Análisis Combinatorio 5° SEC. Una comida gratis Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación...

Análisis Combinatorio5° SEC

Una comida gratisDiez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, de acuerdo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:- Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa

en cualquier orden y escúchenme.

Una comida gratisTodos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó:- Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos.

Una comida gratisLa proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años.

Análisis Combinatorio1. ¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?

I.- El símbolo de sumatoriaII.- Factorial de un número

2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO Principio de Adición Principio de Multiplicación

3. MÉTODOS DE CONTEO: PERMUTACIÓN PERMUTACIÓN CIRCULAR PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN COMBINACIÓN

Código secretoLos miembros del club de matemática del CI no quieren que sus demás compañeros del colegio se enteren de las calificaciones que obtienen en las pruebas de olimpiadas matemáticas. Para tal efecto han decidido utilizar dos letras seguidas de tres números para formar códigos de identificación. Ellos van a utilizar las letras A y S y los números 1, 2 y 3. Permiten la repetición de letras, mas no de los números. ¿Cuántos miembros puede albergar el club antes que tengan que cambiar su método de construir códigos?

Código secretoSOLUCIÓN:

Para resolver este problema vamos a recurrir a la estrategia llamada hacer una lista organizada.Esta estrategia es útil a la hora de resolver problemas donde sea necesario encontrar todas las maneras posibles de hacer algo. Hay cuatro formas de ordenar las letras A y S: AS, SA, AA y SS. Para cada uno de estos ordenamientos le asociamos todas las formas diferentes de ordenar los números 1, 2 y 3. Veamos:

AS123 SA123 AA123 SS123

AS132 SA132 AA132 SS132

AS213 SA213 AA213 SS213

AS231 SA231 AA231 SS231

AS312 SA312 AA312 SS312

AS321 SA321 AA321 SS321

Se pueden formar 24 códigos diferentes de identificación. Después que se unan al club 24 miembros se agotarían los códigos y para albergar a más miembros tendría que ampliarse la construcción de códigos.

Análisis Combinatorio

¿De cuántas formas diferentes podrá viajar una persona desde A hasta D sin retroceder?

A

B

C

D

Análisis Combinatorio¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de la Matemática que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar ordenadamente su número. El análisis combinatorio exige el conocimiento de ciertas reglas y métodos para determinar el número o la manera de formar diferentes grupos con los elementos de un conjunto. Nos ocuparemos entonces de la correcta aplicación de tales reglas y procedimientos, como así también de la definición de algunos símbolos que nos servirán en el desarrollo de este capítulo.

Análisis CombinatorioI.- El símbolo de sumatoria: permite abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. Por ejemplo, para indicar la suma:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7

escribimos: y se lee, sumatoria de ai con i variando de 1 a 7.

Si el índice i es variable desde 1 a n, la notación es: y significa la suma abreviada de los n términos: a1 + a2 + a3 + ... + an. El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada uno de los sucesivos valores de su rango de variación y sumando los términos así obtenidos.

7

ii 1

a

n

ii 1

a

Análisis CombinatorioII.- Factorial de un número: el factorial de un número natural n mayor que uno (1) es igual al producto de los n primeros números naturales; el símbolo característico es "!". Así:

De la definición se deduce que el factorial de un número es igual al producto de dicho número por el factorial del anterior. Ejemplo: 6! = 6.5! = 6.5.4!En general:

Además se define: 0! = 1 y 1! = 1.

n! n n. n 1 . n 2 . n 3 .........3.2.1

n! n. n 1 !

Análisis CombinatorioPRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO

En determinados problemas, se observa que una operación (o actividad) aparece en forma repetitiva y es necesario entonces conocer la cantidad de formas o maneras que se pueda realizar dicha operación. Para tales casos es útil conocer determinadas técnicas de conteo que facilitaran el cálculo señalado y será el medio adecuado para resolver estos problemas. El análisis combinatorio es lo que puede llamarse una forma abreviada de contar.Las operaciones o actividades que se presentan serán designadas como eventos.


Ejemplos:

Señalar las prendas que utiliza una persona para vestirse.

