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UNIVERSIDAD DE JAÉN Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación
Trabajo Fin de Grado
Análisis de la actividad matemática y su relación con los elementos del currículo
actual en torno al número y la numeración
Alumno: Alba María Rueda Arco Tutor: Prof. D. Manuel García Armenteros Dpto: Didáctica de las Ciencias
Junio, 2014
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ÍNDICE
1. Introducción y justificación…..……………..………………...............
Pág. 4
2. Desarrollo del trabajo.………………………….….…….………...
Pág. 6
2.1. Orientaciones curriculares………………………...…………
Pág. 6
2.2. Fundamentación teórica…………………………....………...
Pág. 8
2.3. Análisis matemático del texto escolar “Papelillos”…………
Pág.15
2.4. Cumplimiento del Currículo actual del manual escolar……...
Pág.26
2.5. Propuestas………………………………………….………...
Pág. 29
2 Conclusiones…………………………………………………………...
Pág. 34
3 Referencias bibliográficas……………………………………………..
Pág. 36
Anexos…………………………………………………………………….. Pág. 39
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RESUMEN
Las números siempre están presentes en la vida cotidiana, por ello es de vital
importancia proporcionar a los alumnos situaciones que favorezcan la construcción de
conocimientos matemáticos en Educación Infantil. El objetivo que me propongo con
este trabajo es mejorar el proceso de enseñanza- aprendizaje de los alumnos. De
manera que, establezco un análisis sobre el “Proyecto Papelillos de Educación Infantil
4 años” de la editorial Algaida con respecto al número y la numeración para entender
la modelización teórica que se trabaja y compruebo si cumple o no los requisitos del
currículo actual con respecto a los objetivos, contenidos y criterios de evaluación.
Finalmente incluyo varias propuestas basadas en el método constructivista por
adaptación al medio de Brousseau con el fin de emerger los conocimientos matemáticos
del alumno como solución a una situación-problema planteada.
Palabras claves: Matemáticas, constructivismo, Educación Infantil, Teoría de
Situaciones Didáctica, numeración, conteo, situaciones de aprendizaje por adaptación
al medio, situación-problema, currículo.
ABSTRACT
The numbers are always present in everyday life, so it is vital to provide students
with situations that favor the construction of mathematical knowledge in Early
Childhood Education. The objective I propose this work is to improve the teaching and
learning of students. So, establish an analysis of the textbook "Papelillos" 4 years
regarding the number and numbering to understand the theoretical modeling that works
and I check whether it meets the requirements of the requirements of the current
curriculum with respect to the objectives, contents and evaluation criteria. Finally I
include several proposals based on the constructive method by means of adaptation
Brousseau in order to emerge student mathematical knowledge as a solution to a
problem situation posed.
Keywords: Math, Constructivism, Child Education, Theory of Didactic Situations,
numbers, counting, learning situations by adapting to the environment, problem
situation, curriculum.
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1. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN
El trabajo está elaborado en base al tema “Análisis de la actividad matemática y su
relación con los elementos del currículum actual (objetivos, contenidos, criterios de
evaluación) en un texto de Educación Infantil (4-5 años) en torno al número y la
numeración estudiados en el Grado de Educación Infantil”.
Para la realización de este trabajo, en primer lugar elaboré una lluvia de ideas de lo
que podía ser la línea de mi estudio y a continuación la comenté con mi tutor. Con su
ayuda, consideramos que la mejor manera de abordar este tema, como bien refleja el
título elegido, sería hacer un análisis de la actividad matemática de los libros de
“Papelillos” a través de los ejercicios que proponen para niños de 4 años, y establecer
una relación con los elementos del currículo actual en torno a la enseñanza del número y
la numeración, de manera que ponga en práctica los conocimientos que he adquirido a
lo largo de mi formación en la Universidad. En definitiva, voy a llevar a cabo un
análisis de exploración, descripción y comparación de actividades y metodologías.
Desde mi punto de vista, es muy importante llevar a cabo un análisis de los libros
de texto en Eduación Infantil porque la mayoria de los maestros siguen los
procedimientos que se exponen en ellos y, por consiguiente, llevan a cabo procesos de
aprendizaje en el aula en función de los manuales. Estos se deberían de utilizar como
guía o soporte para la instrucción puesto que es un importante instrumento que recoge
objetivos, contenidos, metodología y actividades para el aprendizaje de contenidos, pero
no como único método para la enseñanza.
La idea clave y de la cual tenemos que partir para la enseñanza de las matemáticas
“es tener claro que lo que el niño necesita son oportunidades para aprender y descubrir
aspectos matemáticos de la realidad por sí mismo” (Alsina, Aymerich y Barbe, 2008,
p.15)1 con el fin de aprender a aprender. En realidad, en la mayoría de centros esto no
sucede. Muchos maestros afirman que se pierde mucho tiempo en hacer muchos
ejercicios vacíos de sentido con el único objetivo de entregarselos a los padres y que
ellos vean carpetas llenas de fichas y cuadernos repletos de números (Fernández,2007, p
11)2.
1 Alsina, C., Aymerich, C., Barbe, C. (2008). Una visión actualizada de la didáctica de la
matemática en Educación Infantil. UNO, 47, 15. 2 Fernández, J.A. (2007). Metodología didáctica para la enseñanza de la matemática:
variables facilitadoras del aprendizaje. En J.A. Fernández. Aprender
matemáticas, metodologías y modelos europeos (pp. 11). Madrid: Mec.
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Por lo tanto, el objetivo principal de este trabajo es mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje con respecto al número y la numeración, y minorar el fracaso
escolar que en los últimos años se ha desencadenado. Por otro lado, otros objetivos que
pretendo conseguir son los siguientes:
Determinar modelos teóricos y profundizar en el modelo constructivista de
Brousseau por adaptación al medio para la enseñanza del número y numeración
en Educación Infantil.
Analizar las actividades planteadas por el “Proyecto Papelillos de Educación
Infantil 4 años” de la editorial Algaida” con respecto al número y la
numeración.
Diseñar una propuesta didáctica a través de la cual se trabaje las matemáticas
mediante un modelo constructivista.
Para conseguir dichos propósitos, mi estudio lo he estructurado en 4 capítulos y 15
anexos. El primer capítulo aborda la introducción y justificación del estudio con los
objetivos que se quieren conseguir; el segundo capítulo corresponde con el desarrollo
del trabajo, a su vez se estructura en 5 subapartados: el primero corresponde con los
objetivos, contenidos y criterios de evaluación del currículo actual de Educación Infantil
en torno al número y la numeración; el segundo con la fundamentación teórica del
trabajo, donde se desarrollan los distintos modelos teóricos y se profundiza en el
constructivismo como el modelo más eficaz para el aprendizaje de las Matemáticas,
facilitando así, la comprensión y suministrando herramientas para el siguiente apartado
donde se establece un análisis didáctico de las actividades planteadas por la editorial
“Papelillos” para los niños de 4 años en Educación Infantil. En el cuarto apartado se
expone una reflexión acerca del grado de cumplimento que el manual escolar presenta
sobre el currículo actual y por último, en el quinto, se propone una propuesta para la
mejora del proceso de enseñanza-aprendizaje en Matemáticas. Para terminar, el capítulo
tercero corresponde con la conclusión del trabajo y el capítulo cuarto, con las
referencias bibliográficas utilizadas para la realización de este estudio.
2. DESARROLLO DEL TRABAJO
2.1 ORIENTACIONES CURRICULARES
En la actualidad, el fracaso escolar en el área de Matemáticas ha llegado a alcanzar
cotas tan inadmisibles que suponen un gran reto para las docentes de Educación infantil
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dar respuesta a estos problemas. También las reformas educativas están tratando de
responder a los anteriores problemas y a las exigencias por los cambios en las
necesidades de la sociedad, lo cual han producido una gran transformación de las
Matemáticas escolares en cuanto a cambios curriculares.
El currículo3 en la Educación Matemática detalla no solamente los objetivos que
deben alcanzar los alumnos y las Matemáticas que necesitan conocer, sino también qué
deben hacer los profesores para conseguir que sus alumnos desarrollen el conocimiento
matemático y el contexto en el que se debe desarrollar el procesos de enseñanza-
aprendizaje.
En el momento actual, la Educación Infantil tiene como marco de referencia la Ley
Orgánica de Educación 2/2006, que establece en su Capítulo 1, artículo 13, los objetivos
generales para esta etapa educativa.
g) Iniciarse en las habilidades lógico-matemáticas, en la lecto-escritura y en el
movimiento, el gesto y el ritmo (p.17167).
Para conseguir estos objetivos, el Real Decreto 1630/2006, por el que se establecen
las enseñanzas mínimas del Segundo Ciclo de Educación Infantil, concreta en su
artículo 6 las áreas (p.475), insertando la expresión matemática dentro del área de
conocimiento del entorno.
