Amrtin Esta

8/16/2019 Amrtin Esta

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MEDIA ARITMETICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumartodos los datos y dividir el resultadoentre el número total de datos.

Propiedades de la media aritmética

o Al evaluar la media se incluyen todos los valoreso Un conjunto de datos solo tiene una media. Esta es única.

o La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblacioneso La media aritmética es la única medida de tendencia central en donde la suma de

cualquier valor con respecto a la media siempre será cero.

La media aritmética se aplica para datos agrupados y datos no agrupados:

• Media aritmética para datos no agrupados

donde:

= Designa la media aritmética x i = Valores que toma la variable en la población o en la muestra.n = Es el número total de observaciones o datos

Ejemplo:

Supngase que un almacén tiene !" empleados# y sus sueldos mensuales son: $%&'.((( )

%*!.((( ) %+%.&(( ) ,"!.%(( ) ,"%.((( ) -*!.((( ) %"%.((( ) %'+.((( ) ,'+.((( ) ''(.(((

) %"(.((( ) %,+."((

Se quiere determinar la media aritmética o promedio de los sueldos de los !" endedores

Solucin:

El promedio del sueldo mensual# será de $,"-.!*!#+-

• Media aritmética para datos agrupados

/ara calcular la media aritmética# en este caso# las observaciones en cada clase o

intervalo se representan con el punto medio de ésta 01arca de 2lase3. As4:


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= Designa la media aritmética

x i = Es el punto medio de cada clase o marca de clase. f i = Es la frecuencia absoluta de cada clase.n = Es el número total de frecuencias o datos.

Ejemplo

5e la tabla de distribucin de 6recuencias anterior# tenemos:

El promedio de las ventas de los almacenes es de $!!.,%(.(((

L a m e d i a a r i t m é t i c a e s e l v a l o r o b t e n i d oa l s u m a r t o d o s lo s d a t o s y d i v i d i r e l r e s u l

t a d o e n t r e e l n ú m e r o t o t a l d e d a t o s .

e s e l s 4 m b o l o d e l a m e d i a a r i t m é t i c a .

E j e m p l o

L o s p e s o s d e s e i s a m i g o s s o n : & , # * ! # - " # +

& # & - y - & 7 g . 8 a l l a r e l p e s o m e d i o .

M e d i a a r i t m é t i c a p a r a d a t o s a g r u p a d o s

S i l o s d a t o s v i e n e n a g r u p a d o s e n u n

a t a b l a d e 6 r e c u e n c i a s # l a e 9 p r e s i n d e l am e d i a e s :


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x i f i x i · fi

[ 1 0 , 2 0 1 ! 1 1

! [ 2 0 , " 0 2 ! #

2 0 0 [ " 0 , $ 0 " ! 1 0

" ! 0 [ $ 0 , ! 0 $ ! %

$ 0 ! [ ! 0 , & 0 ! ! #

$ $ 0 [ & 0 , ' 0 & ! $

2 & 0 [ ' 0 , # 0 ' ! 2

1 ! 0

$ 2 1 # 2 0

E j e r c i c i o d e m e d i a a r i t m é t i c a

E n u n t e s t r e a l i a d o a u n g r u p o de , " p e r s o

n a s s e ; a n o b t e n i d o l a s p u n t u a c i o n e s q u e m u e s

t r a l a t a b l a . ( a l c u l a l a p u n t u a c i ) n m e d i a .

P r o p i e d a d e s d e l a m e d i a a r i t m é t i c a

1 L a s u m a d e l a s d e s v i a c i o n e s d e t o d a s l

a s p u n t u a c i o n e s d e u n a d i s t r i b u c i n r e s p e c t o

a l a m e d i a d e l a m i s m a i g u a l a c e r o .


4/14

L a s s u m a d e l a s d e s v i a c i o n e s d e l o s n

ú m e r o s & # % # ' # ! " #

! ( d e s u m e d i a a r i t m é t i c a - . + e s i g u a l a ( :

& < - .+ = % < - . + = ' < - .+ = ! " < - .+ = ! ( < - .+ >

> ( . , < , .+ < " . + = , . , = " . , > 0

2 L a m e d i a a r i t m é t i c a d e l o s c u a d r a d o s d e

l a s d e s v i a c i o n e s de lo s va l o r e s d e l a va r i a b l e c o

n r e s p e c t o a u n n ú m e r o c u a l q u i e r a s e ; a c e m * n i

m a c u a n d o

d i c ; o n ú m e r o c o i n c i d e c o n l a m e d i a a r i t m é t i c a .

