An alisis Matem atico I Clase 9: derivadas de funciones trigonom...
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Analisis Matematico IClase 9: derivadas de funciones trigonometricas,
derivadas laterales, tasas relacionadas y diferenciales.
Pablo D. Ochoa
Facultad de IngenierıaUniversidad Nacional de Cuyo.
Abril, 2017
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 1 / 18
Algunas derivadas
Si f (x) =√x , entonces f es derivable en (0,∞) y su derivada en
cualquier x ∈ (0,∞) es:
f ′(x) =1
2√x.
Si g(x) = sen(x), entonces g es derivable en R y su derivada es:
g ′(x) = cos(x), para todo x ∈ R.
Si h(x) = cos(x), entonces h es derivable en R y:
h′(x) = −sen(x), para todo x ∈ R.
Usando la regla del cociente para derivadas, se puede determinar quelas funciones tan, cotan, sec y csc son derivables en todo su dominio.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 2 / 18
Derivadas laterales
Derivadas laterales
Sea c un numero real. La derivada por derecha de f en c se define como:
limh→0+
f (c + h)− f (c)
h
siempre y cuando el lımite exista. La derivada por izquierda de f en c sedefine como:
limh→0−
f (c + h)− f (c)
h
siempre y cuando el lımite exista.
Observacion: f es derivable en c si y solo si f es derivable por izquierda ypor derecha en c y los lımites coinciden.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 3 / 18
Derivadas laterales
Ejemplo 1: sea f (x) = |x |. Entonces:
limh→0+
f (0 + h)− f (0)
h= 1
y:
limh→0−
f (0 + h)− f (0)
h= −1.
Ası la funcion valor absoluto es derivable por izquierda y por derecha enx = 0, pero no es derivable en ese punto.Ejemplo 1: sea g(x) =
√x . Entonces:
limh→0+
g(0 + h)− g(0)
h= +∞.
Luego, g no es derivable por derecha en x = 0.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 4 / 18
Derivadas laterales
Ejemplo 1: sea f (x) = |x |. Entonces:
limh→0+
f (0 + h)− f (0)
h= 1
y:
limh→0−
f (0 + h)− f (0)
h= −1.
Ası la funcion valor absoluto es derivable por izquierda y por derecha enx = 0, pero no es derivable en ese punto.Ejemplo 1: sea g(x) =
√x . Entonces:
limh→0+
g(0 + h)− g(0)
h= +∞.
Luego, g no es derivable por derecha en x = 0.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 4 / 18
Interpretacion de la derivada
Definicion de tasa instantanea de cambio
La tasa de cambio instantanea de una funcion f con respecto a x en x0 sedefine por:
limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h= f ′(x0),
siempre que el lımite exista.
Ası, las tasas de cambio instantaneas son lımites de tasas de cambiopromedio.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 5 / 18
Tasas relacionadas
Problema: Suponga que se esta drenando un tanque conico:
Determine la relacion entre la tasa de cambio instantanea del volumen V ,la tasa de cambio instantanea de la altura h y la tasa de cambioinstantanea del radio r con respecto al tiempo.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 6 / 18
Tasas relacionadas
Solucion: supongamos que:
El volumen es una funcion del tiempo: V = V (t).
La altura es funcion del tiempo: h = h(t).
El radio es una funcion del tiempo: r = r(t).
Buscamos una relacion entre: V ′(t), r ′(t) y h′(t).Para establecer la relacion entre las tasas instantaneas, primeroestablecemos la relacion entre las variables V , h y r :
V =π
3r2h.
Derivamos ambos miembros de esta ecuacion con respecto a t:
dV
dt(t) =
π
3
d
dt(r2h)(t) =
π
3
(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)
)Ası, la relacion entre las tasas instantaneas es:
V ′(t) =π
3
(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)
).
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 7 / 18
Tasas relacionadas
Solucion: supongamos que:
El volumen es una funcion del tiempo: V = V (t).
La altura es funcion del tiempo: h = h(t).
El radio es una funcion del tiempo: r = r(t).
Buscamos una relacion entre: V ′(t), r ′(t) y h′(t).
Para establecer la relacion entre las tasas instantaneas, primeroestablecemos la relacion entre las variables V , h y r :
V =π
3r2h.
