1. Carlos Ivorra Castillo ANALISIS MATEMATICO

2. Si una cantidad no negativa fuera tan pequea nque resultara menor que cualquier otra dada, cier-tamente no podr ser sino cero. A quienes pregun-atan qu es una cantidad innitamente pequea en enmatemticas, nosotros respondemos que es, de he- acho, cero. As pues, no hay tantos misterios ocultosen este concepto como se suele creer. Esos supues-tos misterios han convertido el clculo de lo innita- amente pequeo en algo sospechoso para mucha gente. nLas dudas que puedan quedar las resolveremos porcompleto en las pginas siguientes, donde explicare- amos este clculo. aLeonhard Euler 3. Indice GeneralIntroduccino ixCap tulo I: Topologa 11.1 Espacios topolgicos . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Bases y subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Productos y subespacios . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.4 Algunos conceptos topolgicos . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.5 Continuidad . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.6 Lmites de funciones . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.7 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431.8 Sucesiones y series numricas .e. . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Cap tulo II: Compacidad, conexin y completitudo592.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 832.5 Aplicaciones a las series numricas . . . . . . . .e. . . . . . . . . 862.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 922.7 Apndice: El teorema de Baire . . . . . . . . . .e. . . . . . . . . 96Cap tulo III: Clculo diferencial de una variable a 1013.1 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 1013.2 Clculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . .a. . . . . . . . . . 1043.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . .. . . . . . . . . . 1083.4 La diferencial de una funcin . . . . . . . . . .o. . . . . . . . . . 1153.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1233.7 La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 1273.8 Las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . .e. . . . . . . . . . 1333.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.10 Apndice: La trascendencia de e y . . . . . .e. . . . . . . . . . 148 v 4. vi INDICE GENERALCap tulo IV: Clculo diferencial de varias variablesa1574.1 Diferenciacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157o4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 1644.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Cap tulo V: Introduccin a las variedades diferenciableso1955.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2035.3 La mtrica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . 2105.4 Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e. . . . . 2155.5 Supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 223Cap tulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 2316.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 2386.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246Cap tulo VII: Teor de la medida a2537.1 Medidas positivas . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.2 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.3 La integral de Lebesgue . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.4 El teorema de Riesz . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.5 La medida de Lebesgue . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Cap tulo VIII: Teor de la medida IIa 2878.1 Producto de medidas . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.2 Espacios Lp . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.3 Medidas signadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.4 Derivacin de medidas . . . . . . .o. . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Cap tulo IX: Formas diferenciales3219.1 Integracin en variedades . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 3219.2 El lgebra exterior . . . . . . . . . . .a. . . . . . . . . . . . . . . 3309.3 El lgebra de Grassmann . . . . . . .a. . . . . . . . . . . . . . . 3379.4 Algunos conceptos del clculo vectoriala. . . . . . . . . . . . . . . 348Cap tulo X: El teorema de Stokes 35910.1 Variedades con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.2 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.3 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 36910.4 Aplicaciones del teorema de Stokes . . .. . . . . . . . . . . . . . 37610.5 Las frmulas de Green . . . . . . . . . .o. . . . . . . . . . . . . . 38710.6 El teorema de Stokes con singularidades . . . . . . . . . . . . . . 39010.7 Apndice: Algunas frmulas vectorialese o. . . . . . . . . . . . . . 395 5. INDICE GENERALviiCap tulo XI: Cohomolog de De Rham a39911.1 Grupos de cohomolog . . . . . . .a . . . . . . . . . . . . . . . . 39911.2 Homotop . . . . . . . . . . . . . .as. . . . . . . . . . . . . . . . 40211.3 Sucesiones exactas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 40811.4 Aplicaciones al clculo vectorial . . .a. . . . . . . . . . . . . . . . 415Cap tulo XII: Funciones Harmnicas o 41912.1 El problema de Dirichlet sobre una bola . . . . . . . . . . . . . . 42012.2 Funciones holomorfas . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 42312.3 Funciones subharmnicas . . . . . o. . .. . . . . . . . . . . . . . 43812.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 441Cap tulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo 44713.1 Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a. . . . . . . . . 44713.2 Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a. . . . . . . . . 45013.3 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45513.4 La ecuacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . .o. . . . . . . . . 46113.5 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 470Bibliografa 477Indice de Materias 478 6. Introduccino En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el anlisisamatemtico o clculo innitesimal, una potent a asima herramienta que revolucion oel tratamiento matemtico de la fasica y la geometr y que ms tarde impreg-a, anar las ms diversas ramas de la matemtica, como la estad aa astica o la teorade nmeros.u Esencialmente, el clculo innitesimal consist por una parte en analizara ao descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el compor-tamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constitu el aclculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales paraaobtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideracin (elollamado clculo integral). a Es dif que un lector que no tenga ya algunas nociones de clculo puedacil aentender cabalmente el prrafo anterior, pero las nuevas ideas eran an ms auadifciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de textoque se public con el n de explicarlas sistemticamente fue el Anlisis del oaamarqus de lHpital. Veamos algunos pasajes: e oLa parte innitamente pequea en que una cantidad variable es au- nmentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencialde esta cantidad.Siguiendo la notacin leibniziana, LHpital explica que la letra d se usa para oorepresentar uno de estos incrementos innitamente pequeos de una magnitud, nde modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc.En ningn momento se precisa qu debemos entender por un aumento in-uenitamente pequeo de una cantidad, pero en compensacin se presentan varias n oreglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo:Postlese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad inni-utamente pequea pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lonque es lo mismo) que una cantidad que est incrementada o dismi- anuida solamente en una cantidad innitamente menor, puede consi-derarse que permanece constante. As por ejemplo, si analizamos el incremento innitesimal que experimenta ,un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemosd(xy) = (x + dx)(y + dy) xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx, ix 7. x Introduccinodonde hemos despreciado el innitsimo doble dxdy porque es innitamente emenor que los innitsimos simples x dy e y dx. e Es fcil imaginar que estos razonamientos innitesimales despertaron sospe- achas y polmicas. Baste citar el te tulo del paneto que en 1734 public el obispoode Berkeley: El analista, o discurso dirigido a un matemtico inel, donde se a examina si los objetos, principios e inferencias del anlisis modernoa estn formulados de manera ms clara, o deducidos de manera msaaa evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe. En esta fecha el clculo innitesimal ten ya ms de medio siglo de historia. aa aLa razn por la que sobrevivi inmune a estas crooticas y a la vaguedad de susfundamentos es que muchos de sus razonamientos innitesimales terminaban enarmaciones que no involucraban innitsimos en absoluto, y que eran conr-emados por la fsica y la geometr Por ejemplo, consideremos la circunferencia a.formada por los puntos que satisfacen la ecuacin ox2 + y 2 = 25.Aplicando la regla del producto que hemos demostrado antes al caso en quelos dos factores son iguales obtenemos que dx2 = 2x dx e igualmente ser dy 2 = a2y dy. Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto aadimos que la diferencial denuna suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuacin diferencialo 2x dx + 2y dy = 0,de donde a su vez dy x= . dx yEsto signica que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circun-ferencia e incrementamos innitesimalmente su coordenada x, la coordenada ydisminuir en 3/4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento nitoade la variable x, por pequeo que sea, pues si valiera para incrementos sucien-ntemente pequeos resultar que la circunferencia contendr un segmento de la n aarecta 3 y 4 = (x 3), 4lo cual no es el caso. Vemos que sta se comporta igual que la circunferencia para evariaciones innitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunquediere de ella para cualquier variacin nita. La interpretacin geomtrica es o o eque se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4).El argumento ser nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que anos proporciona un mtodo sencillo para calcular la tangente a una circunferen-ecia por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el mtodo se aplica a cualquierecurva que pueda expresarse mediante una frmula algebraica razonable, lo que o 8. xisupera con creces a las tcnicas con las que contaba la geometr anal e atica antesdel clculo innitesimal. aA lo largo del siglo XIX la matemtica emprendi un proceso de funda- a omentacin que termin con una teor formal donde todos los conceptos estn o oaaperfectamente denidos a partir de unos conceptos bsicos, los cuales a su vez aestn completamente gobernados por unos axiomas precisos. Las ambigedades audel clculo innitesimal fueron el motor principal de este proceso. En los aos a nsesenta del siglo XX se descubri que una delicada teor lgica, conocida como o a oanlisis no estndar