" S i a t o d o s lo s va l o r e s d e l a va r i a b l e s e l e s

s u m a u n m i s m o n ú m e r o # l a m e d i a a r i t m é t i c a

q u e d a a u m e n t a d a e n d i c ; o n ú m e r o .

$ S i t o d o s l o s va l o r e s d e l a va r i a b l e s e m u l t i

p l i c a n p o r u n m i s m o n ú m e r o l a m e d i a

a r i t m é t i c a q u e d a m u l t i p l i c a d a p o r d i c ; o n ú m e r o .

O b s e r v a c i o n e s s o b re l a m e d i a a r i t m é t i c a

1 L a m e d i a s e p u e d e + a l l a r s l o p a r a v

a r i a l e s c u a n t i t a t i v a s .

2 L a m e d i a e s i n d e p e n d i e n t e d e l a s a m p l

i t u d e s d e l o s i n t e r v a l o s .

" L a m e d i a e s m u y s e n s i b l e a l a s p u n t u a c

i o n e s e x t r e m a s . S i t e n e m o s u n a d i s t r i b u c i n c o n l o s s i g u i e n t e s p e s o s :

+ ' 7 g # + * 7 g # + ' 7 g # - " 7 g # + + 7 g # - ' 7 g # - ( 7 g # ! !( 7 g .


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L a m e d i a e s i g u a l a - , 7 g # q u e e s u n a m e

d i d a d e c e n t r a l i - a c i ) n p o c o r e pr e s e n t a t i

va d e l a d i s t r i b u c i n .

$ L a m e d i a n o s e p u e d e c a l c u l a r s i ; a y u n i n t

e r va l o c o n u n a a m p l i t u d i n d e t e r m i n a d a .

[ & 0 & "

x i

& 1 .

f i

!

[ & " & & & $ . ! 1 #

[ & & & % & ' . ! $ 2

[ & % ' 2 ' 0 . ! 2 '

[ ' 2 / #

1 0

E n e s t e c a s o n o e s p o s i b l e ; a l l a r l a m e d i a

p o r q u e n o p o d e m o s c a l c u l a r l a m a r c a d e c l a s

e d e ú l t i m o i n t e r va l o .

CARACTERISTICAS COMPARATIVAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTR AL

Media Arit mét ica

.! Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos de

caracter"sticas cuantitativas.#.! En su c$lculo se toman en cuenta todos los valores de la variable.%.! Es lógica desde el punto de vista algebraico.&.! 'a media aritmética es altamente afectada por valores e(tremos.).! *o puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clasesabiertas.+.! 'a media aritmética es única, o sea, un con-unto de datos numéricos tieneuna solo una media aritmética.

Mediana

.! En su c$lculo no se incluen todos los valores de la variable.#.! 'a Mediana no es afectada por valores e(tremos.%.! /uede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas.


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&.! *o es lógica desde el punto de vista algebraico.

Moda

.! En su c$lculo no se incluen todos los valores de la variable.#.! El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método dedesignación de los intervalos de clases.%.! *o est$ definida algebraicamente.&.! /uede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clasesabiertas.).! *o es afectada por valores e(tremos.

Media 0eo mé trica

.! 1e toman en cuenta todos los valores de la variable#.! Es afectada por valores e(tremos aunque en menor medida que la mediaaritmética.%.! 'a media geométrica de un número su rec"proco ser$ siempre igual auno.&.! *o puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas.).! Es maormente usada para promediar ta2as de cambio, ra2ones valoresque muestren una progresión geométrica.

Propiedades de la media ari t mé t i ca/3O/4EDAD 5 'a suma de las desviaciones de los valor es de la var ia ble con respecto a la media

ar itmética es 6.

