Análisis de sensibilidad

M. En C. Eduardo Bustos Farias

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Análisis de sensibilidad para la solución óptima.

¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada?

Posibles razones para responder la pregunta anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores estimados.

* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información

económica y operacional.

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Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo

• Rango de optimalidad– La solución óptima permanecerá inalterable mientras:

• Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro del rango de optimalidad.

• No hay cambios en ningún otro parámetro.

– El valor de la función objetivo cambiará si el coeficientemultiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

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Modelo de Programación Lineal

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

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Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200 X2

X1

Max 8x1 + 5x2

Max 4x1 + 5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2

400 600 800

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Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200

400 600 800

X2

X1Max8x1 + 5x2

Max 3.75x1 + 5x2

Max8x1 + 5x2Max 3.75 x1 + 5x2Max 10 x1 + 5x2

3.7510

Rango de optimalidad

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Cambios Múltìples

• El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente de la función objetivo cambia.

• Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del 100%.

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Regla del 100%

• Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible (disminución) determinada por los límites del rango de optimalidad.

• Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor que100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.

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Análisis de Sensibilidad del coeficiente del lado derecho

• Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una restricción activa cambiará la solución óptima.

• Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima.

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Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho nos interesa

responder las siguientes preguntas :

• ¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad?

• ¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida?

Precios sombrao duales

M. En C. Eduardo Bustos Farias

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Aplicaciones de la dualidad• En algunos casos, puede ser más eficiente resolver el

problema dual que el primario.

• La solución dual proporciona una interpretación económica importante tal como los precios sombra (es decir, los valores marginales de los elementos RHS) que son los multiplicadores Lagrangianos que demuestran una cota (estricta) del valor óptimo del problema primario y viceversa.

• Históricamente, el precio sombra se definió como la mejora en el valor de la función objetivo por aumento unitario en el lado derecho, porque el problema generalmente adoptaba la forma de una mejora de maximización de utilidades (es decir, un aumento).

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• El precio sombra puede no ser el precio de mercado.

• El precio sombra es por ejemplo el valor del recurso bajo la "sombra" de la actividad comercial.

• Se puede realizar un análisis de sensibilidad, es decir un análisis del efecto de pequeñas variaciones en los parámetros del sistema sobre las medidas de producción, calculando las derivadas de las medidas de producción con respecto al parámetro.

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Winqsb

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Precio Sombra• El Precio Sombra nos indica cuánto cambiará la función

objetivo si cambiamos el lado derecho de la correspondiente restricción.

• Esto normalmente se denomina "valor marginal", "precios duales" o "valor dual" para la restricción.

• Por lo tanto, el precio sombra puede no coincidir con el "precio de mercado".

• Por cada restricción del RHS, el Precio Sombra nos indica exactamente cuánto cambiará la función objetivo si cambiamos el lado derecho de la restricción correspondiente dentro de los límites fijados por el rango de sensibilidad del RHS.

• Por consiguiente, por cada valor RHS, el precio sombra es el coeficiente del cambio en el valor óptimo causado por cualquier aumento o disminución admisible en el RHS dentro del cambio admisible.

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Precio SombraPrecio Sombra = Cambio en el Valor

Optimo / Cambio en el RHS,

Dado que el cambio en el RHS estádentro del rango de sensibilidad.

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Interpretación Incorrecta del Precio Sombra

• Desafortunadamente, existen interpretaciones erróneas con respecto a la definición del precio sombra.

• Una de ellas indica: "En los problemas de programación lineal, el precio sombra de una restricción es la diferencia entre el valor optimizado de la función objetivo y el valor de la función objetivo, evaluada de manera opcional, cuando el RHS de una restricción aumenta en una unidad".

• "Precios Sombra: los precios sombra para un problema de programación lineal son las soluciones para su correspondiente problema dual.

• El precio sombra i° es el cambio en la función objetivo que resulta del aumento en una unidad en la coordenada i° de b.

• Un precio sombra también es el monto que un inversor tendría que pagar por una unidad de un recurso para comprarle la parte al fabricante."

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¿

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Costos reducidos

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Interpretación de las salidas de LINDO en el análisis de

sensibilidad

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Ejemplo: Queremos resolver el siguiente problema de Programación Lineal referido a una compañía que produce dos tipos de lanchas acuáticas:Maximizar beneficios = 30 X1 + 80 X2

Sujeto a:2 X1 + 4 X2 <= 1.000 (horas de mano de obra disponibles)6 X1 + 2 X2 <= 1.200 (kg. de materia prima disponibles)X2 <= 200 (motores de lancha tipo 2 disponibles)X1, X2 >= 0

(a) ¿Cuál es la mejor combinación productiva? ¿Cuál es el beneficio máximo?

(b) ¿Cuánto valen los precios sombra? Una vez alcanzada la solución óptima, ¿qué recurso tiene un valor marginal más elevado?

(c) Para cada recurso, ¿cuál es el rango de tolerancia en el que son válidos los precios sombra?

(d) ¿Cuáles son los rangos de tolerancia en que pueden variar los coeficientes objetivo?

(e) Plantear y resolver el problema dual.

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Al plantear este problema en el programa LINDO, éste nos ofrece el siguiente “output”:

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(a) Se observa en el “output” que lo óptimo será producir 100 lanchas de tipo 1 y 200 de tipo 2, lo cual nos proporcionará unos beneficios de $19000

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b) El precio dual de la primera restricción es de 15, lo cual significa que estaríamos dispuestos a pagar hasta $15 por disponer de una hora más de mano de obra. El precio dual de la segunda restricción es 0, lo cual resulta lógico dado que no agotamos toda la materia prima disponible (en el óptimo aún nos sobran 200 kg.). Finalmente, estaríamos dispuestos a pagar hasta $ 20 por disponer de un motor adicional de tipo 2, lo que convierte este recurso en el de mayor valor marginal.

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(c) Los precios sombra anteriores son válidos en los rangos establecidos por el “output”. Así, por ejemplo, nuestros beneficios aumentarían en $ 15 por cada hora extra de que dispusiésemos hasta un máximo de 1,066.67 horas, cifra a partir de la cual deberíamos replantear el problema para poder hacer un análisis correcto. Por otro lado, perderemos $ 15 por cada hora que se deduzca de las disponibles inicialmente (1,000) hasta un máximo de 200 horas deducidas (a partir de aquí cabría reprogramar).

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(d) El coeficiente de X1 puede variar entre 0 y 40 pesos sin que por ello cambie la solución óptima (aunque sí los beneficios obtenidos, claro). Por su parte, el coeficiente de X2 podría variar entre 60 e infinito.

PROBLEMS.Hillier, Frederick S. & Hillier, Mark S.

“Introduction to Management Science”. 2nd. Ed. USA, Mc Graw Hill - Irwin,

2003. 870 pp.

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Winston, Wayne L. “OperationsResearch - Applications and

Algorithms” 4th ed. InternationalStudent Edition. Canada,

Thomson Learning, 2004. 1418 p.

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p. 231