permite denir rigurosamente cantidades innitesimales a acon las que fundamentar el clculo a la manera de Leibniz y LHpital, pero noa oes se el camino habitual ni el que nosotros vamos a seguir. Lo normal es erra- edicar los innitsimos de la teor pero no as el formalismo innitesimal. En ea, ocasiones los smbolos dy, dx aparecen en ciertas deniciones en bloque, sinque se les pueda atribuir un signicado independiente, como cuando se denela derivada de una funcin y = y(x) mediante o dy y(x + x) y(x)= l m. dx x0x De este modo, el cociente de diferenciales tiene el mismo signicado quepara Leibniz, en el sentido de que al calcularlo obtenemos el mismo nmero oula misma funcin que l obten pero con la diferencia de que ya no se trata deo ea,un cociente de diferenciales, no es un cociente de nada. La denicin anterior onos permite hablar de dy/dx, pero no de dy o de dx. No obstante se puede ir ms lejos y dar una denicin adecuada de dx y dyaode modo que se pueda probar la equivalencia dy= f (x) dy = f (x) dx. dxEs algo parecido al paso de una relacin algebraica como xy 2 = x + 4y 3 ,odonde x e y son, digamos, nmeros reales indeterminados, a la misma expresin uoentendida como una igualdad de polinomios, donde ahora x e y son indetermina-das en un sentido matemtico muy preciso. Por ejemplo, segn una denicin a uohabitual del anillo de polinomios R[x, y], la indeterminada x es la aplicacinode los pares de nmeros naturales en R dada por x(1, 0) = 1 y x(i, j) = 0 upara cualquier otro par, es decir, algo que en nada recuerda a un nmero real uindeterminado.Al introducir las formas diferenciales muchos libros modernos insisten enrecalcar que los objetos como dx son puramente formales como las indeter-minadas en un anillo de polinomios, que no tienen un singicado intrnseco,sino que simplemente son objetos diseados para que se comporten segn ciertas nureglas que se adaptan a las propiedades de las derivadas e integrales. Lleganincluso a perdir disculpas por lo excesivamente vac y abstracta que resulta laateor en torno a ellos. Explican que, pese a ello, merece la pena el esfuerzo deafamiliarizarse con ella porque al nal se ve su gran (y sorprendente) utilidad.En este libro insistiremos en todo momento en que las diferenciales tienenun signicado intrnseco muy concreto e intuitivo, y trataremos de evidenciarlo 9. xiiIntroduccin odesde el primer momento, de modo que sin desmerecer la profundidad de lateora su utilidad y buen comportamiento no resulta sorprendente en absoluto.Su interpretacin no ser, naturalmente la de incrementos innitesimales, sinooala de aproximaciones lineales, aceptables al menos en los alrededores de lospuntos. Esta interpretacin los mantiene en todo momento muy cerca de los ohipotticos innitsimos en los que estn inspirados. e e aMuchos libros de f sica continan trabajando con razonamientos innitesi-umales al estilo antiguo, los cuales les permiten llegar rpidamente y con uidez aa resultados importantes a cambio de sacricar el rigor lgico. Aqu adopta- o remos una posicin intermedia entre los dos extremos: seremos rigurosos, peroono formalistas, daremos pruebas sin saltos lgicos, pero llegaremos a resultadosoenunciados de tal modo que resulten transparentes en la prctica, emulando aas la uidez de los razonamientos innitesimales.Hay un caso en que los razonamientos innitesimales estn plenamente jus- aticados, y es cuando se trata de motivar una denicin. Por ejemplo, a partir ode la ley de gravitacin de Newton para dos masas puntuales puede deducirseoque el campo gravitatorio generado por una distribucin continua de masa con- otenida en un volumen V con densidad viene dado porZ(y)E(x) = G(x y) dy.V kx yk3La deduccin no puede considerarse una demostracin matemtica, pues o oala frmula anterior tiene el status lgico de una denicin, luego es un sin-ooosentido tratar de demostrarla. En todo caso se podr complicar la denicinaosustituyndola por otra que mostrara claramente su conexin con las masase opuntuales y despus probar que tal denicin es equivalente a la anterior. Lae oprueba se basar en la posibilidad de aproximar integrales por sumas nitas ay con toda seguridad ser bastante prolija. Esta opcin ser absurda tantoa o adesde el punto de vista formal (para qu sustituir una denicin sencilla pore ootra complicada?) como desde el punto de vista f sico (para qu entrar enedisquisiciones que acabarn donde todos sabemos que tienen que acabar?).aEn cambio, un argumento en trminos de innitsimos convence a cualquiera eede que esta denicin es justamente la que tiene que ser.1 oDel mismo modo podemos convencernos de que el potencial gravitatoriodeterminado por una distribucin de masa debe sero Z(y) V (x) = G dy.V kx ykAhora bien, de aceptar ambos hechos tendramos como consecuencia la re-lacin E = V , pues el potencial de un campo de fuerzas es por denicino ola funcin que cumple esto. Sin embargo esto ya no es una denicin, sino unao oarmacin sobre dos funciones que podr ser falsa en principio y que, por con- o asiguiente, requiere una demostracin. Muchos libros de fo sica dan por sentado1A cualquiera menos a un formalista puro, quien no le encontrar sentido, pero es que,acomo alguien dijo, un formalista es alguien incapaz de entender algo a menos que carezca designicado. 10. xiiieste hecho, incurriendo as en una laguna lgica que nosotros cubriremos. Asopues, cuando el lector encuentre en las pginas que siguen un razonamiento en atrminos de diferenciales deber observar que o bien desemboca en una de- eanicin o bien est completamente avalado por teoremas previos que justicano alas manipulaciones de diferenciales.Este libro ha sido escrito siguiendo cuatro gu principales:as Presentar los resultados ms importantes del anlisis matemtico real.a aa Concretamente abordamos el clculo diferencial e integral de una y va-a rias variables reales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y, aunque no hay ningn cap utulo dedicado especcamente a ellas, estudiamos varias ecuaciones en derivadas parciales: la ecuacin de Lagrange, la de Poisson,o la ecuacin de ondas y las ecuaciones de Maxwell. Tambin planteamosoe la ecuacin del calor, si bien no entramos en su estudio. Aunque, comoo ya hemos dicho, nos centramos en el anlisis real, estudiamos las seriesa de potencias complejas, introduciendo en particular la exponencial y las funciones trigonomtricas complejas, y a partir de la teor de funcionese a harmnicas y el teorema de Stokes demostramos algunos de los resultados o fundamentales sobre las funciones holomorfas (esencialmente el teorema de los residuos). Justicar todas las deniciones, sin caer en la falacia formalista de que la lgica nos da derecho a denir lo que queramos como queramos sin o tener que dar explicaciones. Pensemos, por ejemplo, en la denicin deo a rea de una supercie. Muchos libros se limitan a denirla mediante una frmula en trminos de expresiones coordenadas, sin ms justicacin queoe a o la demostracin de su consistencia (de que no depende del sistema de o coordenadas elegido). Otros aceptan como motivacin el teorema de o cambio de variables, considerando que es natural tomar como denicin o de cambio de variables entre un abierto de Rn y un abierto en una variedad lo que entre dos abiertos de Rn es un teorema nada trivial. No podemos resumir nuestro enfoque en pocas lneas, pero invitamos al lector a que preste atencin a la justicacin de ste y muchos otros conceptos.o o e Mostrar la fundamentacin del clculo innitesimal clsico, en lugar de o aa sustituirlo por otro clculo moderno mucho ms r aa gido y abstracto. Por ejemplo, a la hora de desarrollar una teor de integracin potente es ao imprescindible introducir la teor de la medida abstracta y sus resultados a ms importantes. A ello dedicamos los cap atulos VII y VIII, pero tras ello, en el captulo siguiente, envolvemos toda esta teor abstracta en a otra mucho ms elstica y natural, la teor de formas diferenciales, quea aa requiere a la anterior como fundamento, pero que termina por ocultarla, de modo que a partir de cierto punto es muy rara la ocasin en que seo hace necesario trabajar explcitamente con las medidas y sus propiedades. Mostrar la aplicacin y la utilidad de los resultados tericos que presen-oo tamos. Las primeras aplicaciones tienen que ver con la geometr peroa, paulatinamente van siendo desplazadas por aplicaciones a la f sica. En 11. xiv Introduccinola medida de lo posible hemos evitado presentar las aplicaciones comoanimales enjaulados en un zoolgico, es decir, desvinculadas de sus con- otextos naturales, de manera que den ms la impresin de ancdotas queaoede verdaderos xitos del clculo innitesimal. En el caso de la fea sica va-mos introduciendo los conceptos fundamentales (velocidad, aceleracin,ofuerza, energ etc.) segn van siendo necesarios, de modo que de estasa,upginas podr extraerse una sucinta introduccin a la fa aosica. En lo to-cante a la geometr por los motivos explicados en el segundo punto nos a,hemos restringido a trabajar con subvariedades de Rn , es decir, hemos evi-tado la denicin abstracta de variedad para tener as una interpretacino onatural de los espacios tangentes y su relacin con la variedad. En algu- onos ejemplos concretos necesitamos que el lector est familiarizado con laegeometr proyectiva, la teor de las secciones cnicas y otros puntos dea a ola geometr pre-diferencial. Los hemos marcado con un asterisco. Nin- aguno de estos ejemplos es necesario para seguir el resto del libro. Uno deellos, el del plano proyectivo, lo usamos de forma no rigurosa para ilustrarla necesidad de una denicin ms general de variedad, mostrando que o amuchos de los conceptos que denimos para una subvariedad de R3 sonaplicables formalmente al caso del plano proyectivo, si bien la teor de aque disponemos no nos permite justicar esta aplicacin. oDe los puntos anteriores no debe leerse entre l neas una cierta aversin haciaoel anlisis abstracto. Al contrario, creemos que este libro puede ser continuadoade forma natural en muchas direcciones: la teor espectral, la teor de distri-aabuciones, el anlisis de Fourier, el clculo variacional, la teor de funciones deaaavariable compleja, la geometr diferencial y la topolog general. a aPor citar algunos ejemplos, nosotros probamos que el problema de Dirichlettiene solucin en una familia muy amplia de abiertos para unas condiciones de ofrontera dadas, pero la resolucin explocita en casos concretos requiere de latransformada de Fourier, que en general se aplica a muchas otras ecuacionesen derivadas parciales. Por otra parte, la transformada de Fourier permite des-componer una onda en su espectro continuo de frecuencias. Cuando se estudiala solucin de la ecuacin de ondas en abiertos distintos de todo R3 aparecen oolas ondas estacionarias, que llevan al anlisis espectral y, en casos particulares, aa la teor de series de Fourier o de las funciones de Bessel entre otras. Losaproblemas de gravitacin o electromagnetismo que involucran masas y cargas opuntuales o corrientes elctricas unidimensionales pueden