El objetivo general desarrollado para alcanzar las habilidades numéricas básicas es:
Iniciarse en las habilidades matemáticas, manipulando funcionalmente elementos y
colecciones. Identificando sus atributos y cualidades, y estableciendo relaciones de
agrupamientos, clasificación, orden y cuantificación (Real Decreto 1630/2006, p. 479).
Los contenidos que impregnan el aula de Educación Infantil con respecto al número
y numeración, se desarrollan en el bloque 1 que corresponde con el Medio físico de los
elementos, relaciones y medida (MEC, 2007, p.1024) y son los siguientes:
1. Identificación de cualidades y sus grados. Ordenación gradual de elementos.
Uso contextualizado de los primeros números ordinales.
2. Cuantificación no numérica de colecciones (muchos, pocos). Comparación
cuantitativa entre colecciones de objetos. Relaciones de igualdad y de desigualdad
(igual que, más que, menos que).
3 Instrumento que permite a cada profesional de la educación desarrollar y revisar su propia actividad
desde un marco de referencia actualizado y científico, a la vez que contribuye eficazmente a la innovación
educativa.
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3. Estimación cuantitativa exacta de colecciones y uso de números cardinales
referidos a cantidades manejables. Utilización oral de la serie numérica para contar.
Observación y toma de conciencia del valor funcional de los números y de su utilidad
en la vida cotidiana.
En el área Lenguaje se dice:“Así cuando se aborde, por ejemplo, el conocimiento
de objetos y materias que se refleja en el área de Conocimiento del entorno, se
trabajará al propio tiempo el lenguaje matemático que se refiere a la representación de
aquellas propiedades y relaciones entre objetos(…)”(MEC, 2007, p. 1027).
Los anteriores objetivos y contenidos se concretan también en la Orden del 5 de
Agosto de 2008 por la que se establece el Currículum correspondiente a la Educación
Infantil en Andalucía. De manera que se presentan los siguientes objetivos generales
relacionados con las Matemáticas:
e) Comprender y representar algunas nociones y relaciones lógicas y matemáticas
referidas a situaciones de la vida cotidiana, acercándose a estrategias de resolución de
problemas (p.22).
f) Representar aspectos de la realidad vivida o imaginada de forma cada vez más
personal y ajustada a los distintos contextos y situaciones, desarrollando competencias
comunicativas en diferentes lenguajes y formas de expresión (p.22).
Por otro lado, en relación con el área del Conocimiento del entorno4 y atendiendo al
número y la numeración, la intervención educativa tendrá como objetivos (Orden 5 de
Agosto 2008, p.30):
1. Interesarse por el medio físico, observar, manipular, indagar y actuar sobre
objetos y elementos presentes en él, explorando sus características, comportamiento
físico y funcionamiento, constatando el efecto de sus acciones sobre los objetos y
anticipándose a las consecuencias que de ellas se derivan.
2. Desarrollar habilidades matemáticas y generar conocimientos derivados de la
coordinación de sus acciones: relacionar, ordenar, cuantificar y clasificar elementos y
colecciones en base a sus atributos y cualidades. Reflexionar sobre estas relaciones,
observar su uso funcional en nuestro medio, verbalizarlas y representarlas mediante la
utilización de códigos matemáticos, convencionales o no convencionales, así como ir
comprendiendo los usos numéricos sociales.
4 Entendido como una realidad donde se integran, de manera sistemática, las dimensiones física, natural,
social y cultural, que componen el medio en el que vivimos.
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Por último, en los criterios de evaluación según la Orden del 5 de Agosto se incide
en la necesidad de evaluar si los niños han desarrollado la capacidad de “agrupar,
clasificar y ordenar elementos y colecciones según sus semejanzas y diferencias,
discriminar y comparar algunas magnitudes y cuantificar colecciones mediante el uso
de la serie numérica” (p.53).
También según la Orden ECI 3960/2007, se valora si los niños han construido un
aprendizaje funcional del número permitiéndoles resolver problemas matemáticos de la
vida cotidiana donde es necesario utilizar los números ordinales y cardinales:“(…)
también se observará la capacidad desarrollada para resolver sencillos problemas
matemáticos de su vida cotidiana. Se valorará si el niño observa y puede verbalizar
algunos de los usos y funciones que los números cardinales y ordinales cumplen en
nuestra cultura así como si los utiliza funcionalmente en sus juegos y en situaciones
propias de la vida cotidiana.” (p. 1025).
2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Para conseguir el objetivo que pretendo con este trabajo es necesario aproximarnos
a modelos teóricos que nos facilite la comprensión de las Matemáticas y nos llene de
herramientas esenciales para el análisis didáctico, de tal manera, que nos permitan
identificar y explicar si cumplen o no los manuales escolares las exigencias del
currículo.
Estos modelos teóricos tienen la función de mostrarnos una variedad de principios
que explican el aprendizaje matemático y son los siguientes:
--Empirismo: esta concepción entiende al alumno como un individuo incapaz de
crear sus propios conocimientos. Este se limita a registrar el discurso del maestro, donde
el niño solo aprende lo que se explica en clase y nada sobre aquello que no se explica.
“Llamamos empirismo epistemológico a la doctrina según la cual todo conocimiento
proviene de la experiencia externa o interna experiencia concebida , como una lectura
o un registro de propiedades totalmente organizadas ,bien sea en los objetos ,bien en el
sujeto”(Piaget,1967,p.37).
Desde este enfoque, el error en el alumno se considera fracaso, es decir, falta de
éxito en su tarea. Por lo tanto, si el profesor es el transmisor de conocimientos, se puede
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definir que la causa del error en los alumnos es producida por el docente, y por ello, se
intenta que el alumno no cometa dichos fallos (Margolinas, 1993, p.179)5.
--Constructivismo: concepción que tiene al alumno como propio protagonista en la
construcción de sus conocimientos. Según Chamorro6 esta teoría está apoyada por 4
hipótesis:
La primera hipótesis se apoya en la acción, término en matemáticas que se
refiere a anticipar la acción concreta, es decir, a construir un conocimiento
matemático como la solución que nos permitirá dispensar de la manipulación de
objetos reales.
La segunda hipótesis se apoya en el desequilibrio y equilibrio. Esto refleja que el
alumno es necesario que pase por estos estados para la adquisición e integración
del conocimiento. El error desencadena desequilibrios en los alumnos que
invalidan las estrategias de base y crea la necesidad de producir lo que Piaget ha
denominado acomodación, que supone, básicamente, una modificación en el
sujeto causada por el medio y la necesidad también de producir asimilaciones
para dar respuesta a las perturbaciones que modifican su medio. (Chamorro,
1991, p.58)7.
La tercera hipótesis se centra en contra de los conocimientos anteriores, es decir,
que los conocimientos nuevos del alumno se construyen a partir de unos
conocimientos anteriores a través de adaptaciones y restructuraciones de los
mismos. Se trata de una idea que es tomada por Brousseau para explicar la
formación de obstáculos: “La utilización y la destrucción de los conocimientos
precedentes forman parte de acto de aprender”(Brousseau, 1998,p.120)8
La cuarta hipótesis se basa en la concepción de que los conflictos cognitivos
entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de
conocimientos. Según Blaye9 (1994) los conflictos permiten a los alumnos tomar
conciencia de que existen otras respuestas diferentes a las suyas, permiten la
necesidad de llevar regulaciones sociales para llegar a un consenso y finalmente
5 Margolinas,C. (1993). De l’ importance du vrai et de faux dans la clase de mathématiques, (pp. 179).
Grenoble: La Pensée. 6 Chamorro, C. (2008). Didáctica de las matemáticas, p.11-28. Madrid: Pearson. Prentice-Hall
7 Chamorro,C (1991). El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Madrid:Alhambra-Logman.
8 Brousseau,G. (1998). La Théorie des Situations Didáctiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.
9 Blaye,A (1994). Interacctions socials et constructions cognitive, En N. Bernanz. y C. ,Garnier,
Construction des saviors, (pp.183-195). Quebec:CIRADE
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permiten llamar la atención del sujeto puesto que la respuesta diferente de los
otros también es portadora de información.
Una vez que conocemos los diferentes modelos teóricos, es importante destacar que
el análisis de mi trabajo y de mi propuesta para la mejora del aprendizaje deshecha el
campo del empirismo surgiendo la necesidad por ello, de investigar en profundidad una
teoría didáctica que permita plantear actividades desde un enfoque determinado.
Brousseau (1998) establece un modelo constructivista donde entiende el aprendizaje
matemático por adaptación al medio:
El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de
contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo
hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del
alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del
aprendizaje (Brousseau, 1998, p.59)10
.
Por lo tanto, para que un conocimiento sea producido por el alumno es necesario
que el maestro busque o cree situaciones matemáticas que les permitan vivirlas y
generarles conocimientos significativos a ellos. “El aprendizaje se considera como una
modificación del conocimiento que el alumno debe de producir por sí mismo y que el
maestro sólo debe provocar” (Brousseau, 1994, p.66)11
.
