3 2 4

2 2 3 2 3 22 2

x x x xx x x x

4) 22 2 2

2 28 8 2 8 2 8 8 8 4 8 2

8 28 8 8

x xy y x y x y x y x yx xy y

5)

24 3 2 2 2 2 2 2

4 3 2 24 4 10 4 4 10 4 16

4 10 44 4

x x y x y x xy x x yx x y x y

2 24 8 4 2 4 2 2 2

4 4

x xy x xy x x y x x y

22 2 2x x y x y

51

Ejercicios Propuestos de factorización de trinomios de la forma cbxax2

1) 12112 2 xx

2) 1712 2 xx

3) 22 3108 yxyx

4) 22 532 yxyx

5) 2234 323 yxyxx

3.2.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el producto de dos

binomios iguales.

1) 2 22 210 25 2 5 5 5 5 5x x x x x x x

2) 2 22 212 36 2 6 6 6 6 6x x x x x x x

3) 2 2 224 12 9 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3x x x x x x x

4) 2 2 2225 40 16 5 2 5 4 4 5 4 5 4 5 4x x x x x x x

5) 2 2 22 24 4 2 2 2 2 2 2x xy y x x y y x y x y x y

6) 2 2 22 29 36 36 3 2 3 6 6 3 6 3 6 3 6x xy y x x y y x y x y x y

7) 2 2 22 24 32 64 2 2 2 8 8 2 8 2 8 2 8a ab b a a b b a b a b a b

52

8) 2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 29 12 4 3 2 3 2 2 3 2a a b b a a b b a b

2 2 2 23 2 3 2a b a b

9)

2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 225 10 5 2 5 5m m n n m m n n m n

2 2 2 25 5m n m n

10) 2 2 26 3 2 4 3 3 2 2 3 29 24 16 3 2 3 4 4 3 4a a b b a a b b a b

3 2 3 23 4 3 4a b a b


Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el producto de dos

binomios iguales.

1) 81182 xx

2) 16164 2 xx

3) 648025 2 xx

4) 100609 2 xx

5) 22 168 yxyx

6) 22 49284 yxyx

7) 22 92416 yxyx

8) 2 2 44 20 25x xy y

9) 6336 816 yyxx

10) 4248 42436 yyxx

53

3.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Ejercicios Resueltos de factorización por agrupación:

1) 2 2 (2 ) ( 2 ) (2 ) (2 ) (2 )( )x mx y my x mx y my x m y m m x y

2) 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) (2 )mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y

(2 )( )x y m n

3) 2 2 1a b a b a b a b a b a b a b a b

1a b a b

4) 2 22 2 2 2 2 2 24 9 6 4 9 6 4 3 2 3x a ab b x a ab b x a a b b

2 2 224 3 2 3 2 3 2 3x a b x a b x a b x a b

5) 2 2 22 2 2 225 10 1 9 5 2 5 1 1 9 5 1 9b b x b b x b x

2 25 1 3 5 1 3 5 1 3b x b x b x

54


Factorizar por agrupación las siguientes expresiones:

1) 1025 abab

2) 6262 baab

3) nmmnm2

4) 222 4416 babax

5) 2222 25704944 babayxyx

55

CAPÍTULO 4 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS


Nivel Taxonómico

REALIZARÁ OPERACIONES DE ADICIÓN Y MUTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE TENGAN DOS O TRES VARIABLES

Aplicación

CALCULARÁ EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Aplicación

REALIZARÁ ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Aplicación

EFECTUARÁ LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Aplicación

OBTENDRÁ LA DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS HASTA SU MÍNIMA EXPRESIÓN

Aplicación

IDENTIFICARÁ UNA FRACCIÓN COMPUESTA

Conocimiento

SIMPLIFICARÁ FRACCIONES COMPUESTAS

Aplicación

4.1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo ( . . .m c m ) de dos o más expresiones algebraicas es la

expresión algebraica de menor coeficiente entero y de menor grado que es

divisible entre cada expresión algebraica.

Para determinar el . . .m c m

de dos o más expresiones algebraicas, se multiplican

todos los factores primos constantes y literales diferentes de las expresiones

algebraicas, considerando cada factor con su máximo exponente.

Ejercicios

Obtener el . . .m c m

de:

a) 32215 zyx y 5218 yx

5

3

1

5

15

3

3

2

1

3

9

18

2 2 3 2 2 315 (3)(5)x y z x y z 2 5 2 2 518 (2)(3)x y x y

Factores primos: zyx ,,,5,3,2

2 2 5 3. . . (2)(3 )(5)m c m x y z

56

2 5 3. . . 90m c m x y z

b) 59x , 44x

5 2 59 (3 )x x 24 4 4( 1) (3 )( 1)x x x

Factores primos: 2,3, , 1x x

2 2 5. . . (2 )(3 ) ( 1)m c m x x

5. . . 36 ( 1)m c m x x

c) 420a , 23 1015 aa , 830a

4 2 420 (2 )(5)a a )23(51015 223 aaaa 8 830 (2)(3)(5)a a

Factores primos: 23,,5,3,2 aa

2 8. . . (2 )(3)(5) (3 2)m c m a a

8. . . 60 (3 2)m c m a a

d) 2316 ba , 352 2 aa , 42 816 bba

3 2 4 3 216 (2 )a b a b

)3)(12(352 2 aaaa

2 4 2 3 3 2 316 8 8 (2 ) (2 )( )(2 )a b b b a b b a b

Factores primos: 2 32, , , 2 1, 3, 2a b a a a b

57

4 3 2 2 3. . . (2 ) ( 3)(2 1)(2 )m c m a b a a a b

3 2 2 3. . . 16 ( 3)(2 1)(2 )m c m a b a a a b

58

4.2 ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

1) 3 4 4

4 5 4 10

8 4 8

b a

ab b ab

2) 2 2 2

2 3 1 6 21 1 2

23 6

xy y x yy y

yxy y xy

2 2

2 2

2 3 3 12 6 2 3 9 12

6 6

xy xy x xy xy xy x

xy xy

3) 2 2

3 33 3 3 3 x y x yx y x y

x y x y x y x y x y x yx y

22 33 3 3 x xy yx xy y

x y x y x y x y

4)

2 22 2 2 22 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( )

x y x yx y x y x x y y x x y y

x y x y x y x y x y x y

4 4 4 4

4 42 2 2 2

2 2 2( )x y x y

x yx y x y

5) 2 2 2 2

4 4 4 44 4 4 16 4 16 9

4 416 16 16 16

x x xx x x x x

x xx x x x

4.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

1) 2 2 2 2 2 2 3 3

2 2 3 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1y y x y x y y y y

x y y x xy x y x y x y x y x y x x y

59

2) 2 2 3 2

3 2 5 3 2 5

1 1 1

a a

a a a aa a a a a a a a

3 2 5

1 1 1 1

a

a a a a a a a

3 1 2 1 5 3 3 2 2 5

1 1 1 1

a a a a a a

a a a a a a

6 16 6 6

1 1 1 1 1

aa

a a a a a a a a

3) 2 2

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 24 2

x x

x x x x x x xx x x

2

2 2 4 4 4

2 2 ( 2 2 4

x x

x x x x x x x

4) 2

cx c x y cxcx c c cx c c

x x y x x y x x y x x yx xy

c x ycx cx cy cx cy cx c

x x y x x y x x y x

5)

2 2

7 1 1 37 1 7 1

2 3 2 1 2 3 15 6 3 2

a a a aa a a a

a a a a a a aa a a a

2 2 2 27 7 3 3 8 7 3 3

2 3 1 2 3 1

a a a a a a a a a a a

a a a a a a

2 3 56 10

2 3 1 2 3 1

aa

a a a a a a

60

6) 2

2 3 3

2 1 2 1 4 42 2 4 4

11 1 1

x x x xx x

xx x x

2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 1 4 4 2 2 2 4 2 4 4

1 1

x x x x x x x x x x

x x

3 3 2

2 12 2 2

1 1 1

xx

x x x

4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.

Se utilizan las mismas reglas que con fracciones comunes

a c ac

b d bd

Efectuar las siguientes operaciones:

1) 2 12 1 2

1 1 1 1 1

x xx x x

x x x x x

2) 2

2

3 1 2 3

2 2 2 4

x x x x

x x x x

3) 2 3 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 4

a b a a ab a ab

a b a b a ab ab b a b ab

4) 2 12 1 2 1b aa b a

b a b b a b a b

5) 2 2

2 1 2 1 22 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 1 1

x y x yx y xy x y

y y y y y y

61

6)

2 ( 2) 2

b

x a x a

7) 2 22 1 12 2 1 3 2

1 1

y y yy y y y y

y y y y y

8) 2 1 11 1

2 2 2 1 2

z z zz z z z

z z z z

9) 2 22 3 2 22 3 22 3 3 2 2

3 3

a b a b a b a ba b a b a ab a b b

a b ab ab ab

3 2 22 2a b a b ab

ab

10) 2 22 1 12 1

2 3 2 3 3 3

z z z z zz z z z z

z z z z z z



1) 22 1 4 4

2

x x x

x x

2) 2

2 1

3 1

x x

xx

3) 2 22 2

2

a ab b ab

a b a b

4) 2

2 2a b ab

a b b ab

62

5) 3 2

2 1

z z

z z

6)

2

2

2 3

11

x x x

xx

7) 2 3 1 1

1 3

x x x

x x

8) 2

xz xy y

xz y

9) 4 2ac ab a b

a b a

10) 3 6 1

1

zb b b

b b

4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES

Se aplica la regla del emparedado. El producto de extremos entre el producto de

los medios, en otras palabras, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de

la fracción divisor.

aa db

c b cd

ó a c ad

b d bc



1)

2

2

2 2

7 13 7 1 32

27 1 2 7 13

x xx x x xx

xx x x x xx

63

2) 2 23 3 2

33 3

2 1 21 2

1 2 11 1 1 1

x x x x x x x x x x xx x x

x x xx x x x

3)

2

2

2 3 9 2 3 3 32 3 32 3

3 3 3 3 39

a a a a aa aa

a a a a aa

4)

2

22

2

22 1 2 1 1

2 221

x xx x x x x x xx

x xx x xx xx

5)

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 4 22 2 2 2

2 2 22

a ab ba b a b a b a b a ba b

a b a b a ba b a ba b

6)

3 2

2

2

2

1 2 22 1 22

4

z z zz z z z zz z z z

z z zz

7) 22 2

2

12 4 222 4 2 22

12 2 2 2 2 2 2 42

a ab b b a ab bab b a b ab a a

b b b b b b b b b b ba

8) 22 3 2

2

3

2 2 3 5 6

x x xx x x x x

x x x x x x

64

9) 3 2

2 4 32 3 2

3 33 3 1

33

x x x xx x x

xx x x xx x x

10) 2 2 2 22 3 2

2

2 2 22 2abc a b c abc c a c c aabc a b a b c ac

ab ab a b ab a b a b a bc



1) 2 21 2 1 1 4

2

x x x x x

x x

2) 2

2

2 4 3

2 2

x x x

x x

3)

2

2

ab ab

a bb b

a

4) 2 2

3

zxy xz xz

xy z

5) 3 2 1 2

2 1

x x x

x x

6) 2 4

3 2

abc ab ab

b ac

7) 2

2

3 27 3

3

x x

x x

65

8) 3 3

2 2 2

a ab b a b

a b b

9)

3 2

2 1

x x

x x

10) 2

2 1

11

x x

xx

4.6 FRACCIONES COMPLEJAS

1)

1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 21 1

1 1 1 11 11 1

1

x x x x x

x x x x x xx x x

x x x x x x xx

x x

2

1 1 1

2 2

x x x

x x x x

2) 1

1

yy xx y x yx x y y x y y x yx x x xx x yx y x y x x y y

y y x y x xy x yx y x y x y x yx y

x x y y x yx x y y

x x x xx y x y x y

66


1) Obtener el mínimo común múltiplo de:

a) yx 2 , xy8 , 2316 yx

b) 320abc , ba 250 , 4260 cb

c) 15 1x , 23 1x , 25 1 2x x

2) Realizar las siguientes operaciones:

a) 2 2

3 2

4 4a a a

b) 2

3 3

3 9 33

y y

y yy y

c) 2 4

5 5x x

d) 2 2

6 8

1 2 1a a a

e) 2 2

1 3 1

1 2 2 1

x x

x x x x x

f)

1

11

1

11

xx

xx

x

x

67

CAPÍTULO 5 RAZONES Y PROPORCIONES


Nivel Taxonómico

DEFINIRÁ LOS CONCEPTOS DE RAZÓN Y PROPORCIÓN

Conocimiento

DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN DIRECTA

Conocimiento

DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN INVERSA

Conocimiento

DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE VARIACIÓN LINEAL

Conocimiento

EFECTUARÁ EJERCICIOS DE PROPORCIÓN DIRECTA E INVERSA

Aplicación

5.1 RAZÓN

Una razón es el cociente indicado entre dos números y se representa como una

fracción o mediante dos puntos. Por ejemplo la razón entre el par de números 3 y

7 se escribe como:

3

7 ó 3: 7

y se lee “tres es a siete”

Las razones pueden ser utilizadas para comparar dos cantidades de la misma

especie, tales como: dos estaturas, dos velocidades, dos edades, etc., y para ello

las cantidades deben expresarse en las mismas unidades.