unicarse con los pro-eblemas que suponen distribuciones continuas de masas, cargas y corrientes atravs de la teor de distribuciones. eaTampoco nos gustar que las comparaciones que hemos hecho con otros alibros se interpreten a modo de crtica. Tan slo queremos hacer hincapi en queo enuestros objetivos son distintos a los de muchos otros libros. Somos conscientesde que nuestro propsito de justicar las deniciones ms all de una motivacin o a a oms o menos dudosa nos ha llevado a seguir caminos mucho ms profundos yaalaboriosos que los habituales, por lo que, a pesar de su carcter autocontenido aen lo tocante a topolog y anlisis, es muy dif que este libro sea de utilidad a a cila un lector que no cuente ya con una cierta familiaridad con la materia. Por ello 12. xves obvio que un libro cuya nalidad principal sea didctica, o bien que quiera aprofundizar ms que nosotros en f asica o geometr diferencial, deber pasar por a aalto muchas sutilezas en las que nosotros nos hemos detenido.Comentamos, para terminar, que al lector se le supone unicamente unos cier- tos conocimientos de lgebra, especialmente de lgebra lineal, y algunas nociones a aelementales de geometr (salvo para los ejemplos marcados con un asterisco).aEspordicamente sern necesarios conocimientos ms profundos, como para la a a aprueba de la trascendencia de e y , sobre todo en la de , o al estudiar elconcepto de orientacin, donde para interpretar el signo del determinante deouna biyeccin af usamos que el grupo especial lineal de Rn est generado por o nalas transvecciones. Ninguno de estos hechos se necesita despus.e 13. Cap tulo ITopolog a La topolog puede considerarse como la forma ms abstracta de la geo-a ametr a. El concepto principal que puede denirse a partir de la estructuratopolgica es el de aplicacin continua, que viene a ser una transformacin rea- ooolizada sin cortes o saltos bruscos o, dicho de otro modo, que transforma puntosprximos en puntos prximos. Los resultados topolgicos son aplicables tanto a ooola geometr propiamente dicha como a la descripcin de otros muchos objetos a oms cercanos a la teor de conjuntos general, si bien aqu nos centraremos en aala vertiente geomtrica. Al combinarla con el lgebra obtendremos el clculo ea adiferencial, que constituye la herramienta ms potente para el estudio de laageometr a.1.1 Espacios topolgicosoSegn acabamos de comentar, una aplicacin continua es una aplicacin queu o otransforma puntos prximos en puntos prximos. Nuestro objetivo ahora esoodenir una estructura matemtica en la que esta armacin pueda convertirsea oen una denicin rigurosa. En primer lugar conviene reformularla as una apli-o :cacin continua es una aplicacin que transforma los puntos de alrededor de unoopunto dado en puntos de alrededor de su imagen. En efecto, si cortamos una cir-cunferencia por un punto P para convertirla en un segmento, la transformacinono es continua, pues los puntos de alrededor de P se transforman unos en lospuntos de un extremo del segmento y otros en los puntos del otro extremo, luegono quedan todos alrededor del mismo punto. En cambio, podemos transformarcontinuamente (aunque no biyectivamente) una circunferencia en un segmentosin ms que aplastarla.a 1 14. 2Captulo 1. TopologaUna forma de dar rigor al concepto de puntos de alrededor de un puntodado es a travs de una distancia. Veremos que no es lo sucientemente general, epero s muy representativa. La formalizacin algebraica de la geometr eucl o a dease lleva a cabo a travs de Rn . Su estructura vectorial permite denir los puntos,erectas, planos, etc. y a sta hay que aadirle la estructura mtrica derivada del en eproducto escalar: Xn xy = xi yi .i=1A partir de l se denen los dos conceptos fundamentales de la geometreamtrica: la longitud de un vector y el ngulo entre dos vectores. En efecto, laealongitud de un vector es la normavu n uXkxk = xx = tx2 , i i=1y el ngulo que forman dos vectores no nulos x, y viene dado por a xycos = .kxk kykEstas estructuras son demasiado particulares y restrictivas desde el puntode vista topolgico. La medida de ngulos es un sinsentido en topolog y la deo aa,longitudes tiene un inters secundario, pues no importan las medidas concretas esino tan slo la nocin de proximidad. En primer lugar generalizaremos el ooconcepto de producto escalar para admitir como tal a cualquier aplicacin que ocumpla unas mnimas propiedades:Denicin 1.1 Usaremos la letra K para referirnos indistintamente al cuerpooR de los nmeros reales o al cuerpo C de los nmeros complejos. Si K,uula notacin representar al conjugado de si K = C o simplemente = o a si K = R. Si H es un K-espacio vectorial, un producto escalar en H es unaaplicacin : H H K que cumple las propiedades siguientes:oa) x y = y x,b) (x + y) z = x z + y z,c) (x) y = (x y),d) x x 0 y x x = 0 si y slo si x = 0, o para todo x, y, z H y todo K. Notar que a) y b) implican tambin la propiedad distributiva por la derecha: ex (y + z) = x y + x z.Un espacio prehilbertiano es un par (H, ), donde H es un K-espacio vectorialy es un producto escalar en H. En la prctica escribiremos simplemente H enalugar de (H, ).Si H es un espacio prehilbertiano, denimos su norma asociada como la aplicacin k k : H R dada por kxk = x x.o 15. 1.1. Espacios topolgicos o 3Ejemplo Un producto escalar en el espacio Kn viene dado por x y = x1 y1 + + xn yn . p De este modo, kxk = |x1 |2 + + |xn |2 .Teorema 1.2 Sea H un espacio prehilbertiano y sean x, y H. Entoncesa) (desigualdad de Schwarz) |x y| kxk kyk.b) (desigualdad triangular) kx + yk kxk + kyk. Demostracion: a) Sean A = kxk2 , B = |x y| y C = kyk2 . Existe un nmero complejo tal que || = 1 y (y x) = B. Para todo nmero real r se u ucumple 0 (x ry) (x ry) = x x r(y x) r(x y) + r2 y y.Notar que (x y) = B = B, luego A 2Br + Cr2 0. Si C = 0 ha deser B = 0, o de lo contrario la desigualdad ser falsa para r grande. Si C > 0 atomamos r = B/C y obtenemos B 2 AC. b) Por el apartado anterior:kx + yk2= (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .Notar que x y + y x es un nmero real, luego ux y + y x |x y + y x| |x y| + |y x|.La norma permite denir una distancia entre puntos con la que formalizarel concepto de proximidad que nos interesa, pero para ello no es necesario quela norma provenga de un producto escalar. Conviene aislar las propiedades dela norma que realmente nos hacen falta para admitir como tales a otras muchasaplicaciones:Denicin 1.3 Si E es un espacio vectorial sobre K, una norma en E es unaoaplicacin k k : E [0, +[ que cumpla las propiedades siguientes:oa) kvk = 0 si y slo si v = 0. ob) kv + wk kvk + kwk.c) k vk = || kvk,para v, w E y todo K. 16. 4 Cap tulo 1. Topolog aUn espacio normado es un par (E, k k) en estas condiciones. En la prcticaaescribiremos E, sin indicar explcitamente la norma. Es inmediato comprobar que la norma de un espacio prehilbertiano es unanorma en el sentido general de la denicin anterior. En particular Kn es unoespacio normado con la norma del ejemplo anterior, que recibe el nombre denorma eucldea. El teorema siguiente nos da otras dos normas alternativas. Laprueba es elemental.Teorema 1.4 Kn es un espacio normado con cualquiera de estas normas: v n u n X uX kxk1 = |xi |, kxk2 = t|xi |2 , kxk = mx |xi | i = 1, . . . , n . a i=1i=1Notar que para n = 1 las tres normas coinciden con el valor absoluto. Elhecho de que estas tres aplicaciones sean normas permite obtener un resultadoms general:aTeorema 1.5 Sean E1 , . . . , En espacios normados. Entonces las aplicacionessiguientes son normas en E = E1 En .v nu nX uX kxk1 = kxi k, kxk2 = tkxi k2 , kxk = mx kxi k i = 1, . . . , n .a i=1i=1Adems se cumplen las relaciones: kxk kxk2 kxk1 nkxk .a Demostracion: Tenemos kxki = k(kx1 k, . . . , kxn k)ki para i = 1, 2, .Usando el teorema anterior se ve inmediatamente que son normas.vvu nuXp uX u nX kxk = kxk2 tkxi k2 = kxk2 t kxi k2 + 2 kxi k kxj ki=1 i=1 i 0 (en estos casosoesobreentenderemos R). Denimos B (x) = {y M | d(x, y) < } (Bola abierta de centro x y radio ).0 B (x) = {y M | d(x, y) } (Bola cerrada de centro x y radio ). 18. 6Captulo 1. Topologa La gura muestra las bolas de centro (0, 0) y radio 1 para las tres mtricaseque hemos denido en R2 . d2 d1dLas bolas con otros centros son trasladadas de stas, y las bolas de otros eradios son homotticas. Las bolas abiertas se diferencian de las cerradas en queelas primeras no contienen los puntos del borde. El inters de las bolas resideeen que una bola de centro un punto P contiene todos los puntos de alrededorde P , por pequeo que sea su radio. Observar que el concepto de puntos de nalrededor es un tanto escurridizo: Segn lo que acabamos de decir, ningn u upunto en particular (distinto de P ) est alrededor de P , pues siempre podemos atomar una bola sucientemente pequea como para que deje fuera a dicho punto. nEsto signica que no podemos dar sentido a la armacin Q es un punto de oalrededor de P , pero lo importante es que s tiene sentido decir El conjunto Acontiene a todos los puntos de alrededor de P . Esto sucede cuando A contieneuna bola cualquiera de centro P , y entonces diremos que A es un entorno de P .Aunque el concepto de entorno podr tomarse como concepto topolgico bsico, aoalo cierto es que es ms cmodo partir de un concepto ms regular: diremosa oaque un conjunto es abierto si es un entorno de todos sus puntos. Los conjuntosabiertos tienen las propiedades que recoge la denicin siguiente: oDenicin 1.9 Una topolog en un conjunto X es una familia T de subconjun- o atos de X a cuyos elementos llamaremos abiertos, tal que cumpla las propiedadessiguientes:a) y X son abiertos.b) La unin de cualquier familia de abiertos es un abierto. oc) La interseccin de dos abiertos es un abierto.oUn espacio topolgico es un par (X, T), donde X es un conjunto y T es unaotopolog en X. En la prctica escribiremos simplemente X en lugar de (X, T). a aSea M un espacio mtrico. Diremos que un conjunto G M es abierto siepara todo x G existe un > 0 tal que B (x) G. Es inmediato comprobarque los conjuntos abiertos as denidos forman una topolog en M , a la que allamaremos topolog inducida por la mtrica. En lo sucesivo consideraremos a esiempre a los espacios mtricos como espacios topolgicos con esta topologeoa. En el prrafo previo a la denicin de topolog hemos denido abiertoa oacomo un conjunto que es entorno de todos sus puntos. Puesto que formalmente 19. 