Es imprescindible que les permitan dar una respuesta inicial en la que pongan en
funcionamiento sus estrategias de base con ayuda de sus conocimientos anteriores y que
no sean las que queremos enseñarles, es decir, que resulten ineficaces para que los
alumnos se vean obligados a producir acomodaciones como respuestas a las exigencias
del medio (situación-problema) y no al deseo del profesor porque si no, no se trataría de
una situación de aprendizaje sino de una situación en la que los alumnos aplican sus
conocimientos (Chamorro, 2005, p27-28)12
.
Brousseau (1998)13
, tras el reconocimiento de la necesidad de estas situaciones dio
lugar al concepto de situación a-didáctica: es aquella en la que el alumno construye su
conocimiento de manera autónoma resolviendo un problema.
“Para la TSD un conocimiento matemático está definido por las situaciones que lo
determinan, esto es, por un conjunto de situaciones para las que dicho conocimientos es
10
Brousseau, G. (1998) Ibidem 11
Brousseau. G. (1994). Los diferentes roles del maestro. En C. Parra y I. Saiz (Eds.), Didáctica de las
matemáticas. (pp.66). Buenos Aires: Paidos. 12
Chamorro, C. (2005) Ibidem. 13
Brousseau, G. (1998) Ibidem.
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idóneo porque proporciona la solución óptima en el contexto de una institución”
(Gascón, 2011, p.29)14
.
La teoría distingue cuatro tipos de situaciones a-didácticas:
Situaciones de acción: son las que proponen un problema al alumno que debe de
resolverlo actuando sobre un medio a la vez que la misma situación le devuelve
información sobre las consecuencias de su acción permitiéndole modificar al
alumno su estrategia de base para obtener las solución correcta como el
conocimiento a aprender.
Situaciones de formulación: son las que proponen al alumno, o al grupo de
alumnos, formular explícitamente un mensaje tanto oral como escrito, destinado
a otro alumno, o grupo de alumnos, intercambiando sus informaciones y
comprendiendo el mensaje para, posteriormente actuar sobre un medio, en base
al conocimiento contenido en el mensaje.
Situaciones de validación: son las que proponen al alumno, o al grupo de
alumnos, demostrar que la estrategia que han creado para resolver un problema
es válida, convenciendo al otro sobre ello, de manera que, las afirmaciones
enunciadas son sometidas a la consideración de otro grupo, que debe tener la
capacidad de aceptarlas, rechazarlas y probar su exactitud justificado su acuerdo
o desacuerdo.
Situaciones de institucionalización: son aquellas que dotan de un doble
reconocimiento social tanto al conocimiento que el alumno construye como al
maestro que reconoce como oficial el aprendizaje del alumno, es decir, consiste
en dar un estatuto cultural a las producciones de los alumnos, siendo
responsabilidad del maestro que esto ocurra.
Una vez que sabemos que el docente tiene que diseñar situaciones problemáticas es
importante que para llevar a cabo esta responsabilidad se delimite exactamente el
significado del número y numeración, y se conozcan cuáles son las funciones de estos.
Finalmente también es necesario resaltar las estrategias que pueden ser utilizadas por el
alumno para revolver dichas situaciones.
14
Gascón, J. (2011). ¿Qué problema plantea el enfoque por competencias?: Un análisis desde la
teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en didáctique des mathématiques, 31(1), 29.
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12
El número constituye un conocimiento matemático muy abstracto que se refleja a lo
largo de nuestra vida en todos los ámbitos y como consecuencia, estamos habituados a
trabajar con ellos con gran facilidad y, según Chamorro (2006, p.143)15
, es de una
enorme complejidad, por lo que no podemos esperar que los niños lo construyan sin
ayuda. Se trata de un proceso lento y progresivo que choca con la creencia social de que
todo se reduce a saber recitar de memoria la serie de los números en orden.
El número y numeración aunque son objetos bien distintos cada uno está ligado al
otro, es decir, en Educación Infantil no se pueden aprender de manera independiente.
Estudios de Epistemología y de Didáctica de las Matemáticas de El Bouazzaoui16
(1985), o Quevedo17
(1986), dirigidos por Brousseau, exponen que las relaciones entre
números y numeración son dialécticas. La numeración nos permite hablar de los
números y representarlos, es decir, designar (enunciar y escribir) los números. En un
sentido genérico, la codificación del número (oral o escrita).
Los niños, al principio, adquieren los conocimiento numéricos relacionados con la
designaciones orales y escritas (numeración) y posteriormente su significado (número).
De manera que, para diseñar el proceso de enseñanza tenemos que determinar cómo
docentes, una serie de situaciones que permitan a los niños encontrar “razones de ser”
del número y la numeración, es decir, situaciones que permitan al alumno comprender
qué función tiene la numeración a la vez que se construye el conocimiento del número.
Las funciones esenciales del número y la numeración en Educación Infantil son las
siguientes:
Medir una colección: asignar un número natural a una colección.
Producir una colección: dado un número natural, construir una colección cuyo
cardinal sea dicho número anterior.
Ordenar una colección: asignar y localizar la posición de los elementos de una
colección por medio de los ordinales (primero, segundo, tercero…)
Las estrategias o procedimientos que los alumnos ponen en acción para la solución
de problemas son los siguientes (Chamorro, 2005, p.197-200)18
:
15
Chamorro, C (2006). La construcción del número natural. En Chamorro, Ruiz-Higueras, Belmonte y
Vecino (Eds.), Didáctica de las Matemáticas en Educación Infantil (pp. 143). Madrid: Pesaron-Prenyiice-
Hall. 16
El Bouzzaoui, H. (1985). Étude de situations scolaires des premiers enseignements des nombres et de
la numeration. Thèse. Université de Bordeaux. 17
Quevedo de Villegas, B. (1986).Les situatios et le processus dans lápprentissage des nombres. D.E.A.
Université de Boudeaux. 18
Chamorro, C. (2005) Ibidem.
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I. Correspondencia término a término: consiste en ir asociando un elemento de una
colección con un signo u objeto de otra colección y viceversa, de manera que,
cada objeto de la primera colección tenga asociado un elemento de la segunda
colección y viceversa..
II. La correspondencia grupo a grupo: se utiliza cuando el tamaño de las
colecciones aumenta, en vez de establecer correspondencias uno a uno como la
técnica anterior, toma varios elementos de la colección.
III. La estimación puramente visual: consiste en comparar una colección con otra
presente o no. Este procedimiento es poco fiable.
IV. “Subitizar”: consiste en determinar rápidamente el número de elementos de una
colección con un simple golpe de vista (utilizada para colecciones pequeñas).
V. “Conteo”: es una técnica que para llevarla a cabo es necesario descomponerla en
un sistema de subtécnicas:
C1: Distinguir dos elementos diferentes de un conjunto dado.
C2: Reconocer la pertenencia o no de todos los elementos a la colección.
C3: Elegir un primer elemento de la colección.
C4: Enunciar la primera palabra-número.
C5: Poder conservar la memoria de esa colección.
C6: Poder determinar el subconjunto de elementos no elegidos.
C7: Determinar un sucesor para cada elemento elegido en el conjunto de
elementos no elegidos aún.
C8: Atribuir una palabra-número (la siguiente de la anterior en la serie de
palabras número) al sucesor.
C9: Saber que se ha elegido el último elemento.
C10: Enunciar la palabra-número de la serie numérica.
C11: Saber cuándo se ha terminado la tarea.
El procedimiento de contar implica asignar correctamente a cada objeto de la
colección el nombre de un término de la secuencia numérica, el conocimiento de la serie
de los números y saber enumerar los elementos de una colección.
“Enumerar una colección” corresponde con las subtécnicas marcadas anteriormente
en cursiva, es decir, consiste en pasar revista una y solo una vez a cada elemento de la
misma, saber recorrer la colección de manera controlada y ordenada. (Ruiz-Higueras,
2005).
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En algunos casos, se pueden observar cómo los niños saben correctamente las
palabras-números de la serie numérica pero luego no saben determinar cuál es el
siguiente elemento o no conservan la memoria de los elementos elegidos. Esto es algo
que no está muy reconocido, incluso es un aspecto que no figura explícitamente en el
currículo de Educación Infantil:
En el medio escolar la actividad de enumeración está enteramente
bajo la responsabilidad del alumno. La enumeración de colecciones no
está incluida en los contenidos de los programas escolares ni es
señalada como necesaria por los profesores, de tal manera que
podemos afirmar que constituye un “punto ciego “en el panorama
escolar, ya que no existe explícitamente como objeto de enseñanza.
Sin embargo, como se ha puesto de manifiesto en las investigaciones
anteriores, las actividades de enumeración deben ser objeto de
enseñanza desde la Educación Infantil, antecediendo a las actividades
de tipo numérico (Ruiz-Higueras, 2005, p. 137-138)19
.