Si a

y b son cantidades de la misma especie expresadas en la misma unidad, la

razón b

a es un número adimensional que indica qué tan grande o tan pequeña es

la cantidad a

comparada con la cantidad b .

Ejercicio

Obtener la razón entre la estatura de Javier que mide 1.40 metros y la sombra de 40 centímetros que proyecta en un momento dado.

Resolución

Se escriben las cantidades en la misma unidad, por ejemplo en centímetros:

Estatura de Javier = 140 cm.

Sombra proyectada = 40 cm.

68

Ahora se escribe el cociente y se simplifica: 140 7

40 2

Entonces la razón es

7

2

y significa que la estatura de Javier es

7

2

la medida de su

sombra proyectada en un momento dado. Con frecuencia también se expresan razones entre cantidades de diferente

especie tales como: la velocidad que es la razón de la distancia recorrida por un

objeto entre el tiempo empleado en recorrerla; la densidad que se define como la

razón de la masa de una cierta cantidad de sustancia entre su volumen; el precio

de un producto que es la razón del costo total entre el número de unidades del

producto, etc. Así entonces:

Si a

y b son cantidades de distinta especie, la razón a

b

es un número que indica

la cantidad de unidades de a correspondiente a una unidad de b .

Ejercicio

Si 300 centímetros cúbicos de aluminio tienen una masa de 810 gramos, encontrar

la densidad del aluminio en kg/m3.

Resolución

Se obtiene la masa en kilogramos, sabiendo que 1 gr = 0.001 Kg: 810 gr = 810(0.001 Kg) = 0.81 Kg

Se obtiene el volumen en metros cúbicos, sabiendo que 1 cm3 = 1

10-6 m3

300 cm3 = 300(1

10-6 m3) = 0.0003 m3

Se escribe la razón de la masa entre el volumen y se simplifica: 0.81

27000.0003

33

Kg Kg/m

m

69

Entonces la densidad del aluminio es de 2700 Kg/m3 y significa que cada metro

cúbico de aluminio tiene una masa de 2700 Kilogramos.

En general, a

b

es la razón entre el par de números a

y b tal que b

0. El número

a

se llama antecedente y el número b consecuente.

Ejercicio

Una herencia de $500 000 se reparte entre dos hermanos, de tal forma que uno de

ellos recibe 2

3

de lo que recibe el otro. ¿Cuánto recibe cada hermano?

Resolución

Se suman los términos de la razón (antecedente y consecuente): 2 3 5

Se divide la herencia entre la suma obtenida: 0001005000500

Se multiplica cada término de la razón por el cociente obtenido:

2 100 000 200 000

3 100 000 300 000

Entonces un hermano recibe $200 000 y el otro $300 000

Si se multiplican o dividen ambos términos de una razón por un mismo número

diferente de cero, se obtiene otra razón equivalente. Así entonces:

5 15

8 24 y , son razones equivalentes

porque: 5 5 3 15

8 8 3 24

70

5.2 PROPORCIÓN

Una proporción es una ecuación que expresa que dos razones son iguales:

: : 0 0a c

a b c d b db d

o con y

Las cantidades cba ,, y d son los términos de la proporción, tal que a

y d se

llaman extremos, b y c

se llaman medios.

5.2.1 PROPIEDAD DE UNA PROPORCIÓN

Para los números reales cualesquiera cba ,, y d con b

0 y d

0, se cumple

que:

Si a c

b d

entonces ad bc

Proporción Continua

Una proporción es continua si sus medios son iguales o sus extremos son iguales,

entonces:

a b a c

b d b a y , son proporciones continuas.

Donde el término que se repite se llama la media proporcional, y cualquiera de

los términos no repetidos se llama la tercera proporcional.

Ejercicio

Identificar los términos de la proporción continua 4 12

12 36.

Resolución

12 es la media proporcional entre 4 y 36.

4 es la tercera proporcional entre 12 y 36.

36 es la tercera proporcional entre 12 y 4.

Si la proporción no es continua, cualquiera de sus términos es la cuarta

proporcional.

71

Ejercicio

Identificar los términos de la proporción no continua 3 15

8 40

Resolución

3 es la cuarta proporcional de 8, 15 y 40.




Ejercicio

Calcular el valor del término desconocido de la proporción 6 21

7 x

Resolución

Se aplica la propiedad de una proporción: 6 7 21x

Se despeja la incógnita: 147

624.5

x

x

Ejercicio

Calcular el valor de w de la proporción : 2.61 3.45 :w w

Resolución

Se aplica la propiedad de una proporción:

2 2.61 3.45w

Se despeja la incógnita: 2 9w

3w

3w ó 3w

72

Proporción Directa

Se establece que dos cantidades son directamente proporcionales si el aumento

de una de ellas corresponde al aumento de la otra, o la disminución de una de

ellas corresponde a la disminución de la otra.

Ejercicio

Si un albañil cobró $680 por la colocación de 8 m2 de teja, ¿cuánto deberá cobrar

por la colocación de 25 m2 de teja?

Resolución

Sea x el costo de colocar 25 m2 de teja.

La razón del cobro al área de teja colocada en el primer caso es: 640

8

y en el segundo caso es:

25

x

Como el precio por metro cuadrado de colocación es el mismo en los dos casos,

se establece la siguiente proporción directa:

640

8 25

x

Aplicando la propiedad de una proporción y despejando la incógnita se obtiene:

8 640 25

640 25

82000

x

x

x

Entonces el cobro por la colocación de 25 m2 de teja es de $2000.

Comprobación:

73

640 2000

8 2580 80

Ejercicio

Se estima que en la fabricación de bombillas eléctricas la posibilidad de que

salgan defectuosas está en razón de 2 a 1500. Si se detectaron 30 defectuosas,

¿cuántas bombillas fueron revisadas?

Resolución

Sea k el número de bombillas fabricadas.

Como se conoce la razón de bombillas defectuosas entre bombillas revisadas, se

establece la siguiente proporción directa:

2 :1500 30 : k

Aplicando la propiedad de una proporción y despejando la incógnita se obtiene:

2 1500 30

1500 30

222 500

k

k

k

Entonces fueron revisadas 22 500 bombillas eléctricas.

Comprobación: 2 30

1500 22 5001 1

750 750

Proporción Inversa

Se establece que dos cantidades son inversamente proporcionales si el aumento

de una de ellas corresponde a la disminución de la otra, o la disminución de una

de ellas corresponde al aumento de la otra.

Ejercicio

74

Si para instalar una red de cómputo en una sala internacional de prensa 50

técnicos ocupan 21 días, ¿cuántos técnicos se necesitan para que la instalación se

concluya en 7 días?

Resolución

Sea x

el número de técnicos para ejecutar la instalación en 7 días.

La razón entre los tiempos ocupados para la instalación en las situaciones

planteadas es:

21

7

y la razón entre las cantidades de técnicos para instalar la red es:

50

x

Debido a que un aumento en el número de técnicos corresponde a una

disminución en el número de días de instalación, se establece una proporción

inversa con la primera razón y el recíproco de la segunda razón:

21

7 50

x

Ahora se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita:

7 21 50

21 50

7150

x

x

x

Entonces se necesitan 150 técnicos para ejecutar la instalación en 7 días.

Ejercicio

75

Si el plano arquitectónico de una casa habitación se traza con la escala 1: 50

(1 centímetro es a 50 centímetros), ¿qué longitud en metros tiene el largo de la

estancia si se emplearon 9.5 centímetros en su trazo?

Resolución

Sea x la longitud en metros del largo de la estancia.

Como se conoce la escala empleada, se establece la siguiente proporción directa:

1: 50 9.5 : x

Se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita: 1 50 9.5

475

x

x cm

Se obtiene la longitud en metros, sabiendo que 1 cm = 0.01 m: 475 0.01x

4.75x

m

Entonces la estancia tiene de largo 4.75 m

Ejercicio

Una cuadrilla de 200 obreros son enviados a ejecutar un trabajo con viáticos para

120 días. Si se desea que los viáticos duren 40 días más, ¿Cuántos obreros

deberán disminuirse de la cuadrilla?

Resolución

Sea z el número de obreros con viáticos para 120 40 160

días.

Con las cantidades de obreros enviados en las situaciones planteadas, se forma la

razón:

200

z

76

y con los tiempos que deben durar los viáticos en ambas situaciones la razón es:

120

160

Debido a que una disminución en el número de obreros corresponde a un

aumento en el tiempo de duración de los viáticos, se establece una proporción

inversa con la primera razón y el recíproco de la segunda razón:

200 160

120z

Se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita:

200 120 160

160 200 120

200 120

160150

z

z

z

z

Se obtiene la diferencia del número de obreros con viáticos para 120 días y el

número de obreros con viáticos para 160 días:

200 150 50

Entonces deben disminuirse 50 obreros de la cuadrilla.

Variación Lineal

La variación de dos cantidades a

y b es lineal si la razón a

b

no cambia cuando a

varía directamente con b . Así entonces:

Si a

kb

, donde k es una constante, se cumple que kba , tal que a

varía

linealmente al variar b

y k

se llama constante de variación.

Ejercicio Suponiendo que y varía linealmente con la variación de x, y que 16y

cuando

4x , obtener la ecuación que define la variación lineal y encontrar el valor de y

cuando 2x .

77

Resolución:

La ecuación que define la variación es de la forma y kx

Para encontrar el valor de k , se sustituye 16y

y 4x , en la ecuación y se

despeja la constante de variación:

16 4

4

k

k

Entonces la ecuación que define la variación lineal es 4y x

Para encontrar el valor de y cuando 2x , se sustituye este valor en la ecuación:

4 2

8

y

y

Ejercicio

Suponiendo que la ecuación de variación lineal es de la forma y mx n , obtener

la constante de variación sabiendo que 12y

cuando 2x

y 21y

cuando

5x .