1.1. Espacios topolgicos o7hemos denido los espacios topolgicos a partir del concepto de abierto, ahoraohemos de denir el concepto de entorno. Si X es un espacio topolgico, U X y x U , diremos que U es un entornoode x si existe un abierto G tal que x G U .Es inmediato comprobar que en un espacio mtrico U es entorno de x si yeslo si existe un > 0 tal que B (x) U , es decir, si y slo si U contiene a o otodos los puntos de alrededor de x, tal y como hab amos armado.Ejemplo El intervalo I = [0, 1], visto como subconjunto de R, es entorno detodos sus puntos excepto de sus extremos 0 y 1, pues si 0 < x < 1 siemprepodemos tomar = m n{x, 1 x} y entonces B (x) = ]x , x + [ I. Encambio, I no contiene todos los puntos de alrededor de 1, pues toda bola decentro 1 contiene puntos a la derecha de 1 y ninguno de ellos est en I. El caso adel 0 es similar. En particular I no es abierto. El teorema siguiente recoge las propiedades bsicas de los entornos. Laaprueba es inmediata.Teorema 1.10 Sea X un espacio topolgico, x X y Ex la familia de todos olos entornos de x.a) Un conjunto G X es abierto si y slo si es un entorno de todos sus puntos.ob1) X Ex .b2) Si U Ex y U V X entonces V Ex .b3) Si U , V Ex entonces U V Ex .Puesto que los abiertos pueden denirse a partir de los entornos, es obvio quesi dos topolog sobre un mismo conjunto tienen los mismos entornos entoncesasson iguales. Las desigualdades del teorema 1.7 implican que una bola parauna de las tres distancias denidas en el producto M contiene otra bola delmismo centro para cualquiera de las otras distancias. De aqu se sigue que un subconjunto de M es entorno de un punto para una distancia si y sloosi lo es para las dems, y de aqu a su vez que las tres distancias denen laamisma topolog en el producto. En particular, las tres distancias que tenemos adenidas sobre Kn denen la misma topolog a la que llamaremos topologa, ausual o topolog eucl a dea en Kn .Esta es una primera muestra del carcter auxiliar de las distancias en topo- alog Cuando queramos probar un resultado puramente topolgico sobre Rn a. opodremos apoyarnos en la distancia que resulte ms conveniente, sin que ello su- aponga una prdida de generalidad. La distancia d2 es la distancia eucl edea y porlo tanto la ms natural desde un punto de vista geomtrico, pero las distanciasa ed1 y d son formalmente ms sencillas y a menudo resultan ms adecuadas.a a 20. 8 Cap tulo 1. Topolog aEjemplo Es fcil denir una distancia en Kn que induzca una topolog dis- aatinta de la usual. De hecho, si X es un conjunto cualquiera podemos considerarla distancia d : X X R dada por 1 si x 6= y, d(x, y) =0 si x = yEs fcil ver que efectivamente es una distancia y para todo punto x se cumple aque B1 (x) = {x}, luego {x} es un entorno de x, luego es un abierto y, comotoda unin de abiertos es abierta, de hecho todo subconjunto de X es abierto. oLa mtrica d recibe el nombre de mtrica discreta y la topolog que induce es ee ala topolog discreta. Un espacio topolgico cuya topolog sea la discreta es unaoaespacio discreto.En un espacio discreto un punto no tiene ms punto a su alrededor que la emismo. Esta topolog es la ms adecuada para conjuntos como N o Z, pues,aaefectivamente, un nmero entero no tiene alrededor a ningn otro.u uLas bolas abiertas de un espacio mtrico son abiertas. Esto es fcil de vere aintuitivamente, pero el mero hecho de que las hayamos llamado as no justicaque lo sean:Teorema 1.11 Las bolas abiertas de un espacio mtrico son conjuntos abiertos. e Demostracion: Sea B (x) una bola abierta y sea y B (x). Entoncesd(x, y) < . Sea 0 < < d(x, y). Basta probar que B (y) B (x). Ahorabien, si z B (y), entonces d(z, x) d(z, y) + d(y, x) < + d(x, y) < , luegoen efecto z B (x).1.2 Bases y subbases Hemos visto que la topolog en un espacio mtrico se dene a partir de las a ebolas abiertas. El concepto de bola abierta no tiene sentido en un espaciotopolgico arbitrario en el que no tengamos dada una distancia, sin embargo ohay otras familias de conjuntos que pueden representar un papel similar.Denicin 1.12 Sea X un espacio topolgico. Diremos que una familia B de o oabiertos de X (a los que llamaremos abiertos bsicos) es una base de X si paraatodo abierto G de X y todo punto x G existe un abierto B B tal quex B G.Si x X diremos que una familia E de entornos (abiertos) de x (a los quellamaremos entornos bsicos de x) es una base de entornos (abiertos) de x siatodo entorno de x contiene un elemento de E.En estos trminos la propia denicin de los abiertos mtricos (junto con eleo ehecho de que las bolas abiertas son realmente conjuntos abiertos) prueba quelas bolas abiertas son una base de la topolog mtrica, y tambin es claro que a ee 21. 1.2. Bases y subbases 9las bolas abiertas de centro un punto x forman una base de entornos abiertosde x. Pero estos conceptos son mucho ms generales. Pensemos por ejemplo que aotras bases de un espacio mtrico son las bolas abiertas de radio menor que 1, lasebolas abiertas de radio racional, etc. Cualquier base determina completamentela topolog y en cada ocasin puede convenir trabajar con una base distinta.a oTeorema 1.13 Sea X un espacio topolgico. oa) Una familia de abiertos B es una base de X si y slo si todo abierto de Xo es unin de abiertos de B. ob) Si B es una base de X y x X entonces Bx = {B B | x B} es una base de entornos abiertos de X.c) Si para cada punto xS X el conjunto Ex es una base de entornos abiertos de x entonces B = Ex es una base de X. xX Demostracion: a) Si B es una base de X y G es un abierto es claro queG es la unin de todos los abiertos de B contenidos en G, pues una inclusin es ooobvia y si x G existe un B B tal que x B G, luego x est en la unin aoconsiderada. El rec proco es obvio.b) Los elementos de Bx son obviamente entornos de x y si U es un entornode x entonces existe un abierto G tal que x G U, y a su vez existe B Btal que x B G, luego B Bx y B U . Esto prueba que Bx es una basede entornos abiertos de x.c) Si G es un abierto de X y x G, entonces G es un entorno de x, luegoexiste un entorno bsico B Ex tal que x B G y ciertamente B B. Como aadems los elementos de B son abiertos, tenemos que B es una base de X.aUna forma habitual de denir una topolog en un conjunto es especicar unaabase o una base de entornos abiertos de cada punto. Por ejemplo, la topolog amtrica puede denirse como la topolog que tiene por base a las bolas abiertaseao como base de entornos de cada punto x a las bolas abiertas de centro x. Noobstante, para que una familia de conjuntos pueda ser base de una topolog aha de cumplir unas propiedades muy simples que es necesario comprobar. Elteorema siguiente da cuenta de ellas.Teorema 1.14 Sea X un conjunto y B una familia de subconjuntos de X quecumpla las propiedades siguientes: Sa) X = B, BBb) Si U , V B y x U V entonces existe W B tal que x W U V .Entonces existe una unica topolog en X para la cual B es una base.a Demostracion: Denimos los abiertos de X como las uniones de elementosde B. Basta comprobar que estos abiertos forman realmente una topolog pues a,ciertamente en tal caso B ser una base y la topolog ser unica. aa a 22. 10 Captulo 1. Topologa El conjunto vac es abierto trivialmente (o si se preere, por denicin). Elo oconjunto X es abierto por la propiedad a). La unin de abiertos es obviamente abierta (una unin de uniones de ele-o omentos de B es al n y al cabo una unin de elementos de B). o Sean G1 y G2 abiertos y supongamos que x G1 G2 . Como G1 es unin de oelementos de B existe un U B tal que x U G1 . Similarmente x V G2con V B. Por la propiedad b) existe W B tal que x W U V G1 G2 .As pues, x est en la unin de los conjuntos W B tales que W G1 G2 , y aola otra inclusin es obvia, luego G1 G2 es unin de elementos de B. o o El teorema siguiente nos da las condiciones que hemos de comprobar paradenir una topolog a partir de una familia de bases de entornos abiertos.aTeorema 1.15 Sea X un conjunto y para cada x X sea Bx una familia novac de subconjuntos de X tal que: a a) Si U Bx , entonces x U . b) Si U , V Bx , existe un W Bx tal que W U V . c) Si x U By , existe un V Bx tal que V U .Entonces existe una unica topolog para la cual cada Bx es una base de entornosaabiertos de x.S Demostracion: Sea B = Bx . Veamos que B cumple las condiciones xXdel teorema anterior para ser base de una topolog en X. Por la condicin a) S aotenemos que X = B.BBSi U , V B y x U V , entonces U By y V Bz para ciertos y, z.Existen U 0 , V 0 Bz tales que U 0 U y V 0 V (por la condicin c). Existe oW Bx tal que W U 0 V 0 (por la condicin b). As x W U V cono W B.Por lo tanto B es la base de una topolog en X para la que los elementosade cada Bx son abiertos y, en particular, entornos de x. Si A es un entorno de xpara dicha topolog existe un U B tal que x U A. Por denicin de B,a, oexiste un y X tal que U By , y por c) existe un V Bx tal que V U A.Esto prueba que Bx es una base de entornos de x.Las bases de entornos determinan los entornos y por tanto la topolog es a,decir, se da la unicidad.Ejemplo Como aplicacin de este teorema vamos a convertir en espacio to-opolgico al conjunto R = R {, +}. Para ello denimos como base de oentornos abiertos de cada nmero real x al conjunto los entornos abiertos de xuen R con la topolog usual, la base de entornos abiertos de + est formada a apor los intervalos ]x, +], donde x var en R, y la base de entornos abiertos ade la forman los intervalos [, x[, donde x var en R. Con esto estamos a 23. 1.3. Productos y subespacios11diciendo que un conjunto contiene a los alrededores de + si contiene a todoslos nmeros reales a partir de uno dado, y anlogamente para . u aEs fcil comprobar que las familias consideradas cumplen las propiedadesadel teorema anterior, luego denen una topolog en R. aTeniendo en cuenta que hemos denido los entornos abiertos de los nmeros ureales como los entornos abiertos que ya tienen en la topolog usual, es inme- adiato que un subconjunto de R es abierto en la topolog usual de R si y slo si a olo es en la topolog que hemos denido en R. aHay un concepto anlogo a los de base y base de entornos que es menos aintuitivo, pero mucho ms prctico a la hora de denir topolog Se trata del aa as.concepto de subbase:Denicin 1.16 Sea X un espacio topolgico. Una familia de abiertos S eso ouna subbase de X si las intersecciones nitas de elementos de S forman una basede X.Por ejemplo, es fcil ver que los intervalos abiertos ]a, b[ forman una base de aR (son las bolas abiertas). Por consiguiente, los intervalos de la forma ], a[y ]a, +[ forman una subbase de R, pues son abiertos y entre sus interseccio-nes nitas se encuentran todos los intervalos ]a, b[ (notar adems que cualquierafamilia de abiertos que contenga a una base es una base). La ventaja de las subbases consiste en que una familia no ha de cumplirninguna propiedad en especial para ser subbase de una topolog a:Teorema 1.17 Sea X un conjunto y S una familia de subconjuntos de X.Entonces existe una unica topolog en X de la cual S es subbase.a Demostracion: Sea B la familia de las intersecciones nitas de elementos Tde S. Entonces X = G B y obviamente la interseccin de dos intersec- o Gciones nitas de elementos de S es una interseccin nita de elementos de S; oluego si U , V B tambin U V B, de donde se sigue que B es la base de euna topolog en X, de la cual S es subbase. Claramente es unica, pues B es a base de cualquier topolog de la que S sea subbase. a1.3 Productos y subespaciosHemos visto que el producto de una familia nita de espacios mtricos esede nuevo un espacio mtrico de forma natural (o mejor dicho, de tres formasedistintas pero equivalentes desde un punto de vista topolgico). Ahora veremos oque la topolog del producto se puede denir directamente a partir de lasatopolog de los factores sin necesidad de considerar las distancias. Ms an,as a upodemos denir el producto de cualquier familia de espacios topolgicos, no onecesariamente nita. 24. 