Investigación de Operaciones 3. Análisis de Sensibilidad

TEMA 3

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Consiste en determinar que tan sensible son la solución óptima y el valor

óptimo, con respecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes

en la Función Objetivo y en las Restricciones.

Se basa en la proposición de que todos los datos del problema, con excepción

de una parte, se conservan fijos y se pide información sobre el efecto del cambio en

esta parte de los datos a los que se permite variar.

La información solicitada incluye: El efecto sobre el valor óptimo, el efecto sobre

la solución óptima y el efecto sobre la región factible.

1.- GENERALIDADES

El análisis de sensibilidad indica que coeficientes afectan más

significativamente la solución óptima.

Se justifican debido a que: Los datos que sustentan el problema pueden ser

inexactos y por variación “natural” de la situación.

Se efectúa para no tener que resolver nuevamente el problema ante pequeños

cambios “controlados”.

2.- CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

• El valor de la función objetivo cambia.

• Cambia la “pendiente” de la recta de la función objetivo.

• Puede cambiar la solución óptima.

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• No afecta la región factible.

• Mientras un coeficiente de la función objetivo cae dentro de un intervalo

alrededor de su valor original (y los demás coeficientes no cambian), la

solución óptima actual sigue siendo óptima. Sin embargo, el Valor Óptimo de

la función objetivo cambia.

• Si el coeficiente de interés se modifica a un valor fuera del intervalo, se

debe encontrar una nueva solución óptima y un nuevo valor óptimo.

3.- CAMBIOS EN LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES

El menor cambio en el lado derecho de una restricción, tiene como resultado

un cambio en la solución óptima.

PRECIO DUAL o PRECIO SOMBRA: Proporción de cambio en el valor de la

función objetivo por unidad de incremento en el valor del lado derecho de

una restricción dentro del intervalo de sensibilidad. Existe para cada valor

factible.

Aún el cambio mas pequeño en el valor del lado derecho de una restricción

puede ocasionar que la solución óptima cambie.

Mientras el valor caiga dentro de algún intervalo alrededor de su valor

original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en

proporción con el cambio en el valor del lado derecho, de acuerdo con el

Precio Dual.

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PROBLEMA MODELO

Una fábrica de ladrillos produce cuatro tipos de ladrillo de cemento. El proceso

de fabricación está compuesto de tres etapas: mezclado, vibrado e inspección. Dentro

del próximo mes se dispone de 800 horas de máquina para mezclado, 1000 horas de

máquina para vibrado y 340 horas-hombre para inspección. La fábrica desea

maximizar las utilidades dentro de este período, y para ello ha formulado el modelo de

programación lineal siguiente:

Maximizar Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4

Sujeto a: X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 800

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 1000

0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 340

X1 0

Donde Xi representa la cantidad de ladrillo del tipo i. El resto de los parámetros se

explican por sí solo.

¿Cuál es la Solución Óptima?

Para conocer cual es la Solución Óptima para este problema, se resuelve el

modelo planteado por medio del Método Simplex

Maximizar Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4

Sujeto a: X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 800

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 1000

0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 340

X1 0

X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 + S1 = 800

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 + S2 = 1000

0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 + S3 = 340

x1, x2, x3, x4, s1, s2, s3 0

N = 7 (Variables)

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M = 3 (Ecuaciones)

N – M = 7 – 3 = 4 4 Variables no Básicas

Variables no Básicas Variables Básicas

X1 = 0 S1 = 800

X2 = 0 S2 = 1000

X3 = 0 S3 = 340

X4 = 0

Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4

Z - 8X1 - 14X2 - 30X3 - 50X4 = 0

TABLA # 1

Variables

Básicas

Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón

Z 1 -8 -14 -30 -50 0 0 0 0 -S1 0 1 2 10 16 1 0 0 800 50S2 0 1.5 2 4 5 0 1 0 1000 200S3 0 0.5 0.6 1 2 0 0 1 340 170

TABLA # 2

Variables

Básicas

Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón

Z 1 -4.875 -7.75 1.25 0 3.1 0 0 2500 -

X4 0 0.062 0.125 0.625 1 0.062 0 0 50 400

S2 0 1.187 1.375 0.875 0 -0.312 1 0 750 545.45

S3 0 0.375 0.35 -0.25 0 -0.125 0 1 240 685.71

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TABLA # 3

Variables

Básicas

Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón

Z 1 -1 0 40 62 6.975 0 0 5600 -

X2 0 0.5 1 5 8 0.5 0 0 400 800

S2 0 0.499 0 -6 -11 0.999 1 0 200 400.8

S3 0 0.2 0 -2 -2.8 -0.3 0 1 100 500

TABLA # 4

Variables

Básicas

Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón

Z 1 0 0 28 40 5 2 0 6000

X2 0 0 1 11 19 1.5 -1 0 200

X1 0 1 0 -12 -22 -2 2 0 400

S3 0 0 0 0.4 1.6 0.1 -0.4 1 20

Como todos los coeficientes de las variables en la ecuación Z (Función Objetivo)

son positivos y como el modelo es de maximización, entonces la Solución Óptima es

cuando:

Variable Valor Costo Reducido

X1 400 0

X2 200 0

X3 0 -28

X4 0 -40

El valor óptimo:

Z= 6.000

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Para las restricciones:

Variable Valor Precio Dual

S1 0 5

S2 0 2

S3 20 0

La aplicación del análisis de sensibilidad nos brinda la siguiente información:

Para los coeficientes de las variables en la función objetivo:

Variable Límite InferiorLímite Superior

X1 7 9.818

X2 11.895 16

X3 sin límite 58

X4 sin límite 90

Para los lados derechos de las restricciones:

Restricción Límite InferiorLímite Superior

1 666.67 1000

2 800 1050

3 320 Ilimitado

a) ¿Es única la Solución Óptima?

b) ¿Cuánto debería aumentar como mínimo la utilidad del producto 3 para

que fuera conveniente producirlo?. Demuéstrelo.

c) ¿Hasta cuánto podría disminuir la utilidad del producto 2 sin que

cambiara la base óptima?. Demuéstrelo.

d) ¿Dentro de que rango podría variar la cantidad de horas de máquina

para mezclado sin que cambie la base óptima?

e) ¿Cuánto puede disminuir el tiempo de inspección sin que cambie la

solución óptima?. Demuéstrelo.

f) ¿Cuál es la nueva solución y el nuevo valor de la función objetivo si las

horas de vibrado aumentan a 1020?

g) ¿Aceptaría la producción de un ladrillo del tipo 5, si requiere 2 horas de

cada actividad y su utilidad es de 30?