Resolución

Se sustituyen las dos soluciones dadas en la ecuación y mx n :

2521

1212

nm

nm

Se resuelve el sistema (se emplea el método suma y resta. Ver 8.5.1)

2215

1122

nm

nm

78

Se multiplica la ecuación (1) por –1:

2215

1122

nm

nm

Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones:

2 12

5 21

3 0 9

m n

m n

m

Se despeja la incógnita m:

9

33

m

m

Se sustituye el valor de m en la ecuación (1) y se despeja la incógnita n:

6

1232

n

n

Entonces la ecuación de variación lineal es 3 6y x

que puede expresarse:

3 2y x

Como esta ecuación es de la forma a kb , donde a y , 3k

y 2b x ,

entonces la constante de variación es 3k .

Es importante observar que la constante de variación es el coeficiente m de la

ecuación enunciada y mx n

y que para 3 2y x , se tiene que

1 1

2 2

2

2

y x

y x

es una proporción si y solo si 2211 ,, yxyx y son dos soluciones de

la ecuación.

Ejercicio

La presión hidrostática en el fondo de una fosa de clavados varía en forma lineal

con la altura del agua. Si se desprecia la presión atmosférica local y se sabe que

el agua ejerce sobre el fondo una presión de 1 kg/cm2 cuando la columna de agua

es de 10 metros, obtener la ecuación que define la variación de presión y

determinar la presión en el fondo si la altura del agua es de 5.25 m.

79

Resolución:

La ecuación que define la variación de presión es de la forma P kh , donde P es

la presión, k es la constante de variación y h es la altura del agua en la fosa.

Se calcula la constante de variación sustituyendo P = 1 kg/cm2 y h = 10 m en la

ecuación de variación:

1 10

1

10

k

k

Entonces la ecuación es 1

10P h

Si h = 5.25 m, la presión hidrostática en el fondo de la fosa es:

15.25

10

0.525

P

P 2kg/cm


1. Obtener la razón de la capacidad de un tanque elevado de 600 litros al volumen

de 2.5 metros cúbicos de la cisterna que lo abastece e interpretar el resultado.

2. Si 0.8 litros de alcohol tienen una masa de 0.648 kilogramos, encontrar la

densidad del alcohol en kg/m3 e interpretar el resultado.

3. Una barra de acero de 60 centímetros de longitud se corta en dos pedazos, uno

de ellos tiene de longitud 5

7

de la longitud del otro. Hallar la longitud de cada

pieza.

4. Calcular la media proporcional entre 13 y 52.

5. Determinar la tercera proporcional entre 12 y 48.

6. Encontrar la cuarta proporcional de 8, 3 y 56.

80

7. Calcular el valor del x de la proporción 2:4:13 xx

8. Si la detonación de un arma de fuego se escucha a 567 metros en 7 segundos,

calcular a qué distancia del disparador se localiza una persona que oye el

disparo 10 segundos después de ocurrido.

9. Entre las enfermedades hereditarias, se encuentra el trastorno conocido con el

nombre de fenilcetonuria que es exteriorizada en forma de graves trastornos

mentales y se estima que aproximadamente 4 personas de cada 100 000 la

padecen. ¿Qué número de personas enfermas de este mal habrá en una

población de 105 millones de habitantes?

10. Una constructora estima que con una cuadrilla de 250 hombres se restaura un

edificio colonial en 180 días. ¿Cuántos hombres más se necesitarán para

terminar la obra en 125 días?

11. En un dibujo a escala un edificio de 85 metros de altura mide 42.5 centímetros.

Calcular la escala empleada y determinar con cuántos centímetros debe

dibujarse sobre la azotea una antena de 15 metros de altura.

12. Una cuadrilla de 200 obreros son enviados a ejecutar un trabajo con viáticos

para 120 días. Si se incorporan 40 obreros más, ¿cuántos días les durarán los

viáticos?

13. Suponiendo que w varía linealmente con v, y que 28w

cuando 12v ,

obtener la ecuación que define la variación lineal y encontrar el valor de w

cuando 24v .

14. El voltaje en volts medido a través de un alambre conductor varía linealmente

con la corriente en amperes que pasa por dicho conductor. Si la constante de

variación es la resistencia del alambre conductor en ohms, expresar la

ecuación que define la variación del voltaje y determinar el valor de la

resistencia del alambre por el que circula una corriente de 5 amperes, cuando

se le aplica un voltaje de 100 volts.

81

15. Suponiendo que la ecuación de variación lineal es de la forma y mx n ,

obtener la constante de variación sabiendo que 35y

cuando 7x

y

10y

cuando 2x . ¿Cuál es la ecuación de variación lineal?

82

CAPÍTULO 6 LOGARITMOS


Nivel Taxonómico

DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE LOGARITMO

Aplicación

ENUNCIARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Aplicación

APLICARÁ LA DEFINCIÓN Y LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS EN LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

Aplicación

OBTENDRÁ LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

Aplicación

6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO

La palabra logaritmo proviene de las dos palabras griegas “logos” que significa calcular o razón y “arithmos” que significa número. El logaritmo de un número dado x , es el exponente o potencia a la que debe elevarse un número b llamado base, para obtener el número dado x .

Como 2416 , el logaritmo de 16, en base 4 es 2. Una manera de escribir esto es 216log4

Si b es un número positivo (distinto de 1) y x es un número positivo, hay exactamente un exponente y , tal que

xb y

Por lo que todo número positivo x

tiene un único logaritmo en base b .

Definición:

Para todo número positivo x

, y para todo número positivo b (con 1b ): xy blog

si y sólo si xb y

Si la base b es el número 10, x10log se expresa simplemente como xlog , es

decir, se tiene que: xxy loglog10

es equivalente a yx 10

Si la base b es el número e , existe un símbolo especial para xelog , se trata de

xln , es decir, se tiene que: xxy e lnlog

es equivalente a yex

Ejemplos: a) Como 53243 , el logaritmo de 243en base 3 , es 5 que se expresa como

5243log3

b) Como 1000103 , el logaritmo de 1000en base 10 , es 3 que se expresa como 31000log10

83

c) La expresión 125

15 3 implica que 3

125

1log5

d) 4

16

1log2

porque

16

12 4

e) 01log6

porque 160

f) Como 41010000 , el logaritmo de 10000 en base 10 es 4. Que se puede

expresar como 41000010log , o bien como 410000log

De esta manera podemos expresar una expresión en forma logarítmica, en su equivalente, en forma exponencial, como se muestra a continuación:

Proposición logarítmica Proposición exponencial log2

8 = 3 23

= 8 log5

78125 = 7 57

= 78 125

2161

4log 161

4 2

log10 0.00001 = - 5 o log 0.00001 = - 5

10-5

= 0.00001

log2

750 = 9.55 29.55 = 750 log1.08

2 = 9 1.089

= 2


1. Expresar en notación logarítmica las siguientes potencias: a) 52 = 25 b) 42 = 16 c) 103 = 1000.

d) 4 1/2 = 2 e) 10 1/2 = 3.162 f) 25 -1/2 = 1/5

Resolución: a) log5 25 = 2 b) log4 16 = 2 c) log10 1000 = 3 d) log4 2 = 1/2 e) log10 3.162 = 1/2 f) log25 1/5 = - 1/2

2. Expresar los siguientes logaritmos en forma exponencial a) log5 25 = 2 b) log3 27 = 3 c) log4 64 = 3 d) log6 36 = 2 e) log9 729 = 3 f) log7 2401 = 4

Resolución: a) 25 = 52 b) 27 = 33 c) 64 = 43

d) 36 = 62 e) 729 = 93 f) 2401 = 74

84

Ejercicios Propuestos 1. Escribir las siguientes expresiones exponenciales en la forma xy blog

a) 8134

f)

11

1121 2

1

k) 2 1/2

= 1.414

b) 62554

g) 168 3

4

l) 10 3/4

= 5.623

c) 00001.010 5

h) 33

= 27 m) 8 -2/3

= 0.25

d) 25

15 2

i) 73

= 243

e) 283

1

j) 54

= 625

2. Escribir las siguientes expresiones logarítmicas en la forma xb y

a) 4625log5

e)2

112log144

i) log2 128 = 7

b) 481log3

f) 3

4

16

1log8

j) log5 625 = 4

c) 664

1log 2

g) log6 216 = 3 k) log8 512 = 3

d) 6000001.0log

h) log 10 000 = 4 l) log3 729 = 6

6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

6.2.1 PROPIEDADES DE CANCELACIÓN

Existen dos propiedades de cancelación de los logaritmos. 1) xalog x

a

2) xa xloga

Como se puede observar, la segunda se obtiene al escribir la primera en la forma exponencial.

Esto se ilustra en los siguientes ejemplos. 1. Se desea conocer a qué equivale 355log

, lo cual puede escribirse como: 355log =x

Al escribir lo anterior en forma logarítmica, se tiene que:

85

355 logxlog

Por lo tanto, x=3

2. Se desea conocer a qué equivale 27 7log , lo cual puede escribirse como:

27 7log = x

Al escribir lo anterior en forma logarítmica, se obtiene:

277 x

Por lo tanto: x=2


a) 655log las bases del logaritmo y del exponente son 5, por lo tanto, 655log =6 b) 1210 1210log

c) 142 142log

d) xxlog77 e) 27888 27888log

f) 77lne porque elogln , de modo que 7lne 77eloge

g) 3535log

h) xblog xb

i) 4567 4567log

j) 24 24log

k) 8108log porque log= log10, de modo que: 810log 810810log



1. 31111log 8. 8eln 2. 510log 9. 27lne 3. 1299log 10. 4110 /log

4. 31111log 11. 7mlog m

5. 434 34log 12. 78lne

6. 210log 13. 688log

7. 97171log 14. 21/eln

86

6.2.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS OBTENIDAS A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

Dado que la expresión xy blog

es equivalente a xb y , las propiedades de los

logaritmos son similares a las propiedades de los exponentes, las cuales se muestran a continuación:

Propiedades de logaritmos

Propiedades de exponentes

yxxy bbb logloglog

nmnm bbb

yxy

xbbb logloglog

nmn

m

bb

b

xnx bn

b loglog

mnnm bb

n

m

bn m

b xx loglog

n

xm blog

n

mn m bb

yx bb loglog

si yx

nm bb

si nm

1log bb bb1

110log10

o bien 110log

10101

01logb

10b

01log10 o bien 01log

1100

Ejercicios Resueltos:

1) Desarrollar las expresiones siguientes, aplicando las propiedades de los logaritmos:

a) logb acd b) logb a5 c) logb a4 d)

2

2

3

tlog

e) 36 xylog f)

3

2x

mln g)

32 65

mnlog

Resolución: a) logb acd = logb a + logb c + logb d b) logb 5a = logb 5 + logb a c) logb a

4 = 4 logb a

d) 8288 333

23

2

3 logtloglogtlogt

log

e) 36 xylog = 3

1

6 xylog = xylog631

= ylogxlog 6631

87

f) xlnmlnlnxlnmlnx

mln 322

2 33

xlnmlnln 32 2

1

xlnmlnln 3

21

2

g) 32232 65

65

mnloglogmn

log

32222 65 nlogmlogloglog

nlogmlogloglog 2222 365

nlogmlogloglog 2222 365

2) Expresar en un sólo término:

a) logb m + logb n b) 5 logb d + 2 logb e c) zlogxlog 44

d) xlog23

e) 2

1logb 4 +

3

1logb16 f) xloghlog 77 3

21

g) yloglog 22 751

h) 3log)6( 4x i) yzw ln52ln4ln3

1

Resolución: a) logb m + logb n = logb (mn)

b) 5 logb d + 2 logb e = logb d5 + logb e

2 = logb (d5 e2)

c) z

xlogzlogxlog 444

d) 3223 xlogxlog

e) 2

1logb 4 +

3

1logb 16 = logb 4 + logb

3 16 = logb ( 4 3 16 )

f) 37

2

1

777 321

xloghlogxloghlog

377 xloghlog

37x

hlog

g) 525

1

2222 77751

751

ylogylogylogyloglog

88

h) 3log)6( 4x = 64 3log x

i) yzw ln52ln4ln3

1= 543

1

ln)2ln(ln yzw

= 543 ln)2ln(ln yzw

= 54

3

ln)2(

ln yz

w

= 54

3

)2(ln y

z

w =

4

35

)2(ln

z

wy

3) Si se conoce que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las

expresiones siguientes: a) log 6, b) log 20, c) log25

72

Resolución: a) log 6 = log (2)( 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0. 7781 b) log 20 = log (4)( 5) = log (22 x 5) = log 22 + log 5 = 2 log 2 + log 5