Veamos que r esulta al operar la siguiente e(pr esión5n

n

∑ 7 x i − X 8

i =. 9endremos que

∑ 7 x − X 8i = ∑ 7 x

n− Xn 8

= (∑ x n − ∑ Xn ) = (∑ x n − X ∑ n )

= (∑ x

n− X n ) =

i

i =

i i i i i i i i

i i i i i

x n

∑ x i n i

− ∑

i i . n = 6

= 6

n n i n i

/3O/4EDAD #5 'a media ar itmética de los cuadrados de las desviaciones de los valor es de la var ia blecon respecto a una constante cualquier a se :ace m"nima cuando dic:a constante coincide con la mediaar itmética (Teorema de K ÖR IN8. ; ?

)

n

(( > (

)n

n = 6 = 6

#

D ki i

n

#i i

pr op i

n n

/ar a

k = x7media ar itmética8 el valor de las desviaciones ser $ m"nima.

/3O/4EDAD %5 1i a todos los valor es de la var ia ble se le suma una misma cantidad, la media ar itméticaqueda aumentada en dic:a cantidad5

ni i i

n n n n n


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1upongamos que tenemos una var ia ble ( de la que conocemos su media.1upongamos a:ora que tenemos otra var ia ble, que se calcula a partir de la anter ior de la siguiente f or ma5

y i = x i + k

. 1i a:ora queremos calcular la media de esta segunda var ia ble5n

∑ y in i ( x + k )n ( xn + kn )

x n kn y = i

== ∑

i i = ∑

i i i = ∑

i i ∑ i = ∑i i

+ ∑i =

n

= ∑ x i n i

+ kn n n

n n

= ∑ x i n i

+

kn

n n n

como

∑ x i n i =

X n

si sustituimos tendr emosY = X + k

que es lo que pretend"amos demostr ar .

/3O/4EDAD &5 1i todos los valor es de la var ia ble se multi plican por una misma constante la mediaar itmética queda multi plicada por dic:a constante . 'a demostración se r eali2ar"a de manera an$loga a laanter ior .

*O9A5 De las dos pr opiedades anter ior es se deduce que la resta la división se r eali2ar "an de igualmaner a para la pr opiedad % & r espectivamente.

Corolario! 1i una var ia ble es transformación lineal de otra var ia ble 7suma de un número multi plicación por otro8, la media ar itmética de la @ var ia ble sigue la misma transformación lineal con respecto a la mediaar itmética de la #@ var ia ble, siendo i = a (i b , donde a b son números r eales5

∑i i

∑i i

∑i i i

∑i i B

∑i a ( B b

y n 7a x

n n

+ b8n 7ax n

n

+ bn 8 a x n b n

n n

/odemos utili2ar esta metodolog"a para calcular la media de la siguiente distr i bución.

"i

%C&%##i

&%C&%# C%C&%+ &%C&%C %%C&&6 C

x − %C&%+ y

i=

1i ef ectuamos un cam bio de var ia blecentrado, tendr emos55

#tomando como nueva var ia ble el valor m$s

$i

%C&%##i

&%i

7%C&%# ! %C&%+8# = !#

%i #i

!C%C&%# C 7%C&%# ! %C&%+8# = ! !C%C&%+ & 7%C&%+ ! %C&%+8# = 6 6%C&%C % 7%C&%C ! %C&%+8# = %%C&&6 C 7%C&&6 ! %C&%+8# = # +

# & '( )

y = y i n i

= %=

n # F

Gomo

y = x

− %C&%+

#, entonces

x = # y + %C&%+ = #+ %C&%+ = 6,### + %C&%+ = %C&%+,###

F

i


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/3O/4EADAD )5 ! 1i en un con -unto de valor es se pueden obtener # ó m$s subcon -untos dis-untos, lamedia ar itmética del con -unto se r elaciona con la media ar itmética de cada uno de los subcon -untos dis-untosde la siguiente f or ma5

N

∑ x

i

N

i

X = I =

n

x i

1iendo la media de cada su bcon -unto *i el núm. de elementos de cada su bcon -unto.