12 Captulo 1. TopologaDenicin 1.18 Sean {Xi }iI espacios topolgicos. Consideremos su pro-oQ oducto cartesiano X = Xi y las proyecciones pi : X Xi que asignaniIa cada punto su coordenada i-sima. Llamaremos topolog producto en X a la eaque tiene por subbase a los conjuntos p1 [G], donde i I y G es abierto en Xi . i T Una base de la topolog producto la forman los conjuntos de la forma ap1 [Gi ], donde F es un subconjunto nito de I y Gi es abierto en Xi . iiFQEquivalentemente, la base est formada por los conjuntos aGi , donde cadaiIGi es abierto en Xi y Gi = Xi salvo para un nmero nito Q ude ndices. Alconjunto de estos ndices se le llama soporte del abierto bsico a Gi .iISi el nmero de factores es nito la restriccin se vuelve vac de modo que uo a,un abierto bsico en un producto X1 Xn es simplemente un conjunto de ala forma G1 Gn , donde cada Gi es abierto en Xi . En lo sucesivo casi todo i querr decir todo a ndice i salvo un nmerounito de ellos.Teorema 1.19 Sean {Xi }iI espacios topolgicos, para cada i sea Bi una baseoQde Xi . Entonces los conjuntos de la forma Gi , donde cada Gi est en Bi o a iIQes Xi (y casi todos son Xi ) forman una base deXi . iI Demostracion: Consideremos la topolog T en el producto que tiene apor subbase a los conjuntos p1 [Gi ] con Gi en Bi (y, por consiguiente, tieenipor base a los abiertos del enunciado). Como ciertamente estos conjuntos sonabiertos para la topolog producto, tenemos que todo abierto de T lo es deala topolog producto. Reca procamente, un abierto subbsico de la topolog a S aproducto es p1 [Gi ], con Gi abierto en Xi . Entonces Gi = iB, donde cadaSBAiAi es un subconjunto de Bi . Por lo tanto p1 [Gi ] = i p1 [B] es abiertoi BAide T. Por consiguiente todo abierto de la topolog producto lo es de T y as aambas topolog coinciden. asEn lo sucesivo, a pesar de que en el producto se puedan considerar otrasbases, cuando digamos abiertos bsicos nos referiremos a los abiertos indicadosaen el teorema anterior tomando como bases de los factores las propias topologassalvo que se est considerando alguna base en concreto.eTal y como anuncibamos, el producto de espacios topolgicos generaliza alaoproducto de espacios mtricos (o de espacios normados). El teorema siguiente elo prueba.Teorema 1.20 Si M1 , . . . , Mn son espacios mtricos, entonces la topolog in-e aducida por las mtricas de 1.7 en M = M1 Mn es la topolog producto.e aDemostracion: Como las tres mtricas inducen la misma topolog slo e a oes necesario considerar una de ellas, pero para la mtrica d se cumple B (x) =e 25. 1.3. Productos y subespacios 13B (x1 ) B (xn ), luego la base inducida por la mtrica es base de la topologe aproducto. La denicin de topolog producto es sin duda razonable para un nmeroo aunito de factores. Sin embargo cuando tenemos innitos factores hemos exigidouna condicinQ nitud que no hemos justicado. En principio podro de Q amosconsiderar enXi la topolog que tiene por base a los productos aGi con GiiIiIabierto en Xi (sin ninguna restriccin de nitud). Ciertamente estos conjuntososon base de una topolog a la que se le llama topolog de cajas, y el teoremaaasiguiente muestra que no coincide con la topolog producto que hemos denido.aLa topolog producto resulta ser mucho ms util que la topolog de cajas. a a aTeorema 1.21 Sea {Xi }iI una familia de espacios topolgicos. Los unicosQQ o abiertos en Xi de la forma Gi 6= son los abiertos bsicos, es decir, los aiI iIque adems cumplen que cada Gi es abierto y Gi = Xi para casi todo i. aQ Demostracion: Supongamos queGi es un abierto no vaco. Con- Q iIQsideremos un punto x Gi . Existir un abierto bsicoaa Hi tal que QQ iIiIx Hi Gi , luego para cada ndice i se cumplir xi Hi Gi , y comoaiI iIcasi todo Hi es igual a Xi , tenemos que Gi = Xi para casi todo i. Adems tene-amos que Gi es un entorno de xi , pero dado cualquier elemento a Gi siempre Qpodemos formar un x Gi tal que xi = a, luego en realidad tenemos que GiiIes un entorno de todos sus puntos, o sea, es abierto.Nos ocupamos ahora de los subespacios de un espacio topolgico. Es evidente oque todo subconjunto N de un espacio mtrico M es tambin un espacio mtrico ee econ la misma distancia restringida a N N . Por lo tanto tenemos una topologaen M y otra en N . Vamos a ver que podemos obtener la topolog de Nadirectamente a partir de la de M , sin pasar por la mtrica. eTeorema 1.22 Sea X un espacio topolgico (con topolog T) y A X. De- oanimos TA = {G A | G T}. Entonces TA es una topolog en A llamadaatopolog relativa a X (o topolog inducida por X) en A. En lo sucesivo so-a abreentenderemos siempre que la topolog de un subconjunto de un espacio X esala topolog relativa. a Demostracion: A = X A TA , = A TA . Sea C TA . Para cada G C sea UG = {U T | U A = G} 6= y seaVG la unin de todos los abiertos de UG . o De este modo VG es un abierto en X y VG A = G.[[[G= VG A, yVG T, luego G TA .GC GC GC Si U , V TA , U = U A y V = V 0 A con U 0 , V 0 T. Entonces0U V = U 0 V 0 A TA , pues U 0 V 0 T. As TA es una topolog en A. a 26. 14 Captulo 1. TopologaEjemplo Consideremos I = [0, 1] R. Resulta que ]1/2, 1] es abierto en I,pues ]1/2, 1] = ]1/2, 2[ I y ]1/2, 2[ es abierto en R. Sin embargo ]1/2, 1] no esabierto en R porque no es entorno de 1. Intuitivamente, ]1/2, 1] no contiene atodos los puntos de alrededor de 1 en R (faltan los que estn a la derecha de 1),apero s contiene a todos los puntos de alrededor de 1 en I.La relacin entre espacios y subespacios viene perlada por los teoremas osiguientes. El primero garantiza que la topolog relativa no depende del espacio adesde el que relativicemos.Teorema 1.23 Si X es un espacio topolgico (con topolog T) y A B X, o aentonces TA = (TB )A . Demostracion: Si U es abierto en TA , entonces U = V A con V T,luego V B TB y U = V A = (V B) A (TB )A . Si U (TB )A , entonces U = V A con V TB , luego V = W B conW T. As pues, U = W B A = W A TA . Por lo tanto TA = (TB )A . Teorema 1.24 Si B es una base de un espacio X y A X, entonces el con-junto {B A | B B} es una base de A. Demostracion: Sea U un abierto en A y x U . Existe un V abiertoen X tal que U = V A. Existe un B B tal que x B V , luegox B A V A = U . Por lo tanto la familia referida es base de A. Similarmente se demuestra:Teorema 1.25 Si Bx es una base de entornos (abiertos) de un punto x de unespacio X y x A X, entonces {B A | B Bx } es una base de entornos(abiertos) de x en A.Teorema 1.26 Sea M un espacio mtrico y sea A M . Entonces d0 = d|AA ees una distancia en A y la topolog que induce es la topolog relativa.aaDemostracion: Una base para la topolog inducida por la mtrica de Aa eser la formada por las bolas a 0 B (x) = {a A | d0 (x, a) < } = {a X | d(x, a) < } A = B (x) A,ddpero stas son una base para la topolog relativa por el teorema 1.24. e aTeorema 1.27 Sea {Xi }iI una familia de espacios topolgicos y para cada i Q oQsea Yi Xi . Entonces la topolog inducida en aYi porXi es la mismaiI iIque la topolog producto de los {Yi }iI .a (La base obtenida por el teorema 1.24 a partir de la base usual de la topologaproducto es claramente la base usual de la topolog producto.)aEjercicio: Probar que la topolog que hemos denido en R induce en R la topologa aeucldea. 27. 1.4. Algunos conceptos topolgicoso 151.4Algunos conceptos topolgicoso Dedicamos esta seccin a desarrollar el lenguaje topolgico, es decir, a intro-ooducir las caractersticas de un espacio y sus subconjuntos que pueden denirsea partir de su topolog Hasta ahora hemos visto unicamente los conceptos de a. abierto y entorno. Otro concepto importante es el dual conjuntista de abierto:Denicin 1.28 Diremos que un subconjunto de un espacio topolgico es ce- o orrado si su complementario es abierto.Por ejemplo, un semiplano (sin su recta frontera) es un conjunto abierto,mientras que un semiplano con su frontera es cerrado, pues su complementarioes el semiplano opuesto sin su borde, luego es abierto. Pronto veremos que ladiferencia entre los conjuntos abiertos y los cerrados es precisamente que losprimeros no contienen a los puntos de su borde y los segundos contienen todoslos puntos de su borde. En importante notar que un conjunto no tiene por qu eser ni abierto ni cerrado. Baste pensar en el intervalo [0, 1[.Ejercicio: Sea X = [0, 1] ]3, 4]. Probar que ]3, 4] es a la vez abierto y cerrado en X. Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de las de losabiertos:Teorema 1.29 Sea X un espacio topolgico. Entonces: oa) y X son cerrados.b) La interseccin de cualquier familia de cerrados es un cerrado.oc) La unin de dos cerrados es un cerrado. o Puesto que la unin de abiertos es abierta, al unir todos los abiertos con-otenidos en un conjunto dado obtenemos el mayor abierto contenido en l. Si-emilarmente, al intersecar todos los cerrados que contienen a un conjunto dadoobtenemos el menor cerrado que lo contiene:Denicin 1.30 Sea X un espacio topolgico. Llamaremos interior de un ooconjunto A X al mayor abierto contenido en A. Lo representaremos porint A o A. Llamaremos clausura de A al menor cerrado que contiene a A. Lo representaremos por cl A o A. Los puntos de A se llaman puntos interiores deA, mientras que los de A se llaman puntos adherentes de A. As pues, para todo conjunto A tenemos que A A A. El concepto depunto interior es claro: un punto x es interior a un conjunto A si y slo si A esoun entorno de x. Por ejemplo, en un semiplano cerrado, los puntos interioresson los que no estn en el borde. El teorema siguiente nos caracteriza los puntosaadherentes.Teorema 1.31 Sea X un espacio topolgico y A un subconjunto de X. Un opunto x es adherente a A si y slo si todo entorno de x corta a A. o 28. 16Cap tulo 1. Topolog a Demostracion: Supongamos que x es adherente a A. Sea U un entornode x. Existe un abierto G tal que x G U . Basta probar que G A 6= .Ahora bien, en caso contrario XG ser un cerrado que contiene a A, luego aA XG, mientras que x A G. Recprocamente, si x tiene esta propiedad entonces x A, ya que de locontrario XA ser un entorno de x que no corta a A. a Vemos, pues, que, como su nombre indica, los puntos adherentes a un con-junto A son los que estn pegados a A, en el sentido de que tienen alrededorapuntos de A. Por ejemplo, es fcil ver que los puntos adherentes a un semi-aplano abierto son sus propios puntos ms los de su borde. Veamos ahora que elaconcepto de borde corresponde a una nocin topolgica general:o oDenicin 1.32 Sea X un espacio topolgico y A X. Llamaremos frontera o ode A al conjunto A = A XA.As los puntos frontera de un conjunto son aquellos que tienen alrededor,puntos que estn en A y puntos que no estn en A. Esto es claramente unaaadenicin general del borde de un conjunto. Por ejemplo, la frontera de unotringulo la forman los puntos de sus lados. aTeorema 1.33 Sea X un espacio topolgico. Se cumple: o a) Si A X entonces A A A, adems A es abierto y A es cerrado.a b) Si A B X y A es abierto entonces A B . c) Si A B X y B es cerrado entonces A B. d) Si A B X entonces AB y A B. e) Si A, B X, entonces int (A B) = int A int B, A B = A B. f ) A X es abierto si y slo si A =A, y es cerrado si y slo si A = A.o o B X g) Si A B X, entonces A = A B. h) Si A X, entonces int (XA) = Xcl A y cl (XA) = Xint A. Demostracion: Muchas de estas propiedades son inmediatas. Probaremosslo algunas. oe) Claramente A B A B, y el segundo conjunto es cerrado, luegoA B A B. Por otra parte es claro que A A B y B A B, luegotenemos la otra inclusin. La prueba con interiores es idntica. o eg) Observemos en primer lugar que los cerrados de B son exactamente lasintersecciones con B de los cerrados de X. En efecto, si C es cerrado en Xentonces XC es abierto en X, luego B (XC) = BC es abierto en B,luego B(BC) = B C es cerrado en B. El rec proco es similar. 