VI. Recontar: consiste en la determinación del cardinal de una colección final como
resultado al añadirse otra colección, contando todos los elementos desde el
principio.
VII. Descontar: contar hacia atrás a partir de un número dado.
VIII. Sobrecontar: se produce cuando juntamos dos colecciones. Esta estrategia
consiste en saber enunciar la serie de los números a partir del número de
elementos que constituye la primera colección.
IX. Procedimientos mixtos: consisten en hacer paquetes o agrupamientos no
necesariamente equipotentes y utilizar expresiones de tipo aditivo, bien orales u
escritas, para comunicarlos. Se suele utilizar cuando la colección es demasiado
grande. Así, para una colección de 14 elementos, los niños tendrían que decir
que hay 5+5+3+2, por ejemplo.
X. Procedimiento de cálculo: utiliza algunos conocimientos numéricos que han sido
anteriormente memorizados o algunas estrategias de cálculo como las
descomposiciones, transformaciones, etc. Ejemplo: 5+7= (5+5)+2=10+2=12.
19
Ruiz-Higueras, L. (2005). La construcción de los primeros conocimientos numéricos. En Chamorro,
M.C. (Ed.).Didáctica de las matemáticas para Educación Infantil. (pp. 137- 138). Madrid: Pearson
Educación.
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2.3. ANÁLISIS MATEMÁTICO DEL TEXTOS ESCOLAR “PAPELILLOS”
El análisis consiste en la desintegración y descomposición de las actividades
planteadas por “Papelillos” para estudiar exhaustivamente cada uno de sus elementos y
características, así como las relaciones entre sí y entre los principios del enfoque
constructivista de Brousseau estableciendo las diferencias, semejanzas, ventajas e
inconvenientes de cada uno de ellos y finalmente reflexionando sobre el mejor proceso
de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas.
Antes de comenzar, establezco un breve análisis de comparación entre una actividad
de ampliación planteada por el manual de Papelillos y una propuesta elaborada por mí
con el propósito de que se observen claramente las dos concepciones metodológicas
que se pueden utilizar para trabajar las matemáticas en Educación Infantil: en la primera
los alumnos aplican los conocimientos correctamente que la profesora previamente les
ha dado y, en otra, la maestra no menciona el saber y considera que el alumno es capaz
de construir con sentido y funcionalidad un determinado conocimiento matemático
enfrentándose a una situación.
Tomando una ficha de ampliación del manual de “Papelillos” (anexo 1) para los
alumnos de 4 años que están iniciando su relación escolar con el número natural
podemos observar que se le pide al alumno que asigne, a cada una de las colecciones
presentadas, su medida correspondiente con el número de objetos que presenta.
En este ejercicio, la maestra va a mostrar a los niños, ostensivamente que hay una
serie de objetos en la ficha que se pueden contar y que según los elementos que
contenga la colección se les unirá un número u otro. Les dirá “¿Cuántas palas hay aquí?
Contemos todos juntos, 1,2 y 3. ¿Y cuál será el número tres? Entonces nosotros
tenemos que unir este número con las palas, de manera que los alumnos solo pondrán en
práctica lo que se les ha introducido previamente, es decir, aplicarán los cocimientos
que la profesora les ha transmitido, tendrán que contar los elementos de cada colección
y la última palabra–número pronunciada considerarla como su cardinal. Posteriormente,
determinar cuál es el signo de la palabra-número pronunciada y unirla adecuadamente
con las colecciones. Este ejercicio no es hacer matemáticas. Según Guy Brousseau20
“hacer Matemáticas no es manejar un sistema conceptual, lógicamente consistente y
20
Guy Brousseau ha recibido el primer premio internacional Felix Klein por la calidad de sus aportaciones
científicas al ámbito de la Didáctica de las Matemáticas. Brousseau, G. (1998) La Théorie des Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.
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productor de demostraciones”. “Hacer Matemáticas es llevar a cabo una actividad que
se realiza en una situación concreta, viva y contra un medio (situación-problema)”.
“Saber Matemáticas es resolver problemas, que en un sentido amplio incluye tanto
encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones” (Brousseau, 1998)21
.
En esta tarea, al alumno no se le plantea una situación-problema que tenga que
resolver interaccionando con el medio donde formule enunciados y compruebe
proposiciones para su solución óptima, así como tampoco se le ofrece la oportunidad de
intercambiar ideas con sus compañeros para construir los conocimientos matemáticos.
Por otro lado, este ejercicio no produce una “retroacción”, es decir, no permite al
alumno evaluar por sí mismo si ha llevado a cabo la tarea correctamente. No es la
situación quien le responde, si no que es la profesora la que le va a decir al alumno si su
actividad tiene algún error.
Este ejercicio se puede utilizar para determinar en un momento concreto si el
alumno ha adquirido la escritura correcta de los números, pero no para construir en el
alumno el conocimiento de número.
Propuesta: Se le plantea al alumno guardar n mariquitas en n cajas de colores
diferentes, de manera que en cada caja de un color solo haya un objeto. El alumno
tendrá que ir fuera de la clase y ver cuántas cajas tiene y posteriormente ir al aula y
pedirle a la maestra tantas mariquitas como cajas tenga.
Si analizamos la actividad anterior con la propuesta determinada, podemos observar
que:
En la propuesta no se necesita la aprobación del adulto para saber si el alumno
ha resulto la actividad correctamente o no. La situación devuelve al niño las
consecuencias de su acción.
El mismo sujeto puede constatar sus errores y modificar sus estrategias, es decir,
la situación le informa sobre la validez o no de su procedimiento.
A diferencia de la ficha escolar, el concepto de número que el niño adquiere
tiene un carácter funcional, porque resuelve un problema planteado dentro de
una situación cotidiana, dándole sentido a la utilización del número.
La propuesta está basada en una situación de comunicación oral, algo que es
indispensable en el momento del aprendizaje del número, al contrario que lo que
21
Brousseau, G. (1998) Ibidem.
Trabajo final de Grado
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17
sucede en la ficha escolar, donde el niño no tiene la posibilidad de crear
enunciados y probar proposiciones.
En esta actividad, el alumno puede utilizar varios procedimientos para desarrollarla:
o Puede tomar una mariquita e ir a meterla en una caja, luego, volver, tomar otra
mariquita y meterla en otra, y así sucesivamente.
o Puede tomar muchas mariquitas de una vez y llevarlas a las cajas y así
asegurarse que tiene para todas.
o Prevé las mariquitas que necesita, es decir, piensa “necesito una para esta caja,
otra para esta, otra para esta”, y posteriormente las juntas todas y las lleva fuera
del aula.
Estos procedimientos vienen determinados por unas variables didácticas. El docente
puede gestionar las variables didácticas22
para provocar cambios cualitativos en los
procedimientos del alumno, es decir, provocar adaptaciones y nuevos aprendizajes. Si
deseamos que aparezcan estrategias más potentes que las marcadas anteriormente es
necesario modificar la situación, de manera que la estrategia de base empleada en el
primer procedimiento (correspondencia término a término) fracase.
En este caso, se distinguen las siguientes variables:
- V1: Color de las cajas.
- V2: Campo numérico (tamaño de la colección).
- V3: Objetos de la colección (manipulables, fijos, representados…).
- V4: Lugar donde se encuentran las colecciones: Visibles o próximas para el
niño.
- V5: Disposición espacial de las colecciones (agrupados, alineados, en
desorden…)
- V6: Tamaño del espacio donde se lleve a cabo la actividad: microespacio,
mesoespacio.
- V7: El número de veces que puede ir de una colección a otra para su producción.
- V8: Tipo de pedido formulado, oral o escrito
Por ejemplo, si el docente quiere modificar las estrategias que pone en práctica el
alumno en este ejercicio, en vez de que el niño pudiese ir a ver las diferentes
colecciones tantas veces como se necesite, gestiona la V7 diciendo que el niño en tan
22
Conjunto de variables de una situación que, modificadas por el maestro, provocan diferentes cambios
en las estrategias de aprendizaje del alumno.
Trabajo final de Grado
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18
solo una vez tiene que coger tantas mariquitas como cajas tenga y como consecuencia,
el primer procedimiento del alumno nombrado y desarrollado anteriormente, le llevaría
al fracaso. De esta manera se vería obligado a buscar otro método que le permitiese
ganar a la primera. Entonces puede utilizar estrategias como copiar la configuración
espacial de las cajas y tratar de reproducirlas con las mariquitas como si se tratara de un
dibujo. Si esto se lleva a cabo así, el profesor tiene que gestionar la V6 y colocar las
cajas de manera difícilmente copiable y así sucesivamente. El objetivo es que emplee la
estrategia ganadora y será cualquiera que pase inevitablemente por el conteo, por el uso
del número o por el reconocimiento de que el número permite memorizar una cantidad
en ausencia de la otra que corresponde con el conocimiento que se quiere que el niño
construya.