= 2 (0.3010) + 0.6990 = 0.6020 + 0.6990 = 1.3010

c) log 25

72 = log

25

98

= log 2

23

5

32

= log 23 + log 32 – log 52 =

= 3 log 2 + 2 log 3 – 2 log 5 = 3 (0.3010) + 2 (0.4771) – 2 (0.6990) =0.9030 + 0.9542 – 1.3980 = 0.4592

4) Calcular el valor de log (4.23 x 10301)

Resolución: Se toma x = 4.23 x 10301 entonces log x = log (4.23 x 10301) log x = log 4.23 + log 10301

log x = log 4.23 + 301 log 10 Utilizando una calculadora, se obtiene: log 4.23= 0.626 y log 10 = 1:

log x = 0.626 + 301 log x = 301.626

89

Ejercicios Propuestos:

1) Desarrollar las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de los logaritmos:

a) gln5 e)

m

klog

62 i)

47

17

y

xlog m) log

n

cd

b) 627 324 ylog f) xylog 73 j)

243x

xln

n) log 3 a 2

c) m

log54 g) 9wzln

k) s

rlog

2

3

4 o) log 225 x

d) 36

27x

log h) 5 2xlog l) 3

2z

xlog

3. Si se conoce que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las expresiones siguientes:

a) log 10, b) log 900, y c) log 3 50

2) Expresar en un sólo término las siguientes expresiones:

a) 423 555 logloglog

e) 52 7logy

i) wlogtlog 775

b) xlnln 24

f) xlogmlog 39

j) plogmlog 22 41

3

c) 86 loglog

g) xlnlnt 24

k) qloglog 321

d) blog36 h) wlogxlog 66 3

12

l) ylnxln 4321

6.2.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Utilizando la definición de logaritmo y sus propiedades, es posible resolver ecuaciones sencillas como se muestra en los siguientes ejemplos:

90

Ejemplos:

1. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la definición de logaritmo:

a) y25log5 d) x)25(log510 g) 225logx

b) 2log9 x e) x444 log4log64log

h) 0)423log( 2 xx

c) 38logb f) 2)62(log4 x

Resolución: Se escriben las expresiones en su forma exponencial para encontrar la solución:

a) y25log5 equivale a 255y , por lo tanto 2y .

b) 2log9 x se puede escribir como x29 , por lo tanto 81x .

c) 38logb es equivalente a 83b , por lo tanto 2b .

d) x)25(log510 25log5 es el exponente que hace que 255? , de manera que

225log5

por lo que x)25(log510 equivale a x210 y la solución es: 100x

e) x444 log4log64log

Se consideran los términos del miembro izquierdo de la expresión: 64log4 es el exponente que hace que 644? , por lo que 364log4

4log4 es el exponente que hace que 44? , por lo que 14log4

Al sustituir en la expresión original se tiene x444 log4log64log

x4log13

x4log2 , que al reescribir en la forma exponencial se tiene x24 Por lo que 16x

f) 2)62(log4 x equivale a 2462x

1662x 6162x

102x

52

10x

91

g) 225logx

252x , por lo que 5x , y como las bases de un logaritmo deben ser positivas, entonces, el valor de x que satisface la ecuación dada es 5x

h) 0)423log( 2 xx

02 10423 xx 1423 2 xx

0523 2 xx

Los valores de x que satisfacen la ecuación son: 1x y 3

5x

2. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de los logaritmos:

a) 2)4(log3 x d) log (x + 3) + log (x) = 1 g) 0log)log1( xx

b) 2)1(log2 4 x e) 1)3log()3log( xx h) 3log)1log( xx

c) 1)25(log2

13 x f)

5

8log1log2 xx

i) 0)2log(x

Resolución:

a) 2)4(log3 x Escribiendo esta expresión en forma exponencial:

234x 94x

5x es el valor de x que satisface la ecuación dada.

b) 2)1(log2 4 x Utilizando las propiedades de los logaritmos, la expresión es equivalente a:

2)1(log 24 x

Escribiendo esta expresión en forma exponencial: 22 4)1(x

16)1( 2x

16122 xx 01522 xx

Los valores de x que satisfacen 01522 xx son: 5x y 3x Al sustituirlos en la ecuación 2)1(log2 4 x , se encuentra que la solución es

5x (porque con la solución 3x se llega al logaritmo de un número negativo y esta operación no está permitida).

92

c) 1)25(log2

13 x

Utilizando las propiedades de los logaritmos, la expresión es equivalente a:

1)25(log 2

1

3 x

125log3 x Escribiendo esta expresión en forma exponencial:

1325x

325x Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

22 3)25( x 925x

75x

5

7x es el valor de x que satisface la ecuación dada.

d) log (x+ 3) + log (x) = 1 log (x (x + 3)) = 1 x(x + 3) = 101

x2 + 3x = 10 x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0 x = - 5, x = 2

Se toma sólo el valor positivo ya que no se puede obtener el logaritmo de un valor negativo, entonces, el valor de x que satisface la ecuación dada es x = 2

e) 1)3log()3log( xx Utilizando las propiedades de los logaritmos, expresamos en un solo término la expresión anterior:

1)3log()3log( xx

13

3log

x

x

13

3log10 x

x

Escribiendo esta expresión en forma exponencial: 110

3

3

x

x

103

3

x

x

)3(103 xx 30103 xx

93

0339x

Por lo tanto, el valor de x que satisface la ecuación es: 3

11x

f) 5

8log1log2 xx dado que 2loglog2 xx

5

8log1log 2 xx

15

8loglog 2 xx

1

5

8log

2

x

x

1

5

8log

2

10

x

x

12

10

5

8x

x

10

5

8

2

x

x

5

8102 xx

5

80102 xx

16102 xx 016102 xx

Los valores de x que satisfacen 016102 xx son: 2x y 8x

Al sustituirlos en la ecuación 5

8log1log2 xx , se encuentra que ambos

valores la satisfacen.

g) 0log)log1( xx

Para que se cumpla la igualdad se debe cumplir que : 0log1 x , o bien que 0log x

311

933

x

94

Para que 0log1 x , se tiene que 1log x

1log10 x

Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene x110

Por lo que 10

1x

Por otro lado 0log x , es equivalente a 0log10 x

Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene: x010 Por lo que 1x

Los valores de x que satisfacen la ecuación 0log)log1( xx son: 10

1x y

1x

h) 3log)1log( xx Utilizando las propiedades de los logaritmos se puede reescribir como:

31

logx

x

31

log10 x

x Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene:

x

x 1103

x

x 11000

11000 xx 11000 xx

1999x

999

1x es el valor que satisface la ecuación dada.

i) 0)2log(x Utilizando las propiedades de los logaritmos se puede reescribir como:

0)2log( 1x

0)2(log 110 x Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene:

10 )2(10 x

2

1100

x

2

11

x

95

1)1)(2(x 12x

3x es el valor de x

que satisface la ecuación dada.


1) Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la definición de logaritmo:

a) y16log2 d). 3log4 x g). 5.1log6 x j) 0)16log( 2x

b) y4log2 e). 2log7 x h) 236logb k) 10x

= 2

c) 264logx f). 5.2log4 x i)

2121logb l) 2x

= 76

2. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de los logaritmos:

a) 2)13(log4 x e) 1)75log(2

1 2x i) 1)3log(log xx

b) 2)56(log5 x f) )2log(1)1log( xx j) )230log(1log2 xx

c) 2log2 x g) )2ln(1ln xx k) 2)1log(x

d) 2)151(log2

14 x

h) 0)log2)(log3( xx

6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS

Los logaritmos se pueden utilizar para determinar productos, cocientes, potencias de números como a continuación se expresa.

6.3.1 ANTILOGARITMO

Si el logaritmo (en una base b , dada) de un número N es L, entonces N es el antilogaritmo de L. Es decir, si

NL blog

Lb bLantiN log

En adelante se empleará el término “antilogaritmo” asumiendo que la base es 10. En caso de que se trate de otra base, ésta se especificará.

Ejercicios Resueltos: 1. Si se sabe que 38log2 . El antilogaritmo de 38log2 (se observa que la

base es 2) es: : 823log 3

2anti

2. En el caso de un logaritmo con base 10 (log), es posible utilizar la calculadora para determinar su antilogaritmo. Para ello se tiene que pulsar

96

la tecla “10x”. Generalmente esta tecla suele venir como segunda función de la tecla "log".

Si se sabe que 4572.2log x , y se quiere encontrar el antilogaritmo de 2.5472, se tiene que:

55.286104572.2log 4572.2anti

3. Determinar el antilogaritmo de 3.21 81.16211021.3log 21.3anti


Utilizando una calculadora, encuentre los antilogaritmos de los siguientes números.

a) 5119.2log N d) 6053.2log N

b) 7825.3log N e) 42.2log N

c) 9101.1log N f) 798.1log N

6.4 CÁLCULOS ARITMÉTICOS UTILIZANDO LOGARITMOS

Cálculo del producto de dos números

Empleando logaritmos, es posible obtener el producto M, de dos números cualesquiera.

Ejercicio Resuelto: Resolver el siguiente producto empleando logaritmos:

M=(17)(24) Resolución:

24log17loglogM

Como log 17 = 1.2304 y log 24 = 1.3802. Se tiene que: 24log17loglogM 6106.23802.12304.1

Como log M = 3.2338 entonces M = antilog 2.6106 = 407.943

97

Cálculo del cociente de dos números.

Empleando logaritmos, es posible obtener el cociente C, de dos números cualesquiera.

Ejercicio Resuelto:

Resolver el siguiente cociente empleando logaritmos: 233

842C

Resolución: 233log842loglogC

Como log 842 = 2.9253 y log 233 = 2.3674 5579.03674.29253.2233log842loglogC

Como log C = 0.5579 entonces C = antilog 0.5579= 3.6133 Cálculo de potencias

Empleando logaritmos, es posible obtener la potencia P, de un número cualquiera.

Ejercicio Resuelto: Determinar empleando logaritmos: P = 7.385

Resolución: Plog = log7.385

Plog = 5 log7.38= 5(0.8681)=4.3405

Como 3405.4logP entonces 8182.219023405.4logantiP

Cálculo de raíces

Se desea calcular el valor R que representa el resultado de obtener la raíz de un número, utilizando logaritmos.