29. 1.4. Algunos conceptos topolgicoso17XPor denicin, A es la interseccin de todos los cerrados en X que contienen o oXa A, luego A B es la interseccin de todas las intersecciones con B de los ocerrados en X que contienen a A, pero estos son precisamente los cerrados deXBB que contienen a A, o sea, A B es exactamente A .h) Tenemos que A cl A, luego Xcl A XA y el primero es abierto,luego Xcl A int (XA).Por otra parte int (XA) XA, luego A Xint (XA), y ste esecerrado, luego A Xint (XA) y int (XA) XA. En la prueba de la propiedad g) hemos visto lo siguiente:Teorema 1.34 Si X es un espacio topolgico y A X, los cerrados en la otopolog relativa de A son las intersecciones con A de los cerrados de X. aConviene observar que el anlogo a g) para interiores es falso. Es decir, no a se cumple en general que A B =A B. Por ejemplo, es fcil ver que en R sea Zcumple N = , luego N Z = , mientras que N = N.Vamos a renar el concepto de punto adherente. Hemos visto que los puntosadherentes a un conjunto A son aquellos que tienen alrededor puntos de A.Sucede entonces que todo punto x A es trivialmente adherente, porque x esun punto de alrededor de x y est en A. Cuando eliminamos esta posibilidad atrivial tenemos el concepto de punto de acumulacin: oDenicin 1.35 Sea X un espacio topolgico y A X. Diremos que unoopunto x X es un punto de acumulacin de A si todo entorno U de x cumple o(U {x})A 6= . El conjunto de puntos de acumulacin de A se llama conjunto oderivado de A y se representa por A0 . Ejemplo Consideremos el conjunto A = 1/n | n N{0} R. Es fcilaver que A = A {0}. Sin embargo, A0 = {0}. En efecto, en general se cumpleque A0 A, pero ningn punto 1/n A es de acumulacin, pues u o11 11 , +n n+1 n n+1es un entorno de 1/n que no corta a A salvo en este mismo punto. Como ya hemos dicho, siempre es cierto que A0 A. Tambin es claro que eun punto adherente que no est en A ha de ser un punto de acumulacin de A.e oEn otras palabras, A = A A0 . Los puntos de A pueden ser de acumulacin oono serlo. Por ejemplo, todos los puntos de [0, 1] son de acumulacin, mientrasoque los puntos del ejemplo anterior no lo eran.Denicin 1.36 Sea X un espacio topolgico y A X. Los puntos de AA0oose llaman puntos aislados de A. 30. 18 Captulo 1. TopologaUn punto x A es aislado si y slo si tiene un entorno U tal que U A = {x}. oEl entorno lo podemos tomar abierto, y entonces vemos que los puntos aisladosde A son los puntos que son abiertos en la topolog relativa. Vemos, pues, que aun espacio es discreto si y slo si todos sus puntos son aislados. Es el caso del oejemplo anterior.Denicin 1.37 Un subconjunto A de un espacio topolgico X es denso si o oA = X.Aplicando la propiedad h) de 1.33 vemos que A es denso en X si y slo sioXA tiene interior vac es decir, si y slo si todo abierto de X corta a A. o, oEsto signica que los puntos de A estn en todas partes. Por ejemplo, puesto aque todo intervalo de nmeros reales contiene nmeros racionales e irracionales, u ues claro que Q y RQ son densos en R. De aqu se sigue fcilmente que Qn y a(RQ)n son densos en Rn .Ejercicio: Probar que si A es abierto en un espacio X y D es denso en X entoncesA D es denso en A.Hay una propiedad que no cumplen todos los espacios topolgicos, pero s o la prctica totalidad de espacios de inters. aeDenicin 1.38 Diremos que un espacio topolgico X es un espacio de Haus- o odor si para todo par de puntos distintos x, y X existen abiertos disjuntos Uy V tales que x U , y V (se dice que los abiertos U y V separan a x e y).Por ejemplo, si en un conjunto X con ms de un punto consideramos laatopolog formada unicamente por los abiertos y X (topolog trivial) obte-a anemos un espacio que no es de Hausdor. Se trata de un espacio patolgico odonde todo punto est alrededor de cualquier otro. Aunque la topolog trivialaaes ciertamente la ms patolgica posible, lo cierto es que todas las topologaoasno de Hausdor comparten con ella su patolog y rara vez resultan de inters.a, eVeamos las propiedades de los espacios de Hausdor:Teorema 1.39 Se cumplen las propiedades siguientes: a) En un espacio de Hausdor, todo conjunto nito es cerrado. b) Todo espacio de Hausdor nito es discreto. c) Todo subespacio de un espacio de Hausdor es un espacio de Hausdor. d) El producto de una familia de espacios de Hausdor es un espacio deHausdor. e) Todo espacio mtrico es un espacio de Hausdor.e f ) Un espacio X es de Hausdor si y slo si la diagonal = {(x, x) | x X} o es cerrada en X X. 31. 1.4. Algunos conceptos topolgicoso 19Demostracion: a) Basta probar que todo punto {x} en un espacio deHausdor X es cerrado. Ahora bien, dado y X {x}, existen abiertos disjuntosU , V tales que x U , y V , luego y V X{x}, lo que prueba que X{x}es entorno de todos sus puntos, luego {x} es cerrado. b) En un espacio de Hausdor nito todo subconjunto es cerrado, luego todosubconjunto es abierto, luego es discreto.c) Si X es un espacio de Hausdor y A X, dados dos puntos x, y A,existen abiertos disjuntos U , V en X que separan a x e y, luego U A, V Ason abiertos disjuntos en A que separan a x e y.Qd) Consideremos un producto de espacios de HausdorXi y dos de susiIpuntos x, y. Sea i0 un ndice tal que xi0 6= yi0 . Existen abiertos U , V en Xi0que separan a xi0 e yi0 . Entonces p1 (U ) y p1 (V ) son abiertos subbsicosi0 i0 adisjuntos en el producto que separan a x e y.e) Si X es un espacio mtrico, dos de sus puntos x, y estn separados por e alas bolas de centros x, y y radio d(x, y)/2.f) La diagonal es cerrada si y slo si su complementario es abierto, si yoslo si para todo par (x, y) X X con x 6= y existe un abierto bsico U V o aen X X tal que (x, y) U V X X. Ahora bien, la condicin oU V X X equivale a U V = , luego la diagonal es cerrada si y sloosi X es Hausdor.Ejercicio: Probar que si un producto de espacios topolgicos es un espacio de Haus-odor no vac entonces cada uno de los factores es un espacio de Hausdor. o, Terminamos la seccin con algunas propiedades mtricas, no topolgicas, es oe odecir propiedades denidas a partir de la distancia en un espacio mtrico y que eno se pueden expresar en trminos de su topologea.Denicin 1.40 Un subconjunto A de un espacio mtrico es acotado si existeo eun M > 0 tal que para todo par de puntos x, y A se cumple d(x, y) M .El dimetro de un conjunto acotado A es el supremo de las distancias d(x, y) acuando (x, y) var en A A. aEs fcil probar que todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado,aas como que la unin nita de conjuntos acotados est acotada. Sin embargooahemos de tener presente el hecho siguiente: dado un espacio mtrico M , podemos edenir d0 (x, y) = m 1, d(x, y) . Es fcil ver que d0 es una distancia en M y lasn abolas de radio menor que 1 para d0 coinciden con las bolas respecto a d. Comoestas bolas forman una base de las respectivas topolog mtricas concluimosas eque ambas distancias denen la misma topolog Sin embargo, respecto a d0a.todos los conjuntos estn acotados. Esto prueba que el concepto de acotacin a ono es topolgico.oEjercicio: Calcular el dimetro de una bola abierta en Rn y en un espacio con la amtrica discreta. e 32. 20Cap tulo 1. Topolog aDenicin 1.41 Si M es un espacio mtrico, A 6= un subconjunto de M y o ex M , denimos la distancia de x a A como d(x, A) = nf{d(x, y) | y A}. Es evidente que si x A entonces d(x, A) = 0, pues entre las distancias cuyonmo determinan d(x, A) se encuentra d(x, x) = 0. Sin embargo los puntos quecumplen d(x, A) = 0 no estn necesariamente en A. aTeorema 1.42 Si M es un espacio mtrico y A M , entonces un punto xecumple d(x, A) = 0 si y slo si x es adherente a A. o Demostracion: Si d(x, A) = 0, para probar que es adherente basta ver quetoda bola abierta de centro x corta a A. Dado > 0 tenemos que d(x, A) < ,lo que signica que existe un y A tal que d(x, y) < , es decir, y B (x) A.El recproco se prueba igualmente. En el caso de espacios normados podemos hacer algunas armaciones adi-cionales. La prueba del teorema siguiente es inmediata.Teorema 1.43 Sea E un espacio normado y A E. Las armaciones siguien-tes son equivalentes: a) A es acotado. b) Existe un M > 0 tal que kxk M para todo x A. c) Existe un M > 0 tal que A BM (0).Ejercicio: Probar que en un espacio normado la clausura de una bola abierta es labola cerrada del mismo radio y el interior de una bola cerrada es la bola abierta. Culaes la frontera de ambas? Dar ejemplos que muestren la falsedad de estos hechos en unespacio mtrico arbitrario. e1.5 Continuidad Finalmente estamos en condiciones de formalizar la idea de funcin continuaocomo funcin f que env los alrededores de un punto a los alrededores de su oaimagen. No exigimos que las imgenes de los puntos de alrededor de un punto xasean todos los puntos de alrededor de f (x). Por ejemplo, sea S la circunferenciaunidad en R2 y f la aplicacin dada por o [0, 1] S x 7 (cos 2x, sen 2x)Lo que hace f es pegar los extremos del intervalo en un mismo punto (1, 0).Queremos que esta aplicacin sea continua, y vemos que [0, 1/4] es un entorno ode 0 que se transforma en medio entorno de (1, 0), en los puntos de alrededorde (1, 0) contenidos en el semiplano y > 0. Esto no debe ser, pues, un obstculo aa la continuidad. 33. 1.5. Continuidad 21Pedir que los puntos de alrededor de x sean enviados a puntos de alrededor def (x) (no necesariamente todos) es pedir que todo entorno U de f (x) contengaa las imgenes de los puntos de alrededor de x, es decir, las imgenes de un aaentorno de x, es decir, que f 1 [U ] contenga un entorno de x, pero esto equivalea que l mismo lo sea. As pues: e Denicin 1.44 Una aplicacin f : X Y entre dos espacios topolgicos o o oes continua en un punto x X si para todo entorno U de f (x) se cumple quef 1 [U ] es un entorno de x. Diremos que f es continua si lo es en todos lospuntos de x.Observar que en esta denicin podemos sustituir entorno por entornoobsico. En un espacio mtrico podemos considerar concretamente bolas abier- aetas, y entonces la denicin se particulariza como sigue:oTeorema 1.45 Una aplicacin f : M N entre dos espacios mtricos esoecontinua en un punto x M si y slo si para todo > 0 existe un > 0 tal que o si d(x, x0 ) < entonces d f (x), f (x0 ) < . Veamos varias caracterizaciones de la continuidad.Teorema 1.46 Sea f : X Y una aplicacin entre espacios topolgicos. Las o oarmaciones siguientes son equivalentes:a) f es continua.b) Para todo abierto (bsico) G de Y se cumple que f 1 [G] es abierto en X. ac) Para todo cerrado C de Y se cumple que f 1 [C] es cerrado en X.d) Para todo A X se cumple f [A] f [A].e) Para todo B Y se cumple f 1 [B] f 1 [B].f ) Para todo B Y se cumple f 1 [int B] int f 1 [B]. Demostracion: a) b). Si f es continua y x f 1 [G] entonces f (x) G, luego G es un entorno de f (x), luego por denicin de continuidad f 1 [G] esoun entorno de x, luego f 1 [G] es abierto. Es claro que b) a). Evidentemente b) c). a) d). Si x f [A] entonces x = f (y), con y A. Si E es un entorno de x,por denicin de continuidad f 1 [E] es un entorno de y, luego f 1 [E] A 6= ,ode donde E f [A] 6= , lo que prueba que x f [A]. d) e). Tenemos que f 1 [B] X, luego f f 1 [B] f f 1 [B] B,luego f 1 [B] f 1 [B]. 