Por lo tanto, una vez que conocemos un poco la materia y hemos podido observar la
diferencia entre las dos concepciones, continúo analizando e interpretando el material
escolar que nos ofrece “Papelillos”. Debido a la necesidad de simplificar el trabajo y
facilitar el análisis más profundo, voy a agrupar las fichas de número y numeración que
contienen las ocho unidades formales del manual escolar en función de los conceptos
matemáticos semejantes que trabajan y, una vez clasificadas en anexos, analizo el
conjunto de ejercicios según los siguientes criterios: acciones que se esperan de los
alumnos, conocimientos matemáticos que ponen en funcionamiento, dificultades que
plantean a la hora de resolver la tarea y competencias que se desarrollan.
Anexo 2:
Conceptos que se trabajan: En esta ficha se trabaja los guarismos de los números
1, 2,3, es decir, la escritura de grafías de cardinales. La maestra va a indicar a los niños
en la pizarra la direccionalidad para saber escribir el cardinal y le va a decir: “cuando
tengo un objeto se escribe así”.
Acciones que se esperan de los alumnos: Con estas fichas, las acciones que
esperamos de los alumnos son que representen, identifiquen y repasen la grafía
correctamente y finalmente que coloreen lo que nos indica el ejercicio.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Identificación de la grafía de los números.
Repaso del numeral.
Copiado “caligráfico” de las igualdades expresadas en la ficha.
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19
-Anexo 3:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas se trabaja los guarismos de los
números 1, 2, 3, 4 sin ninguna funcionalidad, puesto que el alumno solo establece
igualdades entre las grafías de los números e identifica cuál es el correcto número para
poder colorearlo.
La maestra va a indicar a los niños en la pizarra: “El número 1 se colorea de este
color, el número 2 de marrón, a ver todos señalando el número 1 con el dedo, ese y
todos lo que sean iguales lo tendréis que colorear de amarillo y , así, con el resto de los
números. Cada número con el color que corresponde”.
Acciones que se esperan de los alumnos: Las acciones que esperamos de los
alumnos son que identifiquen la grafía correctamente estableciendo igualdades entre las
escrituras de los números.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Identificación “caligráfica” de las igualdades expresadas en la ficha.
-Anexo 4:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas se trabaja el conteo de un conjunto de
elementos y su grafía. El niño tiene que contar los elementos que aparecen en la ficha
siguiendo en cada una un criterio no matemático y después repasar los numerales que se
encuentran debajo de la colección de elementos.
Desde mi punto de vista, considero que el objetivo que se pretendía con estas fichas
es que el alumno trabajase la cardinación de colecciones, es decir, a partir de un
conjunto de elementos determinar su cardinal y designarlo mediante la forma escrita.
Esta tarea no cumple el objetivo porque el niño no es quien lo designa, sino que ya
viene designado por rayitas y el alumno solo tiene que repasarlas. Se trata de una tarea
sin ninguna funcionalidad en la que el niño va a contar los elementos primero y luego
va a repasar los números sin asociar, incluso la colección con el cardinal
correspondiente.
La maestra va a indicar a los niños: “Tenéis que contar cuántos elemento hay”
“Entre todos vamos a contar, 1, 2, 3,4…” “Hay 6 elementos, ahora cada uno los repasa
en sus cuadernos”.
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20
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que cuenten los elementos, repasen la grafía del cardinal
de la colección presentada y coloreen lo necesario.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
Repaso “caligráfico” de las igualdades expresadas en la ficha.
Subitización.
-Anexo 5:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas se trabajan la comparación de
colecciones de objetos según el criterio de cantidad y la escritura de los numerales, es
decir, el niño, según una medida, comparará dos colecciones para ver si tienen los
mismos elementos o tienen más y unirá cada colección con su equipotente.
La maestra va a indicar a los niños en la pizarra “Mirad, así se escribe el número 3”
“Vamos a contar si hay 3 objetos aquí”. “1, 2, 3” “¿Cuántos objetos hay?”
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que unan correctamente una colección con su
equipotente.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Correspondencia término a término entre una colección y otra, en estos casos,
entre los lápices y los puntos, entre las personas y los asientos.
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
Repaso de los numerales.
Sutbitización
-Anexo 6:
Conceptos que se trabajan: En esta ficha, además de repasar el numeral 6, se
trabaja la reproducción de una cantidad, es decir, la construcción de una colección
coordinable a otra dada, en presencia de esta última.
La maestra va a indicar a los niños “Mirad, ¿cuántas patas tiene el cangrejo? Vamos
a contarlas, 1, 2, 3, 4, 5,6. Tienes que dibujarles las patas a los demás cangrejos para que
todos tengan las mismas.
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21
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos por los alumnos son que dibujen las patas y que repasen la escritura del
numeral.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Correspondencia término a término entre las patas del modelo y los demás
cangrejos.
Conteo de la colección de patas dibujadas en la ficha.
Repaso de los numerales.
Sutbitización
-Anexo 7:
Conceptos que se trabajan: En esta ficha además de la escritura de los numerales,
se trabaja la aplicación de las nociones cuantitativas en una colección de elementos, es
decir, asociar a una colección un adhesivo con el número natural que representa su
medida.
Acciones que se esperan de los alumnos: Con estas fichas, las acciones que
esperamos de los alumnos son que cuenten los elementos de la colección de objetos
presentados en la ficha y peguen en el lugar adecuado el adhesivo con el número
natural.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
Asociación de un número natural con una colección.
Repaso de numerales.
-Anexo 8:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas se trabajan las producciones de
determinadas colecciones a partir de unas medidas en concreto, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aunque
el objetivo sea el anterior, el alumno no llega a trabajar esto, es decir, este formato le
ofrece al niño un conjunto de elementos y él tiene que contar tantos como sean
necesarios para que dicho conjunto represente al cardinal expuesto y agruparlos,
colorearlos o rodearlos. No es el niño el que se encarga de producir los elementos que
corresponden a la medida, sino que ya vienen dibujados y, por lo tanto, el alumno solo
Trabajo final de Grado
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22
tiene que rodearlos, o como es el caso del número 2, pegarle la pegatina del zapato
correspondiente para formar un par.
También se “trabaja” los números ordinales. En la ficha se nos ofrece una
presentación ostensiva23
del significado de estos números con el “º” y la posición que
ocupa dicho número en una lista.
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que cuenten los objetos que hay recitando la serie
numérica hasta llegar a pronunciar el número que anteriormente ha dicho la Seño en la
explicación de la actividad. Establecerán una correspondencia término a término entre
los objetos y la serie numérica, es decir, les asignarán a cada objeto la expresión oral
que le corresponde con la serie numérica a medida que los van rodeando. Se espera que
los alumnos coloreen los elementos que representan una medida o los rodeen y
posteriormente repasen la grafía correspondiente al número de elementos que se
determina.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Correspondencia término a término entre la pronunciación de los números de la
serie numérica y un dibujo de la ficha.
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
Copiado “caligráfico” de las igualdades expresadas en la ficha.
Sutbitización
-Anexo 9:
Conceptos que se trabajan: En esta ficha se trabaja la descomposición. Se le
presenta al alumno una colección de elementos y se le pide que haga un reparto de esa
colección entre dos subcolecciones.
La maestra va a indicar a los niños en la pizarra “Mirad, ¿cuántos globos hay?
¿Cuántos le tenemos que dar a cada uno?
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que cuenten los globos que hay, que los piquen
correctamente y los peguen en los puntos señalados y, posteriormente, se espera que los
alumnos las coloreen.
23
“La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones
matemáticas” (Brousseau, 1994, p.122)
Trabajo final de Grado
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23
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Correspondencia término a término entre los puntos señalados y los globos que
tiene que pegar.
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
-Anexo 10:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas principalmente se trabaja la
cardinación de colecciones y su designación escrita. También nos pueden presentar
como segundo ejercicio el repaso de numerales y el orden de los numerales en la serie
numérica.
La maestra en este ejercicio va a indicar a los niños lo siguiente “¿Cuántos abejitas
tenemos aquí? Vamos a contar todos juntos: uno, dos, tres, cuatro y cinco. Tenemos 5.
Esto lo vamos a escribir así en el hueco”.
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que cuenten los elementos que forman la colección y que
escriban el cardinal en el hueco que le corresponda.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
Establecerán una correspondencia término a término entre los objetos y los
números de la serie numérica.
Cardinación de colecciones.
Escritura de los númerales en lo “huecos” que aparecen en la ficha.
Repaso de numerales y orden de los numerales en la serie numérica (no en todas
las fichas).
-Anexo 11:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas se trabajan el algoritmo de la suma así
como la descomposición y composición de los primeros números y la escritura de ellos.