Veamos la demostración de la pr opiedad5 1ea la distr i bución ( , (#, (%, (&, HH (n, (n, (n#

HHH.(? , observando que :abr"an como dos subcon-untos de n ?!n elementos cada uno. 1i consideramos la media

ar itmética de la

X = ∑ x i n i

n

distr i bución5

quedar"a5

calculamos los sumator ios para los dos subcon -untos, la e(presión de la media

n

∑ x j n j +k

∑ x rnr

n

∑ x j n j

k

∑ x r n r

X = j = r = n +

= j =

+ r =n +

n n n

1i multi plicamos numerador denominador de cada una de las f r acciones por una misma cantidad elr esultado no var"a, por tanto, multi plicar emos la pr imer a por * que es su número de elementos del pr imer

subcon -unto la segunda por *# que es el corr es pondiente, la e(presión quedar $5

n n ∑ x j n j ∑ x j n j j =

j =

# n N ∑ x j n

j

k

N # ∑ x r n r

N

N #

n

∑ x j n j

X = j =

+ r = n +

=

+ j =

= x

kn

∑ x r j n jr r =n +

= x

N n N # n

n

n N

como

##

son la media del pr imer segundo su bcon -unto, la e(presión la podemos e(presar de la siguiente N N X N + X N

X = X + X #

#=

# #

maner a5

n n n

que es lo que quer"amos demostrar a que si las f r ecuencias se

multi plican o dividen por un mismo número, la media no var "a

4M/O3 9A *9E5 Ia que tener en cuenta que la media ar itmética es mu sensi ble a los valor es e(tremos,es decir, a valor es numér icos mu dif er entes, 7tanto por lo grandes, o pequeJos que sean8, al resto de la muestra.Esto puede r esultar un pr oblema. Ia f or mas de r esolver lo, que veremos m$s adelante.

Media *eométrica % arm+#ica,

a- Media *eométrica! 3esponde a la siguiente e(pr esión

N

N

N


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G = n x n x

n# x n# ...... xnk

# % k

se la puede def ine, como la ra"2 n!ésima del producto de todos los valor es de la var ia ble. 9am bién la podemos representar como5

G = 7 x n x

n# x n% ....... x

nk 8n

# % k

*O9A5 En muc:as ocasiones, los valor es de la distr i bución nos im piden poder ef ectuar los c$lculos al e(ceder lacapacidad de la calculador a.

Ktili2ar emos las pr opiedades de los logar itmos5θ lg 7a.b8 = lg a lg b

θ

lg an = n lg a

lg G = lg7 x n x n# x n% ....... x nk 8 n = lg7 x n x n# x n% ....... xnk 8 = # % k

n # % k

n n n n= 7lg x + lg x # # + lg x % + .... + lg xk 8

n # % k

sa biendo que lo podemos e(presar en notación com pacta5

7n lg x + n lg x + n lg x + ...... + n lg x 8 =n

ni lg x i

n

= lg G

, por lo que podemos decir que

0 = anti lg

n i lg x in

El logar itmo de la media geométr ica es la media ar itmética de los logar itmos de los valor es de la var ia ble.El pr oblema se presenta cuando algún valor es 6 ó negativo e(ponente de la ra"2 par a que no e(ista ra"2 par deun número negativo.

1u e le u tili 2 ar se c u an d o lo s v a lo r e s d e la v a r ia b le s igu e n u n a pr og re s ió n g e o m é tr ic a. 9 a m b ié n p a r a pr om e dia r p or c e nta -e s, ta s a s, nL "n dic e s, e tc. si e m pr e q ue n os v e n ga n da d os e n p or c e nta -e s.

E -em plo5 Iallar la media geométr ica de la siguiente distr i bución5

$i #i

66 6#6 )#) &&6 %

n = ##lg 0

∑ i i

n lg x

n

por lo tanto ser $ conveniente am pliar la ta bla con lo que nos quedar $

$i

66

#i

6

l* $i

lg 66 = #

#i l* $i

#6#6 ) lg #6 = #.6F 6,%F+#) & lg #) = #.6F C,%C&6 % lg &6 = #.&+ +,&%C

n = ## &).##

∑

# # % % k k ∑


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lg G = ∑ n i lg x i

= &),##

= #,6)+n ##

0 = anti lg. #,6))) = ..)/0)' *O9A5 En la calculador a el antilogar itmo se :alla apretando la tecla 1I49 log (

1- Media arm+#ica, La represe#taremos como 25 Es la inver sa de la media ar itmética de las inver sas de los valor es de la var ia ble, responde a la siguiente e( pr esión5

= =n n n n

∑ i + # + % + .... x i x x # x %

1e utili2a para pr omediar velocidades, tiem pos, r endimiento, etc. 7cuando inf luen los valor es pequeJos8. 1u pr oblema5 cuando algún valor de la var ia ble es 6 o pró(imo a cero no se puedecalcular .