Derivamos ambos miembros de esta ecuacion con respecto a t:
dV
dt(t) =
π
3
d
dt(r2h)(t) =
π
3
(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)
)Ası, la relacion entre las tasas instantaneas es:
V ′(t) =π
3
(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)
).
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 7 / 18
Tasas relacionadas
Solucion: supongamos que:
El volumen es una funcion del tiempo: V = V (t).
La altura es funcion del tiempo: h = h(t).
El radio es una funcion del tiempo: r = r(t).
Buscamos una relacion entre: V ′(t), r ′(t) y h′(t).Para establecer la relacion entre las tasas instantaneas, primeroestablecemos la relacion entre las variables V , h y r :
V =π
3r2h.
Derivamos ambos miembros de esta ecuacion con respecto a t:
dV
dt(t) =
π
3
d
dt(r2h)(t) =
π
3
(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)
)Ası, la relacion entre las tasas instantaneas es:
V ′(t) =π
3
(2r(t)r ′(t)h(t) + r2(t)h′(t)
).
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 7 / 18
Tasas relacionadas
Problema: Supongamos que el nivel del lıquido en el tanque conico delproblema anterior disminuye a una tasa de −0.2cm/min y que el radioesta cambiando a una tasa de −0.1cm/min. Determine la tasa instantaneade cambio del volumen del lıquido cuando h = 0.5cm y r = 0.1cm.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 8 / 18
Tasas relacionadas
Problema: Supongamos que se vierte agua en un deposito conico a unatasa de 9cm3/min. Supongamos que la altura del deposito es 90cm y queel radio es de 40cm. Determine que tan rapido aumenta el nivel del lıquidocuando el nivel es de 10cm.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 9 / 18
Tasas relacionadas
Problema: dos aviones viajan a la misma altitud y se dirigen al mismoaeropuerto. Cuando una de ellas se encuentra a 300 millas, viaja a unavelocidad de 600 millas por hora, mientras que la otra, cuando seencuentra a 225 millas, viaja a una velocidad de 450 millas por hora.Determine cual es la tasa instantanea de cambio de la distancia entre lasaviones.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 10 / 18
Linealizacion
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 11 / 18
Linealizacion
Defincion de Linealizacion
Sea f una funcion derivable en x = a. Definimos la linealizacion de f en acomo la funcion:
L(x) = f ′(a)(x − a) + f (a).
En general, cerca del punto a, la linealizacion es una buena aproximacionde la funcion f .
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 12 / 18
Linealizacion
Ejemplo: determine la linealizacion de:
f (x) =√
1 + x
en el punto x = 0.Solucion:
f ′(x) =1
2(1 + x)−1/2.
Ademas, f (0) = 1 y f ′(0) = 1/2. Luego la linealizacion de f en x = 0 es:
L(x) = f ′(0)(x − 0) + f (0) =1
2x + 1.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 13 / 18
Linealizacion
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 14 / 18
Linealizacion
La linealizacion de una funcion en un punto x = a se puede utilizar paraaproximar los valores de la funcion cerca del punto a:
En las proximas diapositivas vamos a estudiar mas profundamente laaproximacion que brinda la linealizacion a la funcion.
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 15 / 18
Diferenciales
Sea y = f (x) una funcion derivable en x = a, Cuando nos movemos dex = a al punto x = a + dx , la funcion experimenta un cambio dado por:
∆y = f (a + dx)− f (a).
Por otro lado, el cambio en la recta tangente L esta dado por:
∆L = f ′(a)dx
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 16 / 18
Diferenciales
De acuerdo a lo expuesto anterioremente:
∆y ≈ ∆L.
Es decir:
f (a + dx)− f (a) ≈ f ′(a)dx o: f (a + dx) ≈ f (a) + f ′(a)dx
La cantidad:∆L = f ′(a)dx .
recibe el nombre de Diferencial de f en a y se simboliza por df o dy :
dy = f ′(a)dx .
Ası,∆y − dy = f (a + dx)− f (a)− f ′(a)dx
representa el error de aproximar a la funcion utilizando la linealizacion.Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 17 / 18
Diferenciales
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 18 / 18
Diferenciales
Pablo D. Ochoa (Facultad de Ingenierıa) Analisis Matematico I Abril, 2017 18 / 18