Ejercicio Resuelto: Determinar empleando logaritmos:

R= 5 72.96 Resolución:

3971.0)9855.1(5

172.96log

5

172.96loglog 5R

Como 3971.0logR entonces 4952.23971.0logantiR

98

Ejercicios Resueltos:

1) Si se sabe que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las expresiones siguientes:

a) log 6, b) log 20, c) log 25

72

Resolución: a) log 6 = log (2 )( 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0. 7781

b) log 20 = log (4)( 5) = log (22 )( 5) = log 22 + log 5 = 2 log 2 + log 5

= 2 (0.3010) + 0.6990 = 0.6020 + 0.6990 = 1.3010

c) log 25

72 = log

25

)9)(8( = log

2

23

5

)3)(2( = log 23 + log 32 – log 52 =

= 3 log 2 + 2 log 3 – 2 log 5 = 3 (0.3010) + 2 (0.4771) – 2 (0.6990)

=0.9030 + 0.9542 – 1.3980 = 0.4592

2) Calcular el cociente 004719.0

43.36C

Resolución: log 36.43 = 1.5615 y log 0.004719 = -3.6738

log C = log 36.43 – log 0.004719 = 1.5615 – (-3.6738)

= 1.5615 – (- 3 + 0.6738) = 1.5615 – (-2.3262) = 1.5615 + 2.3262 = 3.8877

Como log C = 3.8877 entonces C = antilog 3.8877 = 7721

3) Calcular la expresión (0.45214 )( 172)

Resolución: log (0.45214 )( 172 ) = 4 log 0.4521 + 2 log 17 = 4 (-1.6552) + 2 (1.2304)

= 4(-1 + 0.6552) + 2(1.2304) = (- 4 + 2.6208) + 2.2608

= - 2.6208 + 2.2608 = ( -2 + 0.6208) + 2.2608 = -1.3792 + 2.2608

99

= 1.0816

Como log P = 1.0816 entonces P = antilog 1.0816 = 12.07

4) Calcular R= 3 0254.0

Resolución:

log R = 3

1log 0.0254 = -2.4048/3 = (-3 + 1.4048)/3 = (-1.4682)

Como log R = -1.4682 entonces R = antilog -1.4682 = 0.294


1. Realizar las siguientes operaciones utilizando logaritmos:

M (2.408)(3.5476) 514P

)647.9)(534.6(M 43674.0P

)917.7)(4833.5(M 5R

)921.4)(76.5)(47.3(M 3 10R

5.136

9.237C

4 984.2R

6.798

56.12C )7()231( 2x

0005.1

19.76C

18.2

)1.34()16.7( 4

x

311P

100

CAPÍTULO 7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO


Nivel Taxonómico

OBTENDRÁ LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Aplicación

EXPRESARÁ ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y OBTENDRÁ SU SOLUCIÓN

Aplicación

7.1 NOCIONES BÁSICAS

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en la que existe al menos una variable o incógnita cuyo valor hay que averiguar. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita y se denomina raíz o solución de una ecuación, al valor o conjunto de valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad.

Por ejemplo, la igualdad 287x se llama ecuación, y solo es cierta cuando 4x . Si en lugar de 4 se sustituye otro número cualquiera, se obtendrá un número mayor o menor que 28. Así, una ecuación es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado (o valores determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional.

En la ecuación 2754 xx , el conjunto de términos que están a la izquierda del signo igual, se llama primer miembro de la ecuación, y el término que está a la derecha, se conoce como segundo miembro. En una ecuación puede haber varios términos en cada miembro, tal como en el caso xx 2312 .

Clasificación de ecuaciones

Las ecuaciones pueden clasificarse de acuerdo con:

El grado: es el valor del exponente más grande que afecte a las incógnitas,

El número de incógnitas distintas que aparezcan en la ecuación.

Ejemplos: 12723 xx Es una ecuación de primer grado (porque el

mayor exponente que afecta a la x

es 1) con una incógnita (en este caso es x ).

zyx 6835

Es una ecuación de primer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x , y

o z

es 1) con tres incógnitas (en este caso son x , y y

z ).

xxx 7264 2

Es una ecuación de segundo grado (porque el mayor exponente que afecta a la x

es 2) con

101

una incógnita (en este caso es x ). xxx 7263 23

Es una ecuación de tercer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x

es 3), con

una incógnita (en este caso es x ). 967384 3243 yyxyx

Es una ecuación de cuarto grado (porque el mayor exponente que afecta a la x

o a la y

es 4), con dos incógnitas (en este caso son x

y y ).

Soluciones de una ecuación

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones.

Resolución de ecuaciones

Las ecuaciones Para ello se utilizan las propiedades de la igualdad.

7.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son aquellas ecuaciones que tienen solamente una variable y el mayor exponente de dicha variable es 1.

Ejemplos: a) 8543 xx b) 7324 yy c) 84z d) 86757 xxxx

Resolución de Ecuaciones Resolver una ecuación es determinar su solución Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Se resuelven realizando en ambos miembros operaciones matemáticas válidas, buscando aislar (despejar) la incógnita en un miembro de la igualdad.

La variable se despeja utilizando las propiedades de la igualdad que se presentan a continuación: Propiedades de la igualdad

Sean a ,b y c

números reales, en donde ba : 1. Si ba , entonces cbca

2. Si ba , entonces cbca

3. Si ba , entonces bcac , donde 0c 4. Si ba , entonces cbca // , donde 0c

A partir de las propiedades 1 y 2 se concluye que se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación y el conjunto solución no va a cambiar. De la misma manera, a partir de las propiedades 3 y 4 se infiere que

102

se puede multiplicar o dividir por el mismo número (distinto de cero) ambos miembros de la ecuación y el conjunto solución no variará.

Sugerencias generales para resolver ecuaciones

Los pasos que se enuncian a continuación sirven de guía para resolver una ecuación. Cabe mencionar que no todas las ecuaciones requieren que se sigan todos los pasos:

Paso 1: Eliminar las fracciones. Esto se logra multiplicando ambos miembros de la ecuación por un denominador común.

Paso 2: Simplificar cada miembro por separado. Es importante simplificar cada miembro tanto como sea posible: simplificar paréntesis, reducir términos semejantes, etc.

Paso 3: Colocar en un mismo miembro los términos que contengan a la variable

y en el otro miembro los números.

Paso 4: Hacer que el coeficiente de la variable sea 1.

A veces será necesario dividir ambos miembros de la ecuación por el número que multiplica a la variable.

Paso 5: Comprobar el resultado

sustituyendo la solución obtenida en la ecuación original (no en una ecuación intermedia porque se pudieron haber cometido errores). Ejercicios Resueltos 1) Resolver 127x

Resolución: Se suma -7 en ambos miembros: 71277x

Al simplificar: 5x

El resultado es 5x ó el conjunto solución es 5 .

Comprobación: 127x

1275

12=12 satisface la ecuación

2) Resolver la ecuación: 76x Resolución: Se multiplican ambos miembros por el inverso multiplicativo de 6:

6

17

6

16x

103

Al simplificar: 67

x

Comprobación: 76x

767

6

7=7 satisface la ecuación.

3) Resolver la ecuación 347626 xxx

Resolución: Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la ecuación:

xx 41064

Se colocan en el miembro izquierdo los términos que tienen x , y en el derecho los números. Para que el término x4 se anule en el miembro derecho, se suma x4 en ambos miembros de la ecuación:

xxxx 4410464

Reordenando términos: xxxx 4410644

Al simplificar: 1068x Para que el -6 se anule en el izquierdo sumamos +6 en ambos miembros de la ecuación:

610668x Al simplificar: 168x Finalmente, buscamos que el coeficiente del término

sea 1. Dividimos ambos miembros de la ecuación por 8.

8

16

8

8x

Simplificando: 2x Comprobación: 347626 xxx

3)2(476)2(2)2(6

3876412

22

Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución es 2x . El conjunto solución es 2 .

4) Resolver la ecuación )5(7)5(3)2(5 mmm

Resolución: Se simplifican los paréntesis en ambos miembros de la ecuación:

157153105 mmm Al reducir términos semejantes: 35752 mm

104

Se colocan en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que tienen m, y en el miembro derecho los números. Se suma m7

en ambos miembros de la

ecuación: 35752 mm

35752 mm

35752 mm

Reordenando términos: 3577572 mmmm Al simplificar: 3555m Adicionando el -5 ambos miembros:

Al simplificar: 305m

Se dividen ambos miembros por -5: 5

30

5

5m

Simplificando: 6m

Comprobación: )5(7)5(3)2(5 mmm

)56(7)56(3)26(5

)1(7)11(3)8(5

73340

77

Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución es m=-6. El conjunto solución es 6 .

5) Encontrar el valor de x

si: 11695 xx

Resolución:

Adicionando 6 en ambos miembros:

1795 xx

Al simplificar: 1714x

Se dividen ambos miembros por 14: 1417

1414x

1417

x

Comprobación: 514

17 + 9

14

17 – 6 = 11

105

14

85 +

14

153 - 6 = 11

14

238 - 6 =11

17 – 6 = 11

11 = 11 satisface la ecuación

6) Resolver la ecuación )9(10)7(8 xx

Resolución:

Al distribuir en ambos miembros por la izquierda el 8 y por la derecha el 10

9010568 xx

Adicionando -56 en ambos miembros:

34108 xx

Adicionando x10 en ambos miembros:

Se dividen ambos miembros por - 2: 2

3422x

Al simplificar: 17x

7) Resolver la ecuación )8(3)7(5 xx

Resolución:

Al eliminar paréntesis: 243355 xx

Adicionando -35 en ambos miembros:

Adicionando 3

en ambos miembros:



22x

Al simplificar: 2

11x

342x

106


si:

5

2

4

38

x

Resolución:

Al simplificar: 5

2

4

24x

5

26x

Al aplicar el inverso multiplicativo de 6: 6

1

5

2

6

16x

151

302

x

9) Resolver la ecuación: 4

3x + 7 =

3

5x

Resolución:

Como el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 4 y 3 es 12, la ecuación se multiplica

por 12:

3

512)7(12

4

312

xx

Al simplificar: )5(484)3(3 xx

xx 20849

Adicionando -84 en ambos miembros se obtiene: 84209 xx

Adicionando -20 x en ambos miembros se obtiene: 84209 xx


Se dividen ambos miembros por -11: 1184

1111x

Al simplificar: 11

84x

10) Resolver 2

34xx

107

Resolución:

Ambos términos están escritos de la forma d

c

b

a

Al multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), bd se obtiene:

bcad

A este mismo resultado se hubiera llegado multiplicando el numerador de cada miembro por el denominador del miembro opuesto. Es decir, realizando el producto en cruz:

La ecuación es: 2

34xx

Multiplicando en cruz: x)x( 324

xx 384

834 xx Al simplificar: 8x


si: 4

27x =

3

23x

Resolución:

Multiplicando en cruz: )23(4)27(3 xx

Al distribuir 3 y 4 se obtiene: 812621 xx

681221 xx

Al simplificar: 141221 xx

141221 xx



1499x

x

=9

14


si: ( x

+ 8)2 = ( x

+ 5) ( x

+ 7)

Resolución:

Al resolver los binomios: 35576416 22 xxxxx

Al simplificar: 35126416 22 xxxx

6435121622 xxxx

108



44x

x

= -

4

29


10

x

x =

4

5

x

x

Resolución:

Multiplicando en cruz: ( x

+ 10) ( x

+ 4) = ( x + 5) ( x

- 2)

Al resolver los binomios: 105240104 22 xxxxxx

Al reducir términos semejantes: 1034014 22 xxxx

401031422 xxxx

Al simplificar: 11 x

= - 50

Al despejar x : x

= - 11

50


si: 34

253xx

Resolución: En esta ecuación hay varias fracciones. Para eliminarlas, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), que en este caso es x6 .

Multiplicando ambos miembros por x6 : 34

25

63

6x

xx

x

34

625

63

6 xx

xx

x

Al simplificar: x81518

x81518 Al simplificar: x83


x

109


4x

x

x

Resolución: En esta ecuación hay varias fracciones. Para eliminarlas, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), que en este caso es 4x .

Multiplicando ambos miembros por 4x :

54

44

44

x

x)x(

x)x(

))(x(x

x)x(

x)x( 54

44

44

4

454 xx 2054 xx

Al simplificar: 2064 x x6204

246x

Al despejar x : 46

24x

Comprobación:

544

4x

x

x

54444

4 x

Al sustituir la solución se lleva a una división por cero. Se dice que 4x es una solución extraña de la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

Es importante realizar la comprobación de las soluciones. En este último ejemplo se ilustra que al multiplicar la ecuación por un mcm que contenga la incógnita, es posible introducir soluciones extrañas.


1) Resuelve las siguientes ecuaciones

a) x + 2 =6 k) 9

7

m rr) 2n +5 = n + 12

110

b) y + 9 =43 l) 11

8

y s)

3

b– 5 =9

c) x + 15 =26 ll) 7

3

t t)

5

2x+8 =6

d) x - 9 =6 m)

10

9

5

3x u) 30=

8

1a

e) x - 7 =-21 n) 30

3

2y v) 12 – 3 (x – 5 ) = 21

f) -7 + y =13 ñ) -7m – 24 =-129 w) 5r – 2 (2r +8) = 16

g) -3 + x = -9 o)

r

21=3 x)

3

1x + 2(

3

1x +5) = 1

h) 24= x + 5 p) 5(3x – 2) =35 y) 2(3x +5) + 3(2x + 5) = 1

i) 12

11

6

5m

q) 9= 3(5x – 2) z) 3 (x -6) +2 = 4 (x +2) - 21

j) -21x=-126 r) 2(3 + 4m) – 9 =45 zz)

4

1(8y +4)–17 =

2

1(4y – 8 )


en las siguientes ecuaciones:

a) bax

g) a

x - 2 = 0

b) abx

h) a

x - 1 = 4 -

a

x

c) bax

i) a

x -

3

x - 4 = 0

d) a

x = b

j) bxeaxcxbax 53

e) x

a = b k)

2

3 cx

cax 52

f) ax

- b

1= 0

111

3) Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 3 x

= 6

i) 3

1 (6x + 24) – 20 =

4

1

(12x – 72)

b) 2 m

-1 = 3 m

– 2

j) 7

35x =

3

42x

c) 4( y

– 2) = 3( y

+ 4) – 2

k) 12

36

x

x =

1

43

x

x

d) 6 ( d – 8) = 3 ( d + 5) l)

4

34s = 7 s

– 8

e) 2

4x - =

5

2x m)

5

3p -

3

2 = 5 p

f) 8

7 x –

4

1 +

4

3x =

16

1+ x n)

3

27x =

4

109x

g) 3

5+

3

2=

12

25 +

4

5x +

4

3 o)

3

4

x

x =

1

2

x

x

h) 2

7x +

2

1x = 3x +

2

3 +

2

5x p)

5

x +

6

x = y

4) Encontrar y

en la ecuación: a

y

5

2 = 8

5) Determinar w en la siguiente ecuación: w

a =

b

3

6) Obtener t

de la ecuación: 33tta

7) Despejar el valor de y

de la ecuación: b

ay

= a

yb

8) Obtener n en la siguiente ecuación: c

ban

= cn

9) ¿Cuál es el valor de x

en la siguiente ecuación, cuando a

= 1?

xaxx

a 275

5479

4

3

112

7.3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO

Los modelos matemáticos son una herramienta que permiten solucionar

problemas cotidianos cuando se presentan en ellos incógnitas. Para plantear este

tipo de modelos, se traduce del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico y se

representan las incógnitas con una letra o literal; así, se forma una expresión

algebraica y se hace uso de la igualdad “=” para establecer la ecuación a resolver.

Para transformar un problema de un lenguaje común a un lenguaje algebraico se

recomienda:

a) Leer detenidamente el problema con el fin de analizar la información

determinar que se desea obtener.

b) Identificar los datos (cantidades conocidas) y la o las incógnitas (cantidades

desconocidas), así como las relaciones entre ellos.

c) Separar cada parte del problema y a cada incógnita asignar una letra (u , w , x

, y , z ).

d) Expresar la igualdad correspondiente, es decir, el modelo matemático

requerido. En este tipo de problemas, al modelo matemático se le conoce

como ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejercicio 1. ¿Cuál es la representación algebraica del enunciado que dice: el

doble de un número más el mismo número?

Resolución:

Sea x el número desconocido.

El doble de un número se representa por 2 x

El doble de un número más el mismo número es: 2 x

+ x

La solución es: 3 x

Ejercicio 2. Determinar cuál de las siguientes opciones representa

algebraicamente el enunciado: el cuádruplo de un número disminuido en 10

unidades.

a) 4 x

+ 10 b) 4( x

+ 10) c) 4 x

+ 10 d) 4 x

– 10

113

Resolución:

Sea x

el número desconocido

El cuádruplo de un número se representa por 4 x

El cuádruple de un número disminuido en diez unidades es 4 x

– 10

Por lo tanto, el inciso (d) es el correcto.


1) En una secundaria hay x

número de estudiantes en la planta baja, mientras

que en el primer piso hay el doble de los que hay en la planta baja, y en el

segundo piso solo la mitad de los que tiene el primero. ¿Cuál es la expresión

algebraica que representa al enunciado y cuál es el total de estudiantes

existentes?

a) expresión: x

+ 2 x

+ 2

x Total: 2 x

estudiantes

b) expresión: x

+ 2 x

+ x Total: x 4 estudiantes

c) expresión: x

+ 2 x

+ x Total: 4 x

estudiantes

d) expresión: x

+ 2 x

+ 2

x Total:

2

3x estudiantes

2) El enunciado, el triple de un número más el mismo número se representa

mediante el modelo algebraico:

a) 3 x

+ 3; cuyo resultado es 6 x .

b) 3 x

+ x ; cuyo resultado es 4 x .

c) 3

x + x ; cuyo resultado es

3

2x.

d) 3

x+ 3; cuyo resultado es

3

5x

3) En un grupo de 25 estudiantes hay 8 hombres menos que el doble de

mujeres. Determine cuántos estudiantes hay de cada sexo.

4) Representa el modelo algebraico del enunciado: la suma de dos números

consecutivos es 143.

114

5) La suma de dos números es 27, si el mayor es el triple del menor menos 5

unidades, ¿Cuál es el valor de cada número?

7.4 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA

Con ayuda de las ecuaciones es posible resolver problemas de una manera sencilla, como se ilustra en el siguiente ejemplo.


1) La edad de Pedro es el triple de la edad de Juan. Hace 6 años la edad de Juan

era un sexto de la edad de Pedro. Obtener las edades actuales de Pedro y de

Juan.

Resolución:

a) Al leer detenidamente el problema, se observa que se necesita calcular la edad

de Pedro y Juan.

b) Datos: La edad de Pedro es el triple de la de Juan

Hace 6 años la edad de Juan es un sexto de la edad de Pedro.

c) Incógnitas:

Nombre de las incógnitas Representación algebraica

Edad actual de Juan x

Edad actual de Pedro 3 x

Edad de Juan hace 6 años x – 6

Edad de pedro hace 6 años x3 – 6

d) Por lo tanto, la expresión correspondiente a “Hace seis años la edad de Juan

era el sexto de la de Pedro” es:

x

– 6 = 6

63x

115

Si el denominador del lado derecho se traslada multiplicando del lado izquierdo se

tiene: 6( x

– 6) = 3 x

– 6

Al realizar la operación: 6 x

– 36 = 3 x

– 6

6 x

– 3 x

= - 6 + 36

Al simplificar se obtiene: 3 x

= 30

x

= 3

30 = 10 años.

Por lo tanto, las edades actuales de Pedro y Juan son:

Edad de Juan: x

= 10 años

Edad de Pedro: 3 x = 30 años

2) Luis pensó en un número que multiplicó por 2, al resultado le sumó 5 para

después dividir entre 5, restar 1, multiplicar por 8 y finalmente sumarle 7. El

resultado que obtuvo fue el número 39. ¿Cuál es el número que pensó Luis?

Resolución:

Planteamiento del problema utilizando el lenguaje algebraico:

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO

Luis pensó un número x

El cual multiplicó por 2 2 x

A cuyo resultado le sumo 5 2 x

+ 5

Para después dividir entre 5

5

52x

Restarle 1

5

52x - 1

Multiplicar por 8 8 1

5

52x

Para finalmente sumarle 7 8 1

5

52x + 7

Obteniendo el número 39 8 3971

5

52x

Así, la ecuación a resolver es: 8 39715

52x

116

Al resolver en el interior del paréntesis: 8 3975

552x

Trasponiendo el 7: 8 7395

2x

8 3252x

Al pasar dividiendo el 8 al otro lado de la igualdad: 832

52x

452x

2 x

= 4(5)

2 x

= 20

Al despejar la x: 102

20x

Por lo que, se concluye que Luis pensó en el número 10.


1) Un tronco de 72 m se divide en tres partes de tal manera que la parte de en

medio sea cinco metros mayor que la primera parte, y la última sea el triple de

la segunda menos 2. Determinar la longitud de cada parte.

2) Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor

A hizo un tiempo x

al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el

doble del tiempo del corredor A, menos 10 minutos. ¿Qué tiempo hizo cada

uno, si la suma de los tiempos es de 50 minutos?

3) La edad de Pedro y la de su primo Pablo suman 35 años; si Pablo tiene el

triple de la de Pedro menos 5 años ¿qué edad tiene cada uno?

4) La suma de tres números enteros consecutivos es de 246. Determinar cada

número.

117

5) A dos familias se les repartió arroz que se extrajo de un bulto de 50 Kg, si la

familia A recibió el doble de kilogramos que recibió la familia B menos 7 Kg.

¿Cuántos kilogramos recibió cada familia?

6) En una alcancía hay monedas de $10, $50 y $1, haciendo un total de

$3952.00. El número de monedas de $50 es el triple de las de un peso, y el

número de $10 es el doble del número de monedas de $50. ¿Cuántas

monedas de cada denominación hay en la alcancía?

118

CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS

INCÓGNITAS


Nivel Taxonómico

IDENTIFICARÁ SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Aplicación

DETERMINARÁ EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES

CON DOS INCÓGNITAS

Aplicación

EXPRESARÁ ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2 x 2

Aplicación

8.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Como su nombre lo indica son aquellas ecuaciones que tienen dos variables y el máximo exponente de las mismas es 1.

Por ejemplo, sea la ecuación 2 yx = 3

Para obtener las soluciones de esta ecuación, se despeja una de las incógnitas; por ejemplo, la y

y

= 3 — 2 x

A continuación, se dan valores a la x ; de tal modo que para cada valor de x , se obtiene otro correspondiente para y . Como a cada valor de x

corresponde otro de y , se dice que y

es función de x . Cada par de valores así obtenido es una solución de la ecuación. Por ejemplo:

Si x = 0, y = 3 Si x

=1, y = 1 Si x

= 2, y = — 1

De esta manera, hay un número infinito de pares de valores que satisfacen a la ecuación, por este motivo, estas ecuaciones reciben el nombre de indeterminadas. Aunque también se llaman lineales, porque su representación gráfica es una línea recta.

8.2 ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas reciben el nombre de simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de sus incógnitas.

119

Por ejemplo, a continuación se muestran dos ecuaciones con dos incógnitas:

yx 5

= 8

2 x

- y

= 5

Se dice que estas ecuaciones son simultáneas, porque los valores x

= 3, 1y ,

satisfacen a ambas ecuaciones.

8.3 ECUACIONES EQUIVALENTES

Son aquellas ecuaciones que se obtienen a partir de otra multiplicando o dividiendo sus términos por una constante. Por ejemplo, las ecuaciones

2 x + y3 = 3 6 x + 9 y

= 9

son equivalentes, porque la segunda se obtiene multiplicando por 3 los dos miembros de la primera.

8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES

El conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas forma un sistema. De este modo, las ecuaciones

4 x + 3 y

= 9

x

- 3 y

= 1

forman un sistema de dos ecuaciones de primer grado (o lineales) con dos incógnitas.

Las ecuaciones en un sistema establecen condiciones sobre las mismas variables al mismo tiempo.

Las soluciones de un sistema son los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las ecuaciones del mismo.

Un sistema es compatible, cuando tiene solución; y es incompatible, cuando no la tiene.

Un sistema compatible es determinado, cuando tiene una sola solución; y es indeterminado, cuando tiene infinitas soluciones.

La gráfica de un sistema dedos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.

Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene solución.

8.5 RESOLU

Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A este proceso se le llama

Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio derestar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.


Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene solución.

8.5 RESOLU


a) reducciónb) sustituciónc) igualación



Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene

Si la gráfica de sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de intersección.

8.5 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DGRADO CON DOS INCÓG


eliminaciónreducción

o de sumas y restassustitución; igualación.

8.5.1 ELIMINACIÓN


La gráfica de un sistema de

dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser

dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.


CIÓN DE UN SISTEMA DGRADO CON DOS INCÓG

Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A

eliminación. Existen tres métodos usuales de eliminación:sumas y restas

8.5.1 ELIMINACIÓN

Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio de

multiplicaciones adecuadas, y después sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.

dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.


CIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE GRADO CON DOS INCÓG


. Existen tres métodos usuales de eliminación:sumas y restas;

8.5.1 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN

Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en multiplicaciones adecuadas, y después sumar o

restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.


Si la gráfica de un sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de

Si la gráfica de un sistema es una línea, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

E DOS ECUACIONES DE GRADO CON DOS INCÓGNITAS.


. Existen tres métodos usuales de eliminación:

POR REDUCCIÓN





E DOS ECUACIONES DE



POR REDUCCIÓN



120



E DOS ECUACIONES DE PRIMER





120

dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser




121

Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción se realiza el siguiente procedimiento:

1. Se igualan los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, multiplicando las dos ecuaciones por números convenientes.

2. Si los signos de estos coeficientes son iguales, se restan ambas ecuaciones, miembro a miembro; y, si los signos son contrarios, se suman las ecuaciones.

3. Se resuelve la ecuación que resulta y tenemos así el valor de una incógnita. Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, obtenemos el valor de la otra incógnita.

4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores de las incógnitas en las ecuaciones dadas.

Ejercicio 1:

Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:

2 x

- 3 y

= 3

5 x

+ y

= 16

RESOLUCIÓN: Lo más sencillo en este caso es igualar los coeficientes de la y, para los cual basta multiplicar la segunda ecuación por 3. Entonces se obtiene

2 x

- 3 y

= 3

15 x

+ 3 y

= 48

Observemos ahora que los dos términos que contienen a la incógnita y son simétricos (iguales en valor absoluto y de signos contrarios); por lo que, sumando miembro a miembro las dos ecuaciones, se elimina la incógnita y. Así se tiene:

2 x

- 3 y

= 3 15 x + 3 y

= 48

17 x

= 51

Resolviendo esta ecuación, resulta x

= 3

Para encontrar el valor delas ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos

Comprobación:En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados

Se concluye que del sistema de ecuaciones.

La gráfica del sistema se mue

Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución del sistema de ecuaciones.

Para encontrar el valor delas ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos

Por tanto, la solución del sistema es

Comprobación:

En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados

Se concluye que del sistema de ecuaciones.



Para encontrar el valor de

y

las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos5 (3) +



Se concluye que x =3, y =1, o bien del sistema de ecuaciones.



y, sustituimos el valor obtenido para

las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos5 (3) + y 15 + y

y

y

Por tanto, la solución del sistema esx = 3

y = 1


2 (3) –

5 (3) +

=1, o bien la pareja ordenada

La gráfica del sistema se muestra a continuación:

Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución

, sustituimos el valor obtenido para

las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos = 16 = 16 = 16 - 15 = 1


= 3

= 1


–

3 (1) = 3

5 (3) +

1 = 16 6 – 3 = 3

15 + 1 = 16 3 = 3

16 = 16

la pareja ordenada

stra a continuación:


, sustituimos el valor obtenido para las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos


3 (1) = 3

16

3 = 3

= 16

3 = 3

= 16

la pareja ordenada

( ,x

stra a continuación:


, sustituimos el valor obtenido para x, en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos


y, )=(3,1) es


122

, en cualquiera de


)=(3,1) es

la solución


122

, en cualquiera de

la solución


Ejercicio 2:Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:

RESOLUCIÓNSe multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene

Restando las ecuaciones se tiene:

Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. dependiente o


Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejercicio 2:


RESOLUCIÓN:

Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene


Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. dependiente o indeterminado






Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. indeterminado



Resolver por el método de reducción el siguiente sistema:4 x - 3

8 x - 6


8 x - 6

8 x - 6


8 x - 6 8 x - 6

Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. indeterminado

porque tiene infinitas soluciones.




3 y

= 5

6 y = 10


6 y

= 10

6 y = 10

6 y

= 10 6

y = 10

0 = 0

Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. porque tiene infinitas soluciones.


Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el



Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. porque tiene infinitas soluciones.




Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. El sistema es porque tiene infinitas soluciones.


123

El sistema es


123

El sistema es


EjerciResolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:

RESOLUCIÓNSe multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se


Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.

La gráfica del sistema se muestra a contin

Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe ningún punto de intersección.

Ejercicio 3: Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:

RESOLUCIÓN:

Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se





Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema:






Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema: x -

4 x - 4


4 x - 4

4 x - 4


4 x - 4 4 x - 4





y

= 7

4 y = 10


y

= 28

4 y = 10

4 y

= 28 4

y = 10

0 = 18



Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe




uación:



obtiene



124



124

Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta.


125


Resolver por el método de reducción o de sumas y restas, los siguientes sistemas:

1.

x

+ y = 12

x

- y

= 6

6.

5 x + 2 y = 9 3 x - 2 y

= -5

2.

x

+ y

= 18 2 x

- y

= 15 7.

4 x - 3 y

= 10 2 x + 5 y

= - 8

3.

x

+ 2 y

= 8 3 x - y

= 3 8.

2 x - 4 y

= 20 3 x + 2 y

= 2

4.

4 x

- 6 y

= - 2 x + 3 y

= - 5 9.

3 x

+ 7 y

= 13 -5 x

+ 3 y

= 29

5.

3 x

+ 2 y

= 11 5 x

+ 4 y = 21 10.

- y + 4 x

= 16 3 x + y = 12

8.5.2 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar en una de las ecuaciones dadas el valor de una incógnita en función de la otra incógnita y sustituir después este valor en la otra ecuación.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de sustitución:

1. Se despeja en cualquiera de las ecuaciones el valor de una de las incógnitas.

2. Este valor se sustituye en la otra ecuación, que se transforma así en una ecuación de primer grado con una incógnita.

3. Se resuelve esta ecuación para obtener el valor de una de las incógnitas. Sustituyendo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones, se encuentra el valor de la otra incógnita.

4. Se comprueba la solución obtenida.

126

Ejercicio 4:

Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

2 x

- 3 y

= 5

x

+ 2 y = 6

RESOLUCIÓN: En cualquiera de las ecuaciones (por ejemplo, en la segunda) despejamos el valor de una de las incógnitas

x = 6 - 2 y

Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación, tenemos 2 (6 - 2 y ) - 3 y = 5

Haciendo operaciones, resulta 12 - 4 y

- 3 y

= 5 - 7 y

= - 7 7 y

= 7 y = 1

Sustituyendo este valor de y en la ecuación x

= 6 - 2 y , tenemos

x = 6 - 2 (1) x = 4

La solución del sistema es:

x = 4

y

= 1

Comprobación:

2 (4) - 3 (1) = 5

4 + 2 (1) = 6

8 - 3 = 5

4 + 2 = 6

5 = 5

6 = 6

127

Ejercicio 5: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

2 x

+ 3 y

= 12

3 x - 4 y

= 1

RESOLUCIÓN:

Despejamos la incógnita x

en la primera ecuación

x

= 2

312 y

Sustituyendo este valor de x

en la segunda ecuación, se obtiene

32

312 y- 4 y

= 1

Resolviendo esta ecuación

2

936 y

- 4 y

= 1

36 - 9 y

- 8 y

= 2

- 17 y

= - 34

17 y

= 34

y

= 2

Ahora sustituimos el valor de y en la ecuación x = 2

312 y y tenemos

x

= 2

)2(312

x

= 2

612

x

= 3 La solución del sistema es

x

= 3

y

= 2

128

Comprobación:

2 (3) + 3 (2) = 12

3 (3) - 4 (2) = 1

6 + 6 = 12

9 - 8 = 1

12 = 12

1 = 1 Ejercicio 6: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

6 x

= 3 y

+ 4

y = 2 x - 2

RESOLUCIÓN:

En la ecuación 2 la variable y ya está despejada. Sustituimos y = 2 x

- 2 en la primera ecuación:

6 x

= 3 y

+ 4 6 x

= 3 (2 x

- 2) + 4 6 x

= 6 x

- 6 + 4 6 x

- 6 x

= - 6 + 4 0 = -2

Las variables desaparecen y se llega a una igualdad que no es correcta. Se concluye que el sistema de ecuaciones es incompatible o inconsistente porque no tiene solución.

Ejercicio 7: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:

2 x

+ 3 y

= 12

6 x + 9 y

= 36

129

RESOLUCIÓN:

Despejamos la incógnita x

en la primera ecuación

x

=

2

312 y

Sustituyendo este valor de x

en la segunda ecuación, se obtiene

62

312 y + 9 y

= 36

Resolviendo esta ecuación

21872 y

+ 9 y

= 36

72 - 18 y

+ 18 y

= 72

72 = 72

La variable ha desaparecido y el resultado es una identidad. El sistema es dependiente o indeterminado porque tiene infinitas soluciones.


Resolver por el método de sustitución los siguientes sistemas:

11.

x + 3 y

= 7 2 x

- y

= 7 16.

5 x - 3 y = 14 2 x + 9 y

= 26

12.

3 x

+ y

= 9 2 x + 3 y

= 13 17.

5 x + 3 y

= 2 x + 2 y

= 6

13.

2 x - y

= 1 x

+ 3 y

= 18 18.

3 x

- 4 y

= 5 2 x + y

= - 4

14.

x + 7 y

= 28 3 x - 2 y

= 15 19.

4 x - 3 y

= -7 2 x + y

= 4

15.

6 x

+ 3 y

= 3 2 x - 5 y

= 7 20.

3 x + 6 y

= - 2 5 x - 3 y = - 12

130

8.5.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar el valor de la misma incógnita en función de la otra, en las dos ecuaciones dadas, igualando después ambos valores.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de igualación:

1. Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones dadas.

2. Se igualan estos valores obteniéndose así una ecuación de primer grado con una incógnita.

3. Se resuelve esta ecuación para obtener el valor de una incógnita. Sustituyendo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones, se determina el valor de la otra incógnita.

4. Se comprueba la solución.

Ejercicio 8:

Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:

2 x + 3 y = 7

3 x

- 4 y

= 2

RESOLUCIÓN: Despejando la incógnita x

en cada una de las ecuaciones, se obtiene

x = 2

37 y

x = 3

42 y

Igualando estos valores, tenemos

3

42

2

37 yy

131

Resolviendo la ecuación

3 (7 - 3 y ) = 2 (2 + 4 y ) 21 - 9 y = 4 + 8 y

- 9 y

- 8 y

= 4 - 21

-17 y = - 17 17 y = 17 y

= 1

Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones, tenemos

x = 2

)1(37

x = 2 La solución del sistema es

x

= 2

y = 1

Comprobación:

2 (2) + 3 (1) = 7

3 (2) - 4 (1) = 2

4 + 3 = 7

6 - 4 = 2

7 = 7

2 = 2


Resolver por el método de igualación los siguientes sistemas:

21.

x + 6 y

= 27 3 x

- 2 y

= 1 26.

3 x + 5 y = 14 -7 x + 2 y = 22

132

22.

5 x

+ 8 y

= 21

4 x + y

= 6

27.

2 x + 5 y

= 1

4 x - 2 y

= 14

23.

7 x

- 4 y

= 13

5 x

+ 3 y

= 21

28.

5 x

- 3 y

= 2

2 x + 4 y

= - 20

24.

3 x + y

= 23

2 x - 5 y

= - 13 29.

8 x

- 3 y

= 12

12 x + 4 y

= 1

25.

9 x

— 2 y

= 34 x

+ 7 y

= 11 30.

3 x + 5 y

= 5 6 x

— 10 y

= — 2

8.5.4 SISTEMAS CON ECUACIONES FRACCIONARIAS

Ejercicio 9:

Resolver el siguiente sistema por cualquier método:

32

52

2

151

532

yx

yx

RESOLUCIÓN:

Se eliminan los denominadores multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m) de sus denominadores. Así, la primera ecuación se multiplica por 15 y la segunda por 30:

32

52

230

151

532

15

yx

yx

360

560

230

1515

515

330

yx

yx

133

201215

1310

yx

yx

Se resolverá el sistema por igualación. Para ello se despeja x

de ambas

ecuaciones, y se obtiene:

1031 y

x y 15

1220 yx

A continuación se igualan ambas expresiones:

1031 y

151220 y

Se realiza el producto en cruz: )y()y( 1220103115

yy 1202004515

- 1520045120 yy 185165y

3337

165185

y

Se sustituye este valor de y en 10

31 yx :

103337

31x

5524

330144

11033

144

1033111

3333

1033111

1x

5524

x

Comprobación:

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales:

32

53337

2

25524

151

53337

35524

2

=

134

32

53374

25524

151

53337

35548

32

53374

25524

30

151

53337

35548

15

360

3374

65524

15

1515

3337

35548

5

201174

21124

3

11137

1148

= 20

11148

1172

11111

2011

220

11

2020

11

135


Resolver por cualquier método los siguientes sistemas:

31. 1

43

3

28

252

yx

yx

32.

24

41

322

212

22

31

yx

yx

33. 5

253

23

22

yx

yx

34. 0

32

43

23

yx

yx

136

CAPITULO 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


Nivel Taxonómico

APLICARÁ LOS MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN, COMPLETAR EL TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO Y FÓRMULA

GENERAL EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Aplicación

OPERARÁ CON POLINOMIOS

Aplicación

Una ecuación de segundo con una incógnita es una expresión de la forma

02 cbxax , con a, b, c

, 0a . Para obtener el conjunto solución de este

tipo de ecuaciones, se estudiarán tres métodos:

1) Completar el trinomio cuadrado perfecto.

2) Factorización.

3) Fórmula General.

En lo sucesivo al término 2ax se le llamará término cuadrático; al término bx se le

llamará término lineal y al término “ c ”, se le llamará término independiente.

9.1 MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Ejercicio

Resolver la ecuación 22 3 0x x

Resolución

Paso 1. Cancelar el término independiente en el miembro izquierdo de la

ecuación:

32 2 xx

Paso 2. Multiplicar en ambos miembros de la ecuación por el inverso multiplicativo

del coeficiente de 2x :

137

21 1(2 ) (3)

2 2x x

2 1 3

2 2x x

Paso 3: Completar el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo de la

ecuación:

2 2 21 1 3 1( ) ( )

2 4 2 4x x

2 1 1 25

2 16 16x x

Para completar el trinomio cuadrado perfecto, el coeficiente de x

se divide entre 2

y el resultado se eleva al cuadrado.

Paso 4: El miembro izquierdo se escribe como el cuadrado de un binomio:

21 25( )

4 16x

Paso 5: Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

21 25( )

4 16x

1 5

4 4x

1 5

4 4x

o 1 5

( )4 4

x

Paso 6: Se resuelven las ecuaciones 1 5

4 4x y

1 5( )

4 4x

1 5

4 4x

1 5

( )4 4

x

138

5 1

4 4x

5 1

4 4x

6

4x

4

4x

3

2x

1x

El conjunto solución es 3

1,2

S

Ejercicio

Resolver 0253 2 xx

Resolución:

En este caso el coeficiente de 2x es negativo; se recomienda multiplicar en ambos

miembros de la ecuación por –1, para que el coeficiente de 2x sea positivo.

Posteriormente se siguen los pasos del ejemplo anterior.

23 5 2 0x x

2( 1)( 3 5 2 0) 1 0x x

23 5 2 0x x

23 5 2x x

21 1(3 5 ) (2)

3 3x x

2 5 2

3 3x x

2 2

2 5 5 2 5

3 6 3 6x x

2 5 25 49

3 36 36x x

139

2

5 49

6 36x

25 49

6 36x

5 7

6 6x

6

7

6

5x o

5 7

6 6x

5 7

6 6x

5 7

6 6x

7 5

6 6x

7 5

6 6x

2

6x

12

6x

1

3x 2x


2,3

S

Ejercicio

Resolver 05 2 xx

Resolución:

El término independiente en la ecuación 05 2 xx es igual a cero, de modo que

directamente se multiplica por 5

1 en ambos miembros de la ecuación.

140

25 0x x

21 1

(5 ) (0)5 5

x x

2 1

05

x x

2 22 1 1 1

5 10 10x x

2 1 1 1

5 100 100x x

2

1 1

10 100x

2

1 1

10 100x

1 1

10 10x

1 1

10 10x

1 1

10 10x

1 1

10 10x

1 1

10 10x

0x

1

5x


,05

S

Ejercicio

Resolver 0189 2x

Resolución:

141

La ecuación 0189 2x se puede escribir como 01809 2 xx .

Se considera esta última expresión y se aplica el método descrito:

29 0 18 0x x

21 ( 9 0 18) ( 1)(0)x x

29 0 18 0x x

29 0 18x x

21 1(9 0 ) (18)

9 9x x

2 0 2x x

2 2

2 0 00 2

2 2x x

2 20 0 2 0x x

2( 0) 2x

2( 0) 2x

0 2x

0 2x 0 2x

2x 2x

El conjunto solución es 2, 2S


Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto las siguientes ecuaciones:

1) 22 5 12 0x x

142

2) 24 11 3 0x x

3) 23 5 4 0x x

4) 216 2 0x x

5) 24 16 0x

9.2 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN.

Ejercicio

Resolver 25 7 6 0x x

Resolución

Paso 1. Se multiplica por el coeficiente numérico del término 25x

en ambos

miembros de la ecuación:

25(5 7 6) 5(0)x x

2 25 5(7 ) 5(6) 0x x

2(5 ) 7(5 ) 30 0x x

Nota: Observar que el término lineal 5 7x

se expresó como 7 5x .

Paso 2. Se buscan 2 números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea –30. Estos

son 10 y –3. Luego:

2(5 ) 7(5 ) 30 (5 10)(5 3)x x x x

Por lo tanto:

(5 10)(5 3) 0x x

5 10 0x

5 3 0x

5 10x 5 3x

10

5x

3

5x

2x

143


2,5

S

Ejercicio


Resolución:

Nuevamente se sugiere multiplicar por (–1) en ambos miembros de la ecuación.

21 14 31 10 1 0x x

214 31 10 0x x

214 14 31 10 14 0x x

214 31 14 140 0x x

14 35 14 4 0x x

14 35 0x 14 4 0x

14 35x 14 4x

35

14x

4

14x

5

2x

2

7x

El conjunto solución es 2 5

,7 2

S

144

Ejercicio


Resolución

En este caso, dado que el coeficiente de 2x

es uno, simplemente se buscan los

números cuya suma es –8 y cuyo producto es –20.

Estos números son 2 y –10. Se factoriza el trinomio de 2 8 20 0x x :

2 10 0x x

2 0x 10 0x

2x 10x

El conjunto solución es 2,10S

Ejercicio

Resolver 212 27 0x x

Resolución

Como se trata de una ecuación con término independiente nulo, se factoriza el

binomio por el método del factor común y se obtienen las raíces de la ecuación: 212 27 0x x

3 4 9 0x x

3 0x

4 9 0x

0

3x 4 9x

0x

9

4x


0,4

S

Nota: Toda ecuación de la forma 2 0ax bx

tiene como una de sus soluciones a

0x

145

Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones por medio de factorización.

1) 24 27 4 0x x 4

2) 2 4 60 0x x

3) 29 17 8 0x x

4) 215 0x x

5) 223 8 0x x

9.3 FÓRMULA GENERAL

Ejercicio

Obtener la fórmula general para resolver una ecuación de la forma

2 0ax bx c a, b, c

, 0a

Resolución:

Para obtener la formula general, se utiliza el método de completar un trinomio

cuadrado perfecto. 2 0ax bx c

2ax bx c

21 1ax bx c

a a

2 b cx x

a a

2 2

2

2 2

b b c bx x

a a a a

2 2

22 24 4

b b c bx x

a aa a

146

2 2

2

4

2 4

b ac bx

a a

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

2 2 4

2 4

b b acx

a a

2 4

2 4

b b acx

a a

2 4

2 4

b b acx

a a

2 4

2 4

b b acx

a a

2 4

2 2

b b acx

a a

2 4

2 2

b b acx

a a

2 4

2

b b acx

a

2 4

2

b b acx

a

2± 4

2

b b acx

a Fórmula general

El conjunto solución es 2 24 4

,2 2

b b ac b b acS

a a

Ejercicio


Resolución:

Aquí 12a , 52b , 9c

Aplicando la fórmula general:

147

252± (52) 4(12)( 9)

2(12)x

52± 2704 432

24x

52± 3136

24x

52±56

24x

El conjunto solución es

52 56

24x

52 56

24x

4

24x

108

24x

1

6x

9

2x

9 1,

2 6S

148

Ejercicio

Resolver 24 1 0x x

Resolución:

En este caso 4a , 1b , 1c

2( 1)± ( 1) 4(4)( 1)

2(4)x

1± 1 16

8x

1± 17

8x

1 17

8x

1 17

8x

El conjunto solución es 1 17 1 17

,8 8

S

149

Ejercicio

Resolver 27 0x x

Resolución

Ahora se tiene 7a , 1b , 0c

21± 1 4(7)(0)

2(7)x

1± 1

14x

1±1

14x

1 1

14x

1 1

14x

0x 1

7x

150

Ejercicio

Resolver 211 3 0x

Resolución:

Como 11a , 0b , 3c

20± 0 4(11)( 3)

2(11)x

0 132

22x

0 132

22x

132

22x

132

22x

4 33

22x

4 33

22x

2 33

22x

2 33

22x

33

11x

33

11x

El conjunto solución es 33 33

,11 11

S


Utilizar la fórmula general para resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 23 7 26 0x x

2) 29 7 2 0x x

3) 2 17 0x x

4) 220 9 0x x

5) 22 1 0x

151

BIBLIOGRAFÍA

1. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos Fundamentales de Matemáticas

ÁLGEBRA. México, Pearson Educación, 2006.

2. De Oteyza Elena et al., ÁLGEBRA. México, Prentice Hall, 1996.

3. Fuenlabrada, Samuel, ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA. México, Mc Graw Hill, 2007.

4. Gustafson, R. David et al., ÁLGEBRA INTERMEDIA

7ª. Edición. México, Thomson, 2006.

5. Larson, Ronald E. et al., ÁLGEBRA INTERMEDIA

2ª. Edición. México, Mc Graw Hill, 2000.

6. Baldor, Aurelio, ÁLGEBRA. México, Publicaciones Cultural, 2000.

7. Rees, Paul K, , ÁLGEBRA. México, Reverte, 1997

Algebra Teoria y Ejercicios

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