34. 22 Captulo 1. Topologa e) f). En efecto: f 1 [int B] = f 1 Y(Yint B) = Xf 1 [Yint B] = Xf 1 [YB] Xf 1 [YB] = XXf 1 [B] = X(Xint f 1 [B]) = int f 1 [B]. f) b). Si B es abierto en Y , entonces f 1 [B] = f 1 [int B] int f 1 [B] f 1 [B],luego f 1 [B] = int f 1 [B] que es, por lo tanto, abierto. Ahora vamos a probar una serie de resultados generales que nos permitirn areconocer en muchos casos la continuidad de una aplicacin de forma inmediata.oDe la propia denicin de continuidad se sigue inmediatamente:oTeorema 1.47 Si f : X Y es continua en un punto x y g : Y Z escontinua en f (x), entonces f g es continua en x. En particular, la composicinode aplicaciones continuas es una aplicacin continua.o Otro hecho bsico es que la continuidad depende slo de la topolog en laa oaimagen y no de la del espacio de llegada.Teorema 1.48 Sea f : X Y una aplicacin entre espacios topolgicos.o oEntonces f es continua en un punto x X como aplicacin f : X Y si yoslo si lo es como aplicacin f : X f [X]. o o Demostracion: Un entorno de f (x) en f [X] es U f [X], donde U es unentorno de f (x) en Y , pero f 1 [U A] = f 1 [U ], luego es indistinto considerarentornos en f [X] o en Y . Teniendo en cuenta que la aplicacin identidad en un conjunto es obviamente ocontinua, de los teoremas anteriores se deduce inmediatamente el que sigue:Teorema 1.49 Si X es un espacio topolgico y A X, entonces la inclusino oi : A X dada por i(x) = x es continua. Por tanto, si f : X Y escontinua en un punto x A, la restriccin f |A = i f es continua en x.o En particular la restriccin de una aplicacin continua a un subconjunto es o otambin continua. El rec e proco no es cierto, pero se cumple lo siguiente:Teorema 1.50 Dada una aplicacin f : X Y , si A es un entorno de unopunto x X y f |A es continua en x, entonces f es continua en x. Demostracion: Si U es un entorno de f (x) en Y , entonces (f |A )1 [U ] = 1f [U ] A es un entorno de x en A, luego existe un entorno G de x en X demanera que x G A = f 1 [U ] A, luego en particular x G A f 1 [U ],y G A es un entorno de x en X, luego f 1 [U ] tambin lo es.e 35. 1.5. Continuidad23Esto signica que la continuidad es una propiedad local, es decir, el que unafuncin sea continua o no en un punto es un hecho que slo depende del compor- o otamiento de la funcin en un entorno del punto. En particular, si cubrimos unoespacio topolgico por una familia de abiertos, para probar que una aplicacinooes continua basta ver que lo es su restriccin a cada uno de los abiertos. Esto esocierto tambin si cubrimos el espacio con cerrados a condicin de que sean un e onmero nito. uTeorema 1.51 Sea f : X Y una aplicacin entre espacios topolgicos.o oSean C1 , . . . , Cn subconjuntos cerrados de X tales que X = C1 Cn .Entonces f es continua si y slo si cada f |Ci es continua.o Demostracion: Una implicacin es obvia. Si las restricciones son conti-onuas, entonces dado un cerrado C de Y , se cumple quef 1 [C] = (f 1 [C] C1 ) (f 1 [C] Cn ) = (f |C1 )1 [C] (f |Cn )1 [C].Ahora, cada (f |Ci )1 [C] es cerrado en Ci , luego es la interseccin con Ci deoun cerrado de X, luego es la interseccin de dos cerrados en X, luego es cerradooen X. As pues, f 1 [C] es la unin de un nmero nito de cerrados de X, luego o ues cerrado en X. Esto prueba que f es continua.Teorema 1.52 Si {Xi }iI es una familia de espacios topolgicos, las proyec-Qociones pi : Xi Xi son funciones continuas. iIDemostracion: Las antiimgenes de abiertos en Xi son abiertos bsicosaadel producto.Ejercicio: Probar que la topolog producto es la menor topolog que hace continuasaaa las proyecciones.Teorema 1.53 Si {Xi }iI es una familia de espacios Q ogicos y X es un topolespacio topolgico, entonces una aplicacin f : X Xi es continua si yooslo si lo son todas las funciones fi = f pi . oiI Demostracion: Si f es continua las funciones f pi tambin lo son por serecomposicin de funciones continuas. Q oSi cada f pi es continua, sea A = Ai un abierto bsico del producto. aiI ndices tales que Aij 6= Xij . Entonces f 1 p1 [Aij ] =Sean i1 , . . . , in los ij(f pij )1 [Aij ] es abierto en X, peron n A= p1 [Aij ] ijy f 1[A] = f 1 p1 [Aij ]ijj=1 j=1es abierto en X. 36. 24Cap tulo 1. Topolog aAs por ejemplo, para probar que la aplicacin f : R R2 dada por ,of (x) = (x + 1, x2 ) es continua, basta probar que lo son las aplicaciones x + 1y x2 .Denicin 1.54 Sean E y F espacios normados. Una aplicacin f : E Fo otiene la propiedad de Lipschitz si existe un M > 0 tal que para todos los vectoresv, w E se cumple que kf (v) f (w)k M kv wk.Teorema 1.55 Las aplicaciones con la propiedad de Lipschitz son continuas. Demostracion: Sea f : E F una aplicacin con la propiedad de oLipschitz con constante M . Vamos a aplicar el teorema 1.45. Dado > 0tomamos = /M . As si kvwk < , entonces kf (v)f (w)k M kvwk < . , Por ejemplo, es fcil ver que si E es un espacio normado entonces la normaak k : E R tiene la propiedad de Lipschitz con constante M = 1, luego esuna aplicacin continua. Un ejemplo menos trivial es el de la suma:oTeorema 1.56 Sea E un espacio normado. Entonces la suma + : E E Etiene la propiedad de Lipschitz, luego es continua. Demostracion: Consideraremos a E E como espacio normado con lanorma k k1 . Entonces, si (u, v), (a, b) E E, tenemos quek(u + v) (a + b)k = k(u a) + (v b)k ku ak + kv bk= k(u a, v b)k1 = k(u, v) (a, b)k1 . El producto no cumple la propiedad de Lipschitz, pero aun as es continuo. Teorema 1.57 Sea E un espacio normado. El producto : K E E esuna aplicacin continua.o Demostracion: Veamos que el producto es continuo en un punto (, x) deK E. Usaremos la norma k k en K E. Dado > 0, sea (0 , x0 ) K E.k0 x0 xk = k0 (x0 x) + (0 )xk |0 | kx0 xk + |0 | kxk. Tomemos ahora 0 < < 1 que cumpla ademsa< < . || + kxk + 1 As si k(0 , x0 ) (, x)k < , entonces |0 | < y kx0 xk < . Enparticular |0 | || + < || + 1. As|0 |kxk k0 x0 xk 0, sea 0 < 1, 0 < |x|. As si |y x| < 0 tenemos,1 1 = |y x| < |x| = .y x |y| |x||x|Consecuentemente, si f C(X, K) y f no se anula en X, podemos denirla funcin 1/f C(X, K) mediante (1/f )(x) = 1/f (x).o Por ejemplo, la funcin f : R{1} R dada porox2 f (x) = x1es obviamente continua.Teorema 1.60 La funcin o: [0, +[ [0, +[ es continua. Demostracion: Basta notar que x ]a, b[ a < x < b a2 < x < b2 x a2 , b2 . Esto signica que la antiimagen del intervalo ]a, b[ es el intervalo a2 , b2 . Simi- 2larmente se ve que la antiimagen de un intervalo [0, b[ es el intervalo 0, b y, como estos intervalos constituyen una base de [0, +[, tenemos quees unafuncin continua. oTeorema 1.61 Sea M un espacio mtrico y A 6= un subconjunto de M . eEntonces las aplicaciones d : M M R y d( , A) : M R son continuas.Demostracion: Consideremos en M M la distancia d . Dado un par(x, y) M M , y un > 0, basta probar que si (x0 , y 0 ) dista de (x, y) menosde /2, es decir, si se cumple d(x, x0 ) < /2 y d(y, y 0 ) < /2, entonces tenemos|d(x, y) d(x0 , y 0 )| < . En efecto, en tal caso d(x, y) d(x, x0 ) + d(x0 , y 0 ) + d(y 0 , y) < d(x0 , y 0 ) + ,luego d(x, y) d(x0 , y 0 ) < , e igualmente se llega a d(x0 , y 0 ) d(x, y) < , luegoefectivamente |d(x, y) d(x0 , y 0 )| < . Para probar la continuidad de d( , A) en un punto x observamos que|d(x, A) d(y, A)| d(x, y).En efecto, para todo z A se cumple d(x, z) d(x, y) + d(y, z). De aqu sesigue claramente d(x, A) d(x, y) + d(y, z), y tomando el nmo en z vemos qued(x, A) d(x, y) + d(y, A). Similarmente se prueba d(y, A) d(x, y) + d(x, A),de donde se sigue la relacin con valores absolutos. A su vez esta relacin implica o oque si d(x, y) < , entonces |d(x, A) d(y, A)| < , lo que expresa la continuidadde la aplicacin.o Para terminar con las propiedades generales de las aplicaciones continuasprobaremos un hecho de inters terico:eo 39. 1.5. Continuidad 27Teorema 1.62 Sean f, g : X Y aplicaciones continuas, D X un con-junto denso tal que f |D = g|D y supongamos que Y es un espacio de Hausdor.Entonces f = g. Demostracion: Sea h : X Y Y dada por h(x) = f (x), g(x) .Claramente es continua y h[D] , donde = {(y, y) | y Y } es un cerradoen Y Y (por 1.39). Por lo tanto h[X] = h[D] h[D] , de donde f = g.Denicin 1.63 Una aplicacin biyectiva f : X Y entre dos espacios ootopolgicos es un homeomorsmo si f y su inversa son ambas continuas. Dos oespacios topolgicos son homeomorfos si existe un homeomorsmo entre ellos.oUn homeomorsmo induce una biyeccin entre los abiertos de los dos es-opacios, por lo que ambos son topolgicamente indistinguibles. Es claro que ocualquier propiedad denida exclusivamente a partir de la topolog se con- aserva por homeomorsmos, luego dos espacios homeomorfos tienen las mismaspropiedades topolgicas. oEs importante notar que no toda biyeccin continua es un homeomorsmo. oPor ejemplo, la identidad I : R R, cuando en el primer espacio consideramosla topolog discreta y en el segundo la eucladea es biyectiva y continua, perono un homeomorsmo. Veamos un ejemplo ms intuitivo:a 2Ejemplo Sea f : [0, 1] ]2, 3] [0, 2] laaplicacin dada poro1x si 0 x 1f (x) =x 1 si 2 < x 30 Es fcil ver que f es biyectiva, y es continua aporque sus restricciones a los abiertos [0, 1] y0 123]2, 3] de su dominio son ambas continuas (son polinomios). Sin embargo noes un homeomorsmo. La aplicacin f 1 es continua en todos los puntos deo[0, 2] excepto en x = 1. En efecto, [0, 1] es un entorno de f 1 (1) = 1, pero laantiimagen de este intervalo es el mismo [0, 1], que no es un entorno de 1 en[0, 2]. En los dems puntos es continua, pues f 1 restringida a los abiertos de asu dominio [0, 1[ y ]1, 2] es polinmica.o Lo que sucede es que, a pesar de ser biyectiva, f est pegando los intervalos a[0, 1] y ]2, 3] en el intervalo [0, 2], por lo que f 1 corta ste por el punto 1.eEn general, si una aplicacin continua es una aplicacin que no corta, aunque oopuede pegar, un homeomorsmo es una aplicacin que no corta ni pega. Paraoque no pegue ha de ser biyectiva, pero acabamos de ver que esto no es suciente.El ejemplo de la topolog discreta se interpreta igual: los puntos de R con laatopolog discreta estn todos separados entre s luego al pasar a R con la aa,topolog eucl adea los estamos pegando, aunque no identiquemos puntos. 