La maestra va a indicar a los niños en la pizarra “Tres más uno, es igual a cuatro,
¿lo veis? Contad: 1, 2 y 3. Ahora, esto que hemos hecho lo vamos a escribir así: 3+1=4”
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que cuenten los elementos de una colección
Trabajo final de Grado
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24
correctamente, que escriban el cardinal adecuado que representa la medida de una
colección, que coloreen algún dibujo y que repasen bien la grafía de los números.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Conteo de las colecciones de objetos dibujados en las fichas.
Cardinación de colecciones.
Escritura de los numerales en lo “huecos” que aparecen en la ficha.
Repaso de los numerales.
Copiado “caligráfico” de las igualdades expresadas en la ficha.
-Anexo 12:
Conceptos que se trabajan: En estas fichas se trabajan los números ordinales. En
las fichas se presentan algunos ordinales en línea. La maestra le dará unas pegatinas con
los ordinales que faltan y los niños tendrán que colocarlas en su lugar correcto
atendiendo a un orden.
Acciones que se esperan de los alumnos: Con este ejercicio, las acciones que
esperamos de los alumnos son que peguen la pegatina del ordinal en su lugar correcto y
que establezca relaciones de equipotencia entre la serie formada y los números
ordinales.
Conocimientos matemáticos que pone en funcionamiento
Correspondencia término a término entre el número ordinal y el objeto que se
encuentra en línea.
Localización de las pegatinas dentro de un orden.
En estos ejercicios las dificultades que se plantean son prácticamente mínimas
debido a que la maestra les presenta previamente los conocimientos a los alumnos para
que estos, una vez que los han conocido e identificado, los apliquen en la resolución de
las anteriores tareas. Por otro lado, en la mayoría de ellas la complejidad aumenta a
medida que se avanza en la enseñanza de los números, pero el ejercicio en sí no les
plantea mayor dificultad. Solo le permiten al alumno utilizar el procedimiento de contar
para determinar el número de elementos que componen una colección, de manera que
recitan la serie numérica identificando la última palabra-número pronunciada como el
cardinal de una colección que anteriormente se ha trabajado, y finalmente hacen la
grafía del número que implica dificultades motrices no matemáticas.
Trabajo final de Grado
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25
Por otro lado, las competencias básicas que el alumno debe de adquirir a lo largo
del ciclo no se desarrollan en su totalidad, es decir, al tratarse de ejercicios diseñados
para trabajar individualmente no favorecen ni la oportunidad de participación entre los
alumnos ni la experimentación de estos con su entorno, de modo que les privan a los
niños de la interacción entre las personas, de la manipulación de los objetos y de la
intervención sobre los materiales produciendo cambios, observando los resultados,
anticipando y prediciendo posibles consecuencias. Esto refleja cómo la competencia en
comunicación lingüística, la competencia en el conocimiento y la interacción con el
mundo físico, y la competencia social y ciudadana no se llegan a promover lo suficiente
en estos ejercicios para su desarrollo en el alumno.
También se puede observar como la competencia cultural y artística y, el
tratamiento de la información y competencia digital se encuentran inexistentes en estas
actividades. Tengo que resaltar que la editorial de papelillos presenta un conjunto de
juegos para el ordenador que permiten a los niños trabajar las Matemáticas dominando
acciones básicas sobre el uso del ordenador y periféricos, pero en la realización de estas
fichas, los alumnos no desarrollan esta capacidad.
Con respecto a la competencia matemática y última, puedo decir que aunque
curiosamente esto ejercicios vayan dirigidos a desarrollarla específicamente, no lo
consiguen puesto que no se le da la oportunidad al niño de enfrentarse a situaciones de
la vida cotidiana que le permitan la adquisición de las capacidades, destrezas y
habilidades que están en la misma a través de la manipulación de objetos, de contar sus
deseos en forma de pregunta, de reconstruir hechos que se han producido, de elegir la
opción más conveniente y de justificar su elección mediante argumentos.
Finalmente destacar que esta editorial presenta además de las unidades formales,
dos unidades “Para trabajar un poco más”. En cada una de ellas, se plantean diferentes
fichas para el aprendizaje de las matemáticas de los alumnos. Como se puede ver en el
Anexo 13, se trata de actividades repetitivas iguales que las anteriores analizadas, es
decir, se utiliza el mismo formato de página para presentar el número natural y trabajar
la cardinación, la producción de colecciones, la grafía de los numerales y el algoritmo
de la suma y como consecuencia, los procedimientos y competencias que el alumno
desarrolla para resolver dichas actividades, son iguales también.
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26
2.4 CUMPLIMIENTO DEL CURRÍCULO ACTUAL DEL MANUAL
ESCOLAR.
En primer lugar, teniendo en cuenta un enfoque general de los elementos que
establece el currículo, se puede señalar que aunque el manual escolar trabaja los
contenidos (no todos con la misma relevancia) explícitos en él, no se llega a alcanzar la
construcción del conocimiento matemático en los alumnos como se exponen en los
objetivos, y por lo tanto, los criterios de evaluación que se utilizan no son adecuados.
Los niños deberían de ser evaluados en función de su capacidad para resolver sencillos
problemas matemáticos de la vida cotidiana, pero como hemos podido observar, los
ejercicios que plantea el “Proyecto Papelillos” no desarrollan esta capacidad. De
manera, que el método que utilizan los maestros para evaluar a los alumnos se ciñe
concretamente a la resolución de la tarea correcta o no, lo cual es poco fiable. Puede
suceder que un niño resuelva un ejercicio perfectamente sin necesidad de poner en
funcionamiento conocimientos matemáticos.
En segundo lugar, si analizamos más detenidamente el Currículo, se observa que el
manual escolar no cumple con los principios expresados en la Orden del 4 de agosto de
2008, artículo 4 (p.18):
b) “(…) las áreas del currículo deben de planificarse de forma integrada y
contextualizada”: cuando el principio hace referencia a contextualización, quiere decir
que el niño adquiera el sentido del conocimiento utilizándolo en diferentes situaciones.
Esto es un punto inexistente en los ejercicios anteriores. A lo largo del desarrollo de las
distintas unidades se presenta el mismo tipo de actividades variando únicamente los
conceptos numéricos a tratar (en las fichas todo número se forma a partir de uno
anterior, por iteración de la unidad, mostrando siempre colecciones de objetos), no le
ofrece al niño situaciones donde pueda poner en práctica esos conocimientos y
favorecer su funcionalidad. Por lo tanto, los ejercicios promueven aprendizajes
memorísticos que se reducen a realizar grafías sin establecer una asociación del número
con su cantidad correspondiente.
c)”(…)la vida cotidiana será considerada como la realidad a través de la que se
aprende y sobre la que se aprende”: refleja como la vida cotidiana debe ser considerada
como una realidad esencial para el aprendizaje en el alumno, y como se ha podido
observar, no solamente las fichas no permiten que el niño construya su conocimiento
sino que también estas fichas presentan los conocimientos de manera ostensiva basados
Trabajo final de Grado
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27
en la observación, recepción y repetición, es decir, los conocimientos se presentan con
un golpe de vista. Es una práctica muy económica y útil para el docente, ya que los
niños rápidamente lo memorizan y posteriormente lo reconocen. Este modo de
presentación solo alcanzará un éxito ilusorio, ya que este modo impide la generalización
y la abstracción de los conocimientos.
Si dejamos de lado los principios y nos centramos concretamente en el Artículo 4.
Orientaciones metodológicas, nos dice:
1. Las propuestas pedagógicas y actividades educativas en los centro
de educación infantil han de respetar las características propias del
crecimiento y el aprendizaje de los niños y niñas. Consecuentemente, los
maestros y maestras y demás profesionales de la educación infantil deben
atender a dichas características, a partir de conocimientos previos,
necesidades y motivaciones de cada niño o niña, propiciar la participación
activa de los niños, fomentar sus aportaciones, estimular el desarrollo de
sus potencialidades y facilitar su interacción con personas adultas, con los
iguales y con el medio (p.18).
A lo largo del anterior análisis planteado hemos podido observar cómo los
diferentes contenidos, objetivos y criterios de evaluación que se trabajan dentro del área
del Cocimiento de Entorno con respecto al número y la numeración se han desarrollado
sin tener en cuenta los conocimientos previos de los alumnos Se da por hecho que
todos los sujetos anteriormente han adquirido aquello que se ha trabajado en clase (no
tienen en cuenta las diferentes características de los alumnos) para la posterior
enseñanza de la siguiente ficha. Por ejemplo, se trabaja el cardinal del número 6 sin
tener en cuenta si todo el alumnado anteriormente ha adquirido el conocimiento con
respecto al cardinal número 5. Son actividades que no cumplen con lo impuesto en este
criterio, pues son ejercicios que no requieren mucho tiempo para realizarse, no se
adaptan a los ritmos de aprendizaje de cada alumno y finalmente tampoco están
apoyadas en intereses cercanos de los alumnos, por lo que resultan poco motivadoras.