Ordenar 7 objetos en 10 casilleros. Escribir una palabra de 6 letras utilizando 4

consonantes y 2 vocales señaladas. Pintar un dibujo de 2 figuras, con 5 colores posibles. Designar 2 delegados de 30 personas. Elegir un camino de 10 posibles.


Estas operaciones que señalamos, pueden efectuarse de una o varias maneras, para encontrar la cantidad de formas, se utilizará dos principios fundamentales de conteo:

Principio de Adición. Principio de Multiplicación.

Análisis Combinatorio1. Principio de Adición:

Si una operación o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y otra operación o actividad B, puede realizarse de n maneras diferentes, entonces la operación que consiste en hacer A o B (no ambas simultáneamente, sino la una o la otra) podrá ocurrir de (m + n) formas distintas.

La regla se puede ampliar a más de dos tareas siempre que no haya dos de ellas que se puedan efectuar

simultáneamente.


Ejemplo 1:

Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía aérea, usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre, usando 3 líneas de ómnibus.¿De cuántas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco?

Análisis Combinatorio1. Principio de Adición:Ejemplo 1:Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía aérea, usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre, usando 3 líneas de ómnibus. ¿De cuántas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco?

Resolución

Por el principio de adición:

Por vía aérea: 2 formas Por vía terrestre: 3 formas.

Podrá viajar de (2 + 3) = 5

formas


Ejemplo 2:

Manuel desea cruzar un río, para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o un deslizador. ¿De cuántas formas podrá cruzar Manuel el río utilizando uno de los medios de transporte señalados?

Análisis Combinatorio1. Principio de Adición:Ejemplo 2:Manuel desea cruzar un río, para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o un deslizador. ¿De cuántas formas podrá cruzar Manuel el río utilizando uno de los medios de transporte señalados?

Resolución

Puede utilizar: 2 botes (2 formas)3 lanchas (3 formas)1 deslizador (1 forma)

Como al usar una, no necesita utilizar las otras, el total de

formas es: 2 + 3 + 1 = 6

Análisis Combinatorio2. Principio de Multiplicación:

Si una operación o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuada por cualquiera de esas maneras, se realiza otra operación o actividad B que puede efectuarse de n maneras diferentes, entonces ambas operaciones o actividades podrán efectuarse de (m x n) maneras distintas.


Ejemplo 1:

Un equipo de básquet tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?

Análisis Combinatorio2. Principio de Multiplicación:Ejemplo 1:

Un equipo de básquet tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?

Resolución

Por el principio de multiplicación serán:4 x 5 = 20 uniformes diferentes.


Ejemplo 2:

¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros?

Análisis Combinatorio2. Principio de Multiplicación:Ejemplo 2:¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros?

Resolución

Para elegir el primer número sólo tenemos una posibilidad, y es el 1, para la segunda tenemos dos posibilidades, al igual que para la tercera y la cuarta, luego el número es: 1 x 2 x 2 x 2 = 8.

Análisis CombinatorioMÉTODOS DE CONTEO:

En diferentes casos, se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para tomar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden en que están colocados dichos elementos o por la naturaleza de alguno de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamadas agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.

Análisis Combinatorio1. PERMUTACIÓN:

Se llama así a un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto considerando el orden en que se encuentran.

Para n objetos diferentes, el número de permutaciones, representado como Pn, que se puede obtener con los n objetos está dado por:

n

P 1.2.3............. n 1 .n n !


Ejemplo 1:¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen cinco alumnos al sentarse en cinco sillas colocadas en línea recta? ResoluciónEs una permutación lineal de cinco elementos tomados de cinco en cinco. Calculamos el número de posibilidades:

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120


Ejemplo 2:Ocho amigos planean salir de viaje en dos automóviles de modo que irán 4 en cada vehículo. ¿De cuántas formas pueden ir, si todos tienen licencia de conducir? ResoluciónEs una permutación lineal de ocho elementos tomados de ocho en ocho. Calculamos el número de posibilidades:

P8 = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320

Análisis CombinatorioEJERCICIOS

01. De un grupo de seis amigos 2 hombres y 4 mujeres van al cine y encuentran una fila libre de seis asientos.I. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse?II. ¿De cuántas, si los hombres se sientan en los extremos?III. ¿De cuántas, si las mujeres se sientan siempre juntas? 02. Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos pero en la foto, sólo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta. ¿De cuántas maneras se puede tomar dicha foto?


03. Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente, vicepresidente y vocal) pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre?

04. Se lanza simultáneamente 3 dados de diferente color. ¿De cuántas maneras distintas puede obtenerse por suma un número mayor que 4?


05. ¿De cuántas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6, en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas saben manejar? 06. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas?

Análisis Combinatorio2. PERMUTACIÓN CIRCULAR:

Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) señalado.

El número de permutaciones circulares, denotado como Pc, de n elementos está dado por:

C

P n n 1 !


Ejemplo 1:¿De cuántas maneras distintas podrán sentarse 4 niños alrededor de una mesa circular? ResoluciónSe deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 4 elementos (niños) alrededor de un centro (mesa), estará dado por:

PC (4) = (4 – 1)! = 3! = 6


Ejemplo 2:Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican 6 vasos diferentes. ¿De cuántas formas pueden ser ubicados? ResoluciónSe deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 6 elementos (vasos) alrededor de un centro (torta), estará dado por:

PC (6) = (6 – 1)! = 5! = 120


08. En un campamento por Semana Santa, ¿de cuántas maneras se podrán sentar 5 amigas alrededor de una fogata? 09. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas podrán ubicarse, si tres de ellas deben estar siempre juntas? 10. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos niñas y tres niños. ¿De cuántas formas podrán hacerlo si el asiento vacío debe quedar entre las niñas?

Análisis Combinatorio3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN:

Es un arreglo en el cual no todos los elementos son distintos entre sí, esto es, hay elementos que se repiten.

El número de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos, esta denotado por:

Donde k1, k2, k3, …….., kn es el número de veces que se repite cada elemento.

1 2 3 n

nk ,k ,k ,.......,k

1 2 3 n

n!P

k !.k !.k !..........k !


Ejemplo 1:Con 2 bolas rojas, 2 bolas amarillas y 3 bolas azules. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar? ResoluciónSe tendrá:

72,2,3

7 !P 210

2 !.2 !.3 !


Ejemplo 2:¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra TAPITA? ResoluciónPodemos observar que la letra T se repite 2 veces, la letra A 2 veces y las letras P e I una vez cada una.Luego:

62,2,1,1

6 !P 180

2 !.2 !.1 !.1 !


11. ¿Cuántas palabras diferentes, no necesariamente pronuncia-bles o con sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra TERREMOTO? 12. Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar 8 vasos, 5 de los cuales contienen whisky, 2 contienen tequila y uno contiene vino tinto. ¿De cuántas formas los podrá ordenar? 13. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos?

Análisis Combinatorio4. COMBINACIÓN:

Es una selección o agrupamiento que se puede formar con los elementos de un conjunto (los elementos deben de ser diferentes).

En general con n elementos diferentes, el número de combinacio-nes que se pueden obtener agrupando de k en k (k ≤ n), estará dado por las permutaciones de n objetos agrupados de k en k, pero dividido entre el número de permutaciones de k elementos que se pueden obtener.

nk

n!C

n k !.k!


Ejemplo 1:¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger 3 niños de un total de 5? ResoluciónAl señalar que vamos a “escoger”, indica que no se necesita indicar ningún orden, lo que sí interesa es el grupo formado, luego se trata de combinar 5 elementos, tomándolos de 3 en 3.

53

5 !C 10

2 !.3 !


Ejemplo 1:De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisión de 3 personas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicha comisión? ResoluciónSe buscará el número de combinaciones de 7 elementos agrupados de 3 en 3.

73

7 !C 35

4 !.3 !


14. Entre Ana, Beatriz, Carlos y Diego se debe elegir una comisión formada por tres personas. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir la comisión? 15. ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le damos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno? 16. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. ¿Cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos.

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