40. 28Cap tulo 1. Topolog aDenicin 1.64 Una aplicacin f : X Y entre dos espacios topolgicos es o o oabierta si para todo abierto A de X, se cumple que f [A] es abierto en Y . De este modo, un homeomorsmo es una biyeccin continua y abierta. Laopropiedad de ser abierta no es muy intuitiva y tampoco es muy frecuente (salvoen el caso de los homeomorsmos). Sin embargo es de destacar el hecho si-guiente:Teorema 1.65 Las proyecciones de un espacio producto en cada uno de susfactores son aplicaciones abiertas. Demostracion: Basta ver que la proyeccin de un abierto bsico es un o aabierto, pero los abiertos bsicos son productos de abiertos, y las proyeccionesason sus factores.Denicin 1.66 La grca de una aplicacin f : X Y es el conjunto1 oa o no x, f (x) X Y | x X .En los casos de funciones f : A Rm Rn , donde m + n 3 la grca de af tiene una interpretacin en el plano o espacio euclodeo intuitivos, y esta repre-sentacin permite reconocer rpidamente las caracter o a sticas de f . El resultadoms importante por lo que a la continuidad se reere es el siguiente:aTeorema 1.67 Si f : X Y es una aplicacin continua, entonces la apli- ocacin x 7 x, f (x) es un homeomorsmo entre X y la grca de f .oa Demostracion: La aplicacin es obviamente biyectiva y continua. Su oinversa es la restriccin a la grca de la proyeccin sobre el primer factor de o aoX Y , luego tambin es continua. eEjemplo La grca del polinomio x3 x es la siguiente: a21.510.5 -2-112 -0.5 -1 -1.5 -2 1 Observarque desde el punto de vista de la teor de conjuntos la grca de una funcinaaof es la propia funcin f como conjunto.o 41. 1.5. Continuidad29El lector deber preguntarse cmo se sabe que la grca de f tiene estaa o aforma y no otra. Ms adelante veremos cmo determinar anal a oticamente lascaracter sticas de la grca de una funcin, pero de momento nos bastar con a oalo siguiente:Para obtener una gura como la anterior, basta programar a un ordenadorpara que calcule la funcin considerada sobre los sucientes nmeros racionales, o udigamos sobre los nmeros de la forma k/100, donde k var entre 200 y 200, uay dibuje un pequeo cuadrado con coordenadas x, f (x) . El resultado es una ngrca como la que hemos mostrado. El proceso slo involucra la aritmtica deaoelos nmeros racionales, que no tiene ninguna dicultad.uVemos que la grca de f es una la nea ondulada. Podemos considerarlacomo una imagen t pica de espacio homeomorfo a R. Se obtiene deformandola recta elsticamente, sin cortarla ni pegarla. La aplicacin f no es un a ohomeomorsmo, la grca muestra cmo transforma a R en su imagen: staa o eresulta de aplastar la curva sobre el eje vertical, con lo que R se pliegasobre s mismo, de modo que parte de sus puntos se superponen tres a tres. Veamos ahora un ejemplo de grca de una funcin discontinua.aoEjemplo Consideremos la funcin f o: R [0, 1] dada por 1si x 0f (x) =x si 0 < x < 1 1 si x 1 Su grca es la siguiente:a Es claro que f es continua en todo punto distinto de 0. En efecto, su res-triccin al abierto ], 0[ es constante, luego continua, su restriccin al abierto oo]0, +[ tambin es continua, pues este abierto es a su vez unin de dos cerrados, e o]0, 1] y [1, +[, en los cuales f es continua, pues en el primero es el polinomiox y en el segundo es constante. Es fcil ver que f no es continua en 0. a La grca de f no es homeomorfa a R. No estamos en condiciones de pro- a barlo ahora. Es fcil ver que x 7 x, f (x) no es un homeomorsmo, pero esto ano prueba que no exista otra biyeccin que s lo sea. De todos modos, intui- otivamente vemos que la grca est formada por dos piezas, por lo que para aatransformar R en la grca es necesario cortar por algn punto. a uEjemplo Los homeomorsmos no pueden cortar ni pegar, pero s esti- rar arbitrariamente un conjunto. Por ejemplo, la homotecia f (x) = ax, dondea > 0 transforma el intervalo [1, 1] en el intervalo [a, a]. Las traslaciones 42. 30 Captulo 1. Topologax 7 x + b son claramente homeomorsmos de R, luego combinando homote-cias y traslaciones podemos construir un homeomorsmo entre cualquier par deintervalos cerrados de la forma [a, b]. Tambin es claro que cualquier par deeintervalos abiertos ]a, b[ son homeomorfos entre s al igual que cualquier par de,intervalos semiabiertos [a, b[ y ]a, b]. En la seccin siguiente veremos que tambino ees posible estirar innitamente un intervalo, de modo que, por ejemplo, ]0, 1[es homeomorfo a R.La topolog eucla dea Notemos que toda aplicacin lineal f : Kn Km es ocontinua, pues es cada una de sus funciones coordenadas es un polinomio. Enparticular todo automorsmo de Kn es un homeomorsmo. Si V es cualquierK-espacio vectorial de dimensin nita n, existe un isomorsmo f : V Kn . oPodemos considerar la topolog en V formada por los conjuntos f 1 [G], donde aG es abierto en Kn para la topolog eucl a dea. Es claro que V es as un espaciotopolgico homeomorfo a Kn . Adems, la topolog en V no depende de laoaaeleccin de f , pues si g : V Kn cualquier otro isomorsmo y G es uno esabierto en Kn , entonces g 1 [G] = f 1 (g 1 f )[G] y (g 1 f )[G] es un abiertoen Kn , porque g 1 f es un isomorsmo y por consiguiente un homeomorsmo.Ms an, la aplicacin k k : V R dada por kvk = kf (v)k es claramentea uouna norma en V que induce la topolog que acabamos de denir. Esto justicaalas deniciones siguientes:Denicin 1.68 Un isomorsmo topolgico entre dos espacios vectoriales to-oopolgicos es una aplicacin entre ambos que sea a la vez isomorsmo y homeo- o omorsmo. Si V es un K-espacio vectorial de dimensin nita n, llamaremos otopolog eucl a dea en V a la unica topolog respecto a la cual todos los isomor- asmos de V en Kn son topolgicos. oSi h : V W es una aplicacin lineal entre dos espacios vectoriales deodimensin nita, entonces es continua, pues considerando isomorsmos (to- opolgicos) f : V Km y g : W Kn tenemos que la aplicacin h0 = o of 1 h g : Km Kn es lineal, luego continua, luego h = f h0 g 1 tambinees continua.Si W es un subespacio de V , entonces la restriccin a W de la topolog oaeucldea en V es la topolog eucladea. Para probarlo descomponemos V =W W 0 y observamos que la identidad de W con la topolog eucla dea a W conla topolog inducida es continua por ser lineal y su inversa es continua por ser ala restriccin de la proyeccin de V en W , que tambin es lineal. Por lo tantooo ese trata de un homeomorsmo y ambas topolog coinciden.as Similarmente se prueba que la topolog eucladea en un producto de espaciosvectoriales coincide con el producto de las topolog eucl asdeas. Todo subespacio W de un espacio vectorial de dimensin nita V es cerrado. oPara probarlo observamos que W puede expresarse como el ncleo de una apli-ucacin lineal de W en Kn , es decir, como la antiimagen de 0 por una aplicacinoocontinua y, como {0} es cerrado, su antiimagen tambin.e 43. 1.5. Continuidad 31 Todos estos hechos se trasladan sin dicultad a los espacios anes sobreK. Se dene la topolog eucl adea en un espacio af de modo que todas lasnanidades son continuas y las variedades anes son cerradas.*Ejemplo: La topolog proyectiva Un espacio proyectivo sobre K es deala forma X = P(V ), donde V es un K-espacio vectorial de dimensin n + 1. oConsideremos la aplicacin P : V{~ X dada por P (~ ) = h~ i. Vamoso0} vva considerar en X la menor topolog que hace continua a P , es decir, los aabiertos de X sern los conjuntos G X tales que P 1 [G] es abierto en V a(respecto a la topolog eucl adea). Es fcil ver que los conjuntos as denidosadeterminan realmente una topolog en X. En lo sucesivo consideraremos aatodos los espacios proyectivos como espacios topolgicos con esta topolog Laoa.llamaremos topolog proyectiva. Vamos a probar algunos hechos en torno aaella: La proyeccin P : V{~ X es continua, abierta y suprayectiva.o 0} Slo hemos de comprobar que es abierta. Sea G un abierto en V {~ Hemoso 0}.de ver que G0 = P 1 P [G] es abierto en V{~ Es claro que G G0 . Sea 0}.~ G. Esto signica que existe un w G tal que P (~ ) = P (w), luego ~ = w,v~ v ~ v~para un K. La homotecia h(~ ) = ~ es un homeomorsmo que transformax xG en un entorno de ~ . Adems h[G] h[G0 ] = G0 , luego G0 es entorno de ~ .v a v Las homograf entre espacios proyectivos son homeomorsmos. as Dada una homograf H : X Y , sea h : V W el isomorsmo que ala induce, que de hecho es un homeomorsmo. Sean P : V{~ X y0}P 0 : W{~ Y las proyecciones que denen la topolog Entonces, si G es 0}a. abierto en Y , por denicin P 01 [G] es abierto en W {~ luego h1 P 01 [G] eso0}, 1 abierto en V {~ pero es fcil ver que este conjunto coincide con P 1 H [G] ,0}, aluego H 1 [G] es abierto, y el mismo razonamiento se aplica a la homograf ainversa. Si E es un hiperplano de V que no pasa por ~ entonces P [E] es 0, abierto en X y P |E : E P [E] es un homeomorsmo.Claramente P |E es inyectiva y continua. Bastaprobar que si A es abierto en E entonces P [A] es abierto en X. Sea B = P 1 P [A] . Basta ver que B esabierto en V{~ Es claro que B = {~ | K{0}, ~ A}.0}. v vEscogiendo una base adecuada ~1 , . . . , ~n+1 en V podemos suponer que Ev vest formado por los vectores con ultima coordenada es xn+1 = 1. Para cada a ~ V sea (~ ) su ultima coordenada. La aplicacin es continua. Sea G elvv oconjunto de vectores de V con (~ ) 6= 0. Tenemos que G es abierto, pues suvcomplementario es 1 {0} . La aplicacin G E dada por ~ 7 (~ )1 ~ esovvvcontinua y B es la antiimagen de A por esta aplicacin, luego es abierto en G,oluego en V{~0}. Las subvariedades proyectivas de X son cerradas. 44. 32Cap tulo 1. Topolog aDado un hiperplano E en V que no pase por 0, tenemos que el comple-mentario de P [E] es un hiperplano de X y, segn lo que acabamos de probar,ues cerrado. Como existe una homograf que transforma un hiperplano en otro acualquiera, concluimos que todos los hiperplanos son cerrados y, como toda sub-variedad proyectiva es interseccin de un nmero nito de hiperplanos, resulta o uque todas las subvariedades de X son cerradas.La topolog inducida por X en una subvariedad proyectiva Y es laatopolog proyectiva de Y . aSea Y = P(W ). Tomemos un punto y Y . Sea un hiperplano en X queno contenga a y, sea 0 = Y . Entonces una base de entornos de y paralas topolog de X e Y son los abiertos que contienen a y y estn contenidosasaen X e Y0 respectivamente. Las topolog de estos espacios son lasaseucldeas, luego una es la inducida por la otra, luego los entornos bsicos de ay en Y son las intersecciones con Y de los entornos bsicos de y en X. Por aconsiguiente, la topolog proyectiva y la topolog inducida tienen una mismaa abase de entornos de cada punto, luego son iguales. Para terminar describiremos la topolog de la recta proyectiva compleja.aTenemos que P1 (C) = C {}. La topolog en C es la eucl a dea. Slo falta odeterminar los entornos de . Como la aplicacin 1/z es un homeomorsmo,ouna base de entornos de la forman las imgenes por 1/z de los elementos de auna base de entornos de 0, por ejemplo las bolas abiertas eucldeas de centro 0.Pero la imagen de B (0) est formada por y los puntos z C tales que |z| >a1/, luego una base de entornos abiertos de la forman los c