Estas tareas pueden ser adecuadas para conocer cuáles son las grafías de los
números, pero para ello, lo ideal sería introducirlas una vez hecha una actividad lógica
del conocimiento a aprender donde el niño explore, indague e interactúe con el medio
porque un alumno entonces será capaz de escribir perfectamente los números de l al 10,
pero no sabrá contestar a la pregunta: ¿cuál es la medida de esa cantidad?
Trabajo final de Grado
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28
Por otro lado, las actividades planteadas en el manual escolar son ejercicios
dirigidos a los alumnos individualmente evitando cualquier tipo de participación con sus
compañeros o adultos que le puedan ayudar a establecer el conocimiento como señala
Vigotsky24
, quien considera que el aprendizaje se produce en un medio social donde se
producen diferentes interacciones. (Cuarta hipótesis del constructivismo explicada
anteriormente en la fundamentación teórica).
El Currículo de Educación Infantil señala como “(…) la escuela infantil no puede
ser concebida como un espacio y tiempo para la enseñanza trasmisora de
conocimientos, sino como una institución que apoya, favorece y potencia el pleno
desarrollo de todas las capacidades”(Orden del 5 de agosto del 2008, p.20).
En las actividades de “Papelillos” la maestra se encarga de explicarle al alumno lo
que tiene que hacer antes de comenzar con el ejercicio, es decir, le transmite los
conocimientos a aprender considerándolo incapaz de construir él sus propios saberes. La
maestra, por tanto, se anticipa a las acciones de los niños por el miedo al error, y sin
embargo, el error es el principio de aprendizaje del alumno. De manera que su labor
consiste en procurar que los niños vivan y se enfrenten a estas situaciones-problemas
para que descubran y utilicen estrategias óptimas que proporcionen la solución idónea al
problema planteado. Es necesario que el alumno se equivoque para modificar su
estrategia y construya una más adecuada que será el conocimiento a aprender.
En definitiva, el manual escolar de “Papelillos” aunque trabaja los contenidos y los
objetivos que se plantean en el currículo no permite desarrollar las competencias
plenamente, es necesario un cambio en el método de enseñanza para ofrecerle
oportunidades y experiencias reales al niño en la construcción de su conocimiento.
2.5 PROPUESTAS
Mi propuesta didáctica para el desarrollo de la competencia matemática en torno al
número y la numeración en Educación Infantil pretende promover situaciones de
aprendizaje en los que los conocimientos a aprender sean la solución óptima para
resolver dicho problema, es decir, propongo una propuesta basada en el modelo
24
Zona de Desarrollo Próxima (ZDP) es la distancia entre el nivel de desarrollo actual, que podemos
determinar a través de la forma en que un niño resuelve sus problemas él solo y el nivel de desarrollo
potencial, tal como lo podemos determinar a través de la forma en la que un niño resuelve sus problemas
cuando está asistido por un adulto o en colaboración con otros más avanzados” (Vigotsky, 1978,
p.86,CIRADE,p.153).
Trabajo final de Grado
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29
constructivista por adaptación al medio de Brousseau en el que los contenidos
matemáticos se trabajan con sentido y funcionalidad.
Se tratan de actividades que plantean problemas en la vida cotidiana del alumno,
por lo tanto se pueden introducir en diferentes contextos de aprendizaje: en la rutina
diaria, en actividades puntuales, en el momento de juego, en rincones, en proyectos y en
talleres.
Situación 1: Máquinas de bolas.
Objetivos:
- Controlar el orden de las máquinas de bolas.
- Enumerar una colección
Material:
- Disponemos de una colección de 6 máquinas de bolas que se pueden hacer con
cajas de zapatos colocando en un extremo de la caja una ranura para introducir
las monedas.
- Monedas de plástico
Desarrollo: Cada alumno tendrá que meter una moneda y solo una en cada máquina
de bolas sin intentar abrir la caja.
Situación 2: ¿Cuántos pinceles necesito?
Objetivos:
- Utilizar el número para medir una colección y producir una cantidad.
- Utilizar el número como instrumento para memorizar una cantidad.
- Construir diferentes estrategias para la cardinación de colecciones.
- Utilizar el conteo como el procedimiento más eficaz para la cardinación de
colecciones.
- Construir mensajes para comunicar números.
Material
- Dos colecciones: C1 Pinceles y C2 Niños en clase.
- Papel y lápiz
Desarrollo:
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30
- 1ªFase: Un niño debe ir a buscar justo los pinceles necesarios, sólo los
necesarios, ni más ni menos, para que cada alumno tenga uno, es decir, tantos
pinceles como niños haya en el equipo.
- 2ª Fase: Un niño debe ir a buscar, en una sola vez, justo los pinceles necesarios,
sólo los necesarios, ni más ni menos para que cada alumno tenga uno, es decir,
tantos pinceles como niños haya en el equipo.
- 3ªFase: El niño debe de pedirme por escrito, en un mensaje, los pinceles
necesarios, sólo los necesarios, ni más ni menos para que cada alumno tenga
uno, es decir, tantos pinceles como niños haya en el equipo.
Situación 3: Un jardín de garbanzos y lentejas.
Objetivos:
- Utilizar el número como instrumentos para memorizar una cantidad.
- Construir diferentes estrategias para la cardinación de colecciones.
- Utilizar el conteo como el procedimiento más eficaz para la cardinación de
colecciones.
- Utilizar el número para medir una colección y producir una cantidad.
- Construir mensajes para comunicar números.
Material
- Colección C1 de semillas de garbanzos y una colección C2 de lentejas
- Tabla de seguimiento
- Yogures
- Algodón
Desarrollo: Vamos a crear en los moldes de yogures nuestras propias plantas de
lentejas y garbanzos. Para ello, es importante que se haga un seguimiento. Tendremos
que llevar a cabo un registro sobre la evolución de nuestras plantas.
Los niños tendrán una tabla en la que apuntarán todos las semanas el número de
plantas que comienzan a nacer, el número de semillas que han sido colocadas, las
plantas que se secan, las plantas que quedan vivas… Todas las semanas un niño N1
apuntará lo anterior, y un niño N2 comprobará si está bien. Será el debate con su
compañero lo que valide la actividad
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31
También tendrán unas normas todos los días: Cada día habrá 3 encargados para
regar las plantas. Un día un niño regará 3 plantas, otro 4 y otro 10, cambiando todos los
días cuantas plantas riega cada uno y esto también quedará registrado en nuestra ficha.
Situación 4: Mi collar
- Construir con sentido las relaciones de orden.
- Configurar seriaciones
- Construir diferentes estrategias para la cardinación de colecciones.
- Construir el conteo como el procedimiento más eficaz para la cardinación de
colecciones.
- Utilizar el número para medir una colección y producir una cantidad.
- Utilizar el número como instrumentos para memorizar una cantidad y una
posición.
Materiales:
- Lana
- Figuras geométricas de color con agujeros para hacer collares.
Desarrollo:
- 1ª Fase: La maestra hace un collar de muestra utilizando distintas figuras
geométricas de diferentes colores de manera que se produzca una serie
ABCABCABC. Los niños se tendrán que hacer uno igual en presencia del
modelo.
- 2ªFase: La maestra hace un collar de muestra utilizando distintas figuras
geométricas de diferentes colores de manera que se produzca una serie
algorítmica ABCABCABC. Los niños se tendrán que hacer uno igual. El
modelo estará situado en un lugar no visible desde su mesa de trabajo.
- 3ª Fase: La maestra cambiará la serie del collar y producirá otra algorítmica de
objetos repetidos, AABBBCAABBBC. Los niños se tendrán que hacer uno igual
en presencia del modelo.
- 4ª Fase: La maestra cambiará la serie del collar y producirá otra algorítmica de
objetos repetidos, AABBBCAABBBC. Los niños se tendrán que hacer uno
igual. El modelo estará situado en un lugar no visible desde su mesa de trabajo.
Situación 5: ¡Adivina dónde está el huevo!
Objetivos:
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- Construir con sentido las relaciones de orden.
- Utilizar el número como instrumento para memorizar una posición.
- Construir estrategias que permitan determinar la posición de objetos utilizando
el carácter ordinal del número.
Materiales:
- Dos cartones de huevos iguales y con el mismo número de huecos cada uno. H1
y H2. En H1, todos los huecos para los huevos están decorados con pegatinas de
colores diferentes y en H2 no.
- Bolas de papel o pelotas de pimpón.
- Papel y lápiz.
Desarrollo: La maestra va a llamar a dos niños N1 y N2. Pone a N1 junto a un
cartón de huevos y le dice que esconda una bola de pimpón en un hueco del cartón.
Posteriormente le pide que escriba un mensaje para el otro niño N2 (que no ve el cartón
de huevos H1) para que mediante su interpretación del mensaje, pueda localizar con
toda precisión, en el H2 la posición de la pelota de pimpón.
Situación 6: Las pistas de botones.
Objetivos:
- Componer y descomponer números.
- Sumar números
- Construir diferentes estrategias para la cardinación de colecciones.
- Utilizar el conteo como el procedimiento más eficaz para la cardinación de
colecciones.
- Utilizar el número para medir una colección y producir una cantidad.
- Medir distancias entre los números de una pista.
- Promover procedimientos económicos que le permitan al alumno anticipar
resultados.
- Comparar colecciones.
- Favorecer procedimientos de iniciación al cálculo.
- Utilizar el número como instrumentos para memorizar una cantidad.
Material
- Una colección T1 de tapones.
- Papel y colores.
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- Ficha de la pista (anexo 14)
Desarrollo:
- 1ªFase: Vamos hacer un concurso. En primer lugar, yo voy a tirar varios tapones
por la clase. En grupos, cuando yo dé la señal, tendréis que ir a coger los tapones
que podáis. Ganará quien tenga más tapones.
- 2ª Fase: El grupo tendrá una ficha. Cada niño coloreará de un color diferente
sobre la pista, tantas casillas como tapones ha cogido. (Debe alternar los colores
para delimitar los botones obtenidos por cada alumno y evitar el procedimiento
de “recuento”). El niño podrá mover los tapones y manipularlos.
- 3º Fase: Una vez hecho esto la maestra formula varias cuestiones para establecer
los conocimientos:
o Descomposición de números: Grupo verde, ¿Cuántos tapones habéis
conseguido entre todos? ¿Cuántos tapones obtuvisteis cada uno del
grupo?
o La medida de una distancia: Grupo azul, si habéis llegado a la casilla 5
¿Cuántos tapones os faltan para que lleguéis a la casilla 10?
o Suma ¿Cuántos tapones han conseguido entre María y Carlos?
o Comparar colecciones: ¿Quién tiene más tapones? ¿Quién es el ganador?
o Anticipación del resultado: Grupo amarillo, si tuvieseis 3 tapones y
Rosa encuentra 1 más ¿Hasta dónde avanzaríais?, el grupo rojo ha
llegado hasta la casilla 4 y el grupo amarillo hasta la casilla 2 ¿Cuántas
casillas ha avanzado el grupo roja más que el grupo amarillo?
- 4º Fase: Se repite la jugada, pero ahora cada alumno tendrá que saber cuántos
tapones ha conseguido y depositarlos en la caja de su grupo que estará fuera del
alcance de la vista de los niños cuando rellenen la pista.
Situación 7: La Muralla
Objetivos:
- Conducir a los alumnos a producir una escritura aditiva para designar el número
de elemento de una colección bastante más numerosa que las que normalmente
manejamos.
- Conseguir que los niños pasen de una percepción de las colecciones unidad por
unidad a una percepción por agrupamientos.
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- Construir mensajes para comunicar números.
Materiales:
- B1: Estructura de la muralla (anexo 15)
- B2: Bloques de construcción.
Desarrollo: Los niños tendrán que construir una muralla que contiene un número de
bloques mayor de 9. Se les dice a los niños que tendrán que formar un mensaje escrito
para pedir tantos bloques como huecos hay en la estructura, pero hay un problema, los
bloques son muchos, así que el niño tendrá que dar varios viajes para traerse los bloques
con la limitación de que no puede llevar más de 9 en un viaje. Los alumnos tendrán que
elaborar un mensaje escrito para pedirle a la profesora al principio de comenzar la
construcción cuántos bloques se van a llevar en cada viaje para que ella pueda dárselos
y ellos construir su muralla. Finalmente los bloques los colocarán como en el modelo y
podrán ellos mismos comprobar si se han equivocado o no
3. CONCLUSIÓN
El diseño de este documento está formado por un análisis y una propuesta. Con ello,
pretendo alcanzar el objetivo de mejorar la puesta en práctica de las matemáticas
estableciendo las diferencias que existen entre el método empirista trabajado por
“Papelillos” y el método constructivista por adaptación al medio de Brousseau.
En mi propuesta he evitado realizar lo que se hace en el texto escolar porque
consiste en general, en una presentación automatizada del número, mostrándolo de
forma separada, como ejemplo, en el anexo 8 se puede observar. Se dedican varias
fichas individuales para presentar primero un número con la medida que representa y su
escritura, después una ficha donde se trabaja solamente la grafía y luego, a medida que
se va avanzando con las unidades formales, se utiliza la técnica de conteo para cardinar
colecciones de objetos presentados en las fichas. Se les presentan los números bajo su
forma definitiva y después se realizan ejercicios de aplicación, de manera que el alumno
para responder ya sabe de antemano cuál es la solución, porque la maestra en vez de
potenciar una construcción de sus conocimientos, les introducen todo lo que tiene que
saber para llevar a cabo la tarea correctamente, es decir, los números no surgen como
respuesta a cuestiones, el alumno utiliza el número porque se indica previamente que
hay que utilizarlo y no porque ha experimentado la necesidad de emplearlo para
solucionar una situación.
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Además, el conjunto de actividades que nos ofrece el texto escolar es muy parecido
entre sí, lo cual resulta con el tiempo bastante repetitivo y poco motivador para el
alumnado. Se tratan de ejercicios que utilizan la misma forma de presentar los
conocimientos matemáticos a los alumnos, la manera ostensiva, que provoca
aprendizajes memorísticos y por consiguiente, un éxito ilusorio en el alumno debido a
que este modo impide la abstracción y generalización del saber aprendido. También son
ejercicios que se reducen a trabajar la escritura de los numerales a través del repaso
caligráfico, ofreciéndole a este aspecto más importancia que a la comprensión del
número por parte del alumnado.
Por otro lado, raramente se intercalan actividades previas para la adquisición de un
conocimiento. Se ha podido observar, por ejemplo, como la cardinación se le presenta al
inicio al niño sin tener en cuenta que su aprendizaje trata de un proceso que requiere
unas técnicas donde primero se trabaja la enumeración y luego el conteo como bases de
ese conocimiento.
Por ello, a lo largo del trabajo y como consecuencia en mi propuesta presento el
estudio del número y la numeración como una organización matemática donde es
necesario crear situaciones problemáticas que permitan al alumno poner procedimientos
y estrategias en práctica para construir el conocimiento matemático. De este modo se
consigue un aprendizaje funcional, los números surgen como respuesta a cuestiones y
como respuesta óptima a la solución de un tipo de problema. Planteo un estudio del
número y la numeración de manera global, donde el conocimiento de los números, es
decir, las distintas técnicas, primero no numéricas y luego numéricas, van surgiendo
como la mejor respuesta a los problemas planteados permitiendo que el niño realice
acomodaciones y asimilaciones en sus conocimientos provocados por los desequilibrios
que le ocasionan las actividades cuando el docente modifica las variables didácticas,
herramientas que utiliza el maestro para provocar la insuficiencia de las estrategias base
que el alumno suele utilizar para la resolución correcta de un problema, obligándolo a
buscar una nueva técnica más eficiente.
En este proceso didáctico diseñado, quiero resaltar que me he centrado más en los
números con respecto a su aspecto ordinal y cardinal porque en el texto escolar solo se
trabaja eso, deja de lado los números para calcular y para anticipar resultados. En mi
propuesta he incluido una actividad para promover estos conocimientos inexistentes en
el manual de “Papelillos”. El orden y la estructura establecida ha sido producto de la
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necesidad de simplificar la presentación del trabajo. Cuando se vayan a poner en
práctica estas actividades es conveniente intercalar los distintos problemas en nuestra
programación. Por otro lado, las propuestas se pueden modificar según el contexto de lo
que se esté estudiando siempre que se sigua la misma problemática, es decir, en vez de
hacer un registro de las plantas de garbanzos y lentejas, si se está estudiando los
gusanos de seda, el registro se puede hacer de ello.
Para finalizar quiero subrayar que este TFG me ha servido para profundizar en las
diferentes teorías de aprendizaje pudiendo comprender un poco más las metodologías y
por ello, ha sido un trabajo bastante enriquecedor para mí. El enfoque tradicional que
ofrece las propuestas editoriales, como se ha podido ver en el análisis, trabaja las
matemáticas desde su escritura, donde se muestra que para estos docentes saber
matemáticas es saber usar su notación. Se debe romper con el objetivo de que los niños
utilicen desde el inicio las notaciones convencionales evitando al máximo los errores y
potenciar situaciones problemáticas que le provoquen verdaderos desequilibrios a los
alumnos y errores que le permitan construir su conocimiento de manera funcional.
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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a la Educación Infantil de Andalucía. BOJA núm. 169 de 26 de Agosto de 2008.
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PROYECTO PAPELILLOS DE EDUCACIÓN INFANTIL 4 AÑOS
CAMPUZANO-VALIENTE, M. D. (2010). Proyecto Papelillos de Educación
Infantil 4 años. Sevilla: Algaida.