Análisis de Fourier

El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la

solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que

se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta

tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones

de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc. El análisis de

Fourier nos permite redefinir las señales en terminos de senosoidales, todo lo que tenemos

que hacer es determinar el efecto que cualquier sistema tiene en todos los senosoidales

posibles (su función de transferencia) así tendremos un entendimiento completo del sistema.

El análisis de Fourier es elemental para entender el comportamiento de las señales de

sistemas.

Si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria,

mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que

forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita

de funciones armónicas, es decir,

Donde el periodo P=2p/w, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados coeficientes de

Fourier.

Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del siguiente modo

Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2.

En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función

periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t,

tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

Definida en el intervalo que va de -p a +p. Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los

coeficientes resultan nulos.

· Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos

· Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos.

Serie de Fourier

La teoría de Fourier afirma que cualquier función periódica f(t), ya sea más o menos compleja,

se puede descomponer en suma de funciones simples, sinusoidales, cuya frecuencia es

múltiplo de la función periódica. Esto es, dicha función se puede descomponer en una serie

armónica infinita expresada como:

Donde:

- ω0 (o 0 fr = ω 2π ) es la frecuencia de la función periódica y recibe el nombre de frecuencia

fundamental

- an, bn, Cn y θn son los coeficientes de la Serie de Fourier que definen las senoides cuya

frecuencia es múltiplo de la fundamental.

Teoremas básicos sobre la transformada de Fourier

La palabra “transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para

transformar un tipo determinado de problema en otro.

1. Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Más precisamente, si ´ x1,

x2 ∈ L 1 (R), y a, b ∈ R, entonces ax\1 + bx2(ξ) = axb1(ξ) + bxb2(ξ).

2. Traslación en el tiempo. Dado a ∈ R, se tiene que F[x(t − a)](ξ) = e −iaξF[x(t)](ξ) y F[e

iaξx(t)](ξ) = F[x(t)](ξ − a).

3. Cambios de escala. Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces F[xδ](ξ) = F[x](δξ) y

F[x(δt)](δξ) = F(x)δ(ξ).

Ejemplo 1

Consideremos la señal escalón:

Su transformada de Fourier es

Teorema 1:

Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue):

entonces .

Teorema 3:

Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable (i.e., R ∞

−∞ |x(t)|dt < ∞). Entonces xb(ξ) es continua en todo ξ ∈ R.

Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue):

Supongamos que tenemos una familia de funciones xh : R → C (h ∈ R), continuas a trozos tales

que existe una cierta funcion´ g verificando que

y

Si además sabemos que existe el límite puntual

entonces

Teorema 5:

Supongamos que x, y ∈ L 1 (R). Entonces

Teorema 6 (Teorema Integral de Fourier):

Supongamos que x(t) es continua a trozos, absolutamente integrable en R, en cada punto

admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos de discontinuidad está definida como

Entonces