E je

m pl o5 calcula

r la

media

a

r mónica de la

siguiente

distr i bución5

$i

66

#i

6

#6 )#) &&6 %

/ara poder :allar la, es necesar io que calculemos el inver so de ( el inver so de la f r ecuencia por lo queam pliar emos la ta bla con # columnas adicionales 5

$i

66

#i

6

.3$i

66

#i3$

i6.

$i#

i666

#6 ) #6 6.6 +66#) & #) 6.6%# )66&6 % &6 6.6#

*= ## 6.F) #)#6

H = n

= ##

= # ,C#i 6,F)

x i X =

∑ x i n i

=n

# ) # 6

##

= & ,)&)

Entre la media ar itmética la media geométr ica media ar mónica se da siempre la siguiente r elación5 H ≤ G ≤ X

n∑


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MEDIANA! Me

'a mediana o valor mediano ser $ el valor de la var ia ble que separa en dos grupos los valor es delas var ia bles, ordenadas de menor a maor. /or tanto es una cantidad que nos indica orde# dentro de la or denación.

n

#El lugar que ocupa se deter mina dividiendo el nL de valor es entre #5Guando :a un número im par de valor es de la var ia ble, la mediana ser $ -usto el valor de orden centr al,

aquel cua f r ecuencia a bsoluta acumulada coincida con mediana coincide con un valor de la var ia ble.

n

#. Es decir5

N


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, la f or ma de :acer lo ser $calcular el valor de la mitad de n, observar que inter valo tiene una f r ecuencia a bsoluta acumulada que cum pla

N


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MODA! Mo

1er$ el valor de la var ia ble que m$s veces se r e pite, es decir, el valor que tenga maor f r ecuencia a bsoluta. /ueden e(istir distr i buciones con m$s de una moda5 bimodales, tr imodales, etc.En las distr i buciones sin agrupar, la obtención de la moda es inmediata.

E -em plo5$i #i #

' (

% )

: (

) &

Moda R#, &S, en este caso tenemos una distr i bución bimodal.

En los supuestos que la distr i bución venga dada en int er val o s, es decir, sea agrupada, se pueden pr oducir dos casos5 que tengan la misma am plitud, o que esta sea distinta.

1i tienen la misma am plitud, en pr imer lugar tendremos que encontrar el inter valo modal, ser $ aquel queO Li − , Li 8

tendr$ maor f r ecuencia a bsoluta . /oster ior mente r eali2ar emos el siguiente c$lculo5

Mo L n i += i − + n

i − a i+ n i +

1iendo5'i! = e(tremo inf er ior del inter valo modalai am plitud de dic:o intervalo

ni! ni = densidades de f r ecuencia de los inter valos anter ior poster ior r es pectivamente alque contiene la moda.

Guando los inter valos sean de distinta am plitud, el inter valo modal ser $ el de m a% or d e #sidad de

d i = i

a

; rec7e#cia , es decir i

,a que consideraremos la TcalidadU del inter valo en f unción de la f r ecuencia de la

Mo L d i +

am plitud. /ara r eali2ar el c$lculo, tendremos en cuenta la siguiente e(pr esión5

= i − + d

i − a i+ d i +

*ota5

.! Guando :a una única moda, la mediana suele estar com pr endida entr e x

x

Mo.

#.! Guando la distr i bución es simétr ica 7con moda8 se cum ple que5 = Me=Mo

E -em plo5 Iallar la moda de la siguiente distr i bución

8Li9./Li-

6 , #)8

#i

#6

di & #i3ai6.C

8'5 / 54- .:4 5,0

O)6 , 668 C6 %.+O66 , )68 &6 6.CO)6 , #668 #6 6.&

Galculamos el inter valo modal O#) )68. O per amos5

Mo = L i − d i + d i − + d i +

= #) + %,+

#) = &),)6,C